2018衡水名师原创理科数学专题卷：专题三《基本初等函数》(含答案解析)

2019-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若UA B ⊆，则有（ ）A ．0a =B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a < 2.若复数z 满意341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ）A ．52B ．52- C ． 52或52- D ．124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ） A ．相关系数r 变大 B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．说明变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ） A．(0,2B．2C. D． 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，依据如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A ．B ． C.D ．7.函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图像大致为（ ） A ． B ．C. D ．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不行半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a =，238b =，则输出a 的值是（ ） A ． 68 B ．17 C.34 D ．369.已知e 为自然对数的底数，若对随意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞- 10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，须要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周支配的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周支配播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）A ．6，3B ．5，2 C. 4，5 D ．2，7 11.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（ ）A ．6B ．3C.4D ．512.已知(sin ,sin )2a x x ωω=，1(sin ,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1(0,]8 B ． 5(0,]8 C. 15(0,][,1]88⋃D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 ．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，a =③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形；④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满意*231()n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠. （1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的全部岗位共分为A ，B ，C 三类工种，依据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）依据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板打算为全体职工购置此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购置，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.20.，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的随意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈. （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，务实数a 的取值范围；（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l 的极坐标方程为cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数). （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的一般方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，务实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD 二、填空题 13.2-+ 14.2e15. ①③ 16.911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =； 当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1*3()n n a n N -=∈. （2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--， 所以*113()3n n n T n N -+=-∈. 18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD .由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =.又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又依据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=，所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，1OA OB ==， 所以OD a ==，从而(0,,0)A，(,0,0)B a ，1,0)B ，(0,0,)D a .所以11(,0)CC BB a ==-.由12BC AD =，得1(,)2C a a ，所以1(,)2DC a a =-.设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得000000102ax ax az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 令01y =，则0x =，0z =(3,1,3m =.又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =，所以33cos ,31||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===.故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为31. 19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，则X 的分布列为 保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元），则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）.综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元.（2）购置A类产品的份数为2000060%12000⨯=（份），购置B类产品的份数为2000030%6000⨯=（份），购置C类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元），保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）.20.解：（1）由题意知，椭圆离心率2cea==，即a=，又221)a c+=，所以a=2c=，所以2224b a c=-=，所以椭圆的标准方程为22184x y+=.所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y-=.（2）设000(,)(2)P x y x≠±，则102PFykx=+，22PFykx=-，因为点P在双曲线22144x y-=上，所以121PF PFk k⋅=.设11(,)A x y，22(,)B x y，直线1PF的方程为(2)y k x=+，所以直线2PF的方程为1(2)y xk=-，联立22184(2)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k+++-=，所以2122821kx xk+=-+，21228821kx xk-⋅=-+，所以||AB ===.同理可得221()]||12()1k CD k +=+221)2k k +=+. 由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠，即411cos ()3||||CD AB θ=+=2432=. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=， 即0000(2)(2)()()x x yy ---+--=2，又因为22004x y -=，所以202(4)2x-==2=208x =，204y =.即存在满意题意的点P ，且点P 的坐标为(2)±±.21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a xx+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a <时，令()0g x '>，得10x a<<-，令()0g x '<，得1x a>-，所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞. （2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，即1ln 10x e x a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立. 设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-. 当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞.（3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x e x x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立. 令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->.所以1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的一般方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上.设直线l的参数方程为12xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t为参数），代入24y x=，得280t--=.设点,A B对应的参数分别为1t，2t，则12t t+=128t t=-，所以1212||11||||||t tMA MB t t-+==2218==.23.解：（1）()3g x≥，即|1||1|3x x++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3xx x≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3xx x-<<⎧⎨+--≥⎩或1113xx x≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x≤-或32x≥，所以()3g x≥的解集为3{|2x x≤-或3}2x≥.（2）因为2[2,2]x∀∈-，1[2,2]x∃∈-，使得12()()f xg x≤成立，所以()()([2,2])min minf xg x x≤∈-.又()2ming x=，所以()2([2,2])minf x x≤∈-.当22a-≤-，即4a≥时，()(2)424822minf x f a a=-=-+=-≤，解得3a≥，所以4a≥；当22a-≥，即4a≤-时，()(2)424822minf x f a a==++=+≤，解得3a≤-，所以4a≤-；当222a-<-<，即44a-<<时，22()()42242mina a af x f=-=-+≤，解得a≥或a≤-，所以4a-<≤-4a≤<.综上，实数a的取值范围为(,)-∞-⋃+∞.。

2017-2018学年度上学期高三年级三调考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出 最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.己知集合 A = {X |X 2-3X -10<0},B = {X | v = ln(x-2)},则 4 =( )A. (2,5) C. (-2,2] D. (—2,2)1.答案：C解析：A = {% | x 2 - 3x -10 < 0} = (-2,5), B | y = ln(x - 2)} = (2, +oo),.•.飘= (Y ,2],A (詔)=(-2,2]2.已知复数z 满足（z-i ）（l + 2i ） = i 3 （其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部等于（ ）解析：(z —i)(l + 2i)=f=—i,.：z —i = l + 2z 4故z 的虚部为一593•阅读如图所示的程序框图，若输入的a = —,则输出的厂值是（ ）19A. 9B. 10C. 11D. 12B. [2,5)1 A.—— 52 B.——5 4 C.— 5 2.答案：CD.(1 +2i)(l-2i) 2 4. 2 4.----------- 1, z — -------- 1—1 , 5 5 5 5第3题图3.答案：C] _£x (2k + l)-(2k-1) _]_(_J __________(2k —l)(2k + l) ~2X (2k —l)(2k + l) _ 2(2k-1 _ 2k + lJ所以s=22k9辱= -------- >—,解得k>9,所以取k = 10,再执行一步k = k+l,则输出k = U 2k + l 194若数列心满足心…’二=心纠则数如的第|。

项为()liiiA. B. -^7- C. ----- D.—210<)250100 504.答案：D解析：由山5 = 5 5 ,两边取倒数，得—— =———("M2),故数列丄>a n-\ ~ a n a n ~色+1 色色-1 色+1色、色’ 是等差数列，其首项为公差为丄-丄=丄，所以—=-+丄（“-1）=2% 2 a2 a x 2 a n 2 2 22 2 1色=一，伽= 二——n n ^00100 50x-y 2 05.已知兀,y满足约束条件＜x+yW2 ,则|3x+4j-12|的最小值为（）y N 0A. 5B. 12 C・ 6 D. 45.答案：A解析：作可行域如图所示，则可行域内的任一点（兀,y）到直线3x + 4y-12 = 0的距离d = |3x + ?_12| ,所以 |3x+4y_12|=5t/；由图可知，点4(1,1)到直线3x + 4y-12 = 0的距离最小，所以|3x+4y—12|聞=|3xl + 4xl-12|=56.放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）—1—俯视图第6题图6.答案：C解析：该几何体可以看成是一个底面是扇形的柱体，其表面积7. 在AABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若a 2 + b~ = 2014c 2,则2 tan A - tan B _ 2sin Asin Bcos C _ 2sin AsinBcosCA. 07.答案：CB. 1C. 2013D. 2014解析：cosC = a2+b 2 -< & _ 2013c 2 2aZ?cosC = 2013c 2,由正弦定理，得 2ab lab的值为（)A.兀 + 4B.兀 + 3C.辺 + 4 S = 2x —X ^X 22 +45 2 + 2 + ^-x2x^-x2 |xl = ^ + 4 3602 tan A • tan B tan C(tan A + tan B) 2sinAsinBcos C = 2013sin 2 C ,所以sin Asin Bcos C sin 2B20132 D.辺+ 2tan C(tan A + tan B) sin C(sin A cos B + sin B cos A)sin C sin(A + B)2sin Asin B cos C - 2013 -=2x = 2013 sin 2 C 2 8. 若对于数列[a n ],有任意m,n e N*,满足a,”+”的值为（）析：由 ^m +n =+ 色，色=2 ,当 m — 1 时，色=Q] +。

衡水金卷2018届全国三大联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|540}M x x x =-+≤，{|24}xN x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<< B ．M N R =C ．{|24}MN x x =<≤D ．{|2}MN x x =>2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．33. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+( ) A ．12 B ．2 C ．35 D ． 38- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320mm π5. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线经过圆E ：22240x y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ．52C.2 D ．2 6. 已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan()3a a π⋅=( ) A ．3- B ．3 C.3± D ．33- 7. 执行如图的程序框图，若输出的S 的值为-10，则①中应填()A ．19?n <B ．18?n ≥ C. 19?n ≥ D ．20?n ≥8.已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，2()1cos f x e m x =-++，记2(2)a f =--，(1)b f =--，3(3)c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是( )A ．b a c <<B ．a c b << C.c b a << D ．c a b <<9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为()A ．23π+ B ．12π+ C.26π+ D ．23π+ 10. 已知函数()2sin()(0,[,])2f x x πωϕωϕπ=+<∈的部分图象如图所示，其中5||2MN =.记命题p ：5()2sin()36f x x ππ=+，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin()33y x ππ=+的图象.则以下判断正确的是( )A.p q ∧为真B.p q ∨为假C.()p q ⌝∨为真D.()p q ∧⌝为真11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ()A ．712612+ B ．926+ C. 910+ D ．832612+ 12.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n n S a a n N =+∈，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．71 B ．149 C. 49 D ．8441第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知在ABC ∆中，||||BC AB CB =-，(1,2)AB =，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ． 14. 已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．15. 已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//,CD AB BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且222AB AE BE BC CD =====，动点F 在棱AE 上，且EF FA λ=. （1）试探究λ的值，使//CE 平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82820. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为23.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12//l l ，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.21. 已知函数，()(1)(,)x f x e a x b a b R =-+-∈其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立，求证：(1)324b a +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >，α为参数）.以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()34πρθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.衡水金卷2018届全国高三大联考理科参考答案及评分细则一、选择题1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12：BB二、填空题13. 1 14. 16 15. 57[,]66ππ16. 2482ππ- 三、解答题17. 解：（1）原式可化为，21()cos 3sin cos 2f x x x =--，1cos 231sin 2222x x +=--， sin(2)sin(2)66x x ππ=-=--， 故其最小正周期22T ππ==，令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为，()23k x k Z ππ=+∈. （2）由（1），知()sin(2)6f x x π=--，因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<.又()sin(2)16f A A π=--=-，故得262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==. 故193sin 24ABC S bc A ∆==. 18.（1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==.∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ， ∴//CE 平面BDF .（2）取AB 的中点O ,连接EO . 则EO AB ⊥.∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥，∴EO ⊥平面ABCD .∵//BO CD ，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴//BC DO . 又∵BC AB ⊥，∴//AB DO .由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则(0,0,0)O ，(0,1,0)A ，(0,1,0)B -，(1,0,0)D ，(1,1,0)C -，(0,0,3)E . 当1λ=时，有EF FA =， ∴可得13(0,,)22F . ∴(1,1,0)BD =，(1,1,3)CE =-，33(1,,)22BF =. 设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,330,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令3z =，得1y =-，1x =.即(1,1,3)n =-.设CE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin |cos |CE n θ=<⋅>=|113|1555--+=⨯. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值，2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=； 11999()10202040D X =⨯⨯=.20. 解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-，故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴. 所以令直线MN 的方程为1x my =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. 此时221212(1)[()]MN m y y y y =++-， 同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，33(,)P x y ，44(,)Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+， 此时223434(1)[()4]PQ m y y y y =++-. 故||||MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=， 于是有12120x x y y +=.又1212(1)(1)x x my my =--，21212()1m y y m y y =-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=，整理得到22125034m m --=+， 即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意得'()(1)xf x e a =-+.当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，当1a =-时，(1)3024b a +=<成立. 当1a <-时，令c 为1-和11ba -+中较小的数，所以1c ≤-，且11bc a-≤+.则1x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.所以1()(1)(1)0xf c e a c b e b b -=-+-≤---<，与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++. 令22()ln (0)g x x x x x =->，则'()(12ln )g x x x =-.令'()0g x >，得0x e <<，令'()0g x <，得x e >，故()g x 在区间(0,)e 内单调递增， 在区间(,)e +∞内单调递减. 故max ()()ln 2eg x g e e e e ==-=， 即当11a e a e +=⇒=-时，max ()2e g x =. 所以22(1)(1)(1)ln(1)2e a b a a a +≤+-++≤. 所以(1)24b a e+≤. 而3e <， 所以(1)324b a +<. 22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=. 曲线C 上的点到直线l 的距离，|cos sin 3|2d αα+-==|2sin()3|42πα+-，当sin()14πα+=-时，max |23|23222d ++==， 即曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2322+.（2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴对R α∀∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立， 即21cos()3t αϕ+-<（其中1tan tϕ=）恒成立， ∴213t +<.又0t >，∴解得022t <<， ∴实数t 的取值范围为(0,22).23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得1,()333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号， ∴[3,)M =+∞.原不等式等价于2331t t t-+-， 22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==.∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴2(3)(1)0t t t-+≥. ∴2313t t t+≥+.。

2018届高三一轮复习理科数学专题卷专题三 基本初等函数考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1．【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 易函数 2212x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是（ ）A.RB.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.()2,+∞ D.()0,+∞2. 【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 中难设函数 ()1221,0,0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩ 如果 ()01f x >，则0x 的取值范围是（ ）A.()1,1- B.()()1,01,-+∞ C.()(),11,-∞-+∞D.()(),10,1-∞-3．【2017课标1，理11】 考点07 难设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z4．【来源】2016-2017学年黑龙江虎林一中月考 考点08 易已知函数()()3log 472a f x x =-+（0a >且1a ≠）过定点P ，则P 点坐标（ ） A ．()1,2 B ．7,24⎛⎫⎪⎝⎭C.()2,2 D ．()3,2 5．【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08 易若函数[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x）（ ，则411log 33f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭（ ）A.31 B.3 C.41D.46．【2017北京，理8】 考点08中难根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（ ）（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053（C ）1073 （D ）1093[7．【来源】2016-2017学年浙江杭州西湖高级中学期中 考点08中难函数2()log )f x x =的最小值为（ ）A ．0B ．12-C ．14-D ．128．【2017江西九江三模】考点07，考点08 易已知 1.30.72,4,ln6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a << 9．【2017天津，理6】 考点07考点08，中难已知奇函数()f x 在R 上是增函数， ()()g x x f x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A a b c << B c b a <<C b a c <<D b c a <<10．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点07考点08，难已知函数()()1222,0log ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()0f f m <⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A.(]()13,1,12,2⎛⎤---+∞ ⎥⎝⎦ B.(]()21,21,1,log 32⎛⎤-∞--- ⎥⎝⎦C.(]()1,10,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D.(](]()2,31,01,log 3-∞--11．【来源】2016-2017学年黑龙江佳木斯一中期中 考点09 易 幂函数m x m mx f )1()(2--=在()0,+∞上是增函数，则m =（ ）A ．2B ．-1C ．4D ．2或-1 12．【来源】2017届河北定州中学高三周练 考点09 中难给出下列函数①()x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21；②()2x x f =；③()3x x f =；④()21x x f =；⑤()x x f 2log =．其中满足条件f>12()()2f x f x + )0(21x x <<的函数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2016届辽宁省抚顺一中高三四模 考点07 中难当(,1]x ∈-∞，不等式212401x x a a a ++⋅>-+恒成立，则实数a 的取值范围为________.14．【来源】2016届四川南充高中高三4月模拟 考点07 中难已知函数()22x x f x -=-，若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 15．【来源】2016届吉林省白城一中高三下4月月考 考点08 中难 已知函数1)391ln()(2+-+=x x x f ，则=+)21(lg )2(lg f f _______. 16．【来源】2016届辽宁省大连师大附中高三下学期精品试卷 考点09 难若12axx >对于(0,1)x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______________.三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2017届山东潍坊中学高三上学期月考 考点07，考点08 易 化简求值：（1）())21132270.0021028---⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）()266661log 3log 2log 18log 4⎡⎤-+÷⎣⎦g.18．（本题满分12分）【来源】2017届吉林镇赉县一中高三上月考 考点07 易 已知函数()(,xf x ka k a -=为常数,01a a >≠且）的图象过点()()0,1,3,8A B ．（1）求实数,k a 的值；（2）若函数()()()11f xg x f x -=+,试判断函数()g x 的奇偶性, 并说明理由．19．（本题满分12分）【来源】2017届湖北襄阳一中高三月考 考点07 中难 已知函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且．（1）当2a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）当[]0,1x ∈时，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（本题满分12分）【来源】2017届云南曲靖一中高三月考 考点08 易 已知函数)32(log )(221+-=ax x x f .（1）当1-=a 时，求函数的值域；（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围；不存在，请说明理由. 21．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年河南郸城县一高中月考 考点08 中难已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数．（1）求k 的值；（2）若函数()()[]122421,0,log 3f x xx h x m x +=+-∈ ，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22．（本题满分12分）【来源】2017届湖南郴州市高三上学期质监一 考点08 难 已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈.（I ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值；（II ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．【答案】B【解析】∵()111222≥+--=+-x x x ，∴函数 2212x xy -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.2.【答案】C【解析】当00≤x 时，112>--x ，则10-<x ，当00>x 时，1210>x ，则10>x ，故0x 的取值范围是()(),11,-∞-+∞ ，故选C. 3．【答案】D【解析】令235(1)xyzk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 4．【答案】C【解析】令471x -=，得2x =，所以()23log 122a f =+=，所以P 点坐标为()2,2. 5.【答案】D【解析】 因为()[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,0,40,1,41x x x f x x，且[]0,131l o g 4-∈，所以34131l o g 31lo g 44=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，(),441,131log 3114===⎪⎭⎫⎝⎛∴f f 所以431log 314=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，故选D. 6.【答案】D 【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 7.【答案】C 【解析】()()()()()22222222111log 2log 21log log log log 224f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤==+=+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g ，所以函数()f x 的最小值为14-.8.【答案】C【解析】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>， 2ln6lne 2c =<=，所以c a b <<；故选C.9.【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．10.【答案】B【解析】由()0f x <得，10<≤x 或1x <-，所以1)(0<≤m f 或1)(-<m f ，由1)(0<≤m f 得⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-<<-3logm 1或2112m m ，由()1f m <-得{}|2m m <-，所以实数m 的取值范围为(]()21,21,1,log 32⎛⎤-∞---⎥⎝⎦，故选B.11.【答案】A【解析】根据幂函数的定义可知,112=--m m ,解得21或-=m ,所以()1-=x x f 或()2x x f =,又因为()x f 在()+∞,0上是增函数,所以()2x x f =,2=m ,故选A.12.【答案】B【解析】①()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21为底数小于1且大于0的指数函数，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；②()2x x f =是开口向上的抛物线，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；③()3x x f =是幂函数，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；④()21x x f =是幂函数，在第一象限是上凸图象，故满足条件；⑤()x x f 2log =是底数大于1的对数函数，在第一象限是上凸图象，故满足条件．故选：B ． 13.【答案】34a >-【解析】显然22131()024a a a -+=-+>，所以原不等式即为1240x x a ++⋅>，11()()42x x a -<+，易知函数11()()42x x y =+是减函数，因此当(,1]x ∈-∞时，113424y =+=最小，所以34a -<，即34a >-．14.【答案】26a -<<【解析】2,2x x y y -==在R 分别为增函数、减函数，则()22x x f x -=-为增函数；()22()x x f x f x --=-=- ，()f x ∴在R 为奇函数；()()230f x ax a f -++> ，()()23f x ax a f ∴-+>-，()()23f x ax a f ∴-+>-，23x ax a ∴-+>-，230x ax a ∴-++>在R 上恒成立，2()41(3)0a a ∴--⨯⨯+<，24120a a ∴--<，26a ∴-<<.15.【答案】2【解析】()()()()221ln 2391ln 391ln 22=+=+-++++=+-x x x x x f x f ，()()()22lg 2lg 21lg 2lg =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+f f f f16.【答案】ln 2a e >- 【解析】 12axx > ，1ln 2ln a x x ∴>，(0,1)x ∈ ，1ln 2ln a x x ∴>，令1()ln f x x x=，01x <<，'2ln 1()(ln )x f x x x +∴=-，令'()0f x >，10x e ∴<<，令0)(<x f ，11x e ∴<<，()f x ∴在1(0,)e 递增；在1(,1)e 上递减，m a x1()()f x f e e ∴==-，ln 2ae ∴>-，ln 2a e ∴>-.17.【答案】（1）1769-（2）1【解析】（1）原式)212132322718500102850027--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭41762099=+=-……………………………(5分)（2）原式()()266666612log 3log 3log log 63log 43⎡⎤=-++⨯÷⎢⎥⎣⎦g()()()26666612log 3log 31log 31log 3log 4⎡⎤=-++-+÷⎣⎦()()226666662(1log 3)12log 3log 31log 3log 42log 2-⎡⎤==-++-÷=⎣⎦66666log 6log 3log 212log 22log 2-===……………………………(10分)18.【答案】（1）11,2k a ==；（2）奇函数，理由见解析． 【解析】（1） 函数()(,x f x ka k a -=为常数,0a > 且1a ≠）的图象过点()()0,1,3,81A B k ∴=,且38ka -=,解得11,2k a ==．……………………………(4分) （2）函数()g x 为奇函数。

2018年河北省衡水金卷调研卷全国卷 I A 理科数学模拟（三）试题（三）（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A={x|2﹣x﹣x2＞0}={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，B=N，∴A∩B={0}．故选：A．2. 复数（其中为虚数单位，）满足是纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意可设∴∴，解得：∴，∴故选：D3. 已知；.若“”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由“p∧q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题，若p为真命题，则，∴a1．若q 为真命题，即x 2+2ax +2﹣a=0有实根，△=4a 2﹣4（2﹣a ）≥0， 解得a ≤﹣2或a ≥1．4. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线的倾斜角的取值范围是，其斜率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x ，由一条渐近线的倾斜角的取值范围[，]， 则tan ≤≤tan ，即为≤≤，即，记易知：在上单调递减，上单调递增，，∴的取值范围是故选:D5. 电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，可知AC 之间未连通的概率是连通的概率是.EF 之间连通的概率是，未连通的概率是，故CB之间未连通的概率是，故CB之间连通的概率是，故AB 之间连通的概率是故选：B6. 已知点，若实数满足则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出可行域如图所示：目标函数,其中的几何意义为可行域上的动点与定点M连线的斜率，设为，其最小值为，其最大值为,即故故选：D7. 已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴故选：C8. 某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】题中三视图所表示的几何体是四棱锥，镶嵌入棱长为2的正方体中，即四棱锥的底面为ABCD，面积为4，设截面面积为S，所截得小四棱锥高为h，则解得：故选：C点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．9. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：；第N次循环：此时退出循环，故输出，归纳可得，故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 将函数的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的，②向左平移个单位，得到函数的图象（如图所示），其中点，点，则函数在区间上的对称中心为（）A. ，B.C. ，D. ，，【答案】D【解析】由图可设.由，得到，故是由向右移个单位所得，故，将向右平移个单位，得到然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，所得，∴,∴，令，，故所有的取值为，故所求在区间上的对称中心为，，故选：D11. 已知，，，.给出以下三个命题：①分别过点，，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；②若，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；③若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上.则以上命题正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】对于①，如图所示，，故点M恒在以E，F为焦点，AB为长轴的椭圆上，①正确；对于②，若与x轴相切于点A，与x轴相切于点B，由题意知相外切，且，相切于点H，过点Ｈ作两圆公切线，交ｘ轴于点Ｑ，如图所示，则，故Ｑ与Ｏ点重合，所以，故点Ｈ的轨迹恒在定圆上，②正确；对于③设与，都相切的圆的圆心为Ｔ，半径为ｒ，则Ｔ满足，，得到，故圆心T的轨迹是双曲线的一部分，③不正确，故选：A12. 已知函数（其中为自然对数的底数）有两个极值点，则函数的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】函数（其中e为自然对数的底数）有两个极值点，即有两个正数根，即一元二次方程有两个正数根，等价于：，得：，得到即。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()23z i i +=+（i 为虚数单位），其共轭复数为z ，则z 为（ ）A ．7155i - B ．7155i -- C ．7155i + D ．7155i -+ 2.已知()1cos 3πα-=，2sin 23πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中，α，(0,)βπ∈），则()sin αβ+的值为（ ）A ．9 B ．9+C ．9- D ．9-3.已知集合{}2340A x R x x =∈--≤，{}B x R x a =∈≤，若A B B =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,∞+B ．[)4,∞+C ．(),4-∞D ．(],4-∞4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为45，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ） A ．512625 B ．256625 C.64625 D ．641255.已知222351+2=6⨯⨯，2223471236⨯⨯++=，223245912346⨯⨯+++=，，若()22222*1234385n n N +++++=∈，则n 的值为（ ）A ．8B ．9 C.10 D ．116.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若=0NM NF ⋅，则椭圆的离心率为（ ）A D 7.将函数()sin 2f x x =图像上的所有点向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()g x 在区间[]0,a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）A ．8π B ．4π C.6π D ．2π 8.如图是计算()11111223341n n ++++⨯⨯⨯+的程序框图，若输出的S 的值为99100，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．98?n >B ．99?n > C.100?n > D ．101?n >9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（ ）A ．350升B ．339升 C.2024升 D ．2124升 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）AB D11.如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，P 为边AB 的中点，现将DAP ∆绕直线DP 翻转至'DA P ∆处，若M 为线段'A C 的中点，则异面直线BM 与'PA 所成角的正切值为（ ）A ．12 B ．2 C.14D ．4 12.若函数()y f x =图像上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(),A B 为函数()y f x =的“孪生点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“孪生点对”.若函数()f x =322,0692,0x x x x a x <⎧⎨-+-+-≥⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C.4 D ．6第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()3212x x +-的展开式中含2x 项的系数为 ．14.如图所示，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，点F 为边CD 上的靠近点C 的四等分点，点G 为边AE 上的靠近点A 的三等分点，则向量FG 用AB 与AD 表示为 ．15.已知在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，24AB CD ==，60ABC ∠=，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC （包含端点D ，C ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 满足11a =，()21122n n n a a a n --=+≥，若()*1112nn n b n N a a +=+∈+，则数列{}n b 的前n 项和n S = ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos cos A A C -()cos sin sin A A C ++=D 为边AB 上一点，2BC =，BD =（1）求BCD ∆的面积；（2）若DA DC =，求角A 的大小.18.如图所示，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4AB =，PA =45PAB ∠=.（1）证明：AC ⊥平面PCB ；（2）若二面角A PB C --的平面角的大小为60，求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值. 19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量y （单位：kg ）和与它“相近”葡萄的株数x 具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近葡萄的株数为1,2,3,4,5,6,7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：（1）求该葡萄每株的收获量y 关于它“相近”葡萄的株数x 的线性回归方程及y 的方差2s ； （2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/kg 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为21m ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，，(),n n x y ，其回归直线y b x a ∧∧∧=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-.20.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线():0l y kx a a =+>与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若直线l 过焦点F ，且与圆()2211x y +-=交于D ，E （其中A ，D 在y 轴同侧）两点，求证：AD BE ⋅是定值；（2）设抛物线C 在点A 和点B 处的切线交于点P ，试问在y 轴上是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数()()21ln f x a x x =-+，a R ∈.（1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2+cos ,sin P αα（α为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()512f x x x =-+--.（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数()y f x =的图像；（2）记函数()y f x =的最大值为M ，是否存在正数a ，b ，使2a b M +=，且123a b+=，若存在，求出a ，b 的值，若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:CABAC 6-10:DDBDB 11、12：AA二、填空题13.18 14.55126FG AB AD =-- 15.1] 16.21121n -- 三、解答题17.解：（1）由()sin cos cos A A C -+()cos sin sin A A C +=可知sin cos cos cos A C A C -cos sin sin sin A C A C ++=，即()()sin cos A C A C +-+=sin cos B B ⇒+=sin 22B B ⎫+=⎪⎪⎭sin 14B π⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭. 因为在ABC ∆中，()0,B π∈，所以424B B πππ+=⇒=，所以1sin 2BCD S BC BD B ∆=⨯⨯12sin 24π=⨯⨯=22=. （2）在BCD ∆中，由余弦定理，可知2222cos DC BD BC BD BC B =+-⨯⨯8422cos4π=+-⨯⨯8422=42=+-⨯⨯， 所以2DC =，所以DC BC =，所以4BDC π∠=. 又由已知DA DC =，得8A π∠=， 故角A 的大小为8π.18.解：（1）在PAB ∆中，因为4AB =，PA =45PAB ∠=， 所以由余弦定理，可知2222cos PB AB AP AB AP PAB =+-⨯⨯⨯∠163224162=+-⨯⨯=， 所以4PB =.故222PB BA PA +=，即有PB BA ⊥. 又因为平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB平面ABC AB =，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，所以PB AC ⊥. 又因为AC CB ⊥，PBCB B =，所以AC ⊥平面PBC .（2）过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，连接AD . 由（1），知AC ⊥平面PBC ，BD ⊂平面PBC ， 所以AC BD ⊥.又PCAC C =，所以BD ⊥平面PAC ，因此BPD ∠即为直线PB 与平面PAC 所成的角. 又由（1）的证明，可知PB ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥，PB BA ⊥， 故ABC ∠即为二面角A PB C --的平面角，即60ABC ∠=. 故在Rt ACB ∆中，由4AB =，得2BC =.在Rt PBC ∆中，PC ==且42PB BC PC BD BD ⨯=⨯⇒⨯=BD ⇒=因此在Rt PBD ∆中，得5sin 45BD BPD PB ∠===， 故直线PB 与平面PAC19.解：（1）由题意，可知()112356746x =+++++=， ()11513121097116y =+++++=. ()()()()613422iii x x y y =--=-⨯+-⨯+∑()()()()11112234-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=34-，()()()()62222213211i i x x=-=-+-+-++∑222328+=，所以()()()6162134172814iii i i x x y y b x x∧==--==-=--∑∑， 所以17111114147a yb x ∧∧=-=+⨯=， 故该葡萄每株收获量y 关于它“相近”葡萄的株数x 的线性回归方程为17111147y x ∧=-+. y 的方差为()()()222211511131112116s ⎡=-+-+-+⎣()()()22210119117117⎤-+-+-=⎦.（2）由17111147y x =-+，可知当2x =时，171119421477y =-⨯+=，因此总收入为941010001000013.437⨯⨯÷≈（万元）. （3）由题知，2,3,4x =.由（1）（2），知当2x =时，13.42y ≈，所以13y =；当3x =时，5111117112.2114714y =-+=≈，所以12y =； 当4x =时，341117711777y =-+==， 即2,3,4x =时，与之相对应的y 的值分别为13,12,11， 又()()41132164P y P x =====， ()()81123162P y P x =====， ()()41114164P y P x =====， 所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量y 的分布列为()111131********E y =⨯+⨯+⨯=.20.解：由题知抛物线2:4C x y =的焦点为()0,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y .由24x yy kx a⎧=⎨=+⎩2440x kx a ⇒--=， 则()2160k a ∆=+>，且124x x k +=，124x x a =-.（1）若直线l 过焦点F ，则1a =，所以124x x k +=，124x x =-.由条件可知圆()2211x y +-=的圆心为()0,1F ，半径为1， 又由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+， 故可得11AD AF y =-=，21BE BF y =-=， 所以()()121211AD BE y y kx kx ⋅==++()212121k x x k x x =+++=224411k k -++=. 故AD BE ⋅为定值1.（2）假设存在点Q 满足题意，设()00,Q y ， 由22144x y y x =⇒=，因此1'2y x =. 若四边形APBQ 为菱形，则//AQ BP ，//BQ AP ， 则102112AQ y y k x x -==，201212BQ y y k x x -==， 则101212y y x x -=，201212y y x x -=， 则12y y =，所以0k =，此时直线AB 的方程为y kx a a =+=，所以()A a -，()B a .则抛物线在点()A a -处的切线为y a =-，① 同理，抛物线在点B处的切线为y a =-，②联立①②，得()0,P a -. 又线段AB 的中点为()0,R a ，所以点()0,3Q a .即存在点()0,3Q a ，使得四边形APBQ 为菱形，此时0k =.21.解：（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++. 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，又()1'44f x x x=-+，因此()'11k f ==. 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-.（2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，则()()()2112'2x x g x x x x-+-=-=. 因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当()'0g x =时，1x =， 且当11x e<<时，()'0g x >；当1x e <<时，()'0g x <； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-. 又2112g m e e⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22g e m e =+-， ()221122g e g m e m e e ⎛⎫-=+--++ ⎪⎝⎭24e =-+210e <， 则()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()g e ， 故()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是 ()21101120g m g m e e =->⎧⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩2112m e ⇒<≤+， 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）设点(),P x y ，所以2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）， 消去参数，得()2221x y -+=， 即P 点的轨迹C 的方程为()2221x y -+=直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 4ρθρθ⇒+=4x y ⇒+=, 所以直线l 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由（1），可知P 点的轨迹C 是圆心为()2,0，半径为1的圆， 则圆心C 到直线l的距离为1d r ==>=.所以曲线C 上的点到直线l1.23.解：（1）由于()512f x x x =-+--24,12,1226,2x x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩.作图如下：（2）由图像可知，当12x -≤≤，()max 2f x =，即得2M =.假设存在正数a ，b ，使22a b +=，且123a b +=， 因为12122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22()242b a a b =++≥+≥，当且仅当2222,0a b b a a b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩121a b ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩时，取等号， 所以12a b +的最小值为4，与123a b+=相矛盾， 故不存在正数a ，b ，使22a b +=，且123a b +=成立.。

2018届高四省三第三次大联考【衡水金卷】数学（理）试题一、单选题1．复数满足为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则进行计算，然后确定其虚部即可.详解：由复数的运算法则可得：，据此可知，复数的虚部为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先确定几何体的空间结构，然后结合体积公式得到关于d的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为直角三角形，且直角三角形的直角边长度分别为dcm,9cm，其高为8cm，结合三棱锥体积公式可得：，解得：，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三视图还原几何体，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转3．设集合则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定集合N，然后考查两个集合的关系即可.详解：求解二次不等式可得：，则，则集合M是集合N的真子集.据此可知.本题选择B选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包量成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将问题转化为数列的问题，然后求解数列中对应的项即可.详解：原问题等价于：已知等差数列中：，且：，，求的值.不妨设数列的公差为，则：，即，①则，②联立①②可得：，.即最小的一份为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查等差数列及其应用，等差数列的前n项和等知识，意在考查学生的5．对任意实数有若则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意分别求得的值，然后两者作差得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.详解：令可得：，即，展开式的通项公式为：，令可得：，令可得：，则，结合题意有：，解得：.本题选择B选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．6．双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分，则双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合圆的方程首先确定渐近线方程，然后结合双曲线的方程求得b的值，之后求解离心率即可.详解：圆的方程的标准方程为：，圆的圆心坐标为，且经过坐标原点，双曲线的渐近线经过坐标原点，若双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分,则双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其斜率，据此可得：，双曲线的离心率为.本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7．阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定程序的功能，然后结合题意确定a的取值范围即可.详解：由程序语句可知程序运行程序过程中数据变化如下：S=11，i=9；S=20，i=8；S=28，i=7；S=35，i=6，此时结束循环，故6<a≤7.即程序中的取值范围是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查程序语句是识别与应用，当型循环与直到型循环的区别于联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由求出的表达式，先比较的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。

第1页，总19页河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（3）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数 z 满足 z(2+i)=3+i （ i 为虚数单位），其共轭复数为 z ¯，则 z ¯为（ ） A.75−15i B.−75−15iC.75+15i D.−75+15i2.已知 cos(π−α)=13， sin(π2+β)=23（其中， α ， β∈(0,π) ），则 sin(α+β)的值为（ ） A.4√2−√59 B.4√2+√59 C.−4√2+√59 D.−4√2−√593.已知集合 A ={x ∈R|x 2−3x −4≤0 } ， B ={x ∈R|x ≤a } ，若 A ∪B =B ，则实数 a 的取值范围为（ ） A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(−∞,4) D.(−∞,4]4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为 45 ，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）答案第2页，总19页A.512625 B.256625 C.64625 D.641255.已知 12+22=2×3×56， 12+22+32=3×4×76， 12+22+33+42=4×5×96， ⋯ ，若 12+22+32+42+⋯+n 2=385(n ∈N ∗) ，则 n 的值为（ ）A.8B.9C.10D.116.已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左顶点为 M ，上顶点为 N ，右焦点为 F ，若NM ⇀⋅NF ⇀=0 ，则椭圆的离心率为（ ）A.√32 B.√2−12 C.√3−12 D.√5−127.将函数 f(x)=sin2x 图像上的所有点向右平移 π4 个单位长度后得到函数 g(x) 的图像，若 g(x) 在区间 [0,a] 上单调递增，则 a 的最大值为（ ） A.π8 B.π4 C.π6 D.π28.如图是计算 11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1) 的程序框图，若输出的 S 的值为 99100 ，则判断框中应填入的条件是（ ）第3页，总19页外…………○…………装…………○………………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：__内…………○…………装…………○………………线…………○…A.n >98?B.n >99?C.n >100?D.n >101?9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（ ） A.350升 B.339升 C.2024升 D.2124升10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）A.3+4√3+√6B.6+2√3+√6C.2+3√3+2√6D.4+3√3+2√611.如图所示，在矩形 ABCD 中， AB =4 ， AD =2 ， P 为边 AB 的中点，现将 ΔDAP 绕直线 DP 翻转至 ΔDA′P 处，若 M 为线段 A′C 的中点，则异面直线 BM 与 PA′ 所成角的正切值为（ ）答案第4页，总19页外…………○…………装…○…………线…………○※※请※※不※※※※内…………○…………装…○…………线…………○A.12 B.2 C.14 D.412.若函数 y =f(x) 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点 (A,B) 为函数y =f(x) 的“孪生点对”，且点对 (A,B) 与 (B,A) 可看作同一个“孪生点对”.若函数 f(x)= {2,x <0−x 3+6x 2−9x +2−a,x ≥0恰好有两个“孪生点对”，则实数 a 的值为（ A.0 B.2 C.4 D.6第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.(2x +1)(x −2)3 的展开式中含 x 2 项的系数为 ．14.如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E 为边 BC 的中点，点 F 为边 CD 上的靠近点C 的四等分点，点 G 为边 AE 上的靠近点 A 的三等分点，则向量 FG ⇀ 用 AB ⇀ 与 AD ⇀表示为 ．15.已知在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， |AB|=2|CD|=4 ， ∠ABC =60∘ ，双曲线以 A ， B 为焦点，且与线段 AD ， BC （包含端点 D ， C ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．第5页，总19页…○…………外……装…………○…………订………姓名：___________班级：___________考号：______…○…………内……装…………○…………订………16.已知数列 {a n } 满足 a 1=1 ， a n =a n−12+2a (n ≥2)n−1 ，若 b n =1a n+1+1an +2(n ∈N ∗) ，则数列 {b n } 的前 n 项和 S n = ．三、解答题（题型注释）17.在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 (sinA −cosA)cosC+(cosA +sinA)sinC =√2 ， D 为边 AB 上一点， BC =2 ， BD =2√2 .（1）求 ΔBCD 的面积；（2）若 DA =DC ，求角 A 的大小.18.如图所示，在三棱锥 P −ABC 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， AC ⊥CB ， AB =4 ，PA =4√2 ， ∠PAB =45∘ .（1）证明： AC ⊥ 平面 PCB ；（2）若二面角 A −PB −C 的平面角的大小为 60∘，求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量 y （单位： kg ）和与它“相近”葡萄的株数 x 具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m ），（1）求该葡萄每株的收获量 y 关于它“相近”葡萄的株数 x 的线性回归方程及 y 的方差 s 2 ；答案第6页，总19页（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/ kg 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为 1m 2 ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）20.已知抛物线 C:x 2=4y 的焦点为 F ，直线 l:y =kx +a(a >0) 与抛物线 C 交于A ，B 两点.（1）若直线 l 过焦点 F ，且与圆 x 2+(y −1)2=1 交于 D ， E （其中 A ， D 在y 轴同侧）两点，求证： |AD|⋅|BE| 是定值；（2）设抛物线 C 在点 A 和点 B 处的切线交于点 P ，试问在 y 轴上是否存在点 Q ，使得四边形 APBQ 为菱形？若存在，求出此时直线 l 的斜率和点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数 f(x)=a(x −1)2+lnx ， a ∈R .（1）当 a =2 时，求函数 y =f(x) 在点 P(1,f(1)) 处的切线方程；（2）当 a =−1 时，令函数 g(x)=f(x)+lnx −2x +1+m ，若函数 g(x) 在区间[1e,e] 上有两个零点，求实数 m 的取值范围.22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(2+cosα,sinα) （ α 为参数）.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+π4)=2√2 .（1）求点 P 的轨迹 C 的方程及直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.第7页，总19页…………○…………线…………○…：___________…………○…………线…………○…23.已知函数 f(x)=5−|x +1|−|x −2| .（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数 y =f(x) 的图像；（2）记函数 y =f(x) 的最大值为 M ，是否存在正数 a ， b ，使 2a +b =M ，且1a +2b=3 ，若存在，求出 a ， b 的值，若不存在，说明理由.答案第8页，总19页……装……………………订……………………线…※※不※※要※※在※※装※订※※线※※内※※答※※题※※……装……………………订……………………线…参数答案1.C【解析】1. z =3+i 2+i=(3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=7−i 5，故 z ¯=75+15i . 所以答案是：C【考点精析】掌握复数的定义是解答本题的根本，需要知道形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部． 2.A【解析】2.由诱导公式得 cosα=−13〈0,cosβ=23〉0 ，故 α 为钝角， β 为锐角.且sinα=√1−cos 2α=2√23 ， sinβ=√1−cos 2β=√53， sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=2√23⋅23+(−13)⋅√53=4√2−√59. 所以答案是：A【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：．3.B【解析】3.对于集合 A ， x 2−3x −4=(x −4)(x +1)≤0 ，解得 −1≤x ≤4 .由于 A ∪B =B 故 a ≥4 . 所以答案是：B【考点精析】通过灵活运用集合的并集运算，掌握并集的性质：（1）A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则A B ，反之也成立即可以解答此题．4.A【解析】4. 4 次独立重复实验，故概率为 C 43(45)3⋅15+C 44(45)4=512625 . 所以答案是：A5.C【解析】5.通过归纳得 ∑k=1nk 2=16n(n +1)(2n +1) ，故 16n(n +1)(2n +1)=385 解得 n =10 . 所以答案是：C【考点精析】认真审题，首先需要了解归纳推理(根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理)． 6.D第9页，总19页…………线…………○……………线…………○…【解析】6.依题意 M(−a,0),N(0,b),F(c,0) ，代入 NM ⇀⋅NF ⇀=0 得 (a,b)(c,−b)=ac −b 2=0 ，即 ac −(a 2−c 2)=0 ，两边除以 a 2 得 e 2+e −1=0 ，解得 e =√5−12. 所以答案是：D【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的概念(平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距)． 7.D【解析】7.右移 π4 个单位得到 g(x)=sin[2(x −π4)]=−cos2x ，根据余弦函数的图像可知， 0≤2x ≤π ，即 0≤x ≤π2时递增，故 a 的最大值为 π2 . 故答案为：D 首先利用函数的平移性质得到 g(x) 的代数式，再结合余弦函数的图像和性质即可得到函数的增区间，进而求出a 的最大值即可。

专题三《基本初等函数》数学试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：卡上第1卷一、选择题1、给出下列函数①;②;③;④;⑤.其中满足条件的函数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2、函数的值域是( )A.B.C.D.3、设函数,如果,则的取值范围是( ) A.B.C.D.4、设为正数,且,则( )A.B.C.D.5、根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)A.B.C.D.6、已知函数(且)过定点,则点坐标( )A.B.C.D.7、若函数,则 ( )A.B.C.D.8、函数的最小值为( )A.B.C.D.9、已知,则的大小关系为( )A.B.C.D.10、已知奇函数在上是增函数,.若,,,则的大小关系为( )A.B.C.D.11、已知函数,若,则实数的取值范围为( )A.B.C.D.12、幂函数在上是增函数,则( )A.2B. -1C.4D.2或-1二、填空题13、当,不等式恒成立,则实数的取值范围为________.14、已知函数,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是______.15、已知函数,则.16、若对于恒成立,则实数的取值范围是_______.三、解答题17、已知函数,,其中且,.1.若,且时,的最小值是,求实数的值;2.若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.18、已知函数为常数,且得图象过点1. 求实数的值;2. 若函数试判断函数的奇偶数,并说明理由.19、已知函数(且).1.当时,求不等式的解集;2.当时,恒成立,求实数的取值范围.20、已知函数.1.当时,求函数的值域;2.是否存在,使在上单调递增,若存在,求出的取值范围;不存在,请说明理由.21、已知函数是偶函数.1.求的值;2.若函数,是否存在实数使得最小值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.四、计算题1.2.参考答案：一、选择题1.答案：B解析：根据指数函数图像可知①不是凸函数,是凹函数;②,也是凹函数,不满足条件;③;也是凹函数;④;作图可知道是凸函数,成立;⑤是定义域内的凸函数,符合题意,故正确的个数为2,选B.考点:本试题主要考查了凸函数的概念的理解和运用。

2017-2018学年 数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.复数212ii +-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．13.下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．29B ．31C ．33D ．365.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．27.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n-前5项的和C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和8. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ） A ．1 BC ．2 D．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()1152392102a a a b b b a ++=++（ ） A ．1941 B ．1737 C ．715D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________．15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围． 19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==． （1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A AC B --的大小．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-．（1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ． （1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．参考答案一、选择题二、填空题13. a b < 14．0 15．80 16．1724b <≤ 三、解答题17．解：（1）∵()2f x =，∴()22x k k Z πππ=+∈，∴21,x k k Z =+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又∵0x >，∴()*21n a n n N =-∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∴()11111111111422314414n n T b b n n n ⎛⎫=++<-+-++-=-< ⎪++⎝⎭ ∴14n T <．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．（1）()21113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则22,33AC A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，所以sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（1）证明：如图，取1A B 的中点D ，连接AD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因1AA AB =，则1AD A B ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1111ABC A ABB A B =侧面，．．．．．．．．．．．．．．3分 得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥． 又1AA AD A =，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影，∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连接DE ， 由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD AC ⊥，且AEAD A =，∴AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 且直角1A AC ∆中，11A A AC AE AC ===，又2AD ADE π=∠=，∴sin 2AD AED AE ∠===，且二面角1A AC B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A AC B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分 设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则6πθ=，得111sin624AC n AC n π-===-，解得2a =，即()2,2,0AC =-， 又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得()31,1,0n =， 设锐二面角1A AC B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α===，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3πα=，∴锐二面角1A AC B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）∵()()()322ln g x a x a x =----，∴()23g x a x'=--，∴()1g x a '=-，．．．．．．．．2分 又()11g =，∴121110a --==--，得2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由()22320x g x x x-'=--=<，得02x <<， ∴函数()g x 单调减区间为()0,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>-⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， 则()()2221220x m x x x x--'=-+=<， 故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+，∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根，由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， ∴()()()()21ln ln 1,11m mx g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---， ∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ， ∴()()00200011021m x m x x x x Γ=-=⇒=+--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令()()122h x x x x =+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=， 当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=>， ∴()12h x x x=+-在()2,+∞上为增函数， 从而()()00011+222h x x h x =->=，∴12m >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （3）()()()()()ln 11ln 11m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mk x x x x ϕ-++-+'=--=--- 方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为1212k x +=<，或2212k x +=>， 则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分②若0m <时，当0∆≤，即k -≤()2210x k x k m -++-+≥恒成立，()()0,x x ϕϕ'≥在()1,+∞上为增函数，此时()x ϕ在()1,+∞上没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 下面只需考虑0∆>的情况，由0∆>，得k <-k >当k <-12221,122k k x x ++=<=<，故()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴函数()x ϕ没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当k >121,1x x =>=>， 则()11,x x ∈时，()()120;,x x x x ϕ'>∈时，()()20;,x x x ϕ'<∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()11,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x ．综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x（其中12x x ==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．解：（1）由BC CD =可知，BAC DAC ∠=∠，在ABD ∆中，则AB AD BM DM=，因此AB MD AD BM =；．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由CP MD CB BM =，可知CP BM CB MD =，又由（1）可知BM AB MD AD=， 则CP AB CB AD =，由题意BAD PCB ∠=∠，可得BAD PCB ∆∆， 则ADB CBP ∠=∠，又ADB ACB ∠=∠，即CBP ACB ∠=∠，又PB 为圆O 的切线，则CBP CAB ∠=∠，因此ACB CAB ∠=∠，即AB AC =．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）已知曲线 C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-．则m =-l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线22:1124x y C +=联立，得2220t t --=，则122FA FB t t ==．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C 上的定点(),2sin Pθθ， 则以P 为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，33log log 1m n ≥，根据基本不等式33log log 2m n +≥， 从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥当且仅当3m n ==时取等号， 所以m n +的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】.所以,.故选C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，.所以在内单调递减.又，，.故，选D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，..............................所以为假，为真，为假，为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以..将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当时，，解得或.由得.由，得.两式相减得.所以.因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选B.点睛：由和求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得，由正弦定理及，得，利用即可得解. 试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；（2）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得最小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当时，在内单调递增，当时，成立.当时，令为和中较小的数，所以，且.则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，.∵，∴，.∴.∴.。