第三讲__拉姆齐模型

第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。

当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。

当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。

图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响c c gold 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。

二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：三、厂商行为沿用新古典生产函数),(AL K F Y = 根据欧拉定理，AL AL Y K K Y Y )(∂∂+∂∂=其中，资本的边际产品为：r k f KY==∂∂)('（真实利率） 有效劳动的边际产品为：w k kf k f AL Y=-=∂∂)(')()(（工资率）四、家庭行为1.一些假定和符号总人口为L ，以速率n 增长，e L t L nt )0()(=； 家庭的个数为H ，每个家庭有L/H 个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H 。

2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：dt HL t C u dt H t L t C u U o t tn o t te e )0()]([)()]([)(⎰⎰∞=--∞=-==ρρ 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(∙u 为即期效用函数，ρ为贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。

拉姆齐模型家庭行为：总人口：L 人口增长率：n 家庭数量：H 家庭初始资本量：K （0）/H家庭效用函数：()[]()dt Ht L t C u eU t t⎰∞=-=0ρ （1）C （t ）：t 时刻家庭每个成员的消费 u ：瞬时效用函数，L （t ）/H ：家庭成员数 ρ：贴现率瞬时效用函数（相对风险厌恶不变的函数（CRRA ））：()()()θθ-=-11t C t C u θ＞0，ρ-n-（1-θ）g ＞0 （2） 相对风险厌恶的系数：()()θ=-C u C Cu '/''厂商行为：厂商生产函数：Y=F （K ，AL ） A 以速率g 外生的增长资本的边际产品：)(/),('k f K AL K F =∂∂，()∙f 是生产函数的紧致形式 市场竞争性的，不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，即真实利率为：()()()t k f t r '=有效劳动的边际产品：()AL AL K F ∂∂/,=()()()())('t k f t k t k f -，即等于每单位有效劳动的工资：w(t)=()()()())('t k f t k t k f - （3）家庭预算约束：家庭的终生消费的贴现值不能超过其初始财富与其终生劳动收入的现值之和 考虑r 可随时间变化，定义()()τττd r t R t⎰==(4)在0时刻投资一单位产出品，在t 时刻获得产品()t R e在t 时刻的一单位产品的价值用0时刻的产出表示为()t R e-每个家庭成员数：L （t ）/Ht 时刻的劳动总收入是W （t ）L （t ）/H t 时刻的消费支出是C （t ）L （t ）/H 家庭初始资本：K （0）/H家庭预算约束：()()()()()()()⎰⎰∞=-∞=-+≤00t t R t t R dt H t L t W e H K dt H t L t C e(5) 我们可以用家庭的资本持有量的极限形式表示预算约束将（5）式各项移到右边，化简得：()()()()[]()⎰∞=-≥-+000t t R dt H t L t C t W e H K （6）我们可以写出从t=0到t=∞的及积分形式作为一种极限，（6）式等价于：()()()()[]()00lim 0≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎰=-∞→st t R s dt H t L t C t W e H K （7）家庭最大化问题：考虑到技术进步，c （t ）为有效劳动的消费()()gt e A t A 0=，()()()t c t A t C =,()()()()H L A k K /0000=由（2）式：()()()()()[]()[]()()()()θθθθθθθθθθθ-=-=-=-=-------1010111111111t c e A t c e A t c t A t C t C u gt gt （8）将（8）式代入（1）得： a ．家庭效用函数：()()()()()()()()()()()dt t c e Bdt t c e e H L A dt H e L t c e A edt Ht L t C eU t tt gt t nt t gt tt t⎰⎰⎰⎰∞=--∞=----∞=----∞=---=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1011101110111000101θθθθθβθθρθθθθρθρ （9）其中，()()H L A B /001θ-=，()g n θρβ---=1b ．家庭预算约束()()()()()()()()()()()⎰⎰∞=-∞=-+≤00000t t R t t R dt H t L t A t w e H L A k dt H t L t A t c e （10）其中，家庭的有效劳动数量是A （t ）L （t ）/H ，A （t ）L （t ）等于()()()t g n e L A +00 （11）将（11）代入（10）得到：()()()()()()()⎰⎰∞=+-∞=+-+≤000t tg n t R t t g n t R dt e t w e k dt e t c e （12） 求家庭最大化，由（9）和（12）式构造拉格朗日函数：()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=Φ⎰⎰⎰∞=∞=+-+-∞=--000101t t tg n t R t g n t R t t dt t c e e dt t w e e k dt t c e B λθθβ （13）其中，()g n θρβ---=1在时刻t ，家庭消费c （t ），对于每一个c （t ），一阶条件是：()()()t g n t R te e t c Be+---=λθβ （14）对（14）式两边取对数：()()()()()t g n d r t g n t R t c t B t++-=++-=--⎰=0ln ln ln ln τττλλθβ （15）利用了()()τττd r t R t⎰==两边求关于t 的导数：()()()()g n t r t c t c ++-=--∙θβ （16） 由（16）式得到：()()()()θθρθβgt r g n t r t c t c --=---=∙（17）利用了()g n θρβ---=1的定义。

公用事业大都是自然垄断的行业，其定价受到政府主管机关的管制。

公用事业的定价与补贴机制是公用事业良性发展问题的核心。

由于公用事业的边际成本递减，边际成本定价法会导致企业的亏损，而平均成本定价法则会导致社会福利的净损失。

拉姆塞定价实际上是一种价格歧视，但它与获得垄断利润最大化为目的的第三级价格歧视不同，其价格的差别是以回收成本为目的，因此是一种管制上容许的价格歧视。

在盈亏平衡约束下,次优的定价方法是实现消费者剩余的最大化。

引用拉姆塞定价模型，令公用事业企业对n个不同市场（用户群）的需求逆函数：pi=p(qi)第i市场上的消费者剩余为:St=pi（qi）dqi−pi(qi)∗qiqi引入拉格朗日乘数⋋：π=pi qi dqi−pi qi∗qi−⋋(pi qi∗q−c(qi)nt−1)qi0经计算得：pi−mcpi ∗ε=⋋+1⋋整合有：p1−mc1p1p2−mc2p2=ε2式中:pi表示第I 时段的价格水平；mci表示第I 时段的边际成本；qi表示第I 个时段的客流量；εi表示pi对应的价格弹性。

图4-4 拉姆塞定价模型图示客流时间分布不均衡有3种情况，季节性或短期性客流不均衡（如旅游的旺淡季）；全日客流不均衡（不同线路工作日和双休日的客流变化）；不同时段客流不均衡（随人们的生活节奏和出行特点而变化）。

由于第1种情况规律性差，变化随机性大（如城市主办某一项重大活动），所以轨道交通余能利用的分时段票价主要针对后两种情况。

客流的空间分布不均衡也有3种情况:各条线路客流的不均衡，由于城市经济功能区、生活功能区与生态功能区的布局之间关系的差异而形成；上下行方向客流不均衡；各个车站乘降人数不均衡（与车站周边土地开发强度有关）。

而拉姆塞模型的含义为：需求弹性越小的市场，定价可以超出其边际成本的比例就越大，即越是在高峰时间，地铁票价越可以涨价可以凭此在最大化乘客满意度的情况下，根据弹性大小适当调整，设定最为适当的价格。

第四章 拉姆齐模型（Ramsey Model ）一、问题的提出和模型的建立Solow 模型和内生增长模型实际上是考虑和讨论经济增长的总供给方面，或生产函数的总供给方面，主要讲的是资本循环的流转的故事。

本章转向对总需求的考虑，总需求C 和I 是宏观经济的另一个重要方面，但在solow 和新增长模型中，我们明显把它们简单化了，这实际是一种强制计划经济的特征，在市场经济系统中，消费投资是非常易变的因素，本章我们放松消费仅是产出的一个比例的限制，从社会福利函数的观点，在宏观意义上对消费行为进行深入探讨。

[][][][][]成员数，是平均家庭位的，故统计是以家庭为核算单美国的是家庭数，均量，即时刻的瞬时消费，是人是抽象个人在这里，太一般，进一步简化为的累积效用所有时刻的消费的效用现在看在是一个积分值，含义是注：是时间偏好率是瞬时社会效用函数，是总消费，其中，为也称社会福利函数）考虑现实总效用函数（化的技术路线。

）关于全社会总消费优（据时段作整体的把握。

依费应当在一个动态演化的过程，故消意义不大，由于宏观是时点考虑消费，宏观上有关，在一个的是，因为消费与时间，求和不准确，更重要简单的求和不行，因为到宏观呢观个体的消费行为推广是效用函数，如何把微个人可支配收入，是相应的商品价格是商品量，其中，，种商品，个人，设系统有）的消费行为表述为（微观理论中，关于个体Ht L GDP H t L t C t c t t c Ht L t c U t c U t c U J dtet c U J J U y P P X X y X P X P X X U tT i i n n i n n n i X X n)()()()()()()()()(T 0U C )(1938Ramsy .........l......2.1i )...(max n l iagent 2000011111...1 =⋅==≤++=⎰⋅-ρρ][][][][][][][][][][]θνννθθθθθθθθ--=⋅'''-=∴⋅'''-='''-=→''''-=''-===-∴=+=⇒=>--=⎪⎩⎪⎨⎧=≠>-=⋅∴---11)()()()()()(/,)/(////,)/()/(///)/(/)/(0),(),(0,,0111)()(1),(1,01)()()()()(1111112221211212121212211212121212121212122121121221221121212111t c t c U t c t c U t c U t t c U t c c U c U c U c c U t t t c c d c U c U d c c c U c U c U c U c c X XX X d U U d X X U U U U U U d X X X X d X X X X U U U U dXdX dXU dX U X X dU rX X U rXX U T t c t c U t Inc t c t c U t c U Ht L t c U t t t t t t t t t t t t t t t t t t 再由性的消费关于替代率的弹在任意时点效用的任意性，再由令现在任意固定的弹性就是关于替代率和点，消费由定义，再任意两个时负号表示取正的增长率的影响即替代率的增长率对的替代率的弹性相对于商品进一步，定义商品的替代率相对于商品为商品称，确定无差异曲线任给若有效用函数我们知道时间上是均匀状我态，消费的影响在）认为替代率的变化对（下两点考虑：取这个效用函数是由以或者统一成，取如下形式：消费，是抽象意义上的家庭的[][][][][][][][]数称为常相对风险效用函于是，数险和常相对风险厌恶系为常数时，称常绝对风或特别当成为相对风险厌恶系数称为绝对风险厌恶系数恶的程度，继续规定为了反映消费者对风厌对风险的偏好态度数的符号决定了消费者即，效用函数的二阶导风险中性的线形函数时，消费者是当，消费者风险偏好严格凸时，当，消费者风险厌恶严格凹时，当的态度，称消费者为风险中性若的态度，称消费者为风险偏好若的态度，称消费者为风险厌恶若定义：的效用就是则消费期望值中，平均消费设想，在，那么效用的期望就是和，概率为和时刻消费为和设消费者在者对风险的偏好程度影响时，需要考虑消费在考虑有不确定性因素，，从而存在着消费风险段的消费存在不确定性，时刻看未来）因为现时在（还有另外一层含义，这个，边际效用减少弹性，消费每增加即边际效用关于消费的：用是一致的，也就是说的改变对边际效用的作上，时点是怎样消费的，在任何的经济意义是：不论是未知的，该效用函数由于函数”成为“不变弹性的效用时相等。