2016普陀区初三数学一模试卷及答案(word版)资料

普陀区2015学年度第一学期初三质量调研数 学 试 卷 2016.1（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1． 如图1，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE ∥BC 的条件是（ ▲ ） （A ）AE ∶EC =AD ∶DB ； （B ）AD ∶AB =DE ∶BC ； （C ）AD ∶DE =AB ∶BC ； （D ）BD ∶AB =AC ∶EC ．2．在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE ∥BC ，如果△ADE 的面积等于3，那么△ABC 的面积等于（ ▲ ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15．3．如图2，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值不等于．．．cos A 的值的是（ ▲ ） （A ）AD AC； （B ）AC AB； （C ）BD BC； （D ）CD BC．4．如果a 、b 同号，那么二次函数21y ax bx =++的大致图像是（ ▲ ）DCBA图2E DCBA图15．下列命题中，正确的是（ ▲ ）（A ）圆心角相等，所对的弦的弦心距相等； （B ）三点确定一个圆；（C ）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； （D ）弦的垂直平分线必经过圆心．6．已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，如果a AB =，b AD =，那么向量MN 关于a 、b 的分解式是（ ▲ ） （A ）1122a b -； （B ）1122a b -+； （C ）1122a b +； （D ）1122a b --．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果:2:5x y =，那么yx xy +-= ▲ ． 8．计算：2()()a b a b ++-= ▲ ．9．计算： 2sin 45cot 30tan 60+= ▲ ．10．已知点P 把线段AB 分割成AP 和PB (AP ＞PB ) 两段，如果AP 是AB 和PB 的比例中项，那么:AP AB 的值等于 ▲ ．11．在函数①c bx ax y ++=2，②22)1(x x y --=，③2255xx y -=，④22+-=x y 中，y 关于x 的二次函数是 ▲ ．（填写序号） 12．二次函数223y x x =+-的图像有最 ▲ 点．13．如果抛物线n mx x y ++=22的顶点坐标为（1，3），那么n m +的值等于 ▲ ．14．如图3，点G 为△ABC 的重心，DE 经过点G ，DE ∥AC ， EF ∥AB ，如果DE 的长是4，那么CF 的长是 ▲ ．15．如图4，半圆形纸片的半径长是1cm ，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆的中点M 与圆心O 重合，那么折痕CD 的长是 ▲ cm ．图316．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，4AC =，3BC AQ ==，如果△APQ 与△ABC 相似，那么AP 的长等于 ▲ ．17．某货站用传送带传送货物．为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB ，调整为坡度31:=i 的新传送带AC （如图5所示）．已知原传送带AB 的长是24米．那么新传送带AC 的长是 ▲ 米．18．已知A （3，2）是平面直角坐标系中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足:1:2BC AB =，设点C 的横坐标是a ，如果用含a 的代数式表示点D 的坐标，那么点D 的坐标是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，13AD BC =，点M 是边BC 的中点，AD a =，AB b =.（1）填空：BM = ▲ ，MA = ▲ .（结果用a 、b 表示）.（2）直接在图中画出向量2a b +.（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）O图4图5图6M B20．（本题满分10分）将抛物线212y x =先向上平移2个单位，再向左平移m (m ＞0)个单位，所得新抛物线经过点（-1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y 轴交点的坐标．21．（本题满分10分）如图7，已知AD 是⊙O 的直径，AB 、BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足是点E ，8BC =，2DE =．求⊙O 的半径长和sin ∠BAD 的值．22．（本题满分10分）如图8，已知有一块面积等于12002cm 的三角形铁片ABC ，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm （底边BC 大于底边上的高），要把它加工成一个正方形铁片，使正方形的一边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、 AC 上，求加工成的正方形铁片DEFG 的边长．图7DA图8F GE D CB A23．（本题满分12分）已知：如图9，在四边形ABCD 中，ADB ACB ∠=∠，延长AD 、BC 相交于点E ，求证：（1）△ACE ∽△BDE ； （2）BE DC AB DE =．24．（本题满分12分）如图10，已知在平面直角坐标系xOy 中， 二次函数273y ax x c =-+的图像经过 点A （0, 8）、B （6, 2），C （9, m ），延长AC 交x 轴于点D . （1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求ADO ∠的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P 的坐标.图10图9EDC B A25．（本题满分14分）如图11，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ．设CACP＝x ， （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．l PNMDCBA图11 PNMDB 备用图普陀区2015学年度第一学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(A)； 2．(C)； 3．(C)； 4．(D)； 5．(D)； 6． (B).二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.73； 8. b a +3； 9. 213 ； 10.215-； 11．④； 12. 低； 13．1； 14．2； 15．3；16 17．8； 18．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：（1；32MA a b =--. ··········································· （3分+3分） （2）答案略. ·············································································· （4分）20．解：由题意可设新抛物线的表达式是2)(212++=m x y . ··························· （2分） 该图像经过点（-1，4），∴把1-=x ，4=y 代入2)(212++=m x y ，得 2)1(2142++-=m . 解得31=m ， 21m =-（不合题意，舍去）. ································· （4分） ∴此时新抛物线的表达式是2)3(212++=x y . ·································· （1分）令0=x ，得213=y . ···································································· （2分） ∴新抛物线2)3(212++=x y 与y 轴的交点坐标为（0，213）. ··········· （1分）21、解：联结OB ． ··················································································· （1分） AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，∴∠090=OEB ，BC EC BE 21==． ·········································· （2分） 又 8BC =，∴4BE =． ························································· （1分） 设⊙O 的半径长是x ，则2OE x =-．在Rt △OEB 中，∠090=OEB ，∴222BO OE BE =+，即2224(2)x x +-=，解得5x =． ··············· （2分）∴⊙O 的半径长是5． ·································································· （1分） ∴1028AE AD DE =-=-=． ················································· （1分）由勾股定理得：AB = ························································ （1分） 在Rt △AEB 中，∠090=AEB ， ∴sin∠5BE BAD AB ===················································ （1分）22．解法一：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，交DG 于P ． ······························· （1分）由题意得：11200,2100.BC AH BC AH ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ·············································· （1分）解得：60,40.BC AH =⎧⎨=⎩································································ （1分）设正方形DEFG 的边长为x cm ．∵四边形DEFG 是正方形，EF 在边BC 上，∴DG ∥BC ．得△ADG ∽△ABC ． ····························································· （1分）由AH ⊥BC ．得AP ⊥DG ，即AP 是△ADG 的高． ······················ （1分） ∴AP DGAH BC=． ································································· （1分） ∵PH ⊥BC ，GF ⊥BC ， ∴PH =GF ，AP=AH-PH=AH-GF ． ··········· （1分） ∴AH GF DGAH BC-=． ························································· （1分）得404060x x-=， 解得24x =． ············································ （1分） 答：加工成的正方形铁片DEFG 的边长等于24cm ． ··················· （1分）解法二：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，交DG 于P ． ···························· （1分）设正方形DEFG 的边长是x cm ，AH =h cm ，BC =a cm ．由题意得：2400a h =，100a h +=． ·································· （1分）∵四边形DEFG 是正方形，EF 在边BC 上，∴DG ∥BC ．得△ADG ∽△ABC ． ····························································· （1分） 由AH ⊥BC ．得AP ⊥DG ，即AP 是△ADG 的高． ······················ （1分） ∴AP DGAH BC=． ································································· （1分） ∵PH ⊥BC ，GF ⊥BC ， ∴PH =GF ，AP=AH-PH=AH-GF ． ··········· （1分）∴h x xh a-=． ··································································· （1分） 得ah x a h =+=2400100=24． ····················································· （2分）答：加工成的正方形铁片DEFG 的边长等于24cm ． ··················· （1分）23． 证明：（1）∵+180ADB BDE ∠∠=，+180ACB ACE ∠∠=， ··············· （2分）又∵ADB ACB ∠=∠， ························································· （1分） ∴BDE ACE ∠=∠． ·························································· （1分） ∵AEC BED ∠=∠， ·························································· （1分） ∴△AEC ∽△BED ． ························································ （1分） （2）∵△AEC ∽△BED ，∴DE BECE AE =． ·································································· （1分） ∴DE CEBE AE=． ································································· （1分） ∵DEC BEA ∠=∠， ·························································· （1分） ∴△DEC ∽△BEA ． ························································· （1分） ∴DC DEAB BE=． ·································································· （1分） ∴BE DC AB DE =． ························································ （1分）24．解：（1）由题意得8,72366.3c a c =⎧⎪⎨=-⨯+⎪⎩解得2,98.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ································· （2分） ∴这个二次函数的解析式是227893y x x =-+. ···························· （1分） ∵点C （9, m ）在这个二次函数的图像上，∴把9x =，y m =代入解析式，得5m =. ································· （1分） 所以m 的值为5.（2）解一：由（1）得C （9, 5）.设直线AC 的表达式是()0y kx b k =+≠， 由题意得8,59.b k b =⎧⎨=+⎩解得1,38.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 表达式是183y x =-+. ················································· （2分） ∴点D 的坐标是（24, 0）. ···························································· （1分） 在Rt △ADO 中，cot 3ODADO AO∠==. ······································· （1分） 解二：由（1）得C （9, 5）.过点C 作CE ⊥x 轴，由CE ∥y 轴，可得CE DEAO DO=. ······················· （1分） 得598DO DO-=. ·········································································· （1分） 解得24DO =. ·········································································· （1分） 在Rt △ADO 中，cot 3ODADO AO∠==. ······································· （1分） （3）∵AQP MQD ∠=∠， QMD ∠>APQ ∠，∴△APQ 与△MDQ 相似只能APQ MDQ ∠=∠. ···························· （1分） 可得cot cot APQ MDQ ∠=∠.过点B 作BF ⊥y 轴，在Rt △FBP 中，cot 3PF APQ BF∠==， 解得18PF =. ··········································································· （2分）∴点P 的坐标是（0, 20）. ··························································· （1分）25、解：（1）过点A 作AH ⊥BN ，垂足为点H . ············································· （1分）由∠BDP ＝90°，可得PD ∥AH ． ·········································· （1分）∴AH CA PD CP=． ····································································· （1分） ∵CA CP ＝x ， x ＝2，PD ＝3， 得：=6AH ． ······································································· （1分）（2） 同理得：=3AH x ． ································································ （1分）在Rt △ABH 中，由tan 3MBN ∠=，可得BH x =， ·················· （1分）从而9DH x =-．∵ PD ∥AH ，∴CH CA CD CP =． 得：9=1x CD x --． ·································································· （1分） ∵12ABC S BC AH =， ∴193921x y x x -⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭． 化简得：2121x y x =-．（1＜x ≤9）······································· （1分+1分） H l P NMD C B A（3）过点P 作PQ ∥AB ，交BN 于点Q .则△PQC ∽△ABC .由△ABC 是等腰三角形，可得△PQC 是等腰三角形.由PQ ∥AB ，可得tan 3PQD ∠=.∴=1DQ，PQ .① 如果AB AC =，得PQ PC =.∴1CD DQ ==.∴1052CB x CQ ===. ······························································ （1分） ②如果AB BC =，得PQ QC =.∴QC =1DC =. ················································ （1分）∴55CB x CQ ===. ..................................................... （1分） ③如果AC BC =，得PC QC =.在Rt △PDC 中，由勾股定理得：4CD =. ································· （1分） ∴9413145CB x CQ +===+. ························································· （1分） 综上所述，当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，x 的值等于5和135．Q lPNMD C B A。

2016上海长宁区初三数学一模试题（满分150分） 2016.1.6 一、选择题。

（本题共6个小题，每题4分，共24分）1、如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）. A.1:2 B.1：4 C.1：2 D.2：12、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）. A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:23、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ）. A.22 B.23 C.21 D.2 4、在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 5、已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O O 21为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A.相交B.内含C.内切D.外切6二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 二、填空题。

（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7、已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是（ ).8、已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，则实数b 的值为（ ） 9、已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是（ ）.10、已知二次函数2)3(-=x y 图像上的两点A （3，a ）和B （x ，b ），则a 和b 的大小关系是a （ ）b.11、圆是轴对称图形，它的对称轴是（ ）.12、已知⊙O 的弦AB=8cm ，弦心距OC=3cm ，那么该圆的半径是（ ）cm.13、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC=1，BC=22,那么sin ∠ACD 的值是（ ）.14、王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处（ ）m.15、已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设m AD =，那么用m 表示AG =（ ）. 16、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=（ ）.17、如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为215-的矩形称作黄金矩形。

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。

2016上海长宁区初三数学一模试题（满分150分） 2016.1.6 一、选择题。

（本题共6个小题，每题4分，共24分）1、如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）. A.1:2 B.1：4 C.1：2 D.2：12、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）. A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:23、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ）. A.22 B.23 C.21 D.2 4、在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 5、已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O O 21为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A.相交B.内含C.内切D.外切6二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 二、填空题。

（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7、已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是（ ).8、已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，则实数b 的值为（ ） 9、已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 和x 的函数关系式是（ ）.10、已知二次函数2)3(-=x y 图像上的两点A （3，a ）和B （x ，b ），则a 和b 的大小关系是a （ ）b.11、圆是轴对称图形，它的对称轴是（ ）.12、已知⊙O 的弦AB=8cm ，弦心距OC=3cm ，那么该圆的半径是（ ）cm.13、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC=1，BC=22,那么sin ∠ACD 的值是（ ）.14、王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处（ ）m.15、已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设m AD =，那么用m 表示AG =（ ）. 16、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=（ ）.17、如果把两条邻边中较短边和较长边的比值为215-的矩形称作黄金矩形。

2016上海长宁区初三数学一模试题一、 （满分150分） 选择题。

（本题共6个小题，每题4分，共24分）1、如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）. :2 ：4 ：2 ：12、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）. A.AD:AB=2:3 :AC=2:5 :DB=2:3 :AE=3:23、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ）. A.22 B.23 C.21 4、在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 5、已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O O 21为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A.相交B.内含C.内切D.外切6二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 二、填空题。

（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7、已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是（ ).8、已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，则实数b 的值为（ ） 9、已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是（ ）.10、已知二次函数2)3(-=x y 图像上的两点A （3，a ）和B （x ，b ），则a 和b 的大小关系是a （ ）b.11、圆是轴对称图形，它的对称轴是（ ）.12、已知⊙O 的弦AB=8cm ，弦心距OC=3cm ，那么该圆的半径是（ ）cm.13、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC=1，BC=22,那么sin ∠ACD 的值是（ ）.14、王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处（ ）m.15、已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设m AD =，那么用m 表示AG =（ ）. 16、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=（ ）.17、如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为215-的矩形称作黄金矩形。

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第二部分第18题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第18题/ 12016年上海市奉贤区中考数学一模第18题/ 22016年上海市虹口区中考数学一模第18题/ 32016年上海市黄浦区中考数学一模第18题/ 42016年上海市嘉定区中考数学一模第18题/ 52016年上海市静安区青浦区中考数学一模第18题/ 62016年上海市闵行区中考数学一模第18题/ 72016年上海市浦东新区中考数学一模第17、18题/ 82016年上海市普陀区中考数学一模第18题/ 102016年上海市松江区中考数学一模第18题/ 112016年上海市徐汇区中考数学一模第18题/ 122016年上海市杨浦区中考数学一模第18题/ 132016年上海市闸北区中考数学一模第18题/ 142016年上海市长宁区金山区中考数学一模第18题/ 152016年上海市宝山区中考数学一模第18题/ 16例 2016年上海市崇明县中考一模第18题如图1，等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，且BD∶DC＝1∶3，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，那么AMAN的值为__________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模18”，拖动点D在BC边上运动，可以体验到，△MBD与△DCN保持相似．答案57．思路如下：如图2，因为∠MDC＝∠B＋∠1＝60°＋∠1，∠MDC＝∠MDN＋∠2＝60°＋∠2，所以∠1＝∠2．又因为∠B＝∠C＝60°，所以△MBD∽△DCN．所以DM MBD AB BD ND DCN AC DC+==+△的周长△的周长．如图3，设等边三角形ABC的边长为4，当BD∶DC＝1∶3时，415437 AM DMAN ND+===+．图2 图3例 2016年上海市奉贤区中考一模第18题如图1，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，cot B ＝12，将边AB 绕点A 旋转，使得点B 落在平行四边形ABCD 的边上，其对应点为B ′（点B ′不与点B 重合），那么sin ∠CAB ′＝________________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模18”，可以体验到，点B 旋转以后得到的点B ′可以落在BC 边上，也可以落在AD 边上．．思路如下：如图2，在Rt △ABE 中，由AB ＝cot B ＝12，可得BE ＝2，AE ＝4．在Rt △ACE 中，由AE ＝4，CE ＝BC －BE ＝6－2＝4，可得AC ＝ACE ＝45°． ①如图3，当点B ′在BC 边上时，B ′E ＝BE ＝2．在等腰直角三角形B ′CH 中，B ′C ＝2，所以B ′H ＝CH在Rt △A B ′H ，B ′H ＝AH ＝AC －CH ＝AB ′＝此时sin ∠CAB ′＝''B HAB ==②如图4，当点B ′在AD 边上时，∠CAB ′＝45°．此时sin ∠CAB ′＝2．图2 图3 图4例 2016年上海市虹口区中考一模第18题如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，点E 是BC 的中点，联结AE ，若将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，联结FC ，则cos ∠ECF ＝__________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模18”，可以体验到，FC //AE ．如图2，由EB ＝EC ＝EF ，可知∠BFC ＝90°． 又因为AE 垂直平分BF ，所以∠BOE ＝90°． 所以FC //AE ．所以∠ECF ＝∠BEA ．在Rt △ABE 中，AB ＝6，BE ＝4，所以AE ＝cos ∠ECF ＝BE AE图2例 2016年上海市黄浦区中考一模第18题如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝45°，点E是AB的中点，DE＝DC，∠EDC ＝90°，若AB＝2，则AD的长是___________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模18”，拖动点D可以改变梯形ABCD和直角三角形CDE的形状，可以体验到，△EMD∽△DNC．当DE＝DC时，△EMD≌△DNC．．思路如下：在Rt△AEM中，AE＝1，∠EAM＝45°，所以EM＝AM＝．．由△EMD≌△DNC，得MD＝NC＝2EM＝AD＝2图2例 2016年上海市嘉定区区中考一模第18题如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝CB，tan∠C＝43．点E在CD边上运动，联结BE．如果EC＝EB，那么DECD的值是_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模18”，拖动点E在CD上运动，可以体验到，点H 是BC的四等分点，当EC＝EB时，EG垂直平分BC．答案13．思路如下：如图2，由AB＝CB，tan∠C＝43，可得DHCH＝ABCH＝CBCH．所以34CD CF=．如图3，当EC＝EB时，EG垂直平分BC，所以E是CF的中点．所以14DE CF=．所以DECD＝13．图2 图3例 2016年上海市静安区青浦区中考一模第18题如图1，将平行四边形ABCD 绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D ′，点C 落到C ′，且点C ′、B 、C 在一直线上，如果AB ＝13，AD ＝3，那么∠A 的余弦值为．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模18”，拖动点D 绕着点A 旋转，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠保持不变（如图2）．当点C ′、B 、C 在一直线上时，△C ′D ′B 是等腰三角形（如图3）．答案135．思路如下： 如图3，在等腰三角形C ′D ′B 中，C ′D ′＝CD ＝13，BD ′＝13－3＝10． 在Rt △C ′D ′E 中，ED ′＝5，C ′D ′＝13，所以cos ∠1＝135．例 2016年上海市闵行区中考一模第18题将一副三角尺如图1摆放，其中在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°．在Rt △EDF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°．点D 为边AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ．将△EDF 绕点D 顺时针旋转角α（0°＜α＜60°），后得到△E ′DF ′，DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，那么PMCN的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模18”，拖动点F ′绕着点D 旋转，可以体验到，△PDM 与△CDN 保持相似，对应边的比等于30°角的直角三角形PDC 的直角边的比．．思路如下：如图2，在Rt △PCD 中，∠PCD ＝∠A ＝30°，所以3PD CD =如图3，由△PDM ∽△CDN ，得PM PD CN CD ==图2 图3例 2016年上海市浦东新区中考一模第17题若抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A(m, 0)、B(n, 0)两点，与y轴交于点C(0, c)，则称△ABC 为“抛物三角形”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件_________．动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模17”，拖动点C在y轴上运动，可以体验到，当点C在y轴负半轴时，△ABC为“倒抛物三角形”．答案a＞0，c＜0．思路如下：因为A(m, 0)、B(n, 0)两点关于y轴对称，所以mn＜0．当mnc＜0时，c＞0，这时抛物线开口向下，所以a＜0（如图1所示）．当mnc＞0时，c＜0，这时抛物线开口向上，所以a＞0（如图2所示）．图1 正抛物三角形图2 倒抛物三角形例 2016年上海市浦东新区中考一模第18题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3．D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的一点（D 、E 均与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE ＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模18”，拖动点E 在AC 上运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在4种情况，其中有一种情况点E 与点A 重合．答案2，3625或258．思路如下：如图1，当E 为直角顶点，∠DCE ＝∠A 时，DA ＝DC ，因此E 是AC 的中点．此时CE ＝2． 如图2，当E 为直角顶点，∠DCE ＝∠B 时，CD ⊥AB ．此时CE ＝3625．图1 图2如图3，当D 为直角顶点，∠DCE ＝∠A 时，DA ＝DC ，因此点D 在AC 的垂直平分线上， CD 是直角三角形ABC 斜边上的中线．此时CE ＝258． 如图4，当D 为直角顶点，∠DCE ＝∠B 时，点E 与点A 重合．图3 图4已知点A (3, 2)是平面直角坐标系中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足BC ∶AB ＝1∶2，设点C 的横坐标为a ，如果用含a 的代数式表示点D 的坐标，那么点D 的坐标是__________．动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模18”，可以体验到，△AFD ≌△CHB ∽△BGA ．答案1(2,3)2a -．思路如下：如图1，构造矩形ABCD 的外接矩形EFGH ，那么△AFD ≌△CHB ∽△BGA ． 设C (a , y )，B (b , 0)，根据12CH BH CB BG AG BA ===，得1322y b a b -==-． 解得b ＝a ＋1，112y a =-．因此DF ＝BH ＝b －a ＝1，AF ＝CH ＝y ＝112a -． 于是x D ＝3－1＝2，y D ＝FG ＝AG ＋AF ＝2＋112a -＝132a -．图1例 2016年上海市松江区中考一模第18题已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模18”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，当点A′落在直线AB上时，CD⊥AB．答案4．思路如下：5如图1，△ACD与△A′CD关于直线DC对称．如图2，当点A′落在直线AB上时，CD⊥AB．此时∠A′CD＝∠ACD＝∠ABC．图1 图2如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，cos B＝35，将△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模18”，拖动点E绕着点A旋转，可以体验到，等腰三角形ABD与等腰三角形ACE保持相似（如图2），当点D落在BC上时，△ABD的三边比是5∶5∶6（如图3）．答案245．思路如下：在Rt△ABC中，AB＝3，cos B＝35，所以BC＝4，AC＝4．如图3，在△ACE中，56ACCE=，所以62455CE AC==．例 2016年上海市杨浦区中考一模第18题如图1，已知△ABC 沿角平分线BE 所在直线翻折，点A 恰好落在BC 边的中点M 处，且AM ＝BE ，那么∠EBC 的正切值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模18”，拖动点A 运动，可以体验到，AB ＝AD ，点E 是BD 的三等分点，点G 是BD 的中点．答案23．思路如下：如图2，由∠1＝∠2＝∠3，可得AB ＝AD ．又因为AB ＝MB ，M 是BC 的中点，所以AD ＝MB ＝MC ．所以1BG MB DG AD ==，2BE BCDE AD==（如图3）． 所以23BE BD =，12BG BD =．所以43BE BG =．当AM ＝BE 时，12MG BE =．此时tan ∠EBC ＝1223MG BE BG BG =⨯=．图2 图3如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着过点A的折痕翻折，使点B落在AD边上的点F，折痕交BC于点E，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A的折痕翻折，点E恰好与点D重合，此时折痕交DC于点G，则CG∶GD的值为________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模18”，拖动点D可以改变矩形ABCD的形状，可以体验到，△ABE是等腰直角三角形保持不变，EG与E′G保持相等，当点E′与点D重合时，△CEG是等腰直角三角形．答案1如图4，当点E′与点D重合时，△CEG是等腰直角三角形，CG∶EG＝1例 2016年上海市长宁区金山区中考一模第18题如图1，四边形ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，如果tan∠AEN＝13，DC＋CE＝10，那么△ANE的面积为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16长宁金山一模18”，可以体验到，根据对称性，∠AEN＝∠EAN，AN＝EN．答案103．思路如下：如图2，根据对称性，∠AEN＝∠EAN，当tan∠AEN＝tan∠EAN＝13，设BE＝m，那么正方形的边长为3m．当DC＋CE＝10时，2m＋3m＝10．解得m＝2．设AN＝EN＝n，在Rt△BEN中，由勾股定理，得n2＝(6－n)2＋22．解得n＝103．所以S△ANE＝12AN BE＝103．图2如图1，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，M是抛物线的顶点．现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为_____________（面积单位）．图1动感体验请打开几何画板文件名“16宝山一模18”，拖动点M ′上下运动，可以体验到，夹在两条抛物线之间的竖直线段的长与MM′保持相等，因此曲线CMB在平移过程中扫过的面积等于平行四边形CMM ′C′和平行四边形BMM ′B′的和．答案9．思路如下：由y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)，B(3, 0)，C(0,－3)．如图3，当CC′＝3时，S平行四边形CMM ′C′＋S平行四边形BMM ′B′＝MM ′×OB＝9．。

普陀区2016学年第一学期初三数学一模试卷一、选择题1.“相似的图形”是（ ）A.形状相同的图形；B.大小不相同的图形；C.能够重合的图形；D.大小相同的图形 2.下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） A.21y x =+； B.2(1)y x x =+； C.22y x=； D.22(2)y x x =-- 3.如图1，直线123l l l ，直线AC 分别交23l l l 、、于点A 、 B 、C ，直线DF 分别交23l l l 、、于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ，如果AH ＝2，HB ＝1，BC ＝5，那么DEEF的 值等于（ ） A.15 B. 13C. 25D. 35 4.抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（ ） A.抛物线与x 轴的一个交点坐标为（－2，0）；B.抛物线与y 轴的交点坐标为（0，6）； C.抛物线的对称轴是直线x ＝0； D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的.5.如图2，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC BAC ∆∆与相似的是（ ）A. DAC ABC ∠=∠B.AC 是BCD ∠的平分线；C.2AC BC CD = D.AD DCAB AC=6.下列说法中，错误的是（ ） A.长度为1的向量叫做单位向量；B.如果0k ≠，且0a ≠ ，那么ka 的方向与a的方向相同；C.如果k ＝0或0a = ，那么0ka =D ．如果52a c = ，12bc =-，其中c 是非零向量，那么a b .二、填空题7.如果x ：y ＝4：3，那么x yy-＝ . 8.计算：34()a a b -+＝ .图2D BA9.如果抛物线2(1)y m x =-的开口向上，那么m 的取值范围是 . 10.抛物线243y x x =-与y 轴的交点坐标是11.如果点(3,)A n 在二次函数223y x x =+-的图像上，那么n 的值等于 . 12.已知线段AB 的长为10厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于 厘米.13.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 14.(圆略)15.如果在港口A 的南偏东52︒方向有一座小岛B ，那么从小岛B 观察港口A 的方向 是 . 16.（圆略）17.如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于18.如图3，DE//BC ，且过ABC ∆的重心，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点P 是线段DE 上一点，CP 的延长交AB 于点Q. 如果14DP DE =，那么:DPQ CPE S S ∆∆的值是 三、解答题 19.计算：2cot30cos 452sin601︒︒+︒︒+20.（圆略）21.如图4，已知向量OA OB OP、和.（1）求作：向量OP 分别在OA OB、方向上的分向量OD OE 、；（不要求写作法，但要在图中明确标出向量OD OE、） （2）如果点A 是线段OD 的中点，联结AE ，交线段OP 于点Q ，设OA a = 、OP p =，那么试用a p 、表示向量PE QE、.（请直接写出结论）QPD E BA图3图 4PO22.一段斜坡路面的截面图如图所示，BC AC ⊥，其中坡面AB 的坡比11:2i =.现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡角的一半，求新坡面AD 的坡比2i .（结果保留根号）1:2D CBA23.已知：如图7，在四边形ABCD 中，BAD CDA ∠=∠，AB ＝DCCE ＝a,AC=b. 求证：（1）DEC ∆∽ADC ∆；（2）AE AB BC DE =EDCBA24.如图8，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，0）是抛物线22y ax x c =++上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B （0，2），平移后所得到的新抛物线的顶点记为C ，新抛物线的对称轴与线段AB 的交点记为P.（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C 的坐标； （2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且BCQ ACP ∆∆与相似，求点Q 的坐标.25.如图9，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB ＝10，3sin 5B =，点O 是AB 的中点.DOE A ∠=∠，当DOE ∠以点O 为旋转中心旋转时，OD 交AC 的延长线于点D ，交边CB 于点M ，OE 交线段BM 于点N. （1）当CM ＝2时，求线段CD 的长；（2）设CM ＝x ，BN ＝y ，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果OMN ∆是以OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM 的长.(备用图)C B A O M N E DC B A (图9)。

AC普陀区2015学年度第一学期初三质量调研数学试卷一、选择题1. 如图1，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE ∥BC 地条件是( ) (A)AE:EC=AD:DB ；(B)AD:AB=DE:BC ； (C)AD:DE=AB:BC ；(D)BD:AB=AC:EC .2. 在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 地中点，DE ∥BC ，如果△ADE 地面积等于3，那么△ABC 地面积等于( ) (A)6；(B)9；(C)12；(D)15.3. 如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上地高，下列线段地比值不等于cos A 地值地是( )(A)ADAC ； (B)ACAB ； (C)BD BC；(D)CD BC.4. 如果a 、b 同号，那么二次函数地大致图像是( )5. 下列命题中，正确地是( )(A)圆心角相等，所对地弦地弦心距相等； (B)三点确定一个圆；(C)平分弦地直径垂直于弦，并且平分弦所对地弧； (D)弦地垂直平分线必经过圆心.图1图2ABOB已知在平行四边形ABCD 中，点M、N 分别是边BC 、CD 地中点，如果，那么向量关于地分解式是( )(A)； (B)； (C)； (D)(B).二、填空题7. 如果x:y=2:5，那么y xx y-+=__________； 8. 计算：2()+()=_________；9. 计算：2sin 45cot 30tan 60︒+︒⋅︒=____________；已知点P 把线段分割成AP 和PB (AP>PB )两段，如果AP 是AB 和PB 地比例中项，那么AP:AB 地值等于________；在函数①，②，③，④中，y 关于x 地二次函数是___________(填写序号)；12. 二次函数地图像有最_______点；(填“高”或“低”)13. 如果抛物线地顶点坐标为(1,3)，那么m+n 地值等于_______；14. 如图3，点G 为△ABC 地重心，DE 经过点G ，DE ∥AC ，EF ∥AB ，如果DE 长是4，那么CF 地长是_________；15. 如图4，半圆形纸片地半径长是1cm ，用如图所示地方法将纸片对折，使对折后半圆地中点M 与圆心O 重合，那么折痕CD 地长是________cm ；已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ 与△ABC 相似，那么AP 地长等于________；图3图4图5某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程地安全性，工人师傅将原坡角为45°地传送带AB ，调整为坡度i=地新传送带AC (如图5所示)，已知原传送带AB 地长是米.那么新传送带AC 地长是________米；已知A (3,2)是平面直角坐标系中地一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足BC:AB=1:2，设点C 地横坐标是a ，如果用含a 地代数式表示点D 地坐标，那么点D 地坐标是_______.三、解答题19. 已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ，点M 是边BC 地中点，.(1) 填空：=_________，=_____________(结果用、表示)；(2) 直接在图中画出向量(不要求写作法，但要指出图中表示结论地向量).将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m (m>0)个单位，所得新抛物线经过点()，求新抛物线地表达式及新抛物线与y 轴交点地坐标.如图7，已知AD 是地直径，AB 、BC 是地弦，AD ⊥BC ，垂足是点E ，BC=8，DE =2.求地半径长和sin ∠BAD 地值.图6FEGDCBABAED已知：如图8，有一块面积等于1200cm 2地三角形铁片ABC ，已知底边BC 与底边上地高地和为100cm(底边BC 大于底边上地高)，要把它加工成一个正方形铁片，使正方形地一边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，求加工成地正方形铁片DEFG 地边长.23. 已知：如图9，在四边形ABCD 中，∠ADB=∠ACB ，延长AD 、BC 相交于点E ，求证：(1) △ACE ∽△BDE ； (2) BE·DC=AB·DE.已知，如图10，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数地图像经过点A (0,8)、B (6,2)、C (9,m )，延长AC 交x 轴于点D.(1)求这个二次函数地解析式及m 地值；图7图8图9(2)求∠ADO地余切值；(3)过点B地直线分别于y轴正半轴、x轴、线段AD交于点P(点A地上方)、M、Q，使以点P、A、Q为顶点地三角形与△MDQ相似，求此时点P地坐标.图10如图11，已知锐角∠MBN地正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN地边BN上，点P在∠MBN内，PD=3，BD=9.直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C.设=x，(1)求x=2时，点A到BN地距离；B(2)设△ABC 地面积为y ，求y 关于x 地函数解析式，并写出函数地定义域； (3)当△ABC 因l 地旋转成为等腰三角形时，求x 地值.备用图。

，即不能得出内错角相等，不能推出，故，即不能得出内错角相等，不能推出，故，即不能得出内错角相等，不能推出，故纠错
+试题篮DE //BC DE //BC DE //BC D.的面积为（ ）．
ABC 12
01
8/
12
/0
4
D.
答 案解 析
D
，时，抛物线开口向上，对称轴，在轴左边，与轴正半轴相交，，时，抛物线开口向下，对称轴，在轴左边，与轴正半轴坐标轴相交，
选项符合，
故选：．
a b y a >0b >0<0y y a <0b <0<0y y D D 圆心角相等，所对的弦的弦心距相等
三点确定一个圆
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
弦的垂直平分线必经过圆心
答 案解 析下列命题中，正确的是（ ）．
D
、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误，、不在一条直线上的三点确定一个圆，错误，
A B
，如果与相似，那
AQ =3△AP Q △ABC 的传送带，调整为坡度的新
的长是 米．
AB i =1:3√
，
．=a =AB −→−b
）个单位，所得新抛物线经过点，求新抛物线的表达式
(−1,4)
，，求⊙的半径长和
DE=2O
．求证：
的上方）、、，使以点、、为顶点的
，
．
（根据题意，这种情况不可×9+8=55M Q P A Q ∠DMQ
∴，，∴点的坐标是．
PH =18OP =20P (0,20)学生版 教师版
答案版
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