矩形专题培优训练

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.6矩形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•东莞市校级期中）如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（ ）A．BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO【分析】根据矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AO＝DO，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：D．2．（2022春•同安区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AB＝BC【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝∠ABC，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；B、∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．3．（2022•宜兴市校级二模）添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90°D．AB＝BC【分析】由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴当∠BAD＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选：C．4．（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90°D．BE⊥AB【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，∵DE＝AD，∴BC＝DE，∵BC∥AD，∴BC∥DE，∴四边形DBCE是平行四边形A、∵AB＝BE时，AB＝CD，∴BE＝CD，∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；B、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°时，∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意；D、∵BE⊥AB，AB∥CD，∴BE⊥CD，∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意．故选：D．5．（2022春•德城区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法，其中正确的有（ ）个①四边形AEDF是平行四边形：②如果∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形：③如果AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形：④如果AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形，A．1B．2C．3D．4【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD＝∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；若∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，则其中正确的个数有4个．故选：D．6．（2022•路南区三模）问题背景：如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形．讨论交流：小明说：“若AB＝AC，则四边形ADCE是矩形．”小强说：“若∠BAC＝90°，则四边形ADCE是菱形．”下列说法中正确的是（ ）A．小明不对，小强对B．小明对，小强不对C．小明和小强都对D．小明和小强都不对【分析】利用矩形的判定和菱形的判定可直接判断．【解答】解：若AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴平行四边形ADCE是矩形，若∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形，故小明和小强的说法都对，故选：C．7．（2022春•宜阳县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，则（ ）A．AE＝DF B．四边形AFED是菱形C．四边形FBCE是菱形D．四边形AFED是矩形【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，AD∥BC，AD＝BC，根据平行线的性质得出∠DEA＝∠BAE，∠EDF＝∠AFD，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，∠EDF＝∠ADF，求出∠DAE＝∠DEA，∠ADF＝∠AFD，根据等腰三角形的判定得出AD＝DE，AF＝AD，求出DE＝AF，再逐个判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB（即DE∥AF），∴∠DEA＝∠BAE，∠EDF＝∠AFD，∵AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，∴∠BAE＝∠DAE，∠EDF＝∠ADF，∴∠DAE＝∠DEA，∠ADF＝∠AFD，∴AD＝DE，AF＝AD，∴DE＝AF，∴四边形AFED是菱形，∴AD∥EF，AD＝EF，AE⊥DF（AE不一定等于DF）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴EF∥BC，EF＝BC，∴四边形FBCE是平行四边形，不能推出四边形FBCE是菱形，所以只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；故选：B．8．（2022春•新罗区期末）在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝θ，∠BOC＝β，若β关于θ的函数解析式是β＝180°﹣2θ（0°＜θ＜90°），则下列说法正确的是（ ）A．BO＝BC B．OC＝BCC．四边形ABCD是菱形D．四边形ABCD是矩形【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证∠OCB＝θ，则∠DBC＝∠OCB，得OB＝OC，然后得AC＝BD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠DBC＝θ，∠BOC＝β，β＝180°﹣2θ，∴2θ+β＝180°，∵∠DBC+∠BOC+∠OCB＝180°，即θ+β+∠OCB＝180°，∴∠OCB＝θ，∴∠DBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋•砀山县校级月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，请添加一个条件　AB＝CD （答案不唯一）　，使四边形ABCD是矩形．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：添加一个条件为：AB＝CD，使四边形ABCD是矩形．理由如下：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．10．（2022春•铁东区期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是　有一个角为直角的平行四边形是矩形．　．【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行判断即可．【解答】解：∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行，∴得到了一个平行四边形，∵与两边分别垂直，∴就能得到矩形踏板，故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形．11．（2022春•北京期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，可添加的条件是　AC＝BD（答案不唯一）　．（写出一个条件即可）【分析】由矩形的判定定理即可得出结论．【解答】解：可添加的条件是：AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．12．（2022春•朝阳区期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是　BE＝CF（答案不唯一）　（写出一个即可）．【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证∠AEF＝90°，即可得出结论．【解答】解：添加条件为：BE＝CF，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形，故答案为：BE＝CF（答案不唯一）．13．（2022春•丹阳市校级月考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为　1　时，四边形ABC1D1为矩形．【分析】当点B的移动距离为时，∠C1BB1＝60°，则∠ABC1＝90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形．【解答】解：如图：当四边形ABC1D是矩形时，∠B1BC1＝90°﹣30°＝60°，∵B1C1＝，∴BB1＝，当点B的移动距离为1时，四边形ABC1D1为矩形，故答案为：1．14．（2022秋•二七区校级月考）如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是　有一个角是直角的平行四边形是矩形　．【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．【解答】解：∵AB＝CD，CB＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形），又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形．15．（2022春•平谷区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是　∠DFG＝90°（答案不唯一）　．（写出一个即可）【分析】由三角形中位线定理得DE∥BC，再由DF∥EG，得四边形DFGE是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：添加条件为：∠DFG＝90°，理由如下：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵DF∥EG，∴四边形DFGE是平行四边形，又∵∠DFG＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，故答案为：∠DFG＝90°（答案不唯一）．16．（2021春•贵港期末）过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列说法：①若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形；②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC＝90°；③若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形；④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝AC．其中正确的说法有　1　个．【分析】根据矩形的判定和菱形的判定解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，CD＝AB，∴以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，①若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形不是矩形，故①错误；②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠ABC＝90°，故②错误；③若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，故③正确；④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝BC，故④错误；正确的说法有1个，故答案为：1．17．（2021春•金东区期末）如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为　或或15　．【分析】存在三种情况：①作辅助线，构建等腰△BDF，先根据三角形内角和得∠BDC＝∠F，再由等腰三角形三线合一的性质得CD＝CF，最后证明△DCO≌△FCA（AAS），可得结论．②如图2，同理构建直角三角形，利用勾股定理可得结论；③如图3，同理可得结论．【解答】解：存在三种情况：①如图1，延长BA和DC交于点F，∵点A（3，0），点B（3，5），∴AB⊥x轴，OA＝3，∵四边形DCBE是矩形，∴∠DCB＝90°，∴∠BCF＝∠DCB＝90°，∵∠CBD＝∠CBF，∴∠BDC＝∠BFC，∴BD＝BF，∴CD＝CF，在△DCO和△FCA中，，∴△DCO≌△FCA（AAS），∴OC＝AC，∵AC＝OA＝．②如图2，过点B作BM⊥y轴于M，则∠BMD＝90°，∵四边形CDBE是矩形，∴∠CDB＝90°，∵∠CBA＝∠CBD，∠CAB＝90°，∴BD＝BA＝5，AC＝CD，∵BM＝3，∴DM＝4，∴CD＝5﹣4＝1，设AC＝x，则OC＝3﹣x，CD＝x，由勾股定理得：CD2＝OD2+OC2，即x2＝12+（3﹣x）2，解得：x＝，∴AC＝；③如图3，过点D作NL∥x轴，交AB的延长线于L，过C作CN⊥NL于N，则∠N＝∠L＝90°，∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠CBA＝∠CBD，∴CD＝AC，设AC＝b，则CD＝b，OC＝DN＝b﹣3，∵AB＝BD＝5，∵DL＝3，∴BL＝4，∴CN＝AL＝5+4＝9，由勾股定理得：CN2+DN2＝CD2，即92+（b﹣3）2＝b2，解得：b＝15，综上，AC的长为或或15；故答案为：或或15．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（2018春•邢台期末）如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．（1）求证：F是AB的中点；（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．【分析】（1）由题意可证四边形DBCE是平行四边形，可得DB＝EC，且E是AC中点，可证四边形DBEA 是平行四边形，可得结论．（2）添AB＝BC，且AE＝EC可证BE⊥AC，即可得四边形DBEA是矩形．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC∴四边形DBCE是平行四边形∴DB＝EC，∵E是AC中点∴AE＝EC∵AE＝EC＝DB，AC∥DB∴四边形ADBE是平行四边形∴AF＝BF，即F是AB中点．（2）添加AB＝BC∵AB＝BC，AE＝EC∴BE⊥AC∴平行四边形DBEA是矩形．19．（2021秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN．∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°．∴四边形ADCE为矩形．20．（2022秋•奉贤区月考）如图，已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，分别联结FD、EC．（1）求证：四边形CDFE是平行四边形；（2）设AB与EC交于点G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求证：四边形CDFE是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，AB∥EF，AB＝EF，则CD∥EF，CD＝EF，即可得出结论；（2）先证AF＝AD，再由平行四边形的性质证出BC＝BE，然后由等腰三角形的性质得AB⊥CE，则EF ⊥CE，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AB∥EF，AB＝EF，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四边形CDFE是平行四边形；（2）∵∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∵四边形ABCD平行四边形，∴AD＝BC，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AF＝BE，∴BC＝BE，∵EG＝CG，∴AB⊥CE，由（1）得：AB∥EF，∴EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，又∵四边形CDFE是平行四边形，∴平行四边形CDFE是矩形．21．（2022春•相城区校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当AB与BD满足条件　BD＝2AB　时，四边形GEHF是矩形．【分析】（1）由三角形中位线定理得GF∥OA，GF＝OA，同理EH∥OC，EH＝OC，再由平行四边形的性质得OA＝OC，则EH∥GF，EH＝GF，即可得出结论；（2）连接GH，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再证四边形ABHG是平行四边形，得AB＝GH，然后证GH＝EF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵G，F分别为AD，DO的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理可得：EH∥OC，EH＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴EH∥GF，EH＝GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形．理由：如图，连接GH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∵G，H分别是AD，BC的中点，∴AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB＝GH，∵E，F分别是BO，DO的中点，∴BE＝OE＝OF＝DF，∴BD＝2EF，∵BD＝2AB，∴EF＝AB，∴GH＝EF，∴平行四边形GEHF是矩形．22．（2022春•隆回县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1．（1）求BE和EC的长，并判断△BEC的形状；（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并说明理由．（3）求四边形EFPH的面积．【分析】（1）由勾股定理求出BE和EC的长，再由勾股定理的逆定理可得∠BEC＝90°，即可得出结论；（2）证四边形APCE、四边形DEBP均为平行四边形，得AP∥CE，BE∥PD，再证四边形EFPH为平行四边形，即可得出结论；（3）利用勾股定理分别求解EP，PH的长，即可求出矩形EFPH的面积．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE＝BP＝1，∴AE＝5﹣1＝4，在Rt△ABE和Rt△DEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，EC＝＝＝，△BEC为直角三角形，理由如下：∵BE2＝AB2+AE2＝22+42＝20，CE2＝CD2+DE2＝22+12＝5，BC＝5，∴BE2+CE2＝25＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴△BEC为直角三角形；（2）四边形EFPH为矩形，理由如下：∵AD∥BC，AD＝BC，ED＝BP＝1，∴AE＝PC，∴四边形APCE、四边形DEBP均为平行四边形，∴AP∥CE，BE∥PD，∴四边形EFPH为平行四边形，由（1）可知，∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH为矩形；（3）由（2）可知，四边形EFPH为矩形，∴∠EHP＝∠EFP＝90°，∴BE⊥AP，DP⊥EC，在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝1，∴AP＝＝＝，∴BH＝＝＝，∴EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△HBP中，由勾股定理得：PH＝＝＝，＝EH•PH＝×＝．∴S矩形EFPH23．如图，▱ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在对角线BD上，E，F两点分别从B，D点往终点D，B 运动，它们的速度都是每秒1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为t．（1）当t≠8时，判断四边形AECF的形状，并说明你的结论．（2）当运动时间t为多少时，四边形AECF为矩形？【分析】（1）根据题意可得AO＝CO，EO＝FO，即可证四边形AECF是平行四边形；（2）由四边形AECF是矩形可得AC＝EF，可列方程可解t的值．【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO，BO＝EO∵BE＝DF＝t∴EO＝FO，AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形（2）若四边形AECF是矩形∴AC＝EF∴12＝16﹣2t或12＝2t﹣16解得：t＝2或14当t＝2或14时，四边形AECF为矩形．24．（2022春•河北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；（2）①当t＝　10　s时，四边形AEFD为菱形；②当t＝ s时，四边形DEBF为矩形；【分析】（1）由题意得∠BCA＝30°，CD＝4tcm，AE＝2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝DC＝2tcm，得到AE＝DF，然后证AE∥DF，即可得出结论；（2）①由AE＝AD，得四边形AEFD为菱形，得2t＝60﹣4t，进而求得t的值；②∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°时，四边形DEBF为矩形，得到∠AED＝90°，再证AD＝2AE，得60﹣4t＝4t，即可得出结论．【解答】（1）证明：由题意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝30°，∴DF＝DC＝2tcm．∵AE＝2tcm，DF＝2tcm，∴AE＝DF．又∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形．（2）解：①∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∵AE＝DF，AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，即2t＝60﹣4t，解得t＝10，∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形，故答案为：10．②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°，∴∠DEB＝90°，∴∠AED＝90°．∵∠AED＝90°，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．即当t＝时，四边形DEBF为矩形，故答案为：．。

矩形能力提高题（培优）1．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD＝45°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，延长AD交EC于点F．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若AD＝2，BC＝3，求AE的长．3．如图，已知▱ABCD，延长AB到E使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD＝4，CD＝2，求AC的长．4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，且BC＝2AF．（1）求证：四边形ADFE为矩形；（2）若∠C＝30°，AF＝2，写出矩形ADFE的周长．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AD＝4，∠AOD＝60°，求AB的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝14，DE＝8，求BE的长．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．8．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．9．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．（1）求证：四边形CODE是矩形．（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．10．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＞AD，∠ADC的平分线交AB于点E，作AF⊥BC于F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．（1）补全图形，并证明AFHD是矩形；（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若BC＝6，∠DOC＝60°，求四边形ADCE的面积．12．如图，已知▱ABED，延长AD到C使AD＝DC，连接BC，CE，BC交DE于点F，若AB＝BC．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AE，若∠BAC＝60°，AB＝4，求AE的长．13．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF＝BA，BE＝BC，连接AE，EF，FC，CA．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB＝4，求DE的长．14．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．15．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM＝5，且AC＝8，求四边形ADEC 的面积．16．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且AB＝FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA＝EG．求证：ED＝EC．17．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E，使DE＝AD，延长CD 到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF．（1）求证：四边形ACEF是矩形；（2）求四边形ACEF的周长．18．如图，AC＝BC，D是AB的中点，CE∥AB，CE＝AB．（1）求证：四边形CDBE是矩形．（2）若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长．19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形；（2）求证：四边形EFMN是矩形；（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON＝3，求矩形ABCD的面积．20．如图：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1．求证：四边形EFPH为矩形．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE＝AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF＝CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积．22．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．23．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形DECO是矩形；（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD 到点F，使DF＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．28．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：四边形ABED是矩形；（2）连接AC，若∠ABD＝30°，DC＝2，求AC的长．29．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BE＝4，求CD的长．30．如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．31．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O．DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF．若CF＝CE＝1，求AE长．32．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BC，点E是BC延长线上一点，，连接DE．（1）求证：四边形ACED为矩形；（2）连接OE，如果BD＝10，求OE的长．33．如图，AC＝BC，D是AB中点，CE∥AB，CE＝AB．（1）求证：四边形CDBE是矩形．（2）若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF的长．34．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．35．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．36．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．37．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．38．如图，▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求AD的长．39．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD＝8，CD＝4，求AC的长．40．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，CF＝3，DF＝4，求AD的长度．41．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．42．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边相交于点E，∠AEB＝45°．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）连接CE，若CE＝，DE＝1，求AD的长．43．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．44．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．45．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．46．已知：如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE，若AB＝2BC，求证：△ABE是等边三角形．47．如图，在直角△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．（1）求证：四边形ADFE为矩形；（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．48．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D 作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．49．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD，DC，CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．50．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC＝8，AO＝，求四边形AEBC的面积．51．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．（1）求证：四边形BOCE是矩形；（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC＝60°，AB＝2，求AF的长．52．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD为△ABC的角平分线，AE∥DC，AE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，若AB＝10，CD＝12，求DE的长．53．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．54．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．求证：OE＝CD．55．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．56．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．57．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）若CE＝4，求AF的长．58．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）OE AE（填＜、＝、＞）；（2）求证：四边形OEFG是矩形；（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．59．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，，连接AE、CE．（1）求证：四边形ODEC为矩形；（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长．60．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．。

9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是()A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O .若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF //BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，DF ，当线段DF 被CE 垂直平分时，AF 则线的长为_______．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．△，C D'与AB交于点E，若【例4】如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到BC D'∠=︒，则2125∠的度数为_________．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；≠，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．【例4】在平行四边形ABCD中，AB BC'=；(1)求证：B E DE'∥；(2)求证：B D AC(3)在平行四边形ABCD中，已知：460，，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．若以BC B=∠=︒A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形，求AC的长．BC=．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点【例5】已知：如图，在矩形ABCD中，4AB=，2E、F．求线段CF的长．【例6】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN相交于点K，得到△MNK，如图①．(1)当点M与点A重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK的面积最大，最大值是多少【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C DE的长．1．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在DAC∠内交于点H，画射线AH交DC于点M．若68ACB∠=︒，则DMA∠的大小为（）A．34︒B．56︒C．66︒D．68︒2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．103．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC =________；若OA =5，则BD =________．8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，6OA =，3OC =，45DOE ∠=︒，OD ，OE 分别交BC ，AB 于点D ，E ，且2CD =，则点E 坐标为______．9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【答案】B【解析】解：A、矩形的对角线互相平分，故此选项不符合题意；B、矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项符合题意；C、矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】解：矩形的性质为四个角相等，对角线相等，对角线互相平分，故选：C ．【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是( )A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形【答案】D【解析】解：A 、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；C 、对角线相等的平行四边形，故错误；D 、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选：D ．二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【解析】解：设C D ''与BC 交于点E ，如图所示．∵旋转角为20︒，∴20DAD '∠=︒，∴9070BAD DAD ''∠=︒-∠=︒．∵360BAD B BED D '''∠+∠+∠+∠=︒，∴360709090110BED '∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴1110BED '∠=∠=︒．故选：B ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O.若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 是矩，∠AOB ＝60°，∴∠BCD ＝90°，∠COD ＝60°，OC ＝OD ＝1122AC BD =， ∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠OCB ＝90°﹣∠OCD ＝30°，故选：A ．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=12AC ，OB=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB=BE ，∵∠DAO=30°，∴∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=60°，OB=AB ，∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE ，∴∠BEO=12×（180°-30°）=75°． 故选：D ．三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】 解：四边形COED 是矩形， CE OD ∴=，点D 的坐标是()3,4，5OD ∴=，5CE ∴=，故选：C ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【答案】B【解析】解：如图，以EC 为边作等边三角形ECH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥于M ，又∵90ABC ∠=︒，∴四边形MHNB 是矩形，∴MH BN =，∵1BE =，2AB =，3BC =，∴2EC =，∵EHC △是等边三角形，HN EC ⊥，∴2EC EH ==，1EN NC ==，60HEC ∠=︒，∴2BN MH ==，∵FGE △是等边三角形，∴FE FG =，60FEG HEC ∠=︒=∠，∴FEH GEC ∠=∠，在FEH △和GEC 中，FE GE FEH GEC HE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FEH GEC ≌，∴FH GC =，∴当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，∴点F 与点M 重合时，2FH HM ==，故选B ．【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．【答案】65【解析】解：如图，连接AP ，3AB =，4AC =，5BC =，90EAF ∴∠=︒，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，∴四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，EF ∴，AP 的交点就是M 点．当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当⊥AP BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．1122AP BC AB AC ⋅=⋅， AP BC AB AC ∴⋅=⋅，3AB =，4AC =，5BC =，534AP ∴=⨯，125AP ∴=， 65AM ∴=； 故答案为：65．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【答案】B【解析】解：已知平移EC 至DF ，则EC DF ∥，EC DF =四边形CEDF 是平行四边形，则122410402CEDF CED S S CD DA CD DA ==⨯⨯⨯==⨯= 故选：B ．【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF//BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【答案】16【解析】解：作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，ADC ABC SS ∴=，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ADC AMP PFC ABC AEP PCN S S S S S S ∴--=--，即BEPN DFPM S S =矩形矩形， 12882DFP PBE S S ∴==⨯⨯=， 8816S ∴=+=阴影，故答案为：16【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．【答案】10825【解析】如图，连接BF ，，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3， 又∵AB=4，∴，由折叠可知：BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=431255 AB BEAE•⨯==，∴BF=245，∵EF=BE=CE，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：185，S△ECF=12S△BCF=12×12×185×245=10825，故答案为：108 25．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的长为_______．【答案】18 5【解析】解：连接AF交PE于O，连接DF，∵矩形ABCD，∴BC=AD=6,CD=AB=4，∵线段DF被CE垂直平分时，∴CF=CD=4,ED=EF，∵将△APE沿PE折叠得到△FPE，∴PE是线段AF的垂直平分线，∴AE=EF,AF=2OA，∴AE=ED=EF，∵AD=AE+ED=6，∴AE=ED=EF=3，设AP=x，则PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，∵PC2=BP2+BC2,即（x+4）2=（4-x）2+62∴x=94，∵154 =，∴1122PE AO PA AE=，即115193 2424AO⨯=⨯⨯，解得：AO=95，∴AF=2AO=185．故答案为185．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．1【解析】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），如图3中，当点M运动到点B′落在CD时，NB'=DB′（即DE″）＝10﹣1＝（9（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（91）（cm）．1．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．【答案】3290βα-=︒【解析】如图，延长BE 交AD 于点N ，设BN 交AM 于点O ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠C=90°，AD=BC ，∵DM=MC ，∴△ADM ≌△BCM(SAS)，∴∠DAM=∠CBM ，∵△BME 是由△MBC 翻折得到，∴∠CBM=∠EBM=12(90°−β)，∵∠DAM=∠MBE ，∠AON=∠BOM ，∴∠OMB=∠ANB=90°−β，在△MBE 中，∵∠EMB+∠EBM=90°，∴α+(90°−β)+12(90°−β)=90°，整理得：3β−2α=90°故答案为：3β−2α=90°【例4】如图，将长方形纸片ABCD 沿BD 所在直线折叠，得到BC D '△，C D '与AB 交于点E ，若125∠=︒，则2∠的度数为_________．【答案】40︒【解析】解：在矩形ABCD 中，90C ∠=︒，AB CD ∥，∴190CBD ∠+∠=︒，1ABD ∠=∠，125∠=︒，∴65CBD ∠=︒，25ABD ∠=︒，由折叠可知：2ABD CBD ∠+∠=∠，∴2652540CBD ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【答案】见解析【解析】证明：AC BC =，CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，AD BD =．在DBCE 中，//EC BD ，EC BD =，//EC AD ∴，EC AD =．∴四边形ADCE 是平行四边形．又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：//AE BD ，AE BD =，∴四边形AEBD 是平行四边形，AB AC =，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，∴四边形AEBD 是矩形．（2）解：四边形AEBD 是矩形，90AEB DBE ∴∠=∠=︒，2BD AE ==，30ABE ∠=︒，BE ∴==24BC BD =，EC ∴=，【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；【答案】(1)()1,3D (2)证明见解析【解析】（1）解：∵()5,0A ，()0,3B ，∴5OA =，3OB =，∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴5AD AO ==，在Rt ADC 中，4CD =，∴1BD BC CD =-=，∴()1,3D ．（2）证明：四边形ADEF 是矩形，90ADE ∴∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由旋转的性质得：AD AO =，在Rt ADB 和Rt AOB △中，AB AB AD AO =⎧⎨=⎩， ∴()Rt Rt HL ADB AOB ≅．【例4】在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．(1)求证：B E DE '=；(2)求证：B D AC '∥；(3)在平行四边形ABCD 中，已知：460BC B =∠=︒，，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．若以A 、C 、D 、B '为顶点的四边形是矩形，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∴EAC ACB ∠=∠，由折叠的性质可知ACB ACB BC B C ''∠=∠=，，∴EAC ACB '∠=∠，BC AD '=，∴AE CE =，∴B C CE AD AE '-=-，即B E DE '=；（2）证明：∵B E DE '=， ∴()11802CB D B DA B ED '''∠=∠=︒-∠， 同理可得()11802EAC ECA AEC ∠=∠=︒-∠， ∵AEC B ED '∠=∠，∴ACB CB D ''∠=∠，∴B D AC '∥；（3）解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB 是矩形，∴90CAB '∠=︒，∴90BAC ∠=︒，∵=60B ∠︒，∴30ACB ∠=︒， ∴122AB BC ==,∴AC②如图2所示：∵四边形ACB D '是矩形，∴90ACB '∠=︒，∴90ACB ∠=︒，∵460BC B =∠=︒，，∴30BAC ∠=︒，∴28AB AC ==,∴AC综上所述：AC 的长为【例5】已知：如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．对角线AC 的垂直平分线分别交AB 、CD 于点E 、F ．求线段CF 的长．【答案】52CF =【解析】解：连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴42CD AB AD BC ====，，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AF CF =，设CF x =，则4DF CD CF x =-=- ，在Rt ADF 中，222AF DF DA +＝，即22224x x =+-（），解得：x =52， ∴52CF ＝【例6】如图①，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 相交于点K ，得到△MNK ，如图①．(1)当点M 与点A 重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK 的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK 的面积最大，最大值是多少【答案】(1)△MNK 的面积为1 (2)△MNK 的面积最大值为1.3【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴在图1、图2中，DNAB ，∴∠DNM=∠BMN ，又∵折叠，∴∠BMN =∠KMN ，∴∠KMN=∠KNM ，∴NK=MK ，∵△MNK 的面积S=12NK•AD=12NK ，∴S=12MK ，图2中，由折叠知，∠KAN=∠NAB=15°，∵DN AB ，∴∠KNA=∠NAB，∴∠KNA=∠KAN=15°，KA=KN，∴在Rt ADK中，∠DKA=30°，KA=2AD=2∴△MNK的面积S=12NK•AD=12NK，∴S=12AK=1；（2）有以下两种情况：情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．设MK=MB=x，则AM=5-x．由勾股定理得：12+ (5-x)2=x2，解得，x=2.6，即MD= ND= 2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3；情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．设MK=AX= CK=x，则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3，∴△MNK的面积最大值为1.3．【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由．(3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．【答案】(1)∠AEM ＝90° (2)MN BD ∥，理由见解析 (3)DE 的长为【解析】（1）解：如图1，∵DE ＝2，∴AE ＝AB ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠ABE ＝45°．由对称性知∠BEM ＝45°，∴∠AEM ＝90°．（2）解：如图2，∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10，∵当N 落在BC 延长线上时，BN ＝BD ＝10，∴CN ＝2．设DE EN x ==，则6CE x =-，∵222CE CN EN +=，解得：103x =， ∴103DE EN ==． ∵BM ＝AB ＝CD ，MN ＝AD ＝BC ，∴Rt Rt (H )L BMN DCB ≌，∴∠DBC ＝∠BNM ，∴MN BD ∥；（3）分类讨论：①如图3，当E 在边AD 上时，∴∠BMC ＝90°，∴MC =．∵BM ＝AB ＝CD ，∠DEC ＝∠BCE ，∴△BCM ≌△CED(AAS)，∴DE ＝MC ＝②如图4，当点E 在边CD 上时，∵BM ＝6，BC ＝8，∴MC ＝∴8CN MN MC =-=-设DE EN y ==，则6CE y =-，∴222(6)(8y y -=-+，解得：y =∴DE =综上所述，DE 的长为1．如图，在长方形ABCD 中，连接AC ，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD ，AC 于点E ，F ，分别以E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在DAC ∠内交于点H ，画射线AH 交DC 于点M ．若68ACB ∠=︒，则DMA ∠的大小为（ ）A ．34︒B ．56︒C ．66︒D ．68︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是长方形，90,D AD BC ∴∠=︒， 68DAC ACB ∴∠=∠=︒，由题意可知，AM 平分DAC ∠，1342DAM DAC ∴∠=∠=︒， 9056DMA DAM ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．10【答案】B【解析】解：在矩形ABCD 中，OA OB =，∵两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒ 60AOB ∠∴=︒，AOB ∴是等边三角形，3OB AB ∴==，2236BD OB ∴==⨯=．故选：B ．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，OA OC =，OB OD =，OA OB OD ∴==，即AOB 、AOD △均为等腰三角形， OAD ODA ∠=∠∴，OAB OBA ∠=∠，AOE ∠是等腰AOD △的一个外角，2AOE OAD ODA OAD ∴∠=∠+∠=∠，2EAC CAD ∠=∠，EAO AOE ∠∠∴=，AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒，即AEO △是等腰直角三角形，45AOE ∴∠=︒，()()111801804567.522OAB OBA AOB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 67.54522.5BAE OAB OAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．【答案】50︒【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA OB OC OD ∴===，20ACB ∠=︒，20OBC OCB ∴∠=∠=︒，40AOB OBC OCB ∴∠=∠+∠=︒，OE BD ⊥，904050AOE BOE AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：50︒．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．【答案】30︒【解析】【解答】解：∵:1:2EDC EDA ∠∠=，90EDC EDA ∠+∠=︒，∴30EDC ∠=︒，60EDA ∠=︒，∵DE OC ⊥，∴9060DCE EDC ∠︒=︒-∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OD OC ==，∴ODC 是等边三角形，∵DE OC ⊥， ∴1302ODE CDE ODC ∠=∠=∠=︒， 故答案为：30︒．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒【答案】125 【解析】解：将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒得到矩形AB C D '''，∴903555BAD ∠=︒-︒='︒，∵360BAD ABC AD C α∠+∠+∠'+='∠'︒，∴360909055125α∠=︒-︒-︒-︒=︒，故答案为：125．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC=________；若OA=5，则BD=________．【答案】 90︒ 10【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA=5，∴ABC ∠=90︒，210BD AC OA ===，故答案为：9010︒，． 8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．【答案】20°【解析】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，故答案为：20°．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，6OA=，3OC=，45DOE∠=︒，OD，OE分别交BC，AB于点D，E，且2CD=，则点E坐标为______．【答案】6,6 5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】解：过点E作EF OD⊥，过点F作FN OC⊥，并延长NF交AB延长线于点M，如下图：则90EFO FNO ∠=∠=︒，∴90OFN EFM ∠+∠=︒，90OFN FON ∠+∠=︒ ∴FON EFM ∠=∠在矩形OABC 中，//AB OC ，63OA BC OC AB ====， ∴90M FNO ∠=∠=︒∴四边形BCNM 为矩形∴6MN BC ==，//CD MN ，BM CN = ∴AM ON =∵45DOE ∠=︒∴EFO △为等腰直角三角形，EF OF =∴FON EFM △≌△∴MF ON =，EM FN =设MF ON x ==，则6EM FN x ==-，(,6)F x x - 设直线OD 解析式为y kx =由题意可知(3,2)D ，代入y kx =得，32k =，解得23k =， 又∵点(,6)F x x -在直线OD 上，∴263x x -= 解得185x =，即181255AM ON FN EM ====， ∴65AE AM EM =-=∴点E 坐标为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭。

第十一讲：矩形要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.【典型例题】考点一、矩形的性质例题1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落'=；在点A'处．(1)求证：B E BF、、之间的关系。

(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a b c例题2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．考点 二、矩形的判定例题3、如图所示，在△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．(1)试证明EO ＝FO ；(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？简要说明理由．【变式】已知YABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4cm ，求这个平行四边形的面积.考点 三、直角三角形斜边上的中线的性质例题4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【变式】如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） A.21 B.5 C.145 D.52考点集训一.选择题 1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm3. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )3题图 4题图 5题图A.0B.1C.2D.34. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )A.2B.3C.22D.326. 矩形的面积为1202cm ，周长为46cm ，则它的对角线长为（ ）A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm二.填空题7．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD ＝2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 1处，则∠EA 1B ＝____°7题图 8题图8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______．9. 如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4，则矩形对角线AC 长为________cm ．9题图 10题图10.如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为_______.cm11.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_____.三.解答题13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．（1）线段AF与CD相等吗？为什么？（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF是怎样的特殊四边形，并说明理由．14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝12BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．。

第五讲 矩形的性质与判定一【根底回忆】1．如图，矩形ABCD 中，沿对角线BD 向上翻折，使点C 落在点F 处，连AF ． 〔1〕求证：A F ∥BD ；〔2〕假设AB=6，BC=8，那么AF=___________．2．如图，矩形ABCD 中，AC=2AB ，AE 平分∠DAB ，那么∠OEA=__________．3．如图，矩形ABCD 中，E F ⊥CE ，EF=CE ，DE=4，矩形的周长为32，那么CF=________．4．如图，矩形ABCD 中，点P 在BC 边上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB=6，BC=8，那么PE+PF=_______．5．如图，矩形ABCD 中，∠AOD=120°，OD=2，那么AB=________，AD=__________．6．如图，矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，DE=13BE=2，那么BC=_________；CD=___________．7．如图，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠EAC=15°，那么∠BOE=_____________．8．如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿AC 折叠到△ACE ，AE 交BC 于F ， 求S △ACFEDDB CD B CD CD ED A C二【矩形的判定】9．如图，AC=BC ，AD ⊥BC 于D ，点P 为AB 上的动点，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．〔1〕求证：PE+PF=AD ；〔2〕假设点P 在AB 的延长线上，问PE 、PF 、AD 有怎样的关系？画图并证明．10．如图，BE 平分△ABC 的外角，BF 平分∠ABC ，AE ⊥BE 于E 点，AF ⊥BF 于F 点， 〔1〕求证：四边形AEBF 是矩形；〔2〕求证：EF ∥BC ．三【矩形的性质与判定】11．如图，矩形ABCG 中，点D 是AG 的中点，DE ⊥CD 交AB 于E ，BE=BC ，连CE 交BD 于F ，求证：〔1〕BD=CD ；〔2〕∠BDC=45°；〔3〕DE=DF ．FA12．如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，那么△PEF 和△PGH 的面积和等于．13．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE ⊥BD 于E ，AB=6，AD=8 那么BD=_________；AE=__________． 14．如图，矩形ABCD 中，E 在BC 上，AB=3，AD=5，CE=1，DF ⊥AE 于F ，那么DF=_______．四【问题探究】15．等腰三角形ABC 和DBE 的底角共顶点，AB=AC ，DB=DE ，∠BAC=∠BDE ，以线段AD 和AC 为邻边作平行四边形ACFD ，连接CE ．〔1〕如图1，B 、D 、C 依次在同一直线上，∠BAC=∠BDE=60°，那么∠ECF=_________； 〔2〕如图2，B 、D 、C 依次在同一直线上，∠BAC=∠BDE=90°，那么∠ECF=_________； 请任选一个加以证明．OD 第13题图EC B A FD 第14题图EC B A 图1D A BE FC 图2D CFEB A16．等腰△ABC 和等腰△ADE ，CA=CB ，AD=AE ，∠ACB=∠DAE=a ，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连CE 、CF ．〔1〕如图1，当a=90°，且C 、A 、D 在一条直线上时，那么∠CFD=_________；EFCF=________． 〔2〕如图2，当a ＜90°，且C 、A 、D 不在一条直线上，求∠CFE ．17．如图，AB ∥CD ，∠D=90°，AB=AC ，AE=AD ，且∠CAE=90°，连BE 交AC 于F 点． 〔1〕求证：BF=EF ；〔2〕如图2，假设点N 为BC 的中点，求FNBD； 〔3〕如图3，假设M 为AE 的中点，BM 交AC 于P ，求MPBP．图1图2图1E图2E图3E。

专题9.15矩形（培优篇）（专项练习）一、单选题1．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AB ＝AD B ．OA ＝OBC ．AC ＝BD D ．DC ⊥BC 2．如图，在矩形ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，过点O 作线段EF 交AD 于F ，交BC 于E ，OB ＝EB ，点G 为BD 上一点，满足EG ⊥FG ，若∠DBC ＝30°，则∠OGE 的度数为（）A ．30°B ．36°C ．37.5°D ．45°3．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，ED CD =，连接BE 、CE ，过点C 作CH BE ⊥于点H ，G 为BE 上一点，连接CG ，=EG CG ．若4BC =，30EBC ∠=︒，则EH 的长为（）A ．4B ．8C ．D ．24．如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3, 4AB AD ==，那么()A ．125PE PF +=B ．121355PE PF <+<C ．5PE PF +=D ．34PE PF <+<5．把一张宽为1cm 的长方形纸片ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点A ，D 互相重合，中间空白部分是以E 为直角顶点，腰长为2cm 的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm ）为（）A ．7+B ．7+C ．8+D ．8+6．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AB 的中点，将ACD 沿CD 翻折得到ECD ，连接AE ，BE ，则线段BE 的长等于（）A ．75B ．32C ．53D ．1457．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），B ()1,1-，C ()1,2--，D ()1,2-，把一根长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点D 处，并按D →A →B →C →D …的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．()1,1-D ．()1,2--8．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 、G 分别在BC AB 、上，将DCE △、BEG 分别沿DE EG 、翻折，翻折后点C 与点F 重合，点B 与点P 重合．当A 、P 、F 、E 四点在同一直线上时，线段GP 长为（）A 823B ．83C ．53D 5239．如图．每个小正方形的边长为1，格点线段ED 与CG 交于点A ，FH 与DG 交于点B ，连接AB ．有下列结论①CG ED ⊥；②ABD HBD ≅ ；③30CGH ∠=︒；④ 2.5AC =；⑤EAB EFB ∠=∠；⑥ABD △的面积为0.75．其中正确的结论有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．如图，在Rt ACB 中，2BC =，30BAC ∠=︒，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：①若C 、O 两点关于AB 对称，则23=OA C 、O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB CO ⊥；④四边形AOBC 的面积为234．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，15BDE ∠=︒，则COE ∠的度数为_______．12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____．AC=，BE平分∠ABC交AD于点E，13．如图，在矩形ABCD中，3AB=，对角线5Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝______．14．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．15．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____平方厘米．16．如图，在矩形ABCD中，AB BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是_____．17．如图，在矩形ABCD 中，3CD =，对角线5=AC ，点G ，H 分别是线段AD ，AC 上的点，将ACD ∆沿直线GH 折叠，点C ，D 分别落在点E ，F 处．当点E 落在折线CAD 上，且1AE =时，CH 的长为______．18．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，532AB =，5CD =，那么C ∠=________．三、解答题19．已知：矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠，交AB 于点E ，15OCE ∠=︒，求BEO ∠的度数．20．如图，DE 是△ABC 的中位线，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F ．(1)求证：BC ＝DF ；(2)连接CD 、AF ，当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是矩形，请说明理由．21．将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，点C 的坐标为点()(),00m m >，点(),1D m 在BC 上，将矩形OABC 沿AD 折叠压平，使点B 落在坐标平面内，设点B 的对应点为点E ．(1)当3m =时，求点E 的坐标；(2)随着m 的变化，试探索：点E 能否恰好落在x 轴上？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，连接AE ，DE ．(1)如图1，若3AB =，5AD =，求AE 的长；(2)如图2，若点F 是DC 边上的一点，若CF BE =，连结AF 交DE 于G ，①猜想EAF ∠的度数，并说明理由；②若DG DF =，求DF AD 的值．23．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，CD 是AB 边上的中线，点E ，F 分别在AC ，BC 边上运动（点E 不与点A ，C 重合），且保持90EDF ∠=︒，连接DE ，DF ，EF ．(1)求证：ADE CDF ∆∆≌；(2)求四边形CEDF 的面积；(3)请直接写出三条线段AE ，BF ，ED 之间的数量的关系：_______．24．如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，点E 为边CD 上一动点，连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点F ，连接EF ，DF ，CF ，AF ，DF 与AE 交于点G ．(1)若DE =2，求证：AE //CF ．(2)如图2，连接AC ，BD ，若点F 在矩形ABCD 的对角线上，求所有满足条件的DE 的长．(3)如图3，连接BF ，当点F 到矩形ABCD 一个顶点的距离等于2时，请直接写出△BCF 的面积．参考答案1．A【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A 、AB ＝AD ，则▱ABCD 是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；B 、OA ＝OB ，根据平行四边形的对角线互相平分，AC ＝BD ，对角线相等的平行四边形是矩形可得▱ABCD 是矩形，故本选项正确；C 、AC ＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D 、DC ⊥BC ，则∠BCD ＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得▱ABCD 是矩形，故本选项正确．故选：A ．【点拨】此题考察矩形的判定，熟记判定定理才可正确解答.2．C【分析】根据矩形和平行线的性质，得30DBC BDA ∠=∠=︒；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得∠BOE ；根据全等三角形性质，通过证明OBE ODF △∽△，得OE OF =；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得OFG ∠，再根据余角的性质计算，即可得到答案．解：∵矩形ABCD∴//AD BC∴30DBC BDA ∠=∠=︒∵OB ＝EB ，∴180752DBC BOE BEO ︒-∠∠=∠==︒∴75FOG BOE ∠=∠=︒∵点O 为对角线BD 的中点，∴OB OD=OBE △和ODF △中30DBC BDA OB OD BOE DOF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴OBE ODF△∽△∴OE OF=∵EG ⊥FG ，即90EGF ∠=︒∴OE OF OG==∴18052.52FOG OFG OGF ︒-∠∠=∠==︒∴9037.5OGE OGF ∠=︒-∠=︒故选：C ．【点拨】本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．3．A【分析】先证得△CDE 是等腰直角三角形，再进一步说明∠EBC =∠CGB 得到CG =BC =EG =4,说明三角形BCG 为等腰三角形，进而说明GH =BH 、∠CHB =90°，再根据直角三角形的性质求得CH =12BC =2，进而求得GH =BHEH =GH +GE 求解即可．解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠CDA =90°，AD //BC∴∠CDE =90°，∠AEB =∠EBC =30°∵ED =CD∴△CDE 是等腰直角三角形∴∠DCE =∠DEC =45°∴∠CEB =45°-30°=15°∵EG =CG∴∠GCE =∠GEB =15°∴∠CGB =∠GCE +∠CEB =30°∴∠EBC =∠CGB∴CG =BC =4∴EG =4∵CH ⊥BE∴GH =BH ,∠CHB =90°∵∠EBC =30°∴CH =12BC =2,GH =BH ∴EH =GH +EG故选A ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．4．A【分析】设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD 的面积，根据面积关系即可求出答案.解：设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，∵3, 4AB AD ==,∴BD=AC=5，∴OA=OD=2.5，∵1134344AOD ABCD S S ==⨯⨯= 矩形，∴3AOP DOP S S += ，∵PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，∴112.5 2.5322PE PF ⨯+⨯=，15()322PE PF ⨯+=，∴125PE PF +=，故选：A.【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD 的面积是解题的关键.5．D【分析】如图，过点M 作MH ⊥A'R 于H ，过点N 作NJ ⊥A'W 于J ．想办法求出AR ，RM ，MN ，NW ，WD 即可解决问题．解：如图，过点M 作MH ⊥A'R 于H ，过点N 作NJ ⊥A'W 于J ．由题意△EMN 是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=∵四边形EMHK 是矩形，∴EK=A'K=MH=1，KH=EM=2，∵△RMH 是等腰直角三角形，∴RH=MH=1，，同法可证，题意AR=R A'=A'W=WD=4，∴++4=8+故答案为：D.【点拨】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．6．D【分析】延长CD 交AE 于点H ，作CF AB ⊥，垂足为F ．首先证明DC 垂直平分线段AE ，ABE 是直角三角形，求出AE 的长，在Rt ABE △中，利用勾股定理即可解决问题．解：如图，延长CD 交AE 于点H ，作CF AB ⊥，垂足为F ．在Rt ABC △中，6BC =，8AC =，10AB ∴===．D 为AB 的中点，152AD BD DC AB ∴====．1122ABC S AC BC AB CF ∆=⋅=⋅ ，∴11681022CF 创=创，解得245CF =．由翻折的性质可知AC CE =，AD DE =，CH AE ∴⊥，AH HE ∴=．DC AD = ，1122ADC S AD CF DC AH =⋅=⋅ ，245HE CF ∴==．4825AE HE ∴==．根据折叠的性质有：AD DE =，AD DE BD ∴==，DAE DEA ∴∠=∠，DBE DEB ∠=∠，又180DAE DBE AEB ∠+∠+∠=︒，AEB DEA DEB ∠=∠+∠，90AEB ∴∠=︒，ABE ∴ 为直角三角形．145BE ∴=．故选：D ．【点拨】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．7．A【分析】先求出四边形ABCD 的周长为10，得到2022÷10的余数为2，由此即可解决问题．解：∵A （1，1），B （-1，1），C （-1，-2），D （1，-2），∴AB ∥x 轴，CD ∥x 轴，AD ∥y 轴，BC ∥y 轴，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°，∴四边形ABCD 是矩形，∵AB =1-(-1)=2，BC =1-(-2)=3，∴四边形ABCD 的周长为：2（AB +BC ）=10，∵2022÷10=202…2，且AD =3，∴细线另一端所在位置的点在D 处上面2个单位的位置，坐标为（1，0）．故选：A ．【点拨】本题主要考查了规律型：点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握矩形的周长公式，运用除法得到的余数确定点的位置．8．B【分析】根据矩形的性质得到6CD AB ==，10AD BC ==，90B C ∠=∠=︒，根据折叠的性质得到6DF CD ==，EF CE =，90DFE C DFA ∠=∠=∠=︒，根据勾股定理得到8AF =，设EF CE x ==，由勾股定理列方程得到108AE BE ==，，由折叠的性质得到PG BG =，90APG EPG B ∠=∠=∠=︒，8PE BE ==，求得2AP AE PE =-=，设PG BG y ==，则6AG y =-，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：在矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =，∴6CD AB ==，10AD BC ==，90B C ∠=∠=︒，∵将DCE △沿DE 翻折，翻折后点C 与点F 重合，∴6DF CD ==，EF CE =，90DFE C DFA ∠=∠=∠=︒，∴8AF =，设EF CE x ==，∴10BE x =-，8AE x =+，∵222AB BE AE +=，∴2226(10)(8)x x +-=+，解得：2x =，∴108AE BE ==，，∵将BEG 沿EG 翻折，翻折后点B 与点P 重合，∴PG BG =，90APG EPG B ∠=∠=∠=︒，8PE BE ==，∴2AP AE PE =-=，设PG BG y ==，则6AG y =-，∵222AG AP PG =+，∴222(6)2y y -=+，∴83y =，∴线段GP 长为83，故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．9．B【分析】先证明EFD GMC ≅ ，再逐个选项推理即可．解：如图，由图可得，43EF GM CM DF ====，，90EFD GMC ∠=∠=︒∴()SAS EFD GMC ≅ ，5ED CG ==∴DEF CGM∠=∠∵90CGE CGM ∠+∠=︒，∴90CGE DEF ∠+∠=︒，∴90EAG ∠=︒，∴CG ED ⊥，故①正确；∵1122EGD S DF EG DE AG =⋅=⋅ ，5ED EG ==∴3DF AG ==∴3DF AG CH ===∴()Rt Rt HL AGD HGD ≅ ，∴ADG HDG ∠=∠，1AD DH ==∴()SAS ABD HBD ≅ ，故②正确；∵Rt CGM △中，53CG CM ==，∴2CG CM ≠，∴30CGH ∠≠︒，故③错误；∵5CG =，3AG =，∴2AC CG AG =-=，故④错误；连接BE ，∵()SAS ABD HBD ≅ ∴AB BF =，∵1AD DH ==，5ED CG ==∴4AE EF ==，∵BE BE =，∴()SSS ABE FBE ≅ ∴EAB EFB ∠=∠，故⑤正确；∵矩形DFGH ，∴11313444DBH DFGH S S ==⨯⨯= 矩形，∵()SAS ABD HBD ≅ ，∴34DBH ABD S S == ，∴ABD △的面积为0.75，故⑥正确；综上所述，正确的有①②⑤⑥；故选：B ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．10．B解：在Rt ABC △中，2BC =，30BAC ∠=︒，∴4AB =，AC =，∴若C 、O 两点关于AB 对称，如图1，∴AB 为OC 的垂直平分线，∴OA AC ==，∴①正确；②如图1，取AB 的中点为E ，连接OE 、CE ．∵90AOB ACB ∠=∠=︒，∴122OE CE AB ===．当OC 经过点E 时，OC 最大且C 、O 两点距离的最大值为4，∴②正确；③如图2，当30ABO ∠=︒，90OBC AOB ACB ∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBC 是矩形，∴AB 与OC 相互平分，但AB 与OC 的夹角为60︒、120︒，不垂直，∴③不正确；④如图2，此时四边形AOBC 的面积，24S BC AC =⋅=⨯，∴④不正确．综上所述：正确的有①②，2个结论．故选B ．点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中．11．75【分析】先求出∠ADB，再说明三角形ODC是等边三角形，推出CD=OC，CE=CD，求出CE=OC，求出∠COE=∠OEC和∠OCB=30°即可解答．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ADC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=12∠ADC=45°，∵∠BDE=15°，∴∠ADB=∠ADE-∠BDE=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴OA=OD=OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴DC=OC，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，∴CE=DC∴CE=OC，∴∠COE=∠OEC，∵∠OCB=30°，∴∠COE=12（180°-∠OCE）=75°．故答案为75°．【点拨】本题考查了矩形的性质、、等边三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．12．10825【分析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，再根据勾股定理求出CF 的长度，进而即可求出S △ECF ．解：如图，连接BF ，，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴=，由折叠可知：BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=431255AB BE AE ∙⨯==，∴BF=245，∵EF=BE=CE ，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：185，S △ECF=12S △BCF=12×12×185×245=10825，故答案为：10825．【点拨】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形的面积公式，掌握知识点是解题关键．13．5【分析】过点Q 作QH BC ⊥于点H ，由矩形的性质并结合勾股定理确定4AD BC ==，再证明QCH PCD △≌△以及BQH 为等腰三角形，即可推导3CH DC ==，1DP QH BH ===，然后由AP AD DP =+计算AP 的长即可．解：过点Q 作QH BC ⊥于点H，如下图，∵四边形ABCD 为矩形，∴90ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒，AD BC =，3DC AB ==，∵3AB =，5AC =，∴4AD BC ====，∵QH BC ⊥，点P 在AD 的延长线上，∴90QHC PDC ∠=∠=︒，∵△PCQ 为等腰三角形，CP ⊥CQ ，∴QC PC =，90QCP BCD ∠=∠=︒，∴QCH QCD QCD PCD ∠+∠=∠+∠，∴QCH PCD ∠=∠，在QCH △和PCD 中，QCH PCD QHC PDC QC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()QCH PCD AAS △≌△，∴3CH DC ==，∴1BH BC CH AD CH =-=-=，∵BE 平分∠ABC ，∴1452QBH ABC ∠==︒，∵QH BC ⊥，∴9045BQH QBH ∠=︒-∠=︒，∴QBH BQH ∠=∠，∴1QH BH ==，∵QCH PCD △≌△，∴1DP QH ==，∴5AP AD DP =+=．故答案为：5．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．14【分析】延长GH 交AD 于M 点，由矩形的性质得出CD =CE =FG =1，BC =EF =CG =3，BE ∥AD ∥FG ，推出DG =CG -CD =2，∠HAM =∠HFG ，由ASA 证得△AMH ≌△FGH ，得出AM =FG =1，MH =GH ，则MD =AD -AM =2，在Rt △MDG 中，根据勾股定理得到GM ，即可得出结果．解：延长GH 交AD 于M点，如图所示：∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是矩形，∴CD =CE =FG =1，BC =EF =CG =3，BE ∥AD ∥FG ，∴DG =CG -CD =3-1=2，∠HAM =∠HFG ，∵AF 的中点H ，∴AH =FH ，在△AMH 和△FGH 中，HAM HFG AH FH AHM FHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMH ≌△FGH （ASA ）．∴AM =FG =1，MH =GH ，∴MD =AD -AM =3-1=2，在Rt △MDG 中，GM==∴GH =12GM．【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．15．48【分析】如下图，设矩形ABCD 的长为m ，宽为n ，过点F 作BC 、DC 的垂线，利用m 、n 表示出△BFD 的面积，从而得出mn 的大小，进而得出矩形ABCD 的面积．解：如下图，过点F 作BC 、CD 的垂线，分别交于点Q 、G ，设矩形ABCD 的长为m ，宽为n∵点E 是AD 的中点，点F 是EC 的中点，AD=m ，AB=n∴FQ=1122AB n =，FG=12ED =14m 111224BCF S m n mn == 111248DCF S n m mn == 1122BCD S m n mn == ∴168BFD BCD DCF BCF S S S S mn =--== ∴mn=48故答案为：48【点拨】本题考查三角形面积问题，解题关键是利用BFD BCD DCF BCF S S S S =-- 表示出△BFD 的面积，从而推导出mn 的大小．16【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD ＝2，即为B ′D ′的长，作点C 关于BD 的对称点G ，连接CG 交BD 于E ，连接D ′G ，如图，则有CD ′＝GD ′，CE ⊥BD ，CG ＝2CE ，利用三角形的面积可求得CG然后以B ′D ′，GD ′为邻边作平行四边形B ′D ′GH ，可得B ′H ＝D ′G ＝CD ′，于是当C ，B ′，H 在同一条直线上时，CB ′+B ′H 最短，且B 'C +D 'C 的最小值＝CH ，再根据勾股定理即可求出结果．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝1，∠A ＝90°，∴2BD ==，∵将△ABD 沿射线DB 平移得到△A 'B 'D '，∴B ′D ′＝BD ＝2，作点C 关于BD 的对称点G ，连接CG 交BD 于E ，连接D ′G ，如图，则CD ′＝GD ′，CE ⊥BD ，CG ＝2CE ，∵CE ＝13322BC CD BD ⋅⨯==CG 3以B ′D ′，GD ′为邻边作平行四边形B ′D ′GH ，则B ′H ＝D ′G ＝CD ′，∴当C ，B ′，H 在同一条直线上时，CB ′+B ′H 最短，则B 'C +D 'C 的最小值＝CH ，∵四边形B ′D ′GH 是平行四边形，∴HG ＝B ′D ′＝2，HG ∥B ′D ′，∴HG ⊥CG ，∴CH 227HG CG +=．7．【点拨】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质和勾股定理等知识，具有一定的难度，利用轴对称和平移的思想把所求B 'C +D 'C 的最小值转化为求CB ′+B ′H 的最小值是解题的关键．17．2或157【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．解：5AC = ，3CD =，222594AD AC CD ∴=--=，当点E 落在AC 上时，将ACD ∆沿直线GH 折叠，CH EH ∴=，1AE = ，4EC ∴=，2CH ∴=；当点E 落在AD 上时，如图2，连接EC ，过点E 作EN AC ⊥于N ，1122AEC S AE CD AC EN ∆=⨯⨯=⨯⨯ ，135EN ∴⨯=⨯，35EN ∴=，45AN ∴==，215NC ∴=， 将ACD ∆沿直线GH 折叠，CH EH ∴=，222EN NH EH += ，∴22921()255HC HC +-=，157HC ∴=，综上所述：CH 的长为2或157．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．18．60︒或120︒##120︒或60︒【分析】该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得Rt DFC 的直角边和斜边的长，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到等边三角形，进而即可求解．解：∠C 存在两种情况：①当C ∠为锐角时，如图，过D 作DF BC ⊥，垂足为F ，取CD 的中点E ，连接EF ，AD //BC ，90A ∠=︒，180A B ∴∠+∠=︒，90B ∴∠=︒，∴四边形ABFD 是矩形，532DF AB ∴==，5CD = ，2225352522CF CD DF ⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪⎝⎭，∵90DFC ∠=︒，5CD =，∴12EF CE CD ==，∴EF CF CE ==，∴60C ∠=︒；②当C ∠为钝角时，如图，过C 作CF AD ⊥，垂足为F ，取CD 的中点E ，连接EF ，同理①可得60D ∠=︒，又∵//AD BC ，180BCD D ∴∠+∠=︒．∴120BCD ∠=︒综上，60BCD ∠=︒或120︒，故答案为60︒或120︒．【点拨】该题重点考查了直角三角形的性质和等边三角形判定和性质，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为直角三角形问题，从而即可求解.19．75°【分析】根据矩形的性质及CE 平分BCD ∠得到∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，得到BE=BC ，利用15OCE ∠=︒由此得到∠BAC=30°，根据矩形的性质证得△OBC 是等边三角形，得到BC=OB=BE ，由∠EBO=∠BAC=30°求出答案.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，OA=OB=OC=OD ，CD ∥AB ，∵CE 平分BCD ∠，∴∠BCE=∠DCE=45°，∵CD ∥AB ，∴∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，∴BC=BE ，∵15OCE ∠=︒,∴∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC=OB=BE ，∵∠EBO=∠BAC=30°，∴∠BEO=1(180)752EBO -∠= ,故答案为：75°.【点拨】此题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，角平分线的性质，题中证得BE=OB 是解题的关键.20．(1)见分析(2)当BC ＝AC 时，四边形ADCF 是矩形，理由见分析．【分析】（1）用平行四边形的定义判定；（2）当BC ＝AC 时，四边形ADCF 是矩形．用DE 是三角形中位线证明BD =AD ，用四边形DBCF 是平行四边形得到CF ∥BD ，CF =BD ，得到AD =CF ，推出四边形ADCF 是平行四边形，根据AC =BC ，BC =DF ，得到AC =DF ，从而平行四边形ADCF 是矩形．解：（1）∵DE 是△ABC 的中位线，∴2DE ＝BC ，DE ∥BC ，∵CF ∥AB ，∴四边形DBCF 是平行四边形，∴BC=DF ；（2）当BC ＝AC 时，四边形ADCF 是矩形，理由如下：∵DE 是△ABC 的中位线，∴DB ＝AD ，∵四边形DBCF 是平行四边形，∴DB ＝CF ，∴AD ＝CF ，∵AB ∥CF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵BC ＝AC ，BC =CF ，∴AC =DF ，∴平行四边形ADCF 是矩形．【点拨】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键．21．(1)()0,1．(2)点E 能恰好落在x 轴上．32m =【分析】（1）根据点A 、点D 、点C 的坐标和矩形的性质可以得到点B 和点E 的坐标；（2）由折叠的性质求得线段DE 和AE 的长，然后利用勾股定理得到有关m 的方程，求得m 的值即可．解：（1）当3m =时，点B 的坐标为()3,4，∴3AB BD ==，∴ABD △是等腰直角三角形，∴45BAD ∠=︒，则45DAE BAD ∠=∠=︒，∴90BAE DAE BAD ∠=∠+∠=︒，则E 在y 轴上，且3AE AB BD ===，∴1OE OA AE =-=，则点E 的坐标为()0,1．（2）点E 能恰好落在x 轴上．理由如下：∵四边形OABC 为矩形，∴4BC OA ==，=90AOC ︒∠，由折叠的性质可得：413DE BD OA CD ==-=-=，AE AB OC m ===．假设点E 恰好落在x 轴上，则90DCE ∠=︒，即EC ===则OE OC CE m =-=-在Rt AOE △中，即222OA OE AE +=，即(2224m m +-=，解得m =【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．22．(2)①45EAF ∠=︒，理由见分析；1-【分析】（1）由矩形的性质得3CD AB ==，5BC AD ==，90ADC B C ∠=∠=∠=︒，由角平分线的性质得出45CDE ADE ∠=∠=︒，则CDE 是等腰直角三角形，得出3CE CD ==，推出2BE BC CE =-=，由勾股定理得出AE =（2）①连接EF ，由（1）得CE CD AB ==，B C ∠=∠，由SAS 证得ABE ECF ≌ ，得出AE EF =，BAE CEF ∠=∠，证明AEF △是等腰直角三角形，即可得出结论；②根据矩形的性质得到90ADF Ð=°，求得90DAF DFA ∠+∠=︒，过D 作DM AF ⊥于M ，根据余角的性质得到DAF FDM ∠=∠，得到AE AG =，过A 作AN DE ⊥于N ，根据等腰三角形的性质得到EAN GAN ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AN AB =，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB ==，5BC AD ==，90ADC B C ∠=∠=∠=︒，∵DE 平分ADC ∠，∴45CDE ADE ∠=∠=︒，∴CDE 是等腰直角三角形，∴3CE CD ==，∴532BE BC CE =-=-=，∴AE ===（2）①45EAF ∠=︒，理由：连接EF ，如图所示：由（1）得：CE CD AB ==，B C ∠=∠，在ABE 和ECF △中，AB CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ECF ≌ ，∴,AE EF BAE CEF =∠=∠，∵90BAE BEA ∠+∠=︒，∴90CEF BEA ∠+∠=︒，∴1809090AEF ∠=︒-︒=︒，∴AEF △是等腰直角三角形，∴45EAF ∠=︒；②∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADF Ð=°，∴90DAF DFA ∠+∠=︒，过D 作DM AF ⊥于M ，∴90DMF DMG ∠=∠=︒，∴90FDM DFA ∠+∠=︒，∴DAF FDM ∠=∠，∵DG DF =，∴MDG MDF ∠=∠，由①知，45FDG EAG ∠=∠=︒，∵AGE DGF ∠=∠，∴AEG DFG ∠=∠，∴AEG AGE ∠=∠，∴AE AG =，过A 作AN DE ⊥于N，∴EAN GAN ∠=∠，∵90ANG DNG ∠=∠=︒，∴14522.52EAN GAN MDG FDM DAF ∠=∠=∠=∠=∠=⨯︒=︒，∴90322.522.5BAE ∠=︒-⨯︒=︒，∴BAE NAE ∠=∠，∵,ABE ANE AE AE ∠=∠=，∴(ASA)ABE ANE ≌ ，∴AN AB =，∵45ADN ∠=︒，∴2AN AB =，∴2AB AD =，由①知，ABE ECF ≌ ，∴22AB CE AD ===，(12BE CF BC CE BC ==-=-，∴(1221BC BC DF AB CF AD AD BC --===．【点拨】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．23．(1)证明见分析(2)4(3)2222AE BF ED+=【分析】（1）根据90ACB ∠=︒，4AC BC ==，CD 是AB 边上的中线，得到A DCF ∠=∠，DA DC =，再结合90EDF ∠=︒，得到ADE CDF ∠=∠，即可得到证明；（2）由ADE CDF ∆∆≌可得ADE CDF S S ∆∆=，即可得到四边形CEDF 的面积等于ADC ∆面积，根据中线即可得到答案；（3）由ADE CDF ∆∆≌可得DE DF =，AE CF =，即可得到BF CE =，在Rt DEF ∆用DE 表示EF ，在Rt EFG ∆即可得到答案．解：（1）证明：∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，CD 是AB 边上的中线，∴90ADC ∠=︒∠ADC ＝90°，1452ACD DCB ACB ∠=∠=∠=︒，45A ∠︒＝，CD AD =，∴ACD A ∠=∠，∵90EDF EDC CDF ∠=︒=∠+∠，90ADC EDC ADE ∠=︒=∠+∠，∴ADE CDF ∠=∠，在ADE ∆和CDF ∆中，A DCF DA DC ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)ADE CDF ∆∆≌；（2）解：∵ADE CDF ∆∆≌，∴ADE CDF S S ∆∆=，∴ADCCEDF S S ∆=四边形12ABC S ∆=1122AC BC =⨯⨯⨯114422=⨯⨯⨯4=；（3）解：2222AE BF ED +=，理由如下，∵ADE CDF ∆∆≌，∴DE DF =，AE CF =，∵AC BC =，∴BF CE =，在Rt DEF ∆中根据勾股定理可得，EF ==，在Rt EFG ∆中，222EF EC CF =+，∴2222AE BF ED +=．【点拨】本题考查等腰三角形性质：底边上三线合一；直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半；三角形中线性质：分得两个三角形面积相等等于大三角形一半；三角形全等判定与性质及勾股定理．24．(1)证明见详解(2)32=DE 或94(3)3316或125或6-【分析】（1）由2DE =，可以得到E 为CD 中点，由于D 和F 关于AE 对称，可以得到G 为DF 中点，由此得到EG 为CDF ∆的中位线，即可证明；（2）因为点F 在矩形ABCD 的对角线，所以F 点可以落在AC 上，也可以在BD 上，根据题意画出图形，利用垂直平分线的性质，勾股定理，设出参数，列出方程，即可解决；（3）因为点F 到矩形ABCD 一个顶点的距离等于2，所以需要分四类讨论，即顶点分别为A ，B ，C ，D ，根据题意画出图形，利用勾股定理，面积法等知识即可解决．（1）证明：如图1，四边形ABCD 为矩形，4CD AB ∴==，2DE = ，2CE CD DE ∴=-=，2CE DE ∴==，D 和F 关于AE 对称，DG FG ∴=，EG ∴是DFC ∆的中位线，//AE CF ∴；（2）解：①如图2，当点F 在对角线AC 上时，D 和F 关于AE 对称，AE ∴垂直平分DF ，DE EF ∴=，3AD AF ==，设DE EF x ==，则4CE x =-，225AC AD CD += ，532CF AC AF ∴=-=-=，在Rt EFC ∆中，222EF CF CE +=，2222(4)x x ∴+=-，∴32x =，∴32=DE ，②如图3，当点F 在对角线BD 上时，四边形ABCD 为矩形，5BD AC \==， 1122ABD S BD AG AD AB ∆=⋅=⋅，125AG \=，∴2295DG AD AG =-=，设DE x =，GE y =，222DG GE DE += ，∴2229()5y x +=①， 1122ADE S AD DE AE DG ∆=⋅=⋅，∴9123()55x y =⨯+②，联立①②得，2229()59123()55y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得94x =，∴94DE =，∴32=DE 或94；（3）解：①当F 点到A 点距离为2时，32AF AD ==> ，∴此种情况不存在，②当F 点到B 点距离为2时，连接FB ，则2FB =，3AF AD ==，过F 作FH AB ⊥于H ，FQ BC ⊥于Q ，如图4，90FHB ABC BQF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形FHBQ 为矩形，FQ BH ∴=，设BH x =，则AH 4x =-，22222FH AF FH FB BH =-=- ，2249(4)x x ∴-=--，∴118x =，∴118FQ BH ==，133216BCF S BC FQ ∆∴=⋅=，③当点F 到C 点距离为2时，如图5，连接BF ，则2FC =，AF FC AC + ，又5AF FC +=，5AC =，AF FC AC ∴+=，A ∴，C ，F 三点共线，即F 在线段AC 上， 23BCF ABF S CF S AF ∆∆==，22112345525BCF ABC S S ∆∆∴==⨯⨯=；④当点F 到D 点距离为2时，如图6，连接BF ，则2DF =，1DG GF ∴==，2222AG AD DG ∴-=1122ADF S DF AG AD MF ∆=⋅=⋅ ，423MF ∴4243NF MN MF ∴=-=-，1622BCF S BC NF ∆∴=⋅=-即当点F 到矩形ABC 顶点B 的距离等于2时，BCF ∆的面积为3316，当点F 到矩形ABC 顶点C 的距离等于2时，BCF ∆的面积为125，当点F 到矩形ABC 顶点D 的距离等于2时，BCF ∆的面积为62-【点拨】本题是一道四边形综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，方程思想，面积法等知识，结合题意，画出合适的图形，是解决本题的突破口，同时要注意分类讨论思想．。

中考数学复习《矩形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°2.矩形的对角线一定具有的性质是( )A.互相垂直B.互相垂直且相等C.相等D.互相垂直平分3.一个矩形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(﹣1，﹣1)，(﹣1，2)，(3，﹣1)，则第四个顶点的坐标为( )A.(2，2)B.(3，2)C.(3，3)D.(2，3)4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( )A. 3 cmB.2 cmC.2 3 cmD.4 cm5.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.根据图中数据，计算耕地的面积为( )A.600m2B.551m2C.550m2D.500m26.如图，矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形周长为16，则AE长是( )A.3B.4C.5D.77.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角8.如图，已知▱ABCD的四个内角的角平分线分别交于E，F，G，H.试说明四边形EFGH 的形状是( ).A.平行四边形B.矩形C.任意四边形D.不能判断其形状9.已知,线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是( )A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对)10.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是( )A.2B.4C. 2D.2 2二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝cm.12.如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD 的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为．13.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．16.如图，矩形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm,P、Q两点分别从A、B两点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针运动，速度均为1cm/s，当点P到达B点时两点同时停止运动，若PQ长度为5cm时，运动时间为s．三、解答题17.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？18.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.(1)求证：AF＝EF；(2)求EF长.19.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.20.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．(1)求证：OE＝OF；(2)若BC＝23，求AB的长．21.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.22.如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．(1)证明：CE＝CF；(2)若∠B＝60°，BC＝2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF(1)求证：四边形ABCD为矩形；＝5，CD＝4，求CG．(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG参考答案1.C2.C.3.B4.D.5.B.6.A7.D.8.B9.A10.D.11.答案为：2.5.12.答案为：3．13.答案为：75°.14.答案为：12；15.答案为：2.4.16.答案为: 3或717.证明：(1)∵AO＝CO，BO＝DO∴四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC＝∠ADC∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠ABC＝∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2 ∴∠FDC＝36°∵DF⊥AC∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°∵四边形ABCD是矩形∴OC＝OD∴∠ODC＝54°∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．18.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC＝7，BC＝AD＝12 ∴∠BAF＋∠AFB＝90°∵DF平分∠ADC∴∠ADF＝∠CDF＝45°∴△DCF是等腰直角三角形∴FC＝DC＝7∴AB＝FC∵AF⊥EF∴∠AFE＝90°∴∠AFB＋∠EFC＝90°∴∠BAF＝∠EFC在△ABF和△FCE中∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C∴△ABF≌△FCE(ASA)∴EF＝AF；(2)解：BF＝BC﹣FC＝12﹣7＝5在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝＝，则EF＝AF＝.19.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.∵在Rt△ACD中，AC＝10∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2即(8﹣x)2＝42＋x2解得x＝3，即：EF＝3.(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5∴S＝(5＋8)×6÷2＝39.梯形ABCE20.证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC＝∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF(AAS)∴OE＝OF；(2)解：如图，连接OB∵BE＝BF，OE＝OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA＝OB＝OC ∴∠BAC＝∠ABO又∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，解得∠BAC＝30°∵BC＝2 3∴AC＝2BC＝4 3∴AB＝6．21.(1)证明：∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DCE∵点E为AD的中点∴AE＝DE在△AEF和△DEC中∴△AEF≌△DEC(AAS)∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD∴D是BC的中点；(2)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形.理由如下：∵△AEF≌△DEC∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD∴四边形AFBD是平行四边形∵AB＝AC，BD＝CD∴∠ADB＝90°∴平行四边形AFBD是矩形.22.证明：(1)如图(1)∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAF＝∠DAF∵在平行四边形ABCD中∴AB∥DF，AD∥BC∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF∴∠F＝∠DAF＝∠CEF∴CE＝FC；(2)解：四边形ABFC是矩形理由：如图(2)，∵∠B＝60°，AD∥BC∴∠BAC＝120°∵∠BAF＝∠DAF∴∠BAF＝60°，则△ABE是等边三角形可得AB＝BE＝AE，∠BEA＝∠AFC＝60°∵BC＝2AB∴AE＝BE＝EC∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°在△ABE和△FCE中∵∴△ABE≌△FCE(ASA)∴AB＝FC又∵AB∥FC∴四边形ABFC是平行四边形再由∠BAC＝90°，故四边形ABFC是矩形．23.证明：(1)∵F为BE中点，AF＝BF∴AF＝BF＝EF∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°∴∠BAF＋∠FAE＝90°又四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD为矩形.(2)解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H∵F为BE的中点，FG⊥BE∴BG＝GE＝5，CD＝4∵S△BFG＝10＝0.5BGEH∴S△BGE∴BG＝GE＝5在Rt△EGH中，GH＝3在Rt△BEH中，BE＝45＝BC∴CG＝BC﹣BG＝45﹣5．第11 页共11 页。

18.2.1矩形培优训练人教版2023—2024学年八年级下册一、知识梳理班级：姓名：1.下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，试添加一个条件：使四边形ABCD为矩形．第2题图第3题图第4题图第5题图3.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．24.如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是．5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是．二、典型例题．例1.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，F是AB上一点，EF=ED，且EF DE （1）求证：AE平分∠BAD．（2）若CE=2，矩形ABCD的周长为16，求BE与DF的长．例2.已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，CE=AC，F是AE的中点．（1）求证：BF∠DF；（2）若AB=8，AD=6，求DF的长．例3.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′位置，AB′与CD交于点E，且AB=8，AD=4．（1）求证：AE=EC；（2）求EC的长；（3）点P为线段AC上任一点，PG∠AE于G，PH∠EC于H，求PG+PH的值．例4.如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=cm；QC=cm．（用含t的代数式表示）（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使∠DPQ 为等腰三角形？（3）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？二、巩固练习1.下列判定矩形的说法（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；其中正确有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2.已知矩形的面积为48平方厘米，一条边长为6厘米，那么这个矩形的一条对角线的长是__________.3.从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1：3两部分，则矩形的两条对角线的夹角为__________.4.如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，已知地砖的宽为10cm ，则每块长方形地砖的面积是（ ）A ．200cm 2B ．300cm 2C ．600cm 2D ．2400cm 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图，在∠ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，AH∠BC 于点H ，FD=8cm ，则HE 的值为（ ）A ．20cmB ．16cmC ．12cmD ．8cm6.如图，∠ABC 中，AB=AC=6，BC=8，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则∠BDE 的周长是（ ）A ．7+B ．10C ．4+2D ．127.已知：如图，在矩形ABCD 中，BC=2，AE∠BD ，垂足为E ，∠BAE=30°，那么∠ECD 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上一动点，PE∠AC 于E ，PF∠BD 于F ，则PE+PF 的值为（ ）A ．125B ．135C ．52D ．2第8题图 第9题图 第10题图9.如图，在∠ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE∠AB 于E ，PF∠AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A ．1B ．1.2C ．1.3D ．1.510.已知直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A （10，0），点C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 是BC 边上的一个动点，当∠POD 是等腰三角形时，点P的坐标为 ．11.在∠ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD=BD ，PE∠AC 于点E ， PF∠BC 于点F. 求证：DE=DF12．如图：矩形ABCD 中，AB=2，BC=5，E 、P 分别在AD 、BC 上，且DE=BP=1．（1）判断∠BEC 的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH 的面积．。

矩形专题培优训练引言矩形作为一种基本的几何图形，在数学和应用领域中有着广泛的应用。

熟练掌握矩形的性质和应用是学生数学素养提高的关键之一。

为了帮助学生夯实矩形的基础知识，本文将介绍矩形的定义、性质、判定方法以及应用，并提供相关题目进行培优训练。

1. 矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，其特点是四条边两两相等且相邻两边互相垂直。

换句话说，矩形是一种具有四个直角的四边形。

2. 矩形的性质矩形具有以下性质：•四条边两两相等且相邻两边互相垂直；•对角线相等，且互相平分；•对角线互相垂直；•任意一条高将矩形分成两个全等的直角三角形；•矩形的面积等于长乘以宽。

3. 矩形的判定方法判定一个四边形是否为矩形可以根据以下方法进行：•判断四条边是否两两相等；•判断相邻两边是否互相垂直。

只有当上述两个条件都满足时，四边形才能被判定为矩形。

4. 矩形的应用4.1. 建筑设计矩形在建筑设计中有着广泛的应用。

矩形的稳定性使其成为常用的建筑基本单位，如墙壁、门窗等。

4.2. 计算面积由于矩形的面积可以简单地通过长乘以宽来计算，因此在日常生活中，矩形常被用来计算物体的面积，如家具、地板等。

4.3. 绘制图表矩形可以用来绘制各种图表，如柱状图、折线图等。

矩形的四条边都是直线，使得图表的绘制更加规整美观。

5. 矩形专题培优训练题目1.已知一个四边形的四个顶点依次为A(3,5)、B(9,5)、C(9,9)、D(3,9)，判断该四边形是否为矩形。

2.若一个四边形的对角线互相垂直，且其中一条对角线的长度为6，求另一条对角线的长度。

3.一个矩形的面积是36平方单位，若它的长与宽的比为3：2，求其长和宽。

4.在一个矩形的两个相邻顶点上，分别有两只蚂蚁开始移动，它们同时以相同的速度沿着矩形边界行走，两只蚂蚁行走的路径互相垂直，当两只蚂蚁行走一圈后，它们相遇在矩形的中点上，请问矩形的长和宽的比是多少？矩形作为一种基本的几何图形，在数学和应用领域中具有重要的地位。

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题测试专题06 矩形的判定和性质姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．42．（2022春•朝天区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.43．（2022春•八公山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.84．（2022春•桂平市期末）如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（）A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.25．（2022春•新邵县期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（）A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．无法判断6．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC ＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．127．（2022•巨野县模拟）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB 于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO 的最小值是（）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.58．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P 不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜69．（2021春•罗平县期中）下列说法正确的有几个（）①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④矩形的四个角是直角；⑤对角线互相垂直的四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦四条边相等的四边形是菱形．A．6个B．5个C．4个D．7个10．（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2019春•岱岳区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快s后，四边ABPQ成为矩形．12．（2015春•滨湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝时，四边形APQD也为矩形．13．（2022春•本溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．14．（2022春•临汾期末）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝°．15．（2021秋•三水区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为．16．（2022春•白河县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD 于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为．17．（2022春•昭化区期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是．18．（2022春•南平期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝3，则线段GH长度的最小值是．19．（2022春•淅川县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．20．（2019秋•雁塔区校级期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2022春•留坝县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．22．（2022春•曲阳县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．23．（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．求证：DE＝BN．24．（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是；（直接填序号，不用说理）（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．25．（2022春•碑林区校级期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D，（1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形：（2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC．26．（2022春•扶沟县期末）如图，▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，则①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝时，四边形CEDF是菱形．27．（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．28．（2022春•三台县期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？答案与解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．4解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．2．（2022春•朝天区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：D．3．（2022春•八公山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：D．4．（2022春•桂平市期末）如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（）A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.2解：连接P A，如图所示：∵AC＝3、AB＝4、BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，∴∠PGA＝∠PHA＝90°，∴四边形AGPH为矩形，∴AP与GH互相平分且相等，∵M是GH的中点，∴M是AP的中点，当AP⊥BC时，AP最小，此时，△ABC的面积BC×AP＝AC×AB，则AP＝＝＝2.4，∴PM＝AP＝1.2，即PM的最小值为1.2，故选：D．5．（2022春•新邵县期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（）A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．无法判断解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．6．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC ＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．12解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故选：C．7．（2022•巨野县模拟）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB 于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO 的最小值是（）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．8．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P 不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜6解：如图，连接P A，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝＝13，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠PEA＝∠PF A＝∠EAF＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵M为EF中点，∴AM＝EF＝P A，当P A⊥CB时，P A＝＝＝，∴AM的最小值为，∵P A＜AC，∴P A＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6，故选：D．9．（2021春•罗平县期中）下列说法正确的有几个（）①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④矩形的四个角是直角；⑤对角线互相垂直的四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦四条边相等的四边形是菱形．A．6个B．5个C．4个D．7个解：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故①正确；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，故②正确；③对角线相等的平行四边形是矩形，故③正确；④矩形的四个角是直角，故④正确；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故⑤错误；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故⑥正确；⑦四条边相等的四边形是菱形，故⑦正确；正确的说法有6个，故选：A．10．（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（）A．B．C．D．解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DF A＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2019春•岱岳区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快5s后，四边ABPQ成为矩形．解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，∵四边形ABPQ是矩形∴AQ＝BP∴3x＝20﹣x∴x＝5故答案为：512．（2015春•滨湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2s时，四边形APQD也为矩形．解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，则DQ＝12﹣2t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，CD∥AB，∴当AP＝DQ时，四边形APQD是矩形，即4t＝12﹣2t，解得：t＝2，∴当t＝2s时，四边形APQD是矩形；故答案为：2s．13．（2022春•本溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是6或4．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，∴∠BAC＝30°，∴AB＝8，AC＝4，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形PECD是矩形，∴CQ＝PQ，当∠APQ＝90°时，则AB⊥CP，∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CP，∴4×4＝8CP，∴CP＝2，∴AP＝＝＝6，当∠AQP＝90°时，则AQ⊥CP，又∵CQ＝QP，∴AC＝AP＝4，综上所述：AP的长为6或4，故答案为：6或4．14．（2022春•临汾期末）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝30°．解：由题意得，CD′＝CD，∵四边形OD'DC为菱形，∴DD′＝CD，∴CD′＝DD′＝CD，∴△CDD′是等边三角形，∴∠DCD′＝60°，∴∠D′CO＝60°，∵四边形A'BCD'是个矩形，∴∠BCD′＝90°，∴∠A'CB＝30°，故答案为：30．15．（2021秋•三水区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为10．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故答案为：10．16．（2022春•白河县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD 于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为．解：如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，即×3×CM＝×1×2，∴CM＝，∴PQ的最小值为，故答案为：．17．（2022春•昭化区期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是 4.8．解：如图，连接BP，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故答案为：4.8．18．（2022春•南平期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝3，则线段GH长度的最小值是．解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝5，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝5﹣＝，∴GH的最小值是，故答案为：．19．（2022春•淅川县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．20．（2019秋•雁塔区校级期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D'＝∠A'BF＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴D'E＝BF＝，∴△ECD'的面积＝D'E×CE＝××1＝；故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2022春•留坝县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵FC＝AE，∴DC﹣FC＝AB﹣AE，即DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵DC∥AB，∴∠DF A＝∠BAF，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝10，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝8，由（1）得：四边形DEBF是矩形，∴BF＝DE＝8．22．（2022春•曲阳县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．证明：（1）∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB＝180°，即∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°，∴四边形EGFH是矩形；（2）∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，∴四边形MNQP为平行四边形．如图，延长EH交CD于点O，∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，∴∠FOE＝∠FEO，∴EF＝FD，∵FH⊥EO，∴HE＝HO，∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，∴△EHP≌△OHQ（AAS），∴HP＝HQ，同理可得GM＝GN，∵MN＝PQ，∴MG＝HP，∴四边形MGHP为平行四边形，∴GH＝MP，∵MN∥EF，ME∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN＝EF，∵四边形EGFH是矩形，∴GH＝EF，∴MN＝MP，∴平行四边形MNQP为菱形．23．（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．求证：DE＝BN．证明：∵BE、BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，∴∠DBE＝×180°＝90°，∵AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，则∠DBE＝∠ADB＝∠AEB＝90°，在△ABE和△NBE中，，∴△ABE≌△NBE（ASA），∴AB＝BN，∵四边形ADBE是矩形，∴DE＝AB，∴DE＝BN．24．（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是①；（直接填序号，不用说理）（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．解：（1）连接HG交AC于点O，在矩形ABCD中，有AD∥CD，AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACB，∠AGH＝∠CHG，∵G、H分别是AD、BC的中点，∴AG＝AD，CH＝BC，∴AG＝CH，∴△AOG≌△COH（ASA），∴OG＝OH，OA＝OC，由题意得：AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形EGFH是平行四边形，故①是正确得；随着t的增加，∠EGF由大变小，不一定是直角，故②不一定正确；∵G平分AD，O平分AC，∴OG∥CD，∴OG不是AC的垂直平分线，∴EG与GF不一定相等，故③不一定正确；故答案为：①．（2）（2）如图1，连接GH，由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如图1，当四边形EGFH是矩形时，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10﹣2t＝6，∴t＝2；②如图2，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，∴t＝8；综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8；25．（2022春•碑林区校级期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D，（1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形：（2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC．（1）证明：∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC＝EC，∠ADC＝∠CED＝60°，根据折叠的性质可知：∠BCA＝∠B′CA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠BCA，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC，∴∠DAC＝∠ECA＝30°，∴∠ACD＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AC⊥AB，由折叠可知：∠B′AC＝∠BAC＝90°，∴B，A，B′三点在同一条直线上，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，由折叠可知：AB＝AB′，∴AB′∥CD，AB'＝CD，∴四边形ACDB′为平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDB′为矩形；（2）解：在Rt△ACB′中，∠CAB′＝90°，∵∠ACB′＝30°，AB′＝AB＝3，∴AC＝AB′＝3，∴S△AEC＝S△ACB′＝AC•AB′＝×3×3＝．26．（2022春•扶沟县期末）如图，▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，则①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FCG＝∠EDG，∠CFG＝∠DEG，又CG＝DG．∴△FCG≌△EDG，∴FG＝EG．∴四边形CEDF是平行四边形．（2）①如图四边形CEDF是矩形时，在Rt△CDF中，CD＝AB＝3，∠DCF＝60°，∠CFD＝90°，∴CF＝CD＝．∵ED＝CF＝，∴AE＝AD﹣DE＝②如图四边形CEDF是菱形时，易知△CDF，△CDE都是等边三角形，∴DE＝CD＝AB＝3，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣3＝2．故答案为，2．27．（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．（1）证明：如图1中，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．∵AN＝BN＝2，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．②如图3中，延长CM、BA交于点E．由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，∴x＝，∴BC＝＝＝．28．（2022春•三台县期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4﹣2t，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t﹣4，解得t＝4，综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．。

矩形专项培优训练
介绍
本文档旨在介绍矩形专项培优训练的内容和目标。

通过参与这个培训，您将能够提高解决矩形相关问题的能力，并加深对矩形性质和特点的理解。

培训内容
在矩形专项培优训练中，将涵盖以下内容：
1. 矩形定义和特点：介绍矩形的定义，了解其四边和四个角的性质等。

2. 矩形的计算：研究如何计算矩形的周长和面积，并应用于解决实际问题。

3. 相关定理和性质：研究与矩形相关的数学定理和性质，如矩形的对角线性质等。

4. 矩形应用：了解矩形在几何学和实际生活中的应用，如建筑设计、草坪修剪等。

培训目标
参与矩形专项培优训练，您将能够达到以下目标：
1. 掌握矩形的定义和特点，能够准确辨别和描述矩形。

2. 理解矩形的计算方法，能够准确计算矩形的周长和面积。

3. 熟悉与矩形相关的定理和性质，能够应用于解决矩形相关的问题。

4. 发展解决问题的能力，通过矩形的应用情景，培养逻辑思维和创造力。

总结
矩形专项培优训练是一个提高解决矩形相关问题能力的培训项目。

通过研究矩形的定义、计算方法、定理和性质，以及应用情景，您将在矩形领域取得优异的成绩。

参与培训，提升您的数学技能，
培养逻辑思维和创造力。

让我们一起加入这个培训项目，解锁矩形
的奥秘，迈向数学的高峰。

矩形练习题(培优训练)
目标
本文档旨在提供一系列矩形练题，帮助学生加深对矩形的理解并提高解题能力。

题目一
已知一矩形的宽度为 $w$，长度为 $l$，面积为 $A$。

请写出矩形的面积 $A$ 的公式。

题目二
已知一矩形的面积为 $A$，长度为 $l$，面积为 $A$ 的两倍。

请写出矩形的宽度 $w$ 的公式。

题目三
已知一矩形的宽度为 $w$，长度为 $l$，宽度比长度小 5，且面积为 30。

请写出矩形的宽度 $w$ 和长度 $l$ 的公式。

题目四
矩形 $A$ 的宽度为 4，长度为 6，矩形 $B$ 的宽度为 3，长度为 8。

请判断矩形 $A$ 的面积是否等于矩形 $B$ 的面积。

题目五
已知一矩形的宽度为 $w$，长度为 $l$，面积为 $A$。

如果将宽度和长度同时放大 2 倍，请写出新矩形的宽度和长度的公式，以及新矩形的面积的公式。

题目六
矩形 $A$ 的宽度为 5 厘米，长度为 10 厘米，矩形 $B$ 的宽度为 4 厘米，长度为 12 厘米。

请判断矩形 $A$ 的面积是否等于矩形$B$ 的面积。

题目七
已知一矩形的宽度和长度之和为 12，且宽度比长度小 2。

请写出矩形的宽度和长度的公式。

总结
本文提供了一系列矩形练习题，涵盖了矩形的面积、宽度和长度的计算。

通过解答这些题目，学生能够加深对矩形的理解，提高
对矩形相关问题的解决能力。

希望这些练习题能为学生的培优训练提供帮助。

人教版 八年级下册 18.2.1 矩形 培优训练（含答案）一、填空题（本大题共8道小题）1. 如图，在矩形ABCD 中，点E F ，分别在边AB CD ，上，BF DE ∥，若12cm 7cm AD AB ==，，且:5:2AE EB =，则阴影部分EBPD 的面积为2. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE BD ⊥于E ，31DAE BAE ∠∠=∶∶，则EAC ∠=_______．3. 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形4. 如图，把矩形ABCD 的对角线AC 分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为P ，矩形ABCD 的周长为L ，则P 与L 的关系式5. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

即DF = .(写出一条线段即可)FEAB D EODC BADB E FD C A BEF D CA B6. 如图，有一矩形纸片ABCD ，106AB AD ==，，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，在将AED ∆以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CEF ∆的面积为7. 如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为8. 某台球桌为如图所示长方形ABCD ，小球从A 沿45︒角出击，恰好经过5次碰撞到B 处，则:AB BC =二、解答题（本大题共8道小题）9. 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F（1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！AB DC BAD CB A NMF E D CB A10. 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB 交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．11. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BO ⊥于E ，OF AD ⊥于F ，已知3cm OF =，且:1:3BE ED =，求BD 的长12. 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E 在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ．⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？321FE D CA OF EDCB A A B CDG EF13. 如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是3、4、5，求PD 的长．14. 已知，矩形ABCD 和点P ，当点P 如图位置时，求证：PBC PAC PCD S S S =+△△△15. 如图在矩形ABCD 中，已知12AD =，5AB =，P 是AD 边上任意一点，PE BD PF AC ⊥⊥，，E 、F 分别是垂足，求PE PF +的值．16. 如图，将矩形ABCD 沿AC 翻折，使点B 落在点E 处，连接DE 、CE ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ．⑴判断ACED 是什么图形,并加以证明；⑵若8AB =，6AD =．求DE 的长；⑶四边形ACED 中，比较AE EC +与AC EH +的大小．P DCB APAB C D OPA B CD E F人教版 八年级下册 18.2.1 矩形 培优训练-答案一、填空题（本大题共8道小题）1. 【答案】220cm2. 【答案】45︒【解析】∵90DAB DAE BAE ∠=∠+∠=︒∴67.5DAE ∠=︒，22.5BAE ∠=︒∵AO BO =，∴67.522.545EAC ∠=︒-︒=︒．3. 【答案】2BC AB =4. 【答案】P L =.【解析】如图，将四个小矩形的边分别向外平移，正好拼接成矩形ABCD 的四边，所以P L =5. 【答案】DF DC =.【解析】连接DE .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，//AD BC ，90C ∠=.∴ADE AEC ∠=∠.又∵AD AE =，∴ADE AED ∠=∠，∴AED AEC ∠=∠，又∵90DFE C ∠=∠=，∴DEF ∆≌DEC ∆，∴DF DC =.6. 【答案】8DCBA E H【解析】454454AED EC AB AD CEF CF EC ∠=︒=-=∠=︒==，，，，所以可得面积为87. 【答案】88mm8. 【答案】2:5【解析】由图形可知：可推出:2:5AB BC =二、解答题（本大题共8道小题）9. 【答案】⑴证明：ED DC DF DC ==，⑵当D 为AC 的中点时，四边形AECF 为矩形10. 【答案】∵AB AC =，∴2B ∠=∠又∵132B ∠+∠=∠+∠，13∠=∠，∴12∠=∠，∴AF ∥BC又∵DE ∥AB ，∴ABDE 是平行四边形，∴AE BD =∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC =∴AE DC =，∴四边形ADCE 是平行四边形又∵90ADC ∠=︒，∴平行四边形ADCE 为矩形本题也可先说明AC ED =，再说明四边形ADCE 是平行四边形11. 【答案】12【解析】因为:1:3BE ED =，且矩形中OB OD OA ==，所以1122OE BO AO ==，因为AE BO ⊥，所以 60AOB ∠=︒，ABO ∆是等边三角形，即BO AB =，由条件易得OF 是ABD ∆的中位线，26cm AB OF ==，所以2212cm BD BO AB === 12. 【答案】⑴ Rt DEC ∆是由Rt ABC ∆绕C 点旋转60︒得到∴AC DC =，60ACB ACD ∠=∠=︒∴ACD ∆是等边三角形∴AD DC AC ==又∵Rt ABF ∆是由Rt ABC ∆沿AB 所在直线翻转180︒得到∴AC AF =，90ABF ABC ∠=∠=︒∴180FBC ∠=︒∴点F 、B 、C 三点共线∴AFC ∆是等边三角形∴AF FC AC ==∴AD DC FC AF ===∴四边形AFCD 是菱形．⑵ 四边形ABCG 是矩形．由⑴可知：ACD ∆是等边三角形，DE AC ⊥于E∴AE EC =，又∵AG BC ∥∴EAG ECB ∠=∠，AGE EBC ∠=∠∴AEG CEB ∆∆≌，∴AG BC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC ∠=︒∴四边形ABCG 是矩形．13. 【答案】【解析】过P 点分别作AD 、AB 、BC 、CD 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，显然AFPE ，EPHD ，FBGP ，PGCH 都是矩形，则2222AP AE EP PF PE =+=+，222PC PG PH =+，222PB PF PG =+，222PD PE PH =+，∴22222222PA PC PE PF PG PH PB PD +=+++=+，∴222222235418PD PA PC PB =+-=+-=，∴PD =另解：如图所示，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ． 因为AO OC =，BO DO =，故2222111224OP PA PC AC =+-（中线定理）， 2222111224OP PB PD BD =+-． 而AC BD =，故2222PA PC PB PD +=+，则PD =14. 【答案】如图，过点P 作PF AD ⊥，分别交AD 、BC 于E ，F 两点∵1111122222PBC S BC PF BC PE BC EF AD PE BC EF =⋅=⋅+⋅=⋅+⋅△ 12PAD ABCD S S =+△矩形，PAC PCD PAD ADC S S S S +=+△△△△ 12PAD ABCD S S =+△矩形，∴PBC PAC PCD S S S =+△△△ 15. 【答案】 6013【解析】法一：作AG BD ⊥于G ，PM AG ⊥于M ，则PE MG = 又易证123∠=∠=∠，从而Rt Rt PAM APF △≌△，PE AB CF DAM PF =，所以PE PF MG AM AG +=+=而12590AD AB BAD ==∠=︒，，，则13BD =．在ABD △中，根据面积公式有1122AB AD BD AG ⋅=⋅， 则512601313AB AD AG BD ⋅⨯===，6013PE PF += 法二：利用面积相等，连接PO 并作AG BD ⊥1,2POD S OD PE ∆=⋅12AOP S AO PF ∆=⋅12AOC S OD AG ∆=⋅，AO OD =， AOD AOP DOP S S S ∆∆∆=+，AG PF PE =+512601313AB AD AG BD ⋅⨯===． 法三：延长OP 过点D 作DM OP ⊥的延长线，垂足为M ，过点D 作DN AC⊥于N ．易证DMP DEP S S ∆∆≌，PM PE =，由矩形DMFN 可知DN MF =，DN PF PE =+60,13AD DC BN AC ⋅==6013PE PF +=．16. 【答案】 ⑴等腰梯形；易证得ACD CEA ∆∆≌，DE AC ∥，结论易得．⑵过点D 作DF AC ⊥，垂足为F ．∵ACED 为等腰梯形 ∴DAF ECH ∠=∠∵AD CE = ∴DAF ∆≌ECH ∆ ∴AF CH = ∵//DE AC ，DF AC ⊥，EH AC ⊥ ∴DE FH =321OP AB C D E FG MPOFG AB CD E N ME D C B AG FOP∵8AB =，6AD = ∴10AC =∵1122ACE S EH AC AE CE ∆=⋅=⋅ ∴245EH =，185CH == ∴181410255DE =-⨯= ⑶由⑵可知，AE EC AC EH ⋅=⋅∵AE CE ⊥ ∴222AE CE AC += ∴22222AE EC AE EC AC AC EH ++⋅=+⋅∴22222()22()AE EC AC AC EH AC AC EH EH AC EH +=+⋅<+⋅+=+ ∴AE EC AC EH +<+。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.5矩形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•阜平县期末）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（ ）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】根据矩形的性质可知，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，所以OC＝OD，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠COD＝40°，再利用等腰三角形的性质求得∠ACD的度数即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝40°，∴∠OCD＝∠ODC＝70°．故选：D．2．（2022春•喀什地区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝2，则AB的长为（ ）A．1B．2C．D．【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝1，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OA即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2，∴OA＝AC＝1，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝1，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1；故选：A．3．（2022春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，若相邻的两边长分别是4和，则对角线所夹的锐角度数是（ ）A．30°B．40°C．45°D．60°【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据AB和BC的长求出AC，得出等边三角形AOB，即可求出对角线所夹的锐角度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∵AB＝4，BC＝4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，∴AO＝BO＝×8＝4，∵AB＝4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，即对角线所夹的锐角度数是60°．故选：D．4．（2022春•平泉市期末）求证：矩形的两条对角线相等．已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：AC＝BD．以下是排乱的证明过程：①∵BC＝CB②∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB③∵四边形ABCD是矩形④∴AC＝DB⑤∴△ABC≌△DCB证明步骤正确的顺序是（ ）A．①②③⑤④B．③①②⑤④C．①⑤②③④D．③②①⑤④【分析】写出证明过程，由证明过程可以判断顺序．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，又∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴AC＝BD，故顺序为③②①⑤④．故选：D．5．（2022春•海口期末）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（ ）A．6B．8C．10D．12【分析】首先利用平行四边形的判定证明四边形ODEC为平行四边形，然后利用矩形的性质得到OD＝OC＝2即可求出四边形OCED的周长．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形ODEC为平行四边形，∴DE＝OC，CE＝OD，∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，OD＝OC＝OA＝OB，∴OD＝OC＝2，∴DE＝CE＝2，∴四边形OCED的周长为8．故选：B．6．（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）A．3B．4C．5D．2【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，根据矩形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：如图，连接CE，在矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝8，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即42+（8﹣x ）2＝x 2，解得x ＝5，即AE 的长为5．故选：C ．7．（2022春•静海区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，EF 过O 点且EF ⊥AC 分别交DC 于E 交AB 于E ，点G 是AE 的中点，且∠AOG ＝30°，OE ＝1，则下列结论：（1）DC ＝3OG ；（2）OG ＝BC ；（3）四边形AECF 为菱形；（4）S △AOE ＝S 四边形ABCD ．其中正确的个数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【分析】根据条件，OG 是直角△AOE 斜边上的中线，且△FOC ≌△EOA ，然后利用三角函数求得BC 、AB 以及OA 、OC 之间的关系即可作出判断．【解答】解：∵EF ⊥AC ，G 是AF 的中点，∴AG ＝OG ＝GF ，∴∠OAF ＝∠AOG ＝30°，在直角△ABC 中，∠CAB ＝30°，∴BC ＝AC ＝OC ，设BC ＝a ，AC ＝2a ，AO ＝OC ＝a ．AE ＝a ，AB ＝a ，OG ＝a ，∴CD ＝AB ＝3OG ，故①正确；OG ＝a ≠a ＝BC ，故②错误；∵∠FCO ＝∠EAO ，∠CFO ＝∠AEO ，OA ＝OC ，∴△FOC ≌△EOA （AAS ），∴OE ＝OF ，又∵AO ＝OC ，EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形，故③正确；∵S △AOE ＝a •a ＝a 2，S 矩形ABCD ＝a •a ＝a 2，∴S △AOE ＝S 矩形ABCD ，故④正确．故选：B ．8．（2022•荣昌区自主招生）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAC ＝60°，点F 在线段AO 上，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①DO ＝DA ；②DF ＝EC ；③∠ADF ＝∠ECF ；④∠BDE ＝∠EFC 中正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【分析】①根据∠DAC ＝60°，OD ＝OA ，得出△OAD 为等边三角形，即可得出结论①正确；②如图，连接OE ，利用SAS 证明△DAF ≌△DOE ，再证明△ODE ≌△OCE ，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④根据△DAO ，△DEF 是等边三角形可以证明∠EFC ＝∠ADF ，然后根据②∠ADF ＝∠BDE ，等量代换即可得到∠BDE ＝∠EFC ．【解答】解：①在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∵∠DAC ＝60°，OD ＝OA ，∴△OAD 为等边三角形，∴∠DOA ＝∠DAO ＝∠ODA ＝60°，AD ＝OD ，故①正确，②连接OE ．∵△DFE 为等边三角形，∴∠EDF ＝∠EFD ＝∠DEF ＝60°，DF ＝DE ，∵∠BDE +∠FDO ＝∠ADF +∠FDO ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADF ，∵∠ADF +∠AFD +∠DAF ＝180°，∴∠ADF +∠AFD ＝180°﹣∠DAF ＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC＝DF，故②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④∵△DAO，△DEF是等边三角形，∴∠DAO＝∠DFE＝60°，∴∠EFC+∠AFD＝∠ADF+∠AFD＝120°，∴∠EFC＝∠ADF，根据②知∠ADF＝∠BDE，∴∠BDE＝∠EFC．故④正确．故选：D．9．（2022秋•章丘区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）A．15B．20C．D．【分析】连接EF交AC于点O，连接CE，根据菱形的性质可得CF＝CE，证明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根据勾股定理可得CE的长，进而可得结论．【解答】解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥GH，OE＝OF，∴CF＝CE，在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴CF＝AE，∴CE＝AE，∴BE＝AB﹣AE＝24﹣CE，在Rt△CEB中，根据勾股定理，得CE2＝BE2+BC2，∴CE2＝（24﹣CE）2+122，解得CE＝15．∴AE＝15．故选：A．10．（2022秋•姜堰区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝cm，点P从A点出发沿AB以cm/s的速度向点B运动，当PA＝PC时，点P运动的时间为（ ）A．s B．2s C．10s D．10s或2s【分析】设点P运动的时间为ts，根据题意得：AP＝tcm，PC＝＝tcm，PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，然后根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设点P运动的时间为ts，根据题意得：AP＝tcm，∴PC＝＝tcm，∵PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，∴PC2＝BC2+PB2，∴t2＝2+（3﹣t）2，解得t＝2或t＝10（舍去），∴点P运动的时间为2s，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•费县期末）如图所示．在矩形ABCD中，AB＝2．BD＝4，则∠AOD＝　120　度．【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，OB＝BD，证得OB＝OA＝AB＝2，所以△AOB是等边三角形，得出∠AOB＝60°，则∠AOD＝120°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OB，∵BD＝4，AB＝2，∴OB＝OA＝AB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOD＝120°．故答案为：120．12．（2022春•仙居县期末）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝　12　．【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝6，∴BD＝2OB＝12，故答案为：12．13．（2022春•二道区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线度OB，垂足为点E，若BD＝15，则AB＝　7.5　．【分析】首先利用矩形的性质得到OA的长度，然后利用线段的垂直平分线的性质得到AB＝OB＝OA即可求解．【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝OB＝OC＝OD，而BD＝15，∴OB＝OA＝BD＝7.5，∵AE垂直平分线段OB，∴AB＝OA，∴AB＝OB＝OA，∴AB＝7.5．故答案为：7.5．14．（2022春•洛江区期末）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，AD＝8cm，CE＝3cm，则AB＝　5　cm．【分析】首先利用矩形的性质得到可以证明∠DAE＝∠BEA，然后利用角平分线的性质证明∠BAE＝∠BEA，接着利用等腰三角形的判定得到AB＝BE即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AD＝8cm，CE＝3cm，∴BC＝8，∴AB＝BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5cm．故答案为：5．15．（2022春•盐都区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为　7　．【分析】由勾股定理可求BC的长，由线段垂直平分线的性质可得AM＝CM，可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴BC＝＝＝4，∵AC的垂直平分线交BC于点M，∴AM＝CM，∴△ABM的周长＝AB+BM+AM＝AB+BC＝7，故答案为：7．16．（2022•南京模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为　8　．【分析】根据矩形的性质可以得到OC＝OB，再根据BE⊥AC及E点为CO的中点，根据线段垂直平分线的性质证得△CBO是等边三角形，从而得到∠DBA＝30°，然后根据30°直角三角形的性质求得BO 长，BD＝2BO，即可得出答案．【解答】解：∵BE⊥AC，E点为CO的中点，∴BE垂直平分OC，∴BC＝OB，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，∴OC＝OB，∴CB＝BO＝CO，∴△OBC是等边三角形，∴∠CBD＝60°，∴∠DBA＝30°，∵OF⊥AB，OF＝2，∴BO＝2OF＝4，∵O点为BD中点，∴BD＝2BO＝8．故答案为：8．17．（2022春•上犹县期末）如图，矩形ABCD中，已知：AB＝3，AD＝5，点P是BC上一点，且△PAD 是等腰三角形，则BP＝　1或4或2.5　．【分析】根据矩形的性质可知DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，再根据△PAD是等腰三角形的性质可得DP＝AD＝5，勾股定理可得CP的长度，则BP＝BC﹣CP，即可求得BP的长度．【解答】解：①当DP＝AD时，∵矩形ABCD，∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，∵△PAD是等腰三角形，∴DP＝AD＝5，在Rt△PCD中，PC＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝5﹣4＝1．②当AD＝AP时，∴AP＝AD＝5，在Rt△ABP中，由勾股定理得，BP＝＝4，③当AP＝DP时，过P作PE⊥AD于点E，∴AE＝AD＝2.5，∵∠B＝∠BAE＝∠AEP＝90°，∴四边形ABPE是矩形，∴BP＝AE＝2.5．综上所述，BP＝1或4或2.5．故答案为：1或4或2.5．18．（2022春•邗江区校级月考）点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．如图，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，则tan∠PAB•tan∠PBA的最小值为 ．【分析】过点P作PN⊥AB于N，tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，求出AN•BN有最大值25，即可求得tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．【解答】解：过点P作PN⊥AB于N，如图：∵点P是边AD的“和谐点”，∴PA＝PD，∴PN＝BC＝3，∴tan∠PAB＝，tan∠PBA＝，∴tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，∴AN•BN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+25，当x＝5时，AN•BN有最大值25，∴有最小值，∴tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•前郭县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB ＝56°，求∠EAB的度数．【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，根据∠AOB的度数求出∠ABO的度数，然后根据直角三角形的锐角互余求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，∴AO＝OB，又∵∠AOB＝56°，∴∠OBA＝∠OAB＝62°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝28°．20．（2022春•玉州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．（1）求证：AE＝CF．（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS 证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC，在△AOE和△COF∵，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD∵，∴AO＝DO∴∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，∴∴矩形ABCD的面积＝．21．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．【分析】（1）证明△AOF≌△COE全等，可得AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，假设BE＝a，根据勾股定理求出a，从而得知EF的长度；【解答】解：∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO＝CO∴∠FAO＝∠ECO∴在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）∴AF＝EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，设BE＝a，则AE＝EC＝3﹣a∴a2+22＝（3﹣a）2∴a＝则AE＝EC＝，∵AB＝2，BC＝3，∴AC＝＝∴AO＝OC＝，∴OE＝＝＝，∴EF＝2OF＝．22．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）由（1）可知：OA＝OB，∵∠AOB＝120°，∴∠DBA＝30°，∵AD＝2，∴AB＝AD＝6．23．（2022秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP．（1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；（2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．【分析】（1）在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，得出DF2+EF2＝DE2，即可得出结论；（2）作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°，证明△AED≌△HED（AAS），得出DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，得出EH＝EB＝4，证明Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），得出BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，得出DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明；∵CF＝2BE＝2，∴BE＝1，∴AE＝AB﹣BE＝7．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝6，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，∴DF2+EF2＝DE2，∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°；（2）解：作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°．∵DE平分∠ADF，∴∠ADE＝∠HDE，在△AED和△HED中，，∴△AED≌△HED（AAS），∴DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，∴EH＝EB＝4，在Rt△EHF和Rt△EBF中，，∴Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），∴BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，∴DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，DC2+CF2＝DF2，∴82+（6﹣x）2＝（6+x）2，∴x＝，即BF＝．24．（2022春•嘉祥县期末）如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF 分别交BA、DC的延长线于点G、H．（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；（2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长．【分析】（1）由“AAS”证△AGE≌△CHF，得AG＝CH，即可解决问题；（2）由菱形的性质得BH＝DH＝4+CH，再由勾股定理得BH2＝BC2+CH2，即（4+CH）2＝82+CH2，求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠AGE＝∠CHF，∠GAE＝∠HCF＝90°，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（AAS），∴AG＝CH，∴AB+AG＝CD+CH，即BG＝DH，∵AB∥CD∴四边形BHDG是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，∵四边形BHDG是菱形，∴BH＝DH＝4+CH，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH2＝BC2+CH2，即（4+CH）2＝82+CH2，解得：CH＝6，即CH的长为6．。

2023年九年级中考数学专题培优训练：矩形、菱形与正方形一、选择题1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF,则可以得到四边形AEDF的形状( )A.仅仅只是平行四边形B.是矩形C.是菱形D.无法判断3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④5.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )A.10cm2B.20cm2C.40cm2D.80cm26.如图，从边长为(a＋4)的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)的正方形(a＞0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，若拼成的长方形一边的长为3，则另一边的长为( )A.2a＋5B.2a＋8C.2a＋3D.2a＋27.如图，将正方形对折后展开(图④是连续两次对折后再展开)，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH ⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G.下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值.其中正确的结论有( )A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④二、填空题9.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为．10.矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为．11.如图，已知正方形ABCD中，CM＝CD，MN⊥AC，连接CN，则∠MNC＝．12.如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是________．13.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为________.14.如图，在边长为a(a>2)正方形各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝450时，则正方形MNPQ的面积为__________.三、解答题15.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE.(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的结论．16.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6.(1)实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.①作∠ABC的角平分线交AC于点D.②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF.(2)推理计算：四边形BFDE的面积为.17.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.18.如图1，2，四边表ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。

第二节矩形基础过关1. (2022安徽)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝()A. α－90°B. α－45°C. 180°－αD. 270°－α第1题图2. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. 对角线BD的长度减小C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变第2题图3. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则ABBC＝()A. 12 B.3－12 C.32 D.33第3题图4. (2023兰州)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，点F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝()A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5第4题图5. (2023深圳模拟)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点M ，N 分别为BC ，OC 的中点，若∠ACB ＝30°，AB ＝10，则MN 的长为( ) A. 52 B. 5 C. 53 D. 4第5题图6. (2022邵阳)已知矩形的一边长为6 cm ，一条对角线的长为10 cm ，则矩形的面积为________cm 2.7. (2023台州)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6.在边AD 上取一点E ，使BE ＝BC ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为点F ，则BF 的长为__________．第7题图8. (2023娄底)如图，点E 在矩形ABCD 的边CD 上，将△ADE 沿AE 折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处，若BC ＝10，sin ∠AFB ＝45，则DE ＝__________．第8题图9. (2023北京)如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE ＝DF ，AC ＝EF . (1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若AE ＝BE ，AB ＝2，tan ∠ACB ＝12，求BC 的长．第9题图综合提升10. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A. AB∥CDB. AD＝BCC. ∠A＝∠BD. ∠A＝∠D11. (数学文化) (2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝__________．第11题图新考法推荐12. (开放性试题)(2023贵州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：第12题图(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；(2)连接AD，若AD＝52，CBAC＝23，求AC的长．。