初二数学培优之配方法

数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。

2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。

例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。

3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。

例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。

点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。

4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。

例4、解方程052422=+-++y x y x 。

点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。

5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。

可以使我们求出所要求的最值。

例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。

第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。

这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。

【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间学 科数学课题名称一元二次方程的解法（2）知识点Ⅰ： 配方法解一元二次方程1.定义：先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方形式，然后直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法。

2.理论依据：222)(2b a b ab a ±=+±3.步骤：二次项系数化为1；移项；配方：配上一次项系数一半的平方；直接开平方法解。

【例1】 (1) 2x ++x 8 = (+x )2;一元二次方程的解法（2）(2) _2a 6+a = (-a )2; (3) 2y 32-+y = (-y )2. 【答案】（1）164（2）93（3）1193【例2】（1）x x 252-+____=2___)(-x ; (2)px x -2+_____=2__)(-x ; (3)x ab x +2+ ______=2___)(+x . 【答案】（1）255164（2）242p p （3）2242b baa【例3】用配方法解方程（1）2610x x --= （2）22330x x --=（3）22410x x --= （4）22370x x +-= 【答案】（1）12310310x x =+=-（2）1233333344x x +-==（3）12262622x x +-==（4）1236536544x x -+--==知识点Ⅱ：一元二次方程的解法公式法1.求根公式推导：（3）23102x x --= （4）()441t t -=（5）2102x x --= （6）2243220x x +-= 【答案】（1）1242242233y y +-==（2）12513x x ==-（3）12122x x ==-（4）12235235x x =+=-（5）12131322x x +-==（6）12622622x x =-+=--知识点Ⅲ： 用适当的方法求一元二次方程先观察形式，在看是否需要整理成一般形式；考虑十字相乘法，在考虑公式法。

上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！17.2 一元二次方程的解法1.配方法学习目标：1.理解配方法的意义，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．通过对配方法的探究渗透转化的数学思想，经历从特殊到一般的认知过程，培养观察能力和归纳能力.3．激发学生学数学的兴趣，主动探究知识、自主学习和合作交流的意识，体会学数学的快乐。

学习重点：会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．学习难点：难点是发现与理解配方法.学习过程：知识回顾:1、某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？解：设无公害蔬菜产量的年增长率为x ，2005年的产量为，则可得方a 程：整理后，得：a x a 2)1(2=+0122=-+x x 到这里，问题还没有得到完全解决，我们认识了一种新的方程——一元二次方程，但是这样的方程，我们怎样来求它的解呢？2、用直接开平方法解下列方程：（1）、 （2）、22=x 75)1(32=+x 自学探究:1、如何解方程呢？0122=-+x x 显然，无法使用直接开平方法，观察上面的方程求解过程不难发现，如果能够将方程左边变形成一个完全平方式，而右边是一个非负数，问题便可以得到解决。

我们来做下面一组练习：（1）； （2）22____)(____4+=++x x x 22____)(____8-=+-x x x （3）； （4） 22____)(____3-=+-x x x 22____)(____5+=++y y y 通过上面一组练习的启发，我们对方程做如下尝试变形： 0122=-+x x 移项：122=+x x 两边同时：1+11122+=++x x 即：2)1(2=+x 此时，发现可以适用直接开平方法，得：_______. 2)1(2=+x =+1x 所以，原方程的根是：______________ ， _____________ .=1x =2x 2、从而得出：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用直接开平方法进行求解,这种解法叫做配方法。

一元二次方程的解法——配方法教案课程名称一元二次方程的解法——配方法
教学目标1.理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程。

2.通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想。

第一节课教学过程
教学流程
步骤一：进门考（复习巩固）时间分配：2’1.如果一个数的平方等于4，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。

一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2.直接开平方法可以解什么类型的一元二次方程。

步骤二：时间分配：5’教师活动: （问题探索）
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？请根据这一问题，列出方程。

分析：解决未知的问题可以运用方程思想，即可以先设出第一个数。

解：那么梯子的底端滑动x米，
由勾股定理可以得到原来梯子底端距墙为6m
那么移动后梯子的底端距墙为（x+6 ）米。

根据题意有：
72+（x+6）2 =102
化简得：
x2+12x－15=0
在这个阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。

教案编写：张明军。

因式分解------配方法与待定系数法配方法把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。

配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。

例1、分解因式： (1)44x +(2)、344422-+--y y x x(3)、1232234++++x x x x (3)`、()()22221x x x x ++++ （另见最后一题）练习 ：分解因式： (1)4416b a +；(2)4224y y x x ++；(3)432234232a a b a b ab b ++++；(4)、1724+-x x ；(5)、22412a ax x x -+++；(6)、24222)1()1(2)1(y x y x y -+--+。

待定系数法对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是： 1、根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的多项式； 2、利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3、解方程组，求出待定系数，再代人所设问题的结构中去，得到需求问题的解。

例1、如果823+++bx ax x 有两个因式1x +和2x +，则a b +＝( )。

A 、7B 、8C 、15D 、2l练习1、如果3233x x x k +-+有一个因式1x +，求k 。

课后练习、已知是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的一个因式为62-+x x ，求a 的值。

例2、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?练习：1、已知代数式 22342x xy y x by ---+-能分解成两个关于 , y x 一次因式的积求 b 的值。

初二数学学习方法：配方法与因式分解法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

配方法是初中数学一种非常重要的解题手段，是在学完完全平方公式和解一元二次方程直接开方法的基础来学习的，对以后判断一元二次方程根的情况和二次函数的学习有着极其重要的作用。

配方法是九年级数学二十二章一元二次方程的内容，是解一元二次方程的第二种方法，具体用法如下：
第一步：把一元二次方程变成一般形式：ax 2+bx+c=0
第二步：把二次项系数化成1：x 2+a b x+a c =0
第三步：把常数项移到方程右边：x 2+a b x=-a c
第四步：方程两边加一次项系数一半的平方：x 2+a b x+(
a b 2)2=-a c +(a b )2
第五步：利用完全平方公式分解：(x+
a b 2)2=-a c +(a
b 2)2
第六步：直接开方：X=a ac b b 242-±-
配方法常见题型有：（1）2x 2+4x-6=0
（2）证明2x 2-2x+5 无论X 取何值，结果都是正数。

配方法应该灵活应用，它不仅能够解一元二次方程，而且也是二次函数的解题方法之一，所以应该让学生理解、掌握、并会应用这一
方法。

初中数学配方法习题及答案初中数学是中学数学的基础，是培养学生数学思维和解决问题能力的重要阶段。

配方法是初中数学中的一种解题方法，通过配方的转换和运用，可以简化问题，提高解题效率。

本文将介绍一些常见的初中数学配方法习题及答案，帮助学生更好地掌握这一解题技巧。

一、配方法的基本概念配方法是一种通过转换问题的形式，使其更易于解决的数学解题方法。

它主要应用于一元二次方程、三角函数等数学题型中。

通过合理的配方转换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。

二、一元二次方程的配方法1. 配方法求解一元二次方程的根对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，可以通过配方法求解其根。

首先，将方程两边移项，使其等于零。

然后，根据配方法的原理，将方程转化为一个完全平方的形式。

最后，通过求解完全平方形式的方程，得到一元二次方程的根。

例如，对于方程x^2 - 6x + 8 = 0，首先将其转化为(x - 3)^2 - 1 = 0的形式。

然后，通过求解(x - 3)^2 - 1 = 0，得到x = 2和x = 4两个根。

2. 配方法求解一元二次方程的参数在一些问题中，需要求解一元二次方程的参数。

通过配方法，可以将问题转化为一个已知的一元二次方程，从而求解参数的值。

例如，已知一元二次方程的根为x = 2和x = 3，求解方程的参数。

首先，根据配方法的原理，将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0的形式。

然后，根据(x - 2)(x - 3)= 0，得到方程的参数为a = 1，b = -5，c = 6。

三、三角函数的配方法1. 配方法求解三角函数的值对于一些特殊的三角函数值，可以通过配方法求解。

例如，已知sinx = 1/2，求解x的值。

通过配方法，可以将问题转化为一个已知的三角函数值的问题，从而求解x的值。

例如，已知sinx = 1/2，可以通过配方法将问题转化为sin^2x + cos^2x = 1的形式。

名师第二十四讲 配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．例题求解【例1】已知有理数x ，y ，z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，那么(x —yz)2的值为 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．【例2】 若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29 D ．6 (武汉市选拔赛试题)思路点拨 通过引参，设k z y x =-=+=-32211，把x ，y ，z 用k 的代数式表示，则222z y x ++转化为关于k 的二次三项式，运用配方法求其最小值．【例3】怎样的整数a 、b 、c 满足不等式：c b ab c b a 233222++<+++．(匈牙利数学奥林匹克试题)思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．【例4】 求方程m 2－2mn+14n 2=217的自然数解． (上海市竞赛题)思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．【例5】求实数 x 、y 的值，使得(y －1)2+(x+y －3)2+(2x+y －6)2达到最小值．(全国初中数学联赛试题)思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x 、y 的值．【例6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC ＝AH=CF=CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由．(2温州市中考题)思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm ，则BE=DG=(20－x)m ，四边形E FGH 的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；(2)非负教的最小值为零．学历训练1．若03)(2222=+++-++c b a c b a ，则=-++abc c b a 3333 ．(2江西省中考题)2．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题)3．分解因式：32422+++-b a b a = ．4，已知实数 x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，那么z y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5．若实数x 、y 满足052422=+--+y x y x ，则xy y x 23-+的值是（ ） A ．1 B ．223+ C ．223+ D ．2326．已知20001999+=x a ，20011999+=x b ，20021999+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3(全国初中数学竞赛题)7．整数x 、y 满足不等式y x y x 22122+≤++，则x+y 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ( “希望杯”邀请赛试题)8．化简312213242--+为( )A ．5－43B ． 43－lC ．5D ． 1 (2003年天津市竞赛题)9．已知正整数 a 、b 、c 满足不等式c b ab c b a 8942222++<+++，求a 、b 、c 的值．(江苏省竞赛题)10．已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值． (第12届“希望杯”邀请赛试题)11．实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x y x ，则z y x +2的值为 ． 12．若521332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c 的值为 ． 13．x 、y 为实数，且y xy y x 24222+≤++，则x 、y 的值为x= ，y= ． 14．已知941012422+++-=y y xy x M ，那么当x= ，y= 时，M 的值最小，M 的最小值为 ．15．已知4=-b a ，042=++c ab ，则a+b ＝( )A ．4B ．0C ．2D ．－2(重庆市竞赛题)16．设0.>>b a ，ab b a 322=+，则ba b a -+的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 (江苏省竞赛题)17．若 a 、b 、c 、d 是乘积为l 的4个正数，则代数式cd bd bc ad ac ab d c b a +++++++++2222 的最小值为( )A ．0B ．4C ．8D ．1018．若实数a 、b 、c 满足9222=++c b a ，代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是( )A ．27 D ．18 C ．15 D ．1219．已知x+y+z=1，求证：31222≥++z y x ． (苏奥尔德莱尼基市竞赛题)20．已知a>b ，且243)()(=+-+++ba b ab a b a ，a 、b 为自然数，求a 、b 的值． 21．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足b a a =+2212，c b b =+2212，a c c =+2212，试求 △ABC 的面积． 22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k 的值． (山东省竞赛题)。