下载文档原格式
ABC DEA′第一轮复习第28课时：矩形、菱形、正方形【知识梳理】1. 特殊的平行四边形的之间的关系2. 特殊的平行四边形的判别条件（1）矩形：①有一个角是的平行四边形是矩形．②对角线的平行四边形是矩形．③有三个角是的四边形是矩形．（2）菱形：①一组的平行四边形是菱形．②对角线的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．（3）正方形：①有一个角是的菱形是正方形．②对角线的菱形是正方形．③有一组的矩形是正方形．④对角线的矩形是正方形．3. 特殊的平行四边形的性质4．面积计算：（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：1212S l l =⋅（12l l 、是对角线）；（3）正方形：S=边长2【课前预习】1、如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=．2、如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE⊥AB，3sin 5A =，则这个菱形的面积=m 2． 3、如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为25和4，那么阴影部分面积为.正平行四边形矩形菱形方形4、正方形的对角线长为a ，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ） A 、22a B 、24a C 、a2D 、22a 【例题讲解】例1 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形. （若四边形ABCD 是矩形，则四边形EFGH 有什么变化？若四边形ABCD 是菱形呢……你能说明中点四边形的形状是由什么决定的么？）例2 如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG∥BD，交CB 的延长线于点G ． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．例3 如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ． （1）求证：EB=GD ；（2）判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG=2，求EB 的长．例4 如图，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长．解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)AB 、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D 为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；(2)设AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值． 【巩固练习】1、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，ODCA BB则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2B ．4C．D．2、如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上．小明认为：若MN = EF ，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF ．你认为（ ）A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对3、如图，将两张长为8，宽为2张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是． 4、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．6、在□ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H ．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AH AG =，求证：四边形ABCD 是菱形．【课后作业】 班级姓名一、必做题1、如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE//CA ，DF//BA ．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A. 四边形AEDF 是平行四边形B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF 是矩形C. 如果AD 平分∠BAC，那么四边形AEDF 是菱形D. 如果AD⊥BC 是AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是正方形 2、下列命题正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是菱形；B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 3、如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形4、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD BC '=B ．EBD EDB ∠=∠C ．ABE CBD △∽△D ．sin AEABE ED∠=5、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，ADCB GHF连DF ，∠CDF 等于°.6、如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=5过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于E 则AE 的长是.7、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是. 8、如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP⊥CD 于点P ，则∠FPC=. 9、如图，平行四边形 ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．10、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC 的长；（2）求∠AOB 的度数；（3）以OB 、OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积． 二、选做题11、如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠=度．12、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是．13、将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放，点A 、B 、C 、D 分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm 2．14、如图，正方形ABCD 、阴影部分的面积是 cm 2． 15、如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE交边BC 于点F ，连接BE ，DF ．（1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE 的度数； （3）当APAB的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由． 16、学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°．第3题图 第5题图第6题图第11题图 第13题图 D AB Cm l α 65° C 'B ' 第12题图第14题图第8题图CDC 'AB E 第4题图（1）若d＝26（2）当d＝20。
中考数学一轮复习 矩形、菱形知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。
精典例题：【例1】如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠EAC 的度数。
分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。
解略，答案450。
例1图E ODCBA例2图FEDCB A例3图【例2】如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到点E ，使BE ＝2AB ，连结EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长。
分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。
解略，答案AF ＝4.5。
【例3】如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 上的一动点，DE ⊥AM ，垂足为E ，3AB ＝2BC ，并且AB 、BC 的长是方程02)2(2=+--k x k x 的两根。
（1）求k 的值；（2）当点M 离开点B 多少时，△ADE 的面积是△DEM 面积的3倍？请说明理由。
分析：用韦达定理建立线段AB 、AC 与一元二次方程系数的关系，求出k 。
略解：（1）由韦达定理可得AB ＋BC ＝2-k ，AB ·BC ＝k 2，又由BC ＝23AB 可消去AB ，得出一个关于k 的一元二次方程0123732=+-k k ，解得1k ＝12，2k ＝31，因AB ＋BC ＝2-k ＞0，∴k ＞2，故2k ＝31应舍去。
（2）当k ＝12时，AB ＋BC ＝10，AB ·BC ＝k 2＝24，由于AB ＜BC ，所以AB ＝4，BC ＝6，由DEM AED S S ∆∆=3可得AE ＝3EM ＝43AM 。
易证△AED ∽△MBA 得MB AE ＝AMAD ，设AE ＝a 3，AM ＝a 4，则MB ＝22a ，而AB 2＋BM 2＝AM 2，故2421644a a =+，解得2a ＝2，MB ＝22a ＝4。
7.矩形、菱形
知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。
精典例题：
【例1】如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠EAC 的度数。
分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。
解略，答案450。
例1图
E O
D
C
B
A 例2图
F
E
D
C
B A
例3图
【例2】如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到点E ，使BE ＝2AB ，连结EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长。
分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。
解略，答案AF ＝4.5。
【例3】如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 上的一动点，DE ⊥AM ，垂足为E ，3AB ＝2BC ，并且AB 、BC 的长是方程02)2(2=+--k x k x 的两根。
（1）求k 的值；
（2）当点M 离开点B 多少时，△ADE 的面积是△DEM 面积的3倍？请说明理由。
分析：用韦达定理建立线段AB 、AC 与一元二次方程系数的关系，求出k 。
略解：（1）由韦达定理可得AB ＋BC ＝2-k ，AB ·BC ＝k 2，又由BC ＝
2
3
AB 可消去AB ，得出一个关于k 的一元二次方程0123732=+-k k ，解得1k ＝12，2k ＝3
1
，因AB ＋BC ＝2-k ＞0，∴k ＞2，故2k ＝
3
1
应舍去。
（2）当k ＝12时，AB ＋BC ＝10，AB ·BC ＝k 2＝24，由于AB ＜BC ，所以AB ＝4，BC ＝6，由D E M AED S S ∆∆=3可得AE ＝3EM ＝
43AM 。
易证△AED ∽△MBA 得MB
AE ＝AM AD ，设AE ＝a 3，AM ＝a 4，则MB ＝2
2a ，而AB 2＋BM 2
＝AM 2
，故2421644a a =+，解得2a ＝2，MB ＝2
2a ＝4。
即当MB ＝4时，DEM AED S S ∆∆=3。
评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。
探索与创新：
【问题一】如图，四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝35-，CD ＝6，且∠ABC ＝1350
，∠BCD ＝1200
，你知道AD 的长吗？
分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。
略解：作AE ⊥CB 的延长线于E ，DF ⊥BC 的延长线于F ，再作AG ⊥DF 于G ∵∠ABC ＝1350
，∴∠ABE ＝450
∴△ABE 是等腰直角三角形
又∵AB ＝6，∴AE ＝BE ＝3 ∵∠BCD ＝1200
，∴∠FCD ＝600
∴△DCF 是含300的直角三角形 ∵CD ＝6，CF ＝3，DF ＝33 ∴EF ＝3)35(3+-+＝8 由作图知四边形AGFE 是矩形 ∴AG ＝EF ＝8，FG ＝AE ＝3
从而DG ＝DF －FG ＝32 在△ADG 中，∠AGD ＝900
∴AD ＝22DG AG +＝1264+＝76＝192
【问题二】把矩形ABCD 沿BD 折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE 是什么图形，并证明你的猜想。
分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。
2、已知菱形的锐角是600
，边长是20cm ，则较短的对角线长是 cm 。
问题一图
G
D
问题二图
B
A
3、如图，矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若AE ⊥BD 于E ，且OE ∶OD ＝1∶2，AE ＝3cm ，则DE ＝ cm 。
4、如图，P 是矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝ 。
5、如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝600
，∠BAE ＝200
，则∠CEF ＝ 。
第3题图
E O D
C
B
A
第4题图
?
5
43
P D
C
B
A 第5题图
F
E
B
A
二、选择题：
6、在矩形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点E 、F 、G 、H ，使EFGH 为矩形，则这样的矩形（ ） A 、仅能作一个 B 、可以作四个
C 、一般情况下不可作
D 、可以作无穷多个
7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝12cm ，P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4 cm 的速度从C 点出发，在CB 间往返运动，二点同时出发，待P 点到达D 点为止，在这段时间内，线段PQ 有（ ）次平行于AB 。
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
∙
∙
第7题图
Q
P
D
C
B
第8题图
G
F
E
D
C
B
A
8、如图，已知矩形纸片ABCD 中，AD ＝9cm ，AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是（ ）
A 、4cm 、10cm
B 、5cm 、10cm
C 、4cm 、32cm
D 、5cm 、32cm
9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。
其中正确的命题有（ ）
A 、①②
B 、③④
C 、③
D 、①②③④
10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ） A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、等腰梯形 三、解答题：
11、如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
第11题图
G F
E
D
C
B
A
第12题图
E
B
A
第13题图
C
12、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900
，CD 是AB 边上的高，∠BAC 的平分线AE 交CD 于F ，EG ⊥AB 于G ，求证：四边形GECF 是菱形。
13、如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF 。
请回答下列问题（不要求证明）：
（1）四边形ADEF 是什么四边形？
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？
（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、180；
2、20cm ；
3、3；
4、23；
5、200
提示：4题过点P 作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结AC ，证△ABE ≌△ACF 得AE ＝AF ，从而△AEF 是等边三角形。
二、DDBBA 三、解答题：
11、可证△DEA ≌△ABF
12、略证：AE 平分∠BAC ，且EG ⊥AB ，EC ⊥AC ，故EG ＝EC ，易得∠AEC ＝∠CEF ，∵CF ＝EC ，EG ＝CF ，又因EG ⊥AB ，CD ⊥AB ，故EG ∥CF 。
四边形GECF 是平行四边形，又因EG ＝FG ，故GECF 是菱形。
13、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝1500；（3）当∠BAC＝600时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。
