循环小数(六年级奥数题及答案)

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1.17的“秘密” 10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=,…, 60.8571427∙∙= 2.推导以下算式 ⑴10.19=；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110-== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =；再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==．0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 知识点拨教学目标循环小数的计算模块一、循环小数的认识 【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。

)【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，1试【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.80524102007∙∙【答案】l.80524102007∙∙【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是0.1998∙∙，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998∙．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998∙∙，而次大数为0.1998∙∙，于是得到不等式：0.19980.19980.19980.1998∙∙∙∙∙∙∙>>>【答案】0.19980.19980.19980.1998∙∙∙∙∙∙∙>>>【例 2】 真分数7a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 1=0.1428577， 27=0.285714，37=0.428571，47=0.571428，57=0.714285， 67=0.857142．因此，真分数7a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427a ，即6a =． 【答案】6a =【巩固】 真分数7a 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 我们知道形如7a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。

小学六年级奥数第二章循环小数与分数第二章循环小数与分数知识要点任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。

那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。

(1)12＝0.5，325(＝235)＝0.12，1740(＝31725)＝0.425；(2)13＝0.3，57＝0.714285，1333＝0.39；(3)56(＝523)＝0.83，67175(＝26757)＝0.38285714，101360(＝3101259)＝0.2805。

结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。

如1740，因为40＝23×5，含有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。

(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。

(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的个数相同。

如67175，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论：1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

典例巧解例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？5 324213125023781001173850点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。

《循环小数》典型例题例．0.586÷0.11的商是( )小数，商的最高位是( )位，保留两位小数取商的近似值是( )，保留四位小数取商的近似值是( )．分析：本题主要测定商是否为有限小数，认定循环小数商及依据商的规律取近似值等能力，以进一步巩固对小数除法计算方法的理解和掌握．解：……(无限或循环)……(个)……(5.33)……(5.3273)．《循环小数》典型例题例．计算1÷11 2÷11 3÷11 4÷11，想一想它们的得数有什么规律．你能不计算直接写出下面各题的得数吗？5÷11 6÷11 7÷118÷11 9÷11分析：先计算 1÷11＝0.09099…… 2÷11＝0.181818……3÷11＝0.272727……4÷11＝0.3636……观察后可以发现商与商之间有着某种关系．题中除数不变，商随着被除数的变化而变化，变化的规律是：被除数扩大几倍，商也扩大相同的倍数，依照这个规律，可以直接写出其它几题的商．解：以1÷11＝0.090909……为标准．则5÷11＝0.090909……×5＝0.454545……6÷11＝0.090909……×6＝0.545454……7÷11＝0.090909……×7＝0.636363……8÷11＝0.090909……×8＝0.727272……9÷11＝0.090909……×9＝0.818181……《循环小数》典型例题例．724÷商的小数点后面第2002位数是几？分析：724÷=128574.3714285714285714285.3 =商是一个纯循环小数，循环节有6个数字，即六个一循环，433362002 =÷，说明循环节一共循环了333次还多4个数字，也就是循环第334次时的第4个．解：724÷商的小数点后面第2002位数字是5．《循环小数》练习1．在小数0.5353…… 42.4242 7.472163……和7.71212……中，（1）循环小数有（）．（2）无限小数有（）．（3）有限小数有（）．2．用循环小数的简便记法表示下面各题的商．4÷3 5÷9 3÷11 20÷63．判断（对的打“√”，错的打“×”）．（1）0.8÷0.9≈0.8（）（2）0.51313……中不断重复出现的是“13”．（）（3）循环小数都是无限小数．（）4．下面哪道题的商是有限小数？哪道题的商是无限小数？7.15÷4 19.35÷14 29÷11参考答案1．（1）循环小数有（0.5353…… 7.71212……）（2）无限小数有（0.5353…… 7.472163…… 7.71212……）（3）有限小数有（42.4242）2．略3．（1）×（2）√（3）√4．有限小数无限小数无限小数。

任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。

那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。

⑵＞0367 67 ■际033285714(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5,成的有限小数的位数与分母中含有的2与于中个数较多的个数相同，如音,因为40=2X 5,含有3个2，1个5,所以化成的小数有三位。

(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与沖个数较多的个数相同,如磊，因为175 = 52X7,含有2个5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：(1)如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数, 那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？5 4 31 23 100 332r li1 2501 7S T 1171 850分析与解：上述分数都是最简分数，并且32=25，21=3X 7，250=2X 53，78=2X 3X 13，117=3X 13，850=2X 52X 17，根据上面的结论，得到：帶能北成五位有限小数,焉能化成三位有限小数。

£罟能化成纯循环小数。

循环小数
【循环小数化分数】
小学数学竞赛试题）
讲析：纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与
数推出？
（长沙地区小学数学竞赛预赛试题）
讲析：
循环节有6位数字。

而（89-3）÷6=14余2。

即小数点后第89位以后的数是230769循环。

【循环小数的计算】
（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）
讲析：可把小数都化成分数后，再计算，得
例2 图5.3列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位
________。

（1989年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：要想这个数最大，整数部分必须选9。

它有四种：9.291892915，9.189291592，9.291592918，9.159291892。

无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。

所以，以上四数中最大的是9.291892915。

再考。

循环小数问题的奥数题关于循环小数问题的奥数题导语：五年级的学生虽然没有升学的压力，但是大家要为升学做好准备，所以平时一定要多做练习，拓展自己的数学思维，以下是小编为大家精心整理的.关于循环小数问题的奥数题，欢迎大家参考！今天的目标是解2004年华杯赛真题，所用知识不超过小学5年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：循环小数m=2.004444……,n=2.008008008……,请问m*n写成最简分数是多少？该题目属于循环小数问题，解题思路可化为以下三道题目：题目一（简单）请问循环小数0.008008008……写成最简分数是多少？题目二（中等难度）循环小数m=2.004444……写成最简分数是多少？题目三（进阶思考,华杯赛真题）循环小数m=2.004444……,n=2.008008008……,请问m*n写成最简分数是多少？以下为答案：题目一：答:8/999。

因为0.001001001……=1/999,所以0.008008008……=8/999。

题目二：答: 451/225。

因为0.111111……=1/9,故：0.0011111……=1/900,则：0.0044444……=4/900=1/225,所以2.004444……=2+1/225=451/225。

题目三：答:904706/224775。

从题目二知道，2.004444……=451/225，从题目一知道，0.008008008……=8/999，因此，2.008008008……=2006/999,所以，m*n=(2006/999)*(451/225)=904706/224775。

3.6循环小数
1． 填一填。

〔1〕一个数的〔〕局部，从某一位起，一个数字或几个数字〔〕
重复出现，这样的小数叫做〔〕。

〔2〕……是〔〕小数，循环节是〔〕，用简便记法写作〔〕，保
存三位小数约是〔〕。

2. 6.484848……的循环节是〔〕。

3.计算。

(商用循环小数表示)
41÷9≈49÷15≈÷6≈
4．按从小到大的顺序给小数排队。

808 5．请找出下面数中的无限小数。

9.4889.4561………………
答案提示：
1. 〔1〕小数依次不断 循环小数
〔2〕 2. B
3. ………………
9.4561………………
第2课时 用天平比较物体轻重
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1.请在重的括号里画√，轻的括号里画⚪
2.那个动物最重请在他身边画√
3.在○里填上>、<或=
4千克○400克6000克○6千克
700克○1千克3千克○2900克9克○11克9千克○5千克
答案提示：
1. 香蕉√，桔子⚪；苹果√，桔子⚪
2. 狮子√
3. > = < > < >。

完整版)循环小数综合练习题循环小数是指除法运算得到的小数，其中小数部分的某些数字重复出现。

有限小数是小数部分位数有限的小数，无限小数是小数部分位数无限的小数。

循环小数是无限小数的一种，其中小数部分的重复数字被称为循环节。

为了简便，循环小数的循环部分通常只写出第一个循环节，并在首位和末位数字上各记一个圆点。

纯循环小数是循环节从小数部分第一位开始的循环小数，而混循环小数是循环节不从小数部分第一位开始的循环小数。

比较两个小数的大小时，先比较它们的整数部分，整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大，以此类推。

如果两个小数所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。

例1：按照从大到小的顺序排列四个数1.3232，1.323，1.32，1.32.练：在下面的式子中添加循环点，使它成立。

1.0.894>0.89432.8.045<8.0453.3.88……=3.84.5.47>5.475例2：在混循环小数2.的某一位上添加表示循环的圆点，得到新的循环小数。

1.在循环小数0.3021中，小数点右面第1997位上的数字是几？答案：无法确定，因为循环节中没有包含1997这个位置。

2.循环小数0.的小数点右面第100位上的数字是几？答案：循环节为054，将其无限重复后找到第100位，即为4.3.一个小于1的纯循环小数，它的循环节有5个数字，已知它小数点右面第20位上的数字是3，第36位上的数字是4，第52位上的数字是5，第79位上的数字是6，第98位上的数字是7，求这个循环小数。

答案：循环节为，将其无限重复后找到对应位置上的数字即可。

4.在小数0.xxxxxxxx53中，添上表示循环节的两个点，使它变成循环纯循环小数。

答案：0.xxxxxxxx53 = 0.708(xxxxxxx)，循环节为xxxxxxx。

5.把一个小数0.xxxxxxxx1变成循环小数。

1.1.2循环小数1.1.2.1基本概念及定理循环小数：一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。

循环小数是无限小数，它的位数是无限的。

循环小数的小数部分中，依次不断重复的数字，叫做它的一个循环节。

如果循环节从小数部分第一位（十分位）开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

定理一：如果最简分数的分母除2、5质因数外，不含其它质因数，这个分数能化成有限小数。

将能化成有限小数的最简分数的分母进行质因数分解，看质因数2和5的幂指数，较大的那个指数的大小就是有限小数的位数。

定理二：如果最简分数的分母除2、5质因数外，含其它质因数，这个分数不能化成有限小数。

定理三：如果一个最简分数的分母里，如果只含有2,5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、9999 ……诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数。

定理四：一个最简分数的分母里，如果除含有2或5质因数外，还含有其它质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数。

这个不纯循环部分里的数字的个数，等于2、5中较多的一个数的个数。

循环节的最少位数等于9、99、999、9999 ……诸数中能被分母2、5以外的质因数（或质因数的乘积）整除的最小那个数里9的个数。

1.1.2.2循环小数化分数1.1.2.2.1纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。

例把纯循环小数化分数：从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。

9的个数与循环节的位数相同。

能约分的要约分。

1.1.2.2.2混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。

例把混循环小数化分数。

（2）先看小数部分0.353由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．1.1.2.3循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。

循环小数练习1.求出下列各算式的商。

1÷3= 13÷9= 2÷7=2.求出下列各算式的商。

2÷3= 5÷6= 20÷11=3.在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能大。

（1）3.61817•2•（2）0.9569568•3•4.在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能大。

（1）1.63109•478• (2)0.911•24875•5.划去小数0.46572391后面若干位上的数字，再添上表示循环节的两个循环点，得到一个循环小数，例如：0.4•65723•，请找出其中最大和最小的循环小数。

6.划去小数0.1415926535后面若干位上的数字，再添上表示循环节的两个循环点，得到一个循环小数，请找出其中最大和最小的循环小数。

7.在循环小数0.3021•997•中，小数点右边第1997位上的数字是几？8.在循环小数0.76471•2457•中，小数点右面第2007位上的数字是几？9.在1÷7＋34÷101的计算结果中，小数点的右边第100位上的数字是几？10.在1÷6＋13÷7的计算结果中，小数点的右面第100位上的数字是几？11.一个小于1的纯循环小数，它的循环节有5个数字，已知它小数点右面第20位上的数字是3，第36位上的数字是4，第52位上的数字是5，第79位上的数字是6，第98位上的数字是7，求这个纯循环小数。

12.一个小于1的纯循环小数，它的循环节有4个数字，已知它小数点右面第21位上的数字是5，第63位上的数字是9，第92位上的数字是1，第102位上的数字是6，求这个纯循环小数。

13.在循环小数0.2•763824•中，最少从小数点右面第几位开始到第几位为止的数字之和等于1987？14.在循环小数0.8•5714•中，最少从小数点右面第几位开始到第几位为止的数字之和等于2007？15.在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。

六年级奥数专项精品讲义常考题汇编-计算问题—循环小数及其分类一．选择题1．8.47475475⋯的循环节是()A．47B．47475C．75D．4752．下面各数中，是循环小数的是()A．3.1415926⋯B．2.323232⋯C．1.14444443．下面各数中不是循环小数的是()A．5.3232B．5.3232⋯C．9.834．在3.141592⋯，2.1515，0.32655555⋯，2.58258258⋯中，循环小数有()个。

A．一B．二C．三D．四5．27÷的商的循环节，有()数字。

A．两个B．三个C．六个D．七个6．()不是循环小数．A．3.33⋯B．3.1415926⋯C．1000.11⋯7．下列各数中不是循环小数的是()A．0.1818⋯B．0.3333C．1.25151⋯D．12.38．下面算式中，()的商是循环小数．A．73÷B．94÷C．38÷二．填空题9．116÷的商是小数，循环节是，简便记作；保留一位小数约是，保留两位小数约是．10．14.111÷的商用循环小数表示是，保留两位小数是．11．循环小数7.1515⋯写作．6.2435435⋯写作．12．循环小数5.9868686⋯简便方法记作，它的循环节是，保留一位小数约是．13．在0.35、0.355、0.35 、0.3505、0.0355355⋯中，（1）无限小数有。

（2）将上面五个小数按从小到大排列是：。

14．3 1.1÷的商用循环小数表示是，保留一位小数是．15．把3.24 1 、3.241、3.24 、3.241 按从大到小的顺序排列：>>>。

16．3.73÷的商，用循环小数的简便记法表示是，保留两位小数是．三．计算题17．写出下面各循环小数的近似值．（保留三位小数）0.5555⋯≈13.26565⋯≈8.534534⋯≈8.269269⋯≈18．写出下列数的近似值．（保留两位小数）0.3555⋯≈0.353535⋯≈0.3535353≈4.16≈ 4.16≈ 4.161≈ 19．计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商．16÷=159÷=32.811÷=20．计算下面各题，并说一说哪几题的商是循环小数．19÷58÷27.6 1.8÷ 5.411÷四．解答题21．计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商，再保留两位小数写出它们的近似值．204 6.6÷=，38.2 2.7÷≈，22．一支队伍长又长，有头无尾排成行，“ ”的后面分小节，节节外表都一样．（打一数学名词）谜底是：．23．311÷的商是一个循环小数，可以简便写作，商保留两位小数是．24．按要求排队．3.14，3.1444⋯，3.1414⋯，3.104104⋯，3.41>>>>25．找出循环小数，并用简便形式表示．3.33333 4.1565656⋯100.352352⋯9.344423.1234560.0012012012⋯26．把下面各数按要求填在横线上．4.729.6464⋯3.1415926⋯0.7878784.67 38.222⋯3.2795.6660.0333⋯1.28964有限小数：；无限小数：；循环小数：．27．把下列各数按要求填在圈内．0.333⋯ 4.1666⋯ 1.414⋯72.072072⋯ 5.71907190⋯ 2.54543.141592⋯18.7326260.98080828．循环小数2.406406406⋯也可以写作，保留两位小数是．六年级奥数专项精品讲义常考题汇编-计算问题—循环小数及其分类参考答案一．选择题1．解：8.47475475⋯的循环节是475；答案：D．2．解：A选项：3.1415926⋯是无限小数；B选项：2.323232⋯是循环小数，循环节是32；C选项：1.1444444是有限小数，不是循环小数。

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1.17的“秘密” 10.1428577••=，20.2857147••=，30.4285717••=,…, 60.8571427••= 2.推导以下算式⑴10.19=；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110-== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论纯循环小数 混循环小数分子 循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧 知识点拨教学目标循环小数的计算·0.9a a =； ··0.99ab ab =； ··10.09910990ab ab ab =⨯=； ··0.990abc a abc -=，……模块一、循环小数的认识 【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。

循环小数练习题一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数不是循环小数？A. 0.33333B. 0.123456789C. 0.2727...D. 0.111112. 循环小数0.33333...的循环节是：A. 3B. 33C. 333D. 333333. 将0.1234567891...转换为分数，其分母是：A. 9B. 99C. 999D. 99994. 循环小数0.121212...等于：A. 0.12B. 0.1212C. 0.121212D. 0.121212125. 以下哪个数是纯循环小数？A. 0.5B. 0.1C. 0.36D. 0.428571428571...二、填空题（每题2分，共20分）6. 循环小数0.6666...可以表示为分数形式_________。

7. 将0.142857142857...转换为分数，其分子是_________。

8. 纯循环小数0.22222...的循环节是_________。

9. 循环小数0.3333333...的循环节长度是_________。

10. 将0.090909...转换为分数，其分母是_________。

11. 循环小数0.1111...与0.11111...相加，和是_________。

12. 纯循环小数0.333...与0.666...相乘，积是_________。

13. 循环小数0.123123123...的循环节是_________。

14. 将0.25转换成循环小数形式是_________。

15. 循环小数0.1111...与0.0001...相减，差是_________。

三、简答题（每题10分，共30分）16. 解释什么是循环小数，并给出两个例子。

17. 描述如何将循环小数转换为分数，并给出一个具体的例子。

18. 说明纯循环小数和混循环小数的区别，并各给出一个例子。

四、计算题（每题15分，共30分）19. 计算下列循环小数的和：0.121212... + 0.33333... + 0.25。

教学目标循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．知识点拨1. 71的“秘密”1 0.142857 ，2 0.285714 ，3 0.428571 ,7772. 推导以下算式1234 12 611 1234 1 137⑶0.1234 ；0.12349900 4950 9990 1110以0.1234 为例，推导0.12341234 12 611．9900 4950设0.1234 A ，将等式两边都乘以100，得：100A 12.34 ；再将原等式两边都乘以10000，得：10000A 1234.34 ，两式相减得：10000A 100A 1234 12，所以A1234 12 6119900 49503. 循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9 在0 的左侧循环小数的计算6 0.8571427⑴ 0.1 1；0.12 129 99⑵ 0.1212 1 11；90 90 4；；330.1231230.123999123 1290041 1234；0.1234 ；333 999937 1234 123；0.1234300 90001111；；9000例题精讲模块一、循环小数的认识例 1 】 在小数 l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 ________ （注：公元 2007 年10 月 24 日北京时间 18 时 05 分，我国第一颗月球探测卫星 “嫦娥一号 ”由“长征三号甲 ”运载火 箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。

） 考点】循环小数的认识 【难度】 2 星 【题型】填空 关键词】希望杯， 1 试 解析】因为要得到最小的循环小数， 首先找出小数部分最小的数为 0，再看 0后面一位上的数字， 有 05、02、00、07，00 最小，所以得到的最小循环小数为 l.80524102007答案】 l.80524102007巩 固 】给下列不等式中的循环小数添加循环点： 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998 考点】循环小数的认识【难度】 3 星【题型】计算解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字 1 的小数，因此一定是 0.1998 ，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字 8，因此一定是 0.1998 ．其后添加 的循环点必定使得小数点后第五位出现 9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循 环节中在 9 后一定还是 9，所以最大的循环小数是 0.1998 ，而次大数为 0.1998 ，于是得到不等式： 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998答案】 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998例 2】 真分数 a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么 a 是7多少 ?2=0.285714 ， 3 =0.428571 ， 4 =0.571428 ， 5 =0.714285 ， 6 =0.857142 ．因 7 7 7 7 7此，真分数 a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27 ，又7因为 1992 ÷ 27=73 ⋯⋯ -2211,2=76，而 6=2+4，所以 a =0.857142 ，即 a 6 ．7答案】 a 6巩固】真分数 a 化成循环小数之后，从小数点后第 1位起若干位数字之和是 9039 ，则 a 是多少？7考点】循环小数的认识 【难度】 3 星 【题型】计算解析】我们知道形如 a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这 6个数字组7成， 只是各个数字的位置不同而已， 那么 9039就应该由若干个完整的 1 4 2 8 5 7 和一个不 完整 1 4 2 8 5 7组成。

通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计算问题-循环小数及其分类【知识点归纳】1．循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数．2．循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数．纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666…混循环小数指不是从小数第一位循环的小数．【常考题型】例1：9÷11的商用循环小数的简便记法记作（），保留三位小数是（）．分析：从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点．由于9÷11=0.818181…，商用用循环小数的简便记法表示是；根据四舍五入的取近似数的方法可知，保留三位小数约是0.818．解：9÷11的商用循环小数的简便记法记作是，保留三位小数是0.818；点评：本题重点考查了循环小数的记法及按要求取近似值的方法．【易错题型】例2：3.09090…的循环节是（）A、09B、90C、090D、909分析：循环节是指循环小数的小数部分依次不断重复出现的一个或几个数字，根据循环节的意义进行判断即可．解：3.09090…的循环节是“09”，故选：A．点评：此题考查循环节的意义与辨识．【解题方法点拨】纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9；9的个数与循环节的位数相同．能约分要约分．一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差．分母的头几位数是9，末几位是0；9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同．一．选择题1．2811÷的商是()A．纯循环小数B．混循环小数C．有限小数2．下面各数中，()最大．A．8.36B．8.36C．8.306D．8.3603．把0.94、0.94、0.949、0.94这四个数按照从大到小的顺序排列，排在第二位的数是()A．0.94B．0.94C．0.949D．0.944．6.23562356⋯的循环节是()A．6235B．3562C．23565．5.32727⋯用循环小数的简单记法表示是( ) A ．5.327B ．5.327C ．5.3276．下面算式中，商是循环小数的是( ) A ．1.0545÷B ．16.445 2.3÷C ．516÷7．23 3.3÷的商用循环小数表示是( ) A ．6.969696B ．6.96C ．6.96D ．6.98．23÷的商是( )A ．纯循环小数B ．混循环小数C ．无限不循环小数二．填空题9．311÷的商是 小数，在商的小数点后第37位上的数字是 ． 10．9022÷的商是一个无限 小数，用简便形式记作： ，循环节是 ，用“四舍五入”法保留三位小数是 ．11．将0.1234567加上两个表示循环节的点，变成循环小数，使小数点后第2003位上的数字为5，则这个循环小数是 ．12．611÷的商用循环小数表示是 ，精确到百分位是 ． 13．611÷的商是 小数，可以简写成 ，保留三位小数是 ． 14．79÷的商，用循环小数表示是 ，保留一位小数是 ，保留到百分位约是 ．15．3.827÷的商用循环小数表示是 ，精确到百分位约是 ，保留三位小数约是 ；9.6868⋯可以写作 它是 ． 16．4.03636⋯用简写的方法表示为 ． 三．计算题17．写出下面各循环小数的近似值．（保留三位小数）2.315315⋯≈ 8.7676⋯≈9.888⋯≈ 12.47≈ 6.909≈ 3.514≈ 31.095≈7.863≈18．计算下面各题，除不尽的先用循环小数表示所得的商，再保留两位小数写出它的近似数．519÷ 3 1.1÷ 2.20.7÷ 3.38 1.8÷3766÷40.74÷19．用简便记法表示下列循环小数．3.62525⋯= 17.0651651⋯= 1.40660.333⋯=⋯=四．解答题20．3.26565是一个循环小数．． 21．判定0.9和1的大小关系． 22．将0.125和0.425分别化成最简分数． 23．找一找．1.666；0.333⋯；?1.0507；3.134892⋯；8.206；??5.390；4.151617⋯24．不通过计算，判断137和3112这两个分数循环节中的最小位数是多少？25．下面哪些是循环小数？把循环小数用简便方法表示出来．0.777⋯1.125125⋯3.1023023023⋯ 5.4666⋯11.181818⋯7.62323⋯ ．26．下面哪些数是循环小数？请在它的下面画线，并圈出一个循环节．3.77715.465465⋯6.2121⋯106.55⋯7.69086943.216987⋯27．小马虎忘了给下面四个循环小数点循环点了，请你帮他点上循环点，使下式成立。

《循环小数》典型例题及习题《循环小数》典型例题、练习一、例题讲解：例1．0.586÷0.11的商是( )小数，商的最高位是( )位，保留两位小数取商的近似值是( )，保留四位小数取商的近似值是( )．分析：本题主要测定商是否为有限小数，认定循环小数商及依据商的规律取近似值等能力，以进一步巩固对小数除法计算方法的理解和掌握．例2．计算1÷11 2÷11 3÷11 4÷11，想一想它们的得数有什么规律．你能不计算直接写出下面各题的得数吗？5÷11 6÷11 7÷118÷11 9÷11分析：先计算1÷11＝0.09099…… 2÷11＝0.181818……3÷11＝0.272727……4÷11＝0.3636……观察后可以发现商与商之间有着某种关系．题中除数不变，商随着被除数的变化而变化，变化的规律是：被除数扩大几倍，商也扩大相同的倍数，依照这个规律，可以直接写出其它几题的商．解：以1÷11＝0.090909……为标准．则5÷11＝0.090909……×5＝0.454545……6÷11＝0.090909……×6＝0.545454……7÷11＝0.090909……×7＝0.636363……8÷11＝0.090909……×8＝0.727272……9÷11＝0.090909……×9＝0.818181……例3．724÷商的小数点后面第2002位数是几？分析：724÷=128574.3714285714285714285.3 =商是一个纯循环小数，循环节有6个数字，即六个一循环，433362002 =÷，说明循环节一共循环了333次还多4个数字，也就是循环第334次时的第4个．解：724÷商的小数点后面第2002位数字是5．二、应用拓展：1．在小数0.5353…… 42.4242 7.472163……和7.71212……中，（1）循环小数有（）．（2）无限小数有（）．（3）有限小数有（）．2．用循环小数的简便记法表示下面各题的商．4÷3 5÷9 3÷11 20÷63．判断（对的打“√”，错的打“×”）．（1）0.8÷0.9≈0.8（）（2）0.51313……中不断重复出现的是“13”．（）（3）循环小数都是无限小数．（）4．下面哪道题的商是有限小数？哪道题的商是无限小数？7.15÷4 19.35÷14 29÷11解决问题练习（一）一、练习一：1、我家到学校大约1.3千米，每天往返两次，每天从家道学校往返要走多少千米？一周（按5天）要走多少千米？2、哥哥上大学，要坐6.4小时的火车，火车的平均速度是70.5千米/时。