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《离散数学》练习题一答案一、单项选择题（每小题2分，共8分） 1—5 . D C B C C 6—10 ． A B D C A11—15 C B C D A 16—20 C C B D C 21—25 C C B D C 26—30. D C B A D 31. C二、填空题（每空1分，共11分）1． nn 2． P 、Q 的真值同时为1 3.4. 奇5. 126. Q P ⌝∧7. 9 8．Q P ⌝→ 9．P ,Q 的真值都为010.D B C A ⊆⊆ , 11. 0 12. c b =13. 14 14. c 15. P Q ↔ 或 Q P ↔ 16. b 17. 假 18. 219. 17 20. 0 21. 有余(补)分配格 22. 假 23. 2 24. 17 25. 0 26. 有余(补)分配格 27. ()()Q P Q P ⌝∧∨∧⌝28.{}d d a b b a a c a d c b a b b a , , , , , , , , , , , , , , ,, ，29.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100000010000101000110100101010111101R M30. 7 31.1968339=三、解答题（共81分）3.(10分)设G 是平面图，有n 个顶点，m 条边，f 个面，k 个连通分支，证明：1+=+-k f m n 。
证明：对于图G 的每个连通分支都是连通平面图，因此由欧拉公式，有2111=+-f m n 2222=+-f m n… …2=+-k k k f m n其中i i i f m n , , 分别是第i 个连通分支中的顶点数、边数和面数，则1 , , 212121-+=+++=+++=+++k f f f f m m m m n n n n k k k将上述k 个等式相加，有k k f m n 21=-++-，即1+=+-k f m n4.(8分)化简下列布尔表达式。
第一章部分习题及参考答案1 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)2．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”3．用真值表判断下列公式的类型：（1）(p→q) →(⌝q→⌝p)（2）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（3）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)4.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)5.用等值演算法证明下面等值式：(1)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(2)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)6.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)7.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(2)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q8.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p参考答案:1.（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0 (4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔12.p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ B ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
1-1．都是命题：1-2设P：明天天气晴朗Q：我们就去郊游则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解表1.15 例1.42真值表则P → (P∧(Q →R )) ⇔ (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨⌝(﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。
首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。
比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。
若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。
用此方法，可以简写所求得的给定公式的主析取范式。
P → (P∧(Q →R )) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解P → (P∧(Q →R ))⇔﹁P∨(P∧(﹁Q∨R ))⇔ (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R)⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ⇒S∨R。
证明（1）﹁P →Q P（2）﹁Q∨S P（3）Q →S T, (2), E16（4）﹁P →S T, (1), (3), I13（5）﹁S →P T, (4), E18（6）P →R P（7）﹁S →R T, (5),(6), I13（8）﹁﹁S∨R T, (7),E16（9）S∨R T, (8), E11-5如果迈克有电冰箱，则或者他卖了洗衣机，或者他向别人借了钱。
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q→⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：p qp⌝q⌝()p p →⌝()p p q→⌝→⌝001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧，此即公式的主析取范式，()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式，此即公式的主合取范式，()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔所以成假赋值为100。
Page 49 第17题解：（1）令①P：李明学习努力；②Q：李明成绩好；③R：李明不热衷于玩扑克；（2）已知条件符号化，即①P→Q：如果李明学习努力，那么他成绩好；②R→P：如果李明不热衷于玩扑克，那么他就努力学习；（3）所求结论符号化，即①¬Q→¬R：李明成绩不好，所以李明热衷于玩扑克；（4）证明：原命题符号化为P→Q，R→P ¬Q→¬R；①P→Q P规则；②R→P P规则；③R→Q T规则①②；④Q∨¬R T规则③；⑤¬Q→¬R T规则④；（5）得证。
Page 50 第32题（2）解： P∨(¬P→(Q∨(¬Q→R)))；⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))；⇔P∨Q∨R；①主合取范式为：P∨Q∨R；因为 P∨Q∨R ⇔∏M0 ⇔∑m1,2,3,4,5,6,7；②主析取范式为：∨(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R)∨(P∧¬Q∧R)∨(P∧Q∧¬R)∨(P∧Q∧R)；Page 50 第32题（4）解： (P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧¬S)；⇔ ((P∧¬Q∧R)∧(S∨¬S))∨((¬P∧Q∧¬S)∧(R∨¬R))；⇔(P∧¬Q∧R∧S)∨(P∧¬Q∧R∧¬S)∨(¬P∧Q∧R∧¬S)∨(¬P∧Q∧¬R∧¬S)；①主析取范式为：(¬P∧Q∧¬R∧¬S)∨(¬P∧Q∧R∧¬S)∨(P∧¬Q∧R∧¬S)∨(P∧¬Q∧R∧S) ⇔∑m4,6,10,11⇔∏M0,1,2,3,5,7,8,9,12,13,14,15；②主合取范式为：(¬P∨¬Q∨¬R∨¬S)∧(¬P∨¬Q∨¬R∨S)∧(¬P∨¬Q∨R∨¬S) ∧(¬P∨¬Q∨R∨S)∧(¬P∨Q∨¬R∨S)∧(¬P∨Q∨R∨S)∧(P∨¬Q∨¬R∨¬S) ∧(P∨¬Q∨¬R∨S)∧(P∨Q∨¬R∨¬S)∧(P∨Q∨¬R∨S)∧(P∨Q∨R∨¬S)∧(P∨Q∨R∨S)；Page 50 第32题（6）解： (P→Q)→(P∨R)；⇔¬(¬P∨Q)∨(P∨R)；⇔(P∧¬Q)∨(P∨R)；⇔(P∨R)∧(P∨¬Q∨R)；⇔ ((P∨R)∨(¬Q∧Q))∧(P∨¬Q∨R)；⇔(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨¬Q∨R)；⇔(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)；①主合取范式为：(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)；⇔∏M0,2；⇔∑m1,3,4,5,6,7；①主合取范式为：(¬P∨¬Q∨R)∧(¬P∨Q∨R)∧(P∨¬Q∨¬R)∧(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨¬R)∧(P∨Q∨R)；Page 51 第37题（2）解： P→Q P→(P∧Q)①P P规则（附加前提）；②P→Q P规则；③Q T规则①，②，I；④P∧Q T规则①，③，I；⑤P→(P∧Q) CP规则；Page 51 第37题（4）解： (P∨Q)→R ⇒ (P∧Q)→R①P∧Q P规则（附加前提）；②P T规则①，I；③P∨Q T规则②，I；④(P∨Q)→R P规则；⑤R T规则③，④，I；⑥(P∧Q)→R CP规则；Page 51 第38题（3）解：﹁(P→Q)→﹁(R∨S),((Q→P)∨﹁R),R ⇒ P↔Q①﹁(P↔Q) P规则（假设前提）；②﹁((P→Q)∧(Q→P)) T规则①，I；③R P规则；④((Q→P)∨﹁R) P规则；⑤R→(Q→P) T规则④，I；⑥(Q→P) T规则③⑤，I；⑦R∨S T规则③，I；⑧﹁(P→Q)→﹁(R∨S) P规则；⑨(R∨S)→(P→Q) T规则⑧，I；⑩(P→Q) T规则⑦⑨，I；⑪(P→Q)∧(Q→P) T规则⑥⑩，I；⑫得证间接证明法②⑪；Page 51 第39题（1）解：（1）符号化已知命题①P：明天是晴天；②Q：明天下雨；③R：我去看电影；④S：我不看书；条件符号化：P∨Q，P→R，R→S；结论符号化：①﹁S→Q（2）证明：P∨Q，P→R，R→S ⇒﹁S→Q①P→R P规则；②R→S P规则；③P→S T规则①②；④﹁S→﹁P T规则③，I；⑤P∨Q P规则；⑥﹁P→Q T规则⑤，I；⑦﹁S→Q T规则④⑥，I；Page 51 第39题（2）解：（1）符号化已知命题①P：明天不下雨；②Q：能够买到车票；③R：我去参观计算机展览会；条件符号化：P∧Q→R；结论符号化：①﹁R→﹁P（2）证明：P∨Q，P→R，R→S ⇒﹁S→Q①P∧Q→R P规则；②﹁R P规则（附加前提）；③﹁(P∧Q) T规则①②；④﹁P∨﹁Q T规则③，I；⑤也就是说或者明天下雨或者买不到票，所以原命题说不能参加计算机展览的原因只是明天下雨是不完全的，故原命题无效。
离散数学考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 函数f: X→Y是一个双射，当且仅当：A. f是单射且满射B. f是单射C. f是满射D. f是双射答案：A3. 命题p: "x是偶数"，命题q: "x是3的倍数"，下列逻辑运算中，表示"x是6的倍数"的是：A. p∧qB. p∨qC. ¬p∧¬qD. ¬p∨¬q答案：A4. 有向图G中，若存在从顶点u到顶点v的有向路径，则称顶点u可达顶点v。
若G中任意两个顶点都相互可达，则称G为：A. 强连通图B. 弱连通图C. 无向图D. 有向无环图答案：A5. 在二进制数系统中，下列哪个数的值最大？A. 1010B. 1100C. 1110D. 1101答案：C6. 布尔代数中，逻辑或运算符表示为：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：B7. 有限自动机中，状态q0是初始状态，状态q1是接受状态。
若存在从q0到q1的ε-转移，则该自动机：A. 仅在输入为空时接受B. 仅在输入非空时接受C. 无论输入为何都接受D. 无法确定是否接受答案：C8. 命题逻辑中，若命题p和q都为真，则p∧q的真值是：A. 真B. 假C. 可能为真，也可能为假D. 无法确定答案：A9. 集合{1,2,3}的子集个数为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：D10. 若关系R在集合A上是自反的，则对于A中的任意元素a，有：A. (a,a)∈RB. (a,a)∉RC. (a,a)是R的自反对D. (a,a)不是R的自反对答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 集合A={1,2,3}的幂集包含__个元素。
答案：82. 若函数f: X→Y是满射，则对于Y中的任意元素y，至少存在X中的一个元素x，使得f(x)=__。
《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（4）5.答：⌝P ，Q→P6.答：P(x)∨∃yR(y)7.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。
解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))（集合论部分）1、答：(4)2.答：323.答：（3）4. 答：（4）5.答：（2），（4）6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)证明：(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）=A⋂（B-C）b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)证明：(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)（二元关系部分）1、答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}2.答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3.答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}4.答：R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001000000001 R 1-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000015、解：（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、传递的；（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011101110;它是反自反的、对称的；（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110;它既不是自反的、也不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。
国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至二)试题及答案形考任务一试题及答案题目为随机,用查找功能(Ctr1+F)搜索题目[题目]若集合A={a,{a},{1,2}},则下列表述正确的是( )[答案]{a}A[题目]若集合A={1,2},B={1,2,{1,2},则下列表述正确的是( )答案AB,且AB[题目]若集合A={2,a,{a},4},则下列表述正确的是( )[答案]{a}A[题目]设集合A={1,2,3},B={3,4,5},C={5,6,7},则AB-C=( )[答案]{1,2,3,4}[题目]设集合A={a},则A的幂集为( )[答案]{,{a}}[题目]设集合A={1,a},则P(A)=( )[答案]{,{1},{a},{1,a}[题目]若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为( )[答案]1024[题目]设A、B是两个任意集合,则A-B=( )[答案]AB[题目]设集合A={2,4,6,8},B={1,3,5,7}A到B的关系R={<x,y>y=x+1},则R=( )。
[答案]{<2,3>,<4,5>,<6,7>}[题目]集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系={<x,y>x+y=10且x,yA},则R的性质为( )[答案]对称的[题目]集合A={1,2,3,4}上的关系R={<x,yx=y且x,y},则R的性质为( )[答案]传递的[题目]如果R和R2是A上的自反关系,则RU2,RR2,R1-R2中自反关系有( )个[答案]2[题目]设集合A={1,2,3,4}上的二元关系R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4},S={1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},则S是R 的( )闭包[答案]对称[题目]设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )[答案]无、2、无、2[题目]设集合A={1,2,3,4,5},偏序关系是A上的整除关系,则偏序集<A,>上的元素5是集合A的( )[答案]极大元[题目]设集合A={1,2,3,4,5}上的偏序关系的哈斯图如图所示,若A的子集B={3,4,5},则元素3为B的( )[答案]最小上界[题目]设A={a,b,c},B={1,2},作f:AB,则不同的函数个数为( )[答案]8[题目]设A={a,b},B={1,2},C={4,5},从A到B的函数f={<a,1>,<b,2>},从B到C的函数g={1,5>,<2,4},则下列表述正确的是( )[答案]gf={<a,5>,<b,4>[题目]设集合A={1,2,3}上的函数分别为:f=1,2>,<2,1>,<3,3)},g={<1,3>,<2,2>,<3,2},h=1,3>,<2,1>,<3,1},则h=( )[题目]设函数f:N→N,f(n)=n+1,下列表述正确的是( )[答案]f是单射函数判断题[题目]设集合A={1,2,3}),B={2,3,4},C={3,45},则A∩(C-B)={1,2,3,5}。
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。
习题1：1. 解 （1）{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）{x|x=20*k,k 是自然数}（3）{2，-1}2. 解 （1）{2，4}（2）{1，2，3，4，5}（3）{1，3}（4）{1，3，5}3. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}（2）φ（3）全体自然数（4）{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}（5）1，3，5，7，9，11，13，15，17，19}4. 解 （1）正确（2）正确（3）错误（4）正确5. 解 （1）A={1}，B={{1}}，C={{1}}（2）A={1}，B={{1}}，C={{{1}}}6. 解 （1）正确。
由子集的定义。
（2） 不一定。
如：A={1}，B={{1}}，C={{1}}。
（3）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}（4）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}。
7. 解 A={1，2}，B={1}，C={2}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
A={1，2}，B={1}，C={1}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
8. 解 （1）φ（2）{φ}（3）{{φ}}（4）{φ，{φ}}9. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9}（2）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}（3）{0,3,6,7,8,9}10. 解 33311. 解 2512. 解（1）454（2）124（3）22013. 解 （1）{φ}（2）{φ，{a}}（3）{φ，{φ}，{a}，{φ,a}}（4）{φ，{φ}，{{φ}}，{{φ},φ}}（5）{φ，{{φ}}，{φ}，{a}，{{φ},φ}，{{φ},a}，{φ,a}，{{φ},φ,a}}14. 证明：假设B ≠C ，则至少存在一元素x ∈B 且x ∉C 。
离散数学考试试题及答案离散数学考试试题及答案离散数学是计算机科学和数学中的一门重要学科，它研究的是离散的结构和对象。
离散数学的理论和方法在计算机科学、信息科学、通信工程等领域具有广泛的应用。
下面将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望对大家的学习和复习有所帮助。
1. 集合论题目(1) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∪B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4,5,6,7}(2) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∩B的结果。
答案：A∩B={3,4,5}(3) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A-B的结果。
答案：A-B={1,2}2. 图论题目(1) 给定一个无向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)}，求该图的邻接矩阵。
答案：邻接矩阵为：A B C D EA 0 1 1 0 0B 1 0 0 1 0C 1 0 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0(2) 给定一个有向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)}，求该图的邻接表。
答案：邻接表为：A ->B ->C ->D ->E -> AB -> CC -> DD -> EE -> A3. 命题逻辑题目(1) 判断以下命题是否为永真式：(p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨¬r)。
答案：是永真式。
(2) 给定命题p：如果天晴，那么我去游泳；命题q：我没有去游泳。
请判断以下命题的真假：(¬p∨q)∧(p∨¬q)。
答案：是真命题。
4. 关系代数题目(1) 给定关系R(A,B,C)和S(B,C,D)，求R⋈S的结果。
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
离散数学习题一二参考答案----a3039d74-7162-11ec-90d9-7cb59b590d7d离散数学习题一二参考答案离散数学练习1的参考答案第一节集合的基数1.证明两个可数集的并是可数的。
证明：设a，b是两可数集，a={a1,a2,a3,,an,}，b={b1,b2,b3,,bn,}⎧ab→n⎧f:⎧ai2i-1，f是一一对应关系，所以|a∪b|=|n|=ℵ0。
⎧b2jj⎧2．证明有限可数集的并是可数集证明：设A1，A2和a3ak是有限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1，2，3，Kk⎧k⎧a=ai→n，f是一一对应关系，所以|a|=|ai|=|n|=ℵ0。
f:⎧i=1i=1⎧aijj（k-1）+i⎧3.证明可数个可数集的并是可数集。
证明：设A1，A2和a3ak为无限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1,2,3，∞⎧a=ai→n⎧⎧i=1f:⎧，1⎧aij(i+j-1)(i+j-2)+i⎧2⎧所以f是一对一的对应，所以|a |=|a |=|n |=ℵ. 我∞04.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。
证明了具有整系数的n次多项式之和可以写成an={a0xn+a1xn-1++an-1x+an|ai∈z}那么整系数为a=an的多项式集；由于xk的系数ak是整数，那么所有xk的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得an是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合a=an也是可数集。
5.证明不存在等于其真子集的有限集证明：设集合a是有限集，则|a|=n，若b是a的真子集，则|b|≤|a|=n，a-b≠φ，即|a-b|=|a|-|ab|＞0；又a=（a-b）∪b，（a-b）b=φ，所以，，就是|a|＞|b|，即得结论。
6.证明正有理数集是可数的，从而证明有理数集是可数的。
m证明：因为q+={|m,n∈n}，是正分数集，n∞ n+让AI={|n∈ n} ，I=1,2,3,4,m}，AI是可数集，q=AIII=1由可数集性质4“可数个可数集的并仍然是可数集”，所以正有理数集合是可数集。
离散数学经典测试题及答案第一题: 命题逻辑与真值表根据下列命题符号表示的逻辑表达式，填写真值表。
1. \(p \land q\)2. \((\lnot p \lor q) \land (p \implies q)\)答案1. \(p \land q\)2. \((\lnot p \lor q) \land (p \implies q)\)第二题: 数学归纳法证明使用数学归纳法证明下列等式对于所有\(n \geq 1\)成立。
\(\sum_{i=1}^{n}(2i-1) = n^2\)证明1. 基础步骤：当\(n=1\)时，左边等式为\(1\), 右边等式为\(1^2 = 1\), 成立。
2. 归纳假设：假设当\(n=k\)时等式成立，即\(\sum_{i=1}^{k}(2i-1) = k^2\)。
3. 归纳步骤：考虑\(n=k+1\)的情况，- 左边等式为\(\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1) = \sum_{i=1}^{k}(2i-1) + (2(k+1)-1)\)- 右边等式为\((k+1)^2 = k^2 + 2k + 1\)现在我们可以利用归纳假设，将左边等式展开：\(\sum_{i=1}^{k}(2i-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + 2k + 1\)然后，化简左边的部分可以得到：\(k^2 + (2k - 1) + (2(k+1) - 1) = k^2 + 2k + 1\)这个等式成立，证明完毕。
第三题: 集合论给定两个集合A和B，证明下列恒等式成立：\(A \cup (B - A) = A \cup B\)证明我们可以使用集合论的定义来证明这个恒等式。
1. 证明\(A \cup (B - A) \subseteq A \cup B\)- 对于任意\(x \in A \cup (B - A)\)，有两种情况：- 如果\(x \in A\)，则\(x \in A \cup B\)，因为\(A \subseteq A \cupB\)。
天津理工大学中环信息学院《离散数学》第一、二章检测题请将填空题答案填入下面相应位置1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；11. ；12. ；13. ；14. ；15. 。
一、填空题（每空2分，共30分）1．设P 表示“我将去书店”， Q 表示“我有时间”，则命题“我将去书店，仅当我有时间”符号化为 。
P Q →2．设P 表示“天下雨”， Q 表示“我骑自行车上班”，则命题“除非下雨，否则我骑自行车上班”符号化为 。
P Q ⌝→34．设命题公式A则命题公式A 的主析取范式为 ， 主合取范式为 。
()()()P Q R P Q R P Q R ⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧()()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝∨⌝5．设个体域{,,}A a b c =，消去公式中的量词，则()()x P x ∀∧()()x Q x ∃⇔。
()()()(()()())P a P b P c Q a Q b Q c ∧∧∧∨∨6．命题公式P Q →的逆反式是 。
Q P ⌝→⌝7．设命题公式⌝（P Q ↔）的主析取范式为()()P Q Q P ∧⌝∨∧⌝ 。
8．谓词公式 )()()(x x P x ∃⇔∀⌝ , )()()(x x P x ∀⇔∃⌝ 。
(),()P x P x ⌝⌝9．设()G x 表示“x 是金子”， ()F x 表示“x 是闪光的”，则命题“金子是闪光的，但闪光的不一定是金子”符号化为 。
()(()())()(()())x G x F x x F x G x ∀→∧⌝∀→或()(()())()(()())x G x F x y F y G y ∀→∧∃∧⌝10．N 个命题变元可以构成互不等价的命题公式 个。
(22N )二、单项选择题（每小题2分，共20分）1．设)(x S 表示x 是演员。
)(x T 表示x 是老师，),(y x A 表示x 钦佩y 。
则命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ 2 ）。
(1)．(()(,))x S x A x y ∀→； (2)．))),()(()((y x A y T y x S x ∧∃→∀；(3)．()()(()()(,))x y S x T y A x y ∀∃∧∧； (4)．()()(()()(,))x y S x T y A x y ∀∃∧→． ２．下列蕴含式不成立的是（ 1 ）.(1)．(()())()()x F x G x xF x xG x ∀∨⇒∀∨∀； (2)．(())()x F x G xF x ∀∧⇒∀；(3)． (()())()()x F x G x xF x xG x ∃∧⇒∃∧∃； (4)．(())()x F x G xF x ∃∧⇒∃. ３．下列等价式不成立的是（ 2 ）.(1)．(()())()()x F x G x xF x xG x ∀∧⇔∀∧∀;(2)．(()())()()x F x G x xF x xG x ∃∧⇔∃∧∃(3)．(())()x F x G xF x G ∀∧⇔∀∧(4)．(())()x F x G xF x G ∃∧⇔∃∧４．谓词公式(()(,))()x P x yR x y Q x ∀∨∃→中量词（x ∀）辖域是（ ）．(4)(1)．(()(,))x P x yR x y ∀∨∃； (2)．()P x ；(3)．()Q x ； (4)．(()(,))P x yR x y ∨∃．５．下列哪个命题是真命题（ 2 ）．(1)．如果２+3=5，则太阳从西方升起； (2)．如果２+3=6，则太阳从西方升起；(3)．严禁吸烟； (4)．我正在说谎．６．谓词演算中，()P a 是)()(x P x ∀的有效结论，其理论依据是（ 1 ）．(1)．全称指定规则（US ）； (2)．全称推广规则（UG ）；(3)．存在指定规则（ES ）； (4)．存在推广规则（EG ）．7．下列哪个命题是假命题（ 1 ）．(1)．如果２是偶数，那么一个命题公式的析取范式唯一；(2)．如果２是偶数，那么一个命题公式的析取范式不唯一；(3)．如果２是奇数，那么一个命题公式的析取范式唯一；(4)．如果２是奇数，那么一个命题公式的析取范式不唯一．8．下列公式中不是前束范式的是（ 3 ）。
(1)．()()(()())x y Q x R y ∀∃∧； (2)．()()()((,)(,,))x y z Q x z R x y z ∀∀∃→；(3)．(,)()()(,,)Q x z x y R x y z →∃∀； (4)．()()(,)x y Q x y ∀∃．9．下列等价公式正确的是（ ）。
（2）（1）．P Q Q P →⇔→； （2）．P Q P Q →⇔⌝∨；（3）．P Q Q P →⇔⌝∨； （4）．P Q Q P →⇔⌝∨⌝．10．以下推理错误的是（ ）。
（2）(1)．,P P Q Q ⌝∨⇒； (2)．P Q P ∨⇒；(3)．,Q P Q P ⌝→⇒⌝； (4)．,P P Q Q →⇒．三、简答题（每小题6分，共12分）１． 求谓词公式)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀的前束析取范式．)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀))],()(()),()()[()()(()),()()()(()),()(()),()()()(()),()(()),()()()(()),()()((z y Q u P y x Q x P z u x z y Q z u P u y x Q x P x z y Q z y P y y x Q x P x z y Q z y P y y x Q x P x ∧∨⌝∧∃∃∃⇔∃∧∃∨⌝∧∃⇔∃∧∃∨⌝∧∃⇔∃∧∃∨∨⌝∀⌝⇔2．求命题公式 (())P Q R P ∨→→的主析取范式和主合取范式。
()()()()(())(())1(())1()()()(()())(()())1()()()()()()1()()()()P Q R PP Q R P P Q R P P R Q R PP Q R P Q Q R R P P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨→→⇔⌝⌝∨∨∨⇔∨∧⌝∨⇔∧⌝∨∧⌝∨⇔∨∧⌝⇔∧∨⌝∧∨⌝∨∨⌝∧∧⌝⇔∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝⇔∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝分分分分()()24567013()((1(()()()1P Q R m m m m m M M M P Q R P Q R P Q R ∨⌝∧∧⌝⇔∨∨∨∨⇔∧∧⇔∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨⌝这是主析取范式))分这是主合取范式)分四．证明题（共38分）１．（10分）符号化下列命题并推证其结论．任何人如果他喜欢音乐,他就不喜欢体育．每个人或者喜欢体育，或者喜欢美术．有的人不喜欢美术．因而有的人不喜欢音乐．（设M(x)：x 喜欢音乐，S(x)：x 喜欢体育，Ａ(x)：ｘ喜欢美术．）该命题符号化为：（（∀ｘ）（M （x ）→⌝S （x ））∧（∀ｘ）（S （x ）∨A （x ））∧（∃x ）⌝ A （x ））→（（∃x ）⌝ M （x ））前提：（∀ｘ）（M （x ）→⌝S （x ）），（∀ｘ）（S （x ）∨A （x ）），（∃x ）⌝ A （x ） 结论：（∃x ）⌝ M （x ）证：（1）（∃x ）⌝ A （x ） P（2）⌝ A （a ） ES （1）（3）（∀ｘ）（S （x ）∨A （x ）） P（4）S （a ）∨A （a ） US （3）（5）S （a ） T （2）（4）I（6）（∀ｘ）（M （x ）→⌝S （x ）） P（7）M （a ）→⌝S （a ） US （6）（8）S （a ）→⌝ M （a ） T （7）E（9）⌝ M （a ） T （5）（8）I（10）（∃x ）⌝ M （x ） EG （9）２．（12分）(1)．用CP 规则证明S Q P S R Q R Q P →⇒→→∨⌝∨⌝),(),(；1. P P 6. )(S R → T(4,5) I （1分）2. ()P Q R ⌝∨⌝∨ P 7. R T(3,4) I （1分）3. Q R ⌝∨ T(1, 2) I （2分） 8. S T(6,7) I （1分）4. Q P(附加前提) 9. )(S Q → CP （1分）5. )(S R Q →→ P(2)．用归谬法证明 ,(),A B C B C S A →⌝⌝∨∧⌝⇒⌝．证: 1 (A P 附加前提) （1分） 2 A B P →⌝3 1,2B T I ⌝ （1分）4 C B P ⌝∨5 3,4C T I ⌝ （1分）6 C S P ∧⌝7 6C T I （1分） 8 5,7C C T I ∧⌝ （1分） 由8得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确（1分）3．(6分) 指出下面推理证明过程中的错误, 并给出正确的证明．用谓词演算的推理规则证明:))()(())()(())()((x Z x R x x Z x Q x x R x Q x ∧∃⇒∧∃∧→∀证: (1) ))()((x R x Q x →∀P (6))(a Z T(4) I (2) )()(a R a Q → US(1) (7) )(a R T(2),(5) I (3) ))()((x Z x Q x ∧∃ P (8) )()(a Z a R ∧ T(6),(7) I(4) )()(a Z a Q ∧ ES(3) (9) ))()((x Z x R x ∧∃ EG(8)(5) )(a Q T(4) I该证明的错误在于: (1)、 (2) 与 (3)、 (4) 的顺序颠倒了，应该先指定存在后指定全称。
（2分）正确的证明是：（4分）(1) ))()((x Z x Q x ∧∃ P (6) )(a Z T(2) I(2) )()(a Z a Q ∧ ES (1) (7) )(a R T(4),(5) I(3) ))()((x R x Q x →∀ P (8) )()(a Z a R ∧ T(6),(7) I(4) )()(a R a Q → US (3) (9) ))()((x Z x R x ∧∃ EG(8)(5) )(a Q T(2) I4．（10分）公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案，已知侦察结果如下：（1）营业员A 或B 盗窃了钻石项链（2）若B 作案，则作案时间不在营业时间（3）若A 提供的证词正确，则货柜未上锁（4）若A 提供的证词不正确，则作案发生在营业时间（5）货柜上了锁试问：作案者是谁要求写出推理过程。
