平抛与斜面

【类型一】物体的起点在斜面外，落点在斜面上1.求平抛时间【例1】如图1,以v o = 9.8 m/s 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在 倾 角0为30°的斜面上，求物体的飞行时间？2. 求平抛初速度【例2】如图3，在倾角为370的斜面底端的正上方 H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜 面上的一点，求小球抛出时的初速度。

3.求平抛物体的落点水平抛出一个小球，它落在•斜面上b 点。

若小球从0点以速度2v o 水平抛出，不计空气阻力, 则它落在斜面上的（平抛运动当平抛遇到斜面解：由图2知，在撞击处: Vytan 3O°1 2解：小球水平位移为 X =v o t ，竖直位移为y = — gt2【点评】由图3可知，tan37°Vo t又tan37^V O解之得：v 0j153gH 17i以上两题都要从速度关系入手，根据1合速度和分速度的方向（角度）和大小关 1系进行求解。

而例 2中还要结合几何知 识，找出水平位移和竖直位移间的关系， 才能解出最■终结果。

li_________________________ 」【例3】如图4，斜面上有 a 、b 、c 、d 四个点,ab =bc =cd 。

a 点正上方的0点以速度V oVA . b 与c 之间某一点B . c 点C . c 与d 之间某一点D . d 点解：当水平速度变为2v o 时，如果作过b 点的直线be ,小球将落在c 的正下方的直线上 一点，连接0点和e 点的曲线，和斜面相交于 bc 间的一点，故 A 对. 【点评】!此题的关键是要构造出水平面 be,再根据从同一高度平抛出去的物体，其水平射程与初速度成正比的规律求解【类型二】物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角。

一般要从位移关系入手，根据位移 中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解。

［来源：学_科_网z_x__“1.求平抛初速度及时间【例4】如图5,倾角为的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛 点间斜边长为L ,求抛出的初速度及时间？解：钢球下落高度：Lsin9=2gt 2，•••飞行时间t = Fsin G水平飞行距离Leos 日=u 0t ，初速度^=2°^ =cos£ Jy E■石2.求平抛末速度及位移大小 【例5】如图6，从倾角为0 在斜面上B 点。

平抛运动和斜面组合模型及其应用平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，其运动轨迹和规律如图1所示，会应用速度和位移两个矢量三角形反映的规律灵活的处理问题。

设速度方向与初速度方向的夹角为速度偏向角φ，位移方向与初速度方向的夹角为位移偏向角θ，若过P点做与初速度平行的直线，则该直线与位移方向的夹角可以看作是构造的虚斜面的倾角，这样平抛运动模型和斜面模型就组合在一起了。

在中学物理中有大量的模型，平抛运动和斜面模型是重要的模型，这两个模型组合起来进行考查，是近几年高考的一大亮点。

为此，笔者就该组合模型的特点和应用，归纳如下。

一．斜面上的平抛运动问题例1．（2006·上海）如图2所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角为370，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L＝15m处同时以速度v2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin37O=0.6，cos370=0.8，g＝10 m/s2）A．v1＝16 m/s，v2＝15 m/s，t＝3sB．v1＝16 m/s，v2＝16 m/s，t＝2sC．v1＝20 m/s，v2＝20 m/s，t＝3sD ．v 1＝20m/s ，v 2＝16 m/s ，t ＝2s解析：设物体A 平抛落到斜面上的时间为t ，由平抛运动规律得 t v x 0=，221gt y =由位移矢量三角形关系得 x y =θtan 由以上三式解得gv t θtan 20= 在时间t 内的水平位移g v x θtan 220=；竖直位移gv y θ220tan 2= 将题干数据代入得到3v 1＝20t ，对照选项，只有C 正确。

将v 1＝20 m/s ，t ＝3s 代入平抛公式，求出x ，yA s ==75m ，B s =v 2t ＝60m ，15A B s s L m -==，满足题目所给已知条件。

平抛运动与斜面模型平抛运动是一种古老的物理模型，它描述了当一个物体以一定的初速度被投掷出去时，沿着水平方向运动，并受到重力的作用而沿着竖直方向下落的运动状态。

这种运动状态被称为平抛运动，是物理学中比较简单的一种运动状态，也是一些很有用的实际问题中的基础。

平抛运动的数学模型是基于牛顿的力学定律和基本运动学公式建立的。

当一个物体以初速度v0在地面上被投掷出去时，它会以固定的速度沿水平方向移动，其水平速度不变，可以用以下方程表示：x = v0t其中，x为物体沿水平方向移动的距离，t为运动的时间。

如果物体受到重力的作用，它将沿竖直方向运动，竖直方向的速度将会发生改变。

物体的竖直运动可以由以下公式描述：y = v0t - 1/2gt^2其中，y为物体沿竖直方向下落的距离，g为重力加速度，t为运动的时间。

在这个运动状态中，物体沿着抛出角度的曲线运动，其运动轨迹可以表示为：y = xtanθ-1/2gx²/(v0cosθ)²其中，θ为抛出角度，在这个运动状态中，这个抛出角度是重要的参数之一，它会影响物体的运动轨迹。

如果初始速度v0和抛出角度θ已经确定，我们就可以使用这些公式来计算出物体在任意时间和任意位置的运动状态。

平抛运动模型有许多实际运用，其中之一是对于物体的落点的预测。

在一些体育比赛中，比如说击球运动、投掷项目等，通过预测体育器材的抛出速度和角度，运动员可以估算出它们的运动轨迹和落点。

此外，平抛运动模型也被广泛应用于医院等领域，在判断怪物或人的跳跃速度、分析运动员的动作时我们需要用到平抛运动模型。

斜面模型是一种质点受到斜面力作用而在斜面上滑动的物理模型。

当一个物体放置在斜面上后，受到位置和重力的相互作用，它在斜面上沿着向下的方向开始滑动，这种滑动称为斜面运动。

斜面运动的模型包含了许多因素，比如物体的重量、斜面的夹角、摩擦系数等，这些因素都会影响物体在斜面上的滑动状态。

基于运动学和力学原理，可以把这些因素纳入斜面运动的数学模型中。

【平抛与斜面结合】1、如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的初速v同时水平向左与水平向右抛出两个小球A 和B，两侧斜坡的倾角分别为30°和60°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为（）A．3：4 B．4：3 C．1：3 D．3：1【来源】广东省深圳市第二高级中学2019-2020学年高一（下）第四学段物理试题【答案】C【解析】ABCD．A球在空中做平抛运动，落在斜面上时，有解得同理对B有由此解得ABD错误C正确。

故选C。

2、如图所示，从倾角为的斜面顶点A将一小球以初速度水平抛出，小球经过t落在斜面上B点，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阻力，则下列说法正确的有（）A ．从A 到B 的运动时间为B ．AB 的长度为C ．初速度变为2倍，抛出到落在斜面的时间t 变为2倍D ．改变初速度大小，小球落在斜面上时速度与斜面的夹角大小不变【来源】河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一（下）期末物理试题【答案】ACD【解析】AC.根据位移偏角的正切值小球在空中飞行的时间由于位移的偏角不变，若初速度变为2倍，则小球抛出到落在斜面的时间t 变为2倍，故AC 正确；B.小球的水平位移 0022tan v x v t g θ==所以AB 的长度为故B 错误；D.做平抛运动的小球，速度偏角的正切值是位移偏角正切值的2倍，而小球落在斜面上位移的偏角不变，则位移偏角正切值不变，速度偏角的正切值也不变，所以改变初速度大小，小球落在斜面上时速度与斜面的夹角大小不变，故D正确。

故选ACD。

3、如图所示，从斜面上的A点以速度水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点；若仍从A点抛出物体，抛出速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A. 物体的飞行时间不变B. 物体的位移变为原来的C. 物体落到斜面上的速度变为原来的D. 物体落到斜面上时速度方向不变【答案】D【解析】【解答】根据可知，当初速度减半时，飞行的时间减半，A不符合题意；根据x=v0t可知，物体的水平位移变为原来的1/4，竖直位移也变为原来的1/4，则物体的位移变为原来的1/4，B不符合题意；水平初速度减半时，根据v y=gt可知，落到斜面上的竖直速度变为原来的一半，可知物体落到斜面上的速度变为原来的1/2，C不符合题意；根据为定值，则物体落到斜面上时速度方向不变，D符合题意；故答案为：D.4、如图，从斜面上的A点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点，已知AB = 75 m， = 37°，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A．物体的位移大小为60 m B．物体飞行的时间为6 sC．物体的初速度v0大小为20 m/s D．物体在B点的速度大小为30 m/s【来源】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题【答案】C【解析】A ．物体的位移等于首末位置的距离，大小为75 m ，故A 错误；B ．平抛运动的竖直位移根据得，物体飞行的时间 2245s 3s 10h t g ⨯===故B 错误；C ．物体的初速度故C 正确；D ．物体落到B 点的竖直分速度根据平行四边形定则知，物体落在B 点的速率故D 错误。

平抛运动最远距离与斜面的关系1.平抛运动最远距离与斜面的夹角有关。

The maximum distance of projectile motion is related to the angle of the incline.2.当斜面倾角为45度时，平抛运动的最远距离最大。

The maximum distance of projectile motion is the greatest when the incline is 45 degrees.3.斜面的摩擦力会影响平抛运动的最远距离。

The friction of the incline will affect the maximum distance of projectile motion.4.较小的斜面倾角会减小平抛运动的最远距离。

A smaller incline angle will decrease the maximum distance of projectile motion.5.较大的斜面倾角会增加平抛运动的最远距离。

A larger incline angle will increase the maximum distance of projectile motion.6.斜面的高度会影响平抛运动的最远距离。

The height of the incline will affect the maximum distance of projectile motion.7.斜面倾角越大，平抛运动的最远距离越小。

The larger the incline angle, the smaller the maximum distance of projectile motion.8.斜面倾角越小，平抛运动的最远距离越大。

The smaller the incline angle, the greater the maximum distance of projectile motion.9.斜面的光滑程度也会对平抛运动的最远距离产生影响。

平抛与斜面模型▲考纲说明：抛体运动II▲复习指导：掌握平抛运动的研究方法及规律——运动的合成与分解解决相关平抛运动的实际问题课前复习基本规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x＝，位移x＝。

(2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y＝，位移y＝。

1．模型特点平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛到落回斜面的运动过程，解决这类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解。

求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐含条件。

2．特殊状态该模型最重要的状态是物体落回斜面和速度与斜面平行两个时刻的状态，这两个状态典型的运动特征如下：(1)从斜面开始平抛并落回斜面的时刻：①全过程位移的方向沿斜面方向，即竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切。

②竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角正切的两倍。

(2)速度与斜面平行的时刻：①竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角的正切。

②该时刻是全运动过程的中间时刻。

③该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为1∶3。

④该时刻之前与该时刻之后斜面方向上的位移之比不是1∶3。

3．特殊类型该模型的另一类问题是平抛后垂直撞击斜面。

在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的倾角互余。

[例1] 如图4－2－10所示，一光滑斜面与竖直方向成α角，一小球以两种方式释放：第一种方式是在A点以速度v0平抛落至B点；第二种方式是在A点松手后沿斜面自由下滑至B 点，求：(1)AB 的长度多大？(2)两种方式到达B 点，平抛的运动时间为t 1，下滑的时间为t 2，t 1t 2等于多少？ 练习1(2013·江西盟校二联)如图4－2－11所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同初速度水平抛出，小球均落到斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α1，当抛出的速度为v 2时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α2，则( )A ．当v 1>v 2时，α1>α2B ．当v 1>v 2时，α1<α2C ．无论v 1、v 2大小如何，均有α1＝α2D ．2 tan θ＝tan(α1＋θ) [模型构建] 物体从斜面上某一点水平抛出又落在斜面上，即满足平抛运动规律。