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2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

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2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋ b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)

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解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
本题出错原因在于没有理解题意，错将圆心到 x、y 轴的距离直接当成圆心(a，b)中 a、b 的值，这是错误的．而事 实上，圆心到 x、y 轴距离应该是|a|、|b|，从而圆心在直线 y＝ 2|x|上． [正解] 由圆心到 x 轴的距离是它到 y 轴的距离的 2 倍可知，圆 心必在直线 y＝2x 或 y＝－2x 上． 又∵圆过点 A(1,0)，B(3,0)， ∴圆心必在线段 AB 的垂直平分线 x＝2 上． 从而可知圆心 C 为(2,4)或(2，－4)． 又 r2＝|AC|2＝17， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17 或(x－2)2＋(y＋4)2＝17.
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.

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＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2
又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2.结合图形 易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 距离的最大值为 2 2＋2，最小值 为 2 2－2.(12 分)
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
自学导引 1．确定圆的条件 一个圆的 圆心 位置和 半径 一旦给定，这个圆就确定了，如 图所示．
2．圆的标准方程 (1)圆的定义：到定点的距离等于 定长 的点的集合叫圆，定点 叫做圆的 圆心 ，定长 称为圆的半径． (2)方程：圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程

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误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 2 倍，且经过点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程． [错解] 由题意，可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂 直平分线 x＝2 上，
y＝2x， 由 x＝2，
可得圆心 C(2,4)，r＝|AC|＝ 17，
自学导引 1．确定圆的条件 一个圆的 圆心 位置和 半径 一旦给定，这个圆就确定了，如 图所示．
2．圆的标准方程 (1)圆的定义：到定点的距离等于 定长 的点的集合叫圆，定点 叫做圆的 圆心 ，定长 称为圆的半径． (2)方程：圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 . 是
解 法一

设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得 3－a2＋1－b2＝r2， －1－a2＋3－b2＝r2， 3a－b－2＝0， a＝2， 解得b＝4， r＝ 10.
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二
设圆心为 C，又∵圆心在直线 3x－y－2＝0 上，
将所给点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 作比较： 若|CM|＝r，则点 M 在圆 C 上； 若|CM|＞r，则点 M 在圆 C 外； 若|CM|＜r，则点 M 在圆 C 内． 利用圆的标准方程来判定： 点 M(m，n)在圆 C 上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点 M(m，n)在圆 C 外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2； 点 M(m，n)在圆 C 内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2

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故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法
求圆的标准方程一般有两种思路：①由圆的几何性
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
(1)
(2)
【题后反思】 本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注 重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数 形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形 象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
解 法一
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得 3－a2＋1－b2＝r2， －1－a2＋3－b2＝r2， 3a－b－2＝0， a＝2， 解得b＝4， r＝ 10.
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二
设圆心为 C，又∵圆心在直线 3x－y－2＝0 上，

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解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程；②用待 定系数法，圆的标准方程中有 a，b，r 三个参数，根据已知条 件列出三个关于 a，b，r 的方程，组成方程组求解，即可得 a， b，r 的值，就得到了圆的方程．这种方法体现了方程的思想， 思路直接，是通用方法．
【变式 1】 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点 P(1,3)，圆心为 C(2，－2)； (2)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A(2，－3)． 解 (1)r＝|PC|＝ 1－22＋3＋22＝ 26， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝26. (2)设圆心在 x 轴上，半径为 5 的圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝ 52. ∵点 A 在圆上，∴(2－a)2＋(－3)2＝25. ∴a＝－2 或 a＝6. 故所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25 或(x－6)2＋y2＝25.
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2

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2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2பைடு நூலகம் b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.

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解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 2 倍，且经过点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程． [错解] 由题意，可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂 直平分线 x＝2 上，
y＝2x， 由 x＝2，
可得圆心 C(2,4)，r＝|AC|＝ 17，
解 法一
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得 3－a2＋1－b2＝r2， －1－a2＋3－b2＝r2， 3a－b－2＝0， a＝2， 解得b＝4， r＝ 10.
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二
设圆心为 C，又∵圆心在直线 3x－y－2＝0 上，
(1)
(2)
【题后反思】 本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注 重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数 形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形 象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．

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质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程；②用待 定系数法，圆的标准方程中有 a，b，r 三个参数，根据已知条 件列出三个关于 a，b，r 的方程，组成方程组求解，即可得 a， b，r 的值，就得到了圆的方程．这种方法体现了方程的思想， 思路直接，是通用方法．
【变式 1】 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点 P(1,3)，圆心为 C(2，－2)； (2)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A(2，－3)． 解 (1)r＝|PC|＝ 1－22＋3＋22＝ 26， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝26. (2)设圆心在 x 轴上，半径为 5 的圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝ 52. ∵点 A 在圆上，∴(2－a)2＋(－3)2＝25. ∴a＝－2 或 a＝6. 故所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25 或(x－6)2＋y2＝25.
故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法
求圆的标准方程一般有两种思路：①由圆的几何性
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，

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[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2
又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2.结合图形 易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 距离的最大值为 2 2＋2，最小值 为 2 2－2.(12 分)
2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋ b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
确定圆心的位置是解决本题的切入点， 同时， 本题易 漏掉圆心在直线 y＝－2x 上这种情况．纠正错误的关键是弄清 距离的概念，审题时要做到滴水不漏。
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解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
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(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.
(2)在求圆的标准方程时， 尽量利用圆的几何性质， 可以大大地 减少计算量． 一般地，圆心的三个重要几何性质为： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
题型一
求圆的标准方程
【例 1】 直线 3x－y－2＝0 过已知圆的圆心，点 A(3,1)，B(－ 1,3)均在这个圆上，求此圆的方程． [思路探索] 利用待定系数法，设圆的标准方程，建立关于圆心 坐标，半径的方程组求解，也可借助几何性质确定圆心坐标及 半径来解决．
自学导引 1．确定圆的条件 一个圆的 圆心 位置和 半径 一旦给定，这个圆就确定了，如 图所示．
2．圆的标准方程 (1)圆的定义：到定点的距离等于 定长 的点的集合叫圆，定点 叫做圆的 圆心 ，定长 称为圆的半径． (2)方程：圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 . 是
确定圆心的位置是解决本题的切入点， 同时， 本题易 漏掉圆心在直线 y＝－2x 上这种情况．纠正错误的关键是弄清 距离的概念，审题时要做到滴水不漏。
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质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程；②用待 定系数法，圆的标准方程中有 a，b，r 三个参数，根据已知条 件列出三个关于 a，b，r 的方程，组成方程组求解，即可得 a， b，r 的值，就得到了圆的方程．这种方法体现了方程的思想， 思路直接，是通用方法．
【变式 1】 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点 P(1,3)，圆心为 C(2，－2)； (2)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A(2，－3)． 解 (1)r＝|PC|＝ 1－22＋3＋22＝ 26， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝26. (2)设圆心在 x 轴上，半径为 5 的圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝ 52. ∵点 A 在圆上，∴(2－a)2＋(－3)2＝25. ∴a＝－2 或 a＝6. 故所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25 或(x－6)2＋y2＝25.
解 法一
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得 3－a2＋1－b2＝r2， －1－a2＋3－b2＝r2， 3a－b－2＝0， a＝2， 解得b＝4， r＝ 10.
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二
设圆心为 C，又∵圆心在直线 3x－y－2＝0 上，
(1)
(2)
【题后反思】 本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注 重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数 形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形 象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2
又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2.结合图形 易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 距离的最大值为 2 2＋2，最小值 为 2 2－2.(12 分)
故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法
求圆的标准方程一般有两种思路：①由圆的几何性
2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋ b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
规律方法
本题利用了点与圆心的距离与半径之间的大小关系
判定了点与圆的位置关系，①点在圆上⇔ d＝r；②点在圆外⇔ d ＞r；③点在圆内⇔ d＜r.
【变式 2】 已知点 A(1,2)在圆 C： (x－a)2＋(y＋a)2＝2a2 的内部， 求实数 a 的取值范围． 解 ∵点 A 在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， 5 ∴2a＋5＜0，∴a＜－2， ∴a
误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 2 倍，且经过点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程． [错解] 由题意，可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂 直平分线 x＝2 上，
y＝2x， 由 x＝2，
可得圆心 C(2,4)，r＝|AC|＝ 17，
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
将所给点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 作比较： 若|CM|＝r，则点 M 在圆 C 上； 若|CM|＞r，则点 M 在圆 C 外； 若|CM|＜r，则点 M 在圆 C 内． 利用圆的标准方程来判定： 点 M(m，n)在圆 C 上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点 M(m，n)在圆 C 外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2； 点 M(m，n)在圆 C 内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.
∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
本题出错原因在于没有理解题意，错将圆心到 x、y 轴的距离直接当成圆心(a，b)中 a、b 的值，这是错误的．而事 实上，圆心到 x、y 轴距离应该是|a|、|b|，从而圆心在直线 y＝ 2|x|上． [正解] 由圆心到 x 轴的距离是它到 y 轴的距离的 2 倍可知，圆 心必在直线 y＝2x 或 y＝－2x 上． 又∵圆过点 A(1,0)，B(3,0)， ∴圆心必在线段 AB 的垂直平分线 x＝2 上． 从而可知圆心 C 为(2,4)或(2，－4)． 又 r2＝|AC|2＝17， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17 或(x－2)2＋(y＋4)2＝17.