高次方程韦达定理学案

教案韦达定理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

培养逻辑思维及创新思维能力。

二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0x 1+x2=? x1+x2=? x1+x2=?x 1x2=? x1x2=? x1x2=?问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴aacbbx2421-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。

其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。

四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。

金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。

教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

培养逻辑思维及创新思维能力。

二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．（一）定理的发现及论证问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x 1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。

其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。

四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。

金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值；⑤韦达（法国1540－1603）在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。

（1）、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。

例题1：若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x-2007=0的两根，则x 1+x 2与x 1?x 2的值分别是【 】练习：①下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】A ．x 2+2x ﹣4=0B ．x 2﹣4x+4=0C ．x 2+4x+10=0D ．x 2+4x ﹣5=0②若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】 A ．3- B ．1- C ．1 D ．3（2）、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

教师一对一个性化教案学生姓名年级科目授课教师日期时间段课时授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点及考点分析教学过程求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠，如果方程有两个实数根12,x x，那么1212,b cx x x xa a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx xa+=-的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若12,x x是方程2220070x x+-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x+；(2)1211x x+；(3)12(5)(5)x x--；(4)12||x x-．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x+=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x+=+-=---=(2) 121212112220072007x xx x x x+-+===-(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x--=-++=---+=-(4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x-=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：教学过程222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

第六课 根的判别式与韦达定理一、知识点1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式：2.韦达定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是12,x x ，那么有： 12x x +=_________ 12x x =_________ 二、例题例1 解关于x 的方程：（1）x 2－3x ＋3＝0 （2）x 2－2x ＋a ＝0 （3）2210mx x ++=例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求下列式子的值：①1211x x +；②2212x x +；③3312x x +；④()()1211x x --；⑤12x x -例5 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例6 求作一个方程，使它的根是方程2780x x -+=的两根的平方的负倒数.例7 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．三、练习： 1．填空题：（1）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．（2）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． （5）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 ．2．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．3．已知一元二次方程22450x x --=的两个根分别是12,x x ，求下列式子的值：（1）12(2)(2)x x ++ （2）3312x x + （3）12x x -4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围．第七课 分式方程高次方程与无理方程一、知识点解分式方程高次方程与无理方程的常用方法： 二、例题例1 解方程：⑴、354147=--+x x⑵、06)1(5)1(2=++-+x x x x(3)222223(21)20212x x x x +--+=-+例2 解方程：（1）322530x x +-= （2）024)5(2)5(222=----x x x x（3）(2)(1)(3)(6)16x x x x -+++= （4）43226210x x x x +-++=例3 解方程：（11x =+ （23=（3）23152x x ++=三、练习： 解下列方程： （1）2315()6022x x -+=-- （2）43253222=+-+xx x x （3）22324123x x x x =---- （4）xx x x x x 3133512=-++-+（5）22)12(31222222-=+---+x x x x （6）03)76(2)76(222=----x x x x（71= （8）22415x x -+=第八课 二元二次方程组与三元一次方程组一、知识点解方程组的方法： 二、例题例 解下列方程组：（1）22210410x y x y x y --=⎧⎨---+=⎩ （2）1128x y xy +=⎧⎨=⎩（3）222255043x y x y x xy y ⎧---=⎪⎨++=⎪⎩ （4）22124x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩（5）2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ （6）2311322114324x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩三、练习：解下列方程组（1）⎩⎨⎧=-=+1543222y x y x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=--52322222y x y xy x（3）⎩⎨⎧-==+103xy y x（4）⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+3)(2)(5)(4)(22y x y x y x y x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-++09412902522222y xy x y xy x （6）1226310x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩第九课 一元二次不等式一、知识点：一元二次不等式的解集：二、例题例1 解下列不等式：⑴ 036>-x （2） 0322<-+x x （3）062<+-x x变式： （1）23520x x +-≥ （2）2210x x -++<（3）2450x x -+> （4）2440x x -+->例2 解下列不等式（1）04312>--x x （2） 012>+-x x （3）81153x x +≥+例３ 解关于x 的不等式2(1)0x x a a ++->（a 为常数）．例４ 已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解是2<x 或3>x ，求不等式02>++c ax bx 的解．三、练习：1．解下列不等式 （1）0432>--x x（2）0122≤--x x（3）0432>-+x x（4）08162≤+-x x（5）01232<+-x x（6）0432<-x（7）122-≥-x x（8）(2)(53)0x x +-≤（9）3112>--xx （10）0)1(2<++-a x a x （a 为常数）．2．已知关于x 不等式022>-+c bx x 的解为1-<x 或3>x 。

韦达定理教案范文一、教案概述本教案针对高中数学课程中的韦达定理进行讲解和练习。

韦达定理是高中数学的重要内容之一，它是用来求解二次方程根的一种方法。

本教案以理论讲解和例题演练相结合的方式，旨在帮助学生深入理解韦达定理的原理和应用。

二、教学目标1.理解韦达定理的定义和原理；2.掌握使用韦达定理解二次方程的方法；3.能够灵活运用韦达定理求解实际问题。

三、教学内容1.韦达定理的定义和原理；2.韦达定理的应用；3.实际问题的解决方法。

四、教学步骤及教学方法1.引入新课(5分钟)通过引入类比，向学生介绍韦达定理，让学生从直观的例子中理解韦达定理的定义和原理。

2.理论讲解(25分钟)通过讲解例题和解题思路，详细阐述韦达定理的应用方法和步骤，包括如何列方程、如何计算韦达定理的公式、如何求解根等。

3.例题演练(15分钟)以课本上的习题为例，分组演练韦达定理的应用，教师抽取几道题目，引导学生进行讨论和解答，同时解答学生在解题过程中出现的疑惑和问题。

4.进一步拓展(10分钟)通过提供一道拓展习题，引导学生思考如何将韦达定理应用于实际问题的解决。

5.小结与作业布置(5分钟)对本节课的重点内容进行小结，鼓励学生进行课后练习，并布置相应的作业。

五、教学手段及教具教学手段：讲解、演练、互动探究。

教具：教师课件、习题、实物类比。

六、教学评估1.在课堂上观察学生的主动参与情况；2.检查学生在例题演练中的解题思路和结果；3.对学生的课堂表现进行口头评估。

七、教学资源教师课件、学生课本、习题集。

八、教学反思通过对学生课后作业的批改和教学评估，进一步了解学生对韦达定理的掌握情况。

在下节课中，可以根据学生的学习情况，进一步引导学生应用韦达定理解决更加复杂的实际问题。

同时，在讲解过程中，要注意与学生的互动，鼓励学生积极思考和提问，培养学生的解决问题的能力。

背景记载学校班级数学任课老师九年级数学，人民教育出版社出版2010-11-21课题名称：韦达定理及其应用教学目标：让学生进一步理解韦达定理的实质是反映出由n 个根与系数构成了n 个n 元方程组，与解一元n 次方程是完全等价的问题。

因而只利用根与系数之关系并不能解决一元n 次方程求根的问题。

只有当给出了各根之间满足的某些条件时才能应用韦选定理求方程的解集。

教学内容：教学重点和难点：重点是韦达定理的应用，难点是灵活应用韦达定理解综合性题。

课的类型：综合课教学方法：教材教具准备教学时间教学过程设计和板书设计【教学过程】一、复习提问1.韦达定理及其作用。

2.已知方程x3+p1x2+p2x+p3=0，的根为α、β、γ，则由韦达定理，得αβγ（）αβαγβγ（）αβγ（）+ + = -p 1+ + = p 2= -p 323ìí ïî ï下面解含α、β、γ的方程组，结果说明什么问题？解：（1）×α2 得α3+α2β+α2γ=-p1α2 （4）（2）×（-α）得-α2β-αβγ-α2γ=-αp2 （5）（3）+（4）+（5）得α3+p1α2+p2α+p3=0 这个结果与原方程完全相同，说明如果我们没有办法解出原方程时，同样从这三个根与系数的关系仍不能解出它的根来，只有当给出各根之间具有某种特殊关系时，应用根与系数之关系才能求出方程的根。

二、引入新课——韦达定理的应用三、小结1.已知方程的根与系数具有某种关系时应用韦达定理转化为解方程组的问题求解，当未知数的个数少于方程组中方程个数时，要适当选择方程组求解，之后必须通过检验该解满足余下的方程才是原方程的解。

2.应用韦达定理确定方程中的参数。

作业（略）（王秋芳）。

韦达定理初中教案教学目标：1. 理解并掌握韦达定理的内容及应用；2. 能够运用韦达定理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 韦达定理的表述及证明；2. 韦达定理的应用。

教学难点：1. 韦达定理的推导过程；2. 灵活运用韦达定理解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示韦达定理的推导过程和应用实例；2. 学生准备笔记本，记录重要的知识点和解题步骤。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的根与系数的关系；2. 提问：你们认为一元二次方程的根与系数之间有什么联系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍韦达定理的背景和意义；2. 讲解韦达定理的表述及证明过程；3. 通过例题展示韦达定理的应用。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 挑选几位学生的作业进行讲解和分析。

四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：如何利用韦达定理解决实际问题？2. 举例讲解如何利用韦达定理解决实际问题；3. 让学生分组讨论，提出自己遇到的实际问题，共同解决。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结韦达定理的表述和应用；2. 提问：你们认为韦达定理在数学中有什么重要性？教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习题的完成情况；3. 学生对实际问题的解决能力。

教学反思：本节课通过讲解韦达定理的表述及证明，让学生了解并掌握韦达定理的内容及应用。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对韦达定理有一定的理解。

但在拓展与应用环节，部分学生对如何将韦达定理应用于实际问题还存在一定的困难。

在今后的教学中，可以更多地举一些实际例子，让学生更好地理解和运用韦达定理。

高次方程韦达定理学习目标1. 掌握高次方程韦达定理的一般形式2. 能应用韦达定理及其逆定理解题引例 若实数,x y 满足333312017201520172016x y+=-- ⑴333312014201520142016x y+=-- ⑵试求x y +.（2017年清华大学中学生标准学术能力测试，原题是选择题）思路分析 规范解答一般地，在复数域内，设关于x 的n 次方程()11000nnn n n a x a x a x a a -++++=≠ 的n 个根是()1i x i n ≤≤，则有韦达定理（根与系数关系）如下：()()1212112110111k k nn i i n n i ji j n nk n ki i i i i i n n n n i i n a x a a x x a a x x x a a x a -=-≤<≤-≤<<<≤=⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∏ ⑶韦达定理的逆定理也成立，即：若()1i x i n ≤≤满足（3）式，则()1i x i n ≤≤一定是关于x 的方程()11000nnn n n a x a x a x a a -++++=≠ 的n 个根.特别地，设一元三次方程()3200ax bx cx d a +++=≠的三个根分别为123,,x x x ，则有：123122331123,,,b x x x a c x x x x x x a d x x x a ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩⑷例1 设22222221123456a b c d e f k k k k k k k +++++=++++++⑸对1,2,3,4,5,6k =均成立，试求a b c d e f +++++. 思路分析 规范解答例2 已知方程201710z-=的所有复数根为()1,2,,2017i z i = ，则下列关于2017112i iz =-∑的判断中，一定正确的有（ ）.A. 是比20172大的实数 B. 是比20172小的实数C. 是有理数D. 是虚数（2017年清华大学优秀中学生文科冬令营试题）思路分析 规范解答例3 若实系数多项式()32f x x ax bx c =+++有三个非负零点，求证：3297a c ab +<. ⑹（2014年北京大学优秀中学生暑期体验营）思路分析 规范解答例4 设实数123123,,,,,a a a b b b 满足{}{}123123122331122331123123min ,,min ,,a a a b b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩⑺求证：{}{}123123max ,,max ,,a a a b b b ≤.（2008年北京大学自主招生试题）思路分析 规范解答例5 实数,,a b c 和正数λ使得320x ax bx c +++=有三个实数根123,,x x x ，且21x x λ-=，1232x x x +>. 求证：332279a c ab λ+-≤（全国高中数学联赛试题）思路分析 规范解答课后思考1. 若两两不同的实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 前三个都不对（2016年北京大学博雅计划试题）2. 定义区间两端点之差的绝对值为区间的长度. 若不等式12351234x x x ++≥---的解集是互不相交的若干区间的并集，求这个解集的所有区间的长度之和.（高中数学联赛湖北省预赛试题）3. 若实数,a b 使得方程320x ax bx a -+-=有三个正实根，求32331a ab ab -++的最小值.（第十届东南地区奥林匹克竞赛试题）4. 设关于x 的方程231231n n n n n n x a x a x a x a x ----+++++= 有n 个非负实数根，求证：2323202221nnn n a a a n -⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭.（亚太地区奥林匹克竞赛试题）。