高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲

直线与平面垂直的判定【知识梳理】1. 直线与平面垂直的定义(1) 自然语言：如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线I与平面a 互相垂直，记作I丄a直线I叫做平面a的垂线，平面a叫做直线I的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.(2) 图形语言：如图.画直线I与平面a垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3) 符号语言：任意a? a,都有I丄a? 1丄公2. 直线与平面垂直的判定定理(1) 自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.(2) 图形语言：如图所示.(3)符号语言：a? a，b? a，a A b = P，1 丄a，1 丄b? 13.直线与平面所成的角(1) 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，巴做这条直线和这个平面所成的角.如图，/ PAO就是斜线AP与平面a所成的角.(2) 当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3) 当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4) 线面角B的范围：0 °90 °.【常考题型】题型一、线面垂直的定义及判定定理的理解【例1】下列说法中正确的个数是()①如果直线I与平面a内的两条相交直线都垂直，则I丄a；②如果直线I与平面a内的任意一条直线垂直，则I丄a；③如果直线I不垂直于a，则a内没有与I垂直的直线；④如果直线I不垂直于a，则a内也可以有无数条直线与I垂直.A . 0B . 1C. 2D. 3［解析］由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当不垂直时，I可能与a内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.［答案］D【类题通法】1 .对于线面垂直的定义要注意"直线垂直于平面内的所有直线”说法与"直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.2•判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.【对点训练】1. 下列说法中，正确的是（）A .若直线I与平面a内无数条直线垂直，则I丄aB .若直线I垂直于平面a,则I与平面a内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C.若a// b, a? a, I丄a,贝U I丄bD .若a丄b, b丄a,贝U a / a解析：选C 当I与a内的任何一条直线都垂直时，I丄a,故A错；当I丄a时，I与a内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在a内，所以D错误.题型二、线面垂直的判定【例2】如图所示，在三棱柱ABC —A I B I C I中，侧棱AA i丄底面ABC,AB = AC= 1 , AA i = 2,Z B i A i C i= 90° D 为BB!的中点.求证：AD丄平面A1DC1.［证明］・.AA1丄底面ABC,平面A1B1C1/平面ABC ,••AA1 丄平面A1B1C1,••A1C11AA1.又/B1A1CL 90°「A1C1 JA1B1.而A1B1Q AA1 = A1,•AC1 丄平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B ,/A1C11AD.由已知计算得 AD = □.；2, A i D = 2, AA i = 2. •'AD 2+ A i D 2= AA 1, •AD!AD.・.A i C i Q A i D = A i , •AD 丄平面A i DC i . 【类题通法】1 .用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法.2. 线线垂直与线面垂直的转化关系.3. 解决线面垂直的常用方法： (1) 利用勾股定理的逆定理.(2) 利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线. (3) 利用线面垂直的定义.⑷利用平行转化，即 a /b , b Jc ，则a Jc. 【对点训练】2•如图，直角三角形 ABC 所在平面外有一点 为斜边AC 的中点.⑴求证：SD 丄平面ABC ;⑵若AB = BC ,求证：BD 丄平面SAC.有 AD = DC = BD ，所以△ ADS^zBDS. 所以Z BDS =Z ADS = 90° 即 SD1BD.又AC A BD = D , AC , BD?平面 ABC ，所以SD 丄平面ABC. ⑵因为AB = BC , D 为AC 的中点，所以BD 丄AC.又由 ⑴知SDJBD ，于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，所以BD 丄平面SAC.线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的定义线面垂直.证明：⑴因为SA = SC , D 为AC 的中点，所以 SD J AC.则在 Rt △KBC 中,S,且 SA = SB = SC ,点 D设0为底面中心,题型三、直线与平面所成的角【例3】 如图所示，在正方体 ABCD — A I B I C I D I 中，E 是棱DD i 的中点.求直线 BE 与所以EM /AD.又在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AD 丄平面ABB i A i , 所以EM 丄平面ABB i A i ,从而BM 为直线BE 在平面ABB i A i 上的射影，左BM 即为直线BE 与平面ABB i A i 所成的角. 设正方体的棱长为 2,贝U EM = AD = 2, BE =」22+ 22+ i 2= 3, EM 2于是在 Rt^BEM 中，sinZEBM = =-,BE 3 2即直线BE 与平面ABB i A i 所成的角的正弦值为3. 【类题通法】求斜线与平面所成角的步骤(1) 作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂 足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.(2) 证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3) 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 【对点训练】3•已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值. 解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为2a.平面ABB I A I 所成的角的正弦值.［解］取AA i 的中点M ,连接EM , BM ,因为E 是DD i 的中点，四边形 ADD 1A 1为正方形,则/SAO 为SA 与平面ABC 所成的角.【练习反馈】1•一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 （）A .平行B .垂直C .相交不垂直D .不确定答案：B2•如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 与平面a 所成的角是（）A . 60 ° D . 120解析：选A Z ABO 即是斜线AB 与平面a 所成的角, 1在 Rt △KOB 中，AB = 2BO ，所以 cos Z ABO = 2, 即 /ABO = 60°3•如图所示，三棱锥 P — ABC 中，PA 丄平面 ABC , PA = AB ,则直线 PB 与平面ABC 所成的角等于 ___________ .解析：因为FA 丄平面ABC ,所以斜线PB 在平面ABC 上的射影为AB , 所以Z PBA 即为直线PB 与平面ABC 所成的角.在△ FAB 中，/BAP = 90°, PA = AB ,所以Z PBA = 45 °,即直线PB 与平面ABC 所成的角等于45 °答案：454•已知PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PC 丄BD ，则平行 四边形一定是在Rt 竺OA 中，：AO =a ,Aoj33a-Cos/SAO = SA = 2a__3 "6，即侧棱与底面所成角的余弦值为"6.C . 30 °a 上的射影BO 的2倍，则B . 45 °解析：连接AC、BD，则AC与BD交于点O.法知道它的对错。

线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义假如一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判断定理和性质定理判断定理：假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判断定理：假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判断定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 .逆定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例 1 】如下图，已知点S 是平面 ABC 外一点，∠ABC=90°，SA⊥平面 ABC，点 A 在直线 SB 和 SC 上的射影分别为点E、F，求证： EF⊥ SC.【解前点津】用剖析法找寻解决问题的门路，假定EF⊥ SC 建立，联合AF⊥ SC 可推证 SC⊥平面 AEF，这样例1题图SC⊥ AE，联合 AE⊥SB，可推证 AE⊥平面 SBC，所以证明AE⊥平面 SBC 是解决本题的重点环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，能够推证 BC⊥ AE，联合 AE⊥ SB 达成 AE⊥平面 SBC 的证明.【规范解答】【解后概括】题设中条件多，图形复杂，联合题设理清图形中基本元素之间的地点关系是解决问题的重点.【例 2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥ N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.【解前点津】由求证想判断，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c b ⊥ c;(2) a⊥α,bαa ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后概括】处于特别规地点图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线” .所谓“一个面” ：就是要确立一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线” ：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是重点的一条线，牵一发而动浑身，应用时一般可按下边程序进行操作：确立垂面、抓准斜线、作出垂线、连接射影，寻第四条线.【例 3】已知如图 (1) 所示，矩形纸片AA′A′A,B、C、B、C1分别为 AA ′,A A′的三平分点，1111将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥ BC1，求证:A1C⊥ AB1.例 3 题图解 (1)【解前点津】题设主要条件是AB1⊥ BC，而结论是AB1⊥ A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1 A1上作文章，只需取 A1 B1中点 D1，就把异面直线AB 1与 BC1垂直关系变换到ABB1 A1同一平面内 AB1与 BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与 A1 C 垂直用同法（对称原理）变换到同一平面，取AB 中点 D 即可，只需证得A1D 垂直于 AB 1，事实上 DBD 1 A 1，为平行四边形，解题门路清楚了.【解后概括】证线线垂直主要门路是：（ 1）三垂线正逆定理，（ 2 ）线面，线线垂直相互转变.利用三垂线正逆定理达成线线归面工作，在平面内达成作解任务.证线线垂直，线面垂直，经常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这类转变思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽略的常用方法.【例 4 】空间三条线段AB,BC,CD ,AB ⊥BC,BC⊥ CD,已知 AB=3, BC=4, CD =6,则 AD 的取值范围是.【解前点津】如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,例4题图AD 1的长是 AD 的最小值,此中 AH ⊥ CD 1,AH = BC=4, HD 1=3,∴AD 1=5;在直角△AHD 2中 ,CD2 =6,AD 2是 AD 的最大值为HD 22AH 2(6 3)2 4 297【解后概括】本题出题形式新奇、灵巧性大，好多学生对此类题感觉无从下手,其实沉着剖析，找出隐蔽的条件很简单得出结论.●对应训练分阶提高一、基础夯实1.设M表示平面，a、b表示直线，给出以下四个命题：① a // bM ② a Ma//b③ a M∥④ a // Mb⊥M .bb M a b b Ma M ab 此中正确的命题是()A. ①②B.①②③C.②③④D.①②④2.以下命题中正确的选项是()A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必然垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如下图，在正方形ABCD 中， E、F 分别是 AB、 BC 的中点.此刻沿 DE、DF 及 EF把△ADE、△CDF 和△BEF 折起，使 A、 B、 C 三点重合，重合后的点记为P.那么，在四周体P— DEF 中，必有()第 3题图A. DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，以下命题正确的选项是()A. 过不在a、b上的一点P 必定能够作一条直线和a、 b 都订交B.过不在a、b上的一点P 必定能够作一个平面和a、 b 都垂直C.过a必定能够作一个平面与 b 垂直D. 过a必定能够作一个平面与 b 平行5.假如直线l,m与平面α ,β,γ知足:l=β∩γ,l∥α,mα和 m ⊥γ,那么必有()A. α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD. α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1, AC =2, PC=1，则 P 到AB 的距离为()2535C. D.557.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、 b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直此中正确命题的个数为()8.d是异面直线a、b 的公垂线，平面α、β知足a⊥α，b⊥β，则下边正确的结论是()A. α与β必订交且交线m∥d或m与d重合B.α与β必订交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必订交且交线m与d必定不平行D.α与β不必定订交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出以下命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥ l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥ l；④若m∥l，则m⊥α，此中真命题的序号是()．．．A. ①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线 l⊥平面α，直线 m 平面β，给出以下四个命题：①若α∥β，则l⊥m ；②若α⊥β，则 l∥m ；③若 l∥m ，则α⊥β；④若 l⊥ m ，则α∥β.此中正确的命题是()A. ③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思想激活11.如下图，△ ABC 是直角三角形， AB 是斜边，三个极点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为 A′，B′，C′，假如△A′B′C′是正三角形，且 AA ′＝3cm， BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是.第12题图第 11题图第13题图12. 如下图 ,在直四棱柱A1B1C1 D1— ABCD 中,当底面四边形ABCD 知足条件时,有A1C ⊥ B1D1(注:填上你以为正确的一种条件即可,不用考虑全部可能的情况)13. 如下图，在三棱锥V— ABC 中，当三条侧棱VA、VB、 VC 之间知足条件时，有VC⊥ AB.(注：填上你以为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如下图 ,三棱锥V- ABC中 ,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高 .(1) 求证 :VC⊥AB ;(2)若二面角 E— AB— C 的大小为30°,求 VC 与平面 ABC所成角的大小.第 14题图15.如下图， PA⊥矩形 ABCD 所在平面， M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点.(1)求证： MN ∥平面 PAD.(2)求证： MN ⊥ CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN ⊥平面 PCD.第15题图16.如下图，在四棱锥 P— ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ BAD ＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3 .(1)求证： BD ⊥平面 PAD.(2)若 PD 与底面 ABCD 成60°的角，试求二面角 P— BC— A 的大小.第16题图17. 已知直三棱柱ABC - A1B1 C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1 ，AA1 = 6 ， M是 CC1的中点，求证： AB1⊥ A1M ．18. 如下图，正方体ABCD — A′B′C′D′的棱长为a，M 是 AD 的中点， N 是 BD′上一点，且 D′N ∶NB ＝1∶2， MC 与 BD 交于 P.(1)求证： NP ⊥平面 ABCD.(2)求平面 PNC 与平面 CC′D′D 所成的角.(3)求点 C 到平面 D′MB 的距离.第 18题图第 4 课线面垂直习题解答两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.由线面垂直的性质定理可知 .折后 DP⊥ PE,DP ⊥ PF， PE⊥ PF.过 a 上任一点作直线 b ′∥b,则 a，b ′确立的平面与直线 b 平行.依题意 ,m⊥γ且m α,则必有α⊥γ,又由于l= β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m ,应选 A.过 P 作 PD⊥AB 于 D，连 CD，则 CD⊥AB，AB= AC 2BC 2 5 ，CD AC BC2，AB5∴PC2 CD214 3 5 PD=5.5由定理及性质知三个命题均正确.明显α与β不平行 .垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.∵α∥β，l⊥α，∴l⊥ m11.3cm 2设正三角A′B′C′的边长为a. 2∴AC2= a2+1, BC2= a2+1, AB ２= a2+4，又 AC2+ BC2= AB 2，∴a2=2．S△A′B′C′= 3 a23cm 2．4 212.在直四棱柱 A1B1C1D1— ABCD 中当底面四边形 ABCD 知足条件 AC⊥BD (或任何能推导出这个条件的其余条件，比如 ABCD 是正方形，菱形等)时,有 A1 C⊥ B1D1(注:填上你以为正确的一种条件即可,不用考虑全部可能的情况).评论：本题为探究性题目，由本题开拓了填空题有探究性题的新题型，本题实质考察了三垂线定理但答案不唯一,要求思想应灵巧.13.VC⊥VA， VC⊥ AB.由 VC⊥VA， VC⊥AB 知 VC⊥平面 VAB.14.(1) 证明 :∵H为△VBC的垂心 ,∴VC⊥BE,又 AH ⊥平面 VBC,∴BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影,∴AB ⊥ VC.(2)解 :由 (1) 知VC⊥AB,VC⊥BE,∴VC⊥平面 ABE,在平面 ABE 上,作 ED⊥ AB ,又 AB⊥ VC,∴AB ⊥面 DEC.∴AB ⊥CD,∴∠EDC 为二面角 E— AB— C 的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面 VCD,∴VC 在底面 ABC 上的射影为CD.∴∠VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角,又 VC⊥ AB,VC⊥ BE,∴VC⊥面 ABE,∴VC⊥ DE,∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面 ABC 所成角为60°.15.证明： (1) 如下图，取PD的中点E，连接AE，EN，则有 EN∥CD ∥AB∥AM ， EN＝1CD＝1AB＝ AM ，故 AMNE 为平行四边形.22∴MN ∥AE.∵AE 平面 PAD， MN 平面 PAD，∴MN ∥平面 PAD.(2)∵PA⊥平面 ABCD ，∴PA⊥ AB.第 15 题图解又 AD ⊥ AB ，∴AB⊥平面 PAD.∴AB ⊥AE，即 AB⊥ MN .又 CD∥AB ，∴MN ⊥ CD.(3)∵PA⊥平面 ABCD ，∴PA⊥ AD .又∠PDA ＝45°，E 为 PD 的中点.∴AE⊥ PD，即 MN ⊥ PD.又 MN ⊥CD，∴MN ⊥平面 PCD.16.如图 (1) 证：由已知AB＝4 ，AD＝２，∠BAD＝60 °，故 BD2＝ AD 2+ AB2-2 AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×1＝12.2又 AB2＝AD2+ BD2，∴△ABD 是直角三角形，∠ ADB ＝90°，即 AD ⊥ BD .在△PDB 中， PD ＝ 3 ， PB＝15 ， BD＝12 ，第 16 题图解∴PB2＝ PD 2+ BD2，故得 PD⊥ BD .又 PD∩AD ＝D，∴BD ⊥平面 PAD.(2)由 BD ⊥平面 PAD， BD 平面 ABCD.∴平面 PAD⊥平面 ABCD.作 PE⊥ AD 于 E，又 PE平面 PAD，∴PE⊥平面 ABCD ，∴∠PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角.33∴∠PDE＝60°，∴PE＝ PD sin60°＝ 3.22作 EF⊥ BC 于 F，连 PF，则 PF⊥BF，∴∠PFE是二面角 P— BC— A 的平面角.又 EF＝ BD ＝ 12 ，在Rt△PEF中，3PE23.tan ∠PFE＝2 34EF3故二面角 P— BC— A 的大小为arctan.417. 连接AC1，∵AC32CC1. MC 16C1 A12∴Rt △ACC1∽Rt △MC1A1，∴∠AC1 C=∠MA 1 C1，∴∠A1MC 1+∠AC1C=∠A1 MC 1+∠MA 1C1=90°.∴A1M ⊥ AC1,又 ABC -A1 B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥ B1C1，又 B1C1⊥ A1 C1，∴B1C1⊥平面 AC1M .由三垂线定理知AB1⊥ A1 M .评论：要证 AB1⊥ A1M ，因 B1 C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转变成证AC1⊥ A1 M ，而 AC1⊥ A1 M 必定会建立．18.(1) 证明：在正方形ABCD 中，1∵△MPD ∽△CPB，且 MD ＝BC，∴DP∶PB＝ MD ∶BC＝1∶2.又已知 D′N∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面 ABCD .(2)∵NP ∥DD ′∥CC′，∴NP 、 CC′在同一平面内， CC′为平面NPC 与平面 CC′D′D 所成二面角的棱.又由 CC′⊥平面ABCD，得 CC′⊥CD ，CC′⊥CM ，∴∠MCD 为该二面角的平面角.在 Rt △中可知MCD∠MCD ＝arctan 1，即为所求二面角的大小 . 2(3)由已知棱长为a MBC面积S MBD S＝6a 2，设所求距离为h，可得，等腰△1＝ a2，等腰△′面积 224即为三棱锥 C— D′MB 的高.∵三棱锥 D′—BCM 体积为1S1 DD1S2 h ，33∴h S1 a 6 aS23。

线面角的求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

BMHSCA解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB，易得h=12／5 ，设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5，∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin0.8 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cosθ2（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cosθ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1．平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是 斜线在平面α内的射影。

文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂 直方法总结精编版
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
1
0
、
倚
南
窗
以Leabharlann 寄傲，审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特

（3）投影法：利用S投影面=S被投影面·cosθ.
（4）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直 线，作出棱.
已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则
π
侧面与底面所成的二面角等于 3 .
（设O为底面ABCD的中心，E为BC边
的中点，则∠PEO即为侧面与底面所成
二面角的平面角，
∵底面对角线的长为2 6 ，
3.如何用两平面垂直的定义证明平面与平面垂直?
两平面垂直实际上是由直线与平面垂直和线线垂直来定 义的，利用这个定义可直接证明两平面垂直，其步骤为：
（1）找到两个相交平面α,β的交线a及这两个平面与第 三个平面γ相交所得到的两条交线b,c; （2）证明a⊥γ,b⊥c; （3）根据定义，得到α⊥β. 4.在二面角的学习中应注意什么问题? （1）二面角的平面角的概念应注意强调:顶点在二面角 的棱上,两条边分别在二面角的两个面内,且这两条边都 垂直于二面角的棱,这样选取的角的大小与角的位置的 选取无关.
2.怎样理解直线和平面所成的角？
直线和平面所成的角问题中主要是斜线和平面所成角 问题.斜线和平面所成角的定义中给出了求解斜线和平 面所成角的步骤：
①确定斜线和平面的交点（即斜足）；
②经过斜线上除斜足以外的任意一点作平面的垂线， 从而确定斜线的射影； ③由垂线段、斜线段及其射影构成的直角三角形， 通过解此三角形，得到斜线和平面所成的角，同 时要注意直线和平面所成角的范围. 在求解斜线和平面所成角的过程中，确定点在直线上 或平面上的射影是关键，确定点在平面上射影位置有 以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面上 的射影上； ②利用垂直关系得出线面垂直，确定射影.
（3）教材中例1可以作为结论使用： 过一点和已知平面垂直的直线只有一条. （4）如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直 线平行，可作为两直线平行的一种判定方法. 3.（1）线面垂直的定义中的“任何一条直线”这一 词语，它与“所有直线”是同义词，即直线和平面内 的所有直线垂直. （2）线面垂直的判定定理的条件中，“平面内的两 条相交直线”是关键性词语，证明时一定要明确指出， 弄清定理的条件是掌握好定理的关键. （3）转化思想在本学案中的应用: 线线垂直 线面垂直. 在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活 选取恰当的证明方法.

8.6.1 空间直线、平面的垂直（精讲）
考点一 线面垂直 【例 1-1】（2022·高一课时练习）如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 ，求证： BD1 平面 AB1C ．
【答案】证明见解析 【解析】证明：∵ A1D1 平面 AA1B1B ， AB1 平面 AA1B1B ∴ A1D1 AB1 ∵四边形 AA1B1B 是正方形∴ AB1 A1B 又 A1D 平面 A1BD1 ， A1B 平面 A1BD1 ， A1D1 A1B A1∴ AB1 平面 A1BD1 ． ∵ BD1 平面 A1BD1 ∴ AB1 BD1． 同理可证： B1C BD1 ． 又 AB1 平面 AB1C ， B1C 平面 AB1C ， AB1 B1C B1 ，∴ BD1 平面 AB1C ． 【例 1-2】（2022·高一课时练习）如图，已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，各棱长都为 a ，底面 ABCD 是正方 形，顶点 A1在平面 ABCD 上的射影是正方形 ABCD 的中心，求证： A1C 平面 BDD1B1 ．
【答案】证明见解析 【解析】证明：在正方形 ABCD 中， AC BD O ，则 O为 AC 、 BD 的中点，且 BD AC ，
A1O 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ， A1O AC ，则 A1C AA1 a ， AC 2 AB 2a， AA12 A1C2 AC2 ， A1C AA1 ， 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， BB1 //AA1 ， A1C BB1， A1O 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ， BD A1O ， BD AC ， AC A1O O ， AC 、 A1O 平面 AA1C ， BD 平面 AA1C ， A1C 平面 AA1C ， A1C BD ， BB1 BD B ， BD 、 BB1 平面 BDD1B1 ，因此， A1C 平面 BDD1B1 .

立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。

证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。

变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。

变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。

思考：三棱锥中最多有几个直角三角形？
思考：三棱锥P-ABC中最多有几个直角三角形？
P
A
O
B
C
例3、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，
求证：PD⊥平面ABC.
证明： ∵PA=PB，D为AB中点
P
∴ PD⊥AB，连接CD，
∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD,
小结：线面垂直证明的难点突破
由于线面垂直的证明往往需要通过线线、线面垂直的 不断转化，所以我们一定要了解给出几何体中的已有 的垂直关系，进而寻找目标平面内与已知直线垂直的 直线。
特别是异面线线垂直的证明有一定难度，常常要转化 为先证一条直线和另一直线所在某个平面垂直。这个 平面的发现至关重要。
变题二： 判断：四边相等的四边形，对角线互相垂直
练习1：
（2011北京高考理科）如图，在四棱锥
P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=600，
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)略；
(3)略。
P
D
A
C
B
例2.如图，圆O所在一平面为
P
，
AB是圆O 的直径，C 在圆周上,
知识背景：
1、线面垂直的定义； 2、线面垂直的最基本性质； 3、线面垂直的判定定理。
例1、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
V
K A
C B
例1、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
V
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC

36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
高中数学必修2立体几何专题_ 线面、面面垂直专题总结
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)

直线与平面、平面与平面垂直的性质( 复习课 )【常考题型】题型一、线面、面面垂直的综合问题【例 1】如图，已知直线a⊥ α，直线 b⊥ β，且 AB⊥ a，AB⊥ b，平面α∩β＝ c.求证： AB∥ c.[ 证明 ]如图，过点 B 作直线 a′ ∥a， a′与 b 确立的平面设为γ.由于 a′ ∥a，AB⊥a，所以 AB ⊥a′，又 AB⊥b， a′∩ b＝ B，所以 AB ⊥γ.由于 b⊥β， c? β，所以 b⊥c.①由于 a⊥α， c? α，所以 a⊥c，又 a′ ∥a，所以 a′ ⊥c.②由①②可得c⊥γ，又 AB⊥γ，所以 AB∥c.【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判断定理和性质定理，有时也能够放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)而后再判断它们的地点关系．【对点训练】1.如下图：平面α，β，直线a，且α⊥ β，α∩ β＝AB，a∥ α，a⊥ AB.求证： a⊥ β.证明：∵a∥α，过 a 作平面γ交α于 a′，则 a∥a′∵a⊥AB ，∴a′ ⊥AB.∵α⊥β，α∩β＝ AB，∴a′ ⊥β，∴a⊥β.题型二、求点到面的距离 【例2】 已知△ABC ， AC ＝BC ＝1， AB ＝2，又已知S 是△ ABC所在平面外一点，SA＝ SB ＝ 2， SC ＝5，点P 是 SC 的中点，求点P 到平面ABC的距离．[ 解] 法一： 如下图，连结 PA ， PB.易知△SAC ，△ACB 是直角三角形，所以 SA ⊥AC ，BC ⊥AC.取 AB 、 AC 的中点 E 、F ，连结 PF ， EF ，PE ，则 EF ∥BC ，PF ∥SA.所以 EF ⊥AC ， PF ⊥AC.由于 PF ∩ EF ＝F ，所以 AC ⊥平面 PEF.又 PE? 平面 PEF ，所以 PE ⊥AC.易证△SAC ≌△SBC.由于 P 是 SC 的中点，所以 PA ＝PB .而 E 是 AB 的中点，所以 PE ⊥AB .由于 AB ∩ AC ＝A ，所以 PE ⊥平面 ABC.进而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离．151 2在 Rt △AEP 中， AP ＝2SC ＝ 2 ，AE ＝2AB ＝ 2 ，225 1 3所以 PE ＝ AP －AE ＝4－ 2＝ 2 ， 即点 P 到平面 ABC 的距离为3 2.法二： 如下图，过 A 作 AE ∥BC ，过 B 作 BF ∥AC ，交 AE 于点 D ，则四边形 ACBD 为正方形．连结 SD.由于 AC ⊥SA ， AC ⊥AD ， SA ∩ AD ＝ A ，所以 AC ⊥平面 SDA.所以 AC ⊥SD.又由题意，可知BC ⊥SB.由于 BC ⊥BD ，SB ∩ BD ＝ B ，所以 BC ⊥平面SDB ，所以 BC ⊥SD.又 BC ∩ AC ＝C ，于是 SD ⊥平面 ACBD .所以 SD 的长为点 S到平面 ABC 的距离．在 Rt△SDA 中易得 SD＝SA2－AD 2＝ 22－ 12＝ 3.由于 P 为 SC 的中点，故点P 到平面 ABC 的距离为13 2SD＝2 .【类题通法】求点到面的距离的重点是确立过点与平面垂直的线段．可经过外形进行转变，转变为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．【对点训练】2.如下图，正四棱柱 ABCD － A1B1C1D1中，底面边长为 2 2，侧棱长为 4， E， F 分别为棱 AB ，BC 的中点， EF∩ BD ＝G.(1)求证：平面 B1EF⊥平面 BDD 1B1；(2)求点 D1到平面 B1EF 的距离．解：证明： (1)连结 AC.∵正四棱柱 ABCD － A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD .又 AC ⊥DD 1，且 BD ∩DD 1＝ D，故 AC⊥平面 BDD 1B1，∵E， F 分别为棱 AB， BC 的中点，故EF ∥AC，∴EF⊥平面 BDD 1B1，∴平面 B1EF ⊥平面 BDD 1B1.(2)解题流程：题型三、折叠问题【例 3】如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿 DE 将△ ADE 折起．(1)假如二面角 A－ DE －C 是直二面角，求证： AB＝AC ；(2) 假如 AB＝ AC，求证：平面ADE ⊥平面 BCDE .[证明 ] (1)过点 A 作 AM ⊥DE 于点 M，则 AM ⊥平面 BCDE ，∴AM ⊥BC.又 AD＝ AE，∴M 是 DE 的中点．取BC 中点 N，连结 MN ， AN，则 MN ⊥BC.又 AM ⊥BC，AM∩ MN＝M，∴BC⊥平面 AMN ，∴AN⊥BC.又∵N 是 BC 中点，∴AB＝ AC.(2)取 BC 的中点 N，连结 AN.∵AB＝ AC，∴AN⊥BC.取 DE 的中点 M，连结 MN ， AM，∴MN ⊥BC.又 AN∩MN＝N，∴BC⊥平面 AMN ，∴AM ⊥BC.又 M 是 DE 的中点， AD＝ AE，∴AM⊥DE .又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的订交直线，∴AM ⊥平面 BCDE .∵AM ? 平面 ADE ，∴平面 ADE ⊥平面 BCDE .【类题通法】解决折叠问题的策略(1) 抓住折叠前后的变量与不变量．一般状况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“ 越过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这种问题的重点．(2) 在解题时认真审察从平面图形到立体图形的几何特点的变化状况．注意相应的点、直线、平面间的地点关系，线段的长度，角度的变化状况．【对点训练】3．如下图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD ＝2AB＝ 2a，BD ＝ 3a， AC∩ BD＝ E，将其沿对角线 BD 折成直二面角．求证： (1) AB⊥平面 BCD ；(2) 平面 ACD ⊥平面 ABD .证明： (1) 在△ABD 中， AB＝ a，AD ＝ 2a， BD ＝3a，222∴AB ＋BD ＝AD ，∴∠ABD ＝ 90°，∴AB⊥BD.又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ，平面 ABD ∩平面 BCD ＝BD ，AB? 平面 ABD，∴AB⊥平面 BCD .(2)∵折叠前四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB⊥BD ，∴CD ⊥BD .∵AB⊥平面 BCD ，∴AB⊥CD .又∵AB∩ BD＝B，∴CD ⊥平面 ABD.又∵CD ? 平面 ACD，∴平面 ACD ⊥平面 ABD .【练习反应】1．如下图，三棱锥P，A，B 是定点，则动点P－ABC 的底面在平面C 运动形成的图形是(α上，且)AC ⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点A．一条线段B．一条直线分析：选 D∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC?平面PAC，且平面PAC∩平面 PBC ＝∴AC⊥平面 PBC.又∵BC? 平面 PBC ，∴AC ⊥BC，∴∠ACB＝ 90°，∴动点 C 运动形成的图形是以AB 为直径的圆，除掉 A 和 B 两点，应选 D.2．在三棱锥P— ABC 中，平面 PAC⊥平面角形， PC＝ 4，M 是 AB 边上的一动点，则PM ABC，∠ PCA ＝ 90°，△ ABC 是边长为 4 的正三的最小值为 ()A．23B．27C．43D．47分析：选B连结CM ，则由题意PC⊥平面 ABC，可得PC⊥CM ，所以 PM＝PC 2＋CM 2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC 中，当CM ⊥AB 时CM有最小值，此时有CM＝4×32 ＝23，所以 PM 的最小值为 2 7.3．若组成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD ，教室内一点墙面α，β，γ的距离分别为 3 m， 4 m,1 m ，则 P 与墙角 B 的距离为 ________ m.P 到三分析：过点P 向各个面作垂线，组成以BP为体对角线的长方体．|BP|＝32＋ 42＋ 1＝26.答案：264．如下图，平面α⊥平面β， A∈ α， B∈ β， AA′⊥ A′ B′， BB′⊥ A′ B′，且 AA′＝ 3， BB′＝ 4，A′ B′＝ 2，则三棱锥 A— A′ BB′的体积 V＝ ________.分析：由题意 AA1⊥面A′ BB′，BB′ ⊥面A′ B′A，则三棱锥 A—A′ BB′中，AA′为高，底面△A′ BB′为 Rt△.∴V A－′BB′ ＝1△′BB′＝1×3×1× 2×4＝ 4.AA′ ·S323答案： 45．如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ.α∩ γ＝ a，β∩γ＝b，且 a∥b，求证：α∥ β.证明：在平面γ内作直线c⊥a.∵α⊥γ，α∩ γ＝ a，∴c⊥α.∵a∥b，∴c⊥b.又∵β⊥γ，β∩ γ＝ b，∴c⊥β，∴α∥β.你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

立体几何垂直总结1线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）—直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD = BD，E是AB的中点。

求证：（1）AB _平面CDE;（2）平面CDE _平面ABC 证明：（1）AE：C卜CE丄AB同理，AD：BD F DE丄AB又CE - DE 二 E AB _ 平面 CDE(2)由(1)有AB —平面CDE又• AB平面ABC，.平面CDE _平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P-ABCD的底面是菱形.PB =PD，E为PA的中点.（I）求证：PC //平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC _平面BDE .C例3、（线线、线面垂直相互转化）已知. ABC中.ACB = 90' ,SA _面ABC , AD _ SC,求证：AD _ 面 SBC .证明：v . ACB =90 °. BC_ AC又 SA_面 ABC SA_ B C BC _ 面 SAC.BC _ AD 又SC_ AD’SC - BC =C AD—面 SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA二AC，点E是线段PC的中点.求证:AE _ 平面 PBC .证明：v PA_|_O所在平面，BC是L O的弦，二BC_PA.又v AB是L O的直径，• ACB是直径所对的圆周角，BC _ AC .v PA门AC二代PA 平面PAC，AC 平面PAC .• •• BC _ 平面 PAC， AE 平面 PAC，••• AE _ BC .v PA二AC，点E是线段PC的中点.• AE _ PC .v PC「|BC =C , PC 平面 PBC， BC 平面 PBC .• AE _ 平面 PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 / DAB= 60°, AE丄BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面AED;证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60°，所以/ ADC = / BCD = 120°.又CB = CD，所以/ CDB = 30°,因此/ ADB = 90°，即AD 丄BD.又AE 丄BD，且AE G AD = A，AE，AD?平面AED，ABCD是等腰梯形，AB // CD，CBB7Dli所以BD 丄平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ ABC 为等 腰直角三角形，/ BAC = 90°且AB = AA i , D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点. 求证：（1）DE //平面 ABC ; （2）B i F 丄平面 AEF.A i例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，A i C 丄 平面BC i D证明：连结AC••• B D 丄A C. AC 为A i C 在平面AC 上的射影 BD_AQAQ 丄平面BC i D同理可证AC_BC i练习；i 、 如图在三棱锥 P — ABC 中，AB = AC ，D 为BC 的中点，PO 丄平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.证明：AP I BC ;D i C iAC12、直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC= BC= qAA l, D是棱AA i的中点，DC i丄BD.证明：DC」BC。

一、基本内容1.线面垂直的判定2.线面垂直的性质3.面面垂直的判定4.面面垂直的性质二、垂直专题1.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。

求证：平面1A CD ⊥平面11BB C C .2.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，AB a =．求证：直线111A D B C ⊥；3.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. 求证：平面AEC PDB ⊥平面；4.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB =1，13AC AA ==，∠ABC=600.求证：1AB A C ⊥；5.直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=o ，12AB AC AA ===，M N 、分别是1BC CC 、的中点， 求证：1B M ⊥平面AMN ；6.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90º。

求证：AB ⊥PC7.如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心,A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==.(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.PBACDE PBCAO D 1B 1C 1D ACA 18.如图,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中22BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.9.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点, 求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD10.如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=o .(Ⅰ)证明:1AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,16AC =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.11.如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面图 4GEF ABCD图 5DGBFCAEC 1B 1AA 1B C12.如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,122AB AC AA ===,120BAC ∠=o ,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l , 说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q ,求三棱锥11A QC D -的体积.13.如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.(1) 证明: BC 1//平面A 1CD;(2) 设AA 1= AC=CB=2,AB=2错误!未找到引用源。

BB1C1C.
【证明】直棱柱ABCD－A1B1C1D1中， BB1 平面ABCD，所以BB1 AC. 又因为BAD＝ADC＝90，AB ＝2AD＝2CD＝2，
所以AC＝ 2，CAB＝45，
所以BC＝ 2，所以BC AC. 而BB1 BC＝B，BB1，BC 平面BB1C1C. 所以AC 平面BB1C1C.
2 所以 D1DO∽ OBP，所以D1OD＋POB＝90， 所以PO D1O，又D1O AC＝O，所以PO 平面D1AC.
通过计算证明线 线垂直
【例3】 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心．求证：OE⊥平面ACD1.
【证明】(1)连结AC，取其 中点O，连结NO、MO，并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点， 所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA. 而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所 以NO⊥CD. 又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为 AC的中点，所以MO⊥CD. 而MO∩NO＝O， 所以CD⊥平面MNO，所 以 CD⊥MN.
2当
B1P PB
＝1时，PO
平面D1
AC.
证明：连结D1O，因为底面ABCD是菱形，
所以O是AC，BD的中点，
因为PA＝PC，OA＝OC，所以PO AC，
又因为ABC＝60，AB＝2，
所以 ABC是等边三角形，BO＝DO＝ 3，
在矩形D1DBB1中，有
D1D DO
6 3
2，OB ＝ BP
3 ＝ 2， 6
所以EF / /BC，
因为AC BC，所以EF EC，EF A1E， 又A1E CE＝E，A1E 平面A1EC，CE 平面A1EC， 所以EF 平面A1EC.

线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直１ 如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,ＡＣ交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面ＭＢD .证明:连结MO ，1A M，∵D Ｂ⊥1A A ,D Ｂ⊥ＡC ，1A AAC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴ＤB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ，则22132A O a =,2234MO a =.在Rt △11A C M 中,22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩D Ｂ=O ，∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.◆利用面面垂直寻求线面垂直２ 如图2,P 是△A ＢC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证：B Ｃ⊥平面ＰＡC .证明：在平面PAC 内作A Ｄ⊥PC 交ＰC 于Ｄ.因为平面PAC ⊥平面PB Ｃ，且两平面交于P Ｃ,AD ⊂平面PAC ,且A Ｄ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得ＡD ⊥平面PB Ｃ． 又∵BC ⊂平面P ＢC ，∴AD ⊥BC .∵PA ⊥平面AB Ｃ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥ＢC .∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．(另外还可证BC 分别与相交直线AD ，A Ｃ垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ）.评注：已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明．3 如图1所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面AB ＣD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ＡBCD , ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面ＳBC ．∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.４ 如图2，在三棱锥A －BCD 中，BC ＝AC ,AD =BD ,作BE ⊥CD ,E 为垂足，作ＡH ⊥B Ｅ于H ．求证：AH ⊥平面B ＣＤ.证明：取A Ｂ的中点Ｆ，连结CF ，ＤF . ∵ACBC =,∴CF AB ⊥．∵AD BD =,∴DF AB ⊥.又CF DF F =，∴AB ⊥平面ＣＤF ． ∵CD ⊂平面CD Ｆ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =, ∴CD ⊥平面A ＢE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥,CD BE E =,∴ AH ⊥平面ＢCD ．评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复,直到证得结论.5 如图３，AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ，E 为垂足,F 是P Ｂ上任意一点， 求证：平面AEF ⊥平面PBC ．证明：∵AB 是圆O 的直径,∴AC BC ⊥.∵PA ⊥平面AB Ｃ,BC⊂平面A ＢC ，∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面ＡPC . ∵BC ⊂平面P ＢC ，∴平面AP Ｃ⊥平面ＰＢC ．∵AE ⊥ＰC ，平面APC ∩平面P ＢC =P Ｃ， ∴AE ⊥平面PBC .∵AE ⊂平面AE Ｆ，∴平面AE Ｆ⊥平面PB Ｃ． 评注:证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.6. 空间四边形ABCD 中,若ＡB ⊥CD ，BC ⊥AD,求证:ＡC ⊥ＢＤAD B O C证明：过A 作ＡO ⊥平面ＢＣD 于O 。

线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A AAC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．◆利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ．∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点， 求证：平面AEF ⊥平面PBC ．证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．∵PA ⊥平面ABC ，BC⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面APC ⊥平面PBC ．∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ．∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．6. 空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BDAD B O C证明：过A 作AO ⊥平面BCD 于O 。

线面垂直证明专题1.直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定:线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。

判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么就垂直另一个平面。

性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

专题一线面垂直的判定应用1 下列条件中，能使直线m⊥α的是（）A m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥αB m⊥b,b∥αC m b=A,b⊥αD m∥b1 如图，在平面α内有ABCD，O是它的对角线的交点，点P在α外，且PA=PC，PB=PD，求证：PO⊥α。

2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD中心，求证：B1O⊥面PAC3 如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥面BCD4 如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD， PAD是等腰三角形，M,N分别是AB,PC的中点，求证：MN⊥面PCD5 如图，在正方体AC1中，M,N,E,F分别是中点。

（1）求证A1E⊥面ABMN；（2）求异面直线A1E与MF所成角的大小。

专题二线面垂直性质的应用1 已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的异于A，B的任意一点，过A作AE⊥PC，垂足为E，如图，求证：AE⊥面PBC2 已知，如图矩形ABCD，过A作SA⊥面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F。

（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG ⊥SD3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB,A1C的中点，求证：MN⊥面A1DC4 如图，底面ABCD为正方形，SA⊥面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB,SC,SD分别于点E,F,G求证：AE⊥SB专题三直线与平面所成的角1 已知直线a是平面α的斜线，b⊂α，当a与b成60°角，且b与a在α内的射影成45°角时，求a与α所成角2 如图，在直三棱柱AB0-A1B1O1中OO1=4，OA=4，OB=3,AOB∠=90°，D是限度A1B1的中点，P是侧棱BB1上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成的角3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AA1，A1D1的中点（1）求D1B与平面AC所成的角的余弦值（2）求EF与平面A1C1所成的角的大小4 如图，l1,l2是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A,B 在L1上，C在l2上，AM=MB=MN。