2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科)

数学试卷一、选择题 1.设z C∈，则0z z +=是 z 为纯虚数的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.已知集合2{|2,R}A x y x x ==-∈,{|13,Z}B x x x =-≤≤∈，则集合A B⋂中元素的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13.函数ln ()ex xf x =的大致图像是( ) A ．B ．C ．D ．4.已知向量,a b r r 满足1a =r，2b =r ，a b -=r r ，则a r 与b r 的夹角为( )A ．π3 B ．π6 C ．2π3 D ．π45.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是( ) A ．212x y =-B ．221x y =-C ．21216x y =- D ．222x y =-6.在ABC △中，π,34ABC AB BC ∠===,则sin BAC ∠=( )A D 7.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“100?S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”，且要求输出的结果不变，则正整数0n 的取值为( )A ．4B ．5C ．6D ．78.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.459.在三棱锥P ABC -中,3,8,PA PB BC AC AB BC ====⊥，平面APB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为( )A ．2 B ．2C ．2D ．210.若函数2()cos 2sin cos 2f x x x x x ωωωω=++在区间3π3π[,]22-上单调递增，则正数ω的最大值为( )A ．18 B ．16C ．14 D ． 1311.已知定义在R 的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =．函数|1|()e (13)x g x x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．3B ．4C ．5D ．612.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]126α∈，则该双曲线离心率e 的取值范围为( )A ．1]B ．2C ．2+D ．1]13.已知集合2{|230}A x x x =--≥，{|22}B x x =-≤<，则A B =I ( ) A.[2,1]-- B.[1,2)- C.[1,1]- D.[1,2)14.若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =( ) A.12i + B.12i - C.12i -+ D.12i--15.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为( ) A.3 B.-3 C.1 D.-116.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(2,3) ，则该双曲线的离心率为( )A.12 B.2 C.7 D.7217.某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的体积(单位: 3cm )是( )A. π12+ B.π32+ C.3π12+ D.3π32+ 18.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A.12种B.18种C.24种D.36种19.在如图所示的流程图中，若输入,,a b c 的值分别为2，4，5，则输出的x =( )A.1B.2C.lg 2D.1020.将函数()2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π12个单位得到函数()g x 的图象,在()g x 图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴为( ) A.π24x =-B.π4x =C.5π24x =D. 12πx =21.设12,F F 是椭圆:C 2213x y m+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足o 12120F PF ∠=，则m 的取值范围是( )A.(0,1][12,)+∞UB.3(0,])2+∞UC.3(0,])4+∞UD.3(0,][12,)4+∞U22.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是( ) A.716 B. 916 C. 34 D. 1423.在三棱柱111C B A ABC -中，1AB AC AA ===2π3BAC ∠=，1AA ⊥平面ABC ，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40πB. C. 40π3D.324.已知函数1()()e xf x x a =-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( ) A.21(,0)e -B.2(e ,0)-C.21(,+)e-∞ D.2(e ,)-+∞ 二、填空题 25.若直线52y x =与曲线ln(21)y mx x =-+相切于点(0,0)O ，则m =___________ 26.已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数z ax y=-+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为___________27.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________28.圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180︒的扇形.正四棱柱''''ABCD A B C D -的上底面的顶点',',','A B C D 均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为__________29.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x +的最小值为___________.30.在ABC △中，M 是BC 的中点，3,8AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r______.31.已知6(31)()x x a +-的展开式中5x 的系数为3，则实数a =_________.32.在ABC △中,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取最大值时，ABC △的周长为___________. 三、解答题33.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数） 1.若1a -,212a ，4a 成等差数列，求p 的值。

洛阳市2019-2020学年高三年级第一次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合*2{|20}A x N x x =∈--≤，{2,3}B =，则A B =U （ ） A ．{1,0,1,2,3}- B ．{1,2,3} C ．[1,2]- D ．[1,3]-2.若复数z 为纯虚数，且(1)i z a i +=-（其中a R ∈），则||a z +=（ ） A ． 2 B ．3 C ． 2 D ．53.函数sin ln ||xy x =的图像大致为（ ）4.在区间[1,1]-内随机取两个实数,x y ，则满足21y x ≥-的概率是（ ） A ．29 B ．79 C. 16 D ．565.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A ． 24种B ．36种 C. 48种 D ．60种 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．936 B ．636+ C. 336+ D ．12367.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过左焦点1F 的直线切圆222x y a +=于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若1F P PQ =u u u r u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =± B ．y x =± C. 2y x =± D ．32y x =± 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈3.14159π=L ，判断下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．36031d V ≈．32d V ≈ 3158d V ≈．32111d V ≈ 9.已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5y z x =-的取值范围为（ ）A ．24[,]33-B ．42[,]33- C. 23(,][,)34-∞-+∞U D ．33(,][,)42-∞-+∞U10.设,A B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO CB u u u r u u u rg 的取值范围是（ ） A ．[1,3]- B ．[1,3] C. [3,1]-- D ．[3,1]- 11.已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A．(0)()4f π> B()()34f ππ< C. (0)2()3f f π> D()()34f ππ-<-12.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．3[,4]4ππ B ．5[,4]4ππ C. 7[,4]4ππ D ．11[,4]4ππ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan()24πα+=，则2sin 3sin cos ααα=+ ．14.数列{}n a 首项12a =，且*132()n n a a n N +=+∈，令3log (1)n n b a =+，则21211{}n n b b -+的前2019项的和2019S = ．15. 27(32)()x y x y +-的展开式中含有54x y 的项的系数为 ．16.若函数2()2x ae f x x x x+=-+在(0,)+∞上仅有一个零点，则a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，D 是直角ABC ∆斜边BC上一点，AC =.（1）若030DAC ∠=，求角B 的大小；（2）若2BD DC =，且23AD =，求DC 的长.18. 如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==.（1）求证：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为045，求二面角P CE D --的余弦值.19. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，椭圆C 另一个焦点是1F ，且1294MF MF =u u u u r u u u u r g . （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2F PQ ∆的内切圆面积的最大值. 20. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值. 21. 已知函数()ln(1)1x f x e ax x =+++-.（1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：232ee <. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线1C ，2C 的公共点为,A B .（1）求直线AB 的斜率；（2）若点,C D 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当||CD 取最大值时，求四边形ACBD 的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈. （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BABDD 6-10: ACDAA 11、12：DB 二、填空题13. 13 14. 20194039 15. -21 16. 5ln 24-三、解答题17.（1）在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin AC DCADC DAC=∠∠，∵AC =，∴sin 2ADC DAC ∠=∠=， 又006060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>， ∴0120ADC ∠=，于是00001801203030C ∠=--=， ∴060B ∠=.（2）设DC x =，则2BD x =，3BC x =，AC =，于是sin 3AC B BC ==，cos 3B =，AB =， 在ABD ∆中，由余弦定理，得2222cos AD AB BD AB BD B =+-g ，即2222642223x x x x =+-⨯⨯=，x =DC =18.证明：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接,OF EF ， ∵,O F 分别为,AC PC 的中点， ∴//OF PA 且12OF PA =， ∵//DE PA 且12DE PA =， ∴//OF DE 且OF DE =， ∴四边形OFED 为平行四边行， ∴//OD EF ，即//BD EF ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥ ∵ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥， ∵PA AC A =I ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵//BD EF ，∴EF ⊥平面PAC ， ∵FE ⊂平面PCE ， ∴平面PAC ⊥平面PCE .（2）∵直线PC 与平面ABCD 所成角为045， ∴045PCA ∠=， ∴2AC PA ==， ∴AC AB =，故ABC ∆为等边三角形，设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥，以A 为原点，,,AM AD AP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2)P ，3,1,0)C ，(0,2,1)E ，(0,2,0)D ，3,1,2)PC =-u u u r ，(3,1,1)CE =u u u r ，(0,0,1)DE =u u u r，设平面PCE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00n PC n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rg r u u u r g ，即11111132030x y z x y z +-=-++=⎪⎩，令11y =，则112x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴2)n =r设平面CDE 的法向量为222(,,)m x y z =u r，则00m DE m CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u rg，即222200z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令21x =，则220y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴m =u rcos ,||||n m n m n m <>===r u rr u r g r u r g 设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，∴cos 4θ=-即二面角P CE D --的余弦值为4-. 19.（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，点M 在直线32y x =上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2(,0)F c ，则点3(,)2cM c . ∵12339(2,)(0,)224MF MF c c c =---=u u u u r u u u u r g g ∴1c =又222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143x y += （2）由（1）知，1(1,0)F -，过点1(1,0)F -的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为48a =，又2142F PQ S a r ∆=g g （r 为三角形内切圆半径），∴当2F PQ ∆的面积最大时，其内切圆面积最大. 设直线l 的方程为：1x ky =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得22(43)690k y ky +--=，∴122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩∴212121||||2F PQS F F y y ∆=-=g gt =，则1t ≥，∴21213F PQ S t t∆=+令1()3f t t t =+，21'()3f t t =-当[1,)t ∈+∞时，'()0f t >，1()3f t t t =+在[1,)+∞上单调递增，∴212313F PQ S t t∆=≤+，当1t =时取等号，即当0k =时，2F PQ ∆的面积最大值为3，结合21432F PQ S a r ∆==g g ，得r 的最大值为34，∴内切圆面积的最大值为916π. 20.（1）2100.5(400210)0.6(410400)0.8227⨯+-⨯+-⨯=元（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3373107(0)24C P C ξ=== 217331021(1)40C C P C ξ=== 12733107(2)40C C P C ξ=== 333101(3)120C P C ξ=== 故ξ的分布列为∴721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足3(10,)5X B :， 可知101032()()()55k k k P x k C -==（0,1,2,3,10k =L ） 10119101010111110103232()()()()55553232()()()()5555k k k k k k k k k k k kC C C C -++-----⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得：283355k ≤≤，*k N ∈ ∴当6k =时概率最大，∴6k =.21.（1）法一：若0x ≥时，则1'()1x f x e a x =+++，令()'()g x f x =21'()(1)x g x e x =-+，'()g x 在[0,)+∞上单调递增，则'()'(0)0g x g ≥=则'()f x 在[0,)+∞上单调递增，'()'(0)2f x f a ≥=+①当20a +≥，即2a ≥-时，'()0f x ≥，则()f x 在[0,)+∞上单调递增， 此时()(0)0f x f ≥=，满足题意②若2a <-，由'()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于'(0)20f a =+<，x →+∞，'()0f x >故0(0,)x ∃∈+∞，使得0'()0f x =，则当00x x <<时，0'()'()0f x f x <= ∴函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0f x f <=，不恒成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是[2,)-+∞.法二：若2x ≥-时，1'()1x f x e a x =+++，①0a ≥，令()1x g x e x =--，则'()10x g x e =-≥，()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+11'()(1)11x f x e a x a a x x =++≥+++≥++20a =+≥∴函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=成立.②若2a <-，由2221(1)1''()0(1)(1)x x x e f x e x x +-=-=≥++∴函数'()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于'(0)20f a =+<，x →+∞，'()0f x >故0(0,)x ∃∈+∞，使得0'()0f x =，则当00x x <<时，0'()'()0f x f x <= ∴函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0f x f <=，不恒成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是[2,)-+∞.（2）证明：由（1）知，当2a =-时，()ln(1)1x f x e ax x =+++-在[0,)+∞上单调递增， 则1()(0)2f f >，即1211ln(1)102e -++->∴3ln 22>∴232e >232e <.22.（1）消去参数α得曲线1C 的普通方程221:20C x y y +-= （ⅰ） 将曲线2:4cos C ρθ=化为直角坐标方程得：2240x y x +-= （ⅱ） 由（ⅰ）-（ⅱ）化简得：2y x =，即为直线AB 的方程， 故直线AB 的斜率为2.（2）由221:20C x y y +-=，知直线1C 是以1(0,1)C 为圆心，半径为1的圆， 由222:40C x y x +-=，知曲线2C 是以2(2,0)C 为圆心，半径为2 的圆， ∵1122||||||||CD CC C C DC ≤++∴当||CD 取得最大值时，圆心1C ，2C 在直线CD 上，∴直线CD （即直线12C C ）的方程为：22x y +=∵O 到直线CD 的距离为5d ==，即||AB =此时12||||123CD C C =++=∴四边形ACBD 的面积1||||225S CD AB ==+g g .23.（1）当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--由()2f x ≥，解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112x -<<时，()21(1)3f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<；当1x ≥时，()21(1)2f x x x x =+--=+， 由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥. ∴()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞U .（2）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4)，∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立， 原式可变为21||3x x m x +--≥-，即||4x m x -≤+， ∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立， 显然当3x =时，24x +取得最小值10， 即m 的取值范围是[4,10]-.。

河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.6 1﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6 根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．2【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z ﹣1|．解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.61﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B 正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．4【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．7．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x ＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f （x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞b＞c．故选：A．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣9 ．【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为a≤﹣或a＝e2．【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥PA1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a≤3．。

洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数()()112z i i =++，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限C根据复数的乘法运算，化简复数z ，从而得出共轭复数z ，再根据复数在复平面上的点的表示，可得选项.∵()()21121+3+21+3i z i i i i =++==-，∴13z i =--，则z 在复平面内对应的点的坐标为（13--，），位于第三象限．故选：C ．2. 已知集合{}0A x x =>，{}2230B x x x =+-≤，则集合A B =（ ）A. {}31x x -≤≤B. {}30x x -≤<C. {}01x x <≤D. {}3x x ≥-D先利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用并集的运算求解.因为集合{}0A x x =>，{}{}223031B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以A B ={}3x x ≥-，故选：D 3. 下列说法正确的是（ ）A. “()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B. “若π6α=，则1sin 2α=”的否命题是“若π6α≠，则1sin 2α≠”C. “向量a ，b ，c ，若a b a c ⋅=⋅，则b c =”是真命题D. 命题“x ∀∈R ，2210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，使得200210x x ++>”B选项A 举例当()2f x x x =-满足()00f =，但不是奇函数,可判断；选项B 写出命题的否命题,可判断；选项C 当0a =时，a b a c ⋅=⋅成立，但b c =不一定成立,可判断，选项D 写出命题的否定,可判断.选项A. 函数()2f x x x =-满足()00f =，但不是奇函数，故A 不正确.选项B. “若π6α=，则1sin 2α=”的否命题是“若π6α≠，则1sin 2α≠”,故B 正确.选项C. 当0a =时，a b a c ⋅=⋅成立，但b c =不一定成立，故C 不正确.选项D. 命题“x ∀∈R ，2210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，使得200210x x ++≤”,故D 不正确.故选：B4. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，22a =，3564a a =，则数列{}n a 的前10项和等于（ ） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024C由条件求出11,2a q ==，然后可得答案.因为212a a q ==，2635164a a a q ==，且{}n a 的各项为正数所以可解得11,2a q ==，所以101012102312S -==-故选：C 5. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若a 平行于α内的无数条直线，则//a α B. 若//a α，//a b ，则b 平行于α内的无数条直线 C. 若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥ D. 若//a α，αβ⊥，则a β⊥ B根据空间线面间平行与垂直的位置关系判断． 当a α⊂时，α内也有无数条直线与a 平行，A 错；//a α，则α内有无数条直线与a 平行，而//a b ，那么这无数条直线中最多有一条与b 重合，其它的都与b 平行，B 正确；αβ⊥，a α⊂，b β⊂，a 与b 可能平行可能垂直，C 错；//a α，αβ⊥，则也可能有//a β，D 错误．故选：B ．6. 为了得到函数sin 2cos2y x x =+的图像，只需把函数sin 2cos 2y x x =-的图像（ ）A. 向左平移4π个长度单位B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移2π个单位长度D. 向右平移2π个单位长度Ay sin2x cos2x =+可化为)4y x π=+，同理y sin2x cos2x =-可化为)4y x π=-，所以把)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，可得到)4y x π=+的图像．选A.7. 为创建全国文明城市，学校计划从4男3女共7名教师中随机派出4名教师参加志愿服务工作，则至多有一名女教师参加的概率是（ ） A. 1235B.1335C.1835D.1935B由条件可得至多有一名女教师参加的概率为43144347C C C C +，算出即可.至多有一名女教师参加的概率为431443471335C C C C +=故选：B 8. 已知点F 为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点．直线l ：y x =-与双曲线的左支交于点P ，且OP PF =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. A首先根据条件求出点P 的坐标，然后根据双曲线的定义可建立方程求解.因为OP PF =，直线l ：y x =-，所以45PFO POF ∠=∠=︒因为OF c =，所以可得,22c c P ⎛⎫-⎪⎝⎭，22PF = 设双曲线的右焦点为1F ，由双曲线的定义可得12PF PF a -=222222c c c a ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10222a -= 所以1022102cae ==-=故选：A 9. 已知P ，Q 是圆O ：228x y +=上的两个动点，且4OP OQ -=，S 是线段PQ 的中点，若3122OT OQ OP =-，则OS OT ⋅的值为（ ）A. 822+B. 822-C. 8D. 4D根据222OP OQ PQ +=，建立平面直角坐标系，分别求得向量,OS OT 的坐标，然后利用平面向量的数量积运算求解.因为P ，Q 是圆O ：228x y +=上的两个动点，且4OP OQ -=， 所以222OP OQ PQ +=，建立如图所示直角坐标系：不妨设()(22,0,0,22,2,2P Q S ，所以()2,2OS =，(312,3222OT OQ OP =-=-，所以3122322422OS OQ OT OP =-=-⨯=⋅，故选：D10. 设函数()3211232x b f ax x c x =+++在0,1上取得极大值，在1,2上取得极小值，则3a b+的取值范围是（ ） A. ()2,1-- B. ()2,0-C.1,0D. ()1,1-B因为函数()3211232x b f ax x c x =+++在0,1上取得极大值，在1,2上取得极小值， 所以'''(0)20(1)120(2)4220f b f a b f a b ⎧=>⎪=++<⎨⎪=++>⎩，然后画出变量,a b 表示的可行域如图所示，利用线性规划可求得结果由()3211232x b f ax x c x =+++，得'2()2f x x ax b =++，因为函数()3211232x b f ax x c x =+++在0,1上取得极大值，在1,2上取得极小值，所以'''(0)20(1)120(2)4220f b f a b f a b ⎧=>⎪=++<⎨⎪=++>⎩，所以变量,a b 表示的可行域如图所示设3z a b =+，则1133b a z =-+，作直线13b a =-，平移过点(2,0)A -和点C 时，可求得3z a b=+取值范围，由1204220a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，即(3,1)C -，所以203331z -+⨯<<-+⨯，即20z -<< 所以3a b +的取值范围为()2,0-，故选：B11. 已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5A根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-=故选：A.12. 已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A. ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭，B. ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C. ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D. πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， A 设()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=,由条件可得()()cos f x g x x =在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，进一步可得()()cos f x g x x =在02，上单调递增，将()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由单调性可得答案.设()()cos f x g x x= ，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '> 所以()()cos f x g x x =在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增. 又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x =在02，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13. 已知向量(),3k =a 与()2,1b =-，若()b a b ⊥+，则实数k 的值为______．1-首先算出a b +的坐标，然后由()b a b ⊥+建立方程求解即可. 因为(),3k =a ，()2,1b =-，所以()2,2a b k +=+ 因为()b a b ⊥+，所以2420k +-=，解得1k =- 故答案为：1-14. 已知π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα的值是______．25由π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可得cos sin 1cos sin 3αααα-=-+，两边平方可解出答案. 由π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得sin 11tan cos sin 1cos sin 1tan cos sin 31cos αααααααααα---===-+++ 由cos sin 1cos sin 3αααα-=-+两边平方可得：12cos sin 112cos sin 9αααα-=+ 解得2sin cos 5αα=故答案为：2515. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．53根据三视图画出几何体的直观图，再由几何体的构成分别求体积即可.几何体的直观图如下:由三视图得1153+=132+3223V V V=⨯⨯柱锥.故答案为:53【注意点点睛】观察三视图并将其“翻译”成直观图；注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”；注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响；对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，再根据正视图和侧视图，确定几何体的形状.16. 设数列{}n a满足125a=，且21n n na a a+=+，n*∈N，设122020111111Sa a a=++⋅⋅⋅++++，若(),1S t t∈+，则整数t=______．2先求出+11111n n na a a=-+，再裂项相消得到(2,3)S∈，即得t值.因为21n n n a a a +=+，所以+11111=(1)1n n n n n a a a a a =-++， 所以+11111n n n a a a =-+， 所以122020122320202021111111111111S a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=-+-++-+++所以202151522S a =-<. 又21n n n a a a +=+，所以1n n a a +>， 由题得223424141414546639366,(),,525252525625390625a a a =+==+==，因为12341111525625390625+++211117391171639366a a a a +=++>++++， 所以(2,3),2S t∈∴=. 故答案为：2三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C C a A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭．（1）求角A ；（2）若D 是AB 的中点，且1CD =，求b c +的最大值．（1）3A π=；（2）3. （1）利用正余弦定理将sin sin sin sin b B c C C a A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭进行边角互化可得答案；（2）在ADC 中，设ACD α∠=，ADC β=，则23παβ+=，然后由正弦定理可得sin sin sinAC AD CD A βα===，然后)()222sin 4sin 2sin 4sin 3333b c AC AD πβααα⎡⎤⎛⎫+=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用三角函数的知识可求得答案.（1）因为23sin sin sin sin 3b B c C b C a A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以由正弦定理可得2223sin b c b C a a ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即22223sin 3b c a ab C +-= 所以由余弦定理可得232cos sin bc A ab C =，所以3sin cos sin sin C A A C = 因为sin 0C ≠，所以3cos sin A A =，即tan 3A = 因为()0,A π∈，所以3A π=（2）在ADC 中，设ACD α∠=，ADC β=，则23παβ+=所以23sin sin sin AC AD CD A βα=== 所以)()333222sin 4sin 2sin 4sin 3333b c AC AD πβααα⎡⎤⎛⎫+=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦)()32215sin 333αααϕ==+（其中3tan 5ϕ=） 因为20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()221221sin 33b c αϕ+=+≤，即b c +22118. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，160C CA ∠=︒，AB AC ⊥，12AC AB AA ===．（1）求证：11CA BC ⊥；（2）设点E 在直线1AA 上，记1AE AA λ=，是否存在实数λ，使CE 与1A BC 平面所成的角的正25，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． （1）证明见解析 （2）存在 1λ=-(1) 连接1AC ,得11AC AC ⊥，由条件可得AB ⊥面11AAC C ，从而有1AB A C ⊥，则可证明1A C ⊥面1ABC ，从而可证明结论.(2) 由（1）可知四边形11AAC C 为菱形，又160C CA ∠=︒，则1CC A △为等边三角形.取AC 的中点N ，连接1C N ，则1C N AC ⊥,且13C N =由侧面11AA C C ⊥底面ABC ，则1C N ⊥面ABC ,以,AC AB 分别为,x y 轴，过A 作1C N 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系,用向量法求解. (1)连接1AC由侧面11AA C C ⊥底面ABC ，且面11AAC C底面ABC AC =,AB AC ⊥, AB 面ABC ,所以AB ⊥面11AAC C又1AC ⊂面11AAC C ,所以1AB A C ⊥ 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 为平行四边形，又2AC AB ==， 所以四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥,且1AC AB A =所以1A C ⊥面1ABC ,由1BC ⊂面1ABC ,所以11CA BC ⊥（2）由（1）可知四边形11AAC C 为菱形，又160C CA ∠=︒，则1CC A △为等边三角形. 取AC 的中点N ，连接1C N ，则1C N AC ⊥,且13C N = 由侧面11AA C C ⊥底面ABC ，则1C N ⊥面ABC以,AC AB 分别为,x y 轴，过A 作1C N 的平行线为z 轴，如图建立空间直角坐标系.则()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,1,0,3A C B A - 由()1,0,3AE AA λλλ==-，则()()()2,0,0,0,32,0,3CE CA AE λλλλ=+=-+-=--()2,2,0BC =-,()11,2,3BA =-- 设面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =则100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220230x y x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ ，取()1,1,3n = 设CE 与1A BC 平面所成的角为θ，则25sin cos ,n CE n CE n CEθ⋅===⋅ 即()222225552++3λλλ-=⋅，化简得2210λλ++=，所以1λ=- 所以存在1λ=-满足条件.19. 设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若6AF BF +=，求证：线段AB 的垂直平分线过定点．（1）24y x =；（2）证明见解析. （1）由条件可得542pPF ==+，解出即可； （2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得12242kmx x k-+=，由6AF BF +=可得12242242km x m k kkx -+==⇒=-，然后表示出线段AB 的垂直平分线方程可得答案. （1）由抛物线的焦半径公式可得542pPF ==+，解得2p = 即抛物线C 的方程为24y x =（2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩可得()222240k x km x m +-+= 所以0k ≠，()2222440km k m ∆=-->，即1km <12242kmx x k -+=因为6AF BF +=，所以1226x x ++=，所以12242242km x m k k kx -+==⇒=- 所以线段AB 的中点坐标为()2,2k m +所以线段AB 的垂直平分线方程为()122x ky k m ---=-， 即()1214124x k m x x k k k k ky +++=+=--=--，所以过定点()4,0当直线l 的斜率不存在时也满足综上：线段AB 的垂直平分线过定点()4,020. 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p （01p <<）．现有4例疑似病例，对其核酸检测有以下三种方案： 方案一：逐个化验；方案二：四个样本混在一起化验； 方案三：平均分成两组化验．（1）若14p =，求2个疑似病例的混合样本化验结果为阳性的概率；（2）在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．若14p =，现将该4例疑似病例样本进行化验．请问：方案一、二中哪个更“优”？（3）若12p =，求方案三检测次数的分布列．（1）716；（2）方案二更“优”；（3）分布列见解析.（1）根据题意直接可得答案；（2）方案二：检测次数为X ，X 的可能取值为1，5，算出其期望，然后与4作比较即可； （3）首先算出每组检测的次数及其概率，然后可得方案三的检测次数为Y ，Y 的可能取值为2，4，6，算出对应的概率，然后可得分布列.（1）该混合样本呈阳性的概率是：2371416⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）方案一：逐个检测，检测次数为4 方案二：检测次数为X ，X 的可能取值为1，5()()()418117511,5114256256P X P X P X ⎛⎫==-===-==⎪⎝⎭ 所以()811752391525625664E X =⨯+⨯= 由于239464>，所以方案二更“优” （3）方案三，每组两个样本检测时，若呈阴性，则检验次数为1，概率为21124⎛⎫= ⎪⎝⎭若呈阳性，则检验次数为3，概率为13144-= 故方案三的检测次数为Y ，Y 的可能取值为2，4，6()()()2211133392,42,3416448416P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以随机变量Y分布列为21. 已知函数()()e 1e xf x a x x=+--（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间()0,1内存在零点，求实数a 的取值范围． （1）()f x 的极小值为()10f =，无极大值；（2）()0,∞+.（1）当0a =时，()e e xf x x=-，利用导数求出其单调性即可；（2）()()()()2e 1e=0=e 0xx f x a x g x ax a e x x=+--⇔+-+=，()f x 在区间()0,1上的零点即()g x 在区间()0,1上的零点，然后分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，每种情况下结合()g x 的单调性和函数值的符号可得答案.（1）当0a =时，()e e xf x x =-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()2e 1x xf x x-'= 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <且0x ≠所以()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 所以()f x 的极小值为()10f =，无极大值（2）当()0,1x ∈时，()()()2e 1e=0e 0xx f x a x ax a e x x=+--⇔+-+=令()()2=e x g x ax a e x +-+，则()f x 在区间()0,1上的零点即()g x 在区间()0,1上的零点()=e 2x g x ax a e '+--令()()=e 2x h x g x ax a e '=+--，则()=e 2xh x a '+①当0a =时，()=e 0xh x '>，()h x 单调递增，即()g x '单调递增又()1=0g '，所以当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减， 又()1=0g ，()g x 在区间()0,1上没有零点②当0a >时，()0h x '>，故()()h x g x '=在()0,1上单调递增 又()()()()0010,110h g a e h g a ''==--<==>所以存在()00,1x ∈，使得()()000h x g x '== 即当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减 当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增又因为()01g =，()1=0g ，所以()g x 在区间()0,1上存在零点③当0a <，()0,1x ∈时，令()x x e ex ϕ=-，则()xx e e ϕ'=-因为在()0,1上，()0x ϕ'<，()x ϕ是减函数，所以()()10xx e ex ϕϕ=->= 所以x e ex >，所以()()()()222=e 0x g x ax a e x ex ax a e x a x x +-+>+-+=->所以()g x 在区间()0,1上没有零点综上：要使函数()f x 在区间()0,1内存在零点，则a 的取值范围是()0,∞+选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑． 选修4—4：极坐标与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P的直角坐标为)，过点P 作直线l 的垂线交曲线C 于D 、E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． （170y -+=；24y x =；（2（1）利用直线参数方程消去参数即得直线的普通方程，曲线极坐标方程两边同时乘以ρ，利用cos x ρθ=，cos y ρθ=即得曲线的直角坐标方程；（2）根据点P 坐标写直线DE 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理求11PD PE-的值即可.解：（1）由2x ty ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，消去参数t70y -+=，即直线l70y -+=； 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，cos y ρθ=，∴24y x =， 即曲线C 的直角坐标方程24y x =；（2）依题意，设直线DE的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入24y x =得20t +-=，设点D 对应的参数为1t ，点E 对应的参数为2t，则12t t +=-12t t =-，且D 在x 轴上方，有10t >，20t <．故121212*********t t PD PE t t t t t t +-=-=+===， 即11PD PE -的值为4. 选修4—5：不等式选讲23. （1）已知a 、b 、c 是正数，且满足1ab bc ac ++=，求证a b c ++≥ （2）已知a 、b 是正数，且满足1a b +=2． （1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）本题可通过基本不等式得出222a b c ab bc ac ++≥++，进而得出()()23a b c ab bc ac ++≥++，最后根据1ab bc ac ++=即可证得不等式成立；（2）本题可通过柯西不等式证得不等式成立（1）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，所以()2222222a b c ab bc ac ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号，则222a b c ab bc ac ++≥++，()()23a b c ab bc ac ++≥++，因为1ab bc ac ++=，所以()23a b c ++≥，a b c ++≥. （2）因为1a b +=，所以由柯西不等式得()2111122a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()214a b =++=（当且仅当12a b ==时取等号），2.。