2019年上海市春季高考数学试卷

2019年上海普通高等学校春季招生考试数学试卷
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
数学试卷
一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否那么一律得零分.
二、选择题〔本大题总分值16分〕本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，否那么一律得零分.
三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.
19.(此题总分值12分)此题共有两个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.
20.(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分.
21.(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.
22.(此题总分值16分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分.
23.(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分.。

2019年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1 •函数y =log2(x 2)的定义域是 __________________2•方程2x=8的解是____________________3 •抛物线y2 =8x的准线方程是_________________4•函数y=2sin x的最小正周期是__________________5•已知向量a =(1,k) , b =(9, k-6)。

若a//b，则实数k 二__________________6.函数y =4sinx 3cos x的最大值是____________________7•复数2 3i ( i是虚数单位)的模是 _____________________&在ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b c，若a =5, b =8, B =60 •，则b= _9•在如图所示的正方体ABCD-ABQ1D1中，异面直线A,B与B|C所成角的大小为 _________10•从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为________________ (结果用数值表示)。

11 •若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和S n = _____________ 。

12・36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2 232,所以36的所有正约数之和为(1 3 32) (2 2 3 2 32) (2222 3 2232) =(1 2 22)(1 3 32) =91 参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 ______________________________二•选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13•展开式为ad-bc的行列式是()a ba ca db a(A)d c(B)b d (C)b c(D)d c14•设f -1(x)为函数f(X )—、.X 的反函数，下列结论正确的是( )1 1(A) f (2) =2 (B) f (2)=4(C) f ，⑷=2(D)f 」⑷=415.直线2x -3y -1 =0的一个方向向量是()116.函数f(x)的大致图像是()(A )1 1 (B)a bab :: b 2(C)_ab ：：-a 2(D)1 118. 若复数召、z ,满足Z | =Z2，则 召、z 2在复数平面上对应的点 Z1、Z2()(A) 关于x 轴对称(B) 关于y 轴对称(C 关于原点对称 (D) 关于直线y - x 对称19. (1 X)10的二项展开式中的一项是 ()(A ) 45x(B ) 90x 2 (C ) 120x 3 (D ) 252x 420•既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的函数是( )(A ) y 二 sin x ( B ) y 二 cos x (C ) y = sin 2 x (D ) y = cos 2 x21. 若两个球的表面积之比为 1: 4，则这两个球的体积之比为( ) (A ) 1: 2(B ) 1: 4(C ) 1:8( D ) 1:1622. 设全集U 二R ，下列集合运算结果为 R 的是( ) (A )Z e u N (B ) N e u N(C )痧(u -)(D ) q{0}(A)(2, -3)(B) (2,3) (C) (-3, 2)(D)(3, 2)17.如果a ::: b ：：：0,那么下列不等式成立的是( )23.已知a、b c己R , “ b2—4ac < 0 ”是“函数f (x) = ax2 +bx + c的图像恒在x轴上方” 的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件24 .已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N .若■ ■—2MN = AN NB，其中■为常数，则动点M的轨迹不可能是（）（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤25. （本题满分7分）如图，在正三棱锥ABC-AB J G中，AA =6，异面直线BG与AA所成角的大小为,626. （本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中.B为直角，AB长40米，BC长50 米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。

2019年上海春考试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，则_________________【答案】【解析】【分析】根据交集的定义，直接求解即可.【详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.2.计算________【答案】2【解析】【分析】将原式转化为，从而得到极限值为.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.3.不等式的解集为______【答案】【解析】【分析】将不等式变为，解不等式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.4.函数的反函数为___________【答案】【解析】【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当时，，即又反函数为：，【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.5.设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．6.已知，当方程有无穷多解时，的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果.【详解】方程有无穷多解两方程相同又本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.7.在的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.8.在中，，且，则____________【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【解析】【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.10.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______【答案】【解析】【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.11.在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】【分析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________【答案】1或【解析】【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，同理可得，无解本题正确结果：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，值域为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.14.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.【详解】设，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立由此可知：当，即时，当时，可得，即可知“”是“”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.15.已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面【答案】B【解析】【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正确结果.【详解】设，且与均不重合假设：，由可得：，又，可知，又，可得：因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面若与或重合，同理可得与相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.16.以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】A【解析】【分析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出，从而得到点的轨迹.【详解】因为同理：又因为，所以则，即设，则为直线本题正确选项：【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在正三棱锥中，（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）分别为中点，可知：与夹角即为与夹角在中，由余弦定理可得：即与的夹角为（2）作面，连接，如下图所示：三棱锥为正三棱锥为的中心且落在上【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.18.已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且（2）由题意可知则且或又【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果.19.已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：. （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.【答案】（1）；（2）2；（3）见解析【解析】【分析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：.【详解】由题意可知：，准线方程为：（1）因为联立方程则（2）当时，易得设，，直线，则联立，由对称性可知亦成立综上所述，存在，使得（3）由可知为中点设，则因为又因所以【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知；明确本质之后即明确了证明方向，对于学生的转化与化归能力要求较高.20.已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.【详解】（1），，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意；当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.。

2019年上海春季高考数学试卷答案真题解析上海春季高考数学试卷答案真题解析2019年上海春季高考数学试卷答案真题解析数学试卷和答案正在整理和发布当中，考生可收藏本页。

稍后公布！！考试及志愿填报2019年上海春季高考录取时间安排及候补资格确认流程填报多久出录取结果及录取查询入口（一）考试内容2019年春季考试由统一文化考试和院校自主测试两部分组成。

（二）统一文化考试1。

统一文化考试科目及计分办法统一文化考试科目为语文、数学、外语3门科目。

语文、数学每科目总分150分。

外语科目考试分为笔试（含听力）和听说测试，笔试（含听力）分值为140分，听说测试分值为10分，总分150分；外语科目的考试语种分设英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语6种，由报考学生任选1种。

统一文化考试成绩总分为450分。

根据本市高考改革相关规定，统一高考外语科目考试实行一年两考，考试时间分别为1月和6月。

其中，1月的外语科目考试即为2019年春季考试外语科目考试。

2。

统一文化考试时间安排2019年1月5日-7日举行全市统一文化考试，各科目考试时间为：语文1月5日9：00-11：30数学1月5日13：30-15：30外语笔试（含听力）1月6日9：00-11：00外语听说测试1月7日8：00起考试时长：语文150分钟，数学120分钟，外语笔试（含听力）120分钟、听说测试20分钟。

统一文化考试均在标准化考场进行。

3。

统一文化考试成绩公布与查询2019年1月28日，考生可登录“上海招考热线”网站（）查询统一文化考试成绩。

市教育考试院于当日公布志愿填报最低控制线。

考生如对统一文化考试成绩有疑问，可于2019年1月29日9：00- 16：00在“上海招考热线”网站申请成绩复核，1月30日12：00起可再次登录该网站查看复核结果。

（三）志愿填报1。

考生统一文化考试成绩总分达到市教育考试院公布的志愿填报最低控制线，方可填报春季考试招生志愿。

其中，应届考生7门科目（思想政治、历史、地理、物理、化学、生命科学、信息科技）的高中学业水平合格性考试成绩须全部合格。

2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,3,5,6A B ==，则A B ⋂=________.2.计算：22231lim 41n n n n -+=-+_________. 3.不等式15x +<的解集为________.4.函数()()20f x x x =>的反函数为__________.5.设i 为虚数单位，365z i i --=+，则z 的值为______.6.已知二元线性方程组22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩有无穷多解，则实数a =_________. 7.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为________. 8.在ABC ∆中，3,3sin 2sin AC A B ==，且1cos 4C =，则AB =______. 9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，则所有不同的安排种数为__________.（结果用数值表示）10.如图，正方形OABC 的边长为()1a a >，函数23y x =的图像交AB 于点Q ，函数12y x -=的图像交BC 交于点P ，当AQ CP +最小时，a 的值为_______.11.已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点，Q 与P 与关于x 轴对称，12F F 、为椭圆的左右焦点，若有121F P F P ⋅≤，则1F P与2F Q 的夹角范围为________.12.已知t R ∈，集合[][],14,9,0A t t t t A =+⋃++∉，若存在正数λ，对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ）【A 】2xy =【B 】12y x =【C 】tan y x =【D 】cos y x =14.已知,a b R ∈，则“22a b >”是“a b >”的（ ）【A 】充分非必要条件【B 】必要非充分条件【C 】充要条件【D 】既非充分又非必要条件15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a 、b 、c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a 、b 、c 不可能是（ ）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面16.平面直角坐标系中，两动圆12O O 、的圆心分别为()()12,0,0a a 、，且两圆均过定点()1,0，两圆与y 轴正半轴分别交于点()()120,0,y y 、，若12ln ln 0y y +=，点1211,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的轨迹为Γ，则Γ所在的曲线可能是（ ）【A 】直线【B 】圆【C 】椭圆【D 】双曲线三、解答题（本大题满分76分）17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正三棱锥P ABC -中，侧棱长为2，底面边长为3，M N 、分别是PB 和BC 的中点.（1）求异面直线MN 和AC 所成角的大小；（2）求三棱锥P ABC -的体积.18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围.19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.（1）计算A B 、的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数() 6.44200.1136357876.60531tf t e -=+，研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.已知抛物线24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线l 上一动点，线段PF 与抛物线交于点Q ，定义()PFd P FQ=. （1）若点P 的坐标为81,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求()d P ；（2）求证：存在常数a ，使得()2d P PF a =+成立；（3）设123,,P P P 为抛物线准线l 上三点，且1223PP P P =，试比较()()13d P d P +与()22d P 的大小.若{}n a 是等差数列，公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足：()*sin ,n n b a n N =∈，记{}*|,n S x x b n N ==∈.（1）设120,3a d π==，求集合S ； （2）设12a π=，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b +=，其中T 为不超过7的正整数，求T 的所有可能值.。

2019年上海市春季高考数学试卷2019.01一. 填空题（本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{3,5,6}B =,则AB =2. 计算：22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 3. 不等式|1|5x +<的解集为 4. 函数2()f x x =(0)x >的反函数为5. 设i 为虚数单位,3i 65i z -=+,则||z 的值为6. 已知二元线性方程组22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩有无穷多解,则实数a =7. 在61()x x+的二项展开式中,常数项的值为 8. 在ABC 中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB =9. 首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动,其 中甲连续参加2天,其余每人各参加1天,问有多少种不同的安排种数 （结果用数值表示）10. 如图,正方形OABC 的边长为a (1)a >,函数23y x =交 AB 于点Q ,函数12y x -=与BC 交于点P ,当||||AQ CP + 最小时,a 的值为11. 已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点,Q 与P 关于x 轴对称,1F ,2F 为椭圆的左右焦点,若有121F P F P ⋅≤,则向 量1F P 与2F Q 的夹角范围为12. 已知t ∈R ,集合[,1][4,9]A t t t t =+++,0A ∉,若存在正数λ,对任意a A ∈. 都有A aλ∈,则t 的值为二. 选择题（本大题共4题,每题5分,共20分） 13. 下列函数中,值域为[0,)+∞的是（ ）A. 2x y =B. 12y x = C. tan y x = D. cos y x = 14. 已知a ,b ∈R ,则“22a b >”是“||||a b >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 已知平面α,β,γ两两垂直,直线a ,b ,c 满足：a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a ,b ,c 不可能是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面16. 平面直角坐标系中,两动圆1O ,2O 的圆心分别为1(,0)a ,2(,0)a ,且两圆均过定点(1,0). 两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y ,2(0,)y ,若12ln ln 0y y +=,点1211(,)a a 的轨迹为Γ. 则Γ所在的曲线可能是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三. 解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分）17. 如图,正三棱锥P ABC -中,侧棱长为2,底面边长为3,M ,N 分别是PB 和BC 的中点. （1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小. （2）求三棱锥P ABC -的体积.18. 已知数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S . （1）若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S .（2）若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围.19. 改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用包 括个人现在支出,社会支出,政府支出,下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金 支出,社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.年份卫生总费用 （亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 2012 28119.00 9656.32 A 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.3433.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 B 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）计算A ,B 的数据,并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占 比和社会支出占比的变化趋势.（2）设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+.研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.20. 已知抛物线24y x =,F 为焦点,P 为准线l 上一动点,线段PF 与抛物线交于点Q . 定义||()||FP d P FQ =. （1）若点P 坐标为8(1,)3--,求()d P .（2）求证：存在常数a ,使得2()||d P FP a =+恒成立.（3）设1P ,2P ,3P 为准线l 上的三点,且1223||||PP P P =,试比较13()()d P d P +与22()d P 的大小.21. 若{}n a 是等差数列,公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足：sin()n n b a =,n ∈*N . 记{|,}n S x x b n ==∈*N . （1）设10a =,23d π=,求集合S . （2）设12a π=,试求d 的值,使得集合S 恰有两个元素.（3）若集合S 恰有三个元素,且n T n b b +=,其中T 为不超过7的正整数,求T 所有可能值.2019年上海市春季高考数学试卷2019.01一. 填空题（本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{3,5,6}B =,则AB =2. 计算：22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 3. 不等式|1|5x +<的解集为 4. 函数2()f x x =(0)x >的反函数为5. 设i 为虚数单位,3i 65i z -=+,则||z 的值为6. 已知二元线性方程组22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩有无穷多解,则实数a =7. 在61()x x+的二项展开式中,常数项的值为 8. 在ABC 中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB =9. 首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动,其 中甲连续参加2天,其余每人各参加1天,问有多少种不同的安排种数 （结果用数值表示）10. 如图,正方形OABC 的边长为a (1)a >,函数23y x =交 AB 于点Q ,函数12y x -=与BC 交于点P ,当||||AQ CP + 最小时,a 的值为11. 已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点,Q 与P 关于x 轴对称,1F ,2F 为椭圆的左右焦点,若有121F P F P ⋅≤,则向 量1F P 与2F Q 的夹角范围为12. 已知t ∈R ,集合[,1][4,9]A t t t t =+++,0A ∉,若存在正数λ,对任意a A ∈. 都有A aλ∈,则t 的值为二. 选择题（本大题共4题,每题5分,共20分） 13. 下列函数中,值域为[0,)+∞的是（ ）A. 2x y =B. 12y x = C. tan y x = D. cos y x = 14. 已知a ,b ∈R ,则“22a b >”是“||||a b >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 已知平面α,β,γ两两垂直,直线a ,b ,c 满足：a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a ,b ,c 不可能是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面16. 平面直角坐标系中,两动圆1O ,2O 的圆心分别为1(,0)a ,2(,0)a ,且两圆均过定点(1,0). 两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y ,2(0,)y ,若12ln ln 0y y +=,点1211(,)a a 的轨迹为Γ. 则Γ所在的曲线可能是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三. 解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分）17. 如图,正三棱锥P ABC -中,侧棱长为2,底面边长为3,M ,N 分别是PB 和BC 的中点. （1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小. （2）求三棱锥P ABC -的体积.18. 已知数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S . （1）若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S .（2）若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围.19. 改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用包 括个人现在支出,社会支出,政府支出,下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金 支出,社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.年份卫生总费用 （亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重（%） 2012 28119.00 9656.32 A 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.3433.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 B 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）计算A ,B 的数据,并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占 比和社会支出占比的变化趋势.（2）设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+.研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.20. 已知抛物线24y x =,F 为焦点,P 为准线l 上一动点,线段PF 与抛物线交于点Q . 定义||()||FP d P FQ =. （1）若点P 坐标为8(1,)3--,求()d P .（2）求证：存在常数a ,使得2()||d P FP a =+恒成立.（3）设1P ,2P ,3P 为准线l 上的三点,且1223||||PP P P =,试比较13()()d P d P +与22()d P 的大小.21. 若{}n a 是等差数列,公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足：sin()n n b a =,n ∈*N . 记{|,}n S x x b n ==∈*N . （1）设10a =,23d π=,求集合S . （2）设12a π=,试求d 的值,使得集合S 恰有两个元素.（3）若集合S 恰有三个元素,且n T n b b +=,其中T 为不超过7的正整数,求T 所有可能值.参考答案一. 填空题1. {3,5}2. 23. (6,4)-4. 1()f x -=(0)x >5. 6. 2- 7. 15 8.9. 24 10. 11. 1[arccos ,]3ππ- 12. 3-或1二. 选择题13. B 14. C 15. B 16. A三. 解答题17.（1）,（2）34. 18.（1）22n S n n =+,（2）3(1,0)(0,)4-. 19.（1）:34.34A ,:11295.41B ,个人现金支出占比逐渐减少,社会支出占比逐渐增多. （2）单调递增,51t =,2028年首次超过12万亿. 20.（1）83,（2）2a =,（3）132()()2()d P d P d P +>.21.（1）{,（2）23d π=或d π=,（3）3,4,5,6.。

上海市2019年春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）（共12题；共54分）1.已知集合 A ={1,2,3,4,5} ， B ={3,5,6} ，则 A ∩B = ________．2.计算 lim n→∞2n 2−3n+1n 2−4n+1= ________．3.不等式 |x +1|<5 的解集为________．4.函数 f(x)=x 2(x >0) 的反函数为________．5.设 i 为虚数单位， 3z̅−i =6+5i ，则 |z| 的值为________6.已知 {2x +2y =−14x +a 2y =a ，当方程有无穷多解时， a 的值为________．7.在 (x √x)6 的展开式中，常数项等于________．8.在 △ABC 中， AC =3 ， 3sinA =2sinB ，且 cosC =14 ，则 AB = ________．9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有________种（结果用数值表示）10.如图，已知正方形 OABC ，其中 OA =a(a >1) ，函数 y =3x 2 交 BC 于点 P ，函数 y =x −12 交 AB 于点 Q ，当 |AQ|+|CP| 最小时，则 a 的值为________．11.在椭圆x24+y22=1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有F1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，则F1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F2Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角范围为________．12.已知集合A=[t,t+1]∪[t+4,t+9]，0∉A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有λa∈A，则t的值是________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）（共4题；共20分）13.下列函数中，值域为[0,+∞)的是（）A. y=2xB. y=x12C. y=tanxD. y=cosx14.已知a、b∈R，则“ a2>b2”是“ |a|>|b|”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面16.以(a1,0)，(a2,0)为圆心的两圆均过(1,0)，与轴正半轴分别交于(y1,0)，(y2,0)，且满足lny1+lny2=0，则点(1a1,1a2)的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）（共5题；共76分）17.如图，在正三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=√3．（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2）求P−ABC的体积．18.已知数列{a n}，a1=3，前n项和为S n．（1）若{a n}为等差数列，且a4=15，求S n；（2）若{a n}为等比数列，且limx→∞s n<12，求公比q的取值范围．19.改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．绝对数（亿占卫生总费用比重占卫生总费用比重绝对数（亿占卫生总费用比重（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设t=1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数f(t)=357876.60531+e6.4420−0.1136t研究函数f(t)的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20.已知抛物线方程y2=4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|．（1）当P(−1,−83)时，求d(P)；（2）证明：存在常数a，使得2d(P)=|PF|+a；（3）P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|=|P2P3|，判断d(P1)+d(P3)与2d(P2)的关系．21.已知等差数列{a n}的公差d∈(0,π]，数列{b n}满足b n=sin(a n)，集合S={x|x=b n,n∈N∗}．（1）若a1=0,d=2π3，求集合S；（2）若a1=π2，求d使得集合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：b n+T=b n，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．答案解析部分一、<b >填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.【答案】 {3,5} 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解： 集合 A ={1,2,3,4,5} ，B ={3,5,6} ， ∴A ∩B ={3,5} ． 故答案为： {3,5} ．【分析】利用交集的运算法则结合已知条件求出集合A ∩B . 2.【答案】 2【考点】极限及其运算 【解析】【解答】解： lim n→∞2n 2−3n+1n 2−4n+1=limn→∞2−3n +1n 22−4n +1n 2=2 ．故答案为：2．【分析】利用求极限的方法求出数列的极限值。