规则形体(球体、水平柱体、垂直台阶)重力异常的正演计算

第三节 几种规则形状地质体正反问题的解法
五、无限水平板
（一）、正演公式
（二）、正演公式的两个实际应用
五、无限水平板
（二）、正演公式的两个实际应用
1、求正问题方面的应用 2、求反问题方面的应用
（二）、正演公式的两个实际应用 1、求正问题方面的应用
1) 、内容
2）、图例分析
3) 、实例分析
（二）、正演公式的两个实际应用 1、求正问题方面的应用 1) 、 内容 利用无限水平板重力异常公式能计算已知 闭合度的构造或其它已知顶底高差的任意 地质体可能产生的重力异常的最大值。
5、地质体形状和物性的简化
形状的简化：
把大致规则的地质体认为是规则的地质体， 把复杂的地质体视作若干简单形体的迭加。
物性的简化：
把密度大致均匀的地质体认作密度完全均匀 的地质体。
第四章 重力异常推断解释的方法
第一节 重力异常推断解释的一般方法
第二节 解正问题的基本公式 第三节 几种规则形状地质体正反问题的解法
一、均匀球体 1、 Δg正问题讨论
g max GM
D
2
x1/ n D
3
n 1
2

当M不变,D增大 A倍, Δgmax 减少1/A2倍, X1/n增大A倍。即 Δg 曲线变得越来越平缓。
一、均匀球体 1、 Δg正问题讨论
Δg球在剖面图和平面图上的表现形式:
第三节 几种规则形状地质体正反问题的解法 一、均匀球体 1、解正问题的基本公式 2、 Δg正问题讨论 3、Δg反问题讨论
2、均匀球体Δg反问题讨论 求解反问题是以相应的正问题为基础的 求球心埋深
x1
2
x1/ n D
3
n 1

• 若以水平圆柱体的轴 线作为Y轴，Z轴垂直 向下，在轴线上取一
单位长度， dm d
• 若水平圆柱体有限长， 则
密度均匀的水平圆柱体
l
g G
d
l [( x)2 ( y)2]3/2
(x
2Gh0l
h0 )(x2 l2
h02 )3/2
密度均匀的水平圆柱体
• 当 l 时，
g 2Gh0
密度均匀的球体Vg VFra bibliotekzG
v
( z)d dd [( x)2 ( y)2 ( z)2 ]3/2
密度均匀的球体
密度均匀的球体
Vg
GM
[x2
h0 y2
h02 ]3/2
密度均匀的球体
Vg
GMh0 ( x2 h02 )3/2
球体重力异常图
球体重力异常图
利用已知异常计算球体参数
重力异常正演
正问题与反问题
正问题也称为正演计算(Forward Calculation) 已知地质体的形状、产状和剩余密度等，通过理 论计算来求得异常的分布和规律。
正问题与反问题
• 反问题也称为反演(Inversion) • 已知异常的分布特征和变化规律，求场源的赋存
状态（如产状、形状和剩余密度等）
正问题与反问题
正演计算是解反问题的基础，解反 问题（反演）是目的
正问题与反问题
简单规则几何形体的异常
• 为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀， 地面水平，所取剖面为中心剖面。
• 规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状 体……
密度均匀的球体(点质量)
• 自然界中，一些近于等轴状的地质体， 如矿巢、矿囊、岩株、穹窿构造等， 都可以近似当作球体来计算它们的重 力异常，特别当地质体的水平尺寸小 于它的埋藏深度时，效果更好。

§3、规则形体的磁场
薄板状体
薄板状体可看作是厚板的特殊 情况。在磁法中“厚”与“薄”也 是一个相对概念。在一定限度 内当板状体的b<<h 时,称其 为薄板，反之为厚板。 厚板与薄板的剖面曲线形态类 似。薄板的磁场表达式可从厚 板的磁场表达式简化导出。 厚板状体可以看作薄板状体组 合而成，薄板的异常窄，幅值 小，而厚板异常宽，幅值大。
H ax
μ 0 M s • sin α rB ln = 2π rA
μ 0 M s • sin α Za = (Δϕ ) 2π
§3、规则形体的磁场
倾斜磁化板状体磁场
斜磁化指板的侧面与磁化强 度Ms斜交的情况，γ≠0 斜交磁化厚板的顶面、底面 和侧面都要出现磁荷。 斜交磁化无限延伸厚板磁场 Za图形随磁化倾角：
x = 0, Z a⊥ = Z a max H a⊥ = 0 μ0 2ms = 4π R 2
规则形体的磁场
四、水平圆柱体
通常将自然界中延深和宽度都比较小，沿走向很长 的磁性体看作水平圆柱体。 一.水平圆柱体的磁场表达式: 若为垂直磁化,即is=90°,或I=90°时：
μ0 ms ( R 2 − x 2 ) Z a⊥ = 2π ( x 2 + R 2 ) 2
磁性体磁场正演
规则形体的磁场
球体的重力异常：Δg = GM
h (x + h )
2 2 3 2
规则形体的磁场
球体的重力异常：Δg = GM
h (x + h )
2 2 3 2
磁异常垂直分量 Z a
qm h ： Z a = 4π 2 2 3 2 (x + h )
规则形体的磁场
一、单极的磁场（顺轴磁化、无限延深柱体）

2 2 2 3/ 2 0
整个水平圆柱体在P点产生的重力异常为无 穷多个柱体在该点产生的重力异常之和，即：
g G h0


2 h0 dy G 2 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h0 ) x h0
2、水平圆柱体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
讨论：
3、垂直台阶
2πG△σ△h
由图可见：无论台阶产 状如何，异常的形态相 似，仅原点处的异常值 不同。 当台阶直立时：
P(x,0)
πG△σ△h
o
△σ
●
x
△g(0)= πG△σ△h
△h
当台阶面向台阶外侧倾 斜时：
△g(0) > πG△σ△h
当台阶面向台阶内侧倾 斜时：
△g(0) < πG△σ△h
二、不规则三度体的正演问题
（4-3）
如果还有其他的物性层界面存在，则可仿照以上公式（4-3）进行迭加，以 求多重界面的Δ g。将Δ g 进行傅立叶变换，便得空间域的Δ g(x,y,0)，即完成 正演计算。
双密度界面
（五）变密度多界面快速反演方法
1．反演问题的基本原理
现假设已知重力场为△g（r0,z0） ，其频谱记为 F[△g]，又假设已知密度函数ρ (r)的一个值为 ρ
重力异常的正反演
• 1. 重力异常的正演问题、反演问题； • 2. 均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重 力异常正演方法，异常特征，反演方法； • 3. 密度界面的剩余密度的确定方法； • 4. 单一密度界面异常的特征及反演解释方 法（近似解法、矩阵法）； • 5. 解复杂密度体正演问题的基本思想； • 6. 最优化选择法的基本思想；
用解析公式计算出每个小长方

2)当σ>o时，极大值一侧对应着上升盘，极小 值一侧对应着下降盘，在极小值十分清晰且大 干极大值的绝对值时，属正断层类型，反之则 属逆断层类型。
二度铅垂柱体 对于沿水平方向延伸较长而横截面近于矩形的 矿脉，可以当成二度铅垂柱体来研究。在正演 它的异常时，坐标系及有关参数的选取见图,用 (x+α)与(x一α)分别代替铅垂台阶各公式中的 x，并将结果相减，即获得这一形体的重力异 常及各阶导数异常的公式:
当柱体的下底 H→+∞ 时，便可获得底部无限延 伸的铅垂脉的相应公式Δg→∞
( x − a) 2 + h 2 V xz = Gσ ln ( x + a) 2 + h 2 h h 2ah V zz = 2Gσ (tg −1 − tg −1 ) = 2Gσtg −1 2 x−a x+a x + h2 − a2 ⎡ ⎤ x+a x−a 2a ( a 2 + h 2 − x 2 ) V zzz = 2Gσ ⎢ = 2Gσ 2 − 2 2 2 2 ⎥ ( x + a) + h ⎦ ( x + a 2 + h 2 ) 2 − 4a 2 x 2 ⎣ ( x + a) + h
GM GMD = 2 2 nD ( x1 / n + D 2 ) 3 / 2
x 1/n = ± D n 2 / 3 − 1
取n=2，得x1/2=0.766D(X正半轴)和x’1/2=－0.766 D (X负半轴)，说明异常半极值点的横坐标为球心 深的0.766倍
4、当D不变，使M加大m倍时，异常也同样加大
[( x + a ) 2 + H 2 ][( x − a ) 2 + h 2 ] V xz = Gσ ln [( x + a ) 2 + h 2 ][( x − a ) 2 + H 2 ] H h H h ) − tg −1 − tg −1 + tg −1 V zz = 2Gσ (tg −1 x+a x+a x−a x−a ⎡ ⎤ x+a x+a x−a x−a − + − V zzz = 2Gσ ⎢ ⎥ 2 2 ( x + a) 2 + H 2 ( x − a) 2 + h 2 ( x − a) 2 + H 2 ⎦ ⎣ ( x + a) + h

2. 简单规则形体的异常特征及应用 ●Wzz异常及特征应用
2. 简单规则形体的异常特征及应用 ●Wzz异常及特征应用
2. 简单规则形体的异常特征及应用
2)水平圆柱体的重力异常及特征应用
2. 简单规则形体的异常特征及应用
2)水平圆柱体的重力异常及特征应用
2. 简单规则形体的异常特征及应用
2)水平圆柱体的重力异常及特征应用
3. 重力资料高次导数的计算与应用 2）高次导数的计算
3. 重力资料高次导数的计算与应用
2）高次导数的计算
3. 重力资料高次导数的计算与应用 2）高次导数的计算
3. 重力资料高次导数的计算与应用 2）高次导数的计算
3. 重力资料高次导数的计算与应用 2）高次导数的计算
3. 重力资料高次导数的计算与应用 2）高次导数的计算
第三节 正常重力和重力异常
四、重力异常的例子
Rotational Fault
2. 简单规则形体的异常特征及应用 1)球形体的重力异常及特征应用
2. 简单规则形体的异常特征及应用 1)球形体的重力异常及特征应用
2. 简单规则形体的异常特征及应用 1)球形体的重力异常及特征应用
2. 简单规则形体的异常特征及应用 1)球形体的重力异常及特征应用
2. 简单规则形体的异常特征及应用 1)球形体的重力异常及特征应用
异常体分开,压制区域性异常
3. 重力资料高次导数的计算与应用
3. 重力资料高次导数的计算与应用
3. 重力资料高次导数的计算与应用
3. 重力资料高次导数的计算与应用
3. 重力资料高次导数的计算与应用 2）高次导数的计算
3. 重力资料高次导数的计算与应用 2）高次导数的计算
3. 重力资料高次导数的计算与应用 2）高次导数的计算

i ) ln
2 i 1 i2


2 i 1


2 i

(i1

i
)
tg
1
i i
tg1
i1 i1

（二）任意形状三度体
1、线元法
➢用一组垂直于y轴的平面
和一组垂直于X轴的平面分 别切割地质体，则任意两 个平面的交线包合在地质 体之内的部分形成一个线 元。
x 时， g Gf h
1
P(x,0)
●x
h2
h 1 △σ △h
2
△σ △h
主剖面异常曲线单调变化，断层正上方梯度最大；平面异常等值 线呈条带状分布，与断层线平行。
在前述三个特征点上，异常值与埋深无关； 异常形态与埋深有关，埋藏越浅，水平梯度越大。
等值线为一系列平行台阶走向的直线，在断面附近等值线最密， 称为“重力梯级带”，且异常向台阶延伸方向单调增大。
第四节 地质体参数的计算
正演与反演
正问题也称正演，是指给定地质异常体的形状、产状 和剩余密度分布，通过计算得出重力异常的大小、特 征和变化规律等。
反问题也称反演，是指根据重力异常的数值大小、变 化规律等场的特征，结合已知的地质资料和地质体的 物性参数，求解地质体的形状和空间位置等。
正问题从给定地球物理模型，通过数值计算或物理模拟，得 出相应地球物理场的过程，目的是认识和掌握地球物理场的 特征与场源之间的对应关系；
当α=90°（垂直断层）时，重力异常极大值 与极小值绝对值相等，曲线以原点O为中心对 称
当α<90°（正断层）时，下降盘一侧异常极 小值明显
当α>90°（逆断层）时，上升盘一侧异常极 大值明显

点的详细研究，寻找局部构造或岩、矿体。 细测：在已发现的构造或成矿有利的岩体上进行的精细测量，
目的在于确定地层或岩、矿体的产状特征。
比例尺及测网应根据工作任务、探测对象的规模及异常特
征而定。测线应尽量垂直于探测对象的走向，探测对象大致 位于测区的中心。普查时应至少有两条测线，每条测线至少 有两个测点通过异常；详查时应有3～5条测线，每条测线有5 ～10个测点通过异常；细测的点、线距应能反映异常的细节 ；预查是沿交通线做的路线测量，要求平面图上每平方厘米 有1～2个测点。
特别注意：引起重力异常的必要条件是岩层密度必须在横 向上有变化，对于一组横向上密度均匀分布的岩层，则无 论它们在纵向上密度变化有多大，也不能引起重力异常。 要获得探测对象产生的重力异常，一般应具备如下条件： （1）必须有密度不均匀体存在，即探测对象与围岩间要 有一定的密度差。
第二，仅有密度不均匀体的分布，并不一定能产生重力异 常。密度不均匀体还必须沿水平方向有密度变化，才能引 起重力异常。
七、重力异常的转换处理
重力异常的迭加 两个以上地质体引起的叠加异常，在形态、幅值和范围上，不同于
单个地质体引起的异常，下面以单斜异常与球体异常的叠加异常为例 说明 。
重力异常的分离 重力异常可分为区域异常和局部异常。 区域异常：分布较广的中深部地质因素引起的重力异常，
其特征是异常幅值较大，异常范围也较大， 但异常梯度小。 局部异常：相对区域因素而言，范围有限的研究对象（如 构造矿产）引起的范围和幅值较小的异常，但 异常梯度相对较大。局部异常也称剩余异常。 注意：区域异常和局部异常是相对而言的，没有绝对的划 分标准，应视研究的问题而言。
正演：给定地下某种地质体的形状、产状和剩余密度等，通过 理论计算求取它在地面或空间范围内引起的异常大小、特征和 变化规律等，即“由源求场”。

△gz
△g
FHale Waihona Puke rh1R0
测量垂直梯度原理 gz h2 h1
g h2 g h1
g ( z z ) g ( z )) g h1 g h2 z h2 h1
△g △g(x+△x) △g(x-△x)
△gx
A（x,0,0）

△g
F r
h
1
R
0
2 x1
2 3
2 3
2 3
h2
n 2 3
（n 1 ）
x1 h
n
（n 1）
2 3
• （3）反演剩余质量
m g max G 2 h
• （4）反演半径
g max h 2 m G
g max h 2 m G
4 3 m R 3
3 m R( ) 4
• 重力异常的正反演（正反演问题的关系：异常场源（地
形状
质因素产生的剩余质量）和重力异常之间的对应关系（互相关系）包 括数量上关系。 ）
大小
异常场源 位置 产状 深度 物性
根据数学物理方法： 万有引力 重力异常的 推断：定性或者定量 △g
分布规律 形态特征 幅度大小
A F △g
1）正问题是反问题的基础； 2）反问题强烈依赖于正问题。
2 7 2 2
②均匀的水平圆柱体（二维水平柱状体）
• • • • • •
在实际的地质现象中，如长轴背斜、向斜等， 可以近似看成水平圆柱体来讨论。 水平柱状体：向两端无限延伸 半径：R 埋深：h 延伸方向：y 剩余密度
定义：线密度
S R 2 dd
hx g x 4G 2 ( x h2 )2 h2 x2 g z 2G 2 ( x h2 )2 h 2 3x 2 g zz 4Gh 2 ( x h 2 )3