21 微分方程式的建立与求解PPT课件
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高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解
三、主要问题——求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
独立的任意常数的个数=微分方程的阶数 含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使 得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意 常数相互独立．
由题意知 t = 0 时，
s 0, v ds 0 dt
(8)
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8
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
s 1 gt 2
是该微分方程的特解.
第一节 微分方程的基本概念
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22
第六章 常微分方程
内容小结
第一节 微分方程的基本概念
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解，初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
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15
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2，
C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，
因此y = C1x + C2x + 1中的C1，C2是不独立的；
代入初始条件
微分方程ppt
1
dx 1 x
,
两边积分
dy
dx
2e y 1 1 x
,
e ydy dx
2e y
, 1 x
d(2 e y ) 2e y
d(1 x) , 1 x
ln 2 e y
ln1
x
C1
,
ln (2 e y )(1 x) C2, 得通解：(2 e y )(1 x) C.
故 x C1 cos kt C2 sinkt 是原方程的解.
x A, dx 0,
t 0
dt t0
C1 A,
而
dx dt
kC1
s in kt
kC2
cos kt,
C2 0.
所求特解为 x Acoskt.
注意： 1. 有些方程可能无解.
( y)2 y2 1 0 无实函数解.
u(u 1)(u 2) x 2 u 2 u u 2 u 1
x
ln u 1 3 ln(u 2) u 2 1 ln u ln x ln C ,
2
2
u1 3 Cx.
u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2 x)3 .
(t 2 x)dt xdx 0,
2z x y.
xy
如果在微分方程中,自变量的个数只有一（个即未知函
数是一元函数）, 则称这种微分方常程微分为方程.
一般形式为F( x, y, y, , y(n) ) 0
自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为
偏微分方程 .
微分方程的建立、拉普拉斯变换及方程求解传递函数的表示
20
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）按传递函数的定义，取系统的输出信号拉氏变换与输入 信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：
G(s)
Y (s) F (s)
mS
2
1 fS
k
21
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 关于传递函数的几点说明 （1）传递函数是经过拉普拉斯变换后得出的，它只适用于 线性定常系统。 （2）传递函数是由系统结构和参数来确定的，与输入信号 的形式无关，只能反映系统在零初始状态下的动态特性。 （3）传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系 统响应的基本特点和动态本质。 （4）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系 统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传 递函数表示。
；弹簧力与物体的位移成正比
10
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）将中间变量带入原始方程式（2-1）中，削去中间变量 并整理得：
M d 2 y f dy Ky F
dt 2
dt
11
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 控制系统微分方程的一般表达式 为了方便以后的分析，我们针对一个线性定常系统，给出
33
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 干扰信号作用下的系统闭环传递函数 令输入信号为0，输出信号与干扰信号之间的传递函数
即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。 可表示为：
n (s)
C(s) N (s)
G2 (s) 1 G1 (s)G2 (s)H (s)
34
第2章
第2章 控制系统的数学模型
4. 闭环系统的误差传递函数 （1）输入信号作用下的误差传递函数
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）按传递函数的定义，取系统的输出信号拉氏变换与输入 信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：
G(s)
Y (s) F (s)
mS
2
1 fS
k
21
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 关于传递函数的几点说明 （1）传递函数是经过拉普拉斯变换后得出的，它只适用于 线性定常系统。 （2）传递函数是由系统结构和参数来确定的，与输入信号 的形式无关，只能反映系统在零初始状态下的动态特性。 （3）传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系 统响应的基本特点和动态本质。 （4）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系 统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传 递函数表示。
；弹簧力与物体的位移成正比
10
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）将中间变量带入原始方程式（2-1）中，削去中间变量 并整理得：
M d 2 y f dy Ky F
dt 2
dt
11
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 控制系统微分方程的一般表达式 为了方便以后的分析，我们针对一个线性定常系统，给出
33
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 干扰信号作用下的系统闭环传递函数 令输入信号为0，输出信号与干扰信号之间的传递函数
即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。 可表示为：
n (s)
C(s) N (s)
G2 (s) 1 G1 (s)G2 (s)H (s)
34
第2章
第2章 控制系统的数学模型
4. 闭环系统的误差传递函数 （1）输入信号作用下的误差传递函数
高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
21微分方程25页PPT
+···+an-1 ddct(t)+anc(t)
= b0 ddmtrm(t)+b1ddmt-m1r-1(t) +···+bm-1ddr(tt)+bmr(t)
第一节 控制系统的微分方程
三、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。
拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
时域t
拉氏变换
y(t)
m
(2) 初始a =微分dt方2 程组
阻尼系数f
消变除量根中得据间F:牛m=顿md第2dayt(2二t) 定+律f
dy(t) dt
+
ky(t)
=
F(t)
第一节 控制系统的微分方程
3．他激直流电动机
系工统作组原成理：：
直流电电枢机电
压作负用载下产 生电电磁枢转电矩流， 从负而载产转生矩电 磁摩转擦矩转使矩电 动励机磁转电动流.
Ud If
Te Tf TL
n
输入:电枢电压 输出:电动机速度
第一节 控制系统的微分方程
LR电根aa动据G37机基D52的尔C电霍Rma路C夫e等定dd2t效律n2 +图有3:G75DC+2mRCae ddntRa+idn 反= 电uCde势
定u义d = R机d i电d+L时d 间dditd常+数eb：
d-stt
记作 F(s)=L[f(t)]
拉氏反变换为：
f(t)=L-1 [F(s)]
第一节 控制系统的微分方程
2．常用函数的拉氏变换
(3()1()6)单单位指位斜数阶坡函跃函数函数e-数att I(t)
(4()F2(F7F)()正(s(s)s单)==F弦抛)==∫位s(∫函物∫sI20∞S()0∞tω脉+0∞t==数i函)eωne∫冲sω21S数+de∞0d-it-sta函sntttee-2ω1a数tdd==tt-2tstδt-SS1s1(t2t)
微分方程式的建立与求解
自由落体运动
通过建立微分方程式描述物体在重力作用下的运动规律，如速度、加速度与时 间的关系。
02
微分方程的求解方法
分离变量法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简 化求解过程。
详细描述
分离变量法适用于具有两个变量的微 分方程，通过分离变量，将微分方程 转化为代数方程，然后求解代数方程 得到微分方程的解。
05
微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析主要基于其 特征值和特征向量。如果所有特征值都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定 的；否则，系统是不稳定的。
线性微分方程的解可以通过求解其特征值和 特征向量得到，也可以通过积分得到。
线性微分方程的解具有叠加性，即 如果两个解都是稳定的，那么它们 的线性组合也是稳定的。
振动分析
在研究物体的振动时，通过建立位移、速度和加 速度的微分方程来分析振动的规律和特性。
3
热传导方程
在研究热量在物体中的传递时，通过建立温度关 于时间和空间的微分方程来模拟热传导过程。
在经济中的应用
供需关系
01
在分析商品市场的供需关系时，通过建立需求和供给函数的微
分方程来预测价格变动。
经济增长模型
非线性微分方程的稳定性分析
非线性微分方程的稳定性分析比线性微分方程更为复杂，需要考虑更多的因素，如非线性项的性质、 初始条件等。
非线性微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）得到，也可以通过解析方法（如 分离变量法、幂级数展开等）得到。
非线性微分方程的解具有不可叠加性，即如果两个解都是稳定的，那么它们的线性组合不一定是稳定的。
微分方程式的建立与 求解
目 录
通过建立微分方程式描述物体在重力作用下的运动规律，如速度、加速度与时 间的关系。
02
微分方程的求解方法
分离变量法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简 化求解过程。
详细描述
分离变量法适用于具有两个变量的微 分方程，通过分离变量，将微分方程 转化为代数方程，然后求解代数方程 得到微分方程的解。
05
微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析主要基于其 特征值和特征向量。如果所有特征值都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定 的；否则，系统是不稳定的。
线性微分方程的解可以通过求解其特征值和 特征向量得到，也可以通过积分得到。
线性微分方程的解具有叠加性，即 如果两个解都是稳定的，那么它们 的线性组合也是稳定的。
振动分析
在研究物体的振动时，通过建立位移、速度和加 速度的微分方程来分析振动的规律和特性。
3
热传导方程
在研究热量在物体中的传递时，通过建立温度关 于时间和空间的微分方程来模拟热传导过程。
在经济中的应用
供需关系
01
在分析商品市场的供需关系时，通过建立需求和供给函数的微
分方程来预测价格变动。
经济增长模型
非线性微分方程的稳定性分析
非线性微分方程的稳定性分析比线性微分方程更为复杂，需要考虑更多的因素，如非线性项的性质、 初始条件等。
非线性微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）得到，也可以通过解析方法（如 分离变量法、幂级数展开等）得到。
非线性微分方程的解具有不可叠加性，即如果两个解都是稳定的，那么它们的线性组合不一定是稳定的。
微分方程式的建立与 求解
目 录
求微分方程的解PPT课件
y(0) 1
fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);
注：也可以在 tspan 中指定对求解区间的分割，如：
[x,y]=ode23(fun,[0:0.1:0.5],1); %此时 x=[0:0.1:0.5]
第19页/共23页
solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、ode113、
ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb）
没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此MATLAB 提供了多 种ODE求解器，对于不同的ODE，可以调用不同的求解器。
第17页/共23页
Matlab提供的ODE求解器
度均可到 10-3～10-6
ode23t 适度刚性 采用梯形算法
适度刚性情形
ode15s
刚性 多步法；Gear’s 反向数值微 若 ode45 失效时，可
分；精度中等
尝试使用
ode23s 刚性 单步法；2 阶Rosebrock 算 当精度较低时，计算时
法；低精度
间比 ode15s 短
ode23tb 刚性 梯形算法；低精度
x y
|t 0 |t 0
1 0
[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0', ... 'x(0)=1', 'y(0)=0', 't')
ezplot(x,y,[0,1.3]);
注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词 典顺序输出；如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构（structure）类型 的数据。
《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
微分方程解法.ppt
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
d 2s 4 2 dt ds 及条件 S t 0 0, v t 0 t 0 10 dt 对（ 5）式两端积分一次，得 ds v 4 t c1 dt 在积分一次，得 S 2 t 2 c1t c 2 将条件 v
2
y x 1 只是其中过（ 1 ， 2 ）点的一条积分曲
8.2
可分离变量的一阶微分方程
一阶微分方程（differential equation of first order）
f( y x ,y ) ( 1 ) 如果能化成 g ( y ) dy f( x ) dx ( 2 )
的形式，即可表示为一 端只含 y 的函数和 dy ,而另一端只
对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的 结论。
例 1求方程 xy y e x的通解 y ex 解 将方程改写为 y x x 它是一阶线性微分方程 ，其中
1 ex P( x) , Q( x) x x 方法一 利用常数变易法，先求 对应齐次方程 1 y y 0 的通解，为此，分离 量： x 1 1 dy dx y x
将其代入（ 4 ）式，就得到了一阶线 性非其次方 1 ）的 通解：y e
p ( x ) dx Q ( x ) e dx C ( 5 ) 上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成 P ( x ) dx
x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)， 从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法 （method of constant）. 将（5）式改写成两项之和的形式
t 0
(5) (6)
(7 ) (8 )
t 0
10 代入（ 7）式中，将条件 S v 4 t 10
微分方程ppt课件
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
14
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推得
c1 v0
c2 H
于是，得到满足上述初值条件的特解为
xx(t()t)H12gt122 gt2c1t v0ct 2
(1.14)
22
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它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运 动规律.
求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值 问题.
于是我们称(1.14)是初值问题
4
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目
录
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
5
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第一讲
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
12
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例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
信号与系统 §202 微分方程式的建立与求解PPT课件
et4V
2 S R1 1
1 it iCt
C1F
et2V
iLt
L 1H 4
3
R2
2
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
R 1 it v C t e t
vCtLddtiLtiLtR2
列结点电压方程
it变 t,把 量电路参数代
方程的特解。
1将 ett2代 入 方 ,得t程 2到 2t,右 为使等端 式两端
平衡，试选特解函数式
rptB 1t2B 2tB 3
这里, B1,B2,B3为待定系将数此。式代入方程得到
3 B 1 t 2 4 B 1 3 B 2 t 2 B 1 2 B 2 3 B 3 t 2 2 t
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
三．n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号 e(t与) 响应信号 r (之t ) 间的 关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
二．微分方程的列写
• 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。
• 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关 系,KCL，KVL。
例2-2-1求并联电路的端电压 v t 与激励 is t 间的关系。
电阻 电感 电容
iRt
1 vt
R
iLt
1 L
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两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。
对于复杂系统，储能元件越多, 阶数越高;只要参数 恒定,且无非线性元件,系统可表示为LTI高阶微分方程。 X
8
二．n 阶线性时不变系统的描述
第 页
1．微分方程的描述
一个线性系统，其激励信号f(t)与响应信号y(t)之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
跳变取决于微分方程右端激励项是否包含 及其t各 阶
导数项。
X
13
电容电压的突变
第
页
由伏安关系
iC (t) C
v c(t)C 1 t ic()d
ic(t)C dd c(tv )t v C ( t )
C 1 0 ic()d C 10 0 ic()d C 10 tic()d
令 如t 果i0 c ( ,t)v v 为c c ((0 0 有 )) 限 C 1 v 值 c( 0 0 0 ic )( )C 1 d0 0 iC 1 c(0 ) t d ic( )0 d当 或 用有 阶于冲 跃电激 电容时电 压流 作：
00ic()d 0,
•卷积的性质 y zs tft h t
•系统零状态响应
X
4
第一节 连续时间系统的数学模型
第 页
主要内容
物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法(复习)
X
5
一．数学模型——微分方程的建 第
立
页
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑
andndytn(t)an1dnd1 tny1(t)a1ddy(tt)a0y(t) bmdm dtfm (t)bm1dm dt1mf1(t)b1ddft(t)b0f(t)
若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常 系数的n阶线性常微分方程。
X
9
第 页
阶次：方程的阶数由响应的最高阶导数决定。 即由独立动态元件的个数决定。
包含激励的作用,不便于描述系统的历史信息.
y (0 ),
dy (0 ), d t
d 2 d y t(2 0 ),
, d n d 1 ty n ( 1 0 )
一般系统的初始状态是在激励作用系统之前 确定的.即反映的是系统的储能状况.
X
12
第
说明 页
•对于一个具体的电网络，系统的 0状 态就是系统中
1
第
第二章 连续系统的时域分析 页
引言
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系 统的微分方程。这种方法比较直观，物理概念比 较清楚，是学习各种变换域方法的基础。
输入输出描 :一述元N阶微分方程 状态变量描 : N述 元一阶微分方程
本章中我们主要讨论输入、输出描述法
X
2
系统分析过程
第 页
列写方程 : 根据元件约,网束络拓扑约(要束求电路）
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n Ak e kt 注意重根情况处理方法。 k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
全 解：齐次解+特解。
注意: 由初始条件(0+值)代入全解中确定出齐次解系数 Ak 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应
第 页
电阻 电感 电容
iRt
1 vt
R
iLt
1 L
t vd
i
s
t
iCtCddvttiR源自iLRLC
a ic
vt
b
根据KCL iR t iL t iC t iS t
代入上面元件伏安关系，并化简有
C d d 2v t2 tR 1d d v ttL 1v t d d iS tt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
经典法: 齐次解特解
解方程 双零法 零 零状 输态 入:: 利 齐用 次卷 方积 程积 的分 解法求解
变换域法
经典法:前面电路分析课（高数）里已经讨论过，
但与(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t)
卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法)
X
3
本章主要内容
第
页
•系统数学模型的建立 •系统完全响应的求解 •冲激响应h(t)的求解 •卷积的图解说明
约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系(伏安特 性)以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等 等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
X
6
例1
求并联电路的端电压 v t 与激励 is t 间的关系。
X
7
第
例2 机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧
页
k
m f Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩
擦刚体力运为动f，速外度加v牵t 间引的力关为系FS可t以，推其导外出加为牵引力FSt与 m d d 2v t2 tfd d vtt ktv d F d S tt
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
2、系统模拟框图与微分方程
d d 2r t(2 t) 4d d r(tt) 3 r(t)d d e(tt)2 e(t)
d2rt
drt
et
2 dt2
dt
rt
4
d
dt
3
X
10
三.时域经典求解法:齐次解+特解
第
页
a n y n ( t ) a n 1 y n 1 ( t ) a 1 y ( t ) a 0 y ( t ) b m f m ( t ) b m 1 f m 1 ( t ) b 1 f ( t ) b 0 f ( t )
为 t 0时的方程的解，初始条件与初始状态的区别 X
11
第 页
初始状态: t=0-状态, f(t)=0
反映的是系统的历史信息,与激励无关.
y (0 ),
d y (0 ), d t
d 2 d y t(2 0 ), , d n d 1 tn y (1 0 )
初始条件: t=0+状态, f(t)≠0
储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
v C 0 v C 0 ,i L 0 i L 0 .
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫
作用于电感， 0到状0态 就会发生跳变。
•当系统用微分方程表示时，系统从 0到 状0 态有没有
对于复杂系统，储能元件越多, 阶数越高;只要参数 恒定,且无非线性元件,系统可表示为LTI高阶微分方程。 X
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二．n 阶线性时不变系统的描述
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1．微分方程的描述
一个线性系统，其激励信号f(t)与响应信号y(t)之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
跳变取决于微分方程右端激励项是否包含 及其t各 阶
导数项。
X
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电容电压的突变
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由伏安关系
iC (t) C
v c(t)C 1 t ic()d
ic(t)C dd c(tv )t v C ( t )
C 1 0 ic()d C 10 0 ic()d C 10 tic()d
令 如t 果i0 c ( ,t)v v 为c c ((0 0 有 )) 限 C 1 v 值 c( 0 0 0 ic )( )C 1 d0 0 iC 1 c(0 ) t d ic( )0 d当 或 用有 阶于冲 跃电激 电容时电 压流 作：
00ic()d 0,
•卷积的性质 y zs tft h t
•系统零状态响应
X
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第一节 连续时间系统的数学模型
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主要内容
物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法(复习)
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一．数学模型——微分方程的建 第
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•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑
andndytn(t)an1dnd1 tny1(t)a1ddy(tt)a0y(t) bmdm dtfm (t)bm1dm dt1mf1(t)b1ddft(t)b0f(t)
若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常 系数的n阶线性常微分方程。
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阶次：方程的阶数由响应的最高阶导数决定。 即由独立动态元件的个数决定。
包含激励的作用,不便于描述系统的历史信息.
y (0 ),
dy (0 ), d t
d 2 d y t(2 0 ),
, d n d 1 ty n ( 1 0 )
一般系统的初始状态是在激励作用系统之前 确定的.即反映的是系统的储能状况.
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•对于一个具体的电网络，系统的 0状 态就是系统中
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第二章 连续系统的时域分析 页
引言
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系 统的微分方程。这种方法比较直观，物理概念比 较清楚，是学习各种变换域方法的基础。
输入输出描 :一述元N阶微分方程 状态变量描 : N述 元一阶微分方程
本章中我们主要讨论输入、输出描述法
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系统分析过程
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列写方程 : 根据元件约,网束络拓扑约(要束求电路）
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n Ak e kt 注意重根情况处理方法。 k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
全 解：齐次解+特解。
注意: 由初始条件(0+值)代入全解中确定出齐次解系数 Ak 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应
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电阻 电感 电容
iRt
1 vt
R
iLt
1 L
t vd
i
s
t
iCtCddvttiR源自iLRLC
a ic
vt
b
根据KCL iR t iL t iC t iS t
代入上面元件伏安关系，并化简有
C d d 2v t2 tR 1d d v ttL 1v t d d iS tt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
经典法: 齐次解特解
解方程 双零法 零 零状 输态 入:: 利 齐用 次卷 方积 程积 的分 解法求解
变换域法
经典法:前面电路分析课（高数）里已经讨论过，
但与(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t)
卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法)
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本章主要内容
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•系统数学模型的建立 •系统完全响应的求解 •冲激响应h(t)的求解 •卷积的图解说明
约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系(伏安特 性)以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等 等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
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求并联电路的端电压 v t 与激励 is t 间的关系。
X
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第
例2 机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧
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k
m f Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩
擦刚体力运为动f，速外度加v牵t 间引的力关为系FS可t以，推其导外出加为牵引力FSt与 m d d 2v t2 tfd d vtt ktv d F d S tt
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
2、系统模拟框图与微分方程
d d 2r t(2 t) 4d d r(tt) 3 r(t)d d e(tt)2 e(t)
d2rt
drt
et
2 dt2
dt
rt
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三.时域经典求解法:齐次解+特解
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a n y n ( t ) a n 1 y n 1 ( t ) a 1 y ( t ) a 0 y ( t ) b m f m ( t ) b m 1 f m 1 ( t ) b 1 f ( t ) b 0 f ( t )
为 t 0时的方程的解，初始条件与初始状态的区别 X
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初始状态: t=0-状态, f(t)=0
反映的是系统的历史信息,与激励无关.
y (0 ),
d y (0 ), d t
d 2 d y t(2 0 ), , d n d 1 tn y (1 0 )
初始条件: t=0+状态, f(t)≠0
储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
v C 0 v C 0 ,i L 0 i L 0 .
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫
作用于电感， 0到状0态 就会发生跳变。
•当系统用微分方程表示时，系统从 0到 状0 态有没有