2019年河南省高考数学一诊试卷(理科)及解析

2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数i z +=1,则=+25z zA. 225i +-B. 225i-- C. 225i + D. 225i -3. 000040sin 200cos 50sin 70cos -的值为A. 23-B. 23C. 21-D. 214.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。

某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.1514 B. 151 C. 92 D. 97 5.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a =0”是“函数)(x f 为奇函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何 体的表面积为A. π264-B. π264+C. π280-D. π280+ 7.若x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-，则A. b >c >aB. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值是A. 21-B. 23-C. 21 D. 229.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.610. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值 A. 34 B. 32 C. 33 D. 311. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若||332421AB x x =++，则∠AFB 的最大值为 A.3πB. 43πC. 65πD.32π 12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

2019年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．23．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．若执行如图所示程序框图，则输出的s 值为（ ）A ．﹣2016B ．2016C ．﹣2017D ．20179．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（ ）A ．B ．2C ．D ．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有个零点．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．18．（12分）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．20．（12分）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1 }=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数（1+2i）（1+ai）=1﹣2a+（2+a）i是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥，分别求面积，再相加即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥．半球表面积为2π×32=18π圆锥的侧面积为π×3×5=15π所以所求的表面积为π+15π=33π故选D．【点评】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”；B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题；C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4；D，a=0时，函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点；【解答】解：对于A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”，故错；对于B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题，故正确；对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，故错；对于D ，原命题的逆命题为：若函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，则a=﹣1“，∵a=0时，函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，故错； 故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ， ∴→m =（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ）， ∵→→⊥n m ，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．a≥B．a＞C．a＜D．a≤【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=，令t=x+，则t≥2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则a≥，故选：A．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣2017 D．2017【考点】程序框图．【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的S 的结果与n的值的关系，由程序框图可得当n=2017时，退出循环，由此能求出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，s=0满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1，n=2满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3=2，n=3满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5=﹣3，n=4满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5+7=4，n=5满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣5，n=6满足条件n＜2017，执行循环体，s=6，n=7…满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣2015，n=2016满足条件n＜2017，执行循环体，s=2016，n=2017不满足条件n＜2017，退出循环，输出s的值为2016．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．9．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A．B．2 C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题中条件知高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．【解答】解：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为rr即为底面正三角形的内切圆半径，∵底面边长为4的r=2故选B．【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•=••=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的增函数，比较大小可得0.32＜30.2＜log25，故可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，∴函数是（0，+∞）上的增函数，∵1＜30.2＜3，0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：a+2+2a﹣3=4，解得a=．故答案为．【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，令r=2求出展开式第3项的二项式系数，列出方程求出n；令二项式中的x=1求出展开式的所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为当r=2时是展开式中第3项的二项式系数为C n2=15解得n=6令二项式中的x=1得展开式中所有项的系数之和为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=5．【考点】余弦定理．【分析】由∠B=2∠A，得到sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简将a与b的值代入求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosA的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简得：b=2acosA，把a=3，b=2代入得：2=6cosA，即cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=24+c2﹣8c，解得：c=5或c=3，当c=3时，a=c，即∠A=∠C，∠B=2∠A=2∠C，∴∠A+∠C=∠B，即∠B=90°，而32+32≠（2）2，矛盾，舍去；则c=5．故答案为：5【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有3个零点．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=f（f（x））﹣1=0，求出f（x）的值，然后利用分段函数的表达式求解x的值，推出结果．【解答】解：函数y=f（f（x））﹣1，令f（f（x））﹣1=0，当f（x）＞0时，可得log2f（x）=1，解得f（x）=2，则log2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）．当f（x）＜0，可得af（x）+1=1，解得f（x）=0，则log2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣．所以函数的零点3个．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•平顶山一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2可求得a1=2；当n≥2时，a n=3a n﹣1，从而可知数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a n和S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n=3n﹣1，从而可得b n=n，b2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=3a n﹣2，∴n=1时，2S1=3a1﹣2，解得a1=2；当n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，∴2S n﹣2S n﹣1=3a n﹣3a n﹣1，∴2a n=3a n﹣3a n﹣1，∴a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n=2•3n﹣1，S n==3n﹣1，（Ⅱ）∵a n=2•3n﹣1，S n=3n﹣1，∴b n=log3（S n+1）=log33n=n，∴b2n=2n，∴T n=2+4+6+…+2n==n2+n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的判定与通项公式、求和公式的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．18．（12分）（2017•平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．（Ⅱ）求出k 2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关． （Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分） 所以视力在4.8以上的人数为人． (Ⅱ)，因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.，，，ξ的分布列为…（10分）ξ的数学期望．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2017•平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB ⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C ﹣PD﹣B的余弦值即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分）又∵△PAB为等边三角形，∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F，∴AF⊥平面BPC．…又DE∥AF．∴DE⊥平面BPC，又DE⊂平面DPC，∴平面DPC⊥平面BPC．…（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．…（7分）由题意知，DP=DC=，PC=，∴，∴，∴在△PDE中，．…（10分）又，∴，∴．…（12分）（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），，C（0，2，2），D（0，0，1）．，，．…（8分）设平面PDC和面PBC的法向量分别为，，由，得，令y=﹣1得；由，得，令a=1得．…（10分）∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点，由题意DE⊥DQ，得，代入坐标得答案；（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点，∵E（1，0），∴，．在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），，，则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0．由A，Q，Q1共线，得，从而（，否则Q1不存在），由E，Q，Q2共线，得，从而（t≠0，否则Q2不存在），∴，，∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，令，得x=﹣1，y=﹣4．∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•平顶山一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2化为普通方程，再转化为参数方程即可．（Ⅱ）设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，令，则，利用三角函数的有界限求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的普通方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅱ）方法一：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，所以d取最小值时，|MQ|最小．令，则，当时，d最小．∴点M的坐标为．（Ⅱ）方法二：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，∴d取最小值时，|MQ|最小．∴，M是过圆心垂直于l的直线与圆（靠近直线l端）的交点．由，得或（舍去）．∴点M的坐标为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参数方程的几何意义的运用．属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•平顶山一模）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式可化为：或或…（3分）解得：x＜﹣2或x＞3，所以解集为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．…（Ⅱ）因为|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|=3，…（7分）所以f（x）≥3，当x≤﹣1时等号成立．所以f（x）min=3．又，故．…（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2019年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=log2（x-1）}，B={y|y=2+}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数：z=，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A. 85B. 84C. 83D. 814.已知向量=（2，1），|+|=4，•=1，则||=（）A. 2B. 3C. 6D. 125.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M，N两点，若|MN|=4，则|MF|=（）A. B. C. D.6.设a=0.50.5，b=0.30.5，c=log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.7.+的最小值为（）A. 18B. 16C. 8D. 68.在（2-）5的展开式中，x的系数为（）A. 32B.C.D. 809.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列区间使函数f（x）单调递减的是（）A. B. C. D.10.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为，则h=（）A.B.C.D.11.若函数f（x）=x4+ax3+x2-b（a，b∈R）仅在x=0处有极值，则a的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点恰为圆Ω：x2+y2-4x-8=0的圆心，且双曲线C的近线方程为y=±x．点P在双曲线C的右支上，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，|PF1|=（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在区间[-1，3]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为______．14.已知x，y满足约束条件，，，，则z=x-4y的最小值是______．15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，点P在线段OB上移动（不与点O，B重合），异面直线A1D与C1P所成的角为θ，则cosθ的取值范围是______．16.如图，平面四边形MNPQ中，∠MQP=90°，∠NMQ=60°，MN=3，NQ=2，则NP的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，a n≠0，且满足32a3+32a11=a72，数列{b n}满足b n+1-2b n=0，b7=a7．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，点D，E分别为A1B1，AC的中点．（1）证明：AD∥平面EB1C1；（Ⅱ）求直线AA1与平面EB1C1所成角的正弦值．19.为了应对日益严重的交通压力和空气质量问题，某城市准备出台新的交通限行政策，为了了解市民对“汽车限行”的态度，在当地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如表：（Ⅰ）求出表格中n的值，并完成参与调查的市民年龄的频率分布直方图；（Ⅱ）从这100人中任选1人，若这个人赞成汽车限行，求其年龄在[35，45）的概率；（Ⅲ）若从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成汽车限行进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取3人参加座谈会，记这3人中赞成汽车限行的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．20.设椭圆E：+=1（a＞b＞0）的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为+1，最小值为-1．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值．21.已知函数f（x）=ln x-（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为，求a的值；（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+，且h（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）若b，c∈（0，+∞），且b＞c，求证：＜ln b-ln c．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+1=0，M的极坐标为（，）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程及M的直角坐标；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|•|MB|的值．23.已知函数f（x）=|1-2x|+|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）≥m2-对任意x恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x|x＞1}，B={y|y≥2}；∴A∩B=[2，+∞）．故选：A．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：z===，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B．对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．3.【答案】A【解析】解：由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：（75+81+85+89+95）=85．故选：A．利用茎叶图、平均数的性质直接求解．本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵|+|=4，∴2+2+2•=16，∴5+||2+2=16，∴||=3故选：B．将|+|=4两边平方可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．5.【答案】C【解析】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M（，），N（，-）两点，若|MN|=4，可得：p=4，可得p=2，所以|MF|==，故选：C．求出M的坐标，得到p，然后求解|MF|．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：因为y=x0.5在（0，+∞）上是为增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a ＞b．c=log0.30.2＞log0.30.3=1，而1=0.50＞0.50.5．所以b＜a＜c．故选：B．利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与1的大小，利用对数式的运算性质得到c大于1，从而得到结论．本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．7.【答案】B【解析】解：≥9+1+=16，故选：B．直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】C【解析】解：（2-）5的展开式的通项为=．令，得r=1．∴x的系数为．故选：C．写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9.【答案】D【解析】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则：，所以：T=π，则：，当x=时，f（）=2sin（2×+φ）=0，所以：=kπ（k∈Z），解得：φ=k（k∈Z），由于：|φ|＜，当k=0时，φ=-，所以函数f（x）=2sin（2x-），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0时，函数的单调递减区间为[]．故选：D．首先利用三角函数的图象求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：O为AC的中点，∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形，FO⊥底面ABC，OB=OC=OA=1，∴几何体的外接球的球心为E是△ACD的外心，半径为r，该几何体的外接球体积为，∴外接球的体积V=π×r3=．r=2，h=2．故选：C．由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，画出其直观图，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h，本题考查了由三视图求几何体外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的性质，求得外接球的半径．11.【答案】A【解析】解：由题意，f′（x）=x3+3ax2+9x=x（x2+3ax+9）要保证函数f（x）仅在x=0处有极值，必须满足f′（x）在x=0两侧异号，所以要x2+3ax+9≥0恒成立，由判别式有：（3a）2-36≤0，∴9a2≤36∴-2≤a≤2，∴a的取值范围是[-2，2]故选：A．求导函数，要保证函数f（x）仅在x=0处有极值，必须满足f′（x）在x=0两侧异号．本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解；由圆Ω：x2+y2-4x-8=0的圆心（2，0），可得焦点F1（-2，0），F2（2，0），双曲线C的近线方程为y=±x，可得=，且a2+b2=4，解得a=1，b=，设|PF2|=t，可得|PF1|=t+2，==t++4≥2+4=8，当且仅当t=|PF2|=2时取等号，可得得|PF1|=4．故选：B．求得圆心可得焦点F1（-2，0），F2（2，0），由渐近线方程，可得a，b的方程，解得a=1，设|PF2|=t，运用双曲线的定义，化简所求式子，利用基本不等式的性质即可得出最小值时所求值．本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：在区间[-1，3]之间随机抽取一个数x，则-1≤x≤3，由|x|≤1得-1≤x≤1，∴根据几何概型的概率公式可知满足|x|≤1的概率为=，故答案为：．由条件知-1≤x≤3，然后解不等式的解，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决本题的关键，比较基础．14.【答案】-7【解析】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：z=x-4y，得y=x-，平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-经过点B时，直线y=x-的截距最大，此时z最小．由解得A（1，2），此时z的最小值为z=1-4×2=-7．故答案为：-7．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求z的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函数的几何意义．15.【答案】（0，）【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），设P（a，a，0），1＜a＜2，C1（0，2，2），=（-2，0，-2），=（a，a-2，-2），∵异面直线A1D与C1P所成的角为θ，∴cosθ===，∵1＜a＜2，∴cosθ∈（0，）．故答案为：（0，）．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.【答案】【解析】解：设∠PQN=α，∠MQN=90°-α，则在△AMNQ中，MN=3，NQ=2，由正弦定理可得=，则cosα=．在△NPQ中，设PQ=x，NQ=2，由余弦定理得NP2=NQ2+PQ2-2NQ•PQ•cosα=12+x2-2×2•x•=x2-3x+12=（x-）2+，当x=时，NP最小，则NP=故答案为：设∠PQN=α，∠MQN=90°-α，由正弦定理可得cosα=，在△NPQ中，设PQ=x，由余弦定理得NP2═（x-）2+，根据二次函数的性质即可求出最小值．本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于中档题．17.【答案】解：（I）由等差数列的性质可得：32a3+32a11=a72=32×2a7≠0，解得a7=64．数列{b n}满足b n+1-2b n=0，可得：数列{b n}是等比数列，公比为2．∵b7=a7=64．∴a1•26=64，解得a1=1．∴b n=2n-1．（Ⅱ）若c n=nb n=n•2n-1，∴数列{c n}的前n项和S n=1+2×2+3×22+……+（n-1）•2n-2+n•2n-1，2S n=2+2×22+3×23+……+（n-1）•2n-1+n•2n，∴-S n=1+2+22+……+2n-1-n•2n=-n•2n，可得S n=（n-1）•2n+1．【解析】（I）由等差数列的性质可得：32a3+32a11=a72=32×2a7≠0，解得a7．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）c n=nb n=n•2n-1，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：取B1C1的中点F，连接FD，FE，∵D为A1B1的中点，∴∥，，又E为AC中点，∴AE∥，，∴DF∥AE，DF=AE，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD∥EF，又AD⊄平面EB1C1，EF⊂平面EB1C1，∴AD∥平面EB1C1；（2）解：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥CC1，∴只需求CC1与平面EB1C1所成角，在平面ACC1A1内作CM⊥EC1于M，∵平面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥CM，∵BC∥B1C1，∴CM⊥B1C1，∴CM⊥平面EB1C1，∴∠CC1M即为C1C与平面EB1C1所成角，∵AB=4，BC=2，∴AC=2，∵侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，∴CC1=2，CE=，∠ECC1=120°，由余弦定理可得EC1=，再由正弦定理得，得sin∠CC1M=．故直线AA1与平面EB1C1所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）取B1C1的中点F，证得AEFD为平行四边形，进而得AD，EF平行，得证；（Ⅱ）利用平行把AA1转化为CC1，只需作CM⊥EC1于M，可证得CM⊥平面EB1C1，从而确定∠EC1C为所求角，结合正弦，余弦定理不难求解．此题考查了线面平行，直线与平面所成角等，难度适中．画出频率分布直方图如下；（Ⅱ）从这100人中任选1人，则这个人赞成汽车限行，且年龄在[35，45）的概率为P==；（Ⅲ）从年龄在[45，55）中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取10×=6（人），不赞成的抽取4人，再从这10人中随机抽取3人，则随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；数学期望值为E（X）=0×+1×+2×+3×=．【解析】（Ⅰ）由样本容量求出n的值，填写频率分布表，画出频率分布直方图；（Ⅱ）利用条件概率公式计算所求的概率值；（Ⅲ）利用分层抽样求出抽取的人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图与分层抽样应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），则有，解得，∴，因此，椭圆E的方程为；（Ⅱ）如下图所示，椭圆E的上焦点为F（0，1）．①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，，此时，四边形PMQN的面积为；②当直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为y=kx+1，则直线MN的方程为，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得（k2+2）x2+2kx-1=0，△=4k2+4（k2+2）=8（k2+1）＞0，由韦达定理可得，，∴===，同理可得，所以，四边形PMQN的面积为=，令t=k2+1＞1，则k2=t-1，所以，=，∵t＞1，所以，＜＜，由二次函数的基本性质可知，当＜，所以，∈，．综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2．【解析】（Ⅰ）根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）对直线PQ与直线MN的斜率是否都存在分两种情况讨论．①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积；②当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为y=kx+1，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围．结合①②得出四边形PMQN面积的最大值．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-，故f′（2）=-=，解得：a=4；（Ⅱ）h（x）=f（x）+=ln x-，h′（x）=，由函数在（0，+∞）递增，得h′（x）≥0在x＞0恒成立，即x2+（2-2a）x+1≥0，（x＞0），故2a-2≤x+，由x+≥2=2，当且仅当x=1时取最小值2，故2a-2≤2，解得：a≤2，即a∈（-∞，2]；（Ⅲ）要证明＜ln b-ln c，只需证明＜，即证ln＞，即证ln-＞0，设q（x）=ln x-，由（Ⅱ）得，q（x）在（1，+∞）递增，而＞1，故q（x）＞q（1）=0，即ln-＞0，故＜ln b-ln c．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）=，求出a的值即可；（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的范围即可；（Ⅲ）问题转化为证明ln-＞0，设q（x）=lnx-，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+1=0，转换为直角坐标方程为：x2+y2-4x-2y+1=0，M的极坐标为（，）．转换为直角坐标为（1，1）．（Ⅱ）把直线l的参数方程为，（t为参数），代入x2+y2-4x-2y+1=0，得到：，（t1和t2为A、B对应的参数），故：，t1•t2=-3．所以：|MA||MB|=|t1•t2|=3．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤4即为|2x-1|+|x+2|≤4，当x≥时，2x-1+x+2≤4，解得≤x≤1；当-2＜x＜时，1-2x+x+2≤4，解得-1≤x＜；当x≤-2时，1-2x-x-2≤4，即有x≥-，解得x∈∅，综上可得原不等式的解集为[-1，1]；（Ⅱ）若f（x）≥m2-对任意x恒成立，可得m2-不大于f（x）的最小值，由f（x）=|1-2x|+|x+2|=|x-|+（|x-|+|x+2|）≥0+|x--x-2|=，当且仅当x=时，f（x）取得最小值，可得m2-≤，即m2≤4，解得-2≤m≤2，即m的取值范围是[-2，2]．【解析】（Ⅰ）由绝对值的意义，讨论x≥时，当-2＜x＜时，当x≤-2时，去掉绝对值解不等式，即可得到所求解集；（Ⅱ）若f（x）≥m2-对任意x恒成立，可得m2-不大于f（x）的最小值，再由绝对值的意义和绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。

河南省安阳市2019届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵，；∴．故选：A ．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于简单题目. 2.已知复数：，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行化简，从而求出其所在的象限即可． 【详解】，故z 在复平面内对应的点位于第二象限， 故选：B ．【点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题． 3.已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A. 85B. 84C. 83D. 81【答案】A【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【详解】由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：．故选：A．【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知向量，，，则＝（）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】B【解析】【分析】将两边平方可得．【详解】∵，∴，∴，∴故选：B．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．5.已知抛物线的焦点为F，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M，N两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出M的坐标，得到p，然后求解|MF|．【详解】抛物线的焦点为，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于，两点，若，可得：，可得，所以，【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.设，，,则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与1的大小，利用对数式的运算性质得到c 大于1，从而得到结论．【详解】因为在上是为增函数，且，所以，即．，而．所以．故选：B．【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．7.的最小值为（）A. 18B. 16C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．【详解】，故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.在的展开式中，x的系数为（）A. 32B. ﹣40C. ﹣80D. 80【答案】C【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．【详解】的展开式的通项为，令，得r＝1．∴x的系数为，故选：C．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列区间使函数单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图象求出三角函数的解析式，再由正弦函数的单调性求出其单调区间即可。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，B ＝{x |y ＝log 2（x ﹣2）}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．[0，1）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．[2，+∞）【解答】解：集合A ＝（y |y ＝2x ，x ＞0}＝{y |y ＞1}＝（1，+∞）， B ＝{x |y ＝log 2（x ﹣2）}＝{x |x ﹣2＞0}＝{x |x ＞2}， 则∁R B ＝{x |x ≤2}＝（﹣∞，2]， ∴A ∩（∁R B ）＝（﹣∞，2]． 故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足（1+√3i ）z ＝1+i ，则复平面内与复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由（1+√3i ）z ＝1+i ，得z =1+3i =√3i)(1+3i)(1−3i)=1+√34+1−√34i ， ∴复平面内与复数z 对应的点的坐标为（1+√34，1−√34），在第四象限角．故选：D ．3．（5分）已知函数f （x ）＝sin 4x ﹣cos 4x ，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的最大值为2C ．f （x ）的图象关于y 轴对称D ．f （x ）在区间[π4，π2]上单调递减【解答】解：∵f （x ）＝sin 4x ﹣cos 4x ＝sin 2x ﹣cos 2x ＝﹣cos2x ， ∴函数的最小正周期T ＝π，∵f （﹣x ）＝﹣cos （﹣2x ）＝﹣cos2x ＝f （x ）， ∴f （x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，∵f （x ）＝cos2x 在[π4，π2]上单调递减，故f （x ）＝﹣cos2x 在[π4，π2]上单调递增．故选：C ．4．（5分）已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝（ ） A ．26B ．52C ．78D ．104【解答】解：等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列中b7＝a7＝4，则S13=12×13（b1+b13）＝13b7＝13×4＝52．故选：B．5．（5分）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A．16﹣πB．16﹣4πC．32﹣2πD．64﹣4π【解答】解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个长为2，宽为4高为2的长方体，挖去一个半径为1，高为4的14圆柱构成，故：V＝2⋅2⋅4−14⋅π⋅12⋅4，＝16﹣π．故选：A．7．（5分）已知函数f （x ）={e x−1，x ＜2log 3(x 2−1)，x ≥2，若f （a ）≥1，则a 的取值范围是（ ）A ．[1，2）B ．[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【解答】解：函数f （x ）={e x−1，x ＜2log 3(x 2−1)，x ≥2，若f （a ）≥1，可得：{a ＜2e a−1≥1或{a ≥2log 3(a 2−1)≥1， 解：{a ＜2e a−1≥1，可得：1≤a ＜2；{a ≥2log 3(a 2−1)≥1解得a ≥2． 综上a ≥1． 故选：B ．8．（5分）若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0，则yx+2的取值范围为（ ）A ．[−12，1] B ．[﹣∞，−12]∪[1，+∞） C ．[0，1]D ．[12，1]【解答】解：作出x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0的可行域如图：△ABC ，y x+2表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组{x =22x +y =2可解得B （2，﹣2），同理可得A （2，4），当直线经过点B 时，M 取最小值：−22+2=−12，当直线经过点A 时，M 取最大值42+2=1．则yx+2的取值范围：[−12，1]．故选：A ．9．（5分）已知数列{a n}中，a1=12，a n+1＝1−1a n，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A．n≤2012B．n≤2015C．n≤2017D．n≤2018【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A=12，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1−12=12，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时，n 能被3整除，此时不满足循环条件． 分析选项中的条件，满足题意的C ． 故选：C ．10．（5分）已知△ABC 的内角A =π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC ，设AO →=m AB →+n AC →，则m +n 的值为（ ） A ．1118B ．1C ．718D ．2【解答】解：由OA ＝OB ＝OC ，得：点O 是△ABC 的外心， 又外心是中垂线的交点，则有：{AO →⋅AB →=18AO →⋅AC →=8， 即{(mAB →+nAC →)⋅AB →=18(mAB →+nAC →)⋅AC →=8， 又AB ＝6，AC ＝4，AB →⋅AC →=12， 所以{6m +2n =33m +4n =2，解得：{m =49n =16， 即m +n =49+16=1118， 故选：A ．11．（5分）已知P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为﹣4√3，△PF 1F 2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．√3D ．√2【解答】解：P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，c ＝6，△PF 1F 2的面积为24√3，可得P 的纵坐标y 为：12×12×y =24√3，y ＝4√3．直线PF 2的斜率为﹣4√3， 所以P 的横坐标x 满足：y x−6=−4√3，解得x ＝5，则P （5，4√3），|PF 1|=√(5+6)2+(4√3−0)2=13，|PF 2|=√(5−6)2+(4√3−0)2=7， 所以2a ＝13﹣7，a ＝3， 所以双曲线的离心率为：e =ca=2． 故选：B ．12．（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（ ） A ．（0，8√327] B ．（0，16√327] C ．（0，√33] D ．（0，2√33]【解答】解：如图，AB ＝CD ＝a ，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2． 过A 作AE ⊥CD 于E ，连结BE ，则AE =√4−a24=BE ，又AB ＝a ，∴S △ABE =12a ⋅√4−a 24−a 24=12a √4−a 22， ∴V A−BCD=13×a ×12a ⋅√4−a 22=16√4a 4−a 62，令f(a)=4a 4−a 62，则f ′（a ）＝16a 3﹣3a 5＝0， 解得当a 2=163时，（V A ﹣BCD ）max =16√327． ∴此三棱锥体积的取值范围是（0，16√327]． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）（1﹣x ）10的展开式中，x 3的系数等于 ﹣120 ．【解答】解：（1﹣x ）10的展开式中，T r +1=∁10r（﹣x ）r ， 令r ＝3，则T 4=−∁103x 3， 则x 3的系数=−∁103=−120．故答案为：﹣120．14．（5分）已知向量a →=（1，√3），b →=（3，m ），则b →在a →方向上的投影为﹣3，则向量a →与b →的夹角为2π3．【解答】解：根据题意，设向量b →与a →夹角为θ，向量a →=（1，√3），b →=（3，m ），则|a →|＝2，a →•b →=3+√3m ，若b →在a →上的投影为﹣3，则有a →⋅b→|a →|=3+√3m 2=−3，解可得：m ＝﹣3√3，则b →=（3，﹣3√3），则|b →|＝6，则cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=−62×6=−12，又由0≤θ≤π， 则θ=2π3， 故答案为：2π315．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是413．【解答】解：由题意，设DF ＝2AF ＝2a ，且a ＞0， 由∠DFE =π3，∴∠AFC ＝π−π3=2π3； ∴△DEF 的面积为S △DEF =12•2a •2a •sin π3=√3a 2，△AFC 的面积为S △AFC =12•a •3a •sin2π3=3√34a 2， ∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是 P =√3a23×3√34a 2+√3a2=413． 故答案为：413．16．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ．满足a 1＝2，3S n ＝（n +m ）a n ，（m ∈R ），且a n b n ＝n ，若存在n ∈N *，使得λ+T n ≥T 2n 成立，则实数λ的最小值为13．【解答】解：∵3S n ＝（n +m ）a n ， ∴3S 1＝3a 1＝（1+m ）a 1，解得m ＝2， ∴3S n ＝（n +2）a n ，①，当n ≥2时，3S n ﹣1＝（n +1）a n ﹣1，②， 由①﹣②可得3a n ＝（n +2）a n ﹣（n +1）a n ﹣1， 即（n ﹣1）a n ＝（n +1）a n ﹣1， ∴a n a n−1=n+1n−1， ∴a 2a 1=31，a 3a 2=42，a 4a 3=53，…，a n−1a n−2=nn−2，a n a n−1=n+1n−1，累乘可得a n ＝n （n +1）， 经检验a 1＝2符合题意， ∴a n ＝n （n +1），n ∈N *， ∵a n b n ＝n ，∴b n =1n+1， 令B n ＝T 2n ﹣T n =1n+2+1n+3+⋯+12n+1， 则B n +1﹣B n =12n+3+12n+2−1n+2=3n+4(2n+2)(2n+3)(n+2)＞0， ∴数列{B n }为递增数列， ∴B n ≥B 1=13，∵存在n ∈N *，使得λ+T n ≥T 2n 成立， ∴λ≥B 1=13，故实数λ的最小值为13，故答案为：13．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝a cos B +b sin A ． （Ⅰ）求A（Ⅱ）若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin C ＝sin A cos B +sin B sin A ① 又A +B +C ＝π，故有sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ② 由 ①②得sin A ＝cos A 即tan A ＝1， 又A ∈(0，π)∴A =π4；（Ⅱ）△ABC 的面积为S =12bcsinA =√24bc ，又已知及余弦定理可得4=b 2+c 2−2bccosA ≥2bc −2bccosA =(2−√2)bc ， ∴bc ≤42−√2，当且仅当b ＝c 时，等号成立， ∴面积S =12⋅bcsinA ≤√2+1， 即面积最大值为√2+1．18．（12分）如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且AE ＝1． （Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使三棱锥A ﹣BF ﹣E 所成角的余弦值为√64？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AE ⊥平面BCE ， ∴AE ⊥BE ，AE ⊥BC ， 又BC ⊥AB ， ∴BC ⊥平面ABE ， ∴平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）以A 为原点建立空间坐标系如图， ∵AE ＝1，AB ＝2，AE ⊥BE ， ∴BE =√3， 设AF ＝h ，则F （0，0，h ），E （√32，12，0），B （0，2，0）， ∴BE →=(√32，−32，0)，BF →=(0，−2，ℎ)， 设平面BEF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅BE →=0n →⋅BF →=0⇒{x −√3y =02y −ℎz =0， 取y ＝1，得n →=(√3，1，2ℎ)，易知，m →=(1，0，0)为平面ABF 的一个法向量， 由题意得：|cos ＜m →，n →|=|m →⋅n→|m →||n →||=√3√4+4ℎ2=√64，解得：h ＝1，故当F 为AD 中点时，满足题意．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与椭圆x 24+y 23=1的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M ． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求|AB||MF|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆x 24+y 23=1知，其右焦点为（1，0），即抛物线的焦点为F （1，0）， ∴p2=1，解得p ＝2；∴抛物线C 的标准方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）①当动弦AB 所在的直线斜率不存在时，易得|AB |＝2p ＝4，|AB||MF|=2；②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知AB 的斜率不为0， 设AB 所在直线方程为y ＝k （x ﹣1），且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程组{y 2=4x y =k(x −1)，消去y 得k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0；∴x 1+x 2=2(k 2+2)k2，x 1•x 2＝1，且△＝16（k 2+1）＞0；∴|AB |=2|x 1﹣x 2|=2√(2k 2+4k 2)2−4=4(k 2+1)k2； FM 所在的直线方程为y =−1k （x ﹣1），联立方程组{y =−1k (x −1)x =−1，求得点M （﹣1，2k ），∴|MF |=√22+4k2=2√1+k2k2，∴|AB||MF|=4(k2+1)k22√1+k2k2=2√1+1k2＞2；综上所述，|AB||MF|的最小值为2．20．（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如表所示：分数a95≤a≤10085≤a＜9575≤a＜8560≤a＜75a＜60人数25501005025参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.40.3（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d【解答】解：（Ⅰ）列联表如下：优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 50 200 250 没有学习大学先修课程 1009001000总计1501100 1250由列联表可得K 2=1250(50×900−200×100)2250×1000×150×1100≈18.939＞6.635．∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系． （Ⅱ）（i ）由题意得所求概率为： p =25250×0.9+50250×0.8+100250×0.6+50250×0.4+25250×0.3=35． （ii ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则X ～X （4，35），P （X ＝4）=C 4k (35)k (25)4−k ．k ＝0，1，2，3，4，∴X 的分布列为：X 01234P166259662521662521662581625估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数为150×35=90． 21．（12分）已知函数f （x ）=ax 2+bx+1e x．（Ⅰ）当a ＝b ＝1时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若f （1）＝1，且方程f （x ）＝1在区间（0，1）内有解，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝b ＝1时，f(x)=x 2+x+1e x ，则f′(x)=x−x 2ex ，解不等式f ′（x ）＞0，得0＜x ＜1，所以，函数f （x ）在（0，1）上单调递增； 解不等式f ′（x ）＜0，得x ＜0或x ＞1，所以，函数f （x ）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上单调递减，因此，函数f （x ）的极小值为f （0）＝1，极大值为f （1）=3e ； （Ⅱ）由f （1）＝1得b ＝e ﹣1﹣a ，由f （x ）＝1，得e x ＝ax 2+bx +1，设g （x ）＝e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，则g （x ）在（0，1）内有零点，设x 0为g （x ）在（0，1）内的一个零点，由g （0）＝g （1）＝0知，g （x ）在（0，x 0）和（x 0，1）上不单调，设h （x ）＝g ′（x ），则h （x ）在（0，x 0）和（x 0，1）上均存在零点，即h （x ）在（0，1）上至少有两个零点．g ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣b ，h ′（x ）＝e x ﹣2a ．当a ≤12时，h ′（x ）＞0，h （x ）在（0，1）上单调递增，h （x ）不可能有两个及以上的零点；当a ≥e2时，h ′（x ）＜0，h （x ）在（0，1）上单调递减，h （x ）不可能有两个及以上的零点；当12＜a ＜e 2时，令h ′（x ）＝0，得x ＝ln （2a ）∈（0，1），所以，h （x ）在（0，ln （2a ））上单调递减，在（ln （2a ），1）上单调递增， h （x ）在（0，1）上存在极小值h （ln （2a ）），若h （x ）有两个零点，则有h （ln （2a ））＜0，h （0）＞0，h （1）＞0， h （ln （2a ））＝3a ﹣2aln （2a ）+1﹣e (12＜a ＜e2)，设m(x)=32x −xlnx +1−e(1＜x ＜e)，则m′(x)=12−lnx ，令m ′（x ）＝0，得x =√e ． 当1＜x ＜√e 时，m ′（x ）＞0，函数m （x ）单调递增；当√e ＜x ＜e 时，m ′（x ）＜0，函数m （x ）单调递减．所以，m(x)max =m(√e)=√e +1−e ＜0，所以，h （ln （2a ））＜0恒成立，由h （0）＝1﹣b ＝a ﹣e +2＞0，h （1）＝e ﹣2a ﹣b ＞0，得e ﹣2＜a ＜1． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1（t 为参数），曲线C 的参数方程是{x =2+2cosφy =2sinφ，（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP ：θ1＝α（其中0＜α＜π2）与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP |． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 的参数方程是{x =t y =t +1（t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：x ﹣y +1＝0． 转换为极坐标方程为：ρcos θ﹣ρsin θ+1＝0． 曲线C 的参数方程是{x =2+2cosφy =2sinφ，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4， 转换为极坐标方程为：ρ＝4cos θ． （Ⅱ）由于0＜α＜π2， 所以：|OP |＝4cos α， |OQ |=1|sin(α+π2)−cos(α+π2)|=1sinα+cosα．所以：S △OPQ =12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以：tan α＝1， 由于：0＜α＜π2， 故：α=π4，所以：|OP |＝4cos π4=2√2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）若f （x ）+2g （x ）的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|． f （x ）+2g （x ）＝|2x +a |+2|x ﹣1| ＝|2x +a |+|2x ﹣2|≥|2x +a ﹣（2x ﹣2）| ＝|a +2|＝1，解得a ＝﹣1或a ＝﹣3；（Ⅱ）x ∈[12，1]时，不等式f （x ）+g （x ）＜1，即：|2x +a |+|x ﹣1|＜1，可得：|2x +a |+1﹣x＜1，∴|2x +a |＜x ． ∴−a3＜x ＜﹣a ，不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，即：−a3＜12且﹣a ＞1，∴−32＜a ＜−1． 实数a 的取值范围：（−32，﹣1）．。

河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}032|{2<--=x x x B ，则=B A （ ） A ．)12,2( B ．)3,1(- C ．)12,1(- D ．)3,2( 2．已知i 为虚数单位，若),(11R b a bi a ii∈+=-+，则=+b a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．23．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．101 B ．51 C ．103 D ．524．汽车以s m t v /)23(+=作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是（ ） A ．m 5 B ．m 211 C ．m 6 D ．m 2135．为考察B A ,两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果D ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（ ）A ．152B ．15C ．2D ．47．已知数列}{n a 满足：2)1(11=-+++n n n a a ，则其前100项和为（ ） A ．250 B ．200 C ．150 D ．1008．已知锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，则)sin(sin 2A B A-的取值范围是（ ） A. )22,0( B. )23,21( C. )22,21( D.)23,0( 9．设201721,,,a a a 是数列2017,,2,1 的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F 的值为（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．在三棱锥ABC S -中，BC SB ⊥，AC SA ⊥，BC SB =，AC SA =，SC AB 21=，且三棱锥ABC S -的体积为239，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与函数x y =的图象交于点P ，若函数x y =的图象在P 处的切线过椭圆的左焦点)0,1(-F ，则椭圆的离心率是（ ） A ．213- B ．215- C ．223- D ．225-12．若关于x 的方程0=+-+m e x e e x xxx 有3个不相等的实数解321,,x x x ，且3210x x x <<<，其中R m ∈，71828.2=e ，则)1)(1()1(3213221---x x x e x e x e x 的值为（ ） A ．1 B ．m -1 C ．m +1 D ．e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知)2,3(-=a ，)2,0(=+b a ，则=||b .14．已知二项式n xx )1(2+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是（用数字作答）.15．已知P 是双曲线C ：1222=-y x 右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，则||||1PQ PF +的最小值是 .16．已知动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+++≥≤+1)1)(1(14222y y x x x y x ，则x y x 622-+的最小值是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 中，11=a ，其前n 项的和为n S ，且满足)2(1222≥-=n S S a n nn .（1）求证：数列}1{nS 是等差数列； （2）证明：当2≥n 时，2313121321<++++n S n S S S .18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数）19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060=∠BAD ，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，并且二面角C AE B --的大小为045，求AD PD :的值.20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点B A ,，当直线l 的倾斜角是045时，AB 的中垂线交y 轴于点)5,0(Q .（1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点N M ,，记劣弧MN 的长度为S ，当直线l 绕F 点旋转时，求||AB S的最大值.21．已知函数)(221ln )(2R k kx x x x f ∈-+=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，证明：23)(2-<x f .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 12（t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于B A ,两点，若P 点的直角坐标为)1,2(，求||||||PB PA -的值.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式m x x ≤-+|12||2|有解. （1）求实数m 的取值范围；（2）已知m b a b a =+>>,0,0，证明：312222≥+++b a b b a a .河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题答案一、选择题1-5：CBCDB 6-10：BDCDC 11-12：BA 二、填空题13．5 14．10 15．221+ 16．940- 三、解答题17．解：（1）当2≥n 时，12221-=--n nn n S S S S ，112--=-n n n n S S S S2111=--n n S S ，从而}1{nS 构成以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，122)1(111-=⨯-+=n n S S n ，∴121-=n S n ∴当2≥n 时，)111(21)22(1)12(11nn n n n n S n n --=-<-=从而232123)1113121211(21113121321<-<--++-+-+<++++n n n S n S S S n . 18．解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：32515158=+⨯人，80岁以下应抽取：52515258=+⨯人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：6160020452015=+++ 用样本估计总体，80岁及以上长者为：116166=⨯万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为%75.2%10040011=⨯. （3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，54)0(==X P ，6009560047551)120(=⨯==X P ，600176008551)200(=⨯==X P ，60056002551)220(=⨯==X P ，60036001551)300(=⨯==X P ，则随机变量X 的分布列为：286003300522017200951200=⨯+⨯+⨯+⨯+=EX全市老人的总预算为84102176.210661228⨯=⨯⨯⨯元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.19.解：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，∴AC PD ⊥， 又ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，故⊥AC 平面PBD ∴平面⊥EAC 平面PBD .（2）解：连结OE ，因为//PD 平面EAC ， 所以OE PD //，所以⊥OE 平面ABCD ， 又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OE OB OA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系设h OE m OB ==,，则m OA 3=，),0,0(),0,,0(),0,0,3(h E m B m A向量)0,1,0(1=n 为平面AEC 的一个法向量 设平面ABE 的一个法向量为),,(2z y x n =， 则02=⋅AB n 且02=⋅BE n 即03=+-my mx 且0=-hz my ， 取1=x ，则3=y ，h mz 3=，则)3,3,1(2hm n = ∴2221212103313|,cos |45cos hm n n ⋅++==><=，解得26=m h故2:6:2:2:===m h m h AD PD .20.（1）)2,0(pF ，当l 的倾斜角为045时，l 的方程为2p x y +=，设),(),,(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 222得0222=--p px x p p x x y y p x x 3,2212121=++=+=+，得AB 的中点为)23,(p p D AB 中垂线为)(23p x p y --=-0=x 代入得525==p y∴2=p（2）设l 的方程为1+=kx y ，代入y x 42=得0442=--kx x444)(2||22121+=++=++=k x x k y y ABAB 中点为)12,2(2+k k D令α2=∠MDN （弧度），||||212AB AB S ⋅=⋅=αα∴α=||AB S∴D 到x 轴的距离12||2+=k DE∴22112212||21||cos 222+-=++==k k k AB DE α当02=k 时，αcos 取最小值21，α的最大值为3π 故||AB S的最大值为3π.21．（1）kx x x x f 221ln )(2-+=，),0(+∞∈x 所以xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+=（1）当0≤k 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增（2）当0>k 时，令12)(2+-=kx x x t ， 当0442≤-=∆k 即10≤<k 时，0)(≥x t 恒成立，即0)('≥x f 恒成立 所以)(x f 在),0(+∞上单调递增 当0442>-=∆k ，即1>k 时， 0122=+-kx x ，两根122,1-±=k k x 所以)1,0(2--∈k k x ，0)('>x f )1,1(22-+--∈k k k k x ，0)('<x f ),1(2+∞-+∈k k x ,0)('>x f 故当)1,(-∞∈k 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增 当),1(+∞∈k 时，)(x f 在)1,0(2--k k 和),1(2+∞-+k k 上单调递增 )(x f 在)1,1(22-+--k k k k 上单调递减.（2）)0(221ln )(2>-+=x kx x x x f k x xx f 21)('-+= 由（1）知1≤k 时，)(x f ),0(+∞上单调递增，此时)(x f 无极值当1>k 时，xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+= 由0)('=x f 得0122=+-kx x 0442>-=∆k ，设两根21,x x ，则k x x 221=+，121=⋅x x 其中11102221-+=<<--=<k k x k k x )(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增121ln )1(21ln )(21ln 221ln )(22222222222122222222--=+-+=+-+=-+=x x x x x x x x x x x x kx x x x f 令)1(121ln )(2>--=x x x x t 01)('<-=x x x t ，所以)(x t 在),1(+∞上单调递减，且23)1(-=t 故23)(2-<x f . 22. 解：（1）直线l 的普通方程为1-=x y ，θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=， 所以θρθρρcos 4sin 42+=所以曲线C 的直角坐标方程为04422=--+y x y x .（2）点)1,2(P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 221222（t 为参数） 代入04422=--+y x y x ， 得0722=--t t ，设两个实根为21,t t ，则07,22121<-==+t t t t ，即21,t t 异号 所以2||||||||||||||2121=+=-=-t t t t PB PA .23.解：（1）1|)12(2||12||2|=--≥-+x x x x ，故1≥m（2）由题知1≥+b a ，故222)()22)(22(b a b a b a ba b b a a +≥++++++， ∴31)(312222≥+≥+++b a b a b b a a .。

2019届河南省原名校高三上学期第一次联考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知，，则（）A ．_________ ___________B ．________________________C ．__________________________________________D ．2. 命题“ ，使”的否定是（）A ．，使________________________B ．不存在，使C ．，使________________________D ．，使3. 在中，若点满足，则（）A ． ____________________B ．_________C ．____________________________D ．4. 为了纪念抗日战争胜利周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为（）A ．______________________B ．______________C ．______________________ D ．5. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）6. 设，，，，，，则（）A ．______________B ． ___________________C ．______________ D ．7. 由曲线，直线，及轴所围成图形的面积是（）A ．______________B ．___________________C ．_________________ D ． [8. 已知集合，，从到的映射满足，那么映射的个数为（）A ．________________________B ．______________________C ．______________ D ．9. 若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则（）A ．B ．C ．D ．10. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A ．升______________B ．升________________________C ．升______________ D ． 1升11. 下列命题中是假命题的是（）A ．，使是幂函数，且在上递减B ．函数的值域为，则或C ．关于的方程至少有一个负根的充要条件是D ．函数与函数的图象关于直线对称12. 设，已知函数的定义域是，值域是，若函数有唯一的零点，则（）A ． 2________________________B ．________________________C ． 1 ___________________D ． 0二、填空题13. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为14. 若，且，则15. 已知点，，，，则向量在方向上的投影为．16. 已知函数，给出下列四个命题：① 存在实数，使得函数恰有2个不同的零点；② 存在实数，使得函数恰有4个不同的零点；③ 存在实数，使得函数恰有5个不同的零点；④ 存在实数，使得函数恰有8个不同的零点．其中真命题的序号是（把你认为正确的序号全写上）．三、解答题17. （本小题满分1 0 分）设命题函数的定义域为；命题不等式对一切正实数均成立．．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数的取值范围．18. （本小题满分1 2 分）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为．数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．19. （本小题满分1 2 分）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．20. （本小题满分1 2 分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池底面半径为米，高米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为元（为圆周率）．（1）将表示成的函数，并求函数的定义域；（2）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．21. （本小题满分1 2 分）已知是定义在上的奇函数，且，若，，时，有成立．（1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．22. （本小题满分1 2 分）已知函数（）．（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，函数有零点，求实数的最大值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2019年河南省六市高三第一次联考试题数学（理科）参考答案一、选择题1-6 CDBACD 7-12 ACDADB 二、填空题13．－3; 14．－5; 1516. 三、解答题17．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）当n =1时，12132S a =-，21132a a =+， ----------------1分 当n ≥2时，1132n n S a -=-，与已知式作差得a n =a n +1﹣a n ，即a n +1=2a n （n ≥2）， 欲使{a n }为等比数列，则a 2=2a 1=2r ，又21132a a =+，∴132r =， ------------4分故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以62n n a -=---------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ﹣6，∴6,6||6,6n n n b n n -<⎧=⎨-≥⎩, ------------------------8分若n ＜6，212112n n n n T b b b -=----=，若n ≥6，2125611302n n n nT b b b b b -=----+++=+，∴2211, <621130,62n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪+≥⎪⎩． -------------------------------12分18.（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）三个部门的员工总人数为48+32+32=112（人） 甲部门抽取的员工：3272112⨯=；乙部门抽取的员工：4873112⨯=； 丙部门抽取的员工：3272112⨯=------------------4分 （Ⅱ）0,1,2,3X =12334433772133433377418(0);(1)3535121(2);(3)3535C C C P X P X C C C C C P X P X C C === ====== ===--------------6分所以X 的分布列为：418121459()012335353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯== 22229491891291()(0)(1)(2)(3)73573573573549D X 24=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=， -----9分（ii ）从7人中抽取的3人，有37C 种等可能的结果，其中A 有12213434C C C C +种结果，所以1221343437306()357C C C C P A C +===.------------12分 19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）证明：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF //12AB .∵DC //12AB ，∴CD //GF ，∴四边形CFGD 为平行四边形，∴CF ∥DG . -------------------------------------------1分 ∵AB ⊥平面BEC ， ∴AB ⊥CF .∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面ABE .-----------------------------------------2分 ∵CF ∥DG ,∴DG ⊥平面ABE . ∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE . -----------------------------------------4分 （Ⅱ）过E 作EO ⊥BC 于O . ∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥EO .∵AB ∩BC ＝B ，∴EO ⊥平面ABCD . --------------5分以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A (0，－2,4)，B (0，－2,0)，D (0,2,2)，E (23，0,0)，∴ED →＝(－23，2,2)，EA →＝(－23，－2,4)，EB →＝(－23，－2,0)．-------------------------------------6分 设平面EAD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0，n ·EA →＝0，即⎩⎨⎧ －3x 1＋y 1＋z 1＝0，－3x 1－y 1＋2z 1＝0.取z 1＝2得x 1＝3，y 1＝1，则n ＝(3，1,2)，----------------------------8分 设平面BDE 的法向量为m ＝(2x ，2y ，2z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·ED →＝0，m ·EB →＝0，即⎩⎨⎧－3x 2＋y 2＋z 2＝0，3x 2＋y 2＝0，取2x ＝1，得2y ＝－3，2z ＝23， 则m ＝(1，－3，23)．----------------------------------10分∴(3,1,2)(1,3,23)cos <,>=|41312-==++n m n m |n |m |. 又由图可知，二面角A ­DE ­B 的平面角为锐角， ∴其余弦值为64．----------------------------------12分20．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，则122212()42PF PF PF PF a +≤==,所以2a = 双曲线221412x y -=2=，可知椭圆C 的离心率为12，可知12c a =，解得221,13c b a ==-=所以椭圆C 的方程为22143x y += -------------------------4分（Ⅱ）点3(1,)2P -在椭圆C 上，显然两直线12,l l 的斜率存在，设为12,k k ，1122(,),(,)M x y N x y ，由于直线与圆2223(1)(0)2x y r r ++=<<相切，可知12k k =-直线113:(1)2l y k x -=+，联立方程组2211433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，可得222111133(34)8()4()12022k x k k x k +++++-=-------------------8分所以 2111111221138()4123213434k k k k x x k k +--+-=-⇒=++,所以211221412334k k x k -++=+, 112212434k x x k --=+ 又2112218634k x x k -++=+2111211211122118612()2()23434k k y y k x x k k k k k -+-=++=+=++--------------10分 可知直线MN 的斜率为12121112211234124234k y y k k k x x k -+===---+， 故所求的直线MN 的斜率为12-. ------------------------------12分21．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）因为(0)0=f ，所以0x =为()y f x =的一个零点， ------------------1分 当0x >时，2()(1f x x x =--，设2()1x x ϕ=--，则()20x x ϕ'=+>，∴()x ϕ在(0,)+∞单调递增， ------------------3分又(1)10ϕ=-<，(2)30ϕ=>，故()x ϕ在(0,)+∞上有唯一零点，且在(1,2)内，所以在有且仅有2个零点. ----------------------------5分（Ⅱ）2(1)()ln ln ln (1)(1)1ax x ag x x x x x x x x +==+=++--，定义域为(0,1)(1,)+∞，222(2)1()(1)(1)a x a x g x x x x x 1-++'=-=--， ----------------------------6分设2()(2)1h x x a x =-++，要使()y g x =在(0,)e1内有极值，则()0h x =有两个不同的根1x ，2x ，且有一根在(0,)e1， -----------------------------8分所以2(2)40a ∆=+->，解得0a >或4a <-，不妨设10ex 1<<，又121x x =， 所以120e ex x 1<<<<， ---------------------------------10分 所以(0)1h =，则只需()0e h 1<，即(2)102e ea 11-++<，解得2e ea 1>+-， 所以a 的取值范围为2e ea 1>+-----------------------------------12分 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 【解析】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 2ρθρθ-=，因为曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，所以2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ---------------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22AB ∴=-=，()3,0M 点到射线()06θρπ=≥的距离为33sin 62d π==， 所以M AB ∴△的面积为()1132222AB d ⋅=⨯⨯=． -------------------10分 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于或或， 解得或或，综上所述，不等式的解集为．-------------------4分（Ⅱ）当时，则320x =->，只需()()13120g -=-->，不可能！当时，()33,225233,x m x mg x x x m x m x x m x m--≥⎧=++--=-+-=⎨+-<⎩，要使函数恒为正值，则()()()min 11304g x g m m =-=-+->⇒> 当1m <-时，()225330g x x x m x m =++--=-->恒成立， 只需要()()min 31306g x m m =--->⇒<- 综上所述，实数的取值范围是：()(),64,-∞-+∞．-------------------10分12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩8x ≤-∅2x ≥()1f x x ≥-(][),82,-∞-+∞1m =-()2251315g x x x x =+-++=+-1m >-()()g x f x x m =+-m。

2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {}，B = {}，则 032|2≤--x x x )2ln(|x y x -==B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数,则i z +=1=+25z zA. B. C. D.225i +-225i --225i +225i -3. 的值为 000040sin 200cos 50sin 70cos -A. B. C. D. 23-2321-214.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。

某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.B. C. D. 151415192975.已知函数，则“a =0”是“函数为奇R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2)(x f 函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何 体的表面积为 A. B. π264-π264+C. D. π280-π280+7.若，则x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-A. b >c >a B. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数的图象向左平移个单位长度，πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 4π平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是 )0,2(π)cos()(ϕ+=x x g ]6,2[ππ-A. B. C. D. 21-23-21229.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是y x ,⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x y x z -=3A. -6B. C. -1 D.623-10. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的面4,cos cos 2==-b BCb c a 积的最大值A. B.C. D.343233311. 抛物线的焦点为F ，设（)，B()是抛物线上的两个动点，若x y 82=11,y x 22,y x ，则∠AFB 的最大值为 ||332421AB x x =++A.B.C. D. 3π43π65π32π12.函数是定义在（1，+∞)上的可导函数，为其导函数，若)(x f )('x f ,则不等式<0的解集为)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f )(2e f A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数i z +=1,则=+25z zA. 225i +-B. 225i --C. 225i +D. 225i -3. 040sin 200cos 50sin 70cos -的值为 A. 23-B. 23C. 21-D. 21 4.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。

某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.1514 B. 151 C. 92 D. 97 5.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a=0”是“函数)(x f 为奇函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何 体的表面积为A. π264-B. π264+C. π280-D. π280+ 7.若x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-，则A. b >c >aB. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值是 A. 21-B. 23-C. 21D.229.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.610. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值A. 34B. 32C. 33D. 311. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若||332421AB x x =++，则∠AFB 的最大值为 A.3π B. 43π C. 65π D.32π12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

河南省安阳市2019届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】∵，；∴．故选：A．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于简单题目.2.已知复数：，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．【详解】，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．3.已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A. 85B. 84C. 83D. 81【答案】A【解析】【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【详解】由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：．故选：A．【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知向量，，，则＝（）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】B【解析】【分析】将两边平方可得．【详解】∵，∴，∴，∴故选：B．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．5.已知抛物线的焦点为F，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M，N两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出M的坐标，得到p，然后求解|MF|．【详解】抛物线的焦点为，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于，两点，若，可得：，可得，所以，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.设，，,则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与1的大小，利用对数式的运算性质得到c大于1，从而得到结论．【详解】因为在上是为增函数，且，所以，即．，而．所以．故选：B．【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．7.的最小值为（）A. 18B. 16C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．【详解】，故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.在的展开式中，x的系数为（）A. 32B. ﹣40C. ﹣80D. 80【答案】C【解析】【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．【详解】的展开式的通项为，令，得r＝1．∴x的系数为，故选：C．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列区间使函数单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图象求出三角函数的解析式，再由正弦函数的单调性求出其单调区间即可。

2019年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，B＝{y|y＝2+}，则A∩B＝（）A．[2，+∞）B．（1，2）C．（1，2]D．（1，+∞）2．（5分）已知复数：z＝，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A．85B．84C．83D．814．（5分）已知向量＝（2，1），|+|＝4，•＝1，则||＝（）A．2B．3C．6D．125．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M，N两点，若|MN|＝4，则|MF|＝（）A．B．6C．D．36．（5分）设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c7．（5分）+的最小值为（）A．18B．16C．8D．68．（5分）在（2﹣）5的展开式中，x的系数为（）A．32B．﹣40C．﹣80D．809．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列区间使函数f（x）单调递减的是（）A．[﹣，π]B．[﹣，﹣]C．[﹣，]D．[，]10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为，则h＝（）A．B．2C．2D．11．（5分）若函数f（x）＝x4+ax3+x2﹣b（a，b∈R）仅在x＝0处有极值，则a的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[2，6]D．[﹣1，4]12．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点恰为圆Ω：x2+y2﹣4x﹣8＝0的圆心，且双曲线C的近线方程为y＝±x．点P在双曲线C的右支上，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，|PF1|＝（）A．2B．4C．6D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）在区间[﹣1，3]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为．14．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x﹣4y的最小值是．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，点P在线段OB上移动（不与点O，B重合），异面直线A1D与C1P所成的角为θ，则cosθ的取值范围是．16．（5分）如图，平面四边形MNPQ中，∠MQP＝90°，∠NMQ＝60°，MN＝3，NQ＝2，则NP的最小值为．三、解答题：共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（）A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4}C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4}D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）＝|sin x|B．f（x）＝lnC．f（x）＝（e x﹣e﹣x）D．f（x）＝ln（﹣x）5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t 的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（）A．8B．9C．10D．118．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[] 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．16+（32+16+16）πB．16+（16+16+16）πC．16+（32+32+32）πD．16+（16+32+32）π10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N 分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q 点的轨迹为（）A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（）A．B．1C．D．212．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（）A．31B．32C．33D．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为14．（5分）已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有种．（用数字作答）．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P （x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12．（I）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）令c n＝+a n，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．组数分组天数第一组[50，80）3第二组[80，110）4第三组[110，140）4第四组[140，170）6第五组[170，200）5第六组[200，230）4第七组[230，260）3第八组[260，290）1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．【解答】解：∵复数＝的实部和虚部相等，∴，解得a＝．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（）A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4}C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4}D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∪N和M∩N．【解答】解：∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（）A．B．C．D．【分析】建立以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴的直角坐标系得：B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（4﹣x，﹣y），由•≥0得：（x﹣2）2+y2≥4，由其几何意义和几何概型可得解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（4﹣x，﹣y），由•≥0得：（x﹣2）2+y2≥4，由几何概型可得：p＝＝1﹣＝，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积运算及几何概型，属中档题4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）＝|sin x|B．f（x）＝lnC．f（x）＝（e x﹣e﹣x）D．f（x）＝ln（﹣x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及（﹣1，1）上的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝|sin x|，为偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f （x），为奇函数，设t＝＝﹣1+，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝（e x﹣e﹣x），有f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）＝（e x+e﹣x）＞0，在R上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝ln（﹣x），其定义域为R，f（﹣x）＝ln（+x）＝﹣ln（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，设t＝﹣x＝，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln（﹣x）在R上为减函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A．B．C．D．【分析】设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα＝＝，解得a＝3．∵最小角α的余弦值为，∴＝．∴＝．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t 的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意，可根据向量运算法则得到＝+（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值【解答】解：由题意及图，＝，又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），又＝t+，所以，解得m＝，t＝，故选：C．【点评】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题难度较低，7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接EF1，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．【解答】解：由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，由圆E：x2+（y+）2＝1可得E（0，﹣），半径r＝1，|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[]【分析】首先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T＝π，所以：ω＝2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）＝sin（2x++θ）是偶函数，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：当k＝0时．则，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，单调递减区间为：[]，由于[]⊂[]，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．16+（32+16+16）πB．16+（16+16+16）πC．16+（32+32+32）πD．16+（16+32+32）π【分析】首先把三视图进行复原，进一步求出各个几何体的表面积，最后确定总面积．【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：，设中间的圆锥展开面的圆心角为n，所以：，解得：n＝，所以圆锥的展开面的面积为S＝，所以：中间的圆锥的表面积为，同理得：下面的圆锥的表面积为，所以总面积为：S＝，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，主要考查几何体的体积公式的应用和运算能力的应用，属于中档题．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N 分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q 点的轨迹为（）A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分【分析】画出图形，利用直线与平面平行以及垂直关系，然后推出Q点的轨迹为线段．【解答】解：如图当N与C重合，M与B1重合时，MN⊂平面BCC1B1，MN的中点为O；当N与A1重合，M与A重合时，MN∥平面BCC1B1，MN的中点为H；一般情况，如平面PQRK∥平面BCC1B1，可得点M，N，取MN的中点D，作DE⊥KR于E，NF⊥KR于F，易知，E为KR中点，且D在OH上，故选：C．【点评】本题考查直线与平面的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（）A．B．1C．D．2【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|CD|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）＝|CD|．∴≥1，即的最小值为1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义和余弦定理求的最值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（）A．31B．32C．33D．34【分析】由x＝0∈A，画出函数图象，x（f（x）﹣a）≥0等价于当x＞0时，f（x）≥a；当x＜0时，a≥f（x），平移y＝a，符合条件的整数根，除零外有三个即可，由此能求出满足条件的整数a的个数．【解答】解：∵x＝0∈A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．画出f（x）的图象如下图：当x＞0时，f（x）≥a；当x＜0时，a≥f（x）．即y轴左侧的图象在y＝a下面，y轴右侧的图象在y＝a上面，∵f（3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f（4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f（﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4，f（﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y＝a，由图可知：当﹣24＜a≤﹣9时，A＝{1，2，3}，符合题意；a＝0时，A＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数a的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故选：D．【点评】本题考查不等式的整数解的个数的求示，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为20【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：令x＝1，可得（）n的展开式的各项系数和为2n＝64，∴n＝6，故（）n＝（）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x3r﹣6，令3r﹣6＝3，可得r＝3，故展开式中x3的系数为＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是[﹣13，﹣4]【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝的几何意义求解得答案．【解答】解：由变量x，y满足作出可行域如图：A（2，3），解得B（，），z＝的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．∵k DA＝＝﹣4，k DB＝＝﹣13．∴z＝的取值范围是[﹣13，﹣4]．故答案为：[﹣13，﹣4]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有144种．（用数字作答）．【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共＝4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共＝72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，【解答】解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共＝4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共＝72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以＝2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P （x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是①②⑤．【分析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dx＝π•（）2+×1×1+π×12＝+，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12．（I）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）令c n＝+a n，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（I）设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；（Ⅱ）b n＝log2a n＝log24n＝2n，c n＝+a n＝+4n＝﹣+4n，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（I）数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，即有log2a1+log2a2+log2a3＝12，log2（a1a2a3）＝12，即a23＝212，即有a2＝16，q＝4，则a n＝4n；（Ⅱ）b n＝log2a n＝log24n＝2n，c n＝+a n＝+4n＝﹣+4n，前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（4+16+…+4n）＝1﹣+＝+．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥P A，AE⊥AD，从而AE⊥平面P AD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，∴AE⊥P A，AE⊥AD，∵P A∩AD＝A，∴AE⊥平面P AD，∵点F在PC上移动，∴AE⊂平面AEF，∴无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．解：（Ⅱ）直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F恰为PC的中点时，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，AP＝x，则E（，0，0），M（0，1，），＝（），平面P AD的法向量＝（1，0，0），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得x＝AP＝2，C（，1，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），＝（），＝（），＝（），设平面ACF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），设平面AEF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．组数分组天数第一组[50，80）3第二组[80，110）4第三组[110，140）4第四组[140，170）6第五组[170，200）5第六组[200，230）4第七组[230，260）3第八组[260，290）1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值；（Ⅱ）①由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；②由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2+114×5+2x＝118×9，解得x＝172；（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI在[170，180）内，则AQI小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P＝＝；②由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．【点评】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题．20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；（2）由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为﹣1，再联立直线与椭圆方程，得根于系数关系，逐步求解得证．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0，0），∴，，∵，∴x0＝x，，代入圆的方程得，，即，故动点P的轨迹为E的方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，D（﹣2，0），∵，∴DA⊥DB，设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，∴，，…①∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，…②由DA⊥DB得：，即﹣y1y2＝x1x2+2（x1+x2）+4，…③由②③得：＝0，…④把①代入④并整理得：7m2﹣16km+4k2＝0，得：（7m﹣2k）（m﹣2k）＝0，即m＝或m＝2k，故直线l的方程为y＝k（x+），或y＝k（x+2），当直线l的方程为y＝k（x+）时，l过定点（﹣）；当直线l的方程为y＝k（x+2）时，l过定点（﹣2，0），这与A，B不是左顶点矛盾．故直线l的方程为y＝k（x+），过定点（﹣）．【点评】此题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1+]＞0，根据0＜x1＜1时，＞0.1＜x1＜2时，＜0．即h（x）＝2lnx+（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．【解答】解：（I）f′（x）＝2x﹣8+，（x＞0），∵当x＝1时，f（x）取得极值，∴f′（1）＝2﹣8+a＝0，解得a＝6，此时，f（x）＝x2﹣8+6lnx，f′（x）＝2x﹣8+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，故f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，故x＝1是极大值点；（II）当函数f（x）在（0，+∞）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时，则u（x）＝2x2﹣8x+a＝0在（0，+∞）上有两个不等正根．∴，∴0＜a＜8．∴x1+x2＝4，x1x2＝，0＜x1＜x2，∴x2＝4﹣x1，a＝2x1x2＝2x1（4﹣x1），可得0＜x1＜2．∴＞t（4+3x1﹣x）成立，即＞t（4﹣x1）（x1+1），即＞t（x1+1），即﹣t（x1+1）＞0，即[2lnx1+]＞0，且0＜x1＜1时，＞0．1＜x1＜2时，＜0．即h（x）＝2lnx+（0＜x＜2）．h′（x）＝（0＜x＜2），①t＝0时，h′（x）＝＞0．∴h（x）在（0，2）上为增函数，且h（1）＝0，∴x∈（1，2）时，h（x）＞0，不合题意舍去．②t＞0时，h′（x）＞0．同①不合题意舍去．③t＜0时，（i）△≤0时，解得t≤﹣1，h′（x）≤0，在（0，2）内函数h（x）为减函数，且h（1）＝0，可得：0＜x＜1时，h（x）＞0．1＜x＜2时，h（x）＜0，∴[2lnx+]＞0成立．（ii）△＞0时，﹣1＜t＜0，h′（x）分子中的二次函数对称轴x＝﹣＞1，开口向下，且函数值＝2（t+1）＞0，即a＝min{﹣，2}，则x∈（1，a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（1）＝0，h（x）＞0，故舍去．综上可得：t的取值范围是t≤﹣1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换和图象的旋转问题求出结果．（Ⅱ）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，整理得：x2+y2﹣6y+9＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝6sinθ，A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y2＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cosθ．（Ⅱ）由于射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，则：|OQ|＝，|OP|＝，所以：，，所以：S△MPQ＝S△MOQ﹣S△MOP＝3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）代入a的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，x0＜a时，2a＞4，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝时，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6，故或或，解得：x＞或x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，故6×a＞2a+4，解得：a＞2，x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，综上，a∈（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。