二项分布参数p的区间估计 _ F分布法

生物统计学各章题目一填空1．变量按其性质可以分为（连续）变量和（非连续）变量。

2．样本统计数是总体（参数）的估计值。

3．生物统计学是研究生命过程中以样本来推断（总体）的一门学科。

4．生物统计学的基本内容包括（试验设计）和（统计分析）两大部分。

5．生物统计学的发展过程经历了（古典记录统计学）、（近代描述统计学）和（现代推断统计学）3个阶段。

6．生物学研究中，一般将样本容量（n ≥30）称为大样本。

7．试验误差可以分为（随机误差）和（系统误差）两类。

判断1．对于有限总体不必用统计推断方法。

（×）2．资料的精确性高，其准确性也一定高。

（×）3．在试验设计中，随机误差只能减小，而不能完全消除。

（∨）4．统计学上的试验误差，通常指随机误差。

（∨）二填空1．资料按生物的性状特征可分为（数量性状资料）变量和（质量性状资料）变量。

2. 直方图适合于表示（连续变量）资料的次数分布。

3．变量的分布具有两个明显基本特征，即（集中性）和（离散性）。

4．反映变量集中性的特征数是（平均数），反映变量离散性的特征数是（变异数）。

5．样本标准差的计算公式s=（ ）。

判断题1. 计数资料也称连续性变量资料,计量资料也称非连续性变量资料。

（×） 122--∑∑n n x x )(2. 条形图和多边形图均适合于表示计数资料的次数分布。

（×）3. 离均差平方和为最小。

（∨）4. 资料中出现最多的那个观测值或最多一组的中点值,称为众数。

（∨）5. 变异系数是样本变量的绝对变异量。

（×）单项选择1. 下列变量中属于非连续性变量的是( C ).A. 身高B.体重C.血型D.血压2. 对某鱼塘不同年龄鱼的尾数进行统计分析,可做成( A )图来表示.A. 条形B.直方C.多边形D.折线3. 关于平均数,下列说法正确的是( B ).A.正态分布的算术平均数和几何平均数相等. B.正态分布的算术平均数和中位数相等. C.正态分布的中位数和几何平均数相等. D. 正态分布的算术平均数、中位数、几何平均数均相等。

医学统计学二项分布课件xx年xx月xx日•二项分布概述•二项分布数学模型•二项分布的参数估计•二项分布与其它分布的关系目•二项分布的应用实例•二项分布在SPSS和R语言中的应用录01二项分布概述二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立的是/非试验中成功的次数的概率分布。

其中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。

定义B(n, p) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)公式二项分布的定义二项分布的特点二项分布在n次独立的是/非试验中成功的次数。

二项分布的随机变量取值为0，1，2，…，n。

在n次独立的是/非试验中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。

描述病情变化在医学领域中，病情变化是一个二项分布的过程。

病情可能变好也可能变坏，每次试验可以看作是医生对病情的观察和评估。

临床试验设计在临床试验中，通常将二项分布应用于设计试验方案和分析数据。

例如，在随机对照试验中，将患者随机分为试验组和对照组，比较两组的有效率或成功率等指标。

诊断和预后在医学诊断和预后评估中，通常将二项分布应用于计算概率和可信区间。

例如，计算某疾病的发病率、某检查手段的阳性率等指标。

二项分布在医学统计学中的应用02二项分布数学模型二项分布概率函数公式：$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$其中 $C(n, k)$ 表示组合数，$p$ 表示每次试验成功的概率，$n$ 表示试验次数二项分布概率函数二项分布的均值$E(X) = np$二项分布的方差$D(X) = np(1-p)$二项分布的均值和方差二项分布曲线是一个钟形曲线随着 $n$ 的增大，曲线越来越接近正态分布曲线二项分布曲线的形状03二项分布的参数估计样本大小的选择确定样本量医学研究中，样本量的选择是至关重要的。

通常根据研究目的、研究因素的数量和研究因素的水平数来决定样本量。

考虑变异性和研究因素在选择样本量时，需要考虑研究因素的变异性和水平数。

数理统计11：区间估计，t分布，F分布在之前的⼗篇⽂章中，我们⽤了九篇⽂章的篇幅讨论了点估计的相关知识，现在来稍作回顾。

⾸先，我们讨论了正态分布两个参数——均值、⽅差的点估计，给出了它们的分布信息，并指出它们是相互独⽴的；然后，我们讨论到其他的分布族，介绍了点估计的评判标准——⽆偏性、相合性、有效性；之后，我们基于⽆偏性和相合性的讨论给出了常⽤分布的参数点估计，并介绍了两种常⽤于寻找点估计量的⽅法——矩法与极⼤似然法；最后，我们对点估计的有效性进⾏了讨论，给出了⼀些验证、寻找UMVUE的⽅法，并介绍了CR不等式，给出了⽆偏估计效率的定义。

以上就是我们在前九篇⽂章中提到的主要内容，还顺便介绍了⼀些常⽤的分布：Γ分布、β分布、χ2分布。

今天开始，我们将进⼊区间估计与假设检验部分。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：什么是区间估计区间估计同样是参数估计的⼀种⽅法，不同于点估计⽤样本计算出的⼀个统计量直接作为原始参数的估计，区间估计会根据抽取出的样本，计算出⼀个基于样本观测值的区间。

简单说来，如果对总体f(x;θ)中的参数θ作估计，则⾸先从总体中获得样本\boldsymbol{X}=(X_1,\cdots,X_n)，并确定两个具有确定⼤⼩关系的统计量\hat g_1(\boldsymbol{X})\le \hat g_2(\boldsymbol{X})，根据样本观测值计算出的区间[\hat g_1(\boldsymbol{X}),\hat g_2(\boldsymbol{X})]就是待估参数\theta的区间估计。

由此，我们可以看出，区间估计依然是依赖于统计量的，并且往往需要不⽌⼀个统计量。

区间估计相⽐于点估计的特点是，区间估计给出了⼀个相对“粗糙”的范围，这就导致你需要使⽤这个参数时，不像点估计⼀样能直接把估计值拿来⽤；但是，区间估计具有涵盖参数真值的可能，因为当参数空间\Theta的取值连续时，点估计\hat\theta与真值相等的可能性\mathbb{P}(\hat\theta=\theta)=0，但是区间估计包含真值的可能性\mathbb{P}(\theta\in[\hatg_1(\boldsymbol{X}),\hat g_2(\boldsymbol{X})])>0，这使得区间估计⽐起点估计⽽⾔，增加了⼀定的可靠性。

概率论与数理统计期末总复习一、填空题1． 设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 = 9.23 。

2．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i = ，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}i i E X X =-=∑__________. 解： 设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑3．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2E X 4． 设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX p DX nDX p p n n n=⋅==⋅=-22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=-- 5．设总体12~(),,,,n X P X X X λ 为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====6．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a b EX += 2()12b a DX n-=7．设总体2126~(0,),,,,X N X X Xσ 为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立213C σ∴= 8．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.95()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-=，查t 分布表0.954(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-9． 在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = ()2 1.51Φ- 。

正态分布与二项分布主要内容正态分布的概念和特征标准正态分布正态分布曲线下的面积医学参考值范围二项分布的基本概念和性质二项分布的概率计算方法体重分布65.062.560.057.555.052.550.047.545.042.540.06050403020100Std. Dev = 5.76Mean = 51.5N = 300.00正态分布正态分布（normal distribution）又称高斯（Gauss）分布，是以均数为中心，左右两侧基本对称的钟型分布。

越接近均数，频数分布越多，离均数越远，频数分布越少。

正态分布是一种重要的连续型分布，是许多统计方法的理论基础。

正态分布的概率密度函数 将正态分布曲线用函数形式表达，称为正态分布的概率密度函数，记为f(x)，即正态分布曲线的方程为：一般用N （μ，σ2）表示均数为μ，方差为σ2的正态分布。

222)(21)(σμσπ--=x e x f正态分布曲线3210-1-2-3μ-σμ+σμ正态分布曲线密度曲线图中，横轴表示测量指标x，纵轴表示密度函数值f(x)。

⏹观察值x附近个体值分布越密集，f(x)值越大；⏹x附近的个体值分布越稀疏，f(x)值就越小。

密度函数f(x)的大小，反映了x附近的测量值的密集程度。

正态分布的特征正态曲线为位于横轴上方的钟形曲线。

正态分布以μ为中心，左右两侧对称。

正态分布曲线以横轴为其渐近线，但两端与横轴永不相交。

正态分布有两个参数，即μ和σ。

可通过标准化变换将一般正态分布N（μ，σ2）转化为标准正态分布N（0，1）。

正态分布曲线下的面积具有一定的规律性。

正态分布的两个参数：μ和σμ是位置参数，用以描述正态分布的集中位置。

⏹当σ恒定，改变μ，则曲线沿x轴平移，但形状不变，⏹μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。

σ是变异度参数或形状参数，用以描述曲线的离散程度。

⏹当μ恒定时，改变σ，则曲线的形状会发生变化，而曲线的中心位置不变，⏹σ越大，表示数据越分散，曲线越扁平，变异越大；σ越小，表示数据越集中，曲线越陡峭，变异越小。

统计学复习要点-医学总体率的估计（二项分布）：（1）查表法：当样本含量n ≤50，特别是p 很接近于0或1时，按二项分布原理估计总体率的可信区间，可根据样本含量n 和阳性例数X 乾地查表查出总体率的可信区间。

（2）近态近似法：当样本含量n 足够大，且np>5且n(1-p)>5，样本率p 的抽样分布近似正态分布，总体率的可信区间),(2/2/p p S u p S up αα+-已知：n=，p= =-=np p s p )1( np=?>5 n(1-p)=?>5总体率的可信区间)96.1,96.1(pp S p S p +- 实际准备的药物：求出的上下限分别乘以总n 。

正态分布、二项式和泊松分布的关系：二项分布（binomial distribution ）：对只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

Poisson 分布是在π很小，样本含量n 趋于无穷大时，二项分布的极限形式。

当v=∞时，t 分布即为u 分布，趋向正态分布。

正态分布的特征：正态曲线在横轴上方均数处最高；以均数为中心，左右对称；正态分布有两个参数，即均数μ（位置参数）和标准差σ（形状参数），μ越大，曲线沿横轴越向右移动；σ越大，曲张越平阔；正态分布在±1σ处各有个拐点；正态曲线下的面积分布有一定的规律。

t 分布的特征：以0为中心，左右两侧对称的单峰型分布；t 分布曲线的变化与自由度的大小有关，自由度v 越小，则t 值越分散，曲线越低平；自由度v 逐渐增大时，则t 分布逐渐逼近正态分布。

当v=∞时，t 分布即为u 分布。

X s X t/)(μ-= n s s X /= 标准正态分布（u 分布）与t 分布有何异同？答：相同点：t 分布和标准正态分布（u 分布）都是以0为中心的正态分布。

标准正态分布是t 分布的特例（自由度是无限大时）。

不同点：t 分布为抽样分布，u 分布为理论分布；t 分布比标准正态分布的峰值低，且尾部翘得更高；t 分布受自由度大小的影响，随着自由度的增大，逐渐趋近于标准正态分布；t 分布有无数条曲线，而u 分布只有唯一一条曲线。

第7章参数估计 ----点估计一、填空题1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10P ，n X X X 21,是其一个样本，那么矩估计量pX N.2、设总体)p ,1(B ~X ，其中未知参数01p, X X X n 12,,是X 的样本，则p 的矩估计为_n1i iX n1_，样本的似然函数为_iiX 1n1i X )p 1(p __。

3、设12,,,n X X X 是来自总体),(N ~X 2的样本，则有关于及2的似然函数212(,,;,)n L X X X _2i2)X (21n1i e21__。

二、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ，其中1是未知参数，n X X X ,,21为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.解：因10101α1α1αdxxdxx x X E a)()()(2α1α2α1α12|a x令2α1α)(XX E XX112α为的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()nn n L x x x x x x ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由ni iX n L 101ααln ln 得，的极大似量估计量为)ln (ni iX n11α2、设总体X 服从指数分布,0()0,xe xf x 其他，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）由于1()E X ，令11XX，故的矩估计为1X（2）似然函数112(,,,)nii x nn L x x x e111ln lnln 0nii nini ii L n x d Lnnx dx 故的极大似然估计仍为1X。

3、设总体2~0,X N ，12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本，求2的极大似然估计；[解] (1)似然函数222112i x ni Le2212222ni i x ne于是2221ln ln 2ln222ni i x n n L22241ln 122n ii d L n x d，令2ln 0d L d，得2的极大似然估计：2211nii X n.4、设总体X 服从泊松分布()P , 12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）令()E X XX ，此为的矩估计。