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章末检测（五) 三角函数 基础卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2020·四川成都外国语学校高一开学考试（理））若1sin 44p a æö+=ç÷èø，则sin 2a =（ ）A ．78B ．78-C ．34D ．34-【答案】B【解析】设4b pa =+，则1sin 4b =，4pa b =-，故27sin 2sin 2cos 22sin 148p a b b b æö=-=-=-=-ç÷èø.故选：B2．（2020·浙江绍兴一中高三）若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2p éùêúëû上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值（ ）．A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关【答案】B【解析】由题意22()cos sin sin sin 1f x x a x b x a x b =++=-+++，因为0,2x p éùÎêúëû，令sin [0,1]t x =Î，则()()22211[0,1]24a ah t t at b t b t æö=-+++=--+++Îç÷èø，【答案】C【解析】q 是第二象限角，即22,2k k k Z pp q p p +<<+Î，422k k pqpp p +<<+，2q在第一、三象限，又1cos022q=-<，∴2q 是第三象限角，∴23sin 1cos 222q q =--=-，∴222sin cos 2sin cos1sin 22222cos1cos 2cos 2sin 222qq q qq qq q q+--=+-+cos sin1222222cos2sin22q qqq-===-．故选：C ．5．（2020·山西高一期中）函数()cos 26f x x p æö=+ç÷èø在区间[0,]p 上的零点个数为（ ）A ．0B ．3C ．1D ．2【答案】D【解析】令()cos 206f x x p æö=+=ç÷èø，解得2()62x k k Z p p p +=+Î，即()62k x k Z p p =+Î.∵[0,]x p Î，∴0k =，6x p=；1k =，23x p =.故选D.6．（2020·全国高一课时练习）如果1|cos |5q =，532p q p <<，那么sin 2q的值为（ ）A ．105-B ．105C ．155-D ．155【答案】C【解析】由532pq p <<可知q 是第二象限角，1cos 5q \=-，53422p q p <<Q，2q \为第三象限角，1cos 15sin 225q q -\=-=-.故选：C 7．（2020·湖南高二期末（理））已知函数()()2sin 210()6f x x p w w =-->在区间,124p p éùêúëû内单调递增，则w 的最大值是（ ）A ．12B ．32C ．23D ．43【答案】D【解析】令22,2,622x k k k Z pp p w p p éù-Î-++Îêúëû，又函数在,124x p p éùÎêúëû单增，故有26626222k k k Z p pp p w pw p p p -+ïì-³ïïÎíï-£î+，，解得212,443k k Z k w w ³-+ìïÎí£+ïî，又0>w ，当0k =时w 取到最大值43故选：D8．（2020·重庆市育才中学高一月考）已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（ ）A ．13B ．14C ．112D ．112-【答案】C【解析】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =，因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -，所以()111sin 61212A B -=-=.故选：C 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．（2020·海南临高二中高二期末）下列结论正确的是（ ）A ．76p-是第三象限角B ．若圆心角为3p的扇形的弧长为p ，则该扇形面积为32p C ．若角a 的终边过点()3,4P -，则3cos 5a =-D ．若角a 为锐角，则角2a 为钝角【答案】BC 【解析】选项A ：76p -终边与56p相同，为第二象限角，所以A 不正确；选项B ：设扇形的半径为,,33r r r pp =\=，扇形面积为13322pp ´´=，所以B 正确；选项C ：角a 的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3cos 5a =-，所以C 正确； 选项D ：角a 为锐角时，0<<,02pa a p <<，所以D 不正确，故选:BC2．（2020·山东高三其他）若将函数()cos 212f x x p æö=+ç÷èø的图象向左平移8p个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为pB ．()g x 在区间0,2p éùêúëû上单调递减C ．12x p=不是函数()g x 图象的对称轴D ．()g x 在,66p p éù-êúëû上的最小值为12-【答案】ACD【解析】()cos 2cos 28123g x x x p p p éùæöæö=++=+ç÷ç÷êúèøèøëû．()g x 的最小正周期为p ，选项A 正确；当0,2x p éùÎêúëû时，42,333x p p p éù+Îêúëû 时，故()g x 在0,2p éùêúëû上有增有减，选项B 错误；012g p æö=ç÷èø，故12x p=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x p p éùÎ-êúëû时，220,33x p p éù+Îêúëû，且当2233x p p +=，即6x p =时，()g x 取最小值12-，D正确．故选：ACD3．（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数()sin cos f x x x =+()x R Î，如下结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的周期是2pB ．函数()f x 的值域是0,2éùëûC ．函数()f x 的图象关于直线x p =对称D ．函数()f x 在3,24p p æöç÷èø上递增【答案】ACD【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+，∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x p p p æöæöæö+=+++=+-=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，【解析】由函数图像可知：22362T p pp =-=，则222T p p w p===，所以不选A,当2536212x pp p +==时，1y =-\()5322122k k Z p p j p ´+=+Î，解得：()223k k j p p =+ÎZ ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x p p p p p p æöæöæöæö=++=++=+=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.而5cos 2cos(2)66x x p pæö+=--ç÷èø，故选：BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．（2016·上海市控江中学高三开学考试）函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是p ，则实数a =________【答案】±1【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T a p p ==，解得1a =±.故答案为：±114．（2020·广东高二期中）已知角a 的终边与单位圆交于点(3455，-)，则3cos(2)2pa +=__________.【答案】2425-【解析】因为角a 的终边与单位圆交于点(3455，-)，所以43sin ,cos 55a a ==-，所以4324sin 22sin cos 25525a a a æö=×=´´-=-ç÷èø，所以324cos(2)sin 2225p a a +==-，故答案为：2425-15．（2016·湖南高一学业考试）若sin 5cos a a =，则tan a =____________.【答案】5【解析】由已知得sin tan 5cos aa a==.故答案为：5.16．（2020·浙江高一期末）已知a 为锐角，3cos(),65pa +=则cos()3p a -=_______.【答案】45【解析】∵3cos(),65pa +=且2663p p p a <+<，∴)in(4s 65p a +=；∵()()326ppp a a -=-+，∴4cos()cos[()]sin()32665p p p p a a a -=-+=+=.故答案为：45.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（2020·天津静海一中高一期末）（1）已知sin(2)cos 2()cos tan()2f p p a a a p a p a æö-+ç÷èø=æö-++ç÷èø，求3f p æöç÷èø；（2）若tan 2a =，求224sin 3sin cos 5cos a a a a --的值；（3）求()sin 5013tan10°°+的值；（4）已知3cos 65p a æö-=ç÷èø，求2sin 3p a æö-ç÷èø．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？【解析】（1）用诱导公式化简等式可得sin (sin )()cos sin tan f a a a a a a -´-==，代入3p a =可得1cos 332f p p æö==ç÷èø.故答案为12.（2）原式可化为：2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos a a a aa a a a a a----=+224tan 3tan 5tan 1a a a --=+，把tan 2a =代入，则原式44325141´-´-==+.故答案为1．（3）()()sin 1030cos103sin10sin5013tan10sin50sin50cos10cos10°°°°°°°°°°+++=×=×cos 40sin 40sin801cos102cos102°°°°°===故答案为12.（4）令6x pa =-，则6xpa =-22sin sin sin 3632x x p pp p a æöæöæö-=--=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø3sin cos 25x x p æö=-+=-=-ç÷èø.解题中应注意角与角之间的关系.18．（2020·全国高三期中（理））已知函数()sin (0)f x x w w =>的图象关于直线94x =对称，且()f x 在[0,2]上为单调函数.（1）求w ；（2）当210,8x éùÎêúëû时，求sin cos x x w w +的取值范围.【解析】（1）因为函数()sin f x x w =的图像关于直线94x =对称．则9()42k k Z p w p =+Î，所以42()9k k Z p p w +=Î． 又()f x 在[0]2，上为单调函数，所以022pw <´…，即04pw <…，当20,9k p w ==满足题意，当1k -…或1,k w …不满足题意．故29pw =．（2）设()sin cos g x x x w w =+，则()2sin 4g x x p w æö=+ç÷èø，由（1）得2()2sin 94g x x pp æö=+ç÷èø，因为210,8x éùÎêúëû，则25,9446x p p p p éù+Îêúëû，所以21sin ,1942x p p æöéù+Îç÷êúèøëû．故2(),22g x éùÎêúëû．所以sin cos x x w w +取值范围是2,22éùêúëû．19．（2020·贵州高一期末）已知函数()()(2sin 03)x x f pw w =+>的最小正周期为p ，将()f x 的图象向右平移6p个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若24A g æö=ç÷èø，且4b c +=，求ABC V 周长l 的取值范围.【解析】（1）周期2T pp w==，2w =，()2sin(2)3f x x p=+.将()f x 的图象向右平移6p个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2sin )]12sin 22)1[3(6x y x pp ++=-=+.所以()2sin 21g x x =+.（2）2sin22()14A A g =+=，1sin 22A =.因为022A p <<，所以26A p=，3A p =.22222cos()31633a b c bc b c bc bc p=+-=+-=-.因为2()44b c bc +£=，所以04bc <£.所以416316bc £-<，即2416a £<，24a £<.所以[6,8)l a b c =++Î.20．（2020·全国高一课时练习）已知函数cos 2(0)6y a b x b p æö=-+>ç÷èø的最大值为2，最小值为12-.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()4sin 3g x a bx p æö=--ç÷èø的最小值，并求出对应的x 的集合.【解析】（1）由题知cos 2[1,1]6x p æö+Î-ç÷èø，∵0b >，∴0b -<.∴max min3,21,2y b a y b a ì=+=ïïíï=-+=-ïî∴1,21.a b ì=ïíï=î（2）由（1）知()2sin 3g x x p æö=--ç÷èø，∵sin [1,1]3x p æö-Î-ç÷èø，（1）求w ，j 及图中0x （2）设()()cos g x f x =-w p \=；又()00sin 16f x x p p æö=+=-ç÷èø，且0706x -<<，∴062x ppp +=-，得023x =-，综上所述:w p =，6π=j ，023x =-；（2）()()cos sin cos 6g x f x x x x p p p p æö=-=+-ç÷èøsin cos cos sin cos 66x x x p pp p p =+-31sin cos sin 226x x x p p p p æö=-=-ç÷èø，∵12,2x éùÎ--êúëû，∴132663x p p pp -£-£-，所以当362x ppp -=-时，()max 1g x =;当263x pp p -=-，()min 32g x =-.22．（2020·上海华师大二附中高一期中）已知(),0,a b p Î，并且()7sin 52cos 2p a p b æö-=+ç÷èø，()()3cos 2cos a p b -=-+，求,a b 的值.【解析】()7sin 52cos sin 2sin 2p a p b a bæö-=+\=ç÷èøQ ()()3cos 2cos 3cos 2cos a p b a b-=-+\=Q 平方相加得22212sin 3cos 2cos ,cos 22a a a a +=\==±因为()0,a p Î，所以3,44p pa =当4pa =时，3cos (0,)26p b b p b =Î\=Q 当34p a =时，35cos (0,)26pb b p b =-Î\=Q 因此4pa =，6πβ=或34pa =，56p b =。
章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得()A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为() A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于()A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3，当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0.所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1， π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226 B.3－226 C.1＋266 D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于()A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .] 12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________． －1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3， 所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． [解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sinB cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°， 又cos(C －A )＝－2cos 2A ， 得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3， 又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.函数f(x)=sin2x，x∈R的最小正周期为( )A．π2B．πC．2πD．4π2.已知cotα=2，tan(α−β)=−25，则tan(β−2α)的值是( )A．14B．−112C．18D．−183.如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )A．5B．6C．8D．104.已知函数f(x)=asin2x−√3cos2x的图象关于直线x=−π12对称，若f(x1)⋅f(x2)=−4，则a∣∣x1−x2∣的最小值为( )A．π4B．π2C．πD．2π5.若函数f(x)=asin2x−bcos2x在x=π6处有最小值−2，则常数a，b的值是( ) A．a=−1，b=√3B．a=1，b=−√3C．a=√3，b=−1D．a=−√3，b=16.函数y=2sin(2x+π3)的图象的一条对称轴方程可以是( )A．x=0B．x=π2C．x=π12D．x=π67.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<π2)的最小正周期为π，且f(−x)= f(x)，则( )A．f(x)在(0,π2)单调递减B．f(x)在(π4,3π4)单调递减C．f(x)在(0,π2)单调递增D．f(x)在(π4,3π4)单调递增8.若角α的终边经过点P(1,−2)，则sinα的值为( )A．2√55B．√55C．−√55D．−2√559.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，那么∣φ∣的最小值为( )A．π6B．π4C．π3D．π210.函数y=cos2x−sin2x(0<x<π2)的值域为( ) A．(−1,1)B．[−√2,√2] C．[−√2,1]D．(−1,√2]二、填空题（共6题）11.化简sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ的值为．12.已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)，x∈R，f(x1)=−2，f(x2)=0且∣x1−x2∣的最小值等于π，则ω=．13.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4,y)是角θ终边上一点，且sinθ=−2√55，则y=．14.将下列各角度化为弧度：（1）30∘=；（2）120∘=；（3）−60∘=；（4）−30∘=；（5）−200∘=；（6）180∘=；（7）135∘=；（8）−75∘=；（9）270∘=；（10）0∘=；15.如图，A，B为某市的两个旅游中心，海岸线l可看做一条直线，且与AB所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以AB为直径的半圆上选定一点P，修建PA，PB，PQ三段公路，其中PQ⊥l，AB=20km，两平行直线AB与l之间的距离为20km，公路PA和PB段的造价均为6千万元/km，公路PQ段的造价为5千万元/km，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为千万．,x∈R)的部分图象，则y=f(x)函数16.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2解析式为．三、解答题（共6题）．17.已知α∈(0,π)，cosα=−13−α)的值；(1) 求cos(π4(2) 求sin(2π3+2α)的值．18.设函数f(x)=lg(1−cos2x)+cos(x+θ)，θ∈[0,π2)．(1) 讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 设θ>0，解关于x的不等式f(π4+x)−f(3π4−x)<0．19.已知角α的终边上有一点P，OP=3√10，且tanα=−13(π2<α<π)，求点P的坐标．20.已知锐角α，β，且tanα=2，cosβ=513，求：(1) sin2α；(2) tan(2α−β)．21.已知等腰三角形底角的正弦值为45，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切值．22.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式−360∘≤β<360∘的元素β：(1) 60∘；(2) −75∘；(3) −824∘30ʹ；(4) 475∘；(5) 90∘；(6) 270∘；(7) 180∘；(8) 0∘．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】B【知识点】两角和与差的正切3. 【答案】C【解析】由图可知 −3+k =2，所以 k =5， 所以 y =3sin (π6x +φ)+5，所以 y max =3+5=8． 【知识点】三角函数模型的应用4. 【答案】B【解析】由辅助角公式知 f (x )=√a 2+3sin (2x +φ)，φ∈[0,2π)， f (x ) 图象类似于 sinx ，可判断 x =−π12 时取最值， sin (2⋅(−π12)+φ)=±1， φ−π6=π2或32π， φ=23π或53π， 而 sinφ=√3√a 2+3，于是 φ=53π，cosφ=√a 2+3=cos 53π，解得 a =1，f (x )=2sin (2x +53π)，f (x 1)⋅f (x 2)=−4 只有一个取 2，一个取 −2， 最大值点与最小值点 ∣x 1−x 2∣min =T2=2π2ω=π2， 于是 a∣∣x 1−x 2∣min ≥π2． 综上，选B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】D【知识点】任意角的三角函数定义9. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】−2tan2θ【解析】sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ=sinθ−sin2θ−sinθ−sin2θ1−sin2θ=−2sin2θcos2θ=−2tan2θ.【知识点】同角三角函数的基本关系12. 【答案】12【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】−8【解析】P(4,y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ=√16+y2，又sinθ=−2√55，所以√16+y2=−2√55，解得y=−8．【知识点】任意角的三角函数定义14. 【答案】π6；2π3；−π3；−π6；−10π9；π；3π4；−5π12；3π2；0【知识点】弧度制15. 【答案】 222【解析】根据题意，设 ∠PAD =θ，则 0≤θ≤π2，过点 P 作 PD ⊥AB ，则 P ，D ，Q 三点共线， 设这三段公路总造价为 y ，又由 AB =20 km ，则 AP =20cosθ km ，BP =20sinθ km ， 则 PD =20cosθsinθ km ，又由两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，则 PQ =(20−20cosθsinθ)km ，则 y=6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ),设 sinθ+cosθ=t ，则 t =√2sin (θ+π4)，则有 1≤t ≤√2，则 sinθcosθ=t 2−12，则 y =120t +100(1−t 2−12)=120t +100(3−t 22)=−50t 2+120t +150，1≤t ≤√2，分析可得：t =65 时，y 取得最大值，且 y max =222．【知识点】三角函数模型的应用、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】 y =2sin(2x +π3)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 sin 2α+cos 2α=1，cosα=−13， 所以 sin 2α=89， 又因为 α∈(0,π)， 所以 sinα=2√23．又因为 cos (π4−α)=cos π4cosα+sin π4sinα=√22⋅(−13)+√22⋅2√23=4−√26．(2) 因为 sinα=2√23，cosα=−13，所以 sin2α=2sinα⋅cosα=−4√29，cos2α=cos 2α−sin 2α=−79， sin (2π3+2α)=sin2π3⋅cos2α+cos2π3⋅sin2α=√32⋅−79+−12⋅−4√29=4√2−7√318． 【知识点】二倍角公式、两角和与差的余弦、两角和与差的正弦18. 【答案】(1) 根据对数有意义，得 1−cos2x >0， 所以 cos2x ≠1，x ≠kπ(k ∈Z ) 定义域关于原点对称，当函数是偶函数，那么有 f (−x )=f (x )，lg [1−cos2(−x )]+cos (−x +θ)=log (1−cos2x )+cos (x +θ)cos (−x +θ)=cos (x +θ)， 展开整理得 2sinxsinθ=0 对一切 x ≠kπ(k ∈Z ) 恒成立， 因为 θ∈[0,π2)， 所以 θ=0，当函数是奇函数，那么任意定义域内 x 0 有 f (x 0)+f (−x 0)=0， 例如 x 0=π4，f (π4)+f (−π4)=0，f (−π4)=lg (1−cos (−π2))+cos (−π4+θ)=cos (−π4+θ)，f (π4)=lg (1−cos π2)+cos (π4+θ)=cos (π4+θ)，f (π4)+f (−π4)=0，推得 cosθ=0，显然这样 θ∈(0,π2) 是不存在的， 所以当 θ∈(0,π2) 时既不是奇函数又不是偶函数，说明假命题只能举反例．(2) f (π4+x)−f (3π4−x)<0 代入得 lg [1−cos2(π4+x)]+cos (π4+x +θ)−lg [1−cos2(3π4−x)]−cos (3π4−x +θ)<0，lg (1+sin2x )+cos (π4+x +θ)−lg (1+sin2x )−cos (3π4−x +θ)<0，化简 cos (π4+x −θ)+cos (π4+x +θ)<0，展开整理得 2cos (x +π4)cosθ<0， 因为 θ∈(0,π2)，所以 cosθ>0， 所以 cos (x +π4)<0，所以 { cos (x +π4)<0,π4+x ≠k 1π,3π4−x ≠k 2π, k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以不等式解集为 (2mπ+π4,2mπ+3π4)∪(2mπ+3π4,2mπ+5π4)，m ∈Z ．【知识点】函数的奇偶性、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】设点 P 的坐标为 (x,y )．因为π2<α<π，所以 x <0，y >0．由题意，得 {x 2+y 2=(3√10)2,y x=−13,x <0,y >0.解方程组，得 x =−9，y =3，即点 P 的坐标为 (−9,3)．【知识点】任意角的三角函数定义20. 【答案】(1) 因为 tanα=2， 所以 sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=2×222+1=45.(2) 因为 tanα=2，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43． 因为 cosβ=513，且 β 为锐角，所以 sinβ=√1−cos 2β=√1−(513)2=1213，所以 tanβ=sinβcosβ=1213513=125，所以tan (2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=−43−1251+(−43)×125=5633.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式21. 【答案】设底角为 B ，顶角为 A ，则 A =π−2B ，而 sinB =45，则 sinA =sin (π−2B )=sin2B =2425，cosA =725，tanA =247．【知识点】二倍角公式22. 【答案】(1) {β∣ β=60∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−300∘，60∘．(2) {β∣ β=−75∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−75∘，285∘．(3) {β∣β=−824∘30ʹ+k ⋅360∘,k ∈Z )，−104∘30ʹ，255∘30ʹ．(4) {β∣ β=475∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−245∘，115∘．(5) {β∣ β=90∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−270∘，90∘．(6) {β∣ β=270∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−90∘，270∘．(7) {β∣ β=180∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−180∘，180∘．(8) {β∣ β=k ⋅360∘,k ∈Z }，−360∘，0∘．【知识点】任意角的概念。
5.4 三角函数的图形与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象基础过关练习题组一 正弦函数、余弦函数的图象1、用“五点法”作1cos 2-=x y 在[]π2,0上的图象时，应取的五点为（ ）A 、()()()120231-021,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛B 、()()()121-233-1-21,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ C 、()()()()()143-3123-1,0，，，，，，，，ππππ D 、()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2-321-2031-361,0，，，，，，，，ππππ 2、函数y=−sinx ，x ∈[23,2-ππ]的简图（ ） A 、 B. C. D.3、已知函数()x cos 23+-=x f 的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛b ，3π，则b= 。
4、用“五点法”作函数x y cos 311-=图象的简图。
题组二 正弦、余弦曲线的运用5、使不等式0sin 22≥-x 成立的x 的取值集合是（ ）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,43242|ππππ B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,47242|ππππ C 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,25-2|ππππ D 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,7252|ππππ6、已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21cos |αα，B={}παα<<0|，且C B A = ,则C=（ ） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<60|παα B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<23|παπα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<30|παα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<παπα3|7、函数()x x f 4log =的图象与函数()x x g πsin =的图象的交点个数是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 8、（多选）下列x 的取值范围能使x x sin cos >成立的是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛40π，B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛454ππ，C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ245，D 、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4524ππππ，， 9、函数x y cos =，[]π2,0∈x 的图象与直线21-=y 的交点有 个。
5.6 函数y＝A sin(ωx＋φ)【素养目标】1．深刻理解五点的取法，特别是作正弦型函数的图象时取的五点．(数学运算)2．从φ、ω、A的变化总结图象．(直观想象)3．能由y＝sin x平移和伸缩变换为y＝A sin(ωx＋φ)及逆向平移和伸缩变换．(逻辑推理) 【学法解读】在本节学习中，借助实例构建三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的形式，利用PPT观察φ，A，ω对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，学会由y＝sin x如何变化为y＝A sin(ωx＋φ)，提升数学素养中的直观想象．必备知识·探新知基础知识知识点1参数A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响．(2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．(3)A(A>0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响．思考1：(1)如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？(2)函数y＝sinωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？提示：(1)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度．(2)可以，只要横向“伸”或“缩”1ω倍y＝sin x的图象即可．知识点2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A ，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A ． (2)简谐运动的周期T ＝2πω.(3)简谐运动的频率f ＝1T ＝ω2π.(4)ωx ＋φ称为相位．(5)x ＝0时的相位φ称为初相．思考2：若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的A <0或ω<0时怎么办？提示：当A <0或φ<0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相φ.知识点3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A ，A ] 周期性 T ＝2πω对称中心 (k π－φω，0)(k ∈Z ) 对称轴x ＝k πω＋π－2φ2ω(k ∈Z )__奇偶性__当__φ＝k π(k ∈Z )__时是奇函数当__φ＝k π＋π2(k ∈Z )__时是偶函数__单调性__由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得单调递增区间由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调性时，应用了什么数学思想？提示：(1)判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，若定义域关于原点不对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再根据奇偶函数的定义判断．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调性时，要把ωx ＋φ看作一个整体，应用了“整体代入”的数学思想．基础自测1．下列说法中正确的个数是( A )①y ＝sin3x 的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y ＝sin(3x ＋π4)．②y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝sin2x . ③y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝12sin x .A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①y ＝sin3x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin[3(x ＋π4)]＝sin(3x ＋34π)，故①不正确；②y ＝sin2x 应改为y ＝sin 12x ，故②不正确；③y ＝12sin x 应改为y ＝2sin x ，故③不正确．故选A ．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A >0，ω>0)的最大值为5，则A ＝( C ) A ．5 B ．－5 C ．4D ．－43．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴方程是__x ＝3π4＋k π(k ∈Z )__.5．函数y ＝3sin(12x －π6)的频率为__14π__，相位为__12x －π6__，初相为__－π6__.关键能力·攻重难题型探究题型一 “五点法”作图例1 用“五点法”画函数y ＝2sin(3x ＋π6)的简图．[分析] 列表时，取值要简单(与y ＝sin x 中五点比较)．[解析] 先画函数在一个周期内的图象．令X ＝3x ＋π6，则x ＝13(X －π6)．列表X 0 π2 π 3π2 2π x －π18π9 5π18 4π9 11π18 y2－2描点作图，再将图象左右延伸即可．[归纳提升] 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表.ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x －φω π2ω－φω πω－φω 3π2ω－φω 2πω－φω yA－A第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸即可．【对点练习】❶ 已知f (x )＝2sin(x 2＋π3)．(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的最大值和此时相应的x 的值． [解析] (1)列表：x 2＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 f (x )2－2作图：(2)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2，得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为[4k π－5π3，4k π＋π3]，k ∈Z .(3)当x 2＋π3＝π2＋2k π，即x ＝π3＋4k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝2.题型二 三角函数的图象变换例2 如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin(2x －π3)＋1的图象？[分析] 本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可．[解析] 解法一：y ＝sin x ――――――――→向右平移π3个单位长度y ＝sin(x －π3)――――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin(2x －π3)―――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍横坐标不变 y ＝3sin(2x －π3)――――――――→向上平移1个单位长度y ＝3sin(2x －π3)＋1.解法二：y ＝sin x ―――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin2x ―――――――――→向右平移π6个单位长度y ＝sin2(x －π6)―――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍横坐标不变y ＝3sin2(x －π6) ＝3sin(2x －π3)――――――――→向上平移1个单位长度y ＝3sin(2x －π3)＋1.[归纳提升] 1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．【对点练习】❷ 将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( D )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)[解析] 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为π，所以将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3)．故选D ．题型三 由图象确定函数的解析式例3 (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( D )A ．f (x )＝2sin(12x ＋π6)B ．f (x )＝2sin(12x －π6)C ．f (x )＝2sin(2x －π6)D ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)(2)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A (π2，1)，B (π，－1)，则ω＝__2__，φ＝ __－5π6__.[分析] (1)由图象可以确定最大值为2，周期为π，再利用一个点的坐标求φ. (2)曲线上由A 到B 是周期的12，从而求出ω，再求φ.[解析] (1)由图象可知，A ＝2，T ＝4(5π12－π6)＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，因为图象过点(π6，2)，所以2sin(π3＋φ)＝2，所以sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A (π2，1)，B (π，－1)，可得从点A到点B 正好经过了半个周期，即12·2πω＝π－π2，所以ω＝2.再把点A ，B 的坐标代入可得2sin(2×π2＋φ)＝－2sin φ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sin φ＝－1，所以sin φ＝－12，所以φ＝2k π－π6，或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .再结合五点法作图，可得φ＝－5π6.[归纳提升] 由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)A ：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T ＝2πω，故往往通过求周期T 来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点来确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A ，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ.【对点练习】❸ 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( A )A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(2x ＋π6)D ．y ＝2sin(2x ＋π3)[解析] 由图知，A ＝2，周期T ＝2[π3－(－π6)]＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．因为图象过点(π3，2)，所以2＝2sin(2×π3＋φ)，所以sin(2π3＋φ)＝1，所以2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．令k ＝0得φ＝－π6，所以y ＝2sin(2x －π6)．题型四 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性例4 在函数y ＝2sin(4x ＋2π3)的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是__(π12，0)__.[分析] 利用整体代换法求解．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，所以函数y ＝2sin(4x ＋2π3)图象的对称中心坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．取k ＝1得(π12，0)满足条件．[归纳提升] 正弦型函数对称轴与对称中心的求法对称轴对称中心 y ＝A sin(ωx ＋φ)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求对称轴令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ) 求对称中心的横坐标称轴方程为__x ＝－π24__.[解析] 由4x ＋2π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π24，取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．误区警示例5 函数y ＝2sin(－2x ＋π3)的相位和初相分别是( C )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π3[错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误错误原因相位和初相分别是－2x ＋π3，π3错解均忽视了相位和初相的概念：概念中要求A >0，ω>0.当不满足条件时应设法创造出条件.y ＝2sin(－2x ＋π3)＝－2sin(2x －π3)∴相位和初相分别是2x －π3，－π3[错因分析] 此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“A >0，ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A >0，ω>0”再求．[正解] ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin[π－(－2x ＋π3)]＝2sin(2x ＋2π3)∴相位和初相分别是2x ＋2π3，2π3.[方法点拨] 要正确理解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A 、ω、φ的意义．学科素养函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用例6 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．[分析] 本题关键是对图象的对称轴为x ＝π8这一条件的利用，由图象一对称轴为x ＝π8得：当x ＝π8时2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )进而可求φ值．[解析] (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 得x ＝k π2＋π4－φ2，令k π2＋π4－φ2＝π8，解得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin(2x －3π4)，由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是 [k π＋5π8，k π＋9π8](k ∈Z )．当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时函数有最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时函数有最小值－1.(3)由y ＝sin(2x －3π4)知，故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象是课堂检测·固双基1．将函数y ＝sin(x ＋π4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( D )A ．y ＝cos2xB ．y ＝sin(2x ＋π4)C ．y ＝sin(12x ＋π8)D ．y ＝sin(12x ＋π4)2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的振幅为12，周期为2π3，初相为π6，则该函数的表达式为( C )A ．y ＝12sin(x 3＋π6)B ．y ＝12sin(x 3－π6)C ．y ＝12sin(3x ＋π6)D ．y ＝12sin(3x －π6)3．函数y ＝cos(2x －π6)＋1的一个对称中心为( D )A ．(π6，0)B ．(π3，0)C ．(π6，1)D ．(π3，1)4．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将y ＝cos(2x ＋π4)的图象( B )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[解析] 平移问题遵循“左加右减，只针对x 而言”的原则．则y ＝cos2x 只需向左平移π8个单位即可．而y ＝cos(2x ＋π4)需右移π8个单位，得到y ＝cos2x .5．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是__[197π2，201π2)__. [解析] T ＝2πω为其最小正周期，则(49＋14)T ≤1<(50＋14)T 时，有50个最大值点，所以ω∈[197π2，201π2)．。
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第五章 三角函数 综合测评B 卷一、单选题1．使函数()sin(2))f x x x q q =++为奇函数，且在区间0,4éùêëûp 上是减函数的q 的一个值是（）A ．3p-B ．6p-C ．23p D ．56p 2．若函数sin()0,||2y A x A p w j j æö=+><ç÷èø图象 的一个最高点为(2,2)，由这个点到相邻最低点的一段图象与x 轴相交于点(6,0)，则这个函数的解析式是（）A ．2sin 44y x pp æö=+ç÷èøB ．32sin 84y x pp æö=-ç÷èøC ．2sin 84y x pp æö=+ç÷èøD ．32sin 84y x pp æö=+ç÷èø3．为了得到sin()3y x p=-的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（）A ．向右平行移动3p个单位长度B ．向左平行移动3p个单位长度C ．向右平行移动6p个单位长度D ．向左平行移动6p个单位长度4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S，当扇形的圆心角的弧度数为(3p 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时12S S 的值为（ ）ABCD．35）ABCD6．已知点(P 是角a 终边上一点，则cos 6p a æö-ç÷èø等于（）ABC．D7．已知221304a c +-=，则2c a +的最大值是( )A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()sin ,04f x x x R p w w æö=+Î>ç÷èø的最小正周期为p ，将()y f x =的图象向左平移()0j j >个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则j 的一个值是（ ）A ．2pB ．38p C ．4pD ．8p二、多选题9．设函数()sin 26f x x p æö=+ç÷èø的图象为C ，则下列结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期是pB ．图象C 关于直线6x p=对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3p个单位长度得到D ．函数()f x 在区间(12p-，2p上是增函数10．已知函数()sin()0,||2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移(0)a a >个单位长度，得到函数()g x ，若()g x 满足(2)()g x g x p -=，则下列结论正确的是（）A ．2w =B ．6π=j C ．sin 213a p æö-=±ç÷èøD ．a 的最小值为512p 11．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）A ．转动10min 后点P 距离地面10mB ．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的12C ．第17min 和第43min 点P 距离地面的高度相同D ．摩天轮转动一圈，点P 距离地面的高度不低于70m 的时间为5min12．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t w =，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()|cos |sin |f x x x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为2pC ．()f x 在区间0,2p éùêúëû上单调递增D ．()f x 的最小值为1三、填空题13．若02pa <<，02pb -<<，1cos()43p a +=，sin()24b p +cos(2)a b +=__．14．下列关于函数51()2sin 62f x x p æö=-ç÷èø的说法中，错误的是______________.①函数()f x 的图象关于直线43x p=-对称；②函数()f x 的图象关于点,06pæöç÷èø对称；③函数()f x 在区间28,33p p éùêúëû上单调递增；④函数()()g x f x q =+是一个偶函数，则223k pq p =+，k Z Î.15．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为q ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos q q -的值是______．16．已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R w w w w =+->Î，若()f x 在区间(),2p p 内没有零点，则w 的取值范围是_____．四、解答题17．我们知道如果点(),P x y 是角a 终边OP 上任意一点（0OP r =>），则根据三角比的定义：sin y ra =，cos xra =，因此点P 的坐标也可以表示为()cos ,sin P r r a a ．（1）将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转3p至'OP ，求点P'的坐标()','x y ．（即分别把'x 、'y 用x 、y 表示出来）（2）将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转j 角度至'OP ，求点P'的坐标()','x y ．（即分别把'x 、'y 用x 、y 、j 表示出来）（3）把函数()10y x x =>的图像绕坐标原点逆时针旋转4p 后，可以得到函数___________的图像．（写出解析式和定义域）18．已知函数()2sin sin cos a x b x y f x x =+=，且满足3262f f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø.（1）求实数a 、b 的值；（2）记()y f x t =+，若函数()f x t +是偶函数，求实数t 的值.19．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮作匀速转动，每2 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．（1）试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m.20．如图，已知O PQ 是半径为1，圆心角为3p的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记COP a Ð=，矩形ABCD 的面积为S .（1）求S 与a 之间的函数关系式；（2）当a 取何值时，S 最大？并求出S 的最大值.21．已知函数221()sin cos 22f x x x x =++．（1）求()f x 的周期；（2）求()f x 的严格减区间；（3）解方程()1f x =；（4）当0,4x p éùÎêúëû时，求函数()f x 的值域．22．已知函数2()2tan 1,[,22f x x x x p p q q æö=+×-Î-Î-ç÷èø．（1）当6pq =-时，求函数()f x 的最大值与最小值；（2）求q 的取值范围，使()y f x =在区间[-上是单调函数．参考答案1．C【解析】由()sin(2))2sin(23f x x x x pq q q =++=++为奇函数，所以,,33k k k Z ppq p q p +==-Î，故A ，C 符合范围，当3pq =-时，()2sin 2f x x =，不符题意，当23p q =时，()2sin 2f x x =-，在0,4éùêúëûp 上为减函数，符合题意，故选：C 2．C【解析】根据题意可得2A =，由函数的解析式函数sin()y A x w j =+，易知最高点和相邻最低点的中点在x 轴上，也为函数sin()y A x w j =+的零点，故该最低点坐标为(10,2)-，所以10282T=-=，所以16T =，所以22168T p p p w ===，所以2sin()8y x pj =+，再由最高点为(2,2)，所以sin()14pj +=，由||2j p <，所以4p j =，所以这个函数的解析式是2sin 84y x pp æö=+ç÷èø，故选：C 3．A【解析】解：由已知中平移前函数解析式为sin y x =，平移后函数解析式为：sin()3y x p=-，可得平移量为向右平行移动3p个单位长度，故选：A ．4．A【解析】由扇形的圆心角的弧度数为(3p ，()231p p p -=，故12S S ==故选：A.5．A【解析】设底角为θ，则θ∈(0,)2p，顶角为180°－2θ.∵sin θ∴cos θ23，∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝23=故选：A 6．A【解析】解析：由题意可得sin α，cos αcos 6p a æö-ç÷èø=cos 6p cos α+sin 6p sin α12=.故选：A 7．B【解析】解：221304a c +-=，可得22111312a c +=，令aa ，c a =．a ÎR ，可得2)4c a pa a a +=+=+…则2c a +的最大值是：故选：B ．8．D【解析】()f x Q 最小正周期为p ，2pp w \=，解得：2w =，()sin 24f x x p æö\=+ç÷èø；()y f x =图象向左平移j 个单位长度得：()sin 224f x x p j j æö+=++ç÷èø，()f x j +Q 图象关于y 轴对称，()242k k Z ppj p \+=+Î，解得：()82k k Z ppj =+Î，则当0k =时，8p j =.故选：D.9．CD【解析】解：A .由()sin 26f x x p æö=+ç÷èø知，()f x 的最小正周期为22p p =，故A 正确；B .当6x p=时，()1f x =取得最大值，故图象C 关于直线6x p=，故B 正确；C .将()g x 向左平移3p个单位得2sin 2sin 2()33y x x f x éùæöæö=+=+¹ç÷ç÷êúèøèøëûp p ，故C 不正确；D .函数()f x 的单调递增区间是,()36k k k Z p p p p éù-++Îêúëû，单调递减区间是2,()63k k k Z p p p p éù++Îêúëû，取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是,36p p éù-êúëû，一个单调递减区间是2,63p p éùêúëû，故在区间,122p p æö-ç÷èø上()f x 不是单调递增的，而是先递增后递减，故D 不正确.故选：CD .10．ACD【解析】由图象可得，函数()f x 的图象过点,112p æöç÷èø，,03p æöç÷èø，所以4312T p p=-，可得T p =，因为2||T p w =，0>w ，可得2w =，由图象过点,03p æöç÷èø，且在单调递减区间内，可得sin 203p j æö´+=ç÷èø，解得22()3k k Z pj p p ´+=+Î，即2()3k k Z pj p =+Î，因为||2j p <，所以3pj =，可得()sin 23f x x p æö=+ç÷èø，所以()sin 2()sin 2233g x x a x a p p éùæö=-+=-+ç÷êúëûèø，故A 正确，B 错误；由(2)()g x g x p -=，可得()g x 的图象关于直线x p =对称，所以()sin 22sin 2133g a a p p p p æöæö=-+=--=±ç÷ç÷èøèø，C 正确；由2()32a k k Z ppp -=+Î，解得5()122k a k Z p p=+Î，又由0a >，所以min 512a p=，故D 正确．故选ACD ．11．AC【解析】解：Q 摩天轮20min 转一圈，\在(min)t 内转过的角度为22010t t p p=，建立平面直角坐标系，如图，设(02)j j p ……是以x 轴正半轴为始边，00(OP P 表示点P 的起始位置)为终边的角，以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为()10t pj +，即点P 的纵坐标为40sin()10t pj +，又由题知，P 点起始位置在最高点处，\2j p =P \点距地面高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为：5040sin()102h t pp=++即5040cos10h tp=+当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =，则其周期变为原来的2倍，故B 错误；第17min P 点距安地面的高度为173(17)40cos5040cos 501010h p p=+=+第20min P 点距离地面的高度为433(43)40cos5040cos 501010h p p=+=+第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即40cos 507010t p+…，即1cos 102tp ，020t Q ……，得0210tp p ……，\0103tp p……或52310t p p p ……，解得1003t ……或50203t ……，共20min 3，故D 错误．故选：AC ．12．AD【解析】因为R x Î,()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，A 正确；()f x 显然是周期函数，因为()|cos()||sin()||cos ||sin |()f x x x x x f x p p p +=++==，所以B 错误；因为当0,2x p éùÎêúëû时，()|cos ||sin |cos 2sin 6f x x x x x x p æö===+ç÷èø，所以()f x 在区间0,3p éùêúëû上单调递增，在,32p p æùçúèû上单调递减，C 错误；因为2sin ,0,,62()2sin ,,,62x x f x x x p p p p p ìæöéù+Îç÷ïêúïèøëû=íæöæùï-Îç÷çúïèøèûî当0,2x p éùÎêúëû时，设6t x p =+，则2,63t p p éùÎêúëû，∴1sin ,12t éùÎêúëû，∴min ()1f x =，同理：当,2x p æùÎp çúèû时，min ()1f x =，由B 中解答知，p 是()f x 的周期，所以()f x 的最小值为1，D 正确.故选：AD.13．2327【解析】解：1cos()sin )43pa a a +-=Q，可得：cos sin a a -=①\两边平方可得，21sin 29a -=，解得：7sin 29a =，02p a <<Q，可得：4cos sin 3a a +==，②\由①②解得：cos 2(cos sin )(cos sin )a a a a a =-+=又sin(24b p +Qcos 22b b +，两边平方，可得：1sin 3b =-，cos b =，7123cos(2)cos 2cos sin 2sin (9327a b a b a b \+=--´-=．故答案为：2327．14．②③【解析】对于①，451432sin 2sin 236232f p p p p éùæöæö-=-´-==-ç÷ç÷êúèøèøëû，故①正确；对于②，5132sin 2sin 066264f p p p p æöæö=-´==¹ç÷ç÷èøèø，故②错误；对于③，5115()2sin 2sin 6226f x x x p p æöæö=-=--ç÷ç÷èøèø，当28,33x p p éùÎêúëû时，15,2622x p p p éù-Î-êúëû，函数()f x 单调递减，故③错误；对于④，()()5151()2sin 2sin 62622g x f x x x p p q q q éùæö=+=-´+=--ç÷êúëûèø，函数()g x 是偶函数，所以5622k p q p p -=-+，k Z Î，即223k p q p =+，k Z Î，故④正确.故答案为：②③.15．725-【解析】Q 大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos q ，短直角边为sin q ，所以小正方形的边长为cos sin q q -，Q 小正方形的面积是125，()21cos sin 25q q \-=，1cos sin 5q q \-=，()21cos sin 12sin cos 25q q q q -=-=Q ，则12sin cos 25q q =，()249cos sin 12sin cos 25q q q q \+=+=，则7cos sin 5q q +=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525q q q q q q \-=-+=-´=-.故答案为：725-.16．115(0,][,16816U 【解析】()2111cos 211(sin )sin 2sin 222222x f x x x x w w w w -=+-=+-4x p w =-．由()0f x =，可得24k x pw p -=，解得82k x p p w w=+，k Z Î．因为()f x 在区间(),2p p 内没有零点，所以()2,28k x p p w w p p =+Ï，且2T ³p ，即()2,28k x p p w w p p =+Ï且102w <≤，因为0>w ，分别取0k =，1,2,3¼，11599115(,)(,)(,)(,)(,)168168168168165w \ÏÈÈȼ=È+¥，115(0,][,]16816w \ÎU ∴w 的取值范围是115(0,][,16816U ，故答案为：115(0,[,]16816U ．17．（1）1'2x x y =；1'2y x y =+；（2）co in 's s x x y j j =-；'cossin y y x j j =+；（3）)y x R =Î．【解析】'OP OP r ==，（1）'cos 3x r pa æö=+ç÷èø11cos sin '22r x xy a a =Þ=；同理，1'sin 32y r y p a æö=+=+ç÷èø；（2）'cos()cos cos sin sin x r r r a j a j a j =+=-，故co in 's s x x y j j =-；同理，'sin()cos sin y r y x a j j j =+=+；（3）在（2）中令4p j =得'cos sin44x x y pp =-，可得1')x x y x xö=-=-÷ø，同理，1'y x x ö=+÷ø，因此，22''1y x -=，所以，函数为)y x R =Î．18．（1）2a =，b =（2）3πt ，k ÎZ .【解析】（1）由题意264322a f f a p p ìæö==ïç÷ïèøíæöï==ç÷ïèøî，所以2,a b ==.（2）由（1）()22sin cos 1cos 222sin(2)16πx x x x x f x x =+=-=-+所以()2sin(2216f x t x t p +=+-+，因为()f x t +是偶函数，所以2()62t k k Z ppp -=+Î，所以()32k t k Z pp =+Î19．（1）5040cos t p +；（2）有2min 3P 点距离地面超过70 m.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，（1）设()02j j p ££是以Ox 为始边，0OP 为终边的角，OP 在t min 内转过的角为22t p ，即t p ，∴以Ox 为始边，OP 为终边的角为t p j +，即P 点纵坐标为()40sin t p j +，∴P 点距地面的高度为()()5040sin 02z t p j j p =++££，由题可知，2j p =，∴5040cos z t p =+.（2）当5040cos 70t p +³时，解之得，1122,33k t k k Z -££+Î，持续时间为2min 3即在摩天轮转动一圈内，有2min 3点距离地面超过70 m.20．（1）2063S p p a a æöæö=+<<ç÷ç÷èøèø；（2）6p a =时，S 最大【解析】（1）在Rt OBC △中，cos OB a =，sin BC a =，在Rt OAD △中，tan 60DA OA =°=∴OA BC a ===，∴cos AB OB OA a a =-=，∴2cos sin sin cos AB BC S a a a a a a æö×==ç÷ç÷èø=1sin 2cos 2)2a a =-1sin 222a a =12cos 22a a ö=+÷÷ø2063p p a a æöæö=+<<ç÷ç÷èøèø.（2）由03pa <<得52666ppp a <+<，所以当262p p a +=，即6p a =时，S ==最大21．（1）T p =；（2）2,,63k k k p p p p éù++ÎêúëûZ ；（3）,,3x k k k p p p =+ÎZ ；（4）51,4éùêúëû.【解析】221()sin cos 22f x x x x =+11cos 21cos 22222x x x -+=+3cos 2244x x =+13sin(2)264x p =++，（1）周期为：22p p =；（2）令3222,262k x k k Z ppp p p +<+<+Î，解得2,63k x k k p p p p +<<+ÎZ ，所以()f x 的严格减区间为2,,63k k k p p p p éù++ÎêúëûZ ；（3）由()1f x =，得1sin(262x p +=，所以2266x k ppp +=+，或52266x k pp p +=+，解得x k p =或,3k k pp +ÎZ ；（4）当0,4x p éùÎêúëû，则22,663x p p p éù+Îêúëû，此时1sin(2),162x p éù+Îêúëû，所以函数()f x 的值域为51,4éùêúëû22．（1）max min 4()()3f x f x ==-；（2）,,2342p p p p q æùéöÎ--ç÷êèûëøU ．【解析】（1）当6p q =-时，2224()2tan()11(63f x x x x x x p =+×--=-=-，[x Î-Q ，当x =时，()f x 取最小值为43- ，当1x =- 时，()f x ；（2）222()2tan 1=(+tan )1tan f x x x x q q q =+×---的图像的对称轴为tan x q =- ，要使()y f x =在区间[-上单调，那么tan 1q -£-，或tan q -³tan 1q ³或tan θ£，又,22p p q æöÎ-ç÷èø，所以,,2342p p p p q æùéöÎ--ç÷úêèûëøU .。
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
第五章 专题46 《三角函数》综合测试卷(B ）第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·湖北·3） A ．2sin15cos15︒︒ B ．22sin 15cos 15︒+︒ C ．22sin 151︒- D ．22cos 15sin 15︒-︒【答案】D【分析】运用倍角公式逐项计算即可. 【详解】1A.2sin15cos15sin302︒︒=︒=，不成立； B. 22sin 15cos 151︒+︒=，不成立 C. 232sin 151cos302︒-=-︒=-，不成立； D. 223cos 15sin 15cos302︒-︒=︒=，成立 故选：D.2.（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．23-C ．23D ．79【答案】D【分析】利用倍角公式2cos 212s πin 36παα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得. 【详解】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D.3．（2021·上海市光明中学高一期中）已知180360α<<，cos 2的值等于（ ） A 1cos 2α+B 1cos 2α-C ．1cos 2α+D ．1cos 2α--【答案】C 【分析】求出2α的取值范围，结合二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】因为180360α<<，则901802α<<，所以，cos 02α<，又因为2cos 2cos12αα=-，解得1cos cos22αα+=-. 故选：C.A 21m-B 21m-C 21m -D 21m -【答案】D【分析】根据二倍角的余弦公式结合平方关系及商数关系化弦为切，计算即可得解.【详解】解：222222cos 50sin 501tan 50cos100cos 50sin 501tan 50m ︒-︒-︒︒===︒+︒+︒，即()221tan 501tan 50m -︒=+︒，解得21tan501m m-︒=+（211m m --+舍去）.故选：D.5．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知cos(),cos()33αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（ ）A ．0B ．12-C ．12D ．0或±12【答案】C【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得. 【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-= ()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=两式相加可得2cos cos 1αβ=，即1cos cos 2αβ=.故选：C.6．（2022·上海市向明中学高一期末）要得到函数2)4y x π+的图象，只需将函数2y x =的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 【答案】A【分析】先将函数2sin(2)4y x π=+化为2sin(2)2cos 244y x x ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，再根据三角函数图象的平移变换即可得到答案.【详解】根据题意得2sin(2)2cos 244y x x ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以要得到函数2sin(2)4y x π=+的图象，只需将函数2cos y x =的图象上所有的 点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到2cos 2y x =，再向右平行移动8π个单位长度即可得到函数2cos 22cos 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.故选：A.7．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）函数()()2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ） A ．[π，2π） B ．9,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．139,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．917,88ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】首先代入求4x πω+的取值范围，再根据三角函数的图象，列式求ω的取值范围.【详解】当[]0,2x ∈时，,2444x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若函数在此区间恰取得两个最大值，则592242πππω≤+<，解得：91788ππω≤<. 故选：D8．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）定义:正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=.已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x +≥对任意的实数,2x x k k Z ππ∈⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1 B ．4 C ．8 D ．9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题 【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos xx x xm m x +=+≥，即422sin 15sin cos xx xm ≥-. 因为()2x k k Z ππ≠+∈，所以2cos (0,1]x ∈，则422sin 15sin cos x x x -()222222(1-cos )1=151cos =17+16cos cos cos x x x x x ---⎛⎫ ⎪⎝⎭ 22117216cos 9cos x x≤-=， 当且仅当21cos 4x =时等号成立,故9m ≥，故选：D.选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．cos y x =B ．cos y x =C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan cos y x x =-【答案】AB【分析】逐一研究函数的奇偶性与单调性即可.【详解】对于A ，∵cos cos x x -=，且函数cos y x =的定义域为R ，∴函数cos y x =为偶函数，又0x >时，cos cos x x =，且函数cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴函数cos y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故A 符合题意；对于B ，∵()cos cos x x -=，且函数cos y x =定义域为R ，∴函数cos y x =为偶函数，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos cos y x x ==，且函数cos y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，∴函数cos y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故B 符合题意；对于C ，∵sin cos 2y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴函数sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 不符合题意；对于D ，记()tan cos y f x x x ==-，则()()()tan cos tan cos f x x x x x -=---=--，∴()()f x f x -≠， ∴函数tan cos y x x =-不是偶函数，故D 不符合题意. 故选：AB.αx 过点(1,2)-，则下列式子正确的是（ ） A ．sin cos 1sin 7cos 9αααα+=--B ．5cos(5)πα-=C ．2232sin sin cos 3cos 5αααα+-=D ．若α为钝角，则223ππα<<【答案】CD【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.【详解】解：因为角α终边经过点(1,2)-， 则222222515sin ,cos ,55(1)2(1)2αα-====--+-+对于A ：255sin cos 155sin 7cos 9257555αααα-+==-+，故A 错误； 对于B ：5cos(5)cos 5παα-=-=，故B 错误； 对于C ：224255132sin sin cos 3cos 2()355555αααα+-=⨯+⨯--⨯=，故C 正确；对于D ：因为当[,]2παπ∈，cos y α=单调递减，而15cos 025α-<=-<，即2coscos cos 32ππα<<，所以223ππα<<，故D 正确. 故选：CD.11．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）已知函数())222sin cos 3sin cos f x x x x x =-，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有( ) A ．对任意的x ∈R ，都有()23f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，可以得到偶函数 C ．函数()y f x =在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数D ．“函数()y f x =取得最大值”的一个充分条件是“12x π=”【答案】BCD【分析】首先利用二倍角公式，辅助角公式化简函数，再根据函数的性质，采用代入法，判断选项.【详解】()()222sin cos 3sin cos f x x x x x =--sin 23cos 22sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3x π=时，013f π⎛⎫=≠± ⎪⎝⎭，所以不关于3x π=对称，故A 错误； 函数()f x 图象向左平移12π个单位，得函数2sin 22sin 22cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，故B 正确；当71212x ππ<<，则32232x πππ<+<，函数()f x 单调递减，故C 正确； 当12x π=时，12232πππ⨯+=，所以212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数取得最大值，故D 正确. 故选：BCD12．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）将函数()sin f x x =的图象向左平移3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到()g x 的图象，则（ ）A ．函数π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数B ．π6x =-是函数()g x 的一个零点C ．函数()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 的图象关于直线π12x =对称 【答案】BCD【分析】根据三角函数图象变换可得π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()g x 图象性质逐项判断即可.【详解】解：将函数()sin f x x =的图象向左平移π3个单位长度，可得πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），可得π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项，令()ππππsin 2sin 23333h x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则π06h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2πsin 063h ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭不是偶函数，A 不正确；对于B 选项，因为πsin 006g ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故π6x =-是函数()g x 的一个零点，B 正确；对于C 选项，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D 选项，因为对称轴满足2π,Z 32x k k ππ+=+∈，解得ππ,Z 122k x k =+∈， 则0k =时，π12x =，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，D 正确． 故选：BCD ．第II 卷 非选择题部分（共分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知函数π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若存在12,x x ∈R ，有()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为______． 【答案】π2【分析】由三角函数的性质可得()()122f x f x -=时12min 2T x x -=. 【详解】∵()f x 的周期2ππ2T ==，由()()122f x f x -=得12minπ22T x x -==. 故答案为：π2.14．（2021·上海市光明中学高一期中）已知0πα<<，sin cos 2αα+=，则cos α=____________.【答案】174- 【分析】将1sin cos 2αα+=两边平方，结合平方关系可求得sin cos αα，从而可得cos α的符号，再利用平方关系即可得解. 【详解】解：因为1sin cos 2αα+=， 所以221sin cos 2sin cos 4αααα++=，则3sin cos 8αα=-， 又0πα<<，所以sin 0,cos 0αα><，则22221sin cos cos cos 12αααα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，解得17cos 4α-=或174+（舍去）. 故答案为：174-. 15．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()()sin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）若()13f θ=，则tan θ的值为______；（2）若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______. 【答案】 22或22- 13-【分析】利用诱导公式化简得出()cos f θθ=.（1）对角θ的终边位置进行分类讨论，结合同角三角函数的基本关系可求得tan θ的值； （2）利用诱导公式可求得5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】解：()()()()()()3π3πsin cos tan πcos sin tan 22cos tan πsin πtan sin f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭===-+-⋅-. （1）()1cos 3f θθ==，当θ为第一象限角时，222sin 1cos 3θθ=-=，tan θsin 22cos θθ==； 当θ为第四象限角时，222sin 1cos 3θθ=--=-，sin tan 22cos θθθ==-.综上所述，tan 22θ=±. （2）π5ππ66θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且ππ1cos 663f θθ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，5π5πππ1cos cos πcos 66663f θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：（1）22±；（2）13-.16．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）若α，0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=，则tan β的最大值为______．【答案】24【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得2tan tan 2tan 1=+αβα，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：由()21sin sin sin cos cos αβααβ+=，得2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 2tan 1αααααβαααα===+++，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan 0,α∈+∞，则2tan 112tan 12tan 1412tan 22tan tan tan αβααααα==≤=++⋅，当且仅当12tan tan αα=，即2tan 2α=时，取等号， 所以tan β的最大值为24. 故答案为：24. 步骤.17．（2022·福建漳州·高一期末）已知,A B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限，记AOB α∠=且3sin 5α=. (1)求点B 的坐标；(2)求()()sin sin 24tan ππααπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-的值.【答案】(1)43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)715-【分析】（1）根据角α的终边与单位交点为()cos ,sin αα，结合同角三角函数关系和3sin 5α=，可得B 点坐标；（2）利用诱导公式化简()()sinsin 24tan ππααπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-，将（1）中结果代入，即可得到答案．（1）解：设点B 坐标为(),B x y ，则3sin 5y α==， 因为点B 在第二象限，所以2234cos 1sin 155x αα⎛⎫==--=--=- ⎪⎝⎭，点B 坐标为43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）解：由诱导公式可得()()sin sin sin cos 24tan 4tan ππααααπαα⎛⎫++- ⎪-+⎝⎭=--由（1）知34sin ,cos 55αα==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-， 所以()()7sin sin sin cos 72534tan 4tan 1544ππααααπαα⎛⎫++--⎪-+⎝⎭===---⨯. 18．（2022·上海市金汇高级中学高一期末）函数()3sin(2)6f x x π=+的部分图象如图所示．(1)写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；(2)求()f x 在区间[,]122ππ上的最大值和最小值．【答案】(1)周期为π，076x π=，03y = (2)最大值是3，最小值是32-【分析】（1）根据周期公式求周期，结合图象求00,x y ； （2）首先求26x π+的范围，再求函数的最值. 【详解】（1）222T πππω===, 令2262x k πππ+=+，Z k ∈，解得：,Z 6x k k ππ=+∈，由图可知，当1k =时，076x π=，此时函数取得最大值03y =； （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数()3sin(2)6f x x π=+的最大值是3，最小值是32-19．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知(0,),(,0)22αβ∈∈-，32cos(),sin 5αββ-== (1)求α；(2)若角γ的终边落在点(1,2)P -，求cos()γα+的值. 【答案】(1)π4α= (2)31010-【分析】（1）推导出(0,π)αβ-∈，4sin()5αβ-=，72cos 10β=，由正弦两角和公式求解sin α，即可求解角α；（2）根据三角函数的定义得cos ,sin γγ，在根据余弦两角和公式求解cos()γα+的值即可. 【详解】（1）解：π(0,)2α∈，π(,0)2β∈-，且3cos()5αβ-=，2sin 10β=-，(0,π)αβ∴-∈，则24sin()1cos ()5αβαβ-=--=，272cos 1sin 10ββ=-=， sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+-472322()5105102． π(0,)2α∈，π4α∴=. （2）解：角γ的终边落在点(1,2)P -，则()()222215225cos ,sin 551212γγ-==-==-+-+则()52252310cos cos cos sin sin 525210γαγαγα+=-=-⨯-⨯=-. (1)求函数()(π)y f x f x =⋅-的单调递增区间；(2)求函数2π()(2)4y f x f x =+-的值域.【答案】(1)ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈(2)13,13⎡⎤-+⎣⎦【分析】（1）利用诱导公式及其余弦的二倍角公式化简，即为cos2y x =-，然后利用余弦函数的性质求其单调递增区间即可；（2）利用正弦的二倍角公式及其辅助角公式化简，即为13sin(2+)y x ϕ=-，利用正弦函数的性质求值域即可. （1）∵()()(sin cos )sin πcos π(sin cos )(sin cos )y x x x x x x x x =---=-+⎡⎤⎣⎦-22sin cos cos2x x x =-=-∴π2π22ππππ2k x k k x k ≤≤+⇒≤≤+()k Z ∈， 即所求单调递增区间为：()ππ,π2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）2ππ(sin cos )sin 2cos 244y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣=⎦-π1sin 22sin(2)2x x =-+-1sin 22cos 2x x =--13sin(2+)x ϕ=-，其中tan 2ϕ= ，即13,13y ⎡⎤∈-+⎣⎦.21．（2021·江苏苏州·高一期末）已知2sin 4sin22αα=-.(1)求()()()cos 1sin 223sin sin 2παπαπαπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值；(2)若()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan 6tan 10ββ+-=，求2αβ+的值.【答案】(1)65(2)34π 【分析】（1）先根据二倍角公式和诱导公式化简，再根据同角的平方关系构造“齐次分式”，即可求解.(2)根据题目条件，求出tan 2β，根据1tan 203β=>，精确2β的范围，再根据正切的和差公式，即可求解. （1）∵2sin 4sin22αα=-，∴1cos sin 422cos 2ααα-⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，∴tan 2α，∴cos (1sin(2))sin (1sin 2)23sin cos sin()sin 2παπαααααπαπα⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 2sin (sin cos )sin (sin cos )sin cos αααααααα-==--22222sin sin cos tan tan 6sin cos tan 15αααααααα--===++.（2）∵2tan 6tan 10ββ+-=，∴22tan 1tan 21tan 3βββ==-， ∴152tan tan 233tan(2)1151tan tan 21(2)33αβαβαβ-+-++====----⨯， 又∵(0,)απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 203β=>，∴20,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，320,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴324παβ+=. 22．（2020·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）已知函数()6sin()62cos f x x x =-+．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]0,3【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【详解】（1）对于函数π3313()6cos sin 6cos sin cos 62222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23331cos 2331π3sin cos 3cos sin 233sin 2cos 23sin 22222226x f x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-+=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k xk k ，则ππππ,Z 63k xk k ，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴013a≤≤，得03a ≤≤ 故实数a 的取值范围是[]．。
第1课时 诱导公式二、三、四必备知识基础练1．[2022·福建福州高一期末]sin 120°＝( ) A ．－12 B ．12C ．－32 D ．322．[2022·山东淄博高一期末]tan (－32π3)的值是( )A ． 3B ．33C ．－ 3D ．－333．若sin (π－α)>0，tan (π＋α)<0，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．[2022·河北保定高一期末]已知cos (π－θ)＝25，则cos (－θ)＝( )A ．－215 B ．－25C ．25D ．2155．化简cos （α＋2π）tan （π＋α）sin （－α）cos （－α）tan （π－α）的结果为( )A ．tan αB ．cos αC ．sin αD ．－sin α6．(多选)已知tan θ＝3sin (θ－π)，则cos θ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．13D ．1 7．cos (－52π3)等于________．8．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos (α－2π)＝________．关键能力综合练1．若sin (π＋α)＝12，α∈(π，3π2)，则tan (3π－α)等于( )A ．－12B ．－32C ．－ 3D ．－332．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．sin A ＋sin C ＝sin B B ．sin (A ＋B )＝cos C C ．cos (B ＋C )＝－cos A D ．tan (A ＋C )＝tan B 3．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 24．[2022·山东滨州高一期末]若tan (π＋α)＝2，则sin 2(π2－α)－4sin(π－α)cos(－α)＝( )A ．－95B ．－75C ．75D ．955．已知sin (56π－α)＝a ，则sin (α＋76π)＝( )A ．aB ．－aC ．±aD ．不确定6．(多选)在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是( )A ．sin (α＋π)＝sin βB ．sin (α－π)＝sin βC ．sin (2π－α)＝－sin βD ．sin (2π＋α)＝sin β7．已知角α的终边经过点P (12，5)，则sin (π＋α)＋cos (－α)的值是________． 8．已知cos (π6＋α)＝33，则cos (5π6－α)＝________．9．已知角θ的终边有一点P (12，－32).(1)求tan θ的值；(2)求sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．10．[2022·广东韶关高一期末]已知sin (2π3－α)＝15，(1)求cos (α－π6);(2)若－π3<α<π6，求cos (α＋π3).核心素养升级练1．若p ：tan (α＋2 021π)<0且sin (α－π)<0，q ：α为第二象限角．则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2022·海南高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数，则f (f (13))＝________．3．证明：2sin （α＋n π）cos （α－n π）sin （α＋n π）＋sin （α－n π）＝(－1)ncos α，n ∈Z .第1课时 诱导公式二、三、四必备知识基础练1．答案：D解析：因为sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝32. 2．答案：A解析：tan (－32π3)＝tan (4π3－12π)＝tan 4π3＝tan (π＋π3)＝tan π3＝ 3.3．答案：B解析：由题设，sin α>0，tan α<0， 所以角α的终边在第二象限． 4．答案：B解析：由cos (π－θ)＝－cos θ，得cos θ＝－25，所以cos (－θ)＝cos θ＝－25.5．答案：C解析：cos （α＋2π）tan （π＋α）sin （－α）cos （－α）tan （π－α）＝cos αtan α（－sin α）cos α（－tan α）＝sin α. 6．答案：ABD解析：∵tan θ＝3sin (θ－π)，∴sin θcos θ＝－3sin θ，若sin θ＝0，则cos θ＝1或－1， 若sin θ≠0，则cos θ＝－13.7．答案：－12解析：cos (－52π3)＝cos 52π3＝cos 51π＋π3＝cos (17π＋π3)＝cos (π＋π3)＝－cos π3＝－12，所以cos (－52π3)＝－12.8．答案：35解析：由sin (π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.而cos (α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－（－45）2＝35.关键能力综合练1．答案：D解析：∵sin (π＋α)＝12，α∈(π，3π2)，∴－sin α＝12⇒sin α＝－12，cos α＝－1－sin 2α＝－32，tan α＝33，∴tan (3π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－33. 2．答案：C解析：对于A ，若A ＝B ＝C ＝π3，则sin A ＋sin C ＝3≠sin B ，A 错误；对于B ，sin (A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，B 错误；对于C ，cos (B ＋C )＝cos (π－A )＝－cos A ，C 正确；对于D ，tan (A ＋C )＝tan (π－B )＝－tan B ，D 错误．3．答案：C解析：由诱导公式有sin (π－2)＝sin 2，cos (π－2)＝－cos 2， 则1＋2sin （π－2）·cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝sin 22＋cos 22－2sin2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|. 由2∈(π2，π)，则sin 2>0，cos 2<0，sin 2－cos 2>0，故原式＝sin 2－cos 2. 4．答案：B解析：因为tan (π＋α)＝tan α＝2， 所以sin 2(π2－α)－4sin(π－α)cos (－α)＝cos 2α－4sin αcos α＝cos 2α－4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1－4tan α1＋tan 2α＝－75. 5．答案：B解析：因为56π－α＋α＋76π＝2π，所以sin(α＋76π)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－（56π－α）＝－sin (56π－α)＝－a .6．答案：CD解析：∵α与β的终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，对于A ，sin (α＋π)＝－sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (α＋π)＝sin β不恒成立，A 错误；对于B ，sin (α－π)＝－sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (α－π)＝sin β不恒成立，B 错误；对于C ，sin (2π－α)＝－sin α，－sin β＝－sin (2k π＋π－α)＝－sin α，则sin (2π－α)＝－sin β恒成立，C 正确；对于D ，sin (2π＋α)＝sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (2π＋α)＝sin β恒成立，D 正确．7．答案：713解析：由题意，角α的终边经过点P (12，5)，可得sin α＝513，cos α＝1213，则sin (π＋α)＋cos (－α)＝－sin α＋cos α＝－513＋1213＝713.8．答案：－33解析：cos (5π6－α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－（π6＋α）＝－cos (π6＋α)＝－33. 9．解析：(1)由题设及正切函数的定义，tan θ＝－3212＝－ 3.(2)sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝3－13＋1＝2－3.10．解析：(1)cos (α－π6)＝cos (π2－2π3＋α)＝sin (2π3－α)＝15.(2)sin (2π3－α)＝sin (π－2π3＋α)＝sin (π3＋α)＝15，若－π3<α<π6，则0<α＋π3<π2，所以cos (α＋π3)＝1－sin 2（α＋π3）＝1－125＝265. 核心素养升级练1．答案：C解析：由题意得tan (α＋2 021π)＝tan α<0，sin (α－π)＝－sin α<0，所以sinα>0，由p 能推出q ，由q 能推出p ，故p 是q 的充要条件．2．答案：12解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数，所以f (f (13))＝f (13π6)＝sin (13π6)＝sin (2π＋π6)＝sin π6＝12.3．证明：当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ， 左边＝2sin （α＋2k π）cos （α－2k π）sin （α＋2k π）＋sin （α－2k π）＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.右边＝(－1)2kcos α＝cos α，∴左边＝右边． 当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ， 左边＝2sin （α＋2k π－π）cos （α－2k π＋π）sin （α＋2k π－π）＋sin （α－2k π＋π）＝2sin （α－π）cos （α＋π）sin （α－π）＋sin （α＋π）＝2（－sin α）（－cos α）（－sin α）＋（－sin α）＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin （α＋n π）cos （α－n π）sin （α＋n π）＋sin （α－n π）＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．。
(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案知识点总结全面整理单选题1、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（ ） A ．(0,0)B ．(0,−√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 2、已知tanα=−2，则2sinα+cosαcosα−sinα=（ ）A ．−4B ．−12C ．−1D ．−13 3、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（ ）A ．12B ．−12C ．−2D ．24、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（ ） A ．1B ．−1C ．√32D ．−√325、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．36、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π37、sin (3π2+α)=（ ）A ．sinαB ．−sinαC ．cosαD ．−cosα8、函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)图像上一点P (s,t )(−2<t <2)向右平移2π个单位，得到的点Q 也在f (x )图像上，线段PQ 与函数f (x )的图像有5个交点，且满足f (π4−x)=f (x )，f (−π2)>f (0)，若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为（ ） A ．(−2,−√2]B ．[−2,−√2]C ．[√2,2)D ．[√2,2]多选题9、已知函数f(x)=3sin(ωx +π3)(ω>0)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，则下列结论正确的是（ ）A ．f(x)的最小正周期为2πB ．f(x)的图象关于(−π6,0)对称 C ．f(x)在(−5π12,π12)上单调递减 D ．f(x)的图象关于直线x =7π12对称 10、下列不等式中成立的是（ ） A ．sin1<sin π3B ．cos2π3>cos2C ．cos (−70∘)>sin18∘D ．sin4π5>sin17π611、已知函数f(x)=sin(3x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x =π4对称，则（ ） A ．函数f (x +π12)为偶函数B ．函数f(x)在[π12,π6]上单调递增C ．若|f (x 1)−f (x 2)|=2，则|x 1−x 2|的最小值为π3D ．将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，得到函数y =sin(x +φ)的图象 填空题12、若sin (θ+π8)=13，则sin (2θ−π4)＝________.13、若cosα=−35, α为第二象限的角，则sin(π−α)=__________．部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(四十二)参考答案1、答案：D分析：解方程2x−π3=kπ,k∈Z即得解.解：令2x−π3=kπ,k∈Z,∴x=12kπ+π6，令k=0,∴x=π6，所以函数f(x)=sin(2x−π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0).故选：D2、答案：C分析：利用齐次化可求三角函数式的值.2sinα+cosαcosα−sinα=2tanα+11−tanα=−4+11−(−2)=−1，故选：C．3、答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果.∵sinαcosα=12，∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin2α+cos2αsinαcosα=112=2，故选：D.4、答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y取得最小值时x的取值，从而求出tanx.函数y=√2sin(x+π4)，当y取得最小值时，有x+π4=2kπ+3π2，故x=2kπ+5π4，k∈Z．∴tanx=tan(2kπ+5π4)=tan(π4)=1，k∈Z．故选：A．5、答案：B分析：根据f(π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3， 即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B 6、答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)，∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0， ∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D. 7、答案：D分析：利用诱导公式sin (π+α)=−sinα,sin (π2+α)=cos α代入计算． sin (3π2+α)=sin (π+π2+α)=−sin (π2+α)=−cos α． 故选：D ． 8、答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ |=2π=2T ，可得ω=2，再由f (π4−x)=f (x )可得y =f (x )对称轴为x =π8，利用f (−π2)>f (0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f (x )的解析式，再由数形结合的方法求a 的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t=−3π4即x=0时y=−√2，当t=−π2即x=π8时，y=−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]， 故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围. 9、答案：BD分析：先利用f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出ω值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴.因为f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，所以T 4=π4，即T =π，即选项A 错误； 由T =2πω=π，得ω=2，即f(x)=3sin(2x +π3)，因为f(−π6)=3sin(−π3+π3)=3sin0=0，所以f(x)的图象关于(−π6,0)对称，即选项B 正确； 当−5π12<x <π12时，则−π2<2x +π3<π2，所以f(x)=3sin(2x +π3)在(−5π12,π12)上单调递增，即选项C 错误；因为f(7π12)=3sin(7π6+π3)=3sin 3π2=−3，所以f(x)的图象关于直线x =7π12对称，即选项D 正确. 故选:BD. 10、答案：ACD分析：结合诱导公式，根据y =sinx 和y =cosx 的单调性依次判断各个选项即可得到结果. 对于A ，∵y =sinx 在(0,π2)上单调递增，又0<1<π3<π2，∴sin1<sin π3，A 正确； 对于B ，∵y =cosx 在(π2,π)上单调递减，又π2<2<2π3<π，∴cos2π3<cos2，B 错误；对于C ，∵cos (−70∘)=cos70∘=sin20∘，又sin20∘>sin18∘，∴cos (−70∘)>sin18∘，C 正确； 对于D ，∵sin4π5=sin (π−π5)=sin π5，sin17π6=sin (3π−π6)=sin π6，又sin π6<sin π5，∴sin 4π5>sin17π6，D 正确.故选：ACD. 11、答案：BC分析：根据函数f(x)=sin(3x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x =π4对称，由3×π4+φ=kπ+π2,k ∈Z 求得函数的解析式，再逐项判断.因为函数f(x)=sin(3x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x =π4对称， 所以3×π4+φ=kπ+π2,k ∈Z ，即φ=kπ−π4,k ∈Z ， 又因为−π2<φ<π2，则φ=−π4， 所以f(x)=sin(3x −π4)，A.函数f (x +π12)=sin(3(x +π12)−π4)=sin3x 为奇函数，故错误；B. 因为x ∈[π12,π6]，则3x −π4∈[0,π4]，又y =sinx 在[0,π4]上递增，所以函数f(x)在[π12,π6]上单调递增，故正确； C. T =2π3因为|f (x 1)−f (x 2)|=2，则f (x 1),f (x 2) 分别为函数的最大值和最小值，则|x 1−x 2|的最小值为T 2=π3，故正确；D.将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，得到函数y =sin(9x −π4)的图象，故错误； 故选：BC 12、答案：−79分析：由题知2(θ+π8)−π2=(2θ−π4)，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.解：因为2(θ+π8)−(2θ−π4)=π2，所以sin (2θ−π4)=sin [2(θ+π8)−π2]=−cos [2(θ+π8)] =2sin 2(θ+π8)−1=2×(13)2−1=−79． 所以答案是：−7913、答案：45分析：先根据同角三角函数的关系求出sinα，再结合诱导公式即可求出sin(π−α).,α为第二象限的角，∵cosα=−35，∴sinα=√1−cos2α=45∴sin(π−α)=sinα=4.5.所以答案是：45小提示：本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.。
