空间几何体的直观图的画法

高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=222r rl S ππ+=第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。

空间几何体的直观图知识点：平面图形的直观图要点诠释：1.用来表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图；2.用斜二测画法画平面图形的步骤：(1)建系：在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴交于点，且使(或)；(2)位置关系：已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；(3)长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半.经典例题透析：类型一：平面图形的直观图1、画出水平放置的等边三角形的直观图.解：画法，如图：(1)在三角形ABC中，取AB所在直线为x轴，AB边的高所在直线为y轴；画出相应的轴和轴，两轴交于点，且使；(2)以为中点，在轴上取，在轴上取；(3)连接、，并擦去辅助线轴和轴，便获得正△ABC的直观图△.总结升华：斜二测画法的作图技巧：1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2.在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴和轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面垂直的轴，平行于轴的线段长度保持不变.举一反三：【变式1】等腰梯形ABCD，上底边CD=1，腰，下底AB=3，按平行于上下底边取x轴，则直观图的面积是多少？解：1.以等腰梯形的下底边所在直线为x轴，以过D点的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系；过C点做垂直于AB的直线与AB相交于点E；∵DC=1，，AB=3，∴AO=OE=EB=DO=1；2.建立坐标系，，在轴上取，且，，在轴上取线段；过点做；连接和，则梯形为等腰梯形ABCD的直观图；3.过点做垂直于下底边的垂线段，则△为等腰直角三角形，斜边，所以梯形的高；4.梯形面积.【变式2】正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？1.直观图中平行于轴和轴的线段在原图中分别为平行于轴和轴的线段；2.直观图中平行于轴的线段，在原图中保持长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的两倍.解：1.建立平面直角坐标系，在x轴上取；2.为正方形的对角线，且在轴上，则，所以在y轴上取；3.取，且平行于x轴；4.连接AB、CO，所得图形OABC即为直观图的原图；四边形OABC为平行四边形；5.因为，，由勾股定理，BA=3，所以平行四边形OABC周长为8.学习成果测评基础达标：一、选择题1．下列说法正确的是( )A．相等的线段在直观图中仍然相等B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C．两个全等三角形的直观图一定也全等D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形.2．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A．8 B．C．D．3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．34．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A．B．C．D．5．三棱锥的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面V AB的面积为9，则点C到侧面V AB的距离为( )A．3 B．4 C．5 D．66．正方体的内切球和外接球的半径之比为( )A．B．C．D．7．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ).A．25B．50C．125D．都不对8．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为( ) A．B．C．D．二、填空题1．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是________.答案：42．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形.其中说法正确的序号依次是__________.3．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1:2，则它们的高之比为_________.能力提升：一、选择题1．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( ).A．2倍B．倍C．倍D．倍2．如图所示的直观图，其平面图形的面积为( ).A．3B．6C．D．3．已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是( )A．16 B．16或64 C．64 D．以上都不对4．一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形，对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm.则这个直棱柱的侧面积是( ).A．B．C．D．二、填空题1．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的；②画与直角坐标系对应的必须是45°；③在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；⑤梯形的直观图仍然是梯形；⑥正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中说法正确的序号依次是___________.答案解析：基础达标：一、选择题：BBAAB，DBC二、填空题：1、或；2、①③；3、；4、；5、，.三、解答题：解：由题意有，，∴即油槽的深度为75cm.能力提升：一、选择题：CBBA BCAD二、填空题：1、①⑤；2、三、解答题：1．解：一个侧面如右图，易知，.则，，所以，表面积为综合探究：解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积.如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积.(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m.棱锥的母线长为则仓库的表面积；如果按方案二，仓库的高变成8m，棱锥的母线长为，则仓库的表面积；(3)∵，，∴方案二比方案一更加经济.。

空间几何体的三视图和直观图一、探究 探究一：直观图1．如图，这是长方体、圆柱等四个几何体的直观图。

把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.空间几何体的直观图通常是在 投影下把空间图形展现在平面上，用平面的图形表示空间几何体。

探究二：斜二测画法 1．斜二测画法的方法步骤：①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，把x 轴、y 轴画成对应的x '轴和y '轴，两轴交于点O '，使 ，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x 轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴和y '轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中 ，平行于y 轴的线段， . 2．空间几何体直观图的画法：立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，90xoz ∠=o 。

其直观图中对应于z 轴的是z '轴，''90x oz ∠=o，平行于z 轴的线段，在直观图中画成 于z '轴，长度 . 二、自我检测1．下列结论正确的有 ①相等的线段在直观图中仍然相等。

②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。

③矩形的直观图是矩形。

④圆的直观图一定是圆。

⑤角的水平放置的直观图一定是角。

2．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ，若AB//x 轴，则画出直观图后对应的线段=''B A ，若y AB //轴，则画出直观图后对应的线段B A ''= 。

3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）A ．οο90,90 B ．οο90,45 C ．οο90,135D ．ο45或οο90,1354．如图，A B C '''△是ABC △的直观图，那么ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 三、应用示例例1．用斜二测画法画水平放置的正六边形、任意三角形的直观图。

1．1.4直观图画法下图所示是江南著名古镇之一的乌镇，它是由不同的几何体组合而成的，建筑工人在建造时要依据工程设计的图纸进行施工，工程师是利用什么方法画出图纸的呢？1．表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．2．斜二测画法是一种画直观图的方法，是一种特殊的平行投影画法，其步骤为：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．3．画水平放置图形的步骤：①在水平放置的图形中建适当的直角坐标系xOy，使图形中的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称；②画出直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；③在原图中取关键点，得到在坐标轴上或与坐标轴平行的线段；④按照画法规则，平行于x轴的线段长度不变，与y轴平行的减半，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．4．画空间几何体直观图的步骤：①取相互垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°且∠yOz＝90°；②画O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°；③画底面，平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度减半；④画侧棱(或高)，平行于z轴的线段在直观图中长度不变；⑤成图，顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．,一、用斜二测画法画水平放置图形的步骤①在水平放置的图形中建适当的直角坐标系xOy，使图形中的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称；②画出直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；③在原图中取关键点，得到在坐标轴上或与坐标轴平行的线段；④按照画法规则，平行性不变，长度与y轴平行的减半，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．二、用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤①取互相垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°且∠yOz ＝90°；②画O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°；③画底面，平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度减半；④画侧棱(或高)，平行于z 轴的线段在直观图中保持长度不变；⑤成图，顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．基础巩固知识点一直观图的斜二测画法1．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的直观图是梯形．以上结论，正确的是________(填序号)．解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确，梯形的两底保持平行且不相等，故⑤也正确；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，故③、④不正确．答案：①②⑤2．在用斜二测画法画水平位置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′的值为__________．解析：因∠A的两边平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.答案：45°或135°知识点二由平面图形判断其直观图3．如下图，建立坐标系，得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(C)解析：由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．4．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是(C)解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长度减半，故只有C正确．知识点三由直观图判断平面图5．下图(1)为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是选项中的(C)解析：根据直观图，平面图形的一边在x′轴上，另一边与y′轴平行，故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．6．如下图所示的直观图，其原图形是________三角形．解析：因在直观图中边B′C′与x′轴平行，边A′C′与y′轴平行，故原图形中∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．答案：直角能力升级综合点一平面图形、空间几何体的直观图的画法7．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解析：画法：(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，AB 的中垂线为y轴建立直角坐标系，画出对应的直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′、D′A′，如图(2)，所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．综合点二已知三视图画直观图8．下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解析：(1)画轴，如图(1)画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A，B两点，在z轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′，B′两点．(3)成图，连接A′A，B′B.去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图(2)．综合点三水平放置平面图形直观图中的计算问题9．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是多少？解析：由题意，知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为1＋2，高为2，所以实际图形的面积＝（1＋1＋2）×22＝2＋ 2.10．下图为水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系中点B 的坐标为(2，2)，则在斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为多少？直观图的面积是多少？解析：下图为正方形ABCD在x′O′y′中的直观图，作B′D′⊥x′轴，则在Rt△B′C′D′中，∠B′C′D′＝45°，B′C′＝1，∴B′D′＝B′C′·sin 45°＝1×22＝22.S▱A′B′C′O′＝O′C′×B'D'＝2×22＝ 2.即B′到x′轴的距离为22，直观图的面积为 2.。