有限元法基础讲稿-第7讲新.doc
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有限元 第7讲 薄板弯曲问题有限元法
2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即 z 0 。由于板内各点 的挠度与 z坐标无关，只是x，y的函数，即 w w( x, y) 3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层 相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即 z 0
4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，（薄板中面 内的各点都没有平行中面的位移）即 u z0 0 vz0 0 u v v u 因为： x , y , xy x y x y
E 2w 2w x z( 2 2 ) 2 1 x y E 2w 2w y z( 2 2 ) 2 1 y x E 2w xy z 1 xy
写为矩阵形式：
2w 2 x 0 2w 1 0 2 y 1 0 2w 2 2 xy
(7-34)
式中
1 E D 2 1 0
0 1 0 1 0 2
(7-35)
是平板的弹性矩阵，它和平面应力问题中的弹性矩阵完全相同。
从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微元上作用着弯矩
图 7-1
得
u w , z x
v w z y
w w , 上面两式分别对z积分，并注意 ，即与z无关，得 x y
w w u z f1 ( x , y ) , v z f2 ( x, y ) x y
式中 f 1 ( x , y ) 和 f 2 ( x , y ) 是x，y的任意函数。
1 1 ~ b 80 100
1 1 1 1 ~ ~ 80 100 b 5 8
薄膜 δ —厚度 薄板
有限元基础课件
0 l
0
q(
x)
x
3dx
ql
Q 均布横向力q：M
yi zi
Q yj
2 ql 2
12 ql
M zj
2 ql 2
12
第3节 单元刚度矩阵旳坐标变换
Re , e ,[k]表示单元在局部坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵 Re , e ,[k]表示单元在整体坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵
bi x
ci
y
(i, j, k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
第1节 三角形常应变单元(续2)
三、应变
u
x y
xy
S1
总虚变形功：
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
对于平面问题：
(Xu Yv)dxdy (Xu Yv)ds S1
( x x y y xy xy )dxdy
第4节 最小势能原理
最小势能原理
在几何可能旳一切允许位移和形变中,真正旳位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正旳位移和形变。
总 势 能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
外力势能：V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
有限元分析与应用_第7讲、有限元方法的一般步骤
一般说来，计算最大半带宽得公式为
B =
(D
+ 1 )× f
其中，B是最大半带宽，D是从全部单元集 合中得到的单元结点编号差值的最大值，f 是每个结点得自由度数。
• 二、选择位移函数
有限元法的基本思想是分段逼近,即把感兴趣的区域分为许多小区域(有限 元)后再对每个子域用简单函数近似求解,最后得到复杂问题的解.因此,最必要的 步骤是为每一个单元的解选择一个简单的函数,用以表示单元内位移形状的这种 函数称为位移函数, 由于以下原因,多项式形式 的位移函数用得最为广泛. (1)用多项式形式的插 值函数来建立和计算有限元 方程比较容易,特别是易于 进行微分和积分. (2)如图所示,增加多项 式的阶数可以改善结果的精 度.在理论上,无限次多项式 就相当于准确解.但在实际 中,我们只取有限次的多项 式作为近似解.
今考虑如上图所示的物体,它受到外力F1，F2,…等的作用。记 {F}=[F1,F2,F3,…]T,在这些外力作用下,物体的应力为:
{σ} = {σ x ,σ y ,σ z ,τ xy,τ yz ,τ zx}T
现假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位 移为δ1* ，δ2*， δ3*，…。记{δ* }=[δ1* ，δ2*， δ3*，…]T,由虚位移所产生得虚 应变为
位移函数的多项式形式
一维单元中,位移函数的多项式形式表示为:
u ( x ) = a1 + a2 x + a3 x 2 + L + an +1 x n
二维单元中,位移函数的多项式形式表示为:
u ( x , y ) = a1 + a 2 x + a3 y + a 4 x 2 + a5 y 2 + a 6 xy L + a m y n
有限元方法与ANSYS应用第7讲有限元的基础理论与方法 有限元案例分析 动力分析
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
完全法谐响应分析----加载并求解
步骤：
2 定义分析类型和分析选项
· 选项： Mass Matrix Formulation[LUMPM]
此选项用于指定是采用缺省的分布质量矩阵（取决 于单元类型）还是集中质量矩阵。建议在大多数应用中 采用缺省的分布质量矩阵。但对于某些包含“薄膜”结 构的问题，集中质量近似矩阵经常能产生较好的结果。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
三种求解方法----完全法
优点：
· 用单一处理过程计算出所有的位移和应 力。 · 允许定义各种类型的载荷：节点力、外 加的（非零）位移、单元载荷（压力和温 度）。 · 允许在实体模型上定义载荷。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
步骤：
9 观察结果
2.派生数据 · 节点和单元应力 · 节点和单元应变 · 单元力 · 节点反作用力，等等。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
缩减法谐响应分析
缩减法的分析过程由五个主要步骤组成： 1.建模； 2.加载并求得缩减解； 3.观察缩减解结果； 4.扩展解（扩展过程）； 5.观察已扩展的解结果。 在这些步骤中，第1步的工作与完全法的相同。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
任何持续的周期载荷作用在结构系统中 所产生的持续性周期响应（谐响应）。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析 谐响应分析寻求对已知幅值载荷的
响应振幅。 该载荷随时间以已知频率呈正弦形
式变化。
《有限元基础》课件
广泛适用性
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
UG有限元分析第7讲
单击【Solution 1】节点，右键单击弹出的【求解】命令，弹出【求解】对话框，单 击【确定】按钮。
稍等窗口出现【模型检查信息】、【分析作用监视器】和【解算监视器】3个对话框， 其中【解算监视器】包括【解算信息】、【稀疏矩阵求解器】和【特征值抽取】3个选 项，等待出现【作业已完成】的提示信息后，关闭各个信息对话框。双击出现的【结
在下拉菜单中选择【拆分面】命令，如图所示，【类型】中选择【通过点来分割面】， 【在边上选择起始位置】中选择内圆边的1/4象限点（俗称：四分点），【在边上选择
结束位置】选择对面端面内圆边对应的1/4象限点，如图所示；
设置相 关参数
选取相应 的四分点
选取相应 的四分点
分割好 的面
7）插入刚性连接点
在主菜单中点击【插入】，在下拉菜单中选择【模型准备】命令，置相 关参数
点1
点2
8）创建仿真模型
单击工具栏中的【3D四面体网格】图标，弹出【3D四面体网格】对话框；
设置相 关参数
划分网格 示意图
9）建立1D刚性连接
在工具栏中点击【1D连接】图标，出现如图所示的对话框。 设置相 关参数
设置好刚性连 接的连杆
单击应用
设置好的1D 刚性连接
第7章 屈曲响应分析实例精讲——二力杆失稳分析
本章内容简介 本实例在介绍屈曲分析知识的基础上，以汽车底盘常用的转向拉杆二力杆作
为分析对象，基于小变形线弹变理论，利用UG NX高级仿真提供的【SOL 105 Linear Buckling】解算方案，计算其模型的特征值和失稳形状，从而推算出结构 屈曲响应的临界作用载荷。分析计算的屈曲特征值与理论计算结果进行比较，为 学习和掌握NX中屈曲分析提供了可借鉴的方法和手段。
稍等窗口出现【模型检查信息】、【分析作用监视器】和【解算监视器】3个对话框， 其中【解算监视器】包括【解算信息】、【稀疏矩阵求解器】和【特征值抽取】3个选 项，等待出现【作业已完成】的提示信息后，关闭各个信息对话框。双击出现的【结
在下拉菜单中选择【拆分面】命令，如图所示，【类型】中选择【通过点来分割面】， 【在边上选择起始位置】中选择内圆边的1/4象限点（俗称：四分点），【在边上选择
结束位置】选择对面端面内圆边对应的1/4象限点，如图所示；
设置相 关参数
选取相应 的四分点
选取相应 的四分点
分割好 的面
7）插入刚性连接点
在主菜单中点击【插入】，在下拉菜单中选择【模型准备】命令，置相 关参数
点1
点2
8）创建仿真模型
单击工具栏中的【3D四面体网格】图标，弹出【3D四面体网格】对话框；
设置相 关参数
划分网格 示意图
9）建立1D刚性连接
在工具栏中点击【1D连接】图标，出现如图所示的对话框。 设置相 关参数
设置好刚性连 接的连杆
单击应用
设置好的1D 刚性连接
第7章 屈曲响应分析实例精讲——二力杆失稳分析
本章内容简介 本实例在介绍屈曲分析知识的基础上，以汽车底盘常用的转向拉杆二力杆作
为分析对象，基于小变形线弹变理论，利用UG NX高级仿真提供的【SOL 105 Linear Buckling】解算方案，计算其模型的特征值和失稳形状，从而推算出结构 屈曲响应的临界作用载荷。分析计算的屈曲特征值与理论计算结果进行比较，为 学习和掌握NX中屈曲分析提供了可借鉴的方法和手段。
有限元课件ppt
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
有限元的理论基础
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
ANSYS有限元基础教程课件_王新荣第7章
网第 格三
节
清 除 实 体 模 型 上 的
第七章 网格划分与创建有限元模型技术
2．清除线上定义的节点和线单元
选择菜单路径Main Menu> Preprocess or>Meshing>Clear>Lines，弹出拾取 清除网格的线对话框，用鼠标拾取线， 单击OK按钮。
24
网第 格三
节
清 除 实 体 模 型 上 的
制
单元。在自由网格划分时，建议用户使
用SmartSize控制网格的大小。
14
第 第七章 网格划分与创建有限元模型技术
二
节
SmartSize网格划分控制
网
格 划 分 控
1．SmartSize的基本控制 基本控制是指用SmartSize的网格划分 水平值（大小为1～10）来控制网格划 分大小。程序会自动地设置一套独立的
nu> Preprocessor >Meshin g> MeshTool菜单，打开 网格划分工具，如右图所
示。
13
第 第七章 网格划分与创建有限元模型技术
二
节
SmartSize网格划分控制
网
格 划 分 控
SmartSize是ANSYS提供的强大的自动 网格划分工具，它有自己的内部计算机 制，使用SmartSize在很多情况下更有 利于在网格生成过程中生成形状合理的
4．清除体上定义的节点和体单元
选择菜单路径Main Menu> Preprocess or>Meshing>Clear> Volumes，弹出拾 取清除网格的体对话框，用鼠标拾取 体，单击OK按钮。
26
网第 格三
节
有限元方法课件演示文稿
其中，
，单元[xi1, xi ] 的中点为 于是有
第24页，共56页。
如果把单元刚度矩阵 K和(i) 单元荷载向量 “F扩(i) 大”，便得到
和 为 K(i)
F(i)
类似地，可写出 和 K(3) .K(4)
第25页，共56页。
然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：
第26页，共56页。
依边界条件
2
fuh
)dx
1 n
2 i1
( pu xi
2
xi 1
h
quh2 )dx
n i 1
xi xi 1
fuh dx(7.7)
作变换
x xi1
hi
(7.8)
13
第13页，共56页。
并引入记号
N0 ( ) 1 , N1( )
则在单元ei [xi1, xi ]上，uh可写成
或写成
uh (x)
从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点 近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的 邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近 似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一 步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有 限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
其中 这就是总荷载向量.
(7.17)
第18页，共56页。
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出， 的K计算，
实际上是把 中K四(i个) 元素在适当的位置上“对号入座”地叠加 ， 的计算b也是如此．我们引入 ，只是B为(了i) 叙述方便，实际上
3 第3页，共56页。
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结构分析中只采用节点载荷，所有作用在单元上的集中力、体积力与表面力都必须静力
等效地移置到节点上去，形成等效节点载荷。最后，将所有节点载荷按照整体节点编码 顺序组集成整体节点载荷向量。 集成整体刚度矩阵K，得到总体平衡方程 Kδ=P 引进边界约束条件，解总体平衡方程求. 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
• 结构离散化
结构离散化就是将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点 连接。结构的离散化是有限单元法分析的第一步，关系到计算精度与计算效率，是有限 单元法的基础步骤，包含以下三个方面的内容： (1) 单元类型选择。离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状、单元节点数与节点 自由度数等三个方面的内容。 (2) 单元划分。划分单元时应注意以下几点：①网格划分越细，节点越多，计算结果越 精确。网格加密到一定程度后计算精度的提高就不明显，对应力应变变化平缓的区域不 必要细分网格。②单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体，如三角形单元三 边应尽量接近，且不出现钝角；矩阵单元长宽不宜相差过大等。③单元节点应与相邻单 元节点相连接，不能置于相邻单元边界上。④同一单元由同一种材料构成。⑤网格划分 应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。 (3) 节点编码
有限元法及ansys概述
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
• 单元分析
通过对单元的力学分析建立单元刚度矩阵Ke。
•
整体分析
整体分析包括以下几方面内容： 集成整体节点载荷向量P。结构离散化后，单元之间通过节点传递力，所以有限单元法在