2021版江苏高考数学复习讲义：集合含答案

第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。

集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C AB C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个 ( ) 【答案】错误集合{},,,A a b c d =的子集共有4216=个， 故答案为：错误2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合( ) 【答案】√由集合相等的定义可知，集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一集合. 故答案为：√.3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.( ) 【答案】正确因{}{}11,2,3M ⋃=，则{2,3}M =或{1,2,3}M =，所以的集合M 的个数是2个. 故答案为：正确4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M xx x =+=∣，则1M -∈.( ) 【答案】正确因为{}{}200,1M xx x =+==-∣ 所以1M -∈5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3 ( ) 【答案】错误因集合M 满足{}{}11,2,3M ⋃=，于是得{2,3}M =或{1,2,3}M =，即符合条件的集合M 有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误 二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（ ）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】B由题意，集合A R =，{}|1B y y =≥，∴{}|1x x A B =≥. 故选：B.2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（ ） A ．{}1,2,2- B ．{}1,2 C ．{}1,2- D ．{}1【答案】D集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ， 又{}4A B ⋂=∴314a +=或24a =，解得1a =或2a =或2a =-， 当1a =时，}{2,5,4,1A =-，}{6,9,0,4B =，{}4A B ⋂=，符合题意； 当2a =时，}{2,5,7,4A =-，}{7,9,1,4B =-，{}7,4⋂=A B ，不符合题意；当2a =-时，}{2,5,5,4A =--，}{3,9,3,4B =，不满足集合元素的互异性，不符合题意.1a，则实数a 的取值的集合为{}1.故选：D.3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}3x x ≥D ．{}2x x ≥【答案】C二次不等式求出集合B ，进而求出B R，()RAB .【详解】由题意可得:{}23B x x =-<<，则{2R B x x =≤-或}3x ≥，故(){}R 3A B x x ⋂=≥． 故选：C4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．(UB ⋂)A B ．(U A ⋂)BC ．() UA B ⋂D ．(U A B )【答案】A由图可知阴影部分属于A ，不属于B ， 故阴影部分为() UB A ⋂，故选：A.高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---， {}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-{}2,(R)A x x x =∈，1A ∈， 则1x =或21x =， 解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去）， 所以1x =-.故答案为：1- 3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B共6 个．故选B4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.考点：集合的表示5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】B 因为x A ∈，yA ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1． 故选:B.【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ） A ．16 B ．18C ．14D ．8【答案】A由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后 再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（ ） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q ⋃=【答案】B由题意，{}{}21,0,1Q x Z x =∈<=-，{}3P x x =< 故Q P ⊆，A 错，B 对又{1,0,1}P Q Q =-=，{|3}P Q x x P ⋃=<=，故C ，D 错 故选：B2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__. 【答案】0若1x =，则21x =，不符合条件；若2x x =，则0x =或1x =(舍去)，经验证0x =符合条件． 故答案为：0．3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________. 【答案】0；因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，所以+222m m m =⎧⎨=⎩，解得0m =，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题. 4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 的个数为________；【答案】7 满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a a b a c a d a b c a b d a c d ，共7个.故答案为：75．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞ D ．(),1-∞【答案】C∵集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，∴1a ≤. 故选：C ．6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-.（1）求A B ，()R A B ⋂：（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}R A B xx x ⋂=≤≥或∣；（2）52m ≤. （1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}RA B x x x ⋂=≤≥或∣（2）因为B C C =，所以C B ⊆. 当B φ=时，121m m +≥-，即2m ≤； 当B φ≠时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤综上，52m ≤7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若4a =，求A B ； （2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{|57}A B x x =<≤；（2）{|2a a ≤或}4a >. （1）当4a =时，易得{|57}A x x =≤≤，{|3B x x =≤或5}x >，{|57}A B x x ∴=<≤.（2）若211a a -<+，即2a <时，A =∅，满足A B ⊆， 若211a a -≥+，即2a ≥时，要使A B ⊆，只需2132a a -≤⎧⎨≥⎩或152a a +>⎧⎨≥⎩，解得2a =或4a >，综上所述a 的取值范围为{|2a a ≤或}4a >.【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题. 重点考查结论：（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （2）U U A B AB A A B BC B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（3）若A B ⊆注意要讨论①A =∅②A ≠∅高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<【答案】A{}{}{}|321|33|1A x x x x x x =->=>=>{}{}{}260(2)(3)023B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<所以{}13A B x x ⋂=<<， 故选：A2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|11}x x -<≤ C ．{|22}x x -<< D ．{|22}x x -<≤【答案】D∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤， ∴{|22}A B x x ⋃=-<≤. 故选：D.3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()AB =R（ ）A ．[]3,4B ．[]1,4C ．[)1,3D ．[)3,+∞【答案】C解：由()214x -≥，即310x x ，解得3x ≥或1x ≤-，即(){}214{|3B x x x x =-≥=≥或1}x ≤-，所以()1,3R B =-，又{}14A x x =≤≤，所以()[)1,3R A B ⋂=； 故选：C4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（ ） A ．(]0,2 B ．()2,e C ．()0,2 D ．[)1,e -【答案】C102x x +≤-，解得：12x -≤<，故集合[)1,2A =-，ln 1x ≤，解得：(]0,e x ∈，集合(]0,e B =，则()0,2A B =， 故选：C ．5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A =，则实数n的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C依据集合元素互异性可知，0,1n n ≠≠-，排除选项AB ； 当1n =时，{}1,0,1A =-，{}{},,110B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， 满足A B A =.选项C 判断正确；当2n =时，{}1,0,2A =-，{}{},,2,014B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， {}0A B A ⋂=≠.选项D 判断错误.故选：C6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________. 【答案】3把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A ，B ，C ，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)， 因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为50473-=. 故答案为：37．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则UA__________.【答案】{1,6,7,8,9}-由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z{}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴= 故{1,6,7,8,9}UA =-故答案为：{1,6,7,8,9}- 集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()U AB ⋂ B ．()UB AC ．()UA BD ．()U A B【答案】A由图知：阴影部分属于A ，不属于B ，故为()U B A ⋂. 故选：A2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,20A x yB xx x ⎧==--<⎨⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣ C ．{12}xx ≤<∣ D ．{12}xx <<∣ 【答案】C解：由题意得：{10}{1}A x y xx x x ⎧==->=<⎨⎩∣∣∣ {}220{12}B x x x x x =--<=-<<∣∣{}()1,{12}UUA x x AB x x ∴=≥⋂=≤<∣∣故选：C3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()MP S B ．()MP S C ．()UM P S ⋂⋂D ．()UM P S ⋂⋃【答案】C解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中， 故阴影部分所表示的集合是()UM P S ⋂⋂.故选：C.4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则UA 表示除草合格的学生，则UB 表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合,A B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C把学生50人看出一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合B，选择生物颗的人数组成集合C，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，+=人.所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()UA B -中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=， 又因为{}1,0,1,2,3,4,5U =-，所以(){}U1,0,1,3A B -=-.故选：B.2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉．已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ） A ．[0,1](2,)+∞ B ．[0,1)(2,)⋃+∞ C ．[0,1] D ．[0,2]【答案】A集合A 中，220x x -≥，即()20x x -≤， 解得02x ≤≤，即{}[]|0202A x x =≤≤=，， 又{}|1B x x =>，所以)0,A B ⎡⋃=+∞⎣，](1,2A B ⋂=， 则[]0,1(2,)A B ⨯=⋃+∞. 故选：A ．3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3C ．8D ．9【答案】B解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3. 故选：B.4．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．16【答案】C由题意可知，集合A 不能是空集，也不可能为{}1,2,3,4,5.若集合A 只有一个元素，则集合A 为{}4；若集合A 有两个元素，则集合A 为{}1,3、{}3,4、{}3,5； 若集合A 有三个元素，则集合A 为{}1,2,4、{}1,2,5、{}2,4,5； 若集合A 有四个元素，则集合A 为{}1,2,3,5. 综上所述，有序集合对(),A B 的个数为8. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合A 中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合A ，由此得解.5．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（ ）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.【答案】ABDA ：2011除以5，所得余数为1，满足[]1的定义，故正确；B ：整数集Z 就是由除以5所得余数为0,1,2,3,4的整数构成的，故正确；C ：()3512-=⨯-+，故[]33-∉，故错误；D ：设{}112212125,5,,,,0,1,2,3,4a n m b n m n n Z m m =+=+∈∈， 则()12125a b n n m m -=-+-；若整数a ，b 属于同一“类”，则120m m -=，所以[]0a b -∈； 反之，若[]0a b -∈，则120m m -=，即12m m =，,a b 属于同一“类”. 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，正确. 故选：ABD .1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】B{}1,2,3A =，{}1,3B =，{}1，3∴⋂=A B . 故选：B .2．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5【答案】A因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B = 所以{}1,3A B =， 故选：A.3．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B.4．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4}【答案】C{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B 由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<. 故选：D.7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师 【答案】B 【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误； B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确. 故选：B.2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B由250x x -≤得：05x ≤≤，所以{}05A x x =≤≤，又{}21,B x x k k Z ==-∈，令0215k ≤-≤，解得：132k ≤≤，k Z ∈，当1k =时，1x =，当2k =时，3x =，当3k =时，5x =，故A B 中元素的个数为3. 故选：B3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．±1【答案】A∵集合(){}{}100,1A x x x =-==，{}20,,B m m =，A B B ⋃=，∴1m =或21m =，即1m =±，当1m =时，{}0,1,1B =不合题意，当1m =-时，{}0,1,1B =-成立， ∴1m =-. 故选：A.4．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=， 故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ） A ．M B ．N C ．∅ D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B由已知2,6n M x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,6n N x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，又2n +表示整数，21n 表示奇数，故M N N =，故选：B6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D根据题意，可得：{}3,1A =- A B A ⋃=，则有：B A ⊆当0m =时，B =∅，满足题意； 当0m ≠时，则有：1x m=- 则有：13m -=，11m-=-解得：13m =-或1m =综上，解得：0m =或13m =-或1m =故答案选：D7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x =，则A B =（ ）A ．()2,3B ．()(],22,3-∞-C ．()0,3D ．(]2,3【答案】B 由题意得，{}2|40{|2A x x x x =->=<-或2}x >，{}|3B y y =≤，故A B ⋂()(],22,3∞=--⋃， 故选：B8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（ ） A ．{-2，-1，0，1} B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}【答案】B 因为102x x -≤+等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩等价于21x -<≤， 所以{|21}A x x =-<≤，又{}2,1,0,1B =--， 所以A B ={}1,0,1-. 故选：B 二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________. 【答案】8{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：810．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.【答案】7由{}a {},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于{},,,a b c d 中的元素个数因此M 中的元素来自于b ,c,d 中，即在b ,c,d 中取1元素时，M 有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数有7个，故答案为：7.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦()R A B A =⋂，R A B ∴⊆ {}2280B x x x =--≤，{2R B x x ∴=<-∣或4}x > 当A =∅时，123,4a a a -+-，满足R A B ⊆当A ≠∅时，要使得R A B ⊆，则4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-⎩ 解得542a -<≤-或5a 综上，实数a 的取值范围是[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅，则a 的取值范围是___________. 【答案】[]2,1--{}()(){}{22804202A x x x x x x x x =-->=-+>=<-或}4x >， 因为{B x x a =≤或}5x a ≥+，所以{}R 5B x a x a =<<+，若()R A B ⋂=∅，则254a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[]2,1--，故答案为：[]2,1--.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M N ，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[1,1]=-M N ，()()()(),11,R R M N ∞∞⋃=--⋃+(2)[5,)+∞ (1){}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=-MN ， (,3)(5,)=-∞-+∞R M ，(,1)(1,)=-∞-+∞R N ，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞R R M N .(2)由题可知M N ， 所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ， 解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<. (1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A =；②()R A B ⋂=∅；③()R B A R ⋃=.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)1(2)条件选择见解析，502a ≤≤(1)因为()0B C ∈，所以0C ∈，所以2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.当3a =-时，{}51B x x =-<<-，不合题意；当1a =时，{}13B x x =-<<，满足题设.∴实数a 的值为1.(2)集合1112212x A x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. 集合{}{}2224022B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+. 若选择①A B A =，即22501222a A B a a +≥⎧⎪⊆⇒⇒≤≤⎨-≤⎪⎩若选择②()12502222R a A B a a ⎧-≤⎪⋂=∅⇔⇔≤≤⎨⎪+≥⎩， 若选择③()R B A R ⋃=，则22501222a a a +≥⎧⎪⇒≤≤⎨-≤⎪⎩15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=. (1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.【答案】(1){}1A B ⋂=-(2){3a a ≤-或}2a =-.(1)当1a =时，{}{}22301,3B x x x =--==-. 因为{}{}24303,1A x x x =++==--， 所以{}1A B ⋂=-.(2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.当()224434120a a a a ∆=---=+<时，解得3a <-，B =∅，符合题意； 当4120a ∆=+=，即3a =-时，{}3B =-，符合题意；当4120a ∆=+>，即3a >-时，{}3,1B A ==--，则()()2312,313,a a a ⎧-+-=⎪⎨-⨯-=--⎪⎩解得2a =-. 综上，a 的取值集合是{3a a ≤-或}2a =-.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】(1){}2,4,6S =，{}0,2T =(2){}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，理由见解析(3)1347(1)根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；(2)由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；(3)设{}12,,k A a a a =满足题意，其中12k a a a <<<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， ∴21S k ≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，∴T k ≥， ∵S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-， S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ， ∴21k S T a ⋃≤+，∴()31214041*k k a k N -≤+≤∈， 1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++，{}0,1,2,,2020T m =-， 依题意有20202m m -<，即16733m >， 故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.。

第1题集合问题,每年必考一、原题呈现【原题】已知集合24,2,3,4,5,A x x B 则A B ∩A. 2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4【答案】B【解析】由2,3,4,5A A A A ,可得 2,3A B ∩,故选B.【就题论题】本题所给两个集合，一个是不等式的解集，但无需化简，一个是离散的数集，足见命题者有意降低试题难度，突出对交集概念的考查，该题难度与往年老教材全国卷II ，III 的文科集合试题难度相当。

二、考题揭秘【命题意图】本题考查集合的交集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.【考情分析】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.【得分秘籍】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的．；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2.求解集合关系问题应注意的几个问题(1)判断集合中元素的个数,或利用元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系求参数取值,要注意元素的互异性,一般地,在解集合中的未知元素时,要将所得值回归集合中,检验集合是否满足互异性,若不满足互异性,则应舍去.(2)A ⊆B ,A ∩B ＝A ,A ∪B ＝B ,∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝ 是两两等价的．对这五个式子的等价转换,常使较复杂的集合运算变得简单．(3)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【易错警示】1.化简集合时运算失误,如当所给集合为不等式解集时,解不等式运算错误；2.对集合概念理解不准确,错把数集当作点集,如已知集合22,A y y x B y y x ,求A B ∩得出 1,1,2,2A B∩的错误结果；3.忽略集合中元素的互异性,如根据集合A ＝{a －3,2a －1,a 2－4},且－3∈A ,求实数a 的值,忽略检验a ＝－1时不满足元素的互异性.4.利用,B A A B ∩求参数取值,忽略判断B 是否可以为 .如根据集合A ＝{x |x 2－x －12≤0},B ＝{x |2m －1<x <m ＋1},且A ∩B ＝B ,求实数m 的取值范围,忽略m ＋1≤2m －1即m ≥2时B ,也满足题意.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021江苏省南通学科基地高三下学期高考全真模拟（四））若集合{(,)30}M x y x y ∣, 22,}0{|N x y x y ,则（）A ．M N MB ．M N MC ．M N ND ．M N【答案】B【解析】∵集合 ,30{|}M x y x y , 22,00|,0N x y xy,因为2230000x y x x y y,∴ 0,0M N N ,所以M N M ,故选B.2．（2021湖南省衡阳市第八中学高三下学期考前预测（二））已知集合 1,2A ,集合B 满足 1,2A B ∩,且2|0B x x ax b ,则210bx ax 的解集为（）A ． ||1x x x 或12xB ．1|12x xC ． |1x x x 或12xD ．1|12x x【答案】C【解析】因为集合B 满足 1,2A B ∩,且2|0B x x ax b ,所以3,2a b ,所以223102110x x x x ,所以不等式的解集为 |1x x 或12x,故选C3．（2021江苏省淮安市高三下学期5月模拟）已知M ,N 均为R 的子集,且N M R ð,则M N（）A ．NB ．MC ．D ．R【答案】A【解析】因为N M R ð,所以M N ,所以M N N .故选A4．（2021山东省百师联盟高三二轮联考）设集合2,{13},log 2U R A x x B x y x ∣∣,则()U A B ð（）A ．（1,2]B ．[3,＋∞）C ．（﹣∞,1]∪（2,＋∞）D ．（﹣∞,1]∪[3,＋∞）【答案】C【解析】∵A ＝（1,3）,∴U A ð＝（﹣∞,1]∪[3,＋∞）,∵2log (2)y x ,∴x ﹣2＞0,∴x ＞2,∴B ＝（2,＋∞）,∴()U A B ð（﹣∞,1]∪（2,＋∞）,故选C5．（2021福建省厦门第一中学高三高考模拟考试）已知,M N 为全集U 的两个不相等的非空子集,若UUN M 痧,则下列结论正确的是（）A ．,x N x MB ．,x M x NC ．,x N x MD ．,U x M x Nð【答案】D【解析】 U U N M ∵痧,M N ,x M ,x N ,x M ,U x N ð,故选D ．6．（2021山东省淄博市高三三模）已知全集U R ,集合210A x x,1B x x ,则如图阴影部分表示的集合是（）A ． 1,0B ． 1,01,2C ． 1,2D ．0,1【答案】C【解析】解不等式210x得02x ,故 21002A x x x x,解不等式1x 得11x ,故111B x x x x ,所以A B ∩01x x 所以如图阴影部分表示的集合是12A A B x x ð,故选C7．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知集合 1,A a ,2log 1B x x ,且A B ∩有2个子集,则实数a 的取值范围为（）A ． ,0B ．0,11,2 C ．2, D ．,02, 【答案】D【解析】由题意得：2log 10,2B x x ,A B ∵∩有2个子集,A B ∩中的元素个数为1个；1A B ∵∩, a A B ∩,即a B ,0a 或2a ,即实数a 的取值范围为 ,02, .故选D.8．（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）集合{2A x R z x i ∣的实部为0},{|||,}B y y x x A ,{|||3}C m Z m ,i 为虚数单位,则C B ð为（）A ．{2,1,1,2}B ．{2,1,1}C ．{1,1}D ．{2,2}【答案】A【解析】由{2A x R z x i ∣的实部为0},则 0A , {|||,}0B y y x x A ,所以{2,1,1.2}C B ð,故选A.9．（2021江苏省泰州市高三下学期考前练笔）已知集合220A x x x ,20B x x ,则A B ∩（）A ．[1,2)B ．1,2 C ．1,2 D ．,1 【答案】A【解析】因为22012A x x x x x ,2B x x ,所以[1,2)A B ∩.故选A.10．（2021湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高三下学期仿真模拟）已知集合,|1A x y y x , ,|ln B x y y x ,则A B ∩（）A ．B ．1C ．1,0D ．1,0【答案】C【解析】因为集合,A B 都表示点集,所以由1ln y x y x 解得10x y,即A B ∩ 1,0．故选C ．11．（2021河北省高三下学期仿真模拟（四））设全集为R , ()0M x f x ,()0N x g x ,那么集合 ()()0x f x g x 等于（）A ．R RM N ∩痧B ．R M N ðC ．R M N ðD ．R RM N痧【答案】D【解析】因为()()0|()0x f x g x x f x 或 ()0g x ,又因为()0M x f x ,()0N x g x ,所以()()0R Rx f x g x M N痧.故选D12．（2021广东省汕头市高三二模）已知全集为实数集R ,集合|120A x x x ,则R A ð=（）A ．12x x B ．{|1x x 或2}x C ．{|1x x 或2}x D ．|12x x 【答案】B【解析】由 120x x ,解得12x ,∴{|12}A x x ,∴{|1R A x x ð或2}x ,故选B.13．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）设集合{|21,}A x x n n Z ,{|41,}B x x n n Z ,则（）A ．AB B ．B AC ．A BD ．B A【答案】B【解析】对于集合A ,当2n k ,k Z 时,41,x k k Z ,当21n k ,k Z 时,43,x k k Z ,所以 |41,A x x k 或 43,x k k Z ,所以B A ,故选B ．14．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知集合 |23A x x ,2|20B x x x ,则A B （）A ．RB ． |12x xC ． |21x xD ．【答案】A 【解析】易得 ,12,B,又 2,3A ∴A B R ,故选A15．（2021江苏省徐州市高三下学期5月四模）已知集合260A x x x ,2log 21B x x , R A B ∩ð（）A ．（－2,3）B ．（2,3）C ．[3,4）D ．（－ ,2]∪[3,＋ ）【答案】C【解析】由题意可知, 2,3A , 2,4B ,所以 ,23,R A ð,所以3,4R A B ∩ð,故选C ．16．（2021江苏省苏州市常熟中学高三下学期5月三模）设集合A ={1,2,3},B ={4,5},C ={x +y |x ∈A ,y ∈B },则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】集合A ={1,2,3},B ={4,5},C ={x +y |x ∈A ,y ∈B },所以C ={5,6,7,8}.即C 中元素的个数为4.故选B.17．（2021江苏省南通市高三下学期5月四模）已知集合3{}12A ，，,{1012}B ，，，,若M A 且M B ,则M 的个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】∵集合3{}12A ，，,{1012}B ，，，, 1,2A B ∩,又M A 且M B , M A B ∩,即 1,2M ,M 的个数为224 个,故选C.18．（2021河北省沧州市高三三模）已知集合220A x x x ,12B x x ,则A B ∩（）A ． 1,2B ． 1,2C ． 0,2D ．0,1【答案】A【解析】因为22002A x x x x x , 12B x x ,所以121,2A B x x .故选A.19．（2021广东省广州市天河区高三三模）已知集合1,,1,1A x ax a R B ∣,若A B ,则所有a 的取值构成的集合为（）A ． 1 B ．1,1 C ．0,1D ．1,0,1 【答案】D【解析】0a 时,A 满足题意,0a 时,1ax 得1x a ,所以11a 或11a,1a 或1a ,所求集合为{1,0,1} ．故选D ．二、多选题20．（2021·山东济南市高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A ． ABC B ． A B C ∩C ． U A B C ðD ． A B A C 【答案】AD【解析】由图可知,阴影部分是集合B 与集合C 的并集,再由集合A 求交集,或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集,所以阴影部分用集合符号可以表示为 A B C 或 A B A C ,故选AD21．（2021江苏南通市高三模拟）集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合22,925A x y xy, ,B x y y x m , ,2C x y y kx k 则下列说法中正确的有（）A ．若AB ,则实数m 的取值范围为 m m B ．存在k R ,使AC C ．无论k 取何值,都有A CD ．A C ∩的最大值为4【答案】ACD【解析】对于A,因为A B ,所以5,解得m ≤≤,故A 正确.对于B 和C,直线2y kx k 过定点()1,2,因为22129 ,故C 正确,B 错误.对于D,设原点到直线2y kx k 的距离为d ,则22A C∩,所以A C ∩的最大值,即d 的最大值,于是A C ∩的最大值为4,故D 正确.故选ACD22．（2021广东湛江市高三二模）已知集合23180A x x x R ,22270B x x ax a R ,则下列命题中正确的是（）A ．若AB ,则3a B ．若A B ,则3a C ．若B ,则6a 或6a D ．若B A Ü时,则63a 或6a 【答案】ABC【解析】36A x x R ,若A B ,则3a ,且22718a ,故A 正确.3a 时,A B ,故D 不正确.若A B ,则 2233270a a 且2266270a a ,解得3a ,故B 正确.当B 时,224270a a ,解得6a 或6a ,故C 正确.故选ABC ．23．（2021山东高三考前热身练）已知M 为给定的非空集合,集合12{,,,}n T T T T ,其中i T ≠ ,i T ⊆M ,且12n T T T M ,则称集合T 是集合M 的覆盖；如果除以上条件外,另有i j T T ∩,其中1,2,3,,i n ,1,2,3,,j n ,且i j ,则称集合T 是集合M 的划分.对于集合{,,}A a b c ,下列命题错误的是（）A ．集合{{,},{,}}S a b b c 是集合A 的覆盖B ．集合{{}{,},{,}}Q a a b a c ,是集合A 的划分C ．集合{{},{},{}}E a b c 不是集合A 的划分D ．集合{{},{,}}F a a c 既不是集合A 的覆盖,也不是集合A 的划分【答案】BC【解析】对于A,集合{{,},{,}}S a b b c 满足{,}a b ⊆A ,{,}b c ⊆A ,且{,}a b {,}b c =A ,故集合S 是集合A 的覆盖,选项A 正确；对于B,集合{{}{,},{,}}Q a a b a c ,中,{,}a b ∩{,}a c ,不满足题目定义中“i j T T ∩ ”,故集合{{}{,},{,}}Q a a b a c ,不是集合A 的划分,选项B 错误；对于C,集合{{},{},{}}E a b c 是集合A 的划分,因为{}a ⊆A ,{}b ⊆A ,{}c ⊆A ,且{}a {}b {}c =A ,{}a ∩{}b = ,{}b ∩{}c = ,{}a ∩{}c = ,满足定义中的所有要求,选项C 错误；对于D,集合{{},{,}}F a a c 中,{}{,}a a c A ,{}{,}a a c ∩ ,故集合{{},{,}}F a a c 既不是集合A 的覆盖,也不是集合A 的划分,选项D 正确.故选BC.。

2021年高考数学二轮复习(文数)讲义：专题01集合、复数、算法集合[题组练透]1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案为：C；解析：∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，B={0,1,2}，∴A∩B={1,2}.2.设全集U={x∈Z||x|≤2}，A={x|x＋1≤0}，B={-2,0,2}，则(∁U A)∪B=( )A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(-1,2]∪{-2}答案为：C；解析：因为U={x∈Z|-2≤x≤2}={-2，-1,0,1,2}，A={x|x≤-1}，所以∁U A={0,1,2}，又B={-2,0,2}，所以(∁U A)∪B={-2,0,1,2}.3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x2-3x＋2<0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，1)B.(-∞，1]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)答案为：D；解析：集合B={x|x2-3x＋2<0}={x|1<x<2}，由A∩B=B，可得B⊆A，结合数轴得a≥2.4.已知集合A={(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4答案为：A；解析：法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(-1，-1)， (-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，共有9个.故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2=3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.5.已知集合P={4,5,6}，Q={1,2,3}，定义P⊕Q={x|x=p-q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为( )A.32B.31C.30D.以上都不对答案为：B；解析：由所定义的运算可知P⊕Q={1,2,3,4,5}，所以P⊕Q的所有真子集的个数为25-1=31.快审题1.看到集合中的元素，想到元素代表的意义；看到点集，想到其对应的几何意义.2.看到数集中元素取值连续时，想到借助数轴求解交、并、补集等；看到M⊆N，想到集合M可能为空集.准解题1.记牢集合的运算性质及重要结论(1)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A.(2)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A.(3)A∩(∁U A)=∅，A∪(∁U A)=U.(4)A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=A⇔B⊆A.2.活用集合运算中的常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解. (2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.(3)Venn 图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn 图法求解.避误区 1.在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x ∈N ，x ∈Z 等)致误. 2.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.复 数[题组练透]1.计算：(1＋i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3＋iC.3-iD.3＋i 答案为：D ；解析：(1＋i)(2-i)=2-i ＋2i-i 2=3＋i.2.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( )A.-1B.0C.1D.2 答案为：C ；解析：∵a －i 1＋i =a －i 1－i 1＋i 1－i =a －12-a ＋12i 为纯虚数，∴a －12=0且a ＋12≠0，解得a=1.3.已知复数z 满足(2-i)z=i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案为：B ；解析：z=i ＋i 22－i =－1＋i 2－i =－1＋i 2＋i 2－i 2＋i =－3＋i 5=-35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15，该点位于第二象限. 4.设z=1－i1＋i＋2i ，则|z|=( )A.0B.12C.1D. 2答案为：C ；解析：∵z=1－i 1＋i ＋2i=1－i 21＋i 1－i ＋2i=－2i2＋2i=i ，∴|z|=1.故选C.5.复数z 满足z(1-2i)=3＋2i ，则z =( )A.-15-85iB.-15＋85iC.75＋85iD.75-85i 答案为：A ；解析：由z(1-2i)=3＋2i ，得z=3＋2i 1－2i =3＋2i 1＋2i 1－2i 1＋2i =-15＋85i ，∴z =-15-85i.[题后悟通]快审题1.看到复数的加、减、乘法运算，想到类比代数式的加、减、乘法运算；看到复数的除法运算，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简.2.看到复数z在复平面内对应的点，想到复数的几何意义；看到实数、纯虚数，想到复数的分类条件.3.看到共轭复数，想到它们关于实轴对称；看到复数的模，想到|z|=|a＋bi|=a2＋b2.准解题掌握复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”.算法[题组练透]1.“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x，y，k的值分别为4,6,1，则输出k的值为( )A.2B.3C.4D.5答案为：C；解析：执行程序框图，x=4，y=6，k=1，k=k＋1=2，x>y不成立，x=y不成立，y=y-x=2；k=k＋1=3，x>y成立，x=x-y=4-2=2；k=k＋1=4，x>y不成立，x=y成立，输出k=4.2.执行如图所示的程序框图，当输出的n的值等于5时，输入的正整数A的最大值为( )A.7B.22C.62D.63 答案为：D ；解析：第1次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝0＋1＝1，x ＝3×1－1＝2，n ＝1；第2次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝1＋2＝3，x ＝3×2－1＝5，n ＝2；第3次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝3＋5＝8，x ＝3×5－1＝14，n ＝3；第4次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝8＋14＝22，x ＝3×14－1＝41，n ＝4；第5次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝22＋41＝63，x ＝3×41－1＝122，n ＝5.因为输出的n=5，所以22<A ≤63，所以输入的正整数A 的最大值为63.3.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A.求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和B.求首项为1，公差为2的等差数列的前2 020项和C.求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D.求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和 答案为：D ；解析：由程序框图得，输出的S=(2×1-1)＋(2×3-1)＋(2×5-1)＋…＋(2×2 019-1)，可看作数列{2n-1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和.4.为计算S=1-12＋13-14＋…＋199-1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A.i=i ＋1B.i=i ＋2C.i=i ＋3D.i=i ＋4 答案为：B ；解析：由题意可将S 变形为S=⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋...＋199-⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (1100)则由S=N-T ，得N=1＋13＋…＋199，T=12＋14＋…＋1100.据此，结合N=N ＋1i ，T=T ＋1i ＋1易知在空白框中应填入i=i ＋2.故选B.快审题1.看到循环结构，想到循环体的构成；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止.2.看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n 次循环体，根据结果判断.3.看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值.准 解 题 掌握程序框图2类常考问题的解题技巧 (1)求解程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律.要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件.(2)对于程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i ＞n ？”或“i ＜n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可. [专题过关检测]一、选择题1.已知集合A={x|x=2k ＋1，k ∈Z}，B={x|-1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案为：B ；解析：依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B={1,3}， 所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2.计算：1＋2i1－2i =( )A.-45-35iB.-45＋35iC.-35-45iD.-35＋45i 答案为：D ；解析：1＋2i 1－2i =1＋2i 21－2i 1＋2i =－3＋4i 5=-35＋45i.3.已知i 为虚数单位，若复数z=a1－2i＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，则a=( )A.-5B.-1C.-13D.-53答案为：D ；解析：z=a 1－2i ＋i=a 1＋2i 1－2i 1＋2i ＋i=a 5＋2a ＋55i ，∵复数z=a 1－2i ＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，∴-a 5=2a ＋55，解得a=-53.4.设全集U=R ，集合A={x|x ≥1}，B={x|(x ＋2)(x-1)<0}，则( ) A.A ∩B=∅ B.A ∪B=U C.∁U B ⊆A D.∁U A ⊆B 答案为：A ；解析：由(x ＋2)(x-1)<0，解得-2<x<1，所以B={x|-2<x<1}，则A ∩B=∅，A ∪B={x|x>-2}，∁U B={x|x ≥1或x ≤-2}，A ⊆∁UB ，∁U A={x|x<1}，B ⊆∁U A ，故选A. 5.已知复数z 满足z ＋|z|=3＋i ，则z=( )A.1-iB.1＋iC.43-iD.43＋i答案为：D ；解析：设z=a ＋bi ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z|=3＋i ，得a ＋bi ＋a 2＋b 2=3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z=43＋i.6.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图(图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a=( )A.0B.25C.50D.75 答案为：B ；解析：初始值：a=675，b=125，第一次循环：c=50，a=125，b=50； 第二次循环：c=25，a=50，b=25；第三次循环：c=0，a=25，b=0，此时不满足循环条件，退出循环. 输出a 的值为25.7.已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 答案为：B ；解析：∵x 2-x-2>0，∴(x-2)(x ＋1)>0，∴x>2或x<-1，即A={x|x>2或x<-1}.则∁R A={x|-1≤x ≤2}.故选B.8.设全集U=R ，集合A={x|log 2x ≤2}，B={x|(x-2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B=( ) A.(0,2) B.[2,4] C.(-∞，-1) D.(-∞，4] 答案为：A ；解析：集合A={x|log 2x ≤2}={x|0<x ≤4}，B={x|(x-2)(x ＋1)≥0}={x|x ≤-1或x ≥2}， 则∁U B={x|-1<x<2}.所以A ∩∁U B={x|0<x<2}=(0,2).9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果s=132，则判断框中可以填( )A.i ≥10?B.i ≥11?C.i ≤11?D.i ≥12? 答案为：B ；解析：执行程序框图，i=12，s=1；s=12×1=12，i=11；s=12×11=132，i=10. 此时输出的s=132，则判断框中可以填“i ≥11？”. 10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A.5B.6C.7D.8 答案为：B ；解析：执行程序框图，第一步：n=12，i=1，满足条件n 是3的倍数，n=8，i=2，不满足条件n ＞123；第二步：n=8，不满足条件n 是3的倍数，n=31，i=3，不满足条件n ＞123； 第三步：n=31，不满足条件n 是3的倍数，n=123，i=4，不满足条件n ＞123； 第四步：n=123，满足条件n 是3的倍数，n=119，i=5，不满足条件n ＞123；第五步：n=119，不满足条件n 是3的倍数，n=475，i=6，满足条件n ＞123，退出循环，输出i 的值为6.11.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M=⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A.15B.16C.28D.25答案为：A ；解析：本题关键看清-1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由-1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合.所以满足条件的集合的个数为24-1=15.12.若复数z=1＋mi1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1，＋∞)D.(-∞，-1) 答案为：A ；解析：法一：因为z=1＋mi1＋i =1＋mi 1－i 1＋i 1－i =1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得-1<m<1.法二：当m=0时，z=11＋i =1－i 1＋i 1－i =12-12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13.执行如图所示的程序框图，如果输出的n=2，那么输入的a 的值可以为( )A.4B.5C.6D.7 答案为：D ；解析：执行程序框图，输入a ，P=0，Q=1，n=0，此时P ≤Q 成立，P=1，Q=3，n=1， 此时P ≤Q 成立，P=1＋a ，Q=7，n=2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P>Q ，所以1＋a>7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14.已知a 为实数，若复数z=(a 2-1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i=( )A.1B.0C.iD.1-i 答案为：C ；解析：因为z=(a 2-1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a=1，则有1＋i 2 0171－i =1＋i 1－i =1＋i 21＋i 1－i =i.15.沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛.沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式.图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层.某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A.i<n ？和S=S ＋a ·bB.i ≤n ？和S=S ＋a ·bC.i ≤n ？和S=a ·bD.i<n ？和S=a ·b 答案为：B ；解析：观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S=S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i=n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16.已知集合A=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B={(x ，y)|y=tan(3π＋2x)}，C=A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A.4B.7C.15D.16 答案为：C ；解析：因为B={(x ，y)|y=tan(3π＋2x)}={(x ，y)|y=tan 2x}，函数y=tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2=π24，y ≥0与函数y=tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2=π24，y ≥0与函数y=tan 2x 的图象有4个交点.因为C=A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24-1=15，故选C. 二、填空题17.已知复数z=1＋3i2＋i ，则|z|=________.答案为：2;解析：法一：因为z=1＋3i 2＋i =1＋3i 2－i 2＋i 2－i =5＋5i5=1＋i ，所以|z|=|1＋i|= 2.法二：|z|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i =|1＋3i||2＋i|=105= 2.18.设全集U={(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}，集合M=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P={(x ，y)|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P)=________.答案为：{(2,3)}；解析：集合M={(x ，y)|y=x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P={(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}.则∁U (M ∪P)={(2,3)}.19.已知复数z=x ＋4i(x ∈R)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|=5，则z1＋i的共轭复数为________. 答案为：12-72i ；解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42=52，解得x=-3，∴z 1＋i =－3＋4i 1＋i =－3＋4i 1－i 1＋i 1－i =12＋72i ，故其共轭复数为12-72i. 20.已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B={1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B=∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素.(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A=________； (2)有序集合对(A ，B)的个数是________. 答案为：(1){6} (2)32；解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A={6}.(2)当集合A 中有1个元素时，A={6}，B={1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B)有1个； 当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B)有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B)有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B)有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B)有5个；当集合A 中有6个元素时，A={1,2,3,4,5,7}，B={6}，此时有序集合对(A ，B)有1个. 综上可知，有序集合对(A ，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1=32.。

2021年新高考数学总复习：集合（附答案解析）2021年新高考数学总复习：集合1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<="" 2－x=""A ．{x |－4<3}<="" p="">B ．{x |－4<－2}<="" p="">C ．{x |－2<2}<="" p="">D ．{x |2<3}<="" p="">解析：因为M ＝{x |－4<3}，<="" p="" |－2所以M ∩N ＝{x |－2<2}．<="" p="">答案：C2．(2020·广东湛江测试)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝2x －3，x ∈A }，则集合A ∩B 的子集个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝2x －3，x ∈A }，所以B ＝{－1，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}，所以A ∩B 的子集个数为22＝4.答案：C3．(2019·浙江卷)已知全集U ＝{－1，0，1，2，3}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，0，1}，则(?U A )∩B ＝( )A ．{－1}B ．{0，1}C ．{－1，2，3}D ．{－1，0，1，3}解析：因为?U A ＝{－1，3}，所以(?U A )∩B ＝{－1}．答案：A4．(多选题)设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝x |1x <1，则下列关系正确的是( )A ．M NB ．N ?MC ．M ＝ND ．M ∪N ＝M解析：集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝x |1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N ，则B 、C 、D 正确．答案：BCD5．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1≥0}，全集U ＝R ，则A ∩(?U B )＝( )A ．(－∞，1)B ．(－2，1)C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞)解析：由x 2－5x ＋6>0，得A ＝{x |x <2或x >3}，又B ＝{x |x ≥1}，知?U B ＝{x |x <1}，所以A ∩(?U B )＝{x |x <1}．答案：A6．若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－1，0，1}B ．{－1，0}C ．{－1，1}D ．{0}解析：B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为?U (A ∪B )．A ∪B ＝{－2，－1，1，2}，全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以?U (A ∪B )＝{0}．答案：D7．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ?(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由x ＋y ＝1，x －y ＝3，得?x ＝2，y ＝－1，所以A ∩B ＝{(2，－1)}．由M ?(A ∩B )，知M ＝?或M ＝{(2，－1)}．答案：C8．(2020·佛山一中检测)已知集合A ＝{x |log 2(x －1)<1}，B ＝{x ||x －a |<2}，若A ?B ，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，3)B ．[1，3]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，3]解析：由log 2(x －1)<1，得A ＝(1，3)，又|x －a |<2，得B ＝(a －2，a ＋2)．由A ?B ，所以?a －2≤1，a ＋2≥3，解之得1≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[1，3]．答案：B9．(2019·江苏卷)已知集合A ＝{－1，0，1，6}，B ＝{x |x >0，x ∈R}，则A ∩B ＝________．解析：因为A ＝{－1，0，1，6}，B ＝{x |x >0，x ∈R}，所以A ∩B ＝{1，6}．答案：{1，6}10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ?B ，则实数c 的取值范围是________．解析：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ?B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.答案：[1，＋∞)11．已知集合A ＝（x ，y ）x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R}，若对任意实数k ，A ∩B ≠?，则实数m 的取值范围是________．解析：由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22 ＝1上或在其内部，所以m 2≤2，所以－2≤m ≤ 2.答案：[－2，2]12．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(?U B )＝________．解析：集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，因为log 3(2－x )≤1＝log 33，所以0<2－x ≤3，所以－1≤x <2，所以B ＝{x |－1≤x <2}，所以?U B ＝{x |x <－1或x ≥2}，所以A ∩(?U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．答案：{x |x <－1或x ≥2}[B 级能力提升]13．(多选题)(2020·东莞中学质检)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{x |3x 2＋6x ＝1}，则( )A ．A ∪B ＝(－4，4)∪{－6}B ．B ?AC ．A ∩B ＝{0}D ．A ?B解析：因为A ＝{x |x 2－16<0}，所以A ＝{x |－4<="" 错误，a="" ＝1}，则b="" ＝{0}，故c="" ＝{0，－6}，a="" ＝{x="" ＝－6或－4答案：AC14．如图，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：图中阴影部分表示集合B ∩?R A .因为A ＝{x |log 12(x －1)>0}＝{x |1<="">x |2x －3x <0＝?x |0<="" ＝{x="">15．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．解析：A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}＝{x ∈R|－5<1}，<="" p="">由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <="" ＝－1，n="">答案：－11[C级素养升华]16．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B ＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A ＝________，A*B＝________．解析：因为A＝{y|y≥0}＝[0，＋∞)，B＝(－3，3)，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．< p="">因此A*B＝[3，＋∞)∪(－3，0)＝(－3，0)∪[3，＋∞)．答案：(－3，0)(－3，0)∪[3，＋∞)</x<0}．<>。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题01集合与常用逻辑用语考点1 集合的含义与表示1．（2021·江苏高三模拟）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.2．（2021·江西高三模拟）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{0} C ．{0,1,1}- D ．{0,1}【答案】D【解析】①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a ∆=-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ． 考点2 集合间的基本关系3．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．4．（2021·四川石室中学高三一模）已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选D. 考点3 集合的基本运算 角度1：交集运算5．（2021·四川高三三模（文））设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟）已知集合{}31A x Z x =∈-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为{}{}2,1,031A x Z x =-∈--=<<所以{}{}4,2,02,=B y y x x A =--=∈， 所以{}=2,0A B -，所以A B 的元素个数为2个.故选B. 角度2：并集运算7．（2021·陕西高三模拟）已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【答案】C【解析】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.8．（2021·天津高三二模）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=___________.【答案】{}2-【解析】因为集合{|42}M x x =-<<，{}2{|60}2,3N x x x =--==-，所以M N ⋂= {}2-角度3：补集运算9．（2021·四川高三零模（文））设全集{}*|9U x x =∈<N ，集合{}3,4,5,6A =，则U A （ ）A ．{}1,2,3,8B ．{}1,2,7,8C ．{}0,1,2,7D ．{}0,1,2,7,8【答案】B【解析】因为{}{}*91,2,3,4|,5,6,7,8U x x =∈<=N ，{}3,4,5,6A =，所以{}1,2,7,8U A =．故选：B ．10．（2021·江苏省江浦高级中学高三月考）已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则UA________．【答案】{}12x x <≤【解析】{}1U x x =>，{}2A x x =>，∴12U A x x ，角度4：交、并、补混合运算11．（2021·辽宁高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A【解析】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.12．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则RAB =（ ）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}23x x ≤<D ．{}3x x >【答案】C 【解析】{}13A x x =<<，{}2B x x =<，{}R 2B x x ∴=≥，{}R 23A B x x ∴⋂=≤<.故选：C.13．【多选】（2021·重庆高三三模）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（ ） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确； 由()U A B B =，知UA B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选CD.14．（2021·江苏高三模拟）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 角度5：利用集合的运算求参数15．（2021·江西高三模拟）已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】{|113}m m -<<【解析】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.16．（2021·山东高三模拟）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（ ） A ．±1 B ．2± C ．3± D ．4±【答案】B【解析】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B考点4 集合中的新定义17.（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（ ） A ．101010 B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C【解析】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=， 所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1， 其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选C18．【多选】（2021·开原市第二高级中学高三三模）满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 可能是（ ）A ．{}12,a aB ．{}123,,a a aC ．{}124,,a a aD ．{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选AC ．19．（2021·江苏省宜兴中学高三模拟）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个． 【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”， 则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．考点5 全称量词与特称量词20．“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（ ） A ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥ B ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x > C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥ D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤【答案】A【解析】“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 所以“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是“[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥”.故选：A21．（2021·黑龙江大庆中学高三期末）命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是（ ）A ．0x ∀>，总有()11xx e +≤ B ．0x ∀≤，总有()11xx e +≤C ．00x ∃≤，使得()0011xx e +≤D ．00x ∃>，使得()0011xx e +≤【答案】D【解析】由全称命题的否定可知，命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”.故选D.考点6 充分条件、必要条件的判断22．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲， 乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .23．（2021·宁波中学高三模拟）△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”； 在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +<∴AB AC AC AB +<-∴22AB AC AC AB +<-∴0AB AC ⋅<∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形 ∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件,故选：B. 考点7 充分条件、必要条件的应用24．（2021·内蒙古高三二模（理））设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件； 选项B ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件； 选项C ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；选项D ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.25．（2021·山东高三其他模拟）已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，【答案】A【解析】因为q ：23x a +<，所以:2323q a x a --<<-+， 记{}|2323A x a x a =--<<-+；:p x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以23a a ≤--，解得1a ≤-．故选:A ．26．（2021·河北衡水中学高三模拟）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2【解析】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤． 考点8 根据命题的真假求参数的取值范围11 / 11 27．（2021·涡阳县育萃高级中学高三月考（文））若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或2m >【答案】A【解析】若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题， 则命题“x R ∀∈，2220x mx m +++≥”为真命题，即判别式()2=4420m m ∆-+≤，即()()210m m -+≤，解得12m -≤≤.故选：A.28．（2021·广东石门中学高三其他模拟）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】356a ≥ 【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立， 即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈， 又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合及其运算1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.1.元素与集合(1)集合中元素的特性:①确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作②a∈A;若b不属于集合A,记作③b∉A.(3)集合的表示方法:④列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号⑤N ⑥N*或N+⑦Z ⑧Q ⑨R2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⑩⊇A真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且∃x0∈B,x0∉AA ⫋B或B ⫌A相等集合A,B的元素完全相同A⊆B,B⊆A A=B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集∀x,x∉⌀,⌀⊆A,⌀⫋B(B≠⌀)⌀▶提醒(1)“⊆”与“⫋”的区别:A⊆B⇒A=B或A⫋B,若A⊆B和A⫋B同时成立,则A⫋B更准确.(2)⌀,{0}和{⌀}的区别,⌀是集合,不含有任何元素,{0}含有一个元素0;{⌀}含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U,则集合A的补集为∁U A 图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;(3)补集的质:A∪∁U A=U;A∩∁U A=⌀;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=∁U A∩∁U B;∁U(A∩B)=∁U A∪∁U B.1.非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.2.(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;(2)任何一个集合是它本身的子集;(3)对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足).3.子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、(2n-1)个真子集、(2n-1)个非空子集、(2n-2)个非空真子集.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1){x|x≤1}={t|t≤1}.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)含有n个元素的集合有(2n-1)个子集.()(4)集合{x|x=x3}用列举法表示为{-1,1}.()(5)若A∩B=A,则B⊆A.()(6)若A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则集合A=B.()答案(1)√(2)✕(3)✕(4)✕(5)✕(6)√2.(2019课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}答案C3.已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.答案1或44.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则∁R(A∪B)=.答案{x|x≤2或x≥10}5.已知集合P={2,3,4,5,6},Q={3,4,5,7},若M=P∩Q,则M的子集的个数为. 答案8集合的基本概念典例1(1)设a,b∈R,若{1,a+b,a}={0,ba,b},则b-a=()A.1B.-1C.2D.-2(2)集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则B={y|6y∈N*,y∈A}中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案(1)C (2)D方法技巧与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数.易错提示要注意检验集合中元素的互异性.1-1若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=()A.92B.98C.0D.0或98答案 D 当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=98. 1-2已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.答案-32解析因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;当2m2+m=3时,解得m=-32或m=1(舍去),此时m+2=12≠3符合题意.所以m=-32.集合间的基本关系典例2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则()A.B⊆AB.A=BC.A⫋BD.B⫋A(2)若集合A满足{a,b}⊆A⊆{a,b,c,d,e},则集合A的个数是()A.6B.7C.8D.9(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.(4)集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(i)若B是A的子集,则实数a的取值范围是;(ii)若A是B的子集,则实数a的取值范围是.答案(1)C (2)C (3)(-∞,3](4)(i)a≤-1或a=1;(ii)a=1解析(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},比较A,B中的元素可知A⫋B,故选C.(3)若B=⌀,则2m-1<m+1,所以m<2.若B≠⌀,则{2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.综上可得,符合题意的实数m的取值范围是(-∞,3].(4)由题意可得,A={0,-4}.(i)易知B ⊆A,∴B={0}或{-4}或⌀或{0,-4}.当B={0}或{-4}时,方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0有两个相等的实根,即[2(a+1)]2-4×(a 2-1)=0, ∴a=-1,此时B={0},满足题意.当B={0,-4}时,即x=0,-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的根,易得a=1. 当B=⌀时,即方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0无解, 则Δ<0,即[2(a+1)]2-4(a 2-1)<0,解得a<-1. 综上可得,a ≤-1或a=1. (ii)易知A ⊆B,A={0,-4},即0,-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的根, ∴{a 2-1=0,a 2-8a +7=0⇒a=1. ◆探究 (变条件)若将本例(3)中的“A={x|-2≤x ≤5}”改为“A={x|x<-2或x>5}”,求实数m 的取值范围.解析 当B=⌀时,有2m-1<m+1, ∴m<2,符合题意;当B ≠⌀时,有{m +1≤2m -1,m +1>5或{m +1≤2m -1,2m -1<-2, 解得{m ≥2,m >4或{m ≥2,m <-12, 即m>4.综上可知,实数m 的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞). 方法技巧已知两个集合间的关系求参数,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观地解决这类问题. 2-1 已知集合P={1,3},则满足P ∪Q={1,2,3,4}的集合Q 的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 D2-2 已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x ≤a+3},若B ⊆(A ∩B),则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,-1]解析 因为B ⊆(A ∩B),所以B ⊆A. 当B=⌀时,满足B ⊆A,此时-a ≥a+3,即a ≤-32; 当B ≠⌀时,要使B ⊆A,则{-a <a +3,-a ≥1,a +3<5,解得-32<a ≤-1.综上可知,a 的取值范围是(-∞,-1].2-3 已知集合A={x|x 2=1},B={x|ax=1},若B 是A 的子集,则实数a 的取值集合为 . 答案 {0,1,-1} 集合的基本运算典例3 (1)已知集合M={x|x -2x -3<0},N={x|2x -5x -2≤0},则M ∩N=( )A.[52,3) B .(2,52] C.[2,52] D.(52,3)(2)设全集U=R ,集合A={x|x 2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x ≤-1或x ≥3}B.{x|x<1或x ≥3}C.{x|x ≤1}D.{x|x ≤-1}(3)已知集合A={x|y=√4-x 2},B={x|a ≤x ≤a+1},若A ∪B=A,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)答案 (1)B (2)D (3)C解析 (1)解不等式可得集合M=(2,3),集合N=(2,52], 所以M ∩N=(2,52].(2)解不等式可得集合A=(-1,3),集合B=[1,+∞), 所以A ∪B=(-1,+∞),所以∁U (A ∪B)=(-∞,-1],所以选D. 方法技巧(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn 图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到. (3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解. 3-1 若集合A={x|x 2+2x-8<0},B={x|5-m<x<2m-1}.若U=R ,A ∩∁U B=A,则实数m 的取值范围是 .答案 (-∞,3]解析 易知A={x|-4<x<2}.由A ∩∁U B=A,得A ⊆∁U B, 则A ∩B=⌀,由数轴得5-m ≥2m-1或{2m -1≤-4,5-m <2m -1或{5-m ≥2,5-m <2m -1,解得m ≤3.集合中的新定义问题典例4(1)定义集合的商集运算为AB ={x|x=mn,m∈A,n∈B},已知集合A={2,4,6},B={x|x=k 2-1,k∈A},则集合BA∪B中的元素的个数为()A.6B.7C.8D.9(2)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=()A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案(1)B (2)D解析(1)由题意知,B={0,1,2},则BA ={0,12,14,16,1,13},则BA ∪B={0,12,14,16,1,13,2},共有7个元素.故选B.(2)∵A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},B={x|x2-7x+10<0}={x|2<x<5},A-B={x|x∈A,且x∉B},∴A-B={0,1,2,5}.故选D.方法技巧解决集合中的新定义问题的方法解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.4-1设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“单一元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“单一元”的集合共有个.答案6解析符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个.1.(2019课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}答案A},B={x||x|<2},则A∩B=()2.已知集合A={x|y=√x+1A.(-1,2)B.(0,2)C.(-2,0)D.(-2,-1)答案A的定义域为B,则A∩B=()3.设函数y=2A,函数y=√1-xA.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D4.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B5.设集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},则集合A与B的关系是()A.B⊆AB.B⊇AC.B∈AD.A∈B}.答案 A 因为A={x|-x2-x+2<0}={x|x>1或x<-2},B={x|2x-5>0}={x|x>52在数轴上表示出集合A与集合B,如图所示,可知,B⊆A.6.已知集合A={x∈N|x<3},B={x|x=a-b,a∈A,b∈A},则A∩B=()A.{1,2}B.{-2,-1,1,2}C.{1}D.{0,1,2}答案D7.集合A={1,2,3,4},B={x|(x-1)(x-a)<0},若集合A∩B={2,3},则实数a的范围是()A.3<a<4B.3<a≤4C.3≤a<4D.a>3答案B8.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C9.设集合M={x|-12<x<12},N={x|x2≤x},则M∩N=.答案[0,12)10.若{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则m=.答案111.已知a∈R,b∈R,若{a,ln(b+1),1}={a2,a+b,0},则a2020+b2020=.答案1解析由已知得a≠0,所以ln(b+1)=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2020+b2020=1.12.当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A={-1,12,1},B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则a的取值集合为. 答案{0,1,4}解析当a=0时,B为空集,满足B⊆A,此时A与B构成“全食”;当a>0时,B={√a ,-√a},由题意知√a =1或√a=12,解得a=1或a=4,经检验,均符合要求.故a的取值集合为{0,1,4}.13.已知集合A={x|1≤x ≤2},B={x|m ≤x ≤m+3}.(1)当m=2时,求A ∪B;(2)若A ⊆B,求实数m 的取值范围.解析 (1)当m=2时,B={x|2≤x ≤5},∴A ∪B={x|1≤x ≤2}∪{x|2≤x ≤5}={x|1≤x ≤5}.(2)∵A ⊆B,∴{m ≤1,m +3≥2,解得-1≤m ≤1,∴实数m 的取值范围是[-1,1].14.已知集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A,求实数a 的值. 解析 依题意得A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}.因为A ∪B=A,所以B ⊆A,所以集合B 可以为{1,2},{1},{2}或⌀.当B={1}时,有{Δ=a 2-4(a -1)=0,1-a +a -1=0,所以a=2,与题意相符;当B={2}时,有{Δ=a 2-4(a -1)=0,22-2a +a -1=0,无解; 当B=⌀,即方程x 2-ax+a-1=0无实数根时,Δ=a 2-4(a-1)<0=(a-2)2<0,无解;当B={1,2}时,有{Δ>0,a -1=1×2,a =1+2,所以a=3,与题意相符.综上,a=2或a=3.。

教课资料范本2021版高考数学苏教版：10.1两个计数原理、摆列与组合含答案编辑： __________________时间： __________________全国卷五年考情图解高考命题规律掌握1.考察形式高考在本章一般命制 1 道小题或许 1 道解答题、分值占 5～17 分.2.考察内容计数原理常与古典概型综合考察；对二项式定理的考察主假如利用通项公式求特定项；对正态散布的考察、可能独自考察也可能在解答题中出现；以实际问题为背景、考察散布列、希望等是高考的热门题型 .3.备考策略从 20xx 年高考试题能够看出、概率统计试题的阅读量和信息量都有所加强、考察角度趋势于应用概率统计知识对实质问题作出决议 .第一节两个计数原理、摆列与组合[ 最新考纲 ] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确划分“类”和“ 步”、并能利用两个原理解决一些简单的实质问题.3.理解摆列的观点及摆列数公式、并能利用公式解决一些简单的实质问题.4.理解组合的观点及组合数公式、并能利用公式解决一些简单的实质问题．1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理达成一件事有两类不一样方案、在达成一件事需要两个步骤、做第第 1 类方案中有 m 种不一样的方条件1 步有 m 种不一样的方法、做第2法、在第 2 类方案中有 n 种不一样步有 n 种不一样的方法的方法结论达成这件事共有 N＝m＋ n 种不达成这件事共有 N＝mn 种不一样同的方法的方法2.摆列、组合的定义摆列的定义从 n 个不一样元素中拿出依据必定的次序排成一列组合的定义m(m≤ n)个元素合成一组3.摆列数、组合数的定义、公式、性质摆列数组合数从 n 个不一样元素中拿出从 n 个不一样元素中拿出 m(m≤n)个元素的定义m(m≤ n)个元素的所有不一样排所有不一样组合的个数列的个数公式Amn＝n(n－1)(n－2) (n－m＋Amn＝错误 !1)＝错误!Cmn＝Am性质An＝n！、 0！＝ 1Cmn＝Cn－m、Cmn＋ Cmn－ 1＝ Cmn＋1一、思虑辨析 (正确的打“√”、错误的打“×”)(1)所有元素完好同样的两个摆列为同样摆列．()(2)在分类加法计数原理中、每类方案中的方法都能直接达成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中、每个步骤中达成这个步骤的方法是各不同样的．()(4)kCkn＝nCkn－1.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√二、教材改编1．图书室的一个书架有三层、第一层有 3 本不一样的数学书、第二层有5 本不同的语文书、第三层有8 本不一样的英语书、现从中任取 1 本书、不一样的取法有()A．12B．16C．64D．120B[ 书架上共有 3＋5＋8＝ 16 本不一样的书、从中任取一本共有 16 种不一样的取法、应选 B.]2．用数字 1,2,3,4,5构成无重复数字的四位数、此中偶数的个数为()A ． 8B．24C．48D．120C[ 末位只好从 2,4 中选一个、其余的三个数字随意摆列、故这样的偶数共有 A34C12＝4×3× 2× 2＝ 48 个．应选 C.]3．6 把椅子摆成一排、 3 人随机就座、任何两人不相邻的坐法种数为() A．144B．120C．72D．24D[ [ “插空法”、先排 3 个空位、形成 4 个缝隙供 3 人选择就座、所以任何两人不相邻的坐法种数为 A34＝ 4× 3× 2＝ 24.]4．五名学生报名参加四项体育竞赛、每人限报一项、则不一样的报名方法的种数为．五名学生抢夺四项竞赛的冠军(冠军不并列 )、则获取冠军的可能性有种. (用数字作答 )4554[ 五名学生参加四项体育竞赛、每人限报一项、可逐个学生落实、每个学生有 4 种报名方法、共有45种不一样的报名方法．五名学生抢夺四项竞赛的冠军、可对 4 个冠军逐个落实、每个冠军有 5 种获取的可能性、共有54种获取冠军的可能性． ]考点 1两个计数原理的综合应用利用两个基本计数原理解决问题的步骤第一步、审清题意、弄清要达成的事件是如何的．第二步、剖析达成这件事应采纳分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种．第三步、弄清在每一类或每一步中的方法种数．第四步、依据两个基本计数原理计算出达成这件事的方法种数．(1) 假如一个三位正整数如“a1a2a3”知足 a1＜a2、且 a2＞a3、则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)、那么所有凸数的个数为 ()A．240B． 204C． 729D．920(2)(20xx 全·国卷Ⅱ )如图、小明从街道的 E 处出发、先到 F 处与小红会集、再一同到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动、则小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为 ()A．24B．18C．12D． 9(3)如下图的五个地区中、现有四种颜色可供选择、要求每一个地区只涂一种颜色、相邻地区所涂颜色不一样、则不一样的涂色方法种数为()A．24B．48C．72D．96(1)A (2)B (3)C[(1) 假如这个三位数含0、则 0 必在末位、共有这样的凸数 C29个；假如这个三位数不含0、则这样的凸数共有C39A2＋C29个．即共有2C29＋C39A2＝240 个．(2)从 E 到 G 需要分两步达成：先从 E 到 F、再从 F 到 G.从 F 到 G 的最短路径、只需考虑纵向路径即可、一旦纵向路径确立、横向路径即可确立、故从 F 到G 的最短路径共有 3 条．如图、从 E 到 F 的最短路径有两类：先从E 到 A、再从A到 F、或先从 E到 B、再从 B到 F.因为从 A到F 或从 B到F都与从 F到G的路径形状同样、所以从 A 到 F、从 B 到 F 最短路径的条数都是3、所以从 E 到 F 的最短路径有 3＋ 3＝ 6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.(3)法一： (以地点为主考虑 )分两种状况：①A、C 不一样色、先涂 A 有 4 种、 C 有 3 种、E 有 2 种、 B、D 各有 1 种、有4× 3× 2＝ 24 种涂法．②A、C 同色、先涂 A 有 4 种、E 有 3 种、C 有 1 种、B、D 各有 2 种、有4× 3× 2× 2＝ 48 种涂法．故共有 24＋48＝72 种涂色方法．法二： (以颜色为主考虑 )分两类．(1)取 4 色：着色方法有2A4＝ 48(种 )．(2)取 3 色：着色方法有A34＝24(种)．所以共有着色方法48＋24＝72(种 )．](1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类仍是分步：分类要做到“不重不漏” 、正确掌握分类标准是要点；分步要做到“步骤完好”、步步相连才能将事件达成．(2)较复杂的问题可借助图表来达成．(3)关于涂色问题：①分清元素的数量以及在不相邻的地区内能否能够使用同类元素；②注意对每个地区逐个进行、分步办理．[教师备选例题 ]1．甲、乙、丙三人踢毽子、相互传达、每人每次只好踢一下、由甲开始踢、经过 4 次传达后、毽子又被踢回给甲、则不一样的传达方式共有() A．4 种B．6 种C．10 种D．16 种B[ 分两类：甲第一次踢给乙时、知足条件的有 3 种传达方式 (如图 )；同理、甲第一次踢给丙时、知足条件的也有 3 种传达方式．由分类加法计数原理可知、共有3＋3＝6(种)传达方式． ]2.如下图的几何体是由三棱锥P-ABC 与三棱柱 ABC-A1B1C1组合而成、现用3 种不一样颜色对这个几何体的表面涂色(底面 A1B1C1不涂色 )、要求相邻的面均不一样色、则不一样的涂色方案共有()A．6 种B．9种C．12 种D．36种C[先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面、有 3×2＝6(种 )涂法；而后涂三棱柱的三个侧面、有 2×1＝2(种)涂法．共有 6× 2＝ 12(种 )不一样的涂法． ]1.一个旅行景区的旅行线路如图所示、某人从 P 点处进、 Q 点处出、沿图中线路旅行A、B、 C 三个景点及沿途风景、则不一样 (除交汇点 O 外)的旅行线路有 ()A．6 种B．8种C．12 种D．48种D [从点 P 处进入后、观光第一个景点时、有 6 个路口能够选择、从中任选一个、有 C16种选法、观光完第一个景点、观光第二个景点时、有 4 个路口能够选择、从中任选一个、有C14种选法、观光完第二个景点、观光第三个景点时、有2个路口能够选择、从中任选一个、有C12种选法、则共有C16C14C12＝ 48(种 ) 线路．应选 D.]2．(20xx ·河北六校联考 )甲与其四位同事各有一辆私人车、车牌尾数分别是通行、偶多日车牌尾数为偶数的车通行)、五人商讨拼车出行、每日任选一辆切合规定的车、但甲的车最多只好用一天、则不一样的用车方案种数为() A．64B．80C．96D．120B[5 日至 9 日、日期尾数分别为 5,6,7,8,9、有 3 天是奇多日、 2 天是偶多日．第一步、安排偶多日出行、每日都有 2 种选择、共有 2×2＝ 4(种)；第二步、安排奇多日出行、分两类、第一类、选 1 天安排甲的车、此外 2 天安排其余车、有 3×2×2＝12(种)、第二类、不安排甲的车、每日都有 2 种选择、共有 23＝8(种 )、合计 12＋8＝20(种)．依据分步乘法计数原理、不一样的用车方案种数为 4×20＝ 80.]考点 2 摆列问题求解摆列应用问题的 6 种常用方法直接法把切合条件的摆列数直接列式计算优先法优先安排特别元素或特别地点相隔问题把相邻元素看作一个整体与其余元素一同摆列、同时注捆绑法意捆绑元素的内部摆列对不相邻问题、先考虑不受限制的元素的摆列、再将不相邻的元插空法素插在前方元素摆列的空中间定序问题除关于定序问题、可先不考虑次序限制、摆列后、再除以定序元素法办理的全摆列间接法正难则反、等价转变的方法3 名女生和 5 名男生排成一排．(1)若女生全排在一同、有多少种排法？(2)若女生都不相邻、有多少种排法？(3)[ 一题多解 ]若女生不站两头、有多少种排法？(4)此中甲一定排在乙左侧 (可不邻 )、有多少种排法？(5)[ 一题多解 ]此中甲不站最左侧、乙不站最右侧、有多少种排法？[ 解](1)(捆绑法)因为女生排在一同、可把她们当作一个整体、这样同5 名男生合在一同有6 个元素、排成一排有A6种排法、而此中每一种排法中、3 名女生之间又有 A3种排法、所以共有 A6·A3＝4 320 种不一样排法．(2)(插空法 )先排 5 名男生、有 A5种排法、这 5 名男生之间和两头有 6 个地点、从中选用 3 个地点排女生、有A36种排法、所以共有A5·A36＝14 400 种不一样排法．(3)法一 (地点剖析法 )：因为两头不排女生、只好从 5 名男生中选 2 人排、有A25种排法、节余的地点没有特别要求、有A6种排法、所以共有 A25·A6＝14 400种不一样排法．法二 (元素剖析法 )：从中间 6 个地点选 3 个安排女生、有 A36种排法、其余地点无穷制、有 A5种排法、所以共有 A36·A5＝14 400 种不一样排法 .(4)8 名学生的所有摆列共A8种、此中甲在乙左侧与乙在甲左侧的各占1、因21此切合要求的排法种数为2A8＝ 20 160.(5)甲、乙为特别元素、左、右两边为特别地点．法一 (特别元素法 )：甲在最右侧时、其余的可全排、有 A7种不一样排法；甲不在最右侧时、可从余下 6 个地点中任选一个、有 A16种．而乙可排在除掉最右侧地点后节余的 6 此中的任一个上、有 A 61种、其余人全摆列、共有 A16·A16·A6种不一样排法．由分类加法计数原理知、共有A7＋ A16·A16·A6＝ 30 960 种不一样排法．法二 (特别地点法 )：先排最左侧、除掉甲外、有 A17种排法、余下 7 个地点全排、有A7种排法、但应剔除乙在最右侧时的排法A16·A6种、所以共有A17·A7－A16·A6＝ 30 960 种排法．法三 (间接法 )：8 名学生全摆列、共 A8种、此中、不切合条件的有甲在最左侧时、有 A7种排法、乙在最右侧时、有 A7种排法、此中都包括了甲在最左侧、同时乙在最右侧的情况、有 A6种排法．所以共有 A8－2A7＋A6＝30 960种排法．(1)关于有限制条件的摆列问题、分析问题时有地点剖析法、元素剖析法、在实质进行摆列时一般采纳特别元素优先原则、即先安排有限制条件的元素或有限制条件的地点、关于分类过多的问题能够采纳间接法．(2)对相邻问题采纳捆绑法、不相邻问题采纳插空法、定序问题采纳倍缩法是解决有限制条件的摆列问题的常用方法．1.把 5 件不一样的产品摆成一排、若产品 A 与产品 B 相邻、且产品 A 与产品 C 不相邻、则不一样的摆法有种．36[( 捆绑法和插空法的综合应用 )记其余两种产品为 D、E.将 A、B 视为一个元素、先与 D、E 进行摆列、有 A2A3种方法、再将 C 插入、每种摆列均只有 3 个空位可选、故不一样的摆法共有 A2A3×3＝2×6×3＝36(种)． ]2． (20xx ·衡水高三大联考 )现有一圆桌、周边有标号为1,2,3,4 的四个座位、甲、乙、丙、丁四位同学坐在一同商讨一个数学课题、每人只好坐一个座位、甲先选座位、且甲、乙不可以相邻、则所有选座方法有种． (用数字作答 ) 8[ 先按排甲、其选座方法有 C14种、因为甲、乙不可以相邻、所以乙只好坐甲对面、而丙、丁两位同学坐另两个地点的坐法有A 2种、所以共有坐法种数为C14·A2＝4×2＝8 种．]考点 3组合问题组合问题的常有种类与办理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”、则先将这些元素拿出、再由此外元素补足；“ 不含” 、则先将这些元素剔除、再从剩下的元素中选用．(2)“起码”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时、逆向思维、间接求解．某课外活动小组共13 人、此中男生 8 人、女生 5 人、而且男、女生各有一名队长．现从中选 5 人主持某种活动、依以下条件各有多少种选法？(1)只有一名女生入选；(2)两队长入选；(3)起码有一名队长入选；[ 解 ](1)只有一名女生入选等价于有一名女生和四名男生入选．故共有C15·C48＝350 种．(2)两队长入选、共有C2·C311＝165 种．(3)起码有一名队长入选含有两类：只有一名队长入选、有两名队长入选．故共有 C12·C411＋C2·C311＝ 825 种． (或采纳清除法： C513－ C511＝825(种 ))．(4)至多有两名女生入选含有三类：有两名女生入选、只有一名女生入选、没有女生入选．应选法共有 C25·C38＋C15·C48＋C58＝966 种．含有附带条件的组合问题往常用直接法或间接法、应注意“起码”“ 最多”“ 恰巧”等词的含义的理解．1.某单位拟安排 6 位职工在今年 6月 9 日至 11 日值班、每日安排 2 人、每人值班 1 天．若 6 位职工中的甲不值9 日、乙不值 11 日、则不一样的安排方法共有()C．42 种D．48种C[若甲在 11 日值班、则在除乙外的 4 人中任选 1 人在 11 日值班、有 C14种选法、 9 日、 10 日有 C24C2种安排方法、共有 C14C24C2＝24(种 )安排方法；若甲在 10 日值班、乙在 9 日值班、余下的 4 人有 C14C13C2种安排方法、共有12种安排方法；若甲、乙都在10 日值班、则共有C24C2＝6(种)安排方法．所以总合有 24＋12＋ 6＝42(种 )安排方法． ]2．现有 16 张不一样的卡片、此中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张、从中任取 3 张、要求这 3 张卡片不可以是同一种颜色、且红色卡片至多 1 张、不一样取法的种数为 ()A．232B．252C．472D．484C[分两类：第一类、含有1 张红色卡片、不一样的取法共有C14C212＝264(种)；第二类、不含有红色卡片、不一样的取法共有 C312－3C34＝ 220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知、不一样的取法有 264＋208＝ 472(种)．] 考点 4 分组、分派问题分组、分派问题是摆列组合的综合问题、解题思想是先分组后分派．(1)分组问题属于“组合”问题、常有的分组方法有三种：① 完好均匀分组、每组元素的个数都相等；② 部分均匀分组、应注意不要重复；③ 完好非均匀分组、这类分组不考虑重复现象．(2)分派问题属于“摆列”问题、常有的分派方法有三种：① 同样元素的分派问题、常用“ 挡板法”；② 不一样元素的分派问题、利用分步乘法计数原理、先分组、后分派；③ 有限制条件的分派问题、采纳分类求解．整体均分问题国家教育部为了发展贫穷地域教育、在全国要点师范大学免费培育教育专业师范生、毕业后要分到相应的地域任教．现有 6 个免费培育的教育专业师范毕业生要均匀分到 3 所学校去任教、有种不一样的分派方法．C26C24C290 [先把 6 个毕业生均匀分红 3 组、有A3种方法、再将 3 组毕业生疏到C26C24C2 3 所学校、有 A3＝ 6 种方法、故 6 个毕业生均匀分到 3 所学校、共有A3·A3＝90 种分派方法． ]此题属于整体均分问题、解题时要注意分组后、不论它们的次序如何、都是一种状况、所以分组后必定要除以An (n 为均分的组数 )、防止重复计数．部分均分问题将 6 本不一样的书分给甲、乙、丙、丁 4 个人、每人起码 1 本的不一样分法共有种．(用数字作答)1 560 [把 6 本不一样的书分红 4 组、每组起码 1 本的分法有2 种．C36C13C12C1①有 1 组 3 本、其余 3 组每组 1 本、不一样的分法共有＝20(种)；A3C26C24 C12C1②有 2 组每组 2 本、其余 2 组每组 1 本、不一样的分法共有A2 ·A2＝45(种)．所以不一样的分组方法共有20＋ 45＝65(种)．而后把分好的 4 组书分给 4 个人、所以不一样的分法共有65× A4＝1 560(种)． ]此题属于局部均分问题、解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数、即如有m 组元素个数相等、则分组时应除以 m！、一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全摆列数．(20xx ·淄博模拟 ) 第二届“一带一路”国际合作顶峰论坛于20xx 年 4 月 25 日至 27 日在北京举行、为了保护各国元首的安全、将 5 个安保小组所有安排到指定三个地区内工作、且这三个地区每个地区起码有一个安保小组、则这样的安排方法共有()A．96 种B．100种C．124 种D．150种D [因为三个地区每个地区起码有一个安保小组、所以能够把 5 个安保小组分红三组、有两种分组的状况：一种是1,1,3、另一种是 1,2,2.当依据 1,1,3 来分时、共有 N1＝C15C14C3来分时、共有C25C23C1A2·A3＝ 60(种 )、当依据 1,2,22A2·A3＝ 90(种 )、N ＝依据分类加法计数原理知N＝N1＋N2＝150 种．]不平分问题(1)若将 6 名教师分到 3 所中学任教、一所 1名、一所 2 名、一所 3 名、则有种不一样的分法．(2)把 8 个同样的小球所有放入编号为1,2,3,4 的四个盒中、则不一样的放法种数为()A．35B．70C．165D．1 860(1)360 (2)C [(1) 将 6 名教师分组、分三步达成：第 1 步、在 6 名教师中任取 1 名作为一组、有 C16种分法；第 2 步、在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组、有 C25种分法；第 3 步、余下的 3 名教师作为一组、有 C3种分法．依据分步乘法计数原理、共有C16C25C3＝60 种分法．再将这3 组教师分派到3 所中学、有A3＝6 种分法、故共有 60×6＝360 种不一样的分法．(2)依据题意、分 4 种状况议论：①没有空盒、将8 个同样的小球排成一列、排好后、各球之间共有7 个空位、在 7 个空位中任选 3 个、插入隔板、将小球分红 4 组、按序对应 4 个盒子、有 C37＝35 种放法；②有 1 个空盒、在 4 个盒中任选 3 个、放入小球、有 C34＝4 种选法、将 8 个同样的小球排成一列、排好后、各球之间共有 7 个空位、在 7 个空位中任选 2 个、插入隔板、将小球分红 3 组、按序对应 3 个盒子、有 C27＝21 种分组方法、则有4× 21＝84 种放法；③有 2 个空盒、在 4 个盒中任选 2 个、放入小球、有C24＝6 种选法、将 8 个同样的小球排成一列、排好后、各球之间共有7 个空位、在 7 个空位中任选 1 个、插入隔板、将小球分红 2 组、按序对应 2 个盒子、有C17＝7 种分组方法、则有6× 7＝ 42 种方法；④有 3 个空盒、马上 8 个小球所有放进 1 个盒子、有 4 种放法．故一共有 35＋ 84＋42＋4＝ 165 种放法． ]此题属于不平分问题、只需先分组、后摆列、注意分组时任何组中元素的个数都不相等、所以不需要除以全摆列数．1.将甲、乙等 5 名交警分派到三个不一样路口劝导交通、每个路口起码一人、且甲、乙在同一路口的分派方案共有()A．18 种B．24种C．36 种D．72种C [1 个路口 3 人、其余路口各 1 人的分派方法有 C13C2A3种.1 个路口 1 人、2 个路口各 2 人的分派方法有C23C2A3种、由分类加法计数原理知、甲、乙在同一路口的分派方案为C13C2A3＋ C23C2A3＝ 36 种． ]2．(20xx ·唐山二模 ) 将六名教师分派到甲、乙、丙、丁四所学校任教、此中甲校起码分派两名教师、其余三所学校起码分派一名教师、则不一样的分派方案共有种． (用数字作答 )660[若甲校 2 人、乙、丙、丁此中一校 2 人、共有 C26C24A3种、若甲校 3 人、乙、丙、丁每校 1 人、共有 C36A3种、则不一样的分派方案共有 C26C24A3＋ C36A3＝660 种． ]26/26。

全国卷五年考情图解高考命题规律把握说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题. 1.考查形式本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.2.考查内容从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算．常用逻辑用语主要从两个方面考查：充分必要条件的判断及全称量词与存在量词；不等式的解法常与集合运算交汇，不等式的性质常以比较大小的方式命题．基本不等式一般不单独考查.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①集合的交、并、补集运算问题；②充分条件、必要条件的判断问题；③含有一个量词的命题的否定问题；④一元二次不等式的解法及基本不等式的应用.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.第一节集合[最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N)Z Q R＋2.关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B).A⊆B或(B⊇A)真子集如果A⊆B且A≠B A B或B A集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素)A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集设A⊆U，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集∁U A＝{x|x∈U且x∉A}[常用结论]1．非常规性表示常用数集{x|x＝2(n－1)，n∈Z}为偶数集，{x|x＝4n±1，n∈Z}为奇数集等．2．集合子集的个数对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.3．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}． ( )(3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1. ( )(4)直线y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈AD ．a ∉AD [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]2．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，则集合M ∪N 的子集的个数为________．64 [∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}， ∴M ∪N ＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M ∪N 的子集有26＝64个．]3．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________.[答案] {x |x 是直角} 4．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝1的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13 [由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13，故方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13.]5．已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.(－2,1) (－∞，3) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，A ∪B ＝{x |x ＜3}．]考点1 集合的概念与集合中的元素有关的问题的求解思路 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.]2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． －32 [由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.]3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 0或98 [当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.] 4．已知a ，b ∈R ，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 020＋b 2 020＝________.1 [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.](1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T 2，T 4.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T 3.考点2 集合的基本关系 判断两集合关系的方法(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x＝m 2，m ∈A }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．(1)B (2)D (3)(－∞，3] [(1)由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }， 所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 所以BA ，故选B.(2)因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．][母题探究]1．(变问法)本例(3)中，若B A ，求m 的取值范围．[解] 因为BA ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．2．(变问法)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值范围． [解] 若A ⊆B ，则⎩⎨⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎨⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.3．(变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，试求m 的取值范围．[解] 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1＜m ＋1，即m ＜2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，解得⎩⎨⎧m ≥2，m ＞4或⎩⎨⎧m ≥2，m ＜－12，即m ＞4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个A [由题意知，M ＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．] 2．若集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[－2,2) [①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．]考点3 集合的基本运算 集合运算三步骤集合的运算(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}(2)(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}(3)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(1)C(2)A(3)C[(1)∵N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.(2)∵∁U A＝{－1,3}，∴(∁U A)∩B＝{－1}，故选A.(3)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.][逆向问题] 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}D[法一：(直接法)因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．法二：(Venn图)如图所示．]集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数(1)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a 的取值范围是( )A．a＜1 B．a≤1C．a＞2 D．a≥2(1)D(2)D[(1)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.(2)B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，又A∩B＝B，故B⊆A.又A＝{x|x＜a}，结合数轴，可知a≥2.]利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．如T(1)．(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到，如T (2)．提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．[教师备选例题]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合AB ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30C [如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合AB 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B 中元素的个数为45.故选C.]2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)B [A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a ＞0)，f (0)＝－1＜0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎨⎧ f (2)≤0，f (3)＞0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.故选B.] 1.(2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0}，B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．(－2,1)C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞)A [由题意得A ＝{x |x ＜2或x ＞3}，B ＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |x ＜1}．]2.(2019·洛阳模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}D [依题意得A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，故选D.]3．已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }．若A ∩B ＝{4}，则a ＝________. 3 [因为A ∩B ＝{4}，所以a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3.]第二节 充分条件、必要条件[最新考纲] 1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系.3. 理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p2．数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系①判定定理中前提是结论的充分条件；②性质定理中结论是前提的必要条件；③数学定义中条件是结论的充要条件．即定义可以用于判定也可以作为性质．3．充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”则“q ⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”，则“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”，则“p ⇐r”)．[常用结论]1．p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q 的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“a＞－1”是“a≥－1”的必要条件. ( )(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分条件．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．已知m，n为两个非零向量，则“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2＜θ＜π，则cosθ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|＜0成立，但m，n 的夹角不为钝角．故“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.]2．设x∈R，则“x3>1”是“|x|>1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x3>1可得x>1，由|x|>1可得x>1或x<－1，故“x3>1”是“|x|>1”的充分而不必要条件．故选A.]3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]4.△ABC中，“sin A＝45”是“cos A＝－35”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)必要不充分[△ABC中，sin A＝45，所以cos A＝±35，所以“sin A＝45”是“cos A＝－35”的必要不充分条件．]考点1 充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如p是q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然BA ，∴“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.(3)|AB →＋AC →|＞|BC →|⇔|AB →＋AC →|＞|AC →－AB →|⇔AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＞AB →2＋AC →2－2AB →·AC →⇔⇔AB →·AC →＞0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →〉∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故AB →·AC →＞0⇔AB →，AC →的夹角为锐角．故选C.][逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.]判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]2．给定两个命题p，q，若p是q的必要不充分条件，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，但p⇒/q，其等价于p⇒q，但q⇒/p，故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件D[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]考点2 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 又S 为非空集合，则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．][母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解]由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n＝________.3或4 [由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3， 当n ＝4时，方程有整数根2. 综上可知，n ＝3或4.]第三节全称量词与存在量词[最新考纲] 1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词．通常用符号“∀x”表示“任意x”．(2)存在量词：“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．通常用符号“∃x”表示“存在x”．2．全称命题和存在性命题命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，都有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)3.全称命题和存在性命题真假的判断(1)全称命题为真，严格证明；全称命题为假，列举反例；(2)存在性命题为真，列举特例；存在性命题为假，严格证明．[常用结论]含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，p(x)的真假性相反．()(2) 命题“末位数字都是0的整数能被5整除”的否定为“末位数字都不是0的整数不能被5整除”．( )(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． ( )(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题． ( )[答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．命题“∀x ∈R ，x 2＋x ≥0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＜0 C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＜0B [由全称命题的否定是存在性命题知选项B 正确．故选B.] 2．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝1 B ．∃x 0∈R ，sin x 0＝0C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0C [当x ＝10时，lg 10＝1，则A 为真命题；当x ＝0时，sin 0＝0，则B 为真命题；当x ≤0时，x 3≤0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则D 为真命题．故选C.]3．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [因为0≤x ≤π4，所以0≤tan x ≤1，又因为∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ，故m ≥1，即m 的最小值为1.]4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是存在性命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]考点1 全称命题、存在性命题 (1)全称命题与存在性命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全称命题与存在性命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真存在性命题真存在一个对象使命题真否定为假全称命题、存在性命题的否定(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，xx－1＞0”的否定是( )A．∃x＜0，xx－1≤0B．∃x＞0,0≤x≤1C．∀x＞0，xx－1≤0 D．∀x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为( ) A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B(2)D[(1)因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B.(2)由存在性命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]全称(存在性)命题的否定方法：∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x)，简记：改量词，否结论．全称命题、存在性命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列四个命题：其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(1)D (2)D [(1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x ＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)时，总有成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x 0＝12时，有1＝log 1212＝log 1313＞log 1312成立，故p 2是真命题；对于p 3，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与对数函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断p 3是假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与对数函数y ＝log 13x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的图象可以判断p 4是真命题．]因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是存在性命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1.命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃x 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0D [“f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )＞n ”，全称命题的否定为存在性命题，故选D.]2．已知命题p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0≤x 0，则綈p 为________，是________命题(填“真”或“假”)．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，都有cos x ＞x 假 [綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，都有cos x ＞x ，此命题是假命题．]考点2 由命题的真假确定参数的取值范围 根据命题真假求参数的方法步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)． (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)． [母题探究]1．(变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． [解] 依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2， 由⎩⎨⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0.所以实数m 的取值范围为(－2,0)．2．(变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．[解] 若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎨⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎨⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，存在性命题可转化为能成立问题． (2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．1.已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12A [当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－12)∪(－4,4) [命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]第四节 不等式的性质与一元二次不等式[最新考纲] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b ＜0⇔a ＜b .(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b ，ab＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0)，a b＜1⇔a ＜b .2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a>b，c<0⇒ac<bc；a >b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(6)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n≥2，n∈N)；(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔1a>1 b.3．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅[常用结论]1．若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m；若b＞a＞0，m＞0，则ba＞b＋ma＋m.2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．3．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立⇒a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2. ( )(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R. ( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．函数f(x)＝3x－x2的定义域为( )A．[0,3] B．(0,3)C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)A[要使函数f(x)＝3x－x2有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.]2．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( )A．A≥B B．A＞BC．A≤B D．A＜BB[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，∴A＞B，故选B.]3．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.]4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b ＝________.－14 [由题意知x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2(经检验知满足题意)．∴a ＋b ＝－14.]考点1 比较大小与不等式的性质 比较大小的5种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)．(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．(4)不等式的性质法．(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．1.若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0C．ac＞bc D.ba≤b＋ca＋cB[(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]2．若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为( )A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥qB[法一： (作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·⎝⎛⎭⎪⎫1a－1b＝(b2－a2)(b－a)ab＝(b－a)2(b＋a)ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.法二：(特殊值排除法)令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除选项A、C; 令a＝－1，b＝－2，则p<q，排除选项D.故选B.]3．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则( )A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3bC．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|C[法一：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．故选C.法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3a＞3b，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选C.]4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．[5,10] [法一：(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二：(运用方程思想)由⎩⎨⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.](1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T 2，T 3.(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T 1，T 4.考点2 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤解下列不等式：(1)3＋2x －x 2≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )． [解](1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅； 当a >1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. [母题探究] 将本例(2)中不等式改为x 2－(a ＋1)x ＋a <0(a ∈R )，求不等式的解集．[解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．解含参不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．[教师备选例题]解不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．[解] 对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8.(1)当Δ＜0，即－2＜a＜2时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；(2)当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；(3)当Δ＞0，即a＞2或a＜－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a＞2或a＜－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2＜a＜2时，解集为∅.1.(2019·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为( )。

1．下列各组集合中表示同一集合的是（)A．M＝{(3，2)｝，N＝{(2，3)}B．M＝｛2,3}，N＝{3，2｝C．M＝{（x,y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1｝D．M＝{2,3｝，N＝{(2，3)｝答案B2．已知集合M＝｛x｜x2－x－6＝0}，则下列表述正确的是( ）A．{－2}∈M B．2∈MC．－3∈M D．3∈M答案D解析∵集合M＝{x｜x2－x－6＝0｝．∴集合M＝｛－2，3},∴－2∈M,3∈M，故选D。

3．（2018·全国Ⅱ）已知集合A＝｛(x，y）｜x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z},则A中元素的个数为( ) A．9 B．8 C．5 D．4答案A解析将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1），(－1,0），（－1，1）,(0，－1），(0，0)，（0，1）,（1,－1），(1，0），（1,1)，共有9个．故选A。

4．已知集合A＝{x∈N＊|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有（)A．7个B．8个C．15个D．16个答案A解析∵集合A＝{x∈N＊｜x2－3x－4<0}＝｛x∈N*|－1〈x<4｝＝｛1，2,3},∴集合A中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7（个）．5．已知集合M＝{x｜x〉4或x〈1｝,N＝［－1，＋∞)，则M∩N等于( )A．(－∞，＋∞）B．（－1，1)∪（4,＋∞）C．∅D．[－1，1）∪(4，＋∞)答案D解析因为M＝{x｜x>4或x<1}，N＝［－1,＋∞),所以M∩N＝［－1,1)∪（4，＋∞）．6．(2020·山东模拟）设集合A＝{（x,y）|x＋y＝2}，B＝｛（x，y)｜y＝x2}，则A∩B等于( ) A．｛（1，1)｝B．｛(－2，4）｝C．{(1,1），（－2,4)} D．∅答案C解析首先注意到集合A与集合B均为点集，联立错误!解得错误!或错误!从而集合A∩B＝｛(1，1)，（－2，4)｝．7．(多选）已知集合A＝{x｜－1<x≤3}，集合B＝｛x｜｜x|≤2｝，则下列关系式正确的是( ）A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3｝C．A∪∁R B＝｛x｜x≤－1或x〉2｝D．A∩∁R B＝{x|2<x≤3｝答案BD解析∵A＝｛x｜－1<x≤3｝，B＝｛x｜|x｜≤2｝＝｛x｜－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x｜－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正确;A∪B＝{x|－1<x≤3｝∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵∁R B＝｛x|x〈－2或x〉2}，∴A∪∁R B＝｛x|－1〈x≤3｝∪｛x|x〈－2或x〉2}＝｛x｜x〈－2或x〉－1}，C不正确;B＝｛x|－1〈x≤3｝∩｛x｜x<－2或x>2｝＝｛x|2〈x≤3｝，D正确．A∩∁R8．(多选）已知集合A＝｛x|x2－3x＋2≤0｝，B＝｛x|2〈2x≤8}，则下列判断不正确的是( ）A．A∪B＝B B．（∁R B）∪A＝RC．A∩B＝{x｜1〈x≤2｝D．（∁R B）∪（∁R A)＝R答案ABD解析因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2};。