3.2生活中线性相关实例分析

案例二：D urer 魔方O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C中国大学M OO C德国著名艺术家Albrecht Dürer(1471-1521年)于1514年曾铸造一枚充满数学符号、数字及几何图形的铜币，这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。

O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OOC 中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学M OOC 中国大学M OO COOC中国大学M O OC 中国大学M OOC中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C特点：行和= 列和= 对角线之和= 每个小方块之和= 四个角之和=3416321351011896712415141Albrecht Dürer’s Magic SquareO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学M O O C中国大学MO O C中国大学M OO CO OC中国大学MO OC中国大学MO OC中国大学M OOCO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M O O CDürer 魔方定义：一个4×4的数字方，它的每一行，每一列，每一对角线，每一小方块及四个角上的数字和均相等且为一确定数⚫如何构造Dürer 魔方？⚫一共有多少个Dürer 魔方？⚫如何构造所有的Dürer 魔方？——利用向量组的线性相关性O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M O O C中国大学M O O COOC中国大学M O OC 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C记D ={A =[a ij ]4×4|A 为Dürer 魔方}⚫⚫k R A D kA D,,∀∈∀∈∈A B D A B D,,∀∈+∈D 构成向量空间，称为D ürer 魔方空间O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C令R =行和，C =列和，D =对角线和，S =小方块和利用0和1构造R=C=D=S=1的简单Dürer 魔方可构造出8个基本魔方Q 1, …,Q 8O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O CQ Q Q Q Q Q Q 123456710001000000100010010000110000100====000101000010100001001001000010001001000010100000100100===010*********101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q 801000001=1001010001000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学M OOCO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O OCQ Q Q Q Q Q Q Q 123456780−−++−−+=r Q r Q r Q r Q r Q r Q r Q 112233445566770++++++=⇒Q 1, …,Q 7是Dürer 魔方空间的一组基，任意Dürer 魔方可由其线性表示⇒Q 1, …,Q 8线性相关⇒Q 1, …,Q 7线性无关r r r r r r r 1234567======0⇒=O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO CO O C 中国大学MO O C 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C⚫构造Dürer 魔方D r Q r Q r Q r Q r Q r Q r Q r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d 11223344556677126573411121314354716221222324462531731323334713245641424344+===++++++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⚫取不同的r 1,…,r 7值，可直接构造不同的Dürer 魔方⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中O O C中国大学M O O C中国大学MO O C 中国大学M O O C中O O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M O O C中O O C中国大学MOOC 中国大学M O O C 中国大学M OO C中OOC 中国大学M OOC 中国大学M O O C 中国大学M OO C中OOC中国大学M OOC中国大学M O O C中国大学M O OC中OO C中国大学M O OC中国大学M O O C中国大学M OO C中OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C中国大学M OO C中向量组的线性相关性应用案例⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方1265734354716246253177132456110000000000100000101001100000101000001001+1000010010000000010101001000010000100000100000011010000r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎡⎢⎢⎢⎢⎢++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⇒⎢⎥+++⎢⎥+++⎣⎦1234567=r r r r Ar r r r ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥()11121314212223241611613132333441424344=ijd d d d d d d d d d d d d d d d d d ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⚫构造Dürer 魔方Ar d ⇒−=OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOO C 中国大学M O O C 中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MO O C中国大学MOOC 中国大学MOO C中国大学M OO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学M⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方1265734354716246253177132456110000000000100000101001100000101000001001+100001001000000001010100100001000010000010000001101000001010000000110r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎡⎢⎢⎢⎢⎢++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⇒⎢⎥+++⎢⎥+++⎣⎦⎣1234567=r r r r Ar r r r ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦()11121314212223241611613132333441424344=ijd d d d d d d d d d d d d d d d d d ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦()Ar d r A E d 0,0⇒−=⎛⎫⇒−= ⎪⎝⎭中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOO C 中国大学M O O C 中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC 中国大学MOO C中国大学M OO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOC——解线性方程组()A E 1000000000000000001100001000000000000-10000000000100000000000000011100000100000000001000000100000100000000010100000000000100000000-1010000010000001000000000000100000000001000000-100011000,−−−−−−−−−⇒00000000100000-1010000010000000001000010100100000000000001000100011110000000000001001010111000000000000001010000101000000000000001-1010110010000000000000001100001100000000000000000111−−−−−−−−−−−−−−−−−100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭d 24 , d 32 , d 34 , d 41 , d 42 , d 43 , d 44(),0r A E d ⎛⎫−= ⎪⎝⎭中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M O O C 中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MO O C中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M O OC中国大学M OOC中国大学MO O C中国大学MO O C 中国大学MO OC中国大学M OOC中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O C向量组的线性相关性应用案例选取d 24 , d 32 , d 34 , d 41 , d 42 , d 43 , d 44为自由变量，其他量可由其唯一确定16321351011896712415141自由变量的选取不唯一！⚫构造Dürer 魔方中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M中国大学MO O C 中国大学MOO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M中国大学MO O C中国大学M O OC中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M中国大学MOOC 中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OOC中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M。

弟一早统计2. 3.2生活中线性相关实例（习题i典例精析求回归直线方程针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析：»跟踪训练I.假设学生初中数学成绩和高一数学成绩是线性相关的，若10个学生初中数学成绩(无)和高一数学成绩(y)如下：试求初中和高一数学成绩间的回归方程._ 10解析：因为7=71,店=50 520,2=1_ 10) = 72. 逼y = 51 467,所以i= 1；51 467-10X71X72.3 n nio o 6= 50 520-10X712"L2182a = 72.3-l,218 2X71 = —14.192.故所求回归直线方程为$ = 1.218 N —14.192.判断两个变量间的线性相关关系并求回归直线方程一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(1)y与兀是否具有线性相关关系？(2)如果y与兀具有线性相关关系，求y关于兀的回归直线方程. 解析：⑴画出散点图如下,由图可知〉与r有线性相关关系•120* *110 .100・.•90 ・• •80 - *■70 - •60- *I I I I I 1 I 1 』d ° 10 20 30 40 5060 70 8090100⑵列表、计算:2 i 10y=l fj55,)= 91, 7io500, 2 町沖=55 950设所求的回归直线方程为y = bx+a, 则由上表可得10 __召础厂］0巧55 950-10X55 X 91.7h = ------------------ = ------------------------ ——；寻2 “一2 38 500-10X552乙无~L Q Xi= 10, 6689a—y—bj： = 91, 7~0, 668X55 = 54. 96*即所求的回归直线方程为：$=0.66张+54.96-»跟踪训练2.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格(y)和房屋的面积(劝的数据:(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程；(3)据⑵的结果估计当房屋面积为150山时的销售价格.解析对应的散点图如下图所示:= Vq = 109, V（工厂莎=1 570,5 a=l i=lL5y = 23. 2,工（斗一jr）（y‘一y） = 308,设所求回归直!=1竺‘心0.196 2,a = y 1 570 线方程为y = fo? +t则b =学一忘=23. 2 — 109 a 1.816 6.故所求回归直线方程为［ = 0.196 2/+1.816 6.（3）根据⑵，当X = 150 m2时，销售价格的估计值为j = 0・ 196 2 X 150 + 1.816 6 = 31.246 6（万元）.对已知数据进行线性回归分析某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间, 为此作了四次试验，得到的数据如下:(1) 在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;(2)求出y 关升的线性回归方程心復+；并在坐标系中画工厂”工• y _ _注必=’ --------- z —^a^y —bxV 22乙r ~nx~出回归直线;(3)试预测加工10个零件需要多长时间・2 = 1分析:(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点，得到散点图.(2)按求回归直线方程的步骤和公式，写出回归直线方程.(3)利用回归直线方程分析. 解析：(1)散点图如右图.4(2)由表中数据得为兀兀=i= 1525= 0. 7,L 05.•；y=O. 7T+1. 05,回归直线如图中所示.(3)将.r = 10代入回归直线方程，得$ = 0, 7 X 10+1.05=8. 05(小时),・••预测加工10个零件需要& 05小时.卜跟踪训练3.—台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损.按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：仃）作岀散点图.（2）求y关于卫的线性回归直线方程.（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内。

《生活中线性相关实例》教学设计教学要求：通过生活实例进一步了解最小二乘法思想.教学重点：生活实例的直线回归分析.教学难点：最小二法思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 如何求回归直线方程？2. 最小二乘法思想的是什么？在我们生活中如何应用，能举一.两个例子？二、讲授新课：1． 直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x ）代入回归方程对预报量（即因变量）进行估计，即可得到个体Y 值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的标。

2．实例分析：某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（i X ）与公司所获得利润（i Y ）的统计资料如下表：科研费用支出（i X ）与利润（i Y ）统计表。

单位：万元 年份 科研费用支出 利润1998 5 311999 11 402000 4 302001 5 342002 3 252003 2 20合计 30 180要求估计利润（i Y ）对科研费用支出（i X ）的线性回归模型。

现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解参数10ββ、的估计值：利润（i Y ）对科研费用支出（i X ）的线性回归模型直线方程为：i i X Y 220ˆ+=（过程略）（学生练习→教师分析→师生共同总结）1. 应用Excel 软件求直线回归方程，相关系数和作图,这些EXCEL可以方便地做到。

（插入→图表→图类修改）y = 2x + 20R2 = 0.8264 01020304050024681012系列1线性 (系列1)（教师演示→学生模仿→学生演示）3．练习：课本P86 A组 2题3. 小结：回归直线方程，最小二乘法基本思想.三、巩固练习：1．课本P84 2题2.作业：教材P87 B组第1题。

线性相关原理的应用举例1. 线性相关的基本概念在数学中，线性相关是指向量集合中存在一个或多个向量可以表示为其他向量的线性组合。

线性相关与线性无关相对应，是矩阵理论及线性代数中的重要概念。

线性相关的集合中存在线性依赖关系，其中的向量可以通过线性组合得到其他向量。

2. 线性相关的应用举例以下是一些线性相关原理的实际应用举例：2.1. 数据分析与预测线性相关原理在数据分析和预测中起着重要的作用。

假设我们有一组数据，包含不同特征的样本数据。

通过对这些特征进行分析，我们可以确定它们之间的线性相关性。

利用线性相关性，我们可以通过回归分析来预测未来的趋势或者填补缺失值。

例如，在房地产市场中，我们可以收集各种因素（如房屋大小、位置、年龄、附近学校等）对房价的影响。

通过分析这些因素之间的线性相关性，我们可以建立回归模型来预测房价。

2.2. 图像处理线性相关原理也被广泛应用于图像处理领域。

在图像中，像素之间存在着线性相关性。

通过理解图像像素之间的线性相关性，我们可以进行图像增强、去噪、图像分割等操作。

例如，在图像增强中，我们可以利用线性相关性来平衡图像的亮度和对比度。

通过调整像素之间的线性关系，我们可以改善图像的质量，并使细节更加清晰可见。

2.3. 信号处理线性相关原理在信号处理中也扮演着重要的角色。

在信号处理中，我们可以通过研究信号之间的线性相关性来提取有用的信息，实现噪声滤除、信号分析、模式识别等任务。

例如，在语音信号处理中，我们可以通过分析语音信号的频率、能量等特征，来识别说话者的身份或语音指令。

通过对不同特征之间的线性相关性进行建模，我们可以提取出有用的语音信息。

2.4. 金融市场分析线性相关原理在金融市场分析中也有广泛的应用。

在金融市场中，各种金融指标之间存在着线性相关性。

通过分析这些指标之间的线性相关性，我们可以预测金融市场的趋势、风险以及构建投资组合。

例如，在股票市场中，通过分析股票的收益率与市场指数的线性相关性，我们可以确定股票与市场的关联度。