第七章 真空中的静电场
7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。
解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为
)41()2
2(
420+=
a q F πε＝,252
0a
q
πε方向由q 指向-4q 。 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1）
求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。
解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则
2
02
0)(4)(4ξπεξ
λξπεξ
λ-=
-=
x d x d dE
则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为
)1
1(4)(400
2
x
L x x d E L
--=-=
⎰
πελξξπελ ＝
)
(40L x x L
-πελ方向沿ξ轴正向。
（2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y
2
04r dx
dE πελ=
θπελcos 42
0r
dx
dE y =
， θπελsin 42
0r dx
dE x =
因θ
θθθcos ,cos ,2
y
r d y dx ytg x ===， 代入上式，则
)cos 1(400θπελ--
=y ＝)11
(42
2
0L
y y
+--πελ，方向沿x 轴负向。
习题7－1图
dq ξ
d ξ
习题7－2 图a
x θ
θπελ
θd y dE E x x ⎰⎰-=-=0
0sin 4
x
dx
习题7－2 图b
y
θθπελ
θd y dE E y y ⎰⎰=
=0
0cos 4
00sin 4θπελy =
＝2204L
y y L
+πελ
7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。
解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。对称分析E y =0。
θπεθ
λsin 42
0R Rd dE x =
⎰⎰==πθπελ
0sin 4R dE E x
R
02πελ= 2
02
2R
q επ=
，如图，方向沿x 轴正向。
7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。
解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，
x
E 01
2πελ=
两线间的相互作用力为
⎰⎰==x dx dF F 0212πελλ⎰=l
a x dx 0
2
12πελ
λ
,ln 2021a
l
a +πελλ如图，方向沿x 轴正向。 7－5 两个点电荷所带电荷之和为Q ，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q ，另一个即为Q －q ，若它们间的距离为r ，它们间的相互作用力为
2
04)
(r q Q q F πε-=
相互作用力最大的条件为
04220=-=r
q
Q dq dF πε
x
y
习题7－3图
λ1 习题7－4图
由上式可得：Q=2q ，q=Q/2
7－6 一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。
解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为
θθπσθπσd R rRd dq sin 222==
dq 在o 点产生的电场据（7－10）式为
3
04R ydq
dE πε=
，θcos R y =
θθπεθ
πσπ
d R
R dE E cos 4sin 200
3
03⎰
⎰== )(sin sin 200
θθεσπ
d ⎰
=20
2
02
sin 2π
θ
εσ=
4εσ
=
。如图，方向沿y 轴负向。 7－7 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。
解：如图，设作一圆平面S 1盖住半球面S 2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0， 即
02
1
=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰S S S
S d E S d E S d E ρρρρρρ
22
1
1R E S d E S d E S S S π-=⋅-=⋅=ψ⎰⎰ρ
ρρρ
7－8 求半径为R ，带电量为q 的空心球面的电场强度分布。
解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E 的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S 1与S 2。对S 1与S 2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为
04d 21
==⋅=⎰r E S πψS E
得 0=内E （r24d 2
επψq
r E S =
=⋅=⎰S E
r
r
ˆ2
04q πε=
外E (r>R)
习题7－6图
E
习题7－7图
r
习题7－18图
