九年级数学下册第三章圆专题(七)与垂径定理有关的辅助线作业课件新版北师大版

证明：连接 OB，OD， 过 O 作 OM⊥AB 于点 M，ON⊥CD 于点 N，
则由垂径定理得 BM＝1AB，DN＝1CD.
2
2
∵AB＝CD，∴BM＝DN，
由勾股定理，得 OM2＝OB2－BM2，ON2＝OD2－DN2，
∴OM＝ON.∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴OP 平分∠BPD.
10．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，sin∠ABC＝3，圆 O 经过点 B，C，圆心 O 在 5
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．
解：连接 OC，设 OP＝x，则 OC＝OB＝2x，直径 AB＝4x. ∵AB⊥CD，∴PC＝1CD＝3 cm.
2 在 Rt△COP 中，OC2＝OP2＋PC2， 即(2x)2＝x2＋32，解得 x＝ 3 cm， ∴直径 AB 的长为 4 3 cm.
∵∠A＝30°，∴OE＝1OA＝5， 22
∴在 Rt△OEM 中，ME＝ OM2－OE2＝ ∴MN＝2ME＝ 11.
32－（5）2＝ 11，
2
2
12．如图，已知⊙O 的半径为 3，点 M 为⊙O 内的一个定点，且 OM＝ 5，AB，CD
是⊙O 的两条相互垂直的弦，垂足为 M.
(1)当 AB＝4 时，求四边形 ADBC 的面积；
(2)连接 OD，
∵AB⊥CD，AB 是直径，
∴A︵D＝A︵C＝1C︵D，∴∠COA＝1∠COD.
2
2
∵∠CPD＝1∠COD，∴∠CPD＝∠COA. 2
在 Rt△OCH 中，sin∠COA＝CH＝4.∴sin∠CPD＝sin∠COA＝4.
CO 5
5
二、作圆心到弦的垂线 9．如图，⊙O的弦AB，CD交于点P，AB＝CD.求证：OP平分∠BPD.
11．如图，过△OAB的顶点O作⊙O，与边OA，OB分别交于点C，D，与边AB交于M，N两点，且
CD∥AB，已知OC＝3，CA＝2.
(1)求OB的长；
(2)若∠A＝30°，求MN的长．
解：(1)∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC. ∵CD∥AB，∴∠A＝∠OCD，∠B＝∠ODC， ∴∠A＝∠B，∴OB＝OA＝OC＋CA＝3＋2＝5. (2)过点 O 作 OE⊥MN 于点 E，连接 OM，则 MN＝2ME.
第三章 圆
专题(七) 与垂径定理有关的辅助线
一、连半径构造直角三角形
1．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D.若C(0，9)，D(0，－1)，
C
则线段AB的长度为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
2．(2018·衢州)如图，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于点 E，连接 BC，过点 O 作 OF⊥BC
于点 F，若 BD＝8 cm，AE＝2 cm，则 OF 的长度是( D )
A．3 cm
B. 6 cm
C．2.5 cm
D. 5 cm
3．如图，已知⊙O 的直径为 4 5 cm，弦 AB 的长为 8 cm，点 P 为弦 AB 上一动点．若
OP 的长度为整数，则满足条件的点 P 有( C )
A．2 个 B．3 个
(2)求四边形 ADBC 面积的最大值．
解：(1)分别过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，OF⊥AB 于点 F， 连接 OB，OC，则四边形 OEMF 为矩形
BF＝1AB＝2.∴OF＝ OB2－BF2＝ 5. 2
又∵OE2＋OF2＝OM2＝5，∴OE＝0，∴CD＝6，∴S 四边形 ADBC＝12AB·CD＝12.
(2)设 OE＝x，OF＝y，则 x2＋y2＝5.∵AB＝2 9－y2，CD＝1×2 9－x2， 2
∴S
四 边形
ADBC
＝
1 2
AB
·
CD
＝
1 2Leabharlann ×29－y2 × 2
9－x2 ＝ 2
－x4＋5x2＋36 ＝
2 －（x2－5）2＋169，
2
4
∴当 x2＝5时，四边形 ADBC 的面积最大，最大面积是 13. 2
︵ 7．如图所示，M 是AB的中点，N 是弦 AB 的中点，AB＝4 3，MN＝2，求圆心 O 到 AB
的距离．
︵ 解：连接 ON，OB，∵M 是AB的中点，N 是弦 AB 的中点，
∴M，N，O 三点共线，且 MN⊥AB，AN＝BN. ∵AB＝4 3，MN＝2，∴若设 ON＝x， 则 OB＝2＋x，BN＝2 3， ∴x2＋(2 3)2＝(x＋2)2，解得 x＝2，即圆心 O 到 AB 的距离为 2.
C．5 个
D．7 个
4．如图，以P(－4.5，0)为圆心，且经过(－2，0)的⊙P以1个单位/秒的速度沿x轴向右运
动，则当⊙P被y轴所截得的弦的长为4时，⊙P移动的时间为( D )
A．2秒
B．3秒
C．2秒或4秒
D．3秒或6秒
5．在⊙O中，AB为直径，AB＝10，点M，N均在⊙O上，MN⊥AB，将⊙O沿MN翻折，翻折后点D 与点B对应，则当AD＝2时，MD的长为_____2__1_0_或__2__1_5_______．
8．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，P是CBD上任意一点，AH＝2，CH＝4.
(1)求⊙O的半径r的长度；
(2)求sin∠CPD的值
解：(1)连接 OC， ∵AB⊥CD，∴∠CHO＝90°. 在 Rt△COH 中，∵OC＝r，OH＝r－2，CH＝4， ∴r2＝42＋(r－2)2，∴r＝5.
△ABC 的内部，且到点 A 的距离为 2，求圆 O 的半径．
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，连接 OB， ∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD 过圆心 O. ∵sin∠ABC＝3，AB＝10，∴AD＝6，∴OD＝AD－OA＝6－2＝4，
5 ∴BD＝ AB2－AD2＝ 102－62＝8， 在 Rt△OBD 中，∵OD＝4，BD＝8， ∴OB＝ OD2＋BD2＝ 42＋82＝4 5，即⊙O 的半径为 4 5.