时间复杂度概念

时间复杂度的表示时间复杂度是算法分析中的一个重要概念，用来衡量算法运行时间的速度。

在算法设计中，经常需要考虑算法时间复杂度的问题，只有通过合理的算法设计才能使算法在程序运行中具有高效率。

本文将介绍时间复杂度的基本概念和表示方法。

一、时间复杂度的基本概念时间复杂度就是一个算法运行时间和输入数据规模之间的函数关系，通常用“T(n)”表示，其中n表示输入数据的规模。

具体来说，时间复杂度表示的是算法的最劣运行时间，也就是对于输入规模为n的任意数据，算法在最坏情况下所需的时间。

例如，常见的线性查找算法的时间复杂度为O(n)，表示在最坏情况下，算法需要搜索n个元素，所需时间与n成正比。

而二分查找算法的时间复杂度为O(logn)，表示数据量每翻倍，算法的执行时间仅仅增加一个常数级别的时间。

二、时间复杂度的表示方法时间复杂度的表示方法主要有以下几种：1. 常数表示法：使用O(1)表示算法需要的固定时间，对于输入规模不同的数据，算法的执行时间不变。

例如，对于求解斐波那契数列的递归算法，由于每次只需要一次加法运算，所以时间复杂度为O(1)。

2. 最坏情况表示法：使用O(n)表示算法的最劣情况需要的运行时间，也就是算法运行时间与输入数据量n成线性关系。

例如，对于冒泡排序算法，每次需要比较n-i次，因此时间复杂度为O(n^2)。

3. 平均情况表示法：使用O(nlogn)表示算法的平均情况下所需要的时间，也就是对于输入规模为n的任意数据，算法在平均情况下的运行时间。

例如，对于快速排序算法，平均情况下需要nlogn的运行时间。

4. 最好情况表示法：使用O(n)表示算法在最优情况下所需要的时间，也就是对于特定的输入数据，算法在最优情况下的运行时间。

例如，插入排序算法在数据全部有序的情况下，时间复杂度为O(n)。

5. 动态表示法：使用O(T(n))表示算法运行的实际时间，其中T(n)为算法的实际运行时间。

这种表示方法通常用于特定算法的分析或特殊情况的分析。

链表的时间复杂度和空间复杂度
链表是一种常用的数据结构，它是由一组节点组成的有序集合，每个节点包含两个部分：数据域和指针域。

链表的优点在于可以随机访问链表中的任何一个节点，缺点在于插入、删除操作比较麻烦。

链表的时间复杂度指的是链表执行某个操作的时间复杂度。

链表的时间复杂度主要有以下几种：
增加、删除节点：在链表头和链表尾添加、删除节点的时间复杂度为O(1)，在链表中间添加、删除节点的时间复杂度为O(n)。

查找节点：在链表中查找某个节点的时间复杂度为O(n)。

链表的空间复杂度指的是链表所占用的存储空间。

链表的空间复杂度主要有以下几种：
静态链表：静态链表是指在编译时就分配好了存储空间的链表，它的空间复杂度为O(n)。

动态链表：动态链表是指在运行时动态分配存储空间的链表，它的空间复杂度为O(n)。

总的来说，链表的时间复杂度主要取决于链表的操作，增加、删除节点和查找节点的时间复杂度分别为O(1) 和O(n)。

链表的空间复杂度取决于是静态链表还是动态链表，静态链表的空间复杂度为O(n)，动态链表的空间复杂度也为O(n)。

需要注意的是，链表的时间复杂度和空间复杂度并不是固定的，实际情况会受到许多因素的影响，比如链表的结构、数据量等。

在使用链表时，应根据实际情况合理选择并使用适当的数据结构。

时间复杂度详解时间复杂度详解什么是时间复杂度•时间复杂度是一种衡量算法执行效率的方式。

•它表示算法的运行时间与输入大小的关系，为我们提供了衡量算法性能的指标。

时间复杂度的表示•时间复杂度使用大O符号（O）来表示。

•O(n)表示算法的时间复杂度与输入规模n成正比。

常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，无论输入规模的大小，算法的执行时间都保持不变。

•O(log n)：对数时间复杂度，随着输入规模的增加，算法的执行时间逐渐增长，但增长速度很慢。

•O(n)：线性时间复杂度，算法的执行时间与输入规模n成比例增长。

•O(n log n)：线性对数时间复杂度，随着输入规模的增加，算法的执行时间逐渐增长，但增长速度比O(n)慢。

•O(n^2)：平方时间复杂度，算法的执行时间与输入规模n的平方成比例增长。

•O(2^n)：指数时间复杂度，算法的执行时间随着输入规模n的增加而急剧增长。

•O(n!)：阶乘时间复杂度，算法的执行时间随着输入规模n的增加而急剧增长。

如何计算时间复杂度•首先，确定算法的基本操作。

•其次，根据算法的基本操作，分析每个操作的时间复杂度。

•最后，根据每个操作的时间复杂度，确定整个算法的时间复杂度。

如何选择合适的算法•在设计算法时，我们应该选择时间复杂度低的算法。

•当输入规模较小时，可以选用时间复杂度较高但简单易懂的算法。

•当输入规模较大时，应该尽量选择时间复杂度较低的算法。

总结•时间复杂度是一种衡量算法执行效率的方式，它表示算法的运行时间与输入规模的关系。

•常见的时间复杂度包括常数时间复杂度、对数时间复杂度、线性时间复杂度等。

•计算时间复杂度的步骤包括确定算法的基本操作、分析每个操作的时间复杂度以及确定整体的时间复杂度。

•在选择算法时，应该根据输入规模选择合适的时间复杂度。

参考资料：[腾讯课堂-计算机科学与技术](。

时间的复杂度详解时间复杂度是衡量算法运行时间的一种度量方式，用大O符号（O）来表示。

它描述了算法所需的计算步骤数随问题规模的增长率。

在计算机科学中，时间复杂度主要关注的是算法在处理大规模问题时所需的时间。

为了更好地理解时间复杂度，我们需要先了解一些基本概念。

1.基本操作在算法中，基本操作是指运算的最小单位。

它们通常是赋值、比较、运算、访问数组元素等。

基本操作的数量是衡量算法运行时间的关键。

2.渐近表示法时间复杂度使用大O符号来表示，表示算法运行时间的上界。

例如，如果一个算法的时间复杂度为O(n)，意味着算法的运行时间最多是输入规模n的某个常数倍。

大O符号忽略了低阶项和常数项，只关注随问题规模增长最快的那一项。

下面我们来详细讨论几个常见的时间复杂度。

1.常数时间复杂度O(1)无论输入规模大小，常数时间复杂度的算法都具有固定的运行时间。

例如，访问数组元素或者执行一个赋值语句。

常数时间复杂度通常是最理想的情况，但在实际中很难实现。

2.线性时间复杂度O(n)线性时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间也会线性增长。

例如，遍历一个数组或者链表中的所有元素。

每个元素都需要进行常数次的基本操作，所以总的时间复杂度为O(n)。

3.对数时间复杂度O(log n)对数时间复杂度通常出现在数据规模减半的情况下。

例如，在二分查找算法中，每次查找都可以将问题规模减半。

对数时间复杂度的算法是非常高效的，因为随着问题规模的增长，算法的运行时间只会以对数方式增长。

4.平方时间复杂度O(n^2)平方时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间会呈平方级别增长。

例如，嵌套循环中的每次迭代都需要进行常数次的基本操作。

平方时间复杂度的算法常常效率较低，通常不适用于处理大规模问题。

5.指数时间复杂度O(2^n)指数时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间呈指数级别增长。

例如，在TSP（旅行商问题）的暴力求解方法中，对于每个城市，旅行商都需要选择下一个未访问的城市，因此总的时间复杂度会呈指数级别增长。

时间复杂度，也称为时间复杂度分析，是一种研究解决算法问题所需
计算时间和存储空间的方法。

它是计算机程序性能评估的标准，也是
算法效率分析的主要工具。

设计算法的人花费的精力通常以时间复杂
度的概念来衡量，即努力使时间复杂度最低。

主定理是一种算法复杂度分析方法，它可以在考虑算法的其他参数时，很容易推出该算法的时间复杂度的上界. 主定理是一种综合运用三个不
同的参数(量规格、时间规格和空间规格)来估算算法复杂度并可获得关于算法执行时间、内存消耗等统计信息的完美技巧。

其中，'量规格'是指数据规模n的变化，而'时间规格'是指算法执行时间T(n)的变化，而'空间规格'是指算法所需空间S(n)的变化。

如果一个算
法是在量规格Θ(f(n)) 的情况下在时间规格Θ(g(n))和空间规格Θ(h(n))
中完成的，则可以用主定理对其进行求解，结果为Θ(f(n) * g(n) + h(n))。

这就是主定理的定义，该定理将算法的量规格、时间规格和空间规格
综合考虑，由此可以计算得出算法的最大执行时间或最小存储空间。

因此，主定理是一种有效的衡量算法性能的方式，在很多实际应用中，可以通过主定理快速计算出该算法的执行时间或空间开销，为我们提
供了较好的帮助。

复杂度的量级分类复杂度的量级分类复杂度是算法分析中的一个重要概念，它用来描述算法运行时间或空间资源的需求。

通常情况下，我们使用“大 O 记号”（Big O Notation）来表示一个算法的复杂度。

在计算机科学中，我们将算法的复杂度分为不同的量级，以便于比较和评估不同算法之间的性能差异。

一、常数时间复杂度常数时间复杂度（O(1)）指算法执行所需时间不随输入规模增加而增加。

例如，给定两个整数 a 和 b，计算它们的和 a+b 的时间复杂度是O(1)，因为无论 a 和 b 的值如何变化，计算它们的和所需时间都是相同的。

二、线性时间复杂度线性时间复杂度（O(n)）指算法执行所需时间随输入规模n 线性增长。

例如，在一个长度为 n 的数组中查找某个元素是否存在需要遍历整个数组，因此其时间复杂度是 O(n)。

三、对数时间复杂度对数时间复杂度（O(log n)）指算法执行所需时间随输入规模 n 增加而增长但增长速率逐渐减慢。

例如，在一个有序数组中查找某个元素是否存在可以使用二分查找算法，其时间复杂度是 O(log n)。

四、平方时间复杂度平方时间复杂度（O(n^2)）指算法执行所需时间随输入规模 n 的平方增长。

例如，在一个长度为 n 的数组中进行冒泡排序需要进行 n^2 次比较和交换操作，因此其时间复杂度是 O(n^2)。

五、指数时间复杂度指数时间复杂度（O(2^n)）指算法执行所需时间随输入规模 n 指数级增长。

例如，在一个长度为 n 的集合中求其所有子集需要枚举所有可能的组合，因此其时间复杂度是 O(2^n)。

六、多项式时间复杂度多项式时间复杂度（O(n^k)）指算法执行所需时间随输入规模 n 的 k 次幂增长。

例如，在一个长度为 n 的矩阵中进行矩阵乘法需要进行n^3 次乘法和加法操作，因此其时间复杂度是 O(n^3)。

七、指数级别的递归调用在某些情况下，递归调用会导致指数级别的运行时间。

例如，在斐波那契数列中，递归计算第n 个斐波那契数会导致指数级别的运行时间。

计算机算法分析大学计算机基础知识时间复杂度计算机算法分析是大学计算机基础知识中非常重要的一部分。

在进行算法分析时，我们需要关注算法的时间复杂度。

本文将为您解析时间复杂度的概念及其在计算机算法中的应用。

一、时间复杂度的定义时间复杂度是衡量算法执行时间的一种指标，用来描述在不同规模输入下算法的执行时间与输入规模的增长关系。

通常用大O符号表示，例如O(n)、O(n^2)等。

二、常见的时间复杂度1. 常数时间复杂度：O(1)常数时间复杂度表示无论输入规模的大小，算法的执行时间都是恒定的。

这是最理想的情况，例如简单的赋值语句或常数运算。

2. 线性时间复杂度：O(n)线性时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈线性关系。

例如遍历一个数组或链表的操作，需要逐个处理其中的元素。

3. 对数时间复杂度：O(logn)对数时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈对数关系。

例如二分查找算法，每次将输入规模缩小一半。

4. 平均时间复杂度：O(nlogn)平均时间复杂度表示在所有可能输入情况下的平均执行时间。

例如快速排序算法，在平均情况下的时间复杂度为O(nlogn)。

5. 最坏时间复杂度：O(n^2)最坏时间复杂度表示在最不利于算法执行的情况下，算法的执行时间将达到最高。

例如冒泡排序算法，在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)。

6. 指数时间复杂度：O(2^n)指数时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈指数关系。

例如求解旅行商问题的穷举算法。

三、选择合适的算法与优化在分析算法的时间复杂度时，我们可以选择时间复杂度较低的算法。

例如，对于需要对大量数据排序的问题，选择快速排序而不是冒泡排序。

此外，我们可以通过算法的改进和优化来降低时间复杂度。

例如，在某些情况下，通过采用空间换时间的策略，我们可以将时间复杂度由O(n^2)优化为O(nlogn)。

四、算法分析的实际应用1. 算法性能评估通过分析算法的时间复杂度，我们可以对不同算法的性能进行评估和比较，以选择最适合的算法。

密码学中的复杂度类
密码学中的复杂度类主要涉及两个概念：算法的复杂性和密码的复杂性。

1.算法的复杂性：这主要包括时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度是指从输入数据到计算出结果所需的时间，它是k的函数。

空间复杂度是指为完成算法最多需要的计算机存储量，也是k的函数。

为了表示算法的时间复杂度和空间复杂度，通常会引入一些数学记号，例如O、Ω、θ、o，这些记号用于描述算法的渐近性能。

2.密码的复杂性：这主要涉及密码的长度和组成。

密码长度通常是指密码中字符的数量，它直接影响到密码的强度和安全性。

密码的组成则包括字母、数字、符号等，它们的组合方式会影响到密码的复杂性和安全性。

在密码学中，算法的复杂性和密码的复杂性都是非常重要的因素，它们直接影响到系统的安全性和效率。

因此，在设计和实施密码系统时，需要对这两方面进行仔细的考虑和权衡。

主定理计算时间复杂度
时间复杂度是描述算法执行时间和输入数据量之间的增长关系的重要概念。

主定理提出了一个统一的衡量表示算法时间复杂度的框架，以解决最好、最坏和平均情况时间复杂度的问题。

它介绍了一种所需的时间复杂度，它在一定的情况下比最坏的情况更小，而在另一种情况下比最好的情况更大，并提供了一个方法来比较不同情况之间的优劣。

主定理可以用于互联网上求解最佳路径、最优化等问题来更快获得结果。

在互联网上，我们大都会面临着海量信息的集成，例如搜索引擎的搜索结果，社交网络的信息流，交易平台的报价和订单，这些数据集越来越庞大，使得所需的处理时间也会变得更加漫长。

然而，主定理可以在提供有效和可信决策的同时缩短互联网上信息处理的时间，减少信息处理和求解期间网络延迟所带来的性能开销，促进更快更准确地实现网络数据处理任务。

使用主定理，工程师可以分析算法性能，评估算法的优劣以及其在不同场景下的合理性，最终解决时间复杂度问题。

利用主定理帮助设计各式各样的算法，带来更加智能、高效的网络应用，不仅可以提高互联网的性能，更能为用户的上网体验带来更大的便利性。

因此，主定理成功地解决了最好、最坏和平均情况下时间复杂度的问题，加速了互联网上数据处理任务，为用户提供了更快、更准确、更安全的互联网环境。

数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。

2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。

可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。

2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。

时间复杂度名词解释时间复杂度是一种衡量一个程序运行时间长短的量度，也是衡量算法的最终效率的指标。

在算法分析中，时间复杂度是以多项式时间来描述算法的执行时间与输入规模之间的增长比例，它可以用来评估算法的效率和优劣。

换句话说，时间复杂度是一个描述算法运行时间随输入数据规模n的变化情况的函数。

时间复杂度可以分为三种基本的概念：线性时间(O(n))、方时间(O(n2))和立方时间(O(n3))。

线性时间是最常见的时间复杂度，大部分的算法中都存在经典的O(n)时间复杂度，比如冒泡排序和插入排序，它们的时间复杂度都是线性的，即与输入规模n成正比。

它们的运行时间是线性的，可用公式 T(n)=an+b表示，其中ab是常数，n是输入规模。

平方时间是比较常见的时间复杂度，很多算法都具有O(n2)时间复杂度，比如选择排序，其时间复杂度是平方时间，可用公式T(n)=an2+bn+c表示，其中a，b和c都是常数，n是输入规模。

立方时间也是一种较为常见的时间复杂度，有些算法的时间复杂度就达到了立方时间。

像归并排序等算法运行时间是O(n3)，可用公式T(n)=an3+bn2+cn+d表示，其中a，b，c和d都是常数，n是输入规模。

这三种基本的概念是时间复杂度的基础，但是也有更高级的时间复杂度如O(nlogn)、O(n!)等。

O(nlogn)时间复杂度是比较高级的，它是由组合算法和分治算法得出的，比如快速排序和归并排序，它们的运行时间都是O(nlogn)，可用T(n)=anlogn+bn2+cn+d来表示，其中a，b，c和d都是常数，n 是输入规模。

O(n!)时间复杂度是最高级别的时间复杂度，它表示运行时间随着输入数据规模n的增大而指数级增长。

它是由搜索问题和动态规划算法得出的，比如汉诺塔问题，其运行时间是O(2n)，可用T(n)=an!+bn+c来表示，其中a，b和c都是常数，n是输入规模。

总之，时间复杂度是衡量算法效率优劣的重要指标，熟知其相关概念对于深入研究算法非常重要。

【数据结构】时间复杂度和空间复杂度计算时间复杂度AND空间复杂度专项时间维度：是指执⾏当前算法所消耗的时间，我们通常⽤「时间复杂度」来描述。

空间维度：是指执⾏当前算法需要占⽤多少内存空间，我们通常⽤「空间复杂度」来描述。

时间复杂度⼀个算法花费的时间与算法中语句的执⾏次数成正⽐例，哪个算法中语句执⾏次数多，它花费时间就多。

⼀个算法中的语句执⾏次数称为语句频度或时间频度。

记为 T(n)。

常见的算法时间复杂度由⼩到⼤依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增⼤，上述时间复杂度不断增⼤，算法的执⾏效率越低常见的时间复杂度：常见的时间复杂度：常数阶 O(1)对数阶 O(log2n)线性阶 O(n)线性对数阶 O(nlog2n)平⽅阶 O(n^2)⽴⽅阶 O(n^3)k 次⽅阶 O(n^k)指数阶 O(2^n)常见阶数串讲常数阶 O（1）没有循环结构，代码上万⾏都可以，消耗并不伴随某个的增长⽽增长，都是O（1）对数阶O（log2n）举个例⼦int n=1000;int i=1;while(i<=n){i=i*2;}cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;看在while循环中执⾏了多少次：while终⽌条件是i>n的时候，即当2的x次⽅等于n时结束循环，那么显然x=log2n。

也就是说while循环执⾏了log2n次后就结束了，那么这个算法的时间复杂度就是log2n。

从这个例⼦可以看出，如果将循环改成i=i*3;那么复杂度⾃然就变成了log3n。

线性阶O（n）现在你已经基本⼊门啦，我们直接上例⼦，线性阶很好理解，就是在循环中变量增长从倍数变成了单个增长。

int n=1000;int i=1;while(i<=n){i++;}cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;显然i需要增加n次才可以执⾏结束，故时间复杂度为O（n）线性对数阶O（nlogN）套娃！外层循环执⾏n次，内部循环需要执⾏logN次，那么⼀共就是n*logN啦，故时间复杂度为O（nlogN）。

时间、空间复杂度例题摘要：一、时间复杂度1.时间复杂度的概念2.时间复杂度的分类a.常数阶O(1)b.线性阶O(n)c.线性对数阶O(n log n)d.平方阶O(n^2)e.立方阶O(n^3)f.指数阶O(2^n)3.时间复杂度与问题规模的关系二、空间复杂度1.空间复杂度的概念2.空间复杂度的分类a.常数阶O(1)b.线性阶O(n)c.平方阶O(n^2)d.立方阶O(n^3)3.空间复杂度与问题规模的关系正文：一、时间复杂度1.时间复杂度是用来描述算法执行时间与问题规模之间关系的量度。

它反映了算法在解决不同规模问题时所需的执行时间增长速度。

2.时间复杂度分为以下几类：a.常数阶O(1)：无论问题规模如何变化，算法执行时间保持不变。

b.线性阶O(n)：算法执行时间随着问题规模的增大而线性增长。

c.线性对数阶O(n log n)：算法执行时间随着问题规模的增大而呈线性对数增长。

d.平方阶O(n^2)：算法执行时间随着问题规模的增大而呈平方增长。

e.立方阶O(n^3)：算法执行时间随着问题规模的增大而呈立方增长。

f.指数阶O(2^n)：算法执行时间随着问题规模的增大而呈指数增长。

3.时间复杂度可以帮助我们预测算法在不同问题规模下的性能，从而选择合适的算法解决实际问题。

二、空间复杂度1.空间复杂度是用来描述算法占用空间与问题规模之间关系的量度。

它反映了算法在解决不同规模问题时所需的存储空间增长速度。

2.空间复杂度分为以下几类：a.常数阶O(1)：无论问题规模如何变化，算法所需存储空间保持不变。

b.线性阶O(n)：算法所需存储空间随着问题规模的增大而线性增长。

c.平方阶O(n^2)：算法所需存储空间随着问题规模的增大而呈平方增长。

d.立方阶O(n^3)：算法所需存储空间随着问题规模的增大而呈立方增长。

时间复杂度计算学习数据结构时,觉得时间复杂度计算很复杂,怎么也看不懂,差不多三年之后,还是不懂,马上就要找工作了,赶紧恶补一下吧：首先了解一下几个概念;一个是时间复杂度,一个是渐近时间复杂度;前者是某个算法的时间耗费,它是该算法所求解问题规模n的函数,而后者是指当问题规模趋向无穷大时,该算法时间复杂度的数量级;当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度,因此,在算法分析时,往往对两者不予区分,经常是将渐近时间复杂度Tn=Ofn简称为时间复杂度,其中的fn一般是算法中频度最大的语句频度;此外,算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关;但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度;以保证算法的运行时间不会比它更长;常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为：常数阶O1、对数阶Olog2n、线性阶On、线性对数阶Onlog2n、平方阶On^2、立方阶On^3、k次方阶On^k、指数阶O2^n;1. 大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数 Tn 来表示,对于一个查找算法,如下： int seqsearch int a, const int n, const int x { int i = 0; for ; ai = x && i < n ; i++ ; if i == n return -1; else return i; } 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较,找出与之相等地元素; 在第一个元素就找到需要比较一次,在第二个元素找到需要比较2次,……,在第n个元素找到需要比较n次;对于有n个元素的数组,如果每个元素被找到的概率相等,那么查找成功的平均比较次数为: fn = 1/n n + n-1 + n-2 + ... + 1 = n+1/2 = On 这就是传说中的大O函数的原始定义;用大O来表述要全面分析一个算法,需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价,和在平均情况下的时间代价;对于最坏情况,采用大O表示法的一般提法注意,这里用的是“一般提法”是：当且仅当存在正整数c和n0,使得 Tn <= cfn 对于所有的n >= n0 都成立;则称该算法的渐进时间复杂度为Tn = Ofn;这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识;这里fn = n+1/2, 那么c fn也就是一个一次函数;就是在图象上看就是如果这个函数在cfn的下面,就是复杂度为Tn = Ofn;对于对数级,我们用大O记法记为Olog2N就可以了;规则1 加法规则Tn,m = T1n + T2n = O max fn, gm2 乘法规则Tn,m = T1n T2m = O fn gm3一个特例在大O表示法里面有一个特例,如果T1n ＝ O, c是一个与n无关的任意常数,T2n = O fn 则有 Tn = T1n T2n = O cfn = O fn . 也就是说,在大O表示法中,任何非0正常数都属于同一数量级,记为O1; 4一个经验规则有如下复杂度关系c < log2N < n < n Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n 其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 nlog2N ,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2^n , 3^n ,n,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了,居于中间的几个则差强人意.1基本知识点：没有循环的一段程序的复杂度是常数,一层循环的复杂度是On,两层循环的复杂度是On^2 我用^2表示平方,同理 ^3表示立方；2二维矩阵的标准差,残差,信息熵,fft2,dwt2,dct2的时间复杂度: 标准差和残差可能On,FFT2是Onlogn,DWT2可能也是Onlogn；信息熵要求概率,而dct的过程和jpeg一样;因为和jpeg一样,对二难矩阵处理了.Y=TXT',Z=Y.Mask,这样子,还有分成88子图像了;3example：1、设三个函数f,g,h分别为 fn=100n^3+n^2+1000 , gn=25n^3+5000n^2 ,hn=n^+5000nlgn请判断下列关系是否成立：1 fn=Ogn2 gn=Ofn3 hn=On^4 hn=Onlgn这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法Tn=Ofn,这里的"O"是数学符号,它的严格定义是"若Tn和fn是定义在正整数集合上的两个函数,则Tn=Ofn表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤Tn≤Cfn;"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时,两者的比值是一个不等于0的常数;这么一来,就好计算了吧;◆1成立;题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时,两个函数的比值是一个常数,所以这个关系式是成立的;◆2成立;与上同理;◆3成立;与上同理;◆4不成立;由于当n→∞时n^比nlgn递增的快,所以hn与nlgn的比值不是常数,故不成立;2、设n为正整数,利用大"O"记号,将下列程序段的执行时间表示为n的函数;1 i=1; k=0whilei<n{ k=k+10i;i++;}解答：Tn=n-1, Tn=On, 这个函数是按线性阶递增的;2 x=n; .,k次方阶Onk,指数阶O2n;随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低;2、空间复杂度与时间复杂度类似,空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量;记作:Sn=Ofn我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模;讨论方法与时间复杂度类似,不再赘述;3渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级即算法的渐近时间复杂度评价一个算法的时间性能;例3．7有两个算法A1和A2求解同一问题,时间复杂度分别是T1n=100n2,T2n=5n3;1当输入量n＜20时,有T1n＞T2n,后者花费的时间较少;2随着问题规模n的增大,两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大;即当问题规模较大时,算法A1比算法A2要有效地多;它们的渐近时间复杂度On2和On3从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量;在算法分析时,往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分,而经常是将渐近时间复杂度Tn=Ofn简称为时间复杂度,其中的fn一般是算法中频度最大的语句频度;例3．8算法MatrixMultiply的时间复杂度一般为Tn=On3,fn=n3是该算法中语句5的频度;下面再举例说明如何求算法的时间复杂度;例3．9交换i和j的内容;Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数;算法的时间复杂度为常数阶,记作Tn=O1;如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数;此类算法的时间复杂度是O1;例3．10变量计数之一;1 x=0;y=0;2 fork-1;k<=n;k++3 x++;4 fori=1;i<=n;i++5 forj=1;j<=n;j++6 y++;一般情况下,对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数,忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分;因此,以上程序段中频度最大的语句是6,其频度为fn=n2,所以该程序段的时间复杂度为Tn=On2;当有若干个循环语句时,算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度fn决定的;例3．11变量计数之二;1 x=1;2 fori=1;i<=n;i++3 forj=1;j<=i;j++4 fork=1;k<=j;k++5 x++;该程序段中频度最大的语句是5,内循环的执行次数虽然与问题规模n 没有直接关系,但是却与外层循环的变量取值有关,而最外层循环的次数直接与n有关,因此可以从内层循环向外层分析语句5的执行次数：则该程序段的时间复杂度为Tn=On3/6+低次项=On3;4算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模,还与输入实例的初始状态有关;例3．12在数值A0..n-1中查找给定值K的算法大致如下：1i=n-1;2whilei>=0&&Ai=k3 i--;4return i;此算法中的语句3的频度不仅与问题规模n有关,还与输入实例中A的各元素取值及K的取值有关:①若A中没有与K相等的元素,则语句3的频度fn=n；②若A的最后一个元素等于K,则语句3的频度fn是常数0;5最坏时间复杂度和平均时间复杂度最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度;一般不特别说明,讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度;这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界,这就保证了算法的运行时间不会比任何更长;例3．19查找算法例1·8在最坏情况下的时间复杂度为Tn=0n,它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于0n;平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,算法的期望运行时间;常见的时间复杂度按数量级递增排列依次为：常数01、对数阶0log2n、线形阶0n、线形对数阶0nlog2n、平方阶0n2立方阶0n3、…、k次方阶0nk、指数阶02n;显然,时间复杂度为指数阶02n的算法效率极低,当n值稍大时就无法应用;类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度Space ComplexitySn定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模n的函数;渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度;算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度;。

什么是P问题、NP问题和NPC问题●先用几句话简单说明一下时间复杂度1.时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间，而是当问题规模扩大后，程序需要的时间长度增长得有多快。

2.也就是说，对于高速处理数据的计算机来说，处理某一个特定数据的效率不能衡量一个程序的好坏，而应该看当这个数据的规模变大到数百倍后，程序运行时间是否还是一样，或者也跟着慢了数百倍，或者变慢了数万倍。

3.不管数据有多大，程序处理花的时间始终是那么多的，我们就说这个程序很好，具有O(1)的时间复杂度，也称常数级复杂度；4.数据规模变得有多大，花的时间也跟着变得有多长，这个程序的时间复杂度就是O(n)，比如找n个数中的最大值；5.而像冒泡排序、插入排序等，数据扩大2倍，时间变慢4倍的，属于O(n^2)的复杂度。

6.还有一些穷举类的算法，所需时间长度成几何阶数上涨，这就是O(a^n)的指数级复杂度，甚至O(n!)的阶乘级复杂度。

7.不会存在O(2*n^2)的复杂度，因为前面的那个“2”是系数，根本不会影响到整个程序的时间增长。

8.同样地，O (n^3+n^2)的复杂度也就是O(n^3)的复杂度。

9.因此，我们会说，一个O(0.01*n^3)的程序的效率比O(100*n^2)的效率低，尽管在n很小的时候，前者优于后者，但后者时间随数据规模增长得慢，最终O(n^3)的复杂度将远远超过O(n^2)。

我们也说，O(n^100)的复杂度小于O(1.01^n)的复杂度。

10.容易看出，前面的几类复杂度被分为两种级别，其中后者的复杂度无论如何都远远大于前者：1)一种是O(1),O(log(n)),O(n^a) 等，我们把它叫做多项式级的复杂度，因为它的规模n出现在底数的位置；2)另一种是O(a^n)和O(n!)型复杂度，它是非多项式级的，其复杂度计算机往往不能承受。

11.当我们在解决一个问题时，我们选择的算法通常都需要是多项式级的复杂度，非多项式级的复杂度需要的时间太多，往往会超时，除非是数据规模非常小。

时间复杂度的概念
时间复杂度，又称时间复杂度度量，是描述算法执行时间随数据规模增长而变化的量度，是衡量算法优劣的重要指标。

它包括最坏时间复杂度、平均时间复杂度和最好时间复杂度。

最坏时间复杂度是一种量度，它描述算法最差情况下的运行时间随数据规模的变化趋势，
以便反映算法的性能。

它用大O表示法表示，它反映了算法的上限，如果一个算法的最坏时间复杂度为O(n^2)，则算法最多需要好多步，才能完成。

平均时间复杂度是另一种量度，它反映了算法在解决多次问题时，其平均运行时间随数据规模的变化趋势。

它可以用O表示法表示，它体现了算法的实时性能，要想算法的性能较高，至少要保证平均时间复杂度不受太大影响。

最好时间复杂度是用来衡量算法在特定输入数据下，运行所花费的最短时间。

它也可以用
O表示法表示，它体现了算法的最佳性能。

要求算法的性能最佳，则要求它的最好时间复杂度尽可能低。

总而言之，算法的性能取决于它的时间复杂度，这三种时间复杂度（最坏时间复杂度、平均时间复杂度、最好时间复杂度）被广泛地应用于分析算法的性能，给出合理的估计。

所以，有效的算法设计必须考虑以上三个时间复杂度以评判算法的优劣。