高数II-2练习题及答案

模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。

2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。

高等数学II 练习题________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______反常积分、定积分应用（一） 1、求无穷限积分0ax e dx +∞-⎰（0>a ）。

1ax e dx a+∞-=⎰(过程略)2、求瑕积分21⎰。

()()()2211021023/21/2013/21/20lim lim 12lim 1213828= lim 2333d x x x εεεεεεεεε+++++→+→→+→==-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰3、求由曲线22y x =与4x y +=所围成图形的面积。

22232244282244(4)d (4)18226x x y x y y x y y y yS y y y --==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩∴=--=--=⎰解：或是两交点 4、求由曲线1=xy 和直线x y =，2=x 所围成的平面图形的面积。

2113ln 22S x dx x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰或120111322ln 222S xdx dx x ⎛⎫=⨯⨯-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰（请自己画草图，体会两种不同的求法）5、抛物线342-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。

解：过点)3,0(-的切线方程为 34y x +=，而过)0,3(处的切线方程为 ()23y x =-- 故求的两切线交点为 )3,23(，则所要求图形的面为：()()()()3/23221203/29434326434S S S x x x dx x x x dx ⎡⎤⎡⎤=+=---+-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦⎰⎰6、设椭圆的参数方程为2cos ,x t y t ==，求椭圆的面积。

解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：()2020/2442cos sin S ydx td t tdt ππ===-=⎰⎰（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）7、在]1,0[上给定函数2x y =，问t 取何值时，右图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小？何时最大？222331220322()22()(1()3341331()42,()0,021[0,]()021[,1]()021112(0),(),(1)32431t t t OACO ADBA A t A t y y y y y t t A t t t A t t t t A t t A t A A A t ∴=+=+-=-+''∴=-=∴=='∈<'∈>====⎰⎰解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，，函数单调减少当时，，函数单调增加所以当时，12t =面积之和最大，当时，面积之和最小。

高数二试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值是：A. 5B. 4C. 3D. 24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 以下哪个选项是定积分∫(0,1) x^2 dx的结果？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，则f'(x) = __________。

7. 函数y = √x的导数是 y' = __________。

8. 曲线y = x^2 + 1与x轴所围成的面积是 __________。

9. 定积分∫(0,2) e^x dx的值是 __________。

10. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f''(x) = __________。

三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

12. 证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上是增函数。

13. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(1, 4)处的切线方程。

14. 计算定积分∫(1, e) (2x + 1) / x dx。

四、证明题（每题15分，共30分）15. 证明函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-1, 1]上是凹函数。

16. 证明定积分∫(0, 1) x * sin(πx) dx = 1/π。

答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. 3x^2 - 12x + 97. 1/(2√x)8. 1/39. e^2 - 110. -2sin(x) - 2cos(x)三、解答题11. 最大值：f(2) = 11，最小值：f(-1) = -1012. 证明略13. 切线方程：y - 4 = 4(x - 1)，即4x - y - 4 = 014. 结果：1 - 1/e^2四、证明题15. 证明略16. 证明略。

2023成人高考专升本高等数学(二)考试真题含答案2023年成人高考专升本高等数学(二)考试真题含答案(回忆版)高等数学二的内容包括哪些?高等数学二教材内容共有十一章，主要内容为函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、级数。

书后有自测题、习题参考答案、自测题参考答案与提示、积分表。

《高等数学(第二版)》是由马少、张好治、李福乐主编，科学出版社于2019年出版的中国科学院规划教材、大学数学系列教材。

该教材可供于高等院校生物类、经贸类和管理类各专业的本、专科学生和高职院校的学生使用，也可供其他相关专业的学生参考。

成考高等数学一和二区别有哪些学习内容不同：《高数一》主要学数学分析，内容主要为微积分(含多元微分、重积分及常微分方程)和无穷级数等。

)，《高数二》主要学概率统计、线性代数等内容。

对知识的掌握程度要求不同：《高数》(一)和《高数》(二)的区别主要是对知识的掌握程度要求不同。

《高数》(一)要求掌握求反函数的导数，掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，会求简单函数的n阶导数，要掌握三角换元、正弦变换、正切变换和正割变换。

《高数(二)只要求掌握正弦变换、正切变换等。

考核内容不同：高等数学(一)考核内容中有二重积分，而高等数学(二)对二重积分并不做考核要求。

高等数学(一)有无穷级数、常微分方程，高等数学(二)均不做要求。

成人高考数学题型高起点数学(文/理)：分为Ⅰ卷(选择题共85分)和Ⅱ卷(非选择题65分)。

Ⅰ卷选择题：1-17小题，每小题5分，共85分。

Ⅱ卷填空题：18-21小题，每小题4分，共16分;解答题：22-25小题，各小题分值不等，共49分。

专升本高等数学(一/二)：选择题 1-10小题，每小题4分，共40分;填空题 11-20小题，每小题4分，共40分;解答题 21-28小题，共70分。

高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。

答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。

答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。

答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。

答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。

答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。

解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。

设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。

由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。

显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 及曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()xf x e=,则()x f x e '=7 若()log xa f x =,则 8 若()ln f x x =,则导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+• 3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性及导数:一般的,函数的单调性及其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值及导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值及导数 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值及最小值的步骤：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值及端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理及证明考点一合情推理及类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有及另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质及推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法.2.步骤:A.命题在n=1（或0n）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

自考高数2的试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个不是奇函数？A. \( y = x^3 \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = x^5 \)D. \( y = \cos(x) \)答案：D2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. 不存在答案：B3. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的通解？A. \( y = e^x + e^{-x} \)B. \( y = e^x + x \)C. \( y = \sin(x) + \cos(x) \)D. \( y = x^2 + \sin(x) \)答案：A4. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值。

A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案：A5. 以下哪个选项是函数 \( f(x) = x^2 \) 的原函数？A. \( F(x) = x^3 \)B. \( F(x) = x^3 + 1 \)C. \( F(x) = 2x^2 + 1 \)D. \( F(x) = 2x^3 + 1 \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 ________。

答案：\( \frac{1}{x} \)2. 函数 \( y = e^x \) 的不定积分是 ________。

答案：\( e^x + C \)3. 如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 3 \)，则 \( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = ________。

答案：64. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的拐点是 ________。

高中数学选修2-2和2-1综合试卷一、填空题1.函数y =x 2co sx 的导数为 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点(B)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 (C)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值 (D)如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值3.某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )(A )当6=n 时，该命题不成立 (B )当6=n 时，该命题成立 (C )当4=n 时，该命题成立 (D )当4=n 时，该命题不成立4.若复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则a 的取值范围是5.设0<a <b ，且f (x )＝xx ++11，则下列大小关系式成立的是( ).(A )f (a )< f (2b a +)<f (ab ) (B )f (2b a +)<f (b )< f (ab )(C )f (ab )< f (2b a +)<f (a ) (D )f (b )< f (2b a +)<f (ab )6.已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= ．7.曲线y =2x 3－3x 2共有____个极值.8.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比命题的真假性是________9.观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++< , … … ,则可归纳出________________________________10．命题03,2>+-∈∀x x R x 的否命题是 .11．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 条件。

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。

4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是 。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。

10．函数z =的定义域为 。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。

15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。

16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。

17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。

18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。

19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。