湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点

湘教版八年级数学上册知识点【七篇】分式知识点1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

2、通分：利用可分的基本性质，或使分子和核酸分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个定出分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般数学模型数学方法是：(1)如果各分母都是合数，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的次幂、所有各异字母及指数的积。

(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母辩证法的基本原理，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子组分和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式分式变形叫做分式的约分便。

在约分时要注意：(1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的公约数，并不相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式尚须就更须分解因式，然后看清它们认清的公因式再约分;(3)约分以一定要把公因式约完。

实数知识点1、实数的分类：有理数和无理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上点一一对应.3、相反数：符号各不相同的两个数，叫做互为相反数.a的相反数是-a，0的相反数是0.(若a与b护卫相反数，则a+b=0)4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.5、倒数：乘积为1的两个数6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.(平方和立方)7、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一个正数有两个近似值，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根.(算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.)实数，是有理数和无理数的泛指。

湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复习与测试第2章三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复习与测试第3章实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第4章一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：回顾相关知识：认真阅读教材P1－40二、课堂点拨：知识点一：分式的概念★考点1:分式的定义：知识点二：分式的性质★考点4:分式的基本性质：分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。

即（其中）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

即（其中）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

即。

★考点5:最简分式（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。

约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。

（2）最简分式：分子与分母没有分式，叫做最简分式。

知识点三：分式的运算★考点6:分式的加减法①同分母分式相加减，分母，把分子。

即。

②异分母分式相加减，要先，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。

即。

①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。

③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。

例7、计算的结果是。

★考点7:分式的乘除法乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。

湘教版八年级数学第一章《分式》知识汇编姓名：1、分式的定义：如果f 、g 表示两个整式，并且g 中含有字母0≠g ，那么式子gf叫做分式。

2、分式有（无）意义，分式的值为0 （1）分式有意义的条件是：分母≠0； （2）分式无意义的条件是：分母=0（3）分式值为零的条件是：分子=0，且分母≠0。

3、分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

4、分式的通分和约分：关键是因式分解和（非乘勿扰）。

5、分式的运算： （1）分式乘法法则：用分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。

（2）分式除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（3）分式乘方法则：把分子、分母分别乘方。

6、整数指数幂。

(m,n 是整数) （1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。

n m n m a a a +=⋅； （2）同底数幂的除法：底数不变，指数相减：)0( ≠=÷-a a a a n m n m ；（3）幂的乘方：底数不变，指数相乘。

mnn m a a =)(; （4）积的乘方：把积里每个因式分别乘方：nn n b a ab =)(；（5）分式的乘方：把分子、分母分别乘方：)0( )(≠=b b a b a n nn7、零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂等于1； 即)0(10≠=a a ；8、负指数幂：当n 为正整数时，）（）（0 11≠==-a aa a nn n9、分式的加减法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

（3）减去一个多项式一定要把这个多项式括起来10、科学记数法：把一个数表示成na 10⨯的形式的记数方法叫做科学记数法。

（1）用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n （2）用科学记数法表示绝对值小于1的小数时,其中10的指数是第一个非0 数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。

八年级数学上册第1章分式（湘教版）第1章分式分式第1课时分式1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.(一)知识探究1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母)，所得商fg叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.2.(1)分式fg存在的条件是g≠0；(2)分式fg不存在的条件是g＝0；(3)分式fg的值为0的条件是f＝0，g≠0.(二)自学反馈1.下列各式中，哪些是分式？①2b－s；②3 000300－a；③27；④vs；⑤s32；⑥2x2＋15；⑦45b＋c；⑧－5；⑨3x2－1；⑩x2－xy＋y22x－1；⑪5x－7.解：分式有①②④⑦⑩.判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.2.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0?(1)3－xx＋2；(2)x＋53－2x.解：(1)当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式3－xx＋2的值不存在.当x＝3时，分式3－xx＋2的值等于0. (2)当3－2x＝0时，即x＝32时，分式x＋53－2x的值不存在.当x＝－5时，分式x＋53－2x的值等于0.分母是否为0决定分式的值是否存在.活动1 小组讨论例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；(3)x与y的差除以4的商是多少.解：(1)80x；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)x－y4；整式.例2 当x取何值时，分式2x－5x2－4的值存在？当x取何值时，分式2x－5x2－4的值为零？解：当2x－5x2－4的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；当2x－5x2－4的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝52.分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.活动2 跟踪训练1.下列各式中，哪些是分式？①4x；②a4；③1x－y；④3x4；⑤12x2.解：①③是分式.2.当x取何值时，分式x2＋13x－2的值存在？解：3x－2≠0，即x≠23时，x2＋13x－2存在求下列条件下分式x－2x＋3的值.(1)x＝1；(2)x＝－1.解：(1)当x＝1时，x－2x＋3＝－(2)当x＝－1时，x－2x＋3＝－32.活动3 课堂小结1.分式的定义及根据条件列分式.2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件. 第2课时分式的基本性质1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.(一)知识探究1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为fg＝（fh）gh(h≠0).2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.(二)自学反馈1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a2b＝ac2bc(c≠0)；(2)x3xy＝x2y.解：(1)由c≠0，知a2b＝ac2bc＝ac2bc.(2)由x≠0，知x3xy＝x3÷xxy÷x＝x2y.应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.2.填空，使等式成立：(1)34y＝3（x＋y）4y（x＋y）(其中x＋y≠0)；(2)y ＋2y2－4＝1（y－2）.在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.3.约分：(1)a2bcab；(2)－32a3b2c24a2b3d.解：(1)公因式为ab，所以a2bcab＝ac.(2)公因式为8a2b2，所以－32a3b2c24a2b3d＝－4ac3bd.活动1 小组讨论例1 约分：(1)－3a3a4；(2)12a3（y－x）227a（x－y）；(3)x2－1x2－2x＋1.解：(1)－3a3a4＝－3a.(2)12a3（y－x）227a（x－y）＝4a2（x－y）9.(3)x2－1x2－2x＋1＝（x＋1）（x－1）（x－1）2＝x＋1x－1.约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.例2 先约分，再求值：x2y＋xy22xy，其中x＝3，y＝1.解：x2y＋xy22xy＝xy（x＋y）2xy＝x＋y2.当x＝3，y＝1时，x＋y2＝3＋12.活动2 跟踪训练1.约分：(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）；(2)m2－3m9－m2.解：(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）＝3（a＋b）5.(2)m2－3m9－m2＝m（m－3）（3＋m）（3－m）＝－mm＋3.2.先约分，再求值：(1)3m＋n9m2－n2，其中m＝1，n＝2；(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2，其中x＝2，y＝4.解：(1)3m＋n9m2－n2＝13m－n＝13×1－2＝1.(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2＝（x＋2y）（x－2y）（x －2y）2＝x＋2yx－2y＝2＋2×42－2×4＝－活动3 课堂小结1.分数的基本性质.2.约分、化简求值2 分式的乘法和除法第1课时分式的乘法和除法1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)2.会进行分式的乘除运算.(重难点)自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.(一)知识探究分式的乘、除法运算法则：(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为fguv＝fugv.(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定fg÷uv＝fgvu＝fvgu.(二)自学反馈1.计算xyy2x的结果是12.2.化简m－1m÷m－1m2的结果是下列计算对吗？若不对，要怎样改正？(1)baab＝1；(2)ba÷a＝b；(3)－x2b6bx2＝3bx；(4)4x3a÷a2x＝23.解：(1)对.(2)错.正确的是ba2.(3)错.正确的是－3x.(4)错.正确的是8x23a2.活动1 小组讨论例1 计算：(1)4x3yy2x3；(2)ab22c2÷－3a2b24cd.解：(1)原式＝4xy3y2x3＝4xy6x3y＝23x2.(2)原式＝ab22c24cd－3a2b2＝－ab24cd2c23a2b2＝－2d3ac.例2 计算：(1)a2－4a＋4a2－2a＋1a－1a2－4；(2)149－m2÷1m2－解：(1)原式＝（a－2）2（a－1）2a－1（a＋2）（a－2）＝（a－2）2（a－1）（a－1）2（a－2）（a＋2）＝a－2（a－1）（a＋2）.(2)原式＝149－m2m2－7m1＝1（7＋m）（7－m）m（m －7）1＝m（m－7）（7＋m）（7－m）＝－m7＋m.整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.活动2 跟踪训练1.计算：(1)3a4b16b9a2；(2)12xy5a÷8x2y；(3)－3xy÷2y23x.解：(1)原式＝3a16b4b9a2＝43a.(2)原式＝12xy5a18x2y＝12xy5a8x2y＝310ax.(3)原式＝－3xy3x2y2＝－3xy3x2y2＝－9x22y.(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.2.计算：(1)x2－4x2－4x＋3÷x2＋3x＋2x2－x；(2)2x＋64－4x＋x2÷(x＋3)x2＋x－63－x.解：(1)原式＝x2－4x2－4x＋3x2－xx2＋3x＋2＝（x ＋2）（x－2）（x－3）（x－1）x（x－1）（x＋1）（x ＋2）＝x（x－2）（x－3）（x＋1）＝x2－2xx2－2x－3.(2)原式＝2x＋64－4x＋x21x＋3x2＋x－63－x＝2（x ＋3）（x－2）21x＋3（x＋3）（x－2）－（x－3）＝－2（x＋3）（x－2）（x－3）.分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.活动3 课堂小结1.分式的乘、除运算法则.2.分式的乘、除法法则的运用.第2课时分式的乘方1.理解分式乘方的运算法则.(重点)2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.(一)知识探究分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(fg)n＝fngn.(其中n为正整数)(二)自学反馈1.计算：(1)(2ab)2；(2)(－b2a)3.解：(1)(2ab)2＝4a2b2.(2)(－b2a)3＝－b6a3.2.计算：(1)(－2ab)2b36a2；(2)(3a2b)2÷(－b2a)2.解：(1)原式＝4a2b2b36a2＝23b.(2)原式＝9a4b2÷b24a2＝9a4b24a2b2＝36a6. 活动1 小组讨论例1 计算：(1)(n2m)3；(2)(a2b－cd3)3.解：(1)(n2m)3＝(2)(a2b－cd3)3＝（a2b）3（－cd3）3＝a6b3－c3d9.分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.例2 计算：(1)m3n2÷(mn)3；(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3.解：(1)m3n2÷(mn)3＝m3n2÷m3n3＝m3n2n3m3＝(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3＝n24m2÷n6m98n3m3＝n24m2m9n68n3m3＝2 分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式.活动2 跟踪训练1.计算：(1)2m2n3pq25p2q4mn2÷5mnp3q；(2)16－a2a2＋8a＋16÷a－42a＋8a－2a＋2；(3)(a－1a＋3)2÷(a－1)9－a2a－1.解：(1)原式＝2m2n3pq25p2q4mn23q5mnp＝12n2.(2)原式＝（4＋a）（4－a）（a＋4）22（a＋4）a－4a－2a＋2＝－2（a－2）a＋2.(3)原式＝（a－1）2（a＋3）21a－1（3＋a）（3－a）a－1＝3－aa＋3.2.计算：(1)(－2x4y23z)3；(2)(2ab3－c2d)2÷6a4b3(－3cb2)3.解：(1)原式＝（－2x4y2）3（3z）3＝－8x12y62(2)原式＝4a2b6c4d2b36a4－27c3b6＝－18b3a2cd2化简求值：b2a2－ab÷(ba－b)2a2ba－b，其中a＝12，b＝－3.解：化简结果是ab；求值结果为－32.化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.活动3 课堂小结1.分式乘方的运算.2.分式乘除法及乘方的运算方法.1.3 整数指数幂同底数幂的除法1.理解同底数幂的除法法则.(重点)2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.(一)知识探究同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，m，n是正整数，且m＞n，则aman＝an（am－n）an＝am－n.(二)自学反馈1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)A.a5B.－a5C.a8D.－a82.计算：x5÷(－x)2＝x3；(ab)5÷(ab)2＝a3b3. 活动1 小组讨论例1 计算：(1)（－x）5x3；(2)（xy）8（－xy）5.解：(1)（－x）5x3＝－x5－3＝－x2.(2)（xy）8（－xy）5＝x8y8－x5y5＝－x例2 计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y).解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.活动2 跟踪训练1.计算：(1)a5a2；(2)（x2y3）2（－x2y3）2.解：(1)原式＝a3.(2)原式＝1.2.计算：(p－q)4÷(q－p)3(p－q)2.解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3](p－q)2＝－(p－q)(p－q)2＝－(p－q)3.活动3 课堂小结同底数幂的除法的运算.1.3.2 零次幂和负整数指数幂1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点) 自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.(一)知识探究1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0).2.a－n＝1an(n是正整数，a≠0).(二)自学反馈1.计算：30＝1；(－2)－3＝－2.用科学记数法表示数0.000 201 6为2.016×10－计算：23－(12)0－(12)－2.解：原式＝8－1－4＝3.活动1 小组讨论例1 计算：(1)3－2；(2)(10)－3；(3)(45)－2.解：(1)3－2＝132＝19.(2)10－3＝1103＝0.001.(3)(45)－2＝(54)2＝2例2 把下列各式写成分式的形式：(1)3x－3；(2)2x－23y－3.解：(1)3x－3＝3x3.(2)2x－23y－3＝6x2例3 用科学记数法表示下列各数：(1)0.000 326 7；(2)－0.00解：(1)0.000 326 7＝3.267×10－4.(2)－0.001 1＝－1.10×10－3.活动2 跟踪训练1.计算：(－2)0＝1；3－1＝2.把(－100)0，(－3)－2，(－13)2按从小到大的顺序排列为(－100)0(－13)2＝(－3)－2计算：(－1)2 012×(3－π)0＋(12)－1.解：原式＝1×1＋2＝3.活动3 课堂小结1.零次幂和整数指数幂的运算性质.2.零指数幂和负整数指数幂的意义负整数指数幂在科学记数法中的应用整数指数幂的运算法则1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.(一)知识探究1.aman＝am＋n(a≠0，m，n都是整数).2.(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整数)(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，m，n都是整数).(二)自学反馈计算：(1)a3a－5＝a－2＝1a2；(2)a－3a－5＝a－8＝1a8；(3)a0a－5＝a－5＝1a5；(4)aman＝am＋n(m，n为任意整数).aman＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.活动1 小组讨论例1 计算：(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2(a2b－2)－3.解：(1)原式＝a－3b6＝b6a3.(2)原式＝a－2b2a－6b6＝a－8b8＝b8a8.例2 下列等式是否正确？为什么？(1)am÷an＝ama－n；(2)(ab)n＝anb－n.解：(1)正确.理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝ama－n.(2)正确.理由：(ab)n＝anbn＝an1bn＝anb－n.活动2 跟踪训练1.下列式子中，正确的有(D)①a2÷a5＝a－3＝1a3；②a2a－3＝a－1＝1a；③(ab)－3＝1（ab）3＝1a3b3；④(a3)－2＝a－6＝1aA.1个 B.2个 C.3个D.4个2.计算：[x(x2－4)]－2(x2－2x)2＝1（x＋2）2.活动3 课堂小结牢记整数指数幂的运算法则.1.4 分式的加法和减法第1课时同分母分式的加减法1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.(一)知识探究1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，fg±hg＝f±hg.2.－fg＝f－g＝－fg，－f－g＝fg.(二)自学反馈1.计算：yx＋2x＝y＋2x；5y－ay＝5－ay.2.计算：(1)32－3x－1＋3x2－3x；(2)a2a－b－b2－2abb－a.解：(1)32－3x－1＋3x2－3x＝3－1－3x2－3x＝2－3x2－3x＝1.(2)a2a－b－b2－2abb－a＝a2a－b＋b2－2aba－b＝（a－b）2a－b＝a－b.活动1 小组讨论例1 计算：(1)x－1x＋1x；(2)5x＋3yx2－y2－2xx2－y2.解：(1)原式＝x－1＋1x＝xx＝1.(2)原式＝5x＋3y－2xx2－y2＝3x＋3y（x＋y）（x －y）＝3（x＋y）（x＋y）（x－y）＝3x－y.例2 计算：(1)mm－1－11－m；(2)5xx2－x－51－x.解：(1)原式＝mm－1＋1m－1＝m＋1m－1.(2)原式＝5xx（x－1）－51－x＝5x－1＋5x－1＝5＋5x－1＝10x－1.活动2 跟踪训练1.化简x2x－1＋x1－x的结果是(D)A.x＋1B.x－－xD.x2.化简a2a－b－b2a－b的结果是(A)A.a＋bB.a－ba2－b2D计算：(1)x＋1x－1x；(2)ab＋1＋2ab＋1－3ab＋1.解：(1)原式＝x＋1－1x＝1.(2)原式＝a＋2a－3ab ＋1＝0.1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3 课堂小结1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).第2课时通分1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.(一)知识探究1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.(二)自学反馈2x，13y的最简公分母是6xy.2.对分式y2x，x3y2，14xy通分时，最简公分母是12xy2通分：(1)3c2ab2与－a8bc2；(2)x4a（x＋2）与x6b（x＋2）.解：(1)3c2ab2＝3c4c22ab24c2＝12c38ab2c2；－a8bc2＝－aab8bc2ab＝－a2b8ab2c2.(2)x4a（x＋2）＝3bx12ab（x＋2），y6b（x＋2）＝2ay12ab（x＋2）.活动1 小组讨论例1 通分：(1)32a2b与a－bab2c；(2)2xx－5与3xx＋5.解：(1)最简公分母是2a2b22a2b＝3bc2a2bbc＝3bc2a2b2c，a－bab2c＝（a－b）2aab2c2a＝2a（a－b）2a2b2c.(2)最简公分母是(x＋5)(x－5).2xx－5＝2x（x＋5）（x－5）（x＋5）＝2x2＋10xx2－25，3xx＋5＝3x（x－5）（x＋5）（x－5）＝3x2－15xx2－25.例2 通分：(1)2cbd与3ac4b2；(2)1x2－4与x4－2x.解：(1)最简公分母是4b2d.2cbd＝8bc4b2d，3ac4b2＝3acd4b2d.(2)最简公分母是2(x＋2)(x－2).1x2－4＝1×2（x＋2）（x－2）×2＝22x2－8，x4－2x＝x－2（x－2）＝－x（x＋2）2（x＋2）（x －2）＝－x2＋2x2x2－8.活动2 跟踪训练1.分式1x2－4，x2（x－2）的最简公分母为(B)A.(x＋2)(x－2)B.2(x＋2)(x－2)2(x＋2)(x－2)2 D.－(x＋2)(x－2)22.分式1x2－1，x－1x2－x，1x2＋2x＋1的最简公分母是x(x＋1)2(x－1)通分：(1)x3y与3x2y2；(2)x－y2x＋2y与xy（x＋y）2；(3)2mn4m2－9与2m－32m＋3.解：(1)x3y＝2xy6y2，3x2y2＝9x6y2.(2)x－y2x＋2y＝x2－y22（x＋y）2，xy（x＋y）2＝2xy2（x＋y）2.(3)2mn4m2－9＝2mn4m2－9，2m－32m＋3＝（2m－3）24m2－9.活动3 课堂小结1.确定最简公分母.2.将异分母分式通分.第3课时异分母分式的加减法1.熟练掌握求最简公分母的方法.2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点) 自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.(一)知识探究异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.(二)自学反馈1.化简分式1x＋1x（x－1）的结果是(C)A.xB.1x2x－1D.xx－12.下列计算正确的是(D)A.1x＋12x＝13xB.1x－1y＝1x－xx＋1＋1＝1x＋1 D.1a－1－1a＋1＝2a2－1活动1 小组讨论例1 计算：(1)3x＋2y；(2)1a＋1－1a－1.解：(1)原式＝3yxy＋2xxy＝3y＋2xxy.(2)原式＝a－1（a＋1）（a－1）－（a＋1）（a＋1）（a－1）＝－2（a＋1）（a－1）.例2 计算：(1)(1－ba＋b)÷aa2－b2；(2)12p＋3q＋12p－3q.解：(1)原式＝a＋b－ba＋ba2－b2a＝aa＋b（a＋b）（a－b）a＝a－b.(2)原式＝2p－3q（2p＋3q）（2p－3q）＋2p＋3q（2p ＋3q）（2p－3q）＝2p－3q＋2p＋3q（2p＋3q）（2p－3q）＝4p4p2－9q2.活动2 跟踪训练1.计算(a2a－3＋93－a)÷a＋3a的结果为(A)A.aB.－a(a＋3)2D.12.化简(1＋4a－2)÷aa－2的结果是(A)A.a＋2aB.aa＋2a－2aD.aa－23.化简x2－1x2－2x＋1x－1x2＋x＋2x的结果是3x 化简(1－1m＋1)(m＋1)的结果是m.1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3 课堂小结1.分式加减运算的方法思路：异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）相加减2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式) 可化为一元一次方程的分式方程第1课时可化为一元一次方程的分式方程1.理解分式方程的意义.2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.(一)知识探究1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.(二)自学反馈1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①x－22＝x3；②4x＋3y＝7；③1x－2＝3x；④x（x －1）x＝－1；⑤3－xπ＝x2；⑥2x＋x－15＝10；⑦x－1x＝2；⑧2x＋1x＋3x＝1.解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.活动1 小组讨论例1 解方程：2x－3＝3x.解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3).解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解为x＝9.例2 解方程：xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）.解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.活动2 跟踪训练解方程：(1)12x＝2x＋3；(2)xx＋1＝2x3x＋3＋1；(3)2x－1＝4x2－1；(4)5x2＋x－1x2－x＝0.解：(1)方程两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x.化简得3x＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0.所以x＝1是方程的解.(2)方程两边同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－32.检验：当x＝－32时，3x＋3≠0.所以x＝－32是方程的解.(3)方程两边同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程无解.(4)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0.解得x＝32.检验：当x＝32时，x(x＋1)(x－1)≠0.所以x＝32是原方程的解.方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.活动3 课堂小结解分式方程的思路是：第2课时分式方程的应用能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.(一)知识探究列分式方程解应用题的一般步骤是：(1)审题设未知数；(2)找等量关系列方程；(3)去分母，化分式方程为整式方程；(4)解整式方程.(5)验根是否符合实际意义；(6)答题.(二)自学反馈重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝18，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖1x；两台挖土机一天共挖18＋1x；两台一天完成另一半.所以列方程为18＋1x＝12；解得x＝83，即乙单独挖需83天.认真分析题意.根据等量关系列方程.活动1 小组讨论例甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？分析：路程速度时间甲18＋1×2x＋0.518＋1×2x＋0.5乙18x18x等量关系：t甲＝t乙.解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时.根据题意，列方程得18＋1×2x＋0.5＝18x.解得x＝检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米.活动2 跟踪训练1.A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度.解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.根据题意，列方程得135－2x×52x＝135－12×5x5x.解得x＝9.检验：当x＝9时，10x≠0.所以，x＝9是原方程的解.则2x＝18，5x＝答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得2x＋xx＋3＝1.解得x＝6.检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.答：规定日期是6天.活动3 课堂小结1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系注意不要遗漏检验和写答案。

第一章 分式分式的概念：一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式． 注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别； (2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义； (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零． 分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如：BAB A B A B A --=--=--=． 分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．(1)b a b a 41313121-+； (2)22226.0411034.0y x y x -+． 分式的运算法则1、 分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、 分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛(n 为整数)．3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cba cbc a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbcad d c b a ±=±．分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的．例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ． 分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：nm nmaa a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a a app,0(1≠=-为正整数)． 科学计数法：把一个数记成na 10⨯±的形式，其中：n a ，101<≤是整数，这种记数法叫做科学记数法．第二章三角形命题、定理、证明命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．注意：命题的定义包括两层涵义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情做出判断．例如：“直角都相等” ，“相等的角是对顶角”等都是命题．“连结P 、Q 两点” 、“过点p 作直线l ”等都不是命题． 命题的一般形态：任一个命题都可以写成形式：“如果……，那么……．”如果对应命题的题设(条件)部分，那么对应命题的结论部分。

湘教版分式知识点什么是分式？分式是数学中的一种表示形式，它表示一个数被分为若干等分之一。

分式由分子和分母组成，分子表示被分的数，分母表示分成的等分数。

分式的表示方法我们通常用a/b来表示一个分式，其中a是分子，b是分母。

例如，2/3表示被分成3份中的2份。

分式的概念理解要理解分式的概念，可以通过以下步骤来思考：1.想象一块蛋糕：假设有一块蛋糕，你想将它平均分成若干份。

2.分成几份：你能够将蛋糕分成几份？这个数字就是分母。

3.取其中几份：你要取走多少份蛋糕？这个数字就是分子。

4.计算结果：将取走的份额除以总的份数，就得到了分式表示的结果。

分式的运算分式的加法和减法要进行分式的加法和减法，需要满足分母相同的条件。

具体步骤如下：1.找到分母的最小公倍数：找到所有分式中分母的最小公倍数，记为m。

2.分子的计算：对于每个分式，将分子乘以m/原分母，得到新的分子。

3.分子相加/相减：将新的分子相加/相减，得到结果的分子。

4.结果的分母：结果的分母为最小公倍数m。

分式的乘法要进行分式的乘法，只需要将分子相乘，分母相乘。

具体步骤如下：1.分子相乘：将所有分式的分子相乘，得到结果的分子。

2.分母相乘：将所有分式的分母相乘，得到结果的分母。

分式的除法要进行分式的除法，只需要将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，分母乘以第二个分式的分子。

具体步骤如下：1.分子相乘：将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，得到结果的分子。

2.分母相乘：将第一个分式的分母乘以第二个分式的分子，得到结果的分母。

分式的化简与约分分式可以通过化简和约分来简化表示。

具体步骤如下：1.找到分子和分母的最大公约数：找到分子和分母的最大公约数，记为gcd。

2.分子分母同时除以最大公约数：将分子和分母同时除以gcd，得到化简后的分子和分母。

总结分式是一种表示数被分为若干等分之一的数学形式。

要理解分式，可以通过想象一块蛋糕并将其平均分成若干份来帮助思考。

第1章分式1.1分式知识点1 分式的概念1.分式的定义:类似地，一个整式f 除以一个非零整式g（g 中含有字母），所得的商记作fg,把代数式f g叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0. 分式的三要素：（1）形如fg的式子；（2）f为整式，g为非0整式；（3）分母g中含有字母2.分式与分数、整式的关系：（1）分式中分母含有字母，由于字母表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性。

分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. （2）分式与整式的根本区别是分式的分母中含有字母.知识点2 分式的值存在、不存在的条件1.分式的值存在（分式有意义）的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，因此分式的分母不能为即当g≠0时，分式fg才有意义.分式的分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.2.分式的值不存在（分式无意义）的条件：分式的分母为0，即g＝0时，分式fg无有意义.求法：当分式的值不存在时，根据分式中分母的值为0的条件转化为解方程问题.知识点3 分式的值为0的条件分式的值为0的条件：1.当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.即对于分式fg，当f＝0且g≠0时，fg=0.2.对于分式fg，常见的特殊分式值的情况讨论：（1）若fg的值为1，则f=g,且g≠0；反过来若f=g,且g≠0，则fg的值为1.（2）若fg的值为-1，则f=-g,且g≠0；反过来若f=-g,且g≠0，则fg的值为-1.知识点4 分式的基本性质1.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等，即对于分式fg，有fg=f·ℎg·ℎ(h≠0).（2）分式得分子与分母都除以他们的一个公因数，所得分式与原分式相等.3.分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.用字母表示如下：（1）fg = −f−g= −f−g=−−fg（2）−fg= −−f−g= −fg= f−g知识点5 分式的约分1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以他们的公因式），叫作分式的约分.2.找公因式的方法：（1）当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式.（2）当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按（1）中的方法找公因式.3.约分的方法（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；（2）若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.4.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.注意事项：①约分式针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积形式；②约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式；③注意发现分式的分子与分母的一些隐藏的公因式（如互为相反数的式子）④当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面.1.2分式的乘法和除法知识点1分式的乘法1.分式的乘法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.即fg·uv= fugv2.法则的运用方法：（1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分；（2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；（3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式.3.分式乘法运算的基本步骤：第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面.第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号；第三步：约分，将结果化成最简分式或正式.知识点2 分式的除法1.分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即f g÷ u v= f g× v u=fv gu（u ≠0）.2. 法则的运用方法：（1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算.3.分式除法运算的基本步骤：第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法；第三步：利用分式的乘法运算法则计算。