二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程

一、二元一次方程组

由几个一次方程组成并且一共

．．含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．

特别地，

13

4

x

y x

+=

⎧

⎨

-=

⎩

和

3

1

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

也是二元一次方程组．

二、二元一次方程组的解

二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解

．．．叫做二元一次方程组的解．注意：

（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组

239

7

x y

x y

-=

⎧

⎨

+=

⎩

的解是

6

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

．

（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：

因为

1

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

能同时满足方程3

x y

+=、1

y x

-=，所以

1

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

是方程组

3

1

x y

y x

+=

⎧

⎨

-=

⎩

的解．

易错点1：代入法解二元一次方程组时，循环代入导致错误．

辨析：在利用代入法解二元一次方程组时，需要将方程组中某一个方程进行变形，然后将变形后的方程代入到另一个方程中（注意不是变形前的方程）．

易错点2：方程变形时，忽略常数项而出现错误．

辨析：在用加减法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一个未知数的系数化成相等或者互为相反数，需要在方程两边同乘一个不等于零的数，此时不要忘记常数项，造成漏乘导致出现错解．

二元一次方程组的解法

一、消元思想

二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．

这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的

个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值．

二、代入消元法

1、代入消元法的概念

将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．

2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y），用另一个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y ax b

=+的形式；

②代入消元：将y ax b

=+代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x的值；

④回代：把求得的x的值代入y ax b

=+中求出y的值，从而得出方程组的解；

⑤把这个方程组的解写成

x a

y b

=

⎧

⎨

=

⎩

的形式．

三、加减消元法

1、加减消元法的概念

当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．

2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；

②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤把这个方程组的解写成

x a

y b

=

⎧

⎨

=

⎩

的形式．

例题讲解

二元一次方程

1．下列各方程是二元一次方程的是 ( )

A ．2x+xy=3

B ．m －n 2+2=0

C ．

302y x x y -= D ．12

S t = 2．已知方程：①3x －4y=10；②3y+2x=－1；③6y=4－5x ；④2y －7=4x+1，则2

1x y =⎧⎨

=-⎩

所满足的方程是 ( )

A ．①

B ．①②

C ．①③

D ．①②④

3．关系式13

2

x y -=，用 x 的代数式表示y 得 ( ) A ．223x y -=

B ．2133x y =-

C ．223x y =-

D ．223x

y =- 4．下列说法中正确的是 ( ) A ．3

2x y =⎧⎨

=⎩

是方程3x －4y=1的一组解 B ．方程3x －4y=1有无数组解，即x 、y 可以取任何数值

C ．方程3x －4y=1只有两组解，两组解分别是：1

1112

x x y y =⎧=-⎧⎪

⎨⎨

=-=⎩⎪⎩、 D ．方程3x －4y=1可能无解