有限元法基础讲稿-第7讲新.doc

2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即 z 0 。由于板内各点 的挠度与 z坐标无关，只是x，y的函数，即 w w( x, y) 3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层 相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即 z 0
4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，（薄板中面 内的各点都没有平行中面的位移）即 u z0 0 vz0 0 u v v u 因为： x , y , xy x y x y
E 2w 2w x z( 2 2 ) 2 1 x y E 2w 2w y z( 2 2 ) 2 1 y x E 2w xy z 1 xy
写为矩阵形式：
2w 2 x 0 2w 1 0 2 y 1 0 2w 2 2 xy

(7-34)
式中
1 E D 2 1 0
0 1 0 1 0 2
(7-35)
是平板的弹性矩阵，它和平面应力问题中的弹性矩阵完全相同。
从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微元上作用着弯矩
图 7-1
得
u w , z x
v w z y
w w , 上面两式分别对z积分，并注意 ，即与z无关，得 x y
w w u z f1 ( x , y ) , v z f2 ( x, y ) x y
式中 f 1 ( x , y ) 和 f 2 ( x , y ) 是x，y的任意函数。

1 1 ~ b 80 100
1 1 1 1 ~ ~ 80 100 b 5 8
薄膜 δ —厚度 薄板

0 l
0
q(
x)
x
3dx
ql
Q 均布横向力q：M
yi zi
Q yj
2 ql 2
12 ql
M zj
2 ql 2
12
第3节 单元刚度矩阵旳坐标变换
Re , e ,[k]表示单元在局部坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵 Re , e ,[k]表示单元在整体坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵
bi x
ci
y
(i, j, k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
第1节 三角形常应变单元(续2)
三、应变
u
x y
xy
S1
总虚变形功：
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
对于平面问题：
(Xu Yv)dxdy (Xu Yv)ds S1
( x x y y xy xy )dxdy
第4节 最小势能原理
最小势能原理
在几何可能旳一切允许位移和形变中,真正旳位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正旳位移和形变。
总 势 能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
外力势能：V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz

一般说来，计算最大半带宽得公式为
B =
(D
+ 1 )× f
其中，B是最大半带宽，D是从全部单元集 合中得到的单元结点编号差值的最大值，f 是每个结点得自由度数。
• 二、选择位移函数
有限元法的基本思想是分段逼近,即把感兴趣的区域分为许多小区域(有限 元)后再对每个子域用简单函数近似求解,最后得到复杂问题的解.因此,最必要的 步骤是为每一个单元的解选择一个简单的函数,用以表示单元内位移形状的这种 函数称为位移函数, 由于以下原因,多项式形式 的位移函数用得最为广泛. (1)用多项式形式的插 值函数来建立和计算有限元 方程比较容易,特别是易于 进行微分和积分. (2)如图所示,增加多项 式的阶数可以改善结果的精 度.在理论上,无限次多项式 就相当于准确解.但在实际 中,我们只取有限次的多项 式作为近似解.
今考虑如上图所示的物体,它受到外力F1，F2,…等的作用。记 {F}=[F1,F2,F3,…]T,在这些外力作用下,物体的应力为:
{σ} = {σ x ,σ y ,σ z ,τ xy,τ yz ,τ zx}T
现假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位 移为δ1* ，δ2*， δ3*，…。记{δ* }=[δ1* ，δ2*， δ3*，…]T,由虚位移所产生得虚 应变为
位移函数的多项式形式
一维单元中,位移函数的多项式形式表示为:
u ( x ) = a1 + a2 x + a3 x 2 + L + an +1 x n
二维单元中,位移函数的多项式形式表示为:
u ( x , y ) = a1 + a 2 x + a3 y + a 4 x 2 + a5 y 2 + a 6 xy L + a m y n

有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
完全法谐响应分析----加载并求解
步骤：
2 定义分析类型和分析选项
· 选项： Mass Matrix Formulation[LUMPM]
此选项用于指定是采用缺省的分布质量矩阵（取决 于单元类型）还是集中质量矩阵。建议在大多数应用中 采用缺省的分布质量矩阵。但对于某些包含“薄膜”结 构的问题，集中质量近似矩阵经常能产生较好的结果。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
三种求解方法----完全法
优点：
· 用单一处理过程计算出所有的位移和应 力。 · 允许定义各种类型的载荷：节点力、外 加的（非零）位移、单元载荷（压力和温 度）。 · 允许在实体模型上定义载荷。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
步骤：
9 观察结果
2.派生数据 · 节点和单元应力 · 节点和单元应变 · 单元力 · 节点反作用力，等等。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
缩减法谐响应分析
缩减法的分析过程由五个主要步骤组成： 1.建模； 2.加载并求得缩减解； 3.观察缩减解结果； 4.扩展解（扩展过程）； 5.观察已扩展的解结果。 在这些步骤中，第1步的工作与完全法的相同。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
任何持续的周期载荷作用在结构系统中 所产生的持续性周期响应（谐响应）。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析 谐响应分析寻求对已知幅值载荷的
响应振幅。 该载荷随时间以已知频率呈正弦形
式变化。

广泛适用性
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。

单击【Solution 1】节点，右键单击弹出的【求解】命令，弹出【求解】对话框，单 击【确定】按钮。
稍等窗口出现【模型检查信息】、【分析作用监视器】和【解算监视器】3个对话框， 其中【解算监视器】包括【解算信息】、【稀疏矩阵求解器】和【特征值抽取】3个选 项，等待出现【作业已完成】的提示信息后，关闭各个信息对话框。双击出现的【结
在下拉菜单中选择【拆分面】命令，如图所示，【类型】中选择【通过点来分割面】， 【在边上选择起始位置】中选择内圆边的1/4象限点（俗称：四分点），【在边上选择
结束位置】选择对面端面内圆边对应的1/4象限点，如图所示；
设置相 关参数
选取相应 的四分点
选取相应 的四分点
分割好 的面
7）插入刚性连接点
在主菜单中点击【插入】，在下拉菜单中选择【模型准备】命令，置相 关参数
点1
点2
8）创建仿真模型
单击工具栏中的【3D四面体网格】图标，弹出【3D四面体网格】对话框；
设置相 关参数
划分网格 示意图
9）建立1D刚性连接
在工具栏中点击【1D连接】图标，出现如图所示的对话框。 设置相 关参数
设置好刚性连 接的连杆
单击应用
设置好的1D 刚性连接
第7章 屈曲响应分析实例精讲——二力杆失稳分析
本章内容简介 本实例在介绍屈曲分析知识的基础上，以汽车底盘常用的转向拉杆二力杆作
为分析对象，基于小变形线弹变理论，利用UG NX高级仿真提供的【SOL 105 Linear Buckling】解算方案，计算其模型的特征值和失稳形状，从而推算出结构 屈曲响应的临界作用载荷。分析计算的屈曲特征值与理论计算结果进行比较，为 学习和掌握NX中屈曲分析提供了可借鉴的方法和手段。

整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量

有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。

对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。

已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。

(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。

(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。

若计算问题具有对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。

按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。

其中伽辽金法的精度最高。

2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。

网第 格三
节
清 除 实 体 模 型 上 的
第七章 网格划分与创建有限元模型技术
2．清除线上定义的节点和线单元
选择菜单路径Main Menu> Preprocess or>Meshing>Clear>Lines，弹出拾取 清除网格的线对话框，用鼠标拾取线， 单击OK按钮。
24
网第 格三
节
清 除 实 体 模 型 上 的
制
单元。在自由网格划分时，建议用户使
用SmartSize控制网格的大小。
14
第 第七章 网格划分与创建有限元模型技术
二
节
SmartSize网格划分控制
网
格 划 分 控
1．SmartSize的基本控制 基本控制是指用SmartSize的网格划分 水平值（大小为1～10）来控制网格划 分大小。程序会自动地设置一套独立的
nu> Preprocessor >Meshin g> MeshTool菜单，打开 网格划分工具，如右图所
示。
13
第 第七章 网格划分与创建有限元模型技术
二
节
SmartSize网格划分控制
网
格 划 分 控
SmartSize是ANSYS提供的强大的自动 网格划分工具，它有自己的内部计算机 制，使用SmartSize在很多情况下更有 利于在网格生成过程中生成形状合理的
4．清除体上定义的节点和体单元
选择菜单路径Main Menu> Preprocess or>Meshing>Clear> Volumes，弹出拾 取清除网格的体对话框，用鼠标拾取 体，单击OK按钮。
26
网第 格三
节

其中，
，单元[xi1, xi ] 的中点为 于是有
第24页，共56页。
如果把单元刚度矩阵 K和(i) 单元荷载向量 “F扩(i) 大”，便得到
和 为 K(i)
F(i)
类似地，可写出 和 K(3) .K(4)
第25页，共56页。
然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：
第26页，共56页。
依边界条件
2
fuh
)dx
1 n
2 i1
( pu xi
2
xi 1
h
quh2 )dx
n i 1
xi xi 1
fuh dx(7.7)
作变换
x xi1
hi
(7.8)
13
第13页，共56页。
并引入记号
N0 ( ) 1 , N1( )
则在单元ei [xi1, xi ]上，uh可写成
或写成
uh (x)
从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点 近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的 邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近 似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一 步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有 限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
其中 这就是总荷载向量.
(7.17)
第18页，共56页。
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出， 的K计算，
实际上是把 中K四(i个) 元素在适当的位置上“对号入座”地叠加 ， 的计算b也是如此．我们引入 ，只是B为(了i) 叙述方便，实际上
3 第3页，共56页。

31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
有限元法的力学基础

•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。

有限元分析与应用_第7讲有限元方法的一般步骤有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种将连续体力学问题转化为有限个离散子域的数学方法。

下面是有限元方法一般步骤的详细介绍。

第一步是建立数学模型。

根据实际问题的特点和要求，选择合适的数学模型。

通常需要确定几何模型（包括尺寸和形状）、物理模型（包括材料特性和边界条件）和数学模型（通常为偏微分方程组）。

同时，也要将实际问题抽象为离散子域。

第二步是离散化。

将实际问题转化为有限个子域，将连续的问题离散为离散节点和单元的问题。

通常包括选择节点和单元的类型、确定网格尺寸和单元形状以及建立局部坐标。

第三步是建立有限元方程。

根据离散化的结果，利用变分原理或其他数学方法，建立离散节点上的有限元方程。

通常需要建立刚度矩阵和载荷矢量。

刚度矩阵的计算包括积分和局部坐标转换等。

第四步是引入边界条件。

根据实际问题的特点，确定边界条件，包括固支约束、力和热边界条件等。

将边界条件应用到有限元方程中，得到最终的离散方程。

第五步是求解离散方程。

利用数值计算方法，求解离散方程组，得到节点上的未知位移、温度或其他待求解变量。

求解过程一般涉及线性方程组的求解方法，如直接法（高斯消元法）和迭代法（雅可比法、SOR法等）。

第六步是后处理。

根据求解结果，进行数据分析和可视化，得到问题的解释和评估。

后处理结果可以包括位移、应力、温度等各种物理量的分布图、曲线图和表格。

同时，也可以对模型进行验证和优化。

总的来说，有限元方法的一般步骤包括建立数学模型、离散化、建立有限元方程、引入边界条件、求解离散方程和后处理。

每个步骤都需要综合考虑问题特点、数学方法和计算机实现的要求。

在实际应用中，可以根据具体情况和经验进行适当的调整和改进，以得到更准确和高效的结果。

这些有限元在节点处相互连接，形成 一个离散化的模型，用于模拟真实结 构的力学行为、热传导、电磁场分布 等。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。

13
三、大变形情况下的本构关系
等温、绝热条件下的小变形线弹性情况，可以 用三种等效的方法描述应力和应变之间的关系
ij Dijkl kl
ij
W
ij
W
1 2
Dijkl ij kl
ij
t
Dijkl
kl
t
应用于弹性以外的情况，得到三种不再等效，但 具有不同普遍意义的本构关系。连续介质力学将 它们分别称为弹性、超弹性和拟弹性。
0 j --变形前面积微元法线方向的方向余弦；
Tt
0 ji
-- Lagrange应力张量；
t 0
S
ji
--
Kirchhoff应力张量；
左上标t表示应力张量是属于变形后位形的，左 下标0表示此量是在变形前位形内度量的。
应力张量
t ij
Tt
0 ji
t 0
S
ji
12
三者之间的关系 质量密度
t ji
t 0
xk ,
j
ij )d 0xid 0xj
20tij d 0xid 0xj
(tds)2
(0ds)2
(ij
0t xk,i
0 t
xk
,
j
)d
txi
d
tx
j
2ttij d txid txj
t
0 ij
1 2
(0t
xk
,i
t 0
xk
,
j
ij )
t
t ij
1 2
(
ij
0t xk
,i
0 t
xk
,
j
)
6
t
0 ij
--Green-Lagrange应变张量（Green应变张量）。

e
i
j
m
v
j
w j
u
m
i
m
p
vm
wm
j y
u
p
x
vp
w p
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-2-1 位移函数
单元内任一点的位移 {f}假定为座标的线性函数
u
f
v
N
e
w
u 1 2x3y 4z v 5 6x7 y 8z w9 10x 11y 12z
节点i, j, m及 p的坐标分别为(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xm,ym,zm) 及 (xp,yp,zp)，把它们代入上式的第一式，得出各节点在x方 向的位移
第七章 空间问题和空间轴对称问题
ui 1 2 xi 3 yi 4 zi u j 1 2x j 3 y j 4z j um 1 2 xm 3 ym 4 zm up 1 2xp 3 yp 4zp
解方程组，求得 1,2,3,4，代入第一式，整理后得到
u N iu i N ju j N m u m N p u p
其中
Ni 61 Vaibixciydiz
N j 6 1 Vajbjxcjydjz
Nm61 Vambmxcmydmz
Np61 Vapbpxcpydpz
称为形函数，其系数是
第七章 空间问题和空间轴对称问题
xj yj zj ai xm ym zm
xp yp zp
1 xj zj ci 1 xm zm
同样，可以得到
vNivi Njvj NmvmNpvp wNiwi Njwj NmwmNpwp
单元内任一点的位移可以写成如下形式：
f N 0 i N 0 i 0 0

有限元基础讲解
有限元分析是一种工程数值分析方法，用于解决复杂结构的力学问题。

它将结构划分为有限数量的小单元，通过对这些小单元进行数值计算，得到整个结构的力学行为。

有限元分析的基本步骤包括：
1. 离散化：将结构划分为有限数量的小单元，如三角形、四边形、六面体等。

每个小单元具有一些自由度，用于描述该单元的位移、应力等信息。

2. 建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，计算每个小单元的刚度矩阵。

刚度矩阵描述了小单元受力和位移之间的关系。

3. 组装全局刚度矩阵：将所有小单元的刚度矩阵组装成整个结构的全局刚度矩阵。

这个过程涉及到将小单元的自由度与整个结构的自由度进行匹配。

4. 施加边界条件：确定结构的边界条件，如固支、受力等。

将这些边界条件转化为对应的约束条件，将其应用于全局刚度矩阵中。

5. 求解方程：将约束条件应用于全局刚度矩阵，得到未知位移的方程。

通过求解这些方程，可以得到结构的位移、应力等信息。

6. 后处理：根据求解结果，进行后处理分析。

可以计算结构的应力、变形、位移等，并进行可视化展示。

有限元分析的优点包括可以处理复杂的几何形状和边界条件，具有较高的计算精度和灵活性。

但也存在一些限制，如需要对结构进行合理的离散化、需要大量的计算资源等。

物理模拟方法简介
（1）缝隙法 为了定性地了解接触面压力分布，可在模具的相应部分留有垂直于模
面的窄缝或小孔，根据流入窄缝或小孔的模拟材料外形或高度，定性地判定 接触面正压力分布。
物理模拟方法简介
（2）硬度法 冷变形时，变形程度越大硬化越强，硬度越高，因此可根据硬度
的分布，判别变形不均匀的程度。根据下图能判断出，圆柱体镦粗时变 形可分为三个区，中心区是大变形区，侧面鼓形是中等变形区，上下接 触面是小变形区。
物理模拟方法简介
（4）叠层法 叠层法是利用易变形材料(铅和塑性泥等)制成薄
片，然后叠成试样进行模拟实验的方法。 为了研究挤压时的变形流动情况，可以用颜色
不同的塑性泥层制成试样进行挤压，然后沿子午面切 开，由不同颜色的各层位置变化来观察变形区的情况， 此外，用铅制成薄片重叠成圆柱体进行镦粗，不仅可 观察变形流动，还可以把变形后的铅层分开，通过测 量各层不同部位的尺寸变化，计算出变形体内的应变 分布。
形状、尺寸精度和组织性能的产品的加工方法，称为金属塑性成形，也称为金 属塑性加工或金属压力加工。
如果不考虑切头、去尾、火耗等损失，那么金属材料的体积、质量在塑 性成形前后可看做没有发生变化，因此塑性成形是无屑或少屑的金属加工方法。
塑性成形方法与分类
1、根据加工时工件受力和变形方式的不同，金属塑 性成形方法可分为锻造、挤压、轧制、拉拔、冲压 等。 2、根据金属变形特征的不同，又可将金属塑性成形 分为：体积成形（或称块料成形）和板料成形（冲 压）两大类。 3、金属塑性成形按照加工时工件的温度又可分为热 塑性成形、冷塑性成形和温塑性成形。
物理模拟方法简介
（5）坐标网格法(Coordinate Grid Method) 是研究金属塑性变形分布应用最广泛的一种方法，