等离子体物理

回旋频率 | q | B m
拉摩半径
rL
m
|q|B
•
F
B漂移
电场力
EB
EB B2
其他力
FB
1 q
FB B2
• 梯度漂移 • 曲率漂移
B
1 q
m2
2B
B B
B2
m2
2q
Rc B Rc2 B 2
R
m|2|
q
Rc B Rc2 B 2
2.5 单粒子的环形约束
• 直线磁场不能有效地约束粒子 • 可用环形磁场来约束粒子
(r,,) (r)
球坐标系中 2 1 (r 2 ),
r 2 r r
故 1 (r 2 ) 1 0, 2 2 0, 此为虚宗量1/ 2阶Bessel方程。
r 2 r r
2
r 2 r r 2
令u r, 则 u , 代入上式, r
2 u 2 u 1 u
1 u u 2 1 u u 1 u
q
B B B2
2.6.2 – μ为运动常数的证明
(1) 由F||证明 平行运动方程
m d||
dt
F||
dB dz
，两边乘以
||
m||
d||
dt
d dt
(1 2
m|2| )
||
dB dz
z
dB dz
dB dt
或
d dt
(1 2
m|2| )
dB dt
0
总动能守恒
d dt
(1 2
m|2|
1 2
m
2
q
1 BT R
环形坐标(r, ,)
Bz
r：短半径
：极角
环形磁场几何位型
：环面角
Bz 对||运动的粒子产生Lorentz力
F
q||
Bz
q||Bz Rˆ
B=BZ+BT ≈ BT (BZ<<BT)
力F产生的漂移
1 q
F BT
BT2
1 q
q||Bz
BT2
Rˆ
BT
||
Bz BT
zˆ
2.5.1 垂直磁场方案
en
[exp(
e
Ti
)
e
exp( Te
)]
因 e Te , Ti
故T aylor展开,
c
en[(1
e
) (1 Ti
e
)] Te
n
e
2
(
1 Ti
1 Te
)
则2 ne2 ( 1 1 ) ,
0 Ti Te
2
其中 0 TiTe
ne2 Ti Te
以点电荷为中心的带电粒子球中，由对称性，
| q |2
磁矩守恒本质上是粒子相对导向中心的角动量守恒
2.6.3 - 磁镜俘获
F|| 有可能将粒子反射回去
在反射点 ||r 0，能量守恒
1 2
m(20
2 ||0
)
1 2
m2r
μ守恒
1 2
m
2 0
1 2
m
2 r
B0
Br
2 0
2 ||0
Br B0
2 0
B0 Br
2 0
2 0
2 ||0
磁镜
2.6.4 - 倾斜角θ
B
2.9 - 非均匀电场
• 将电场对导向中心作泰勒展开
E(r)
E0
(r
)E
(
x
2
2!
2 x 2
y2 2!
2 y 2
)
E
交叉项
• 对回旋轨道取平均 r rL (cos ,sin ,0)
交叉项平均值
xy
2
E 0
xy
E(r)
E
(
rL
=0
)E
rL2 2!
2E
2.9 - 非均匀电场
• 令垂直方向的总速度=0
z
0 ||
Bz BT
m|2|
q
1 BT R
所需z方向磁场
Bz
m||
Rq
• 新问题：所需的Bz取决于 ||和q 一个固定的Bz只能补偿正、负电荷粒子中的一
种，并且只能恰当补偿某一速度 || 的粒子
•不能同时补偿所有的粒子, 仅垂直磁场不够
2.5.2 螺旋磁场方案
( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0
r 2 r r r r 2 r
r r r r 2 r r r r 2 2 r
1 2u 1 u 1 u 2u 2 u 2u 1 u 0 2u u 0
r r 2 r 2 r r 2 r r 3 r 2 r r 3 2 r
守恒
2.6.2 – μ为运动常数的证明
A为矢势，
B
A。在柱坐标系中
A
(1
Az
r
A z
)er
(
Ar z
Az r
)e
1 r
[
r
(rA
)
Ar
]ez
Bz
1 r
(rA r
)
rL A (rL )
rL 0
rBz dr
rL2 2
Bz
m
| q |2
因此
p
q |q|
rL m
q
m
| q |2
q m
m qB 2
d dt
(
E
B)
B
B2
m qB 4
d
((E B)B
B2E)
dt
m qB2
E
极化漂移
2.8 - 时变电场
突然加上一个电场使回旋中心在力的方向产生位移——极化漂移
D
EB p
EB m
B2 qB2
E
源自文库
EB B2
1 B
E
p引起的总的位移为
r
p dt
m qB 2
E dt
tan ||
B0 Br
2 0
2 0
2 ||0
sin 2 0
临界角θc将速度空间分为损失锥和磁镜俘获区
给定倾斜角θ0,在 B0 / Br sin 2 0 处发生反射
1
临界角 c sin 1(B0 / Br ) 2
损失锥为所有θ < θc
2.6.5 - 磁镜运动的其他特征
• 回旋轨道包围的磁通量为常数
Φ
πrL2 B
πm
2 2
q2B2
B
2πm q2
1 2
m
2
B
2πm 常数
q2
• 如果磁场突然变化，μ不会守恒
用轨道描述的通量管
要求 rL B / | B | ，即B慢变化
2.7 - 时变磁场(感应电场)
计算粒子从感应电场中得到能量
E
B
t
E
dl
s
B
ds
dΦ dt
粒子旋转一周,电场所做的功为
(x2
2
y2
2
)E
2! x 2 2! y 2
1 ( cos2
2
sin 2
2
)E
2!
x 2
y 2
1 ( 2
2
)E
1
2E
4 x2 y 2
4
E(r)
E
rL2
2E
4
因此作一次拉摩半径修 正的E B漂移为
EB
(1
rL2 4
2)
EB
B2
2.10 - 漂移概要
极化
p
|
q q
|
E B
Bd B||
cos
]
若 Bd B||
1，令
Bd B||
r0
作Taylor展开
r r0 cos
位移轨迹近似圆
2.5.2 螺旋磁场方案
将d代入, B B,
1
(m
2 ||
1 2
m
2
)
r0
qB
||
R
如果 0
m||
qB
r0 R
rL
r0 R
其中rL 是磁场B r / R中的拉摩半径。
• 倘若Δ很小,粒子将被约束起来
w
| q | E dl | q |
B ds
s
|
q
|
d dt
|
q
|
BπrL2
粒子轨道环绕B，进行电场的线积分
2.7 - 时变磁场(感应电场)
(1
2
m
2
)
|
q
|
BπrL2
2πBm |q|B
1 2
m
2
B
2πB
||
d dt
(1 2
m
2
)
| |
2π
(1 2
m
2
)
dB dt
d 0
引入极向磁场 : B
托卡马克的螺旋磁力线
2.5.2 螺旋磁场方案
B
环形磁场几何位型
B
对 运动的粒子产生Lorentz力
F
q
B
q B rˆ
力F产生的漂移
1 F B q B2
q B
qB2
rˆ B
B ˆ
B
2.5.2 螺旋磁场方案
• 沿环截面的磁场运动的粒子方程
r d
dt
B B
2.5.2 螺旋磁场方案
安全系数：小圆每转动一圈对应的大圆转动的圈数
环面角 qs 极角
圆柱近似
qs
rB RB
由安全系数的表式，轨道位移可写为
| | rL
r0 R
m||
qB
r0 R
m||
qB
B r B R
rL qs
rLqs
2.6 - 平行磁场梯度的磁镜效应
||
E 0,B || B
平行磁镜力原理
Fx
Idy[Bz (x
dx)
Bz (x)]
Idydx
Bz x
Fy
Idx[Bz ( y dy) Bz ( y)]
Idydx Bz y
Fz
Idx[By Idxdy(
(y Bx
dy) By ( By )
y)] Idy[Bx Idydx Bz
(
x dx) (利用
Bx (x)] B 0)
等离子体物理
第二章 带电粒子在电磁场中的运动
本次课内容
第二章 带电粒子在电磁场中的运动 2.5 单粒子的环形约束 2.6 平行磁场梯度的磁镜效应 2.7 时变磁场(感应电场) 2.8 时变电场 2.9 非均匀电场 2.10 漂移概要
上次课内容回顾
• Lorentz力
F
q(E
B)
• 均匀磁场中, 匀速圆周运动/螺旋运动
rL rdr Bz
0
z
1 2
rL2
Bz z
Br
(rL
)
1 2
rL
Bz z
sin Br rL 1 Bz
B 2 B z
代入 F|| | q | B sin
F||
| q | rL
2
Bz z
1 2
m2
B
Bz z
2.6 - 平行磁场梯度的磁镜效应
• 当粒子进入磁场不断增强的区域,受到一个平行
r 2 2
环形磁场几何位型
电荷垂直分离引起的漂移
• 问题：曲率漂移和梯度漂移使使离子向上,电子 向下, 电荷分离 E E B 向外运动
2.5 单粒子的环形约束
如何解决电荷的垂直分离？ 2.5.1 垂直磁场方案 2.5.2 螺旋磁场方案
2.5.1 垂直磁场方案
|| 0,
0的电子束 ,
漂移为
d
m|2|
2.6.4 - 倾斜角θ
2.6.5 - 磁镜运动的其他特征
2.6.1 - 元磁矩回路上的作用力
平面矩形回路, I, dxdy = dA
Bz(x)
在B(r)中作用在回路上的力
F
(x,y) I Bz(y) Bx(x)
(x,y+dy) Bz(y+dy)
Bz(x+dx) By(y)
By(y+dy)
(x+dx,y) (x+dx,y+dy) Bx(x+dx)
dt
另有
d dt
(1 2
m
2
)
d dt
(B)
dB dt
B
d
dt
1 T
(
1 2
m
2
)
2.8 - 时变电场
E
B漂移
EB
EB B2
E变化
EB
变化
导向中心加速度
EB
d dt
(
EB B2
)
加速的导向中心坐标系会感受到力的存在
Fa
m
d dt
(
EB
B2 )
这个力产生另一个漂移
p
1 q
Fa B
B2
非均匀电场
E
(1
rL2 4
2)
EB B2
磁矩
m
2
2B
磁镜力
F B
上次作业参考答案
题目：等离子体中电子和单电荷离子的 热分布为麦克斯韦分布，温度Te, Ti (两者 一般不相等)。在等离子体中放一点电荷 ，在电势 e Te , Ti 时，求：
(1) 距离点电荷r处的电势 (2) 德拜长度D 表达式，说明其物理意义。
)
d dt
(1 2
m|2|
B)
0
d (B) dB 0 d 0，证毕
dt
dt
dt
2.6.2 – μ为运动常数的证明
(2) 角动量 粒子相对导向中心的角动量为
rLm
m
|q|B
m
2m |q|
1 m 2
2
B
2m
|q|
(3) 从角动量的直接证明
相对导向中心的正则角动量守恒
p
[r
(m
qA)]
z
(1) 取(r ) 0,
ne ni n ,
n
n
exp(
q
T
)
(其中qe e, qi e)
则ne
n
e
exp( ), Te
ni
n
exp(
e
Ti
)
Gauss' s
Law
E
c
0
E
Poisson's
Eq.
2 c 0
c
ni qi
neqe
en
exp(
e
Ti
)
en
e
exp( ) Te
m qB 2
[E
]
♣ 对电子和离子产生的位移不同，使两者分离，产生极化
2.9 - 非均匀电场
粒子受Lorentz力
m
d
q[E(r)
B]
dt
对一个回旋轨道求平均
m dD
dt
0
q[
E(r)
D
B]
q[
E(r)
D
B]
E(r)
D
B，两边
B
E(r)
B
B
(D
B)
B 2D
(
BD=)
0
B
D
E(r) B2
• 沿磁场方向的净Lorentz力
F||
|
q
B|
sin
|
q
| B sin
其中sin Br
B
2.6 - 平行磁场梯度的磁镜效应
由 B 0，可计算 Br随Bz的变化
1
B r r (rBr ) z Bz 0
rBr
r Bz dr z
假设rL足够小,
Bz z
常数
[rBr
]rL 0
B B
B B
||
B B
||
r 常数
• 迭加z方向的曲率和梯度漂移
速度分量
r d
dt
B B
|| d cos
dr dt
d
sin
• 两式相比,消去时间
1 dr d sin
r d
B B
||
d
cos
2.5.2 螺旋磁场方案
• 积分
r dr d sind
r0 r
π/2
B B
||
d
cos
r
r0
/[1
方向的净减速力
• 定义磁矩
1 2
m2
/
B
rL
m
|q|B
＝环形电流定义
AI
πrL2
|
q |
2πrL
| q | rL
2
• 作用在“磁偶极”矩 上的力为
F|| ||B 与磁场梯度方向相反
I | q | / t
t 2πrL /
2.6 - 平行磁场梯度的磁镜效应
磁镜效应的一些性质 2.6.1 - 元磁矩回路上的作用力 2.6.2 - μ为运动常数的证明 2.6.3 - 磁镜俘获
x y
z
2.6.1 - 元磁矩回路上的作用力
概括起来就是 F IdydxBz
定义回路磁矩
IdA
Idydxzˆ，并令其为常数
力可写为
F
(B
)
一个回旋粒子可作为一个元回路,|μ|为常数 粒子的μ总是指向磁场梯度反方向。力又可写为
F B
• 磁镜力 • 梯度漂移
F|| ||B
B
1 q
FB B2