解三角形练习题(含答案)

第一章 解三角形1．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 答案 C2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >AD ．C >A >B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C >B >A . 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．43C ．4 6 D.323解析 A ＝45°，由正弦定理，得b ＝a sin B sin A 答案 C4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( ) A.833 B.2393 C.2633 D ．2 3解析 利用正弦定理及比例性质，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin60°＝332＝2 3. 答案 D 5．若三角形三边长之比是1:3:2，则其所对角之比是( )A ．1:2:3B ．1: 3 :2C ．1: 2 : 3 D. 2 : 3 :2 解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cos A ＝a 2＋(3a )2－(2a )22·a ·3a＝0， ∴A ＝90°. 设最小角为B ，则cos B ＝(2a )2＋(3a )2－a 22·2a ·3a＝32， ∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1:2:3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．解的个数不确定解析 由b sin B ＝a sin A ，得sin B ＝b sin A a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解． 答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 根据正弦定理，原式可化为2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b )·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b )b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2 ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sin C ＝32.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35解析 由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案 D10．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析 由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32 km解析 如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋23C ．4－2 3 D.6－ 2解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bc cos A ＝b 2－2b (6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22(32－12)＝14(6－2)，∴b 2－2b (6＋2)cos75°＝b 2－2b (6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝b sin C sin B ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)． 答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 解析 由B ＝A ＋60°，得sin B ＝sin(A ＋60°)＝12sin A ＋32cos A .又由b ＝2a ，知sin B ＝2sin A .∴2sin A ＝12sin A ＋32cos A 即32sin A ＝32cos A .∵cos A ≠0，∴tan A ＝33.∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 答案 30°15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝________，AB ＝________.解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sin B ∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8.答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c ) : (c ＋a ) : (a ＋b )＝8:9:10，则sin A :sin B :sin C＝________.解析 设⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a :b :c ＝11:9:7.∴sin A :sin B :sin C ＝11:9:7. 答案 11:9:717．(10分)在△ABC 中，若a 2b 2＝sin A cos B cos A sin B ，判断△ABC 的形状．解 依据正弦定理，得a 2b 2＝a b ·cos B cos A ，所以a cos A ＝b cos B .再由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，因为2A,2B ∈(0,2π)，故2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π.从而A ＝B ，或A ＋B ＝π2，即△ABC 为等腰三角形，或直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B )－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．分析 (1)要求AD 的长，在△ABD 中，AB ＝126，B ＝45°，可由正弦定理求解；(2)要求CD 的长，在△ACD 中，可由余弦定理求解．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝12 6，由正弦定理，得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24(nmile)． (2)在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos30°.解得CD ＝83(nmile)．∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile.20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.又由AB →·AC→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5. 因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1，或b ＝1，c ＝5.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20.∴a ＝2 5.21．(12分)在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域；(2)求y 的最大值．解 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝π3，B >0，C >0，得0<B <2π3.应用正弦定理，得AC ＝BC sin A ·sin B ＝23sin π3·sin x ＝4sin x .AB ＝BC sin A sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x . ∵y ＝AB ＋BC ＋CA ，∴y ＝4sin x ＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <2π3. (2)y ＝4(sin x ＋32cos x ＋12sin x )＋2 3 ＝43sin(x ＋π6)＋2 3. ∵π6<x ＋π6<5π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y 取得最大值6 3.22．(12分)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C . (1)求A ，C ；(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .解 (1)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B， 即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B， 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6，或B －A ＝5π6(舍去)．得A ＝π4，B ＝5π12. 所以A ＝π4，C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 32. 得a ＝22，c ＝2 3.。

一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A ．B ． C． D ．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A ． B． C ．或 D ．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B ． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A ．B ． C． D ．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A ．B ．C ．或D ．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A ．B ．C ． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （A ．B ．C ． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B ． C． D ．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B ． C ． D ．19、（）A. B.C.D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C 、D 、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D ．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A ＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c ，若，则A= 。

解三角形练习题及答案1.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2.△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=ccosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4.在△ABC中，若•=•=•，则该三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5.在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形6.在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若==则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形8.在△ABC中，P是BC边中点，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形但不一定是等边三角形9.在△ABC中，若（b﹣bcosB）sinA=a（sinB﹣sinCcosC），则这个三角形是（）A．等腰直角三角形B．底角不等于45°的等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．锐角不等于45°的直角三角形10.在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．非等边锐角三角形D．钝角三角形12.若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形14.在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．1016.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．15米B．15米C．15（+1）米D．15米17.在△ABC中，已知AB=4，cosB=，AC边上的中线BD=，则sinA=（）A． B．C． D．18.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（）A．9 B．9C．6D．619.在△ABC中，如果cos（B+A）+2sinAsinB=1，那么△ABC的形状是．20.给出下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形；②在△ABC中，若cosA•tanB•cotC＜0，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，若sinA•sinB＜cosA•cosB，则△ABC是钝角三角形；④在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形．其中正确的命题序号是．21.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为．22.在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为．23.在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．24.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）若b=2，求c边的长；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．25.设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，=，=若，共线，请按以下要求作答：（1）求角A的大小；（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．26.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠BCD=75°，∠CDB=45°，求炮兵阵地与目标的距离．27.在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离？28.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．【答案】1-5BDCDB 6-10CBACB 11-15BDAAB 16-18DAD 19.等腰三角形20.①②③21.222.7+23.解：（1）由=，可得cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）=1﹣cos2C，cos（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB可知b2﹣a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；（2）由正弦定理化简==sinA+sinC=sinA+cosA=sin（A+45°），∵≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，）即1＜sin（A+45°），则的取值范围是（1，]．24.解：（I）由正弦定理得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即a2﹣b2=c2﹣bc因为a=2且b=2，所以解得：c=2．（II）由（I）知，则A=60°因为a=2，∴b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，∴，此时三角形是正三角形25.解：（1）∵∥，∴sinA•（sinA+cosA）﹣=0．∴+sin2A﹣=0，即sin2A﹣cos2A=1，即sin（2A﹣）=1，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，A=．（2）由余弦定理得：4=b2+c2﹣bc，又S△ABC=bcsinA=bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）∴S△ABC=bcsinA=bc≤×4=．当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=，∴此时△ABC为等边三角形．26.解：∠CBD=180°﹣∠CDB﹣∠BCD=180°﹣45°﹣75°=60°，在△BCD中，由正弦定理，得：BD==．在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos105°=3+（）2﹣2×××=5+2．∴AB=．27.解：在ABD中，∴，∵A+B+C=π，∴，所以a2=b2+c2﹣2bc•cosA，△ABD为为等腰三角形，即在中，∴bc=4，∴，由于∠ACB=30°，由正弦定理可得，计算得；在△ACD中，∠DAC=75°，，AD=50，根据余弦定理可得=28.解：（1）在△CDE中，CD==，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE===；（2）设CD=a，在△ACE中，=，CE==（）a，在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1，则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1．。

一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A． B． C．或 D．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A． B． C． D．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A． B． C． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （ A． B． C． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B． C． D．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B． C． D．19、（）A. B. C. D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C、 D、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1 B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则A= 。

解三角形练习（提升）（含答案）一、选择题1、在△ABC 中，a, b, c 分别是内角 A , B , C 所对的边，若 c cos A b ，则△ABC 形状为 CA.一定是锐角三角形 B . 一定是钝角三角形C . 一定是直角三角形D . 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形2、在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac , 则角 B 的值为（D ）A. B. C.或6 3 6 56D.3或233、在△ABC中，AB 3 ，A 45 ，C 75 ，则BC （Ａ）Ａ．3 3 Ｂ． 2 Ｃ．2Ｄ．3 34、在ABC 中，02 xA 60 ，且最大边长和最小边长是方程x 7 11 0的两个根，则第三边的长为（ C ）A．2 B．3 C．4 D．55、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 DA、b 10, A 45 ,C70B、a 60, c 48, B 60C、a 7,b 5,A 80D、a 14, b 16, A 456、长为5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( B )A 90°B 120°C 135°D 150°二、填空题：7、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD ,2 A B 3BD ,BC 2BD ，则s in C 的值为___________。

6 68、如图，△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= 2 3 ，点D 在BC 边上，∠ADC=4°5，则AD 的长度等于______。

解析：在△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= 2 3 中，ACB ABC 30 ，而∠ADC=4°5，AC ADsin 45 sin 30, AD 2 ,答案应填 2 。

9、在△ABC中，若tan1A ，C 150 ，BC 1，则AB .3110答案210、在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则AC的值等于________，AC 的取值范围为________．cos A解析：由正弦定理BC＝sin AAC，则sin BAC＝cos ABC s in B＝sin Acos A2BCsin Bsin 2A＝2.由A＋B＋C＝π得3A＋C＝π，即C＝π－3A.π0< A<2由已知条件：π0<2 A<2，解得ππ<A< .由AC＝2cos A 知2<AC< 3.6 4π 0<π－3A<2答案：2 ( 2，3)三、解答题：11、在△ABC 中，内角A，B，C 对边的边长分别是a，b，c ，已知c 2，C ．3 （Ⅰ）若△ABC的面积等于 3 ，求a，b ；（Ⅱ）若sin B 2sin A，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理得， 2 2 4a b ab ，又因为△ABC的面积等于 3 ，所以12ab sin C 3 ，得ab 4．联立方程组2 2 4a b ab，解得a 2，b 2．ab 4，（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为 b 2a，联立方程组2 2 4a b ab，解得b 2a，2 3a ，34 3b ．3所以△ABC的面积 1 sin 2 3S ab C ．2 312、在ABC中，若c osB b cosC 2a c（1）求角B的大小（2）若b 13 ，a c 4，求ABC的面积2 a2c2b解：（1）由余弦定理得2a 2ac2b2cb2a c2 2 2化简得： a c b ac2ab2∴2 2 2a cb ac 1cos B∴B＝120°2ac 2ac 22 2 2（2）b a c 2ac cos B 2 ac ac1∴13 (a c) 2 2 ( )2∴ac＝3 ∴S ABC 12ac sin B3 3413、某市电力部门某项重建工程中，需要在A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距 3 km的C 、D 两地（假设A、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠A CB 75 ，BCD 45 ，ADC 30 ，ADB 45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B 距离的43倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？A解：在ACD 中，由已知可得，CAD 30B 所以，AC 3km⋯⋯⋯754545在BCD 中，由已知可得，CBD 6030CDsin 75 sin(45 30 ) 6 2 4由正弦定理，BC 3 sin 75 6 2 sin 60 2cos 75 cos(45 30 ) 6 2 4在ABC中，由余弦定理 2 2 2 cosAB AC BC AC BC BCA2 6 2 2 6 23 ( ) 2 3 cos75 52 2所以，AB 5 施工单位应该准备电线长4 53.答：施工单位应该准备电线长435 km.3。

解三角形练习题及答案解三角形练习题及答案解三角形，是指已知三角形的几个元素求其他元素的过程。

一般地，把三角形的.三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。

一起看看下面的解三角形练习题及答案吧！1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinAsinBsinC＝abc。

其中正确的个数是（）A．1 B．2C．3 D．4解析①②③不正确，④⑤正确．答案 B2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝（）A．43 B．23C．3 D．32解析由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即AC＝BCsinBsinA＝32×sin45°sin60°＝23。

答案 B3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于（）A．6－22 B．6＋22C．2＋1 D．3－2解析由正弦定理，得sinC＝csinBb＝sin45°2＝12，又b>c，∴C＝30°，从而A＝180°－（B＋C）＝105°，∴a＝bsinAsinB，得a＝6＋22。

答案 B4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形解析利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．答案 B5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B等于（）A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析∵3a＝2bsinA，∴3sinA＝2sinBsinA。

解三角形习题及答案一、选择题(每题5分，共40分）1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ）． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°2、在△ABC 中，下列等式正确的是（ )．A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin BC ．a ∶b ＝sin B ∶sin AD ．a sin A ＝b sin B3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2C ．1∶4∶9D ．1∶2∶34、在△ABC 中,a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°,则c 等于( ）．A ．25B ．5C ．25或5D ．10或55、已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6,b ＝4,那么满足条件的△ABC 的形状大小( ）．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形 6、在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为︒︒-︒︒A.23- B 。

21- C 。

21D 。

238、化简1tan151tan15+-等于 ( ）AB．2C ．3D ．1二、填空题（每题5分,共20分）9、已知cos α－cos β=21,sin α－sin β=31，则cos （α－β)=_______．10、在△ABC 中,∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A cb a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ．班别: 姓名： 序号： 得分：9、10、11、12、 三、解答题13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．14、（14分)已知21)tan(=-βα，71tan -=β，求)2tan(βα-的值15、（16分）已知x x x x f cos sin 32cos 2)(2-=,(1）求函数)(x f 的取最小值时x 的集合; （2）求函数单调增区间及周期。

解三角形基础练习题(含答案)解三角形基础练题（含答案）一、选择题：1.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b的值为（C）32/32.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（B）43/463.在△ABC中，a-c+b=ab，则C=（A）60°4.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=32，则AC=（B）235.已知△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c。

若a=c=6+2且∠A=75°，则b=（D）6-26.若△ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（D）11/167.在△ABC中，若sinA+sinB<sinC，则△ABC的形状是（A）钝角三角形二、填空题：8.在△ABC中，若a=3，b=3，∠A=π/3，则∠C的大小为90°。

9.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=3，则AC=2.10.设△ABC的内角A=π/4，B、C的对边分别为a、b、c，且a=1，b=2，则sinB=15/4.11.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=2，则c=3π/4（或135°）。

12.在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a+b-c+2ab=3π/4，则角C的大小为π/4（或45°）。

13.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a=2,b=3，则sinA/2=sin(A+C)/3.14.若△ABC的面积为3，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于2.解析：根据海伦公式，s=(a+b+c)/2，代入已知条件可得s=3.再根据面积公式，S=1/2×b×c×sinA，代入已知条件可得1/2×2×c×sin60°=3，解得c=4.由此可得边AB的长度为2.Ⅰ）将2sinBcosA sinAcosC cosAsinC化为sin2B=sinA(sinC+cosC)，再利用正弦定理和余弦定理，得到：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为△ABC的外接圆半径）代入sin2B=sinA(sinC+cosC)中，化简得cosA=1/2，即A=π/3.Ⅱ）由余弦定理可得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2，代入b=2，c=1中得a=√3.因为D为BC的中点，所以AD平分∠A，即AD垂直于BC，且AD=√3/2.。

解三角形练习题一、选择题1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（）A ．3π B ．6πC ．32πD ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,108、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形9、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是()A ．2>xB ．2<xC ．3342<<x D ． 3342≤<x 10、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23B ．43C ．23或3 D ．43 或23 12、已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°13、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．142C ．15D ．15214、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A ． 450a 元B ．225 a 元C ． 150a 元D ． 300a 元15、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A ．7150分钟 B ．715分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟16、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（ ） A ． 5000米B ．50002 米C ．4000米D ．24000 米17、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为（ ）A ．641B ．321 C ．161 D ．81 18、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．819、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A ．51<<x B ．135<<x C ．50<<x D ．513<<x20、在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形 二、填空题21、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 22、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝23、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ 24、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是25、已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 26、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是20米30米150°三、解答题27、在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

解三角形单元测试题一、选择题：1、在△ABC 中，a＝3，b＝7 ，c＝2，那么 B 等于（）A ．30°B．45°C．60° D ．120°）2、在△ABC 中，a＝10，B=60 °,C= 45°, 则c 等于（A ．10 3B．10 31C． 3 1 D ．10 33、在△ABC 中，a＝2 3，b＝2 2 ，B＝45°，则 A 等于（）A ．30°4、在△ABCA ．无解B．60°C．30°或120° D ．30°或150°中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（）B．一解C．二解 D ．不能确定a 2b 2 c2 bc ，则角为（）A5、在△ABC 中，已知2 323或A ．B．C． D ．363）中，若a cos A bcosB ，则△ABC6、在△ABC 的形状是（A ．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形）7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a 的范围是（8 ,10 8 ,10 10 ,8A ．8,10 B．C． D ．2sin AcosB B．等腰三角形sin C ,那么△ABC8、在△ ABC 中，已知A ．直角三角形一定是() C．等腰直角三角形 D ．正三角形9、△ ABC 中，已知a x, b 2, B 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( )4 34 3A ．x 2B．x 2C．2 x 32x 3D ．sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①a : b : c 4 : 5 : 610、在△ABC 中，周长为7.5cm，且a :b :c 2 : 5 : 6a2cm, b 2.5cm,c 3cm A : B : C 4 : 5 : 6②③④其中成立的个数是A ．0 个() B．1 个C．2 个 D ．3 个AB 3 , AC 1, ∠A＝30°，则△11、在△中，ABC 面积为（）ABC3 2343234323或 D ．A ．B．C．或3 2，且 b 2,c 3 ，则∠ A 等于 （）12、已知△ ABC 的面积为A ． 30°B ． 30°或 150°C ． 60°D ． 60°或 120°13、已知△ ABC 的三边长 a3,b 5, c 6 ，则△ ABC 的面积为 （）A ． 14B ． 2 14C ． 15D ． 2 15A14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空 15020 米30 米地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元， 则 购买这种草皮至少要（）C ． A ． 450a 元 15、甲船在岛 B ． 225a 元 B 的正南方 150a 元D ． 300a 元 BCA 处，AB ＝ 10 千米，甲船以每小 B 出发以每小时 时 4 千米的速度向正北航行，同时乙船自6 千米的速度向北偏东 ）60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（150 715 7分钟 B ．分钟 C ． 21.5 分钟D ． 2.15 分钟A ．16、飞机沿水平方向飞行，在 A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为 30°，向前飞行10000 米，到达 B 处，此时测得目标 C 的俯角为 75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（）B ． 5000 2 sin10 °，b D ． 4000 2 A ． 5000 米 米C ． 4000 米 米中，asin 50 °，∠ C ＝ 70°，那么△ 17、在△ ABC ABC 的面积为（1 8）1 64132116A ．B ．C ．D ．10 3 ， A ＝60°，则 BC 边的长是（ 18、若△ 的周长等于 20，面积是 ）ABC A ． B ． 6 C ． 7 2、 3、 x ，则 D ． 8 x 的取值范围是（5 19、已知锐角三角形的边长分别为）A ． 1x 5 B ． 5x 13 C ． 0 x 5 13 x 5D ． cos A acos B bsin C c20、在△ ABC 中，若，则△ ABC 是（ ）A ．有一内角为 C ．有一内角为 30°的直角三角形 30°的等腰三角形B ．等腰直角三角形 D ．等边三角形二、填空题a: b : c 21、在△ 中，若∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3, 则 ABC 中， a3 3 , c 2, B 22、在△ 150°，则 b ＝ABC 中， A ＝ 60°， B ＝ 45°， a b 12 ，则 a ＝23、在△ ；b ＝ABC24、已知△ ABC 中，a181,b 209, A 121°，则此三角形解的情况是1 和 3 ，第三边上的中线长为25、已知三角形两边长分别为1，则三角形的外接圆半径为.ABC 中， b c : c a : a b 4 : 5 : 6 ，则△26、在△ABC 的最大内角的度数是三、解答题20 3，5 的27、在△ ABC 中，已知AB 10 2 ，A ＝45°，在BC边的长分别为3 20，情况下，求相应角C。

解三角形练习题【1】1.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形2.在△ABC 中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为A ．38B ．37C ．36D ．353.有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=- 3p : ∀x ∈[]0,π1cos 2sin 2x x -=4p : sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中假命题的是 （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p4．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若31sin =A ，B b sin 3=，则a 等于．5.在△ABC 中，已知边10c =, cos 4cos 3A bB a ==，求边a 、b 的长。

6.已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．7．已知△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，其中2=c ，又向量m )cos ,1(C =，n )1,cos (C =，m ·n =1．（1）若45A =︒，求a 的值；（2）若4=+b a ，求△ABC 的面积．8.已知：△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=.(1)求角C 的大小；(2)若,,a c b 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求c 边的长.9.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= . （1）求角A 的大小； （2）若3a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆的形状.10．在ABC ∆中，54sin ,135cos =-=B A . （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC ∆的面积．11..已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[π∈x⑴求)(x f 的最大值及此时x 的值；⑵求)(x f 在定义域上的单调递增区间。

一、选择题1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝b，则角A等于()A． B． C． D．2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定二、填空题3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC面积的最大值为________．4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos 2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．5.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin A cos A－sin B cos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A＝，求△ABC的面积．7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sin A sin B＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．8.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝－3bcosA，tanC＝.(1) 求tanB的值；(2) 若c＝2，求△ABC的面积．9.在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos C＋c＝b.(1) 求角A的大小；(2) 若a＝，b＝4，求边c的大小．10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．（1）求角的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．11.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．13.如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．答案解析1.【答案】A【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理可得，2a sin B＝b可化为2sin A sin B＝sin B，又sin B≠0，所以sin A＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.2.【答案】B【解析】本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，∴A ＝，故选B3.【答案】【解析】∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴＝＝＝cos A，∴A＝60°.∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.4.【答案】【解析】因为4sin2－cos 2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cos C－2cos2C＋1＝，cos2C－cos C＋＝0，解得cos C＝.根据余弦定理，有cos C＝＝，则ab＝a2＋b2－7，故3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，所以ab ＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝ab sin C＝×6×＝.5.【答案】【解析】题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得，BD＝＝＝.6.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由题意得－＝sin 2A－sin 2B，即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，sin＝sin.由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.由a<c，得A<C，从而cos A＝，故sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝，所以，△ABC的面积为S＝ac sin B＝.7.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sin A sin B＝2＋，化简得－2cos A cos B＋2sin A sin B＝，故cos(A＋B)＝－，所以A＋B＝，从而C＝.(2)因为S△ABC＝ab sin C，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得c＝.8.【答案】（1）；（2）.【解析】(1) 由正弦定理，得sinC＝－3sinBcosA，即sin(A＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB＋cosAsinB＝－3sinBcosA.从而sinAcosB＝－4sinBcosA.因为cosAcosB≠0，所以＝－4.又tanC＝－tan(A＋B)＝，由(1)知，＝，解得tanB＝.(2) 由(1)，得sinA＝，sinB＝，sinC＝.由正弦定理，得a＝＝＝.所以△ABC的面积为acsinB＝××2×＝.9.【答案】（1）；（2）2±.【解析】(1) 用正弦定理，由a cos C＋c＝b，得sin A cos C＋sin C＝sin B.∵ sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，∴sin C＝cos A sin C.∵ sin C≠0，∴ cos A＝.∵ 0<A<π，∴A＝.(2) 用余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A.∵a＝，b＝4，∴ 15＝16＋c2－2×4×c×.即c2－4c＋1＝0.则c＝2±.10.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，由正弦定理得，即=sin(A+C) ．因为B＝π－A－C，所以sin B=sin(A+C)，所以．因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以，因为，所以．（2）由（1）知，所以，．设，则，又在△AMC中，由余弦定理得即解得x＝2.故11.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.(2)由S＝bc sin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sin B sin C＝sin A·sin A＝sin2A＝×＝.12.【答案】（1）；（2）【解析】(1)因为0＜A＜π，cos A＝，得sin A＝＝.又cos C＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝cos C＋sin C.所以tan C＝.(2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝.于是sin B＝cos C＝.由a＝及正弦定理＝，得c＝.设△ABC的面积为S，则S＝ac sin B＝.13.【答案】（1）（2）7【解析】(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B ＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.。

1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，，且sin cos 0a B b A -=．〔1〕求角A 的大小：〔2〕假设a =，2b =．求ABC △的面积．2.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=．〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设a =ABC ∆，求b c +的值． 3.〔12分〕在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为5,,,cos cos 3a b c c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.〔1〕求cos B 的值；〔2〕假设2,cos 17a C ABC ==-∆的外接圆的半径R. 4在中，内角，，的对边分别为，，，且.〔1〕求；〔2〕假设，，为边上一点，且，求的长. 5．在ABC △内，角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且()cos cos cos b A c B c a B -=-．〔1〕求角B 的值；〔2〕假设ABC △的面积为b =ac +的值．6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=.〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为a .1．【答案】〔1〔2〕4． 【解析】〔1〕在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．······1分 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，ABC ∆A B C a b c cos cos 2cos c B b C a A +=A 2a =2sin sin sin B C A =D BC 13BD BC =AD所以sin cos 0A A -=，···········3分···········4分 又因为()0,πA ∈，所以···········6分 〔2〕在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，···········7分即2160c -=．···········8分解得c =-c =···········10分所以1242S =⨯⨯=．···········12分 2.解：(1)由及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A ≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2)11sin 2242ABC S bc A bc ===∴=又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc=+-∴=+-+所以，2()4, 2.b c b c +=+=．4.解：〔1〕∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴，∴. 〔2〕∵，，∴.由，得，∴，又，∴.cos cos 2cos c B b C a A +=sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=()sin 2sin cos B C A A +=sin 2sin cos A A A =()0,A π∈sin 0A ≠1cos 2A =3A π=2a =2sin sin sinBC A =24bc a ==2222cos a b c bc A =+-2244b c =+-228b c +=4bc =2b c ==那么为等边三角形，且边长为，∴. 在中，，，，由余弦定理可得. 5．【答案】〔1〕3B π=；〔2〕7． 【解析】〔1〕∵()cos cos cos b A c B c a B -=-．∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-．···········1分∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=．()sin 2sin cos A B C B ∴+=．···········3分 又++=πA B C ，∴()sin sin A B C +=．···········4分又∵0<<πC ，1cos 2B ∴=．··········5分 又()0∈π，B ，3π∴=B ．··········6分 〔2〕据〔1〕求解知3π=B ，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．①··········8分又1sin 2S ac B ==·········9分 ∴12ac =，②··········10分 又13b =，∴据①②解，得7a c +=．··········12分6.〔1〕由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=. 〔2〕由正弦定理simA sin sin a b cBC ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a C c A=， 所以1sin 2ABC S bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A =⋅⋅2sin sin 2sin a B C A ==又3sin sin 8B C =，sin 2A =，∴28a =4a =.ABC ∆223BD =ABC ∆2AB =23BD =3B π=AD =。

解三角形练习（测试）题1.R t △ABC 是一防洪大堤背水坡的截面图，斜坡AB 长为12m,,它的坡角为45°，为了提高防洪能力，现将背水坡AD 的坡度改为32，则BD 长为 2.如图，某市在城区改造中，计划在一块三角形的空地上种植某种草皮美化环境，已知这种草皮的售价为a 元／㎡，AB=20m,AC=24m,∠BAC=150°,则购买这种草皮至少得 元。

3.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB = 米．4.如图河对岸有一古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进20ｍ到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，则塔高为 米。

5.一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距 海里。

6.如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，则CD ∶DB= . 7.如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP =2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°，cos15°) 8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：3，则tan ∠BCD= 。

8.9.计算：sin60°+sin45°+︒-︒30tan 60tan 1= ． 1sin 60cos302-= ． 10.已知α为锐角，且tan （90°－α）＝3，则α的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°A CB D 第1题 CA B 第2题 A B C 第3题 _ A _ B _ D _ C 第4题 第5题 第6题第7题 第8题 C BD11.在Rt △ABC 中， ∠C =90︒，AB =4，AC =1，则cos A 的值是 ( )AB ．14CD ．４ 12.如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°,∠B=30°，BC=1，则BB ’的长为（ ）A ．4B ．33 C ．332 D ．334 13.如图，在Ｒt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,E 为AB 上一点且AE ：EB ＝4：1,EF ⊥AC 于F ，连结FB ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）A ＢＣＤ14.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S △ABC ，小颖画的三角形面积记作S △DEF ，那么你认为（ ）．A ．S △ABC >S △DEFB ．S △ABC <S △DEF C ．S △ABC =S △DEFD ．不能确定15.王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60 o , 又知楼房与大树的水平距离为10m ，楼高AB=24m ，则树高CD 为( )A ．()31024-mB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-331024mC ．()3524-m D ．9m 16．计算：⑴cos 230°-tan60°·sin45°+sin 230° ⑵01)41.12(45tan 32)31(-++---⑶ 1tan 45-． 32cos458-+17.已知，如图，∠ABC=∠BCD=90°，AC=15，sinA=54，BD=20， 求∠D 的三个三角函数值。

解三角形一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。