数学奥林匹克初中训练题及答案(五)

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。

2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。

两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。

两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。

3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。

4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。

7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（甘肃赛区预赛）试卷参考答案及评分标准一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。

请直接将答案写在题中的横线上）二、解答题（共6小题，满分80分。

要求写出解题过程）11.（13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c cos sin 2A Bc B +=．（1）求C ∠的大小；（2）若a b +=，求sin A ．【解】：（1cos sin sin 2A BB C B +=，因为有sin 0B ≠sin .2A BC +=因为cos cos()sin2222A B CC π+=-=，2sin cos 222C C C =，因为sin02C≠，所以cos 22C =，因为(0,)C π∈，所以26C π=，从而.3C π=………………6分（2）因为3C π=，由余弦定理得222,c a b ab =+-将3()3c a b =+代入上式得2221()3a b a b ab +=+-，整理得222520a ab b -+=，解得2a b =或2.b a =①当2a b =时，c =，所以222222cos 02b c a A bc +-==，因为(0,)A π∈，所以2A π=.②当2b a =时，c =，所以222222cos 22b c a A bc +-==，因为(0,)A π∈，所以6A π=.所以1sin 2A =或1.…………………………13分12.（13分）如图，已知长方形ABCD 中，21AB AD ==，,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．【解】：（1）因为平面AMD ⊥平面ABCM ，2,1AB AD ==，M 是DC 的中点,，故AD DM =，取AM 的中点O ，连结有OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 中点N ，连接ON ，则ON AM ⊥，以O 为原点如图建立空间直角坐标系……………3分13.（13分）已知数列}{n a 中，12a =，且21()2n n n a a n N a *+=∈+．证明：（1）212n n a -≤；（2）12122244222n n na a a a a a +++<+++ ．【证明】：（1）由12a =，且212n n n a a a +=+，得0n a >，故1202nn n n a a a a +--=<+，则{}n a 为递减数列.11221112222n n n n n a a a a a a +==-≤-=+++，即112n n a a +≤，故21.2n n a -≤…………………………………6分（2）由12()2nn n n a a a n N a *+=-∈+，可得121223112224()2()()222n n n n na a a a a a a n a a a a a ++++=-+-++-+++ 1231n n a a a a na +=+++- ，21121()22n -<++++ 11221) 4.2n -=+-<（故有1212224 4.222n n na a a a a a +++<+++ ……………………………………13分14.（13分）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第1n +次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第1n -，2n -，3n -，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n （n N *∈）次操作后，记甲盒子中黑球个数为n X ，甲盒中恰有1个黑球的概率为n a ，恰有2个黑球的概率为n b ．（1）求1X 的分布列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求n X 的数学期望.【解】：（1）由题意可知，X 1的可能取值为0，1，2，由相互独立事件概率乘法公式可知：P （X 1＝0）＝122339⨯=，P （X 1＝1）＝1122533339⨯+⨯=，P （X 1＝2）＝212339⨯=，故X 1的分布列如下表：X 1012P295929………………3分（2）由全概率公式可知：P （1n X +＝1）＝P （n X ＝1）P （1n X +＝1|n X ＝1）+P （n X ＝2）P （1n X +＝1|n X ＝2）+P （n X ＝0）P （1n X +＝1|n X ＝0）＝1122()3333⨯+⨯P （n X ＝1）+2(1)3⨯P （n X ＝2）+2(1)3⨯P （n X ＝0）＝59P （n X ＝1）+23P （n X ＝2）+23P （n X ＝0），即：1522(1),933n n n n n a a b a b +=++--所以112,93n n a a +=-+所以1313(),595n n a a +-=--又a 1＝P （X 1＝1）＝59，所以，数列3{}5n a -是以135a -为首项，以19-为公比的等比数列，所以132121(()545959n n n a --=-⨯-=-，即：321(.559nn a =+⨯-………………8分（3）由全概率公式可得：P （1n X +＝2）＝P （n X ＝1）P （1n X +＝2|n X ＝1）+P （n X ＝2）P （1n X +＝2|n X ＝2）+P （n X ＝0）P （1n X +＝2|n X ＝0）＝21(33⨯P （n X ＝1）+11)3⨯（P （n X ＝2）+0×P （n X ＝0），即：12193n n n b a b +=+，又321(),559nn a =+⨯-所以112321[()]39559nn n b b +=+⨯+⨯-，所以111111111([()],5593559n nn n b b ++-+⨯-=-+⨯-又b 1＝P （X 1＝2）＝29，所以111121105599545b -+⨯-=--=（，所以111()0559nn b -+⨯-=，所以111()559nn b =-⨯-，所以()20(1)2 1.n n n n n n n E X a b a b a b =++⨯--=+=………………13分15.（13分）已知点F 是抛物线2:4C x y =与椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的公共焦点，椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）过点M 作C 的两条切线，记切点分别为,A B ，求△MAB 面积的最大值.【解】：（1）抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F （0，1），∴c ＝1．∵椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3，∴a +c ＝3，b 2＝a 2-c 2，解得a ＝2，b 2＝3，∴椭圆的方程为22143y x +=．………………5分（2）设M （x 0，y 0），则2222000031,3434y x y x +==-联立2224143x yy x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得3y 2+16y -12＝0，y ∈[-2，2]，解得y ＝23，∴y 0∈[-2，23），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），求导x 2＝4y ，可得12y x '=，∴切线MA ，MB 的方程分别为：y 214x -＝12x 1（x -x 1），y 224x -＝12x 2（x -x 2），可得x 1，x 2为方程t 2-2x 0t +4y 0＝0的两个不相等实数根．∴x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2＝4y 0，∴AB k ＝22210212*********x x x y y x x x x x x --+===--，∴直线AB 的方程为：y 214x -＝214x x +（x -x 1），化为y ＝214x x +x 124x x -，代入可得y ＝2x x -y 0，化为x 0x -2y -2y 0＝0，∴点M 到直线AB 的距离d＝2，|AB |，∴△MAB 面积S ＝12d |AB |＝2001|4|4x y -把2200334y x =-代入上式可得S＝20031|34|44y y --＝322001(12316)16y y --，∵y 0∈[2-，23），由t ＝12203y --16y 0＝2081003(33y -++，∴y 0＝2-时，t 取得最大值32．∴△MAB面积的最大值为………………13分16.（15分）已知函数()(2e )ln f x x x =-，其中e 2.71828= 为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若12,x x ∈（0，1），且21121212ln ln 2e (ln ln )x x x x x x x x -=-，证明：12112e 2e 1x x <+<+．【解】：（1）2e()(1ln )f x x x'=-+，因为y ＝2ex在（0，+∞）上是减函数，y ＝1ln x +在（0，+∞）上是增函数，所以()f x '在（0，+∞）上单调递减，又因为(e)0f '=，所以当x ∈（0，e ）时，()(e)0f x f ''>=，()f x 单调递增；当x ∈(e ，+∞)时，()(e)0f x f ''<=，()f x 单调递减．………………5分（2）证明：由题意，121212ln ln 2eln 2eln x x x x x x -=-，即121211(2e ln (2e )ln x x x x -=-，11221111(2e ln (2e )ln x x x x -=-，设111a x =，221a x =，则由1x ，2x ∈（0，1），得1a ，2a ∈（1，+∞），且f （1a ）＝f （2a ），不妨设12a a <，则即证122e 2e 1a a <+<+，由(2e)0f =及()f x 的单调性知，121e 2e a a <<<<，令()()(2e )F x f x f x =--，1＜x ＜e ，则()F x '＝()f x '+(2e )f x '-＝24e 2ln[(2e )](2e )x x x x ----，因为2(2e )e x x -≤，所以()F x '＞2224e 2ln e 0e--=，所以F （x ）在（1，e ）上单调递增，则F （x ）＜F （e ）＝0，所以f （x ）＜f （2e -x ），取1x a =，则11()(2e )f a f a <-，又12()()f a f a =，则21()(2e )f a f a <-，又12e a e ->，2e a >，且f （x ）在（e ，+∞）上单调递减，所以212e a a >-，即122e a a +>．从而12112e x x +>成立.………………10分下证122e 1a a +<+，①当21a e <+时，由1e a <得122e 1a a +<+，②当2e 12e a +≤<时，令()()(2e 1)G x f x f x =-+-，e 12e x +<<，则222e(2e 1)()()(2e 1)2ln[(2e 1)](2e 1)G x f x f x x x x x+'''=++-=---++-++，记2(2e 1)t x x =-++，e 12e x +≤<，又2(2e 1)t x x =-++在[e 1,2e)+上为减函数，所以2(2e,e e]t ∈+，2e(2e 1)2t +-在（2e ，e 2+e ）单调递减，ln t 在（2e ，e 2+1）单调递增，所以2e(2e 1)2t+--ln t 单调递减，从而()G x '在[e +1，2e ）上单调递增，又(2e)G '＝2e(2e 1)2e(2e 12e)++--2-ln 2e （2e +1-2e ）＝2e -1-ln 2e ，ln x ≤x -1，所以(2e)G '＞0，又(e 1)G '+＝2e(2e 1)(e 1)(2e 1e 1)+++---2-ln （e +1）（2e +1-e -1）＝e 1e 1-+ln(e 1)-+＜0，从而由零点存在定理得，存在唯一x 0∈（e +1，2e ），使得0()0G x '=，当0[e 1,)x x ∈+时，()G x '＜0()G x '＝0⇒()G x 单调递减；当0(,2)x x e ∈时，()G x '＞0()G x '＝0⇒()G x 单调递增；所以()G x ≤max {(e 1),(2e)}G G +，又(e 1)(e 1)(2e 1e 1)(e 1)(e)(e 1)ln(e 1)e G f f f f +=+-+--=+-=-+-，ln 1e x x ≤⇒ln x ≤e x ⇒ln(e 1)+≤e 1e+，所以e 11(e 1)(e 1)e 0e eG ++<--=-<，显然，G （2e ）＝f （2e ）-f （2e +1-2e ）＝0-0＝0，所以G （x ）＜0，即f （x ）-f （2e +1-x ）＜0，取x ＝2a ∈[e +1，2e ），则22()(2e 1)f a f a <+-，又12()()f a f a =，则12()(2e 1)f a f a <+-，结合22e 12e 1(e 1)e a +-<+-+=，1e a <，以及()f x 在(0,e)单调递增，得到122e 1a a <+-，所以122e 1a a +<+．综上，可得12112e 2e 1x x <+<+．………………15分。

数学奥林匹克初中训练题(1)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第 二 试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC 且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.数学奥林匹克初中训练题(2)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有: (A)1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%mn( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x取最大值,此最大值为:(A)3+4+5+ (D)5( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数,x y 满足(1x y =,则x y += .2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当12p p p + 取最大值时,∠A= .3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= .第 二 试一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a a b b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC 的外接圆与ΔIOH 的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.参考答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题(四)第 一 试三. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在11,,0.2002,7223πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且BD=DC=FC=1,则AC 为:( )5.若222a b c a b c k c b a+++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272(B)18 (C)20 (D)不存在四. 填空题.(每小题7分,共28分)1.方程222111013x x x x++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且2,3,4A B E C E F A D F S S S ===,则AEF S = .3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实数时,都有y x ≥.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设ΔOPH 的内心为I,当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 .第 二 试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为13281,求n 的值. 二.(25分)一条笔直的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为90km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h ,在草地上行驶的最快速度是30/km h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。

两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：互为相反数。

b，由此a、－2，满足2+(－2)=0令a=2，b=2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D33222解析：3是多项式，排除A+x之和为xx，x。

两个单项都是单项式．两个单项式x，x22223之和为2x3x是个单－之和为3xx是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2式x2x，与。

，因此选D项式，排除C3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：错误。

C最大的负整数是-1，故4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，13/ 1初中数学奥林匹克竞赛题及答案。

个．选C0共4－1，6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：。

，应选D、B、C，马上可以排除令a=0A8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。

两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

数学奥林匹克初中训练题(五)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.若,a b 均为质数,且22003a b +=,则a b +的值为:(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002( )2.设0,1,a b c a b c ++=f f f ,,,b c a c a b M N P a b c +++===,则,,M N P 之间的关系是:(A)M N P f f (B)N P M f f(C)P M N f f (D)M P N f f( )3.设ΔABC 的三边长为,,a b c 满足28,1252b c bc a a +==-+,则ΔABC 的周长是: (A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定( )4.下面四个命题:①直角三角形的两边长为3,4,则第三边长为5;②1x x x-=-,③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形ABCD 中,AD ∥BC,且 AB+BC=AD+DC,则四边形ABCD 是平行四边形.其中正确的命题的个数为:(A)0 (B)1 (C)2 (D)3( )5.一个四位数aabb u u u u u r 为平方数,则a b +的值为:(A)11 (B)10 (C)9 (D)8( )6.如果满足60,12,O ABC AC BC k ∠===的ΔABC 恰有一个,那么k 的取值范围是:(A)83k = (B)012k ≤p (C)12k ≥ (D)012k ≤p 或83k =二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.已知,,a b c 为实数,且多项式32x ax bx c +++能被234x x +-整除,则22a b c --的值是 .2.设正整数,,a b c 满足518,360ab bc ab ac +=-=,则abc 的最大值是 . 3,若abc =1,2003111x x x a ab b bc c ac++=++++++,则x = . 4.如图1,AB 是半圆O 的直径,四边形CDMN 和DEFG 都是正方形,其中C,D,E 在AB 上,F,N 在半圆上.若AB=10,则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是 .第 二 试一.(20分)若AD 是ΔABC 角平分线,I 是线段AD 上的点,且1902O BIC BAC ∠=+∠. 求证:I 是ΔABC 的内心.二.(25分)用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只,在两港之间来回送货物.已知每次拖4只小船,一日能来回16次;每次拖7只小船,一日能来回10次.每日来回次数是拖小船只数的一次函数(一天中每次拖小船只数不变).问每日来回多少次,每次拖多少只小船,才能使运货问题达到最大?三.(25分)设,,a b c 是从1到9的互不相同的整数,求a b c abc++的最大的可能值.。

数学奥林匹克模拟试卷（一）一、选择题：1、已知311=-=-b b a a ，且3>+b a ，则33ab b a -的值是（ ）。

（A ）521（B ）1321（C ）533（D ）13332、如果二次函数()522++++=k x k x y 的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标是正的，那么k 值应为（ ）（A ）4>k 或5.-<k （B ）45-<<-k （C ）4.-≥k 或5-≤k （D ）45-≤≤-k3、如图，∆ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC 于F ，则ABCAEF S S ∆∆:的值为（ ）（A ）A sin （B ）A cos （C ）A 2sin （D ）A 2cos4、方程1997111=+y x 的正整数解的组数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）大于等于45、P 为∆ABC 内一点，PA 、PB 、PC 把∆ABC 的面积分成三等分，则P 点是∆ABC 的（ ）（A ）内心（B ）外心（C ）垂心（D ）重心6、抛物线122++=bx x y 与直线ab ax y 22+=的图象至多有一个交点，则的最大值是（ ）（A ）1（B ）23（C ）22（D ）0 二、填空题：1、已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000，则此四数的和是_________。

2、如果c yz b xz a xy ===,,，而且它们都不等于0，则222z y x ++=_________。

AB CE F A B CED G3、若抛物线()242+++=a x ax y 全在x 轴的上方，a 的范围是_________。

4、如图，在图形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，E 为BC 重点，GE ⊥BC 于，交DA 延长线于G ，DC=17cm ，AB=25cm ，BC=10cm ，则CE=_________。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。

1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为______．2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和，则a2的取值范围是______．3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9]，则a+b的值为______．4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______．7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2，则Ω的离心率的最小值为______．8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

9.(本小题16分)在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2，求cosC的值．10.(本小题20分)在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求d|PA|的所有可能的值．11.(本小题20分)设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值．参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解：由题意知，sinA +cosA =sinB +cosB ，所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4)，所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π，即A =B 或A +B =π2，当A =B 时，C =π−2A ，且A ∈(0,π2)，由cosC =sinA +cosA 2，知cos (π−2A)=sinA +cosA 2，即−2cos2A =sinA +cosA ，所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ，所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ，因为A ∈(0,π2)，所以sinA +cosA ≠0，所以sinA−cosA =12，又sin 2A +cos 2A =1，所以(12+cosA )2+cos 2A =1，解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负)，所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74；当A +B =π2时，C =π2，所以cosC =0，此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0，而A ∈(0,π2)，所以A +π4∈(π4,3π4)，所以sin (A +π4)>0，与sin (A +π4)=0相矛盾，所以cosC =0不成立，综上，cosC = 74． 10.解：考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0：x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0)．由Ω0与Γ的方程联立消去x ，得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0．根据条件，该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0，因此y20=2r20−2．对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．设P(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2)，则有(ℎ+r1)2=2r21−2，(ℎ−r2)2=2r22−2，两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22，而r1+r2>0，故化简得ℎ=r1−r22，进而(r1−r22+r1)2=2r21−2，整理得r21−6r1r2+r22+8=0①，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1，而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=22．11.解：根据z+w=2，得w=2−z，可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，(3−5,0)，(3+5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．由x2+2x−4=0的根为−1±5，x2−6x+4=0的根为3±5，且−1−5<3−5<−1+5<3+5，分以下几种情况讨论：①若x≤−1−5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85；②若x∈(−1−5,3−5]，则f(x)=−8x+8，此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85；③若x∈[3−5,−1+5]，则f(x)=−2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85；④若x∈[−1+5,3+5]，则f(x)=8x−8，此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85；⑤若x≥3+5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85．综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16．即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16．。