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定积分习题课一、基本概念、基本理论1、定积分的定义2、存在定理（可积的两个充分条件）定理1 当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，称)(x f 在区间],[b a 上可积. 定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在区间],[b a 上可积.3、定积分的性质性质1：⎰±badx x g x f )]()([⎰=badx x f )(⎰±badx x g )(性质2：⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( (k 为常数)性质3： 假设b c a <<⎰badx x f )(⎰⎰+=bcc adx x f dx x f )()(性质4：dx b a⋅⎰1dx ba⎰=a b -=性质5： 如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，则0)(≥⎰dx x f ba)(b a <推论：（1）如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，则dx x f ba⎰)( dx x g ba⎰≤)( )(b a <（2）dx x f ba⎰)(dx x f ba⎰≤)( )(b a <性质6：设M 和m 分别是)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰.性质7： (定积分中值定理)如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a上至少存在一个点ξ，使dx x f ba⎰)())((a b f -=ξ )(b a ≤≤ξ4、牛顿—莱布尼茨公式5、定积分的计算法 （1）换元法：dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()]([)(（2）分部积分法：⎰⎰-=bababavdu uv udv ][6、广义积分（1）无穷限的广义积分⎰+∞adx x f )(⎰+∞→=bab dx x f )(lim⎰∞-bdx x f )(⎰-∞→=baa dx x f )(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. （2）无界函数的广义积分⎰ba dx x f )( ⎰++→=ba dx x f εε)(lim 0⎰ba dx x f )(⎰-+→=εεb adx x f )(lim 0⎰badx x f )(⎰=c adx x f )(⎰+bcdx x f )(⎰-+→=εεc adx x f )(lim 0⎰'++→'+bc dx x f εε)(lim 0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.二、典型例题与方法展示求下列极限例1 2222241241141[).1(lim nn n n n -++-+-∞→))1(sin 2sin (sin 1).2(limnn n n n n πππ-+++∞→ ])(41)(41)2(41141[1)1(2222nn ni nn n-++-++-+-=原式解：上的，在区间从上式可以看出它是]10[41)(2x x f -=一个积分和式，于是⎰⎰⎰-=-=-=102102102)2()2(11)2(12141x d x dx xdx x 原式 21arctan 2arctan10==x)0)1(sin 2sin (sin 1)2(lim+-+++=∞→nn n n n n ππππ原式)sin )1(sin 2sin (sin 1limππππππnn n n n n n n +-+++=∞→ 上的，在区间从上式可以看出它是]0[sin )(πx x f =一个积分和式，于是⎰==πππ2sin 1xdx 原式等式不通过计算证明下列不例2⎰⎰---<<<21212120222)2(21sin )1(2dx eexdx x π解：x x x x x ≠≤≤sin sin sin ]20[)1(2且上，在π821sin 220220202ππππ==<∴⎰⎰x xdx dx0]210[0]0,21[)2(<'>'-y y 上，在上在)21(1]2121[212±=---x e e x ，最小值为的最大值为上，在]2121[1]2121[2121212--⋅≤≤--⎰---dx e e x 于是设）（处处连续，函数若例51)(3=ψψx )1()()(21)(02f dt t t x x f x'''-=⎰试计算ψ证明： 再求导分析：先展开提出xdtt t xt x x f x )()2(21)(022ψ⎰+-=⎰⎰⎰+-=x x xdt t t dt t t x dt t x 02002)()(2)([21ψψψ)()(2)(2)()(2[21)(22002x x x x dt t t x x dt t x x f x x ψψψψψ+--+='⎰⎰⎰⎰-=xx dt t t dt t x 0)()(ψψ)()()()(0x x x x dt t x f xψψψ-+=''⎰5)1()1()()(=='''⇒='''ψψf x x fdxx dxtgx tgxx x ⎰⎰+→0sin 000sin 4lim 求极限例解：x tgx xx tg x 20se c )sin(cos )(sin lim⋅⋅=+→原式 210])sin(sin sin )(sin [lim tgx tgx tgx x x x tg x ⋅⋅=+→ 1= )(21)()(522x f dt t f x f x x 求处处连续，且设例⎰-=x x x f x 22ln 22)(22⋅⋅-=⋅解：两边求导2ln 2)(2ln 2)(22x x x f x f -=⇒-=例6.2sin 12⎰-πdx x 求解：⎰-=2cos sin πdx x x 原式 ⎰⎰-+-=2440)cos (sin )sin (cos πππdx x x dx x x.222-=例7 .])1(ln 1sin [212128⎰--++dx x x x 求解：dx x ⎰--+=2121)1ln(0原式 dx x dx x ⎰⎰---=-2121)1ln()1ln(.21ln 23ln 23+= 例8 .},1min{222⎰-dx x x求解：⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,11,},1min{22x x x x x x 是偶函数,dx x x},1min{2220⎰=原式 ⎰⎰+=21102122dx x dx x .2ln 232+= 例9 .)()1(,)(12022⎰⎰-=+-dx x f x dy ex f xyy 求设解：⎰⎰+--=122][)1(2dx dy ex xyy 原式⎰⎰+-+----=10231002322)1(31])1(31[dx e x dy e x x x x y y⎰---=+--1021)1(2])1[()1(612x d e x x = ⎰--016du ue e u ).2(61--=e 例10 .cos 1)(sin 2cos 1)(sin :,],0[)(0202⎰⎰+=+ππππdx x x f dx xx xf x f 证明上连续在设证：,t x -=π令 ,dt dx -=)(cos 1)(sin )(02dt t t f t -+-=⎰ππ左边 dx xx f x ⎰+-=ππ02cos 1)(sin )( dx x x xf dx xx f ⎰⎰+-+=πππ0202cos 1)(sin cos 1)(sindx xx f dx x x xf ⎰⎰+=+πππ0202cos 1)(sin cos 1)(sin 2即 .cos 1)(sin 2cos 1)(sin 0202dx x x f dx xx xf ⎰⎰+=+∴πππ例11 .)()()(.0)(],[)(2a b x f dxdx x f x f b a x f baba-≥⋅>⎰⎰证明上连续，在设 证：作辅助函数,)()()()(2a x t f dtdt t f x F xaxa--=⎰⎰)(2)(1)()(1)()(a x x f dt t f dt t f x f x F x a xa--⋅+='⎰⎰,2)()()()(⎰⎰⎰-+=x a x a xadt dt x f t f dt t f x f,0)(>x f 2)()()()(≥+∴x f t f t f x f 0)2)()()()(()(≥-+='⎰dt x f t f t f x f x F xa即 .)(单调增加x F,0)(=a F 又 ,0)()(=≥∴a F b F.)()()(2a b x f dxdx x f baba-≥⋅⎰⎰即例12 .123)2(;94)1(:2122⎰⎰--+++∞∞-x x x dxx x dx 求下列广义积分解：（1）⎰⎰+∞∞-+++++=02029494x x dxx x dx 原式⎰⎰+++++=+∞→-∞→b b aa x dxx dx 02025)2(lim 5)2(lim b b aa x x 052arctan51lim52arctan51lim+++=+∞→-∞→ .5π=（2）,1231lim)(lim 211∞=--=→→x x x x f x x.)(1的瑕点为x f x =∴⎰+→--=+212123lim εεx x x dx 原式 ])11(2)11([lim 21220⎰+→+-+-=+εεx x d 210211arcsinlim εε+→+-=+x .43arcsin 2-=π。
