华师大版-数学-九上-24.4 解直角三角形2 教案

华师大版数学九年级上册24.4《直角三角形的性质》教学设计一. 教材分析《直角三角形的性质》是华师大版数学九年级上册第24章《三角形的性质》的最后一节内容，也是整个初中数学中关于三角形性质的重要部分。

本节内容主要介绍直角三角形的性质，包括直角三角形的边角关系、勾股定理及其应用。

通过本节的学习，学生能进一步理解直角三角形的特征，掌握直角三角形的相关性质，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角形和钝角三角形的性质，对三角形的性质有一定的了解。

但是，对于直角三角形的性质，特别是勾股定理的理解和应用，部分学生可能还存在困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系。

2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力，提高解题能力。

4.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理的推导和应用。

2.教学难点：勾股定理的理解和应用，解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究直角三角形的性质。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质，提高学生的空间想象能力。

3.采用合作学习的方式，让学生在讨论中解决问题，培养学生的合作意识。

4.通过举例讲解，引导学生学会运用勾股定理解决实际问题。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。

3.准备黑板和粉笔，以便进行板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如教室的黑板、楼梯的台阶等，引导学生关注直角三角形的存在。

提问：这些直角三角形有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）通过PPT展示直角三角形的性质，包括直角三角形的边角关系、勾股定理。

在展示过程中，引导学生思考这些性质是如何得出的。

24.4解直角三角形2教学目标：1.知识目标：使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．2.能力目标：逐步培养分析问题、解决问题的能力．教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理：a2+b2=c2（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：tanA=（二）新授概念仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．例1.为了测量旗杆的高度BC ，在离旗杆底部10米A 处，用高1.50米的测角仪DA 测得旗杆顶端C 的仰角a ＝52°，求旗杆杆BC 的高．（精确到0.1米）的邻边的对边A A ∠∠斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin P【答案】在Rt △CDE 中，CE ＝DE ×tan a＝AB ×tana＝10×tan 52°≈12.8，所以BC ＝BE ＋CE ＝AD ＋CE ≈1.5＋12.8＝14.3（米）．答：电线杆的高度约为14.3米．例2.在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.坡度通常写成1∶m 的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝=tana显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.例3.如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）【答案】作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E.F ．由题意可知DE ＝CF ＝4.2（米），CD ＝EF ＝12.51（米）．l hl h图6在Rt △ADE 中，因为所以在Rt △BCF 中，同理可得 因此AB ＝AE ＋EF ＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答：路基下底的宽约为27.13米．（三）巩固练习设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．(四)总结与扩展请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．︒===32tan 2.4AE AE DE i )(72.632tan 2.4米≈︒=AE )(90.728tan 2.4米≈︒=BF。

24.4 解直角三角形（2）教学目标：分清仰角、俯角等概念的意义，准确把握这些概念解决一些实际问题 教学重点:仰角、俯角、等位角等概念教学难点：解与此有关的问题教学过程：一、仰角、俯角的概念几个概念 1.铅垂线2.水平线3.视线4.仰角：视线在水平线的上方,视线与水平线的夹角.5.俯角：视线在水平线的下方,视线与水平线的夹角.练习：1。

由A 测得B 的仰角为36°，由B 去测A 时的俯角为 。

2。

一棵树AC 在地面上的影子BC 为10米，在树影一端B 测得树顶A 的俯角为 45°，则树高 米；若仰角为60°，树高 米.（精确到1米）二、应用例1．书P 96 例3例2.如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼，AB ⊥CD,CD ⊥BD ，从甲楼顶A 测乙楼顶C 的仰角α=30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼高.解：Rt △ACE 中,C E=︒=⋅=⋅30tan 24tan tan ααBD AE =83m ，∴CD=CE+DE=CE+AB=(83+15)（米）答：乙楼高为（83+15）米.三、引申提高：例3。

如图，为了测量顶部不能达到的建筑物AB 的高度，现在地平面上取一点C A C B E D，用测量仪测得A 点的仰角为45°，再向前进20米取一点D ，使点D 在BC 延长线上，此时测得A 的仰角为30°，已知测量仪的高为1。

5米，求建筑物AB 的高度。

解:在Rt △AEG 中,EG=︒⋅45cot AG =AG ，在Rt △AFG 中，FG=︒⋅30cot AG =3AG ∴EF=FE －EG=(3－1）AG=20， ∴AG=310+11.5(米）答：建筑物AB 的高度为（310+11.5）米。

说明：解此类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构建Rt △。

必要时可添加适当的辅助线，解题时应选择适当的关系式进行解题，并按照题目中的要求进行近似计算。

解直角三角形测量【知识与技能】利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法,初步接触直角三角形的边角关系.【过程与方法】使学生经历测量旗杆高度的方法探索、实际测量和计算，归纳、总结出测量高度的不同方法.【情感态度】使学生经历测量过程，从而获得成功的体验，懂得数学来源于实际并用之于实际的道理；培养学生的合作和勇于探索精神.【教学重点】探索测量距离的几种方法.【教学难点】解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握.一、情境导入,初步认识当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高.你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题，但如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？方案一：利用同一时刻太阳光线是平行线;构造相似三角形二、思考探究，获取新知教材“试一试”.如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1.5米.现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度.你知道计算的方法吗？解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AC∶A′C′=BC∶B′C′=500∶1∴只要用刻度尺量出纸上B′C′的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度.【教学说明】利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等.为了测出旗杆的高度，又设计了几种不同方案方案二：利用镜面反射；方案三：.利用勾股定理；方案四：利用直角三角形的相关知识；总结，对比，谁最方便三、运用新知，深化理解同步练习：教材上优选三道题1.利用比例尺求建筑物的高度2.在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3.猴子上树，建立方程求树高。

解直角三角形复习课解直角三角形的应用主讲人：解直角三角形复习课解直角三角形的应用一、教学目标1.知识目标：①使学生利用直角三角形性质，勾股定理以及锐角三角函数来解直角三角形。

②能根据题意把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题，并能予以解决。

2.能力目标：通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，逐步培养学生归纳和总结能力。

3.情感目标：体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习兴趣，逐步养成良好的学习品质。

二、教学重点、难点重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，划归成某个数学问题。

难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。

三、教学过程：1、复习：（1）什么叫解直角三角形？（2）观察图中小球运动的过程,思考下列问题:小球沿与水平方向成300角的斜坡向上运动,运动到100cm的B处时停止,请问小球升高了多少？（3）解直角三角形的依据三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）锐角之间的关系:∠ A＋∠ B＝ 90º边角之间的关系（锐角三角函数）:2、基础练习（1）如图:在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3.则sinB= （）（2）某住宅小区为了美化环境,增加绿地面积,决定在坡上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地,如图,已知两楼的水平距离为15米,距离甲楼2米(即AB=2米)开始修建坡角为300的斜坡,斜坡的顶端距离乙楼4米(即CD=4米),则斜坡BC的长度为_______米.3、基本概念在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念（1）仰角和俯角:（2）方位角:4、典型例题：【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.解题思想与方法小结1．数形结合思想.2．方程思想.3．转化（化归）思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.四、知识小结1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角)2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形)3.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:（1）.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)（2）.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;（3）.得到数学问题的答案;（4）.得到实际问题的答案.五、补充练习1、如图:一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西200的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地的距离为____2、(2006贵州)如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？3、王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C 地，此时王英同学离A地多少距离？六、布置作业：初中总复习：116—118页七、课后反思：本节课是在学习了解直角三角形的应用整章的基础上对本章知识进行的系统性复习，与一般的复习课一样，先进行了知识网络的梳理，又在此基础上进行练习，本堂课选取的题目较有代表性，既有基础，又有提升，学生对于知识的达标率也较高，基本达到了预期的目标，本节课的不足在于课堂安排不够紧凑，对于预期突发事件的处理和应对没有充分设计好。

课题：直角三角形与勾股定理一、课标呈现:了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.二、题组练习：题组练习一（问题习题化）：1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于°40，则另一个锐角的度数是 （ ）A. °40 B ．°50 C ．°60 D ．°70２．如图，ABC Δ中，,12,30,90=°=∠°=∠AB A C 则=BC （ ）A. ６ B ． 26 C ．36 D ．１２３．如图，在ABC Rt Δ中，E 是斜边AB 的中点，若10=AB ，则=CE ___________.４．直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为____________. ５．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 ( )A. 4, 5, 6 B ． 1.5 , 2 , 2.5 C ．2, 3, 4 D ．1 ,2 , 3 题组练习二（知识网络化）：6.如图，,,90AB CD ACB ⊥°=∠垂足为D ，下列结论错误的是（ ） A. 图中有三个直角三角形B. 21∠=∠C. 1∠和B ∠都是A ∠的余角D. A ∠=∠27.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长cm BC cm AC 8,6==，将ABC Δ折叠，使，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则=CD ___________.8.如图，ABC Δ中，°=∠90ABC 分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为，,,,321S S S 若,6,432==S S 则=1S ______________.9.如图，正方形网格中的ABC Δ，若小方格边长为1，则ABC Δ是什么三角形？并加以证明。

10.如图，°=∠90ABC 四边形ABCD 中，,13,12,3,4cm DA cm CD cm BC cm AB ====且，则四边形ABCD 的面积为________________.11.如图，已知圆柱的底面直径π6=BC ，高，3=AB ，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为 （ ）A. 23 B ． 53 C ．56 D ．26三、课堂小结：。

24.4解直角三角形(2)教学目标:1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。

2、逐步培养分析问题、解决问题的能力。

教学重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

教学难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

教学过程:（复习提问）1、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理（2）锐角之间的关系（3）边角之间的关系导课：问题：小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以利用解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？（学生回答后引入新课课题---解直角三角形2：仰角、俯角）设疑自探看到本节课题，你想知道什么问题？（学生提出问题，教师归纳、板书，形成自探提纲）自探提示（一）：请同学们自学教材p113页内容，独立解决以下问题，时间4分钟。

1、什么叫仰角？2、什么叫俯角？3、本课导语的图中，有仰角和俯角吗？若有，请指出其中的仰角和俯角。

解疑合探（一）（学生自学结束后，小组内交流讨论自探过程中遇到的疑难问题，达成共识）1、在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；2、从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

自探提示（二）如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）(tan22°≈0.404)解疑合探（二）解：在Rt△ADE中，AE＝DE×tan a＝BC×tan a＝22.7×tan 22°≈9.17AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）答:旗杆的高度约为10.4米．质疑再探在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。