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第2课时集合的表示学习目标 1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．知识点一列举法把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法叫作列举法．思考一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？答案不需要，集合元素具有无序性．知识点二描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x 满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．思考不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？答案元素的共同特征为x∈R，且x<5.知识点三有限集、无限集、空集含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.知识点四区间1．区间概念(a，b为实数，且a<b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考区间能表示空集吗？答案不能，因为区间[a，b]((a，b))中a<b.1．由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(×)2．集合{(1,2)}中的元素是1和2.(×)3．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(√)4．{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．(×)一、用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合．解(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．(学生留)反思感悟用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合：(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合；(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴的交点组成的集合．解(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1,2}．(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}． (4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫12，0，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0.二、用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)使y ＝1x －6有意义的实数x 的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合；(3)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合； (4)方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0(m ∈Z )的解组成的集合． 解 (1)要使y ＝1x －6有意义，则x －6≠0，即x ≠6，故满足题意的实数x 的集合是{x ∈R |x ≠6}．(2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同，因此满足题意的点的集合是{(x ，y )|xy >0，x ∈R ，y ∈R }．(3)满足题意的点的集合是{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈R }． (4)方程的解组成的集合是{x |x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0，m ∈Z ，x ∈R }． (学生)反思感悟 利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合的代表元素．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内． (3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写． (5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素．如{直角三角形}，{自然数}等． 跟踪训练2 用描述法表示下列集合： (1)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，解得x ＝2，y ＝－3. 所以方程的解集为{(x ，y )|x ＝2，y ＝－3}．(2)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}． 三、集合表示法的综合应用例3 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集： (1)大于1且小于70的正整数构成的集合； (2)方程x 2－22x ＋2＝0的实数解构成的集合；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集．解 (1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A ，则集合A 中有68个元素，是有限集，用描述法表示为A ＝{x ∈N |1<x <70}．(2)设方程x 2－22x ＋2＝0的实数解构成的集合为B ，因为Δ＝8－8＝0，所以该方程有2个相等的实数解，即集合B 中存在1个元素，则B 是有限集．用描述法表示为B ＝{x |x 2－22x ＋2＝0}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝4，y ＝－2，也可用列举法表示为{(4，－2)}，是有限集．反思感悟 (1)如果集合中的元素比较少或所含元素不易表述，宜用列举法． (2)如果集合中的元素比较多或有无限个元素，宜用描述法． 跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解构成的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．解 (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2){x |x ＝2n ＋1且x <1 000，n ∈N }． (3){x |x >8}． (4){1,2,3,4,5,6}．1．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}答案 B解析 方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B 正确． 2．下列四个集合中，是空集的是( ) A ．{0}B ．{x |x >8或x <5}C ．{x ∈R |x 2＋1＝0}D ．{x ∈N |3.5<x <4.5}答案 C解析 选项A ，B ，D 都含有元素，而选项C 中无元素，故选C. 3．集合{x ∈N ＋|x <5}的另一种表示法是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}答案 B解析 N ＋是正整数组成的集合．4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________________． 答案 {x |x ＝2n ，n ∈N ＋}解析 正整数中所有的偶数均能被2整除．5．用列举法表示集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，86－x ∈N ＝________.答案 {5,4,2，－2} 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ，∴6－x ∈{1,2,4,8}，此时x ∈{5,4,2，－2}，即A ＝{5,4,2，－2}．1．知识清单：(1)用列举法和描述法表示集合．(2)两种表示法的综合应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：点集与数集的区别．1．集合{2,4,6,8,10}用描述法表示出来应是()A．{x|1<x<10}B．{x|2≤x≤10}C．{x|x≤10，x∈N}D．{x|x＝2n，n∈N,1≤n≤5}答案 D解析集合{2,4,6,8,10}用描述法表示出来应是{x|x＝2n，n∈N,1≤n≤5}，故选D.2．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．－2∈A B．1∉A C．－3∈A D．0∈A答案 D解析∵0>－1，故0∈A，选D.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，用自然语言描述M应为()A．满足y＝x2的所有函数值y组成的集合B．满足y＝x2的所有自变量x的取值组成的集合C．函数y＝x2图象上的所有点组成的集合D．以上均不对答案 A解析由于集合M＝{y|y＝x2}的代表元素是y，而y为函数y＝x2的函数值，则M为满足y＝x2的所有函数值y组成的集合．4．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}答案 B解析{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，故选B.5．(多选)下列结论不正确的是()A ．集合{x ∈R |x 2＝1}中有两个元素B ．集合{0}中没有元素 C.13∈{x |x <23}D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合 答案 BCD解析 {x ∈R |x 2＝1}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x |x <23}＝{x |x <12}，13>12，13∉{x |x <23}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．6．已知集合A ＝{x | 3x －7<0，x ∈N ＋}，用列举法表示集合A ＝__________ 答案 {1,2}解析 因为A ＝{x |3x －7<0，x ∈N ＋}，所以A ＝{1,2}．7．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________________． 答案 {a |a ≤－2} 解析 ∵1∉{x |2x ＋a >0}， ∴2×1＋a ≤0，即a ≤－2. 8．下列六种表示方法： ①{x ＝1，y ＝4}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4； ③{1,4}； ④(1,4)； ⑤{(1,4)}；⑥{x ，y |x ＝1或y ＝4}．其中，能表示“一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合”的是________(把所有正确答案的序号填在横线上)． 答案 ②⑤9．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集；(6)不等式2x －1>5的解集．解 (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){a |a 是梯形}或{梯形}． (4){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (5){1,2}． (6){x |x >3}．10．设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3,1}，试用列举法表示集合B .解 集合A 中的方程为x 2－ax ＋b －x ＝0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0. 因为A ＝{－3,1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两根为－3,1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3.所以集合B 中的方程为x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±23， 所以B ＝{－3－23，－3＋23}．11．已知P ＝{x |2<x ≤k ，x ∈N }，若集合P 中恰有4个元素，则( ) A ．6<k <7 B ．6≤k <7 C ．5<k <6 D ．5≤k <6答案 B解析 ∵P ＝{x |2<x ≤k ，x ∈N }，且集合P 中恰有4个元素， ∴P ＝{3,4,5,6}，∴6≤k <7.12．(多选)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素可以为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 ABCD解析 1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M 中有4个元素．13．已知集合M ＝{x |x ＝3n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }，且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P ，若d ＝a －b ＋c ，则( ) A ．d ∈M B ．d ∈N C ．d ∈P D ．d ∈M 且d ∈N答案 B解析 由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2，令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选B.14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A ＝ {－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一) 答案 不是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12解析 由于2的倒数12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．若一个元素a ∈A ，则1a ∈A .若集合中有三个元素，故必有一个元素a ＝1a ，即a ＝±1，故可取的集合有⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，3，13等．15．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．15答案 B解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M 中的元素是有序数对(a ，b )，所以集合M 中的元素共有17个，故选B.16．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈N ，62＋x ∈N .(1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B .解 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，所以1∈B ,2∉B .(2)因为62＋x ∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2,3,6， 所以x 只能取0,1,4， 所以B ＝{0,1,4}．。
