第04讲 一元二次不等式及简单不等式(解析版)

第04讲一元二次不等式及其解法(解析版)在数学中，一元二次不等式是一种包含一个未知数的二次不等式。

在解决一元二次不等式的问题时，常用的方法有图形法、试探法、代入法和区间判定法等。

本文将对一元二次不等式的解法进行解析，并详细介绍各个方法的应用。

一、图形法图形法是解决一元二次不等式问题的一种直观方法。

我们可以绘制一元二次不等式的函数图像，并观察函数图像与坐标轴的交点。

通过观察交点的位置，我们可以判断出一元二次不等式的解集。

例如，对于不等式x^2 - 4x > 0，我们可以将其转化为方程x^2 - 4x = 0，并绘制出函数图像。

解方程得到两个根x = 0和x = 4，并在坐标轴上标记出这两个点。

由于不等式为大于0，即x^2 - 4x > 0，我们需要找到函数图像在x = 0和x = 4之间的部分。

从图形上观察得知，解集为x ∈ (0, 4)。

二、试探法试探法是解决一元二次不等式问题的一种简单有效的方法。

我们通过取特定的值来检验不等式的成立情况，从而确定解集的范围。

以不等式x^2 - 5x + 6 < 0为例，我们可以通过对不等式两边同时代入特定的值，如x = 0、x = 3、x = 4等，来观察不等式的成立情况。

经过试探可知，当x ∈ (2, 3)时，不等式成立。

因此，解集为x ∈ (2, 3)。

三、代入法代入法是一种将不等式转化为方程然后解方程的方法。

我们通过将不等式两边同时减去一个常数，使其转化为一个等式，然后通过解方程求解解集。

例如，在解决不等式x^2 - 3x > 2时，我们可以将不等式转化为方程x^2 - 3x = 2。

然后，我们将方程两边同时减去2，得到x^2 - 3x - 2 = 0。

通过解方程可以得出两个根x = -1和x = 2。

由于不等式为大于2，即x^2 - 3x > 2，我们需要找到函数图像在x = -1和x = 2之外的部分。

因此，解集为x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, +∞)。

一、引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。

掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。

本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、一元二次不等式的基本概念1. 一元二次不等式的定义一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。

一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。

2. 一元二次不等式的常见形式一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。

三、一元二次不等式的解法及常见题型1. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。

需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。

2. 一元二次不等式的常见题型及讲解(1) 一元二次不等式的根的情况讨论当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。

当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。

(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。

根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。

(3) 一元二次不等式的应用题针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。

四、基本不等式的概念及应用1. 基本不等式的定义基本不等式是指在一定条件下成立的不等式，常见的基本不等式有算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦兹不等式等。

第8节不等式的性质、一元二次不等式与基本不等式基础知识要夯实1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a >b ⇔a －b >0；(2)a ＝b ⇔a －b ＝0；(3)a <b ⇔a －b <0.2.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－2ba 没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭Rax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b ma a m ->-(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔11a b<.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形.3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.4.基本不等式：ab ≤2a b +(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中2a b+称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.5.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.6.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是24s (简记：和定积最大).[微点提醒]1.b aa b+≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭≤222a b +. 3.2221122a ba b ab a b++≤≤≤+(a >0，b >0).典型例题剖析考点一不等式的性质角度1比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)(一题多解)若11a b<＜0，给出下列不等式：①11a b ab<+；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④【答案】(1)A(2)C【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝212a⎛⎫-⎪⎝⎭＋34>0，∴b>a，∴c≥b>a.(2)法一因为11a b<＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.法二由11a b<＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a b+＜0，1ab＞0.故有11a b ab<+，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又11a b<＜0，则－1a＞－1b＞0，所以a－1a＞b－1b，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.角度2利用不等式变形求范围【例1－2】(一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.【答案】[5，10]【解析】法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a ＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二由(1),(1)f a b f a b-=-⎧⎨=+⎩得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2a f fb f f⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三由1224a ba b≤-≤⎧⎨≤+≤⎩确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(－2)＝4a－2b过点A3122⎛⎫⎪⎝⎭，时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】(1)(2022·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2022·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈11,84⎛⎫⎪⎝⎭，则a b 的取值范围是________.【答案】(1)A (2)(4，24)【解析】(1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.考点二一元二次不等式的解法【例2－1】(1)(2022·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.【答案】(1)(－3，0)∪(3，＋∞)(2){x |x ≥3或x ≤2}【解析】(1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ).又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于202x x x x >⎧⎨->⎩或22x x x x<⎧⎨-->⎩解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以11=,23111=23baa⎧⎛⎫-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨-⎛⎫⎪-⨯⎪⎪⎝⎭⎩解得56,ba=⎧⎨=-⎩故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.【例2－2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为2xa⎛⎫-⎪⎝⎭(x＋1)≥0，解得x≥2a或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为2xa⎛⎫-⎪⎝⎭(x＋1)≤0.当2a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2<a<0时，解得2a≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为2|1x x xa⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或；当－2＜a＜0时，不等式的解集为2|1x xa⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为2 |1x xa ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】(2022·清远一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】C【解析】关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1，3).考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数R 上恒成立【例3－1】(2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2，2)D.(－2，2]【答案】D【解析】当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有220,[2(2)]42(2)(4)0,a a a -<⎧⎨∆=---⨯-⨯-<⎩解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2].角度2在给定区间上恒成立【例3－2】(一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.【答案】6|007m m m⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，则m212x⎛⎫-⎪⎝⎭＋34m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.令g(x)＝m212x⎛⎫-⎪⎝⎭＋34m－6，x∈[1，3].当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜67，则0＜m＜67.当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是6|007m m m⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或.角度3给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为()A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)【答案】C【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组22560,320,x xx x⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩得x＜1或x＞3.规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】(2022·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】A【解析】当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需20,364(8)0,k k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1].[思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.[易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.考点四利用基本不等式求最值多维探究角度1通过配凑法求最值【例4－1】(2022·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤222(32)2x x +-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴函数y ＝4x (3－2x )302x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为92.角度2通过常数代换法求最值【例4－2】(2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则11m n+的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，∴11m n +＝11m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(m ＋n )＝2＋n m m n +≥2＋2n m m n⋅＝4，当且仅当=n m m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练4】(1)(2022·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为()A.2B.12C.4D.14(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋145x -的最大值为______.【答案】(1)B (2)1【解析】(1)因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥2ab (当且仅当2a ＝b 时取等号).又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2，∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立).(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋145x -＝－15454x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭＋3≤－2()15454x x-⋅-＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝154x -，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋145x -的最大值为1.考点五基本不等式在实际问题中的应用【例5】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【解析】(1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130182130360x x ⨯⨯+，x ∈[50，100](2)y ＝130182130360x x ⨯⨯+≥2610，当且仅当130182130=360x x ⨯⨯，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－21t +.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元.【答案】37.5【解析】由题意知t ＝23x -－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝482t x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x －32x －3－t ＝16x －2t －3＝16x －13x -＋12－3＝45.5－116(3)3x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.考点六基本不等式的综合应用【例6】(1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则101n n S a ++的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.【答案】(1)3(2)9【解析】(1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝9393a a --＝1976-＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝(321)2n n ++＝n (n ＋2)，因此101n n S a ++＝(2)1022n n n +++＝()19121n n ⎡⎤++⎢⎥+⎣⎦≥19(1)21n n ⨯+⋅+＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故101n n S a ++的最小值为3.(2)法一依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°，∴a ＋c ＝ac ，∴11a c+＝1，∴4a ＋c ＝()114a c a c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝5＋4c a a c +≥9，当且仅当4c a a c =，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练6】(2022·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x.又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x，即x ＝log 32时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.[思维升华]1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性.[易错防范]1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.达标检测要扎实一、单选题1．关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】20ax bx c ++< 的解集是()3,1-，03131a b a c a ⎧⎪>⎪⎪∴-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，得2,3b a c a ==-，则不等式220230bx ax c ax ax a ++<⇔+-<，即2230x x +-<，解得：312x -<<，所以不等式的解集是3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 2．若0<m <1，则不等式(x －m )1()x m-<0的解集为（）A ．{}x m <B ．{x∣1x m>或}x m >C ．{x∣x m >或1x m ⎫>⎬⎭D ．1|x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】∵0<m <1，∴1m >1>m ，故原不等式的解集为1x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选：D ．3．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是A ．(30)-，B ．(]30-，C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．()[),30,-∞-+∞【答案】B【解析】当0k =时，308-<对一切实数x 都成立，故0k =符合题意；当0k ≠时，要使不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则203034208k k k k <⎧⎪⇒-<<⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，综上：30k -<≤故选：B.4．下列不等式中成立的是（）A ．若0,a b >>则2222a b a b ++<B ．若0,a b <<则22a ab b <<C ．若0,a b >>则22a b >D ．若0,a b <<则11a b<【答案】C【解析】对于A ，若0a b >>，则2220a ab b -+>，所以2222222a b a ab b +>++，所以2222224a b a ab b +++>，所以2222a b a b++>，故A 错误；对于B ，若0a b <<，则2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，故B 错误；对于C ，若0a b >>，则2a ab >，2ab b >，所以22a b >，故C 正确；对于D ，若0a b <<，则11a b>，故D 错误.故选：C 5．不等式2560x x +->的解集是A ．{}23x x x -或B ．{}23x x -<<C ．{}61x x x -或D ．{}61x x -<<【答案】C【解析】因为2560x x +->，所以(1)(6)01x x x -+>∴>或6x <-，选C.6．已知关于x 的方程20x mx m ++=有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．4m ≥B ．4m >或0m <C ．4m ≥或0m ≤D ．04m <<【答案】C【解析】由题意知：240m m ∆=-≥，解之得4m ≥或0m ≤，故选：C 7．已知x ＞0、y ＞0，且21x y+=1，若228x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．(-1,9)B ．(-9,1)C ．[-9,1]D ．(-∞,-1)∪(9,+∞)【答案】B【解析】由题设，2222(2)()5529122y y x y x xx y x y x yx y +=+=+⋅≥++=+，当且仅当x y =时等号成立，∴要使228x y m m +>+恒成立，只需289m m +<，故289(9)(1)0m m m m +-=+-<，∴91m -<<.故选：B.8．若2221,2,3m x n x x p x =+=+=--，则（）A ．n m p ≥>B ．n m p>>C ．m p n≥≥D ．m n p≥>【答案】D【解析】()()()22222122110m n x x x x x x -=+-+=-+=-≥，所以m n ≥，()222323333024n p x x x x x x ⎛⎫-=+---=++=+ +⎪⎭>⎝，所以n p >，故m n p ≥>.故选：D.9．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则18()4xy ⋅的取值范围是（）A ．[]4,128B ．[]8,256C ．[]4,256D ．[]32,1024【答案】C【解析】3218()24=xy x y -⋅.设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1532()()22x y x y x y -=+--，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以[]1532()()2,822x y x y x y -=+--∈，因为2x y =单调递增，所以[]3224,256x yz -=.故选：C10．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13xx <<∣，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（）A ．1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⋃⎪⎝⎭D ．()1,4,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13xx <<∣，所以0a <，1,3是方程20ax bx c ++=的两个根，所以13b a+=-，13c a⨯=，即4b a =-，3c a =，则()()4403131a x axb x cx a a x x -+-==>+++，可知其解集为1,(4,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⋃⎭，故选：C ．11．若a b <，d c <，且()()0c a c b --<，()()0d a d b -->，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．d a c b <<<B ．a c b d <<<C ．a d b c <<<D ．a d c b<<<【答案】A【解析】因为()()0c a c b --<，a b <，所以a c b <<，因为()()0d a d b -->，a b <，所以d a <或d b >，而a c b <<，d c <，所以d a <．所以d a c b <<<．故选：A ．12．不等式20ax bx c -+>的解集为{|12}x x -<<，那么不等式2(1)(1)2a x b x c ax ++-+>的解集为（）A ．{|03}x x <<B ．{|0x x <或3}x >C ．{|12}x x -<<D ．{|2x x <-或1}x >【答案】C【解析】不等式20ax bx c -+>的解集为{|12}x x -<<，故可得0420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩并且0a <则a b =，2a c-=将其代入不等式2(1)(1)2a x b x c ax++-+>化为220x x --<，解得{|12}x x -<<，故选：C ．二、填空题13．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a ﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．【答案】p q【解析】因为0a >，0b >，2b p a a=-与2a q b b =-，所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-== ，b a =时取等号，所以p q．故答案为：p q ．14．若关于x 的不等式210mx mx -+<的解集不是空集，则m 的取值范围是________.【答案】0m <或4m >【解析】若=0m ，则原不等式等价为10<，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即0m ≠.若0m ≠，要使不等式210mx mx -+<的解集不是空集，则①若0m >，有240m m ∆=->，解得4m >.②若0m <，则满足条件.综上所述，满足条件的m 的取值范围是0m <或4m >.故答案为：0m <或4m >.15．若命题“x R ∃∈，220x x m -+<”为真命题，则实数m 的取值范围为________.【答案】(,1)-∞【解析】由题意可知，不等式220x x m -+<有解，440m ∴∆=->，即1m <，∴实数m 的取值范围为(,1)-∞，故答案为：(,1)-∞.16．某地每年销售木材约20万3m ，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的%t 征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万3m ，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．【答案】[]3,5【解析】按销售收入的%t 征收木材税时，税金收入为y 万元，则()25240020%6082y t t t t ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭．令900y ≥，即()2608900t t -≥，解得35t ≤≤．故答案为：[]3,5.三、解答题17．已知集合{}2|340A x ax x =Î--=R .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.【解析】（1）由于A 中有两个元素，∴关于x 的方程2340ax x --=有两个不等的实数根，∴9160a ∆=+>，且0a ≠，即916a >-，且0a ≠.故实数a 的取值范围是9{|16a a >-且0}a ≠.（2）当0a =时，方程为340x --=，43x =-，集合43A 禳镲=-睚镲镲铪；当0a ≠时，若关于x 的方程2340ax x --=有两个相等的实数根，则A 中只有一个元素，此时916a =-，若关于x 的方程2340ax x --=没有实数根，则A 中没有元素，此时916a <-.综上可知，实数a 的取值范围是9{|16a a £-或0}a =.18．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【解析】由题意，命题p ，得x 2－4ax ＋3a 2=(x －3a)(x －a)<0，当a<0时，3a<x<a.由题意，命题q ：得x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，即x<－4或x≥－2.设p ：A ＝(3a ，a)，q ：B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p 是q 的充分不必要条件，可知A 是B 的真子集，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或23a ≥-，又∵a<0，∴a≤－4或－23≤a<0，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.19．设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求当0x <时，()f x 的解析式；（2）请问是否存在这样的正数a ，b ，当[],x a b ∈时，()()g x f x =，且()g x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）当0x <时，0x ->，于是()()()2222f x x x x x -=---=--.因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()()2222f x f x x x x x =--=---=+，即()()220f x x x x =+<.（2）假设存在正实数a b 、，当[],x a b ∈时，()()g x f x =且()g x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据题意，()()220g x x x x =-+>，因为()222(11)1g x x x x =---++≤=，则101a<≤，得1a ≥.又函数()g x 在[1,)+∞上是减函数，所以1()1()g a ag b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此得到：(),1a b a b ≤<是方程212x x x-+=的两个根，解方程求得151,2a b +==所以，存在正实数151,2a b +==，当[],x a b ∈时，()()g x f x =且()g x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．已知函数()()()211,f x ax a x b a b R =-++-∈.（1）若1a =，关于x 的不等式()2f x x≥在区间[]3,10上恒成立，求b 的取值范围；（2）若0b =，解关于x 的不等式()0f x <.【解析】（1）1a =，不等式化为2212x x bx-+-≥，[]3,10x ∈，所以()224123b x x x ≤-+=--在[]3,10恒成立，即求()223y x =--在[]3,10x ∈上的最小值为2-，所以2b ≤-.（2）0b =，不等式为()2110ax a x -++<，①当0a =时，10x -+<，1x >不等式解集为()1,+∞；当0a ≠时不等式转化为()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，②当0a <时，不等式()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭解集为()11,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，；③当0a >时，不等式()0f x <化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，若1a =，不等式解集为∅；若1a >，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；若01a <<，不等式解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述：①当0a <时，不等式解集为()11,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，；②当0a =时，不等式解集为()1,+∞；③当01a <<时，不等式解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④当1a =时，不等式解集为∅；⑤当1a >时，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈.【解析】当0a =时，不等式240x -+>的解为2x <；当0a ≠时，不等式对应方程的根为2x a=或2，①当0a <时，不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈即()()220ax x --+<的解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当01a <<时，不等式()()220ax x -->的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；③当1a =时，不等式()220x +>的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞；④当1a >时，不等式()()220ax x -->的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a =时，不等式解集为(),2-∞；当0a <时，不等式的解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a <<时，不等式的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞；当1a >时，不等式的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.22．已知关于x 一元二次不等式2220x mx m +++≥的解集为R .(1)求函数()32f m m m =++的最小值；(2)求关于x 的一元二次不等式()2330x m x m +-->的解集.【解析】(1)因为关于x 一元二次不等式2220x mx m +++≥的解集为R ，所以()24420m m ∆=-+≤，化简可得：220m m --≤，解得：12m -≤≤，所以124m ≤+≤，所以()()33322222222f m m m m m m m =+=++-≥+⋅-+++232=-，当且仅当322m m +=+即32m =-，()f m 的最小值为232-.(2)不等式()2330x m x m +-->，可化为()()30x m x +->，因为12m -≤≤，所以213m -≤-≤<，所以该不等式的解集为()(),3,m -∞-⋃+∞.。

第4讲 一元二次不等式及其解法【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）不等式2280x x --≤的解集为（ ） A ．2{|}4x x -≤≤ B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|4x x ≥或}2x ≤- D ．{|2x x ≤或}4x ≤-【答案】B【解析】由2280x x --，得(4)(2)0x x -+，所以24x -. 故选：B.2．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式250x x a -+<的解集是{}2x x b <<，则实数=a （ ） A ．14- B ．3- C ．3 D ．6【答案】D【解析】250x x a -+<的解集是{}2x x b <<，2∴和b 是方程250x x a -+=的解.由根与系数的关系知25,2,b b a +=⎧⎨=⎩，解得3,6.b a =⎧⎨=⎩. 故选：D.3．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13xx <<∣，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（ ） A ．1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⋃⎪⎝⎭D ．()1,4,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<∣， 所以0a <，1,3是方程20ax bx c ++=的两个根， 所以13ba+=-，13c a⨯=， 即4b a =-，3c a =，则()()4403131a x axb x cx a a x x -+-==>+++， 可知其解集为1,(4,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⋃⎭，故选：C ．4．（2021·山东省郓城第一中学高三阶段练习）若不等式ax 2+ax ﹣1≤0的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0≤a≤4 B ．﹣4＜a ＜0C ．﹣4≤a ＜0D ．﹣4≤a≤0【答案】D【解析】0a =时，不等式210ax ax +-化为10-，解集为实数集R ；0a ≠时，应满足00a <⎧⎨⎩，所以2040a a a <⎧⎨+⎩，解得40a -<；综上，实数a 的取值范围是40a -． 故选D ．5．（2022·北京·高三专题练习）若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（ ） A ．22k -≤≤ B ．2k ≤-，或2k ≥ C ．22k -<< D ．2k <-，或2k >【答案】A【解析】∵不等式210x kx ++<的解集为空集， ∵240k ∆=-≤， ∵22k -≤≤. 故选：A.6．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式20ax x c -->的解集为1{|1}2x x -<<，则函数2y cx x a =--的图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得1-和12是方程20ax x c --=的两个根，且0a <， 1112112a c a ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得2,1a c =-=-，则()()22221y cx x a x x x x =--=--+=-+-，则函数图象开口向下，与x 轴交于()()2,01,0，-. 故选：C.7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式260x x a ++≤的解集中有且仅有5个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,5 B ．[)0,5 C ．[]0,5 D ．(]0,5【答案】D【解析】原不等式变形为2(3)9x a +≤-，9a ≤时，原不等式才有解． 且解为3939a x a --≤--要使其中只有5个整数，则293a ≤-，解得05a <≤． 故选：D ．8．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】B【解析】解：令2()42f x x x a =---，则函数的图象为开口朝上且以直线2x =为对称轴的抛物线， 故在区间(1,4)上，()f x f <（4）2a =--， 若不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 则20a -->， 解得2a <-，即实数a 的取值范围是(,2)-∞-. 故选：B ．9．（多选）（2022·辽宁丹东·一模）如果关于x 的不等式2210x ax b -+->的解集为{}xx a ≠∣，那么下列数值中，b 可取到的数为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】CD【解析】由题设知，221y x ax b =-+-对应的0=，即()2410a b -+=，故211b a =+≥，所以数值1,012-,,中，b 可取到的数为1，2. 故选：CD .10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确； 且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确. 故选：ABD .11．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分不必要条件可以是（ ） A ．a >4 B ．5a ≤ C ．4a ≤ D ．5a ≥【答案】AD【解析】由[]1,2x ∈，则[]21,4x ∈，要使20x a -≤在[]1,2x ∈上恒成立， 则2x a ≤，所以4a ≥，根据题意可得所求对应得集合是[)4,+∞的真子集， 根据选项AD 符合题意． 故选：AD ．12．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）已知不等式2210x ax b ++->的解集是{}x x d ≠，则b 的值可能是（ ）A ．1-B ．3C ．2D ．0【答案】BC【解析】解：因为不等式2210x ax b ++->的解集是{}x x d ≠， 所以()()24210b a ∆=--=，解得2+11b a =≥， 故选：BC.13．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式()22log 362ax x -+>的解集为()(),1,+b -∞∞，则=a ___，b =________．【答案】 1 2【解析】解：所解不等式即()22222360log 36log 4364ax x ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⇒-+>⎪⎩，即22360320ax x ax x ⎧-+>⎨-+>⎩，观察可得只要x 让第二个不等式成立，则第一个一定成立，所以只需解2320ax x -+>，由已知可得此不等式的解集为()(),1,+b -∞∞，则1,x x b ==为2320ax x -+=的两根，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，故答案为：1；2；14．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________. 【答案】{}23x x <<【解析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，，故6a =，则不等式303x ax -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<， 不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<， 则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<，故答案为：{}23x x <<.15．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）若命题p ：x ∀∈R ，2240ax x -+为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】1,)4∞⎡+⎢⎣【解析】当0a =时，240x -+≥不满足题意；∵x ∀∈R ，2240ax x -+，则0a >且4160a ∆=-≤，解得14a ≥. 故答案为：[14，+∞）.16．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2(2)20x m x m -++<的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】(5，]6【解析】2(2)20x m x m -++<可化为2(0)()x m x --<， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{|2}x x m <<，且56m <； 故答案为：(5，]6．17．（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）若不等式20ax bx c ++≥的解集是{}123x x -≤≤，求不等式20cx bx a ++<的解集．【解】由20ax bx c ++≥的解集为{}123x x ≤≤，知0a <，且13-，2为方程20ax bx c ++=的两个根，∵53b a -=，23c a =-，∵53b a =-，23c a =-．∵不等式20cx bx a ++<变为225033a x a x a ⎛⎫⎛⎫-+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22530ax ax a +->，又0a <，∵22530x x +-<，解得132x -<<， ∵所求不等式的解集为{132x x ⎫-<<⎬⎭．故答案为：{132x x ⎫-<<⎬⎭.18．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于x 的不等式23208kx kx +-<，0k ≠（1）若18k =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．【解】（1）将18k =代入不等式，可得21130488x x +-<，即2230x x +-<所以32-和1是方程2230x x +-=的两个实数根，所以不等式的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭即不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ．因为0k ≠所以220,30k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<， 故k 的取值范围为(3,0)-．19．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）求下列关于x 的不等式的解集： （1）211x x ->+；（2）()22210ax a x -++≤．【解】（1）当12x ≥时，不等式为2112x x x ->+⇒>. 当12x <时，不等式为()211,300x x x x -->+<⇒<， 所以不等式的解集为()(),02,-∞+∞.（2）当0a =时，不等式为1210,2x x ⎡⎫-+≤⇒∈+∞⎪⎢⎣⎭.当0a ≠时，由()()()22212110ax a x x ax -++=--=解得1211,2x x a ==.当0a <时，不等式的解集为11,,2a ⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，当02a <<时， 不等式的解集为11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当2a =时，不等式的解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.当2a >时，不等式的解集为11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【素养提升】1．（2021·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ） A ．()()5,34,5-⋃ B ．[)(]5,34,5-⋃ C ．(][)5,34,5-⋃ D ．[][]5,34,5-⋃【答案】B【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得172x ，2x k =- （1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若不等式组的解集中仅有一个整数，则54k -≤-<-，即45k <≤； （2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若不等式组的解集中仅有一个整数，则35k -<-≤，即53k -≤<； 综上，可知k 的取值范围为[)(]5,34,5-⋃ 故选：B2．（2022·浙江·高三专题练习）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+-<，且A B R =，则实数k 的取值范围是（ ）A ．6446,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．6422,,5335⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．6422,,5335⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得213x ≤-<，解得213x ≤-<或 312x -<-≤-， 所以34x ≤<或21x -<≤-， 所以(][)2,13,4A =--⋃{}{}()(){}22222111502111502530B x x kx k x x kx k x x k x k =-+-<=-+>=-->， 当0k >时，()5,3,2k B k ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，由A B R =，则53342k k ≤<<，解得6453k ≤<； 当0k =时，{}0B x R x =∈≠，此时A B R =不成立，故0k =不取； 当0k <时，()5,3,2k B k ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，则52312k k -<<≤-，解得2235k -<≤-， 综上所述，实数k 的取值范围是6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（R m ∈）． （1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[]1,1D -⊆，求m 的取值范围． 【解】（1）∵101m m +=⇒=-时，()2f x x =-，不合题意，舍去； ∵101m m +≠⇒≠-时，()()22101234110340m m m m m m m +>>-⎧⎧⇒⇒⎨⎨∆=-+-≤-≥⎩⎩. 综上：23m ≥. （2）()f x m ≥即2(1)10m x mx +--≥，所以[]()(1)110m x x ++-≥， ∵1m =-时，解集为：[1,)+∞； ∵1m >-时，()1()101x x m +-≥+，因为1011m -<<+，所以解集为：1(,1,)1][m -∞-⋃+∞+； ∵21m -<<-时，()1()101x x m +-≤+， 因为111m ->+，所以解集为：11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦.（3）因为不等式()0f x ≥的解集为D ，且[]1,1D -⊆， 即对任意的[]1,1x ∈-，不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+恒成立，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以22212111x xm x x x x -+-≥=-+-+-+，设[]21,3,2t x x t =-∈=-， 所以222123331333233323x t x x t t t t t t-+==≤=-+-+-+-⋅-， 当且仅当323t x ==时取“=”. 所以2211x x x --+-+的最大值为：233231+-=， 所以23m ≥.。

2023《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》contents •一元二次不等式的定义与理解•一元二次不等式的解法•一元二次不等式的应用•一元二次不等式的扩展知识目录01一元二次不等式的定义与理解定义一元二次不等式是指形如`ax^2 + bx + c > 0`或`ax^2 + bx + c < 0`的不等式，其中`a`, `b`, `c`是常数，且`a`不等于0。

它是由一元二次方程的根的判别式和不等式的性质引出的。

一元二次不等式的解集就是使不等式成立的所有x的集合。

ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

标准形式如`(x-a)(x-b) > 0`或`(x-a)(x-b) < 0`等。

特殊形式一元二次不等式的形式一元二次不等式的解集当判别式`Delta = b^2 - 4ac > 0`时，解集为两个开区间；当判别式`Delta = b^2 - 4ac < 0`时，解集为一个空集和两个开区间的并集。

当判别式`Delta = b^2 - 4ac = 0`时，解集为一个开区间和一个闭区间；注意：在求解一元二次不等式时，还需要考虑二次项系数a的正负情况，以及不等式的符号。

02一元二次不等式的解法总结词通过配方法将一元二次不等式转化为二次函数，利用二次函数的图像和性质求解。

详细描述将一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)化为a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a>0，再利用二次函数的图像和性质求解。

配方法总结词利用一元二次方程的求根公式，将一元二次不等式转化为两个一次不等式组，求解。

详细描述根据一元二次方程的求根公式，将一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的两个根x1，x2代入，得到两个一次不等式组，求解即可得到解集。

公式法通过图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，根据图像求解。