《随机信号分析基础》总复习提

《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。

11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。

14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。

22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。

第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()211222211,,exp 22exp ,,exp 22T Tx m X XXX X n n XT T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E ejM U σπσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C u u r u u ru u r u u r u u r u u r L u r u ru u r u r L另外一些性质： []()20XY XY X YX C R m m D X E X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。

（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。

（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。

《随机信号处理》重点题⽬题型及相关知识点简介第⼀组上台讲解题⽬（第2、7题）2. 复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：(1)[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；(2)信号的功率谱。

解： (1)0000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=?000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=(2)00()[()]{[()()]}[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F e ωτωττπδωω*==+==-备注:主要考察第⼆章P37,功率谱计算,第⼀步求期望⽤数学积分⽅法,得到[()()]E Z t Z t τ*+即输出的⾃相关,对其进⾏傅⾥叶变换就得信号的功率谱。

7. ⼀零均值MA(2)过程满⾜Yule-Walker ⽅程：试求MA 参数： 0b ，1b ，2b解：由于对于零均值MA(q)过程⽽⾔，均值为0，令⽅差为1，其⾃相关函数220(0)qx k k r b ωσ==∑222012011202321b b b b b b b b b ++=+==220(0)qx k k r b ωσ==∑（公式：3.2.5）2,0()0,qk k l k l x b b l qr l l q ωσ-=?≤≤?=??>?∑ ()(),1x x r l r l q l =--≤≤-（公式：3.2.6）则可得：22201011210(0)(1)()q x q q x q x b b b r b b b b b b r b b r q -++=++==故由题意知，MA(2)过程的⾃相关函数为(0)3,(1)(1)2,(2)(2)12x x x x x r r r r r k ==-==-=?> 由此不难求得MA(2)过程的功率谱22122()()232kx xk s z r k zz z z z ---=-==++++∑（公式：2.4.14）其因式分解为：122()(1)(1)x s z z z z z --=++++根据功率谱分解定理2**()()(1/)x s z Q z Q Z σ=（公式：2.5.2a ），⽐较得传输函数：12()1Q z z z --=++ 即0121,1,1b b b ===备注：本题主要考察MA 模型满⾜Yule-Walker ⽅程的模型参数求解，根据P54页3.2.6求得⾃相关函数值，由P38页2.4.14求得复功率谱密度，因式分解，与P39页2.5.2a ⽐较得出结果。

1、随机实验的特点，满足什么特征？
随机试验须满足下面三个特征
(1)、可在相同条件下重复进行；
(2)、每次试验可能结果(Possible result)不唯一，并能事先确定所有可能结果；
(3)、每次试验结果不确定。

2、概率的定义？
1事件是随机的。

赋予事件出现可能性的度量(Measure)，称为概率(Probability)。

“可能性的度量值”是大数试验情形下的统计比例值
P(A) ¼
试验中A出现的次数/总试验次数=nA/n n 足够大
2更一般的定义由概率的公理化定义给出：
3定义若定义在事件域F 的一个集合函数P 满足如下三条件：
(1)、非负性：对任何事件A均有P(A) 大等于0 成立。

即P(A) 大等于0;
(2)、归一性：必然事件(Certain event) 概率为1。

P(­) = 1；
(3)、可加性：若事件A;B 2 F互斥(Mutually exclusive)，即A并B =空，则P(A[
B) = P(A) + P(B)。

则称P 为概率。

3、随机变量之间的“不相关、正交、独立”（各自定义、相关系数定义）？
相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立正交与不相关、独立没有明显关系
4、概率分布函数
5、概率密度函数
6、数学期望
三、正交与无关
正交(Orthogonal)：EfXY g = 0
线性无关(Uncorrelated)或互不相关：EfXY g = mXmY or cov(X; Y ) = 0。

统计独立=)互不相关；但是，互不相关=)= 统计独立。

概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程X(t,ζ)是t,ζ两个变量的函数②X(t,ζ)是随时间t变化的随机变量③X(t,ζ)可看成无穷多维随机矢量在∆t→0,n→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系）一维：期望函数、方差函数、均方值函数。

（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系）5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定6、平稳随机信号自相关函数的性质：0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。

（定义、相互关系）8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。

简答题1．简述两个随机变量X 和Y 之间分别满足独立、不相关、正交关系的条件，以及这三种关系之间的联系。

答：独立：)()(),(y F x F y x F Y X XY ⋅=，或)()(),(y f x f y x f Y X XY ⋅=； 不相关：0=XY r 或0),cov(=Y X ； 正交：0][=XY E .若X 和Y 独立则一定不相关，若X 和Y 不相关则不一定独立； 若X 或Y 的数学期望为0，则不相关与正交等价。

2. 写出函数),(t e X 在①e 确定t 为变量、②t 确定e 为变量、③e 和t 都确定、④e 和t 都是变量四种情况下所代表的意义。

其中S e ∈，S 为样本空间，t 为时间参数。

答：①样本函数；②随机变量；③常数；④随机过程。

3．简述宽平稳随机过程与遍历性过程的关系。

答：平稳过程同时满足以下条件才为遍历性过程 ①均值具有遍历性②相关函数具有遍历性。

所以遍历过程一定是平稳过程，平稳过程不一定是遍历过程。

4.白噪声的功率谱密度和自相关函数各有何特点？一般白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？正态白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？答：白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是一个在0处的冲激函数。

一般白噪声在任意两个不同时刻不相关，正态白噪声在任意两个不同时刻独立。

5.若随机过程)(t X 是平稳过程，则其功率谱密度)(ωX G 与自相关函数)(τX R 有何关系？请写出关系式。

答：)(ωX G 是)(τX R 的傅立叶变换，ττωωτd e R G j X X -∞∞-⎰=)()(，或ωωπτωτd e G R j X X ⎰∞∞-=)(21)(.6.设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为X(t)，系统输出为Y(t)，各自的自相关函数分别为RX(t1,t2)和RY(t1,t2)。

说明二者之间的关系。

答：)()(),(),(212121t h t h t t R t t R X Y **=.7.写出希尔伯特变换的时域形式)(t h 和频域形式)(ωH 。

华侨大学《随机信号分析》考试试卷(09级A卷) 班级：_______________ 姓名：________________ 学号 _______________第1页共3页第2页共3页(1) (5分)求 X(t)的均值函数、方差函数。

(2) (5分)当 —t 2|=T 时，丫(t)是否是广义平稳的？(3) (5分)当t2〔=1.5T 时，Y(t)是否是均值各态历经的？【15分】12五、 设输入随机过程 X(t)的功率谱为S x=22，经过h(t)二e 」u(t)的系统 9 +国试求：(1)输出Y(t)的均值；(2) 输出Y(t)的功率谱密度 &和自相关函数R Y .； (3) 输出与输入间的互功率谱密度 S YX (■)。

【10分】六、 已知平稳随机噪声 N (t)的功率谱如图所示，求窄带随机信号 X t 二N t cos ，r - N t sin •• r 的功率谱密度 SxQ i ,并画图表 示，其中「0为常数，二服从0,2二上的均匀分布，且与 N(t)独立。

【10分】A S N (灼)27：1‘1 --忑°心)t 兰T七、设线性滤波器的输入信号为x(t) =s(t) + n(t)。

其中s(tW 为指数脉冲信[0 t A T号，n(t)为平稳白噪声，功率谱为N°/2且与s(t)统计独立。

试求：第3页共3页（1）（10分）匹配滤波器的传输函数H（jJ并画出与之对应的电路图。

（2）（5分）输出的最大信噪比是多少？八、设齐次马尔可夫链有4个状态01,2,3；，一步转移概率为；（1）画出其状态转移图；（2）如果该链在n时刻处于状态2，求在n亠2时刻处于各个状态的概率;（3）对该链的状态进行分类；_0 0 1 0 "1 0 0 0〔0.3 0.7 0 00.6 0.2 0.2 0 【15分】【12分】第4页共3页。

《随机信号基础》知识点1、确定函数、随机变量、随机过程三者之间的关系例题：理解最简单随机过程()()Θ+⋅=t a t X ωcos ，其中ω,a 是常数，t 表示时间，Θ表示随机相位。

（1）当t ，Θ均为变量时，()t X 是一族时间t 的函数，即为随机过程； （2）当Θ给定，t 为变量时，()t X 是一个确定的时间t 的函数，即样本函数； （3）当t 给定，Θ为变量时，()t X 表示一个随机变量，即t 时刻的状态； （4）当Θ，t 均给定时，()t X 是一个常量。

总结：随机过程=时间+随机变量，注意扩展，简述题考查多。

2、随机变量的分布函数与概率密度函数 分布函数：()()x X P x F ≤= 概率密度函数：()()dxx dF x f =例题：设某信号源，每T 秒产生一个幅度为A 的方波脉冲，其脉冲宽度X 为均匀分布于[]T ,0中的随机变量。

这样构成一个随机过程()∞<≤t t Y 0,。

设不同间隔中的脉冲是统计独立的，求()t Y 的概率密度()y f Y 。

解：某个时刻()t Y 可以看做随机变量，取范围()nT t T n <≤-1；()t Y 取值只有两种：(){}()[]{}()T Tn t T n t X P t Y P 110--=--≤== (){}()[]{}TtnT T n t X P A t Y P -=-->==1()()()()A y T tnT y T T n t y f Y --+--=δδ1注意：对于离散随机变量的分布函数可表示为：()()∑-=ii i x x U p x F ；概率密度函数可表示为：()()∑-=ii i x x p x f δ。

例题：利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程：()⎩⎨⎧=出现反面出现正面,2,cos tt t X π 设“出现正面”和“出现反面”的概率各为0.5；（1）求X(t)的一维分布函数()1,,21,x F x F X X ⎪⎭⎫⎝⎛（2）求X(t)的二维分布函数⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21;,21x x F X解：令随机变量Y 表示试验结果，Y=1表示正面，Y=0表示反面。