线性代数电子教案(1)

线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。

教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。

教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。

教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。

教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。

1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。

教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。

教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。

教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。

教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义课程目标和学习内容1.2 电子教案的特点互动性和趣味性自主学习和协作学习1.3 软件使用说明软件安装和运行功能介绍和操作指南二、行列式2.1 行列式的定义和性质行列式的概念行列式的计算规则2.2 行列式的计算方法按行(列)展开拉普拉斯展开2.3 克莱姆法则克莱姆法则的原理克莱姆法则的应用三、矩阵3.1 矩阵的定义和运算矩阵的概念和表示矩阵的加法和数乘3.2 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的计算方法3.3 矩阵的特殊类型单位矩阵对角矩阵零矩阵四、向量空间4.1 向量空间的概念向量空间的基本性质向量空间的子空间4.2 向量的线性相关性线性相关的定义和判定线性无关的性质和应用4.3 基底和坐标基底的概念和选择向量的坐标表示和转换五、线性方程组5.1 线性方程组的解法高斯消元法克莱姆法则5.2 齐次线性方程组齐次线性方程组的解集自由变量和特解5.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解法常数变易法和待定系数法六、特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的概念特征多项式的定义和求解6.2 特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的求解方法矩阵的对角化6.3 特征值和特征向量的应用矩阵的相似对角化实对称矩阵和正交矩阵七、二次型7.1 二次型的定义和标准形二次型的概念二次型的标准形7.2 配方法和正定性配方法的应用二次型的正定性判定7.3 惯性定理和二次型的几何意义惯性定理的表述和证明二次型在几何上的意义八、向量空间的同构8.1 向量空间的同构概念同构的定义和性质同构的判定条件8.2 线性变换和矩阵线性变换的概念和性质线性变换与矩阵的关系8.3 线性变换的图像和核线性变换的图像线性变换的核（值域）九、特征空间和最小二乘法9.1 特征空间的概念特征空间的定义和性质特征空间的维数9.2 最小二乘法原理最小二乘法的定义和目标最小二乘法的应用9.3 最小二乘法在线性回归中的应用线性回归问题的最小二乘解回归直线的性质和分析十、线性代数在实际应用中的案例分析10.1 线性代数在工程中的应用结构力学中的矩阵方法电路分析中的节点电压和回路电流10.2 线性代数在计算机科学中的应用计算机图形学中的矩阵变换机器学习中的线性模型10.3 线性代数在其他学科中的应用物理学中的旋转和变换经济学中的线性规划十一、矩阵分解11.1 矩阵分解的概念矩阵分解的意义和目的矩阵分解的类型11.2 LU分解LU分解的定义和算法LU分解的应用和优点11.3 QR分解QR分解的定义和算法QR分解的应用和优点十二、稀疏矩阵12.1 稀疏矩阵的定义和性质稀疏矩阵的概念稀疏矩阵的存储和运算12.2 稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在科学计算中的应用稀疏矩阵在数据挖掘中的应用12.3 稀疏矩阵的优化算法稀疏矩阵的压缩技术稀疏矩阵的快速运算算法十三、线性代数在图像处理中的应用13.1 图像处理中的线性代数概念图像的矩阵表示图像变换和滤波13.2 图像增强和复原图像增强的线性方法图像复原的线性模型13.3 图像压缩和特征提取图像压缩的线性算法图像特征提取的线性方法十四、线性代数在信号处理中的应用14.1 信号处理中的线性代数概念信号的矩阵表示和运算信号处理的基本算法14.2 信号滤波和降噪信号滤波的线性方法信号降噪的线性模型14.3 信号的时频分析信号的傅里叶变换信号的小波变换十五、线性代数的现代观点15.1 向量空间和线性变换的公理化向量空间和线性变换的公理体系向量空间和线性变换的分类15.2 内积空间和谱理论内积空间的概念和性质谱理论的基本原理15.3 线性代数在数学物理中的作用线性代数在微分方程中的应用线性代数在量子力学中的应用重点和难点解析本文档详细地介绍了线性代数的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基础理论知识和应用能力。

电子行业线性代数电子教案一、引言线性代数是一门重要的数学基础课程，对于电子行业的学生来说尤为重要。

电子行业中的许多问题可以归结为线性代数的问题，因此了解和掌握线性代数的基本概念和方法对于电子行业的工作者非常重要。

本电子教案旨在通过结合电子行业中的实际应用场景，介绍线性代数的基本概念和方法，并通过一些实例和练习帮助学生理解和掌握线性代数的相关知识。

二、教学目标1.了解线性代数的基本概念和方法。

2.掌握线性方程组的解法和矩阵的运算。

3.能够应用线性代数的知识解决电子行业中的实际问题。

三、教学内容1. 线性代数基础（1）向量和矩阵的概念•向量的定义和表示•矩阵的定义和表示（2）向量和矩阵的运算•向量的加法和数乘•矩阵的加法和数乘•矩阵乘法2. 线性方程组（1）线性方程组的定义和表示•线性方程组的一般形式•线性方程组的矩阵表示（2）线性方程组的解法•初等变换法•矩阵消元法•矩阵的逆和逆矩阵3. 电子行业中的应用实例（1）电路分析•电路中的线性方程组•电路中的矩阵表示•用线性代数解决电路问题（2）数字信号处理•线性滤波器•离散傅里叶变换四、教学方法本教案将采用以下教学方法：1.线上课程：通过网络平台提供视频讲解和课后练习，学生可以自主学习和掌握线性代数的知识。

2.实践操作：通过电子行业的实际应用场景，进行实践操作和问题求解，巩固和应用线性代数的知识。

1.网络平台：提供线上课程、学习资料和练习题。

2.电子行业应用软件：提供电路分析和数字信号处理的软件工具，方便实践操作。

六、教学评估1.课堂小测或作业：通过课堂小测或作业对学生的学习效果进行评估。

2.实践项目：通过综合应用线性代数的知识，完成实践项目，并进行评估。

教学计划将根据教学内容和目标进行安排，具体时间安排和教学进度可根据实际情况调整。

教学内容教学方法时间安排线性代数基础线上课程第1周线性方程组解法线上课程第2周电子行业应用实例实践操作和线上课程第3-4周八、结语本电子教案通过对电子行业中线性代数的应用进行介绍和讲解，帮助学生理解和掌握线性代数的知识，并能够应用到电子行业的实际问题中。

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。

2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。

3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。

二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。

2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。

2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。

3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。

五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。

2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。

3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。

4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。

二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。

三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。

2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。

四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。

五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。

2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。

六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。

2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。

线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。

2. 知道n 阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。

先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。

2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n n n t p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。

n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。

3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。

《线性代数电子教案》PPT课件第一章：线性代数简介1.1 线性代数的意义和应用解释线性代数的概念和重要性探讨线性代数在工程、物理、计算机科学等领域的应用1.2 向量和空间定义向量及其几何表示介绍向量的运算，如加法、减法、数乘和点积1.3 矩阵和矩阵运算介绍矩阵的定义和基本性质探讨矩阵的运算，如加法、减法、数乘和乘法第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义和性质解释线性方程组的含义和基本性质探讨线性方程组的解的存在性和唯一性2.2 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤演示高斯消元法的具体操作过程2.3 矩阵的逆定义矩阵的逆及其性质探讨矩阵的逆的求法和应用第三章：矩阵的特征值和特征向量3.1 特征值和特征向量的定义解释特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和关系3.2 矩阵的特征值和特征向量的求法介绍求解矩阵的特征值和特征向量的方法演示求解矩阵的特征值和特征向量的具体过程3.3 矩阵的对角化定义矩阵的对角化及其条件探讨矩阵对角化的方法和应用第四章：向量空间和线性变换4.1 向量空间的概念和性质解释向量空间的概念和基本性质探讨向量空间的基、维数和维度4.2 线性变换的定义和性质定义线性变换及其性质探讨线性变换的矩阵表示和特征值4.3 线性变换的图像和应用介绍线性变换的图像和性质探讨线性变换在图像处理等领域的应用第五章：行列式和矩阵的秩5.1 行列式的定义和性质解释行列式的概念和基本性质探讨行列式的计算方法和性质5.2 矩阵的秩的定义和性质定义矩阵的秩及其性质探讨矩阵的秩的求法和应用5.3 矩阵的逆和行列式的关系探讨矩阵的逆和行列式之间的关系演示利用行列式和矩阵的秩解决实际问题的方法第六章：二次型和正定矩阵6.1 二次型的定义和性质解释二次型的概念和基本性质探讨二次型的标准形和判定方法6.2 矩阵的正定性和二次型的应用定义正定矩阵及其性质探讨正定矩阵的判定方法和应用6.3 二次型的最小二乘法介绍最小二乘法的原理和步骤演示最小二乘法在实际问题中的应用第七章：特征值和特征向量的应用7.1 特征值和特征向量在控制理论中的应用探讨特征值和特征向量在控制理论中的重要作用演示利用特征值和特征向量分析线性系统的稳定性7.2 特征值和特征向量在信号处理中的应用解释特征值和特征向量在信号处理中的重要性探讨利用特征值和特征向量进行信号降噪等处理的方法7.3 特征值和特征向量在图像处理中的应用介绍特征值和特征向量在图像处理中的作用演示利用特征值和特征向量进行图像降维和特征提取的方法第八章：向量空间的同构和商空间8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构及其性质探讨同构的判定方法和性质8.2 向量空间的商空间解释向量空间的商空间的概念和性质探讨商空间的构造和运算规则8.3 向量空间的同构和商空间的应用探讨向量空间的同构和商空间在数学和物理学中的应用演示利用同构和商空间解决实际问题的方法第九章：线性代数在优化问题中的应用9.1 线性代数在线性规划中的应用解释线性规划问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决线性规划问题的方法9.2 线性代数在非线性优化中的应用介绍非线性优化问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决非线性优化问题的方法9.3 线性代数在机器学习中的应用解释机器学习中的线性代数方法探讨利用线性代数方法进行数据降维、特征提取和模型构建的方法第十章：总结和拓展10.1 线性代数的核心概念和定理总结线性代数的核心概念和定理强调其在数学和科学研究中的重要性10.2 线性代数的拓展学习和研究方向介绍线性代数的拓展学习和研究方向鼓励学生积极探索线性代数的应用和创新10.3 线性代数的练习和参考资源提供线性代数的练习题和解答推荐相关的参考书籍和在线资源，供学生进一步学习和参考重点和难点解析重点一：向量和空间的概念及运算向量是线性代数的基本元素，其运算包括加法、减法、数乘和点积。

《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。

2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。

二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。

2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。

3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。

4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。

5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。

三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。

四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。

五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。

线性代数教案一例矩阵相乘一、教学目标1.理解线性代数中矩阵相乘的概念和运算规则。

2.掌握矩阵相乘的计算方法。

3.能够利用矩阵相乘解决实际问题。

二、教学重点1.矩阵相乘的概念和运算规则。

2.矩阵相乘的计算方法。

三、教学难点1.矩阵相乘的运算规则的理解和应用。

2.利用矩阵相乘解决实际问题。

四、教学准备1.教师：课本、教学工具（黑板、白板、多媒体设备等）。

2.学生：纸、笔。

五、教学过程1.导入（5分钟）教师简单介绍矩阵的概念和基本运算，引出矩阵相乘的概念。

2.知识讲解（10分钟）教师详细讲解矩阵相乘的定义和运算规则，强调矩阵相乘的前提条件是左矩阵的列数等于右矩阵的行数。

3.实例演示（15分钟）教师选取一个简单的例子，通过黑板或多媒体设备展示矩阵相乘的计算过程，让学生了解矩阵相乘的具体操作方法。

4.学生练习（15分钟）学生进行矩阵相乘的练习题，巩固所学知识。

教师辅导学生解答问题，并及时纠正错误。

5.拓展应用（15分钟）教师提供一些与实际问题相关的矩阵相乘应用例题，让学生思考如何利用矩阵相乘解决问题，并引导学生进行讨论和分析，提出解决问题的方法。

6.知识总结（10分钟）教师对本节课所学的知识进行总结，强调矩阵相乘的重要性和运用场景，并提醒学生需要掌握基本的矩阵相乘运算规则。

7.作业布置（5分钟）教师布置一些练习题作为作业，要求学生独立完成，并提醒学生要仔细思考和分析问题。

六、教学反思本节课通过讲解和演示矩阵相乘的概念和运算规则，让学生掌握了矩阵相乘的计算方法，并通过应用实例提高了学生的应用能力。

在教学过程中，教师通过提问、应用实例和讨论等方式增加了学生的参与度，激发了学生的学习兴趣。

同时，教师对学生的答题和错误进行及时指导和纠正，确保学生能够掌握所学知识。

教学效果良好，学生理解力和运算能力有了明显提高。

在今后的教学中，可以进一步加强学生的实践操作和解决实际问题的能力培养。

授课章节行列式§1.1 n阶行列式目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。

重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则难点n阶行列式的计算，克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．§1 n阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．下面考察二元一次方程组（1.1）当时，由消元法知此方程组有唯一解，即（1.2）可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数以及常数项表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。

但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。

由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。

因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。

1、二阶行列式：由4个数及双竖线组成的符号称为二阶行列式。

注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。

横排的数构成行，纵排的数构成列。

行列式中的数（）称为行列式的元素。

第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。

同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaDΛΛMMMΛΛMMMΛΛ11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaDΛMMMΛΛ212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211Λ按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211Λ证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaDΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiiiΛΛ=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=OOOOnD解:21122112----=OOOOnD2112211121---=+++OOOOΛn rr1+=nDn.从而解得1+=nDn.例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=nnnnnnnxxxxxxxxxDΛΛΛΛΛΛΛΛ()1i jn i jx x≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为=-==1221211xxxxD()21i ji jx x≥>≥-∏所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n时成立，要证对n时也成立.为此，设法把n D降阶；从第n行开始，后行减去前行的1x倍，有()()()()()()21311221331122222133111111nn nnn n nn nx x x x x xx x x x x x x x xDx x x x x x x x x---------=---LLLL L L LL（按第一列展开，并提出因子1xxi-）第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAΛΛΛΛΛΛΛ212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。

金迎迎-线性代数电子教案课件第一章：线性代数概述1.1 线性代数的定义与意义1.2 线性代数的基本概念1.3 线性代数在实际应用中的重要性1.4 学习线性代数的方法与技巧第二章：矩阵与行列式2.1 矩阵的定义与基本运算2.2 矩阵的逆矩阵与行列式2.3 矩阵的特殊性质与应用2.4 行列式的计算与性质第三章：线性方程组3.1 线性方程组的定义与解法3.2 高斯消元法求解线性方程组3.3 矩阵的秩与线性方程组的解3.4 线性方程组的应用实例第四章：向量空间与线性变换4.1 向量空间的基本概念4.2 线性变换的定义与性质4.3 矩阵与线性变换的关系4.4 线性变换的应用实例第五章：特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量的定义5.2 特征值与特征向量的计算5.3 特征值与特征向量的应用5.4 矩阵的对角化与Jordan 形式第六章：二次型6.1 二次型的定义与标准形6.2 二次型的矩阵表示与性质6.3 二次型的配方法与标准化6.4 二次型的最小二乘法应用第七章：线性代数在几何中的应用7.1 向量空间与线性变换在几何中的应用7.2 矩阵与几何变换7.3 线性方程组与几何图形7.4 特征值与特征向量在几何中的应用第八章：线性代数在数值计算中的应用8.1 线性代数在数值计算概述8.2 线性方程组的数值解法8.3 矩阵的特征值与特征向量在数值计算中的应用8.4 线性代数在优化问题中的应用第九章：线性代数在经济与管理中的应用9.1 线性代数在经济管理中的基本概念9.2 线性方程组在经济管理中的应用9.3 矩阵的特征值与特征向量在经济管理中的应用9.4 线性代数在决策分析中的应用第十章：线性代数在工程与应用科学中的应用10.1 线性代数在工程中的基本概念10.2 线性方程组在工程中的应用10.3 矩阵的特征值与特征向量在工程中的应用10.4 线性代数在其他应用科学领域的应用第十一章：向量空间与内积11.1 向量空间的概念与性质11.2 内积的定义与性质11.3 标准正交基与正交分解11.4 内积空间的应用第十二章：Hermite矩阵与正定矩阵12.1 Hermite矩阵的定义与性质12.2 正定矩阵的概念与判定12.3 正定矩阵的应用12.4 矩阵的谱分解第十三章：最小二乘法与正规方程13.1 最小二乘法的原理与方法13.2 正规方程的定义与求解13.3 最小二乘法与正规方程的应用13.4 最小二乘法在实际问题中的应用第十四章：线性代数与微分方程14.1 线性微分方程的基本概念14.2 矩阵与线性微分方程的解14.3 线性代数在求解微分方程组中的应用14.4 线性代数在控制理论中的应用第十五章：线性代数的综合应用15.1 线性代数在计算机图形学中的应用15.2 线性代数在信号处理中的应用15.3 线性代数在机器学习与数据挖掘中的应用15.4 线性代数在其他领域的综合应用重点和难点解析重点：1. 线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等。

1、理解矩阵的定义，知道零矩阵、单位阵、对角阵、行阶梯形阵、行最简阶梯阵、对称矩阵等特殊矩阵，知道两矩阵相等的概念；
2、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其它运算规律；
3、知道矩阵的分块方法和在矩阵运算中的作用。

《线性代数》教案
1、理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组解的结构，并能熟练的求出它们的通解；
2、熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法；
《线性代数》教案
1、知道向量的内积与正交，了解正交矩阵的概念及性质。

2、理解方阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法。

1、了解相似矩阵的概念及其性质，知道矩阵对角化的充分必要条件。

会求实对称矩阵的相似对角矩阵；
2、掌握线性无关的向量组的Schmidt正交规范化的方法；
1、掌握二次型及其矩阵的表示，了解二次型秩的概念；
2、会用正交变换和配方法把二次型化为标准形的方法；
3、知道惯性定理，掌握正定二次型的判定。

线性代数教案第一章 行列式行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．重点：行列式性质；行列式的计算。

难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

§1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211112111b x a x a b x a x a (1)用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=211222112112112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号2112221122211211a a a a a a a a -=为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-，如果记22211211a a a a D =，2221211a b a b D =，2211112b a b a D =则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成2221121122212111a a a a a b a b DD x ==， 2221121122111122a a a a b a b a D D x ==， (3) 象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1 用二阶行列式解线性方程组⎩⎨⎧=+=+231422121x x x x 解：这时 0214323142≠=⨯-⨯==D ，5243132411-=⨯-⨯==D ，3112221122=⨯-⨯==D ，因此，方程组的解是2511-==D D x ，2322==D D x ， 对于三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2 532134212- 1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=令 333231232221131211a a a a a aa a a D = 3332323222131211a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =，3323122221112113b a a b a a b a a D =． 当 D ≠0时，(4)的解可简单地表示成D D x 11=，D Dx 22=，DD x 33= (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302321321321x x x x x x x x x 解：28231523112=---=D ， 132345211101=---=D ， 472415131022=--=D ， 21431123123=-=D ． 所以，281311==D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ．例4 已知010100=-a bb a，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)． 解：2210100b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．§1.2 排列在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1 由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．定义2 在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数 i t 排在较小的数 i s 的前面(i s <i t )， 则称i t 与i s 构成一个逆序，一个n 级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i 1i 2…i n )．例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N (3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N (52341)=7．容易看出， 自然序排列的逆序数为0．定义3 如果排列i 1i 2…i n 的逆序数N (i 1i 2…i n )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123…n 是偶排列． 定义4 在一个n 级排列i 1…i s …i t …i n 中， 如果其中某两个数i s 与i t 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列i 1…i t …i s …i n ，这样的变换称为一个对换，记作(i s ，i t )．如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：a 1a 2…a l i jb 1b 2…b mc 1c 2…c n将相邻两个数i 与j 作一次对换，则排列变为a 1a 2…a l j ib 1 b 2…b mc 1c 2…c n显然对数a 1，a 2，…a l ，b 1，b 2，…，b m 和c 1c 2…c n 来说，并不改变它们的逆序数．但当i<j 时， 经过i 与j 的对换后，排列的逆序数增加1个；当i >j 时，经过i 与j 的对换后，排列的逆序数减少1个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．再讨论一般情况，设排列为a 1a 2…a l ib 1b 2…b m jc 1c 2…c n将i 与j 作一次对换，则排列变为a 1a 2…a l jb 1b 2…b m ic 1 c 2…c n这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i 与b 1对换，再与b 2对换，…，最后与b m 的对换，即i 与它后面的数作m 次相邻两数的对换变成排列a 1a 2…a lb 1b 2…b m i jc 1…c n然后将数j 与它前面的数i ，b m …，b 1作m +1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i 与j (中间有m 个数)，相当于作2m +1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m +1次，而2m +1为奇数，因此，不相邻的两数i ，j 经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．定理2 在所有的n 级排列中(n ≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2!n 个．证明：设在n !个n 级排列中，奇排列共有p 个，偶排列共有q 个．对这p 个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p 个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q 个，所以p ≤q ；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q 个偶排列全部变为奇排列，于是又有q ≤p ，所以q = p ，即奇排列与偶排列的个数相等．又由于n 级排列共有n !个，所以q + p = n !，2!n p q ==．定理3 任一n 级排列i 1i 2…i n 都可通过一系列对换与n 级自然序排列12…n 互变，且所作对换的次数与这个n 级排列有相同的奇偶性．证明：对排列的级数用数学归纳法证之． 对于2级排列，结论显然成立．假设对n –1级排列，结论成立，现在证明对于n 级排列，结论也成立．若i n =n ，则根据归纳假设i 1i 2…i n –1是n –1级排列，可经过一系列对换变成12…(n –1)，于是这一系列对换就把i 1i 2…i n 变成12…n ．若i n ≠n ，则先施行i n 与n 的对换，使之变成i 1'i 2'…'i 'n –1n ，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n 也可经过一系列对换变成i 1i 2…i n ，因此结论成立．因为12…n 是偶排列，由定理1可知，当i 1i 2…i n 是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i 1i 2…i n 具有相同的奇偶性．思考：1．决定i 、j 的值，使 (1) 1245i 6j 97为奇排列； (2) 3972i 15j 4为偶排列．2．排列n (n –1)(n –2)…321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？§1.3 n 阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n 阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为2112221122211211a a a a a a a a -=312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 其中元素a ij 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j 列，称为列标．我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．作为二、三阶行列式的推广我们给出n 阶行列式的定义．定义1 由排成n 行n 列的n 2个元素a ij (i ，j =1，2，…，n )组成的符号nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式．它是n !项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211＝∑n j j j 21n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- (1)其中∑nj j j 21表示对所有的n 级排列j 1j 2…j n 求和．(1)式称为n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．)(21)1(n j j j N -n nj j j a a a 2121称为行列式的一般项．当n =2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n =1时，一阶行列为|a 11|= a 11．如当n =4时，4阶行列式44342414434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a 表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n 阶行列式的定义，4阶行列式为44342414434241333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a ∑-４４４＝j j j j j j j j j j j N a a a a 213214321321)()1( 例如a 14a 23a 31a 42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N (4312)=5，所以该项取负号，即–a 14a 23a 31a 42是上述行列式中的一项．为了熟悉n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题． 例1 在5阶行列式中，a 12a 23a 35a 41a 54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514． 因 N (23514)=4，故这一项应取正号．例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a 11a 23的项． 解：包含因子a 11a 23项的一般形式为４４j j j j N a a a a 34332311)13()1(-按定义，j 3可取2或4，j 4可取4或2，因此包含因子a 11a 23的项只能是a 11a 23a 32a 44或a 11a 23a 34a 42但因 N (1324)=1为奇数N (1342)=2为偶数所以此项只能是 –a 11a 23a 32a 44．例3 计算行列式hgvuf e y x d c b a 0000解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项adeh ，adfg ，bceh ，bcfg不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N (1234)=0，N (1243)=1，N (2134)=1和N (2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即hgvuf e y x d c b a 0000= adeh –adfg –bceh +bcfg例4 计算上三角形行列式nnnn a a a a a a D 21221211 000=其中a ii ≠０ (i =1， 2，…， n )．解：由n 阶行列式的定义，应有n !项，其一般项为nnj j j a a a 2121但由于D 中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D 中，第n 行元素除a nn 外，其余均为０．所以j n =n ；在第n –1行中，除a n –1n –1和a n –1n 外，其余元素都是零，因而j n –1只取n –1、n 这两个可能，又由于a nn 、a n –1n 位于同一列，而j n =n ．所以只有j n –1 = n –1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a 11a 22…a nn 一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N (12…n )=0故取正号．因此，由行列式的定义有nnnn a a a a a a D 2122121100==a 11a 22…a nn 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．同理可求得下三角形行列式nnn n a a a a a a021222111=a 11a 22…a nn 特别地，对角形行列式nna a a 0002211=a 11a 22…a nn 上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．例5 计算行列式0000001121n n n a a a - 解 这个行列式除了a 1n a 2n –1…a n 1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n 级排列为n (n –1)…21，N (n (n –1)…21)= (n –1)+ (n –2)+…+2+1=2)1(-⋅n n ，所以 0000000001121n n na a a -=11212)1()1(n n n n n a a a --- 同理可计算出000112222111211n n na a a a a a a -=nnnn n nn na a a a a a 112121000-- =11212)1()1(n n n n n a a a --- 由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．在n 阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素的行标排成自然序排列，即n nj j j a a a 2121．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 阶行列式的项可以写成n n j i j i j i a a a 2211 (2)其中i 1i 2…i n ，j 1 j 2…j n 是两个n 阶排列，它的符号由下面的定理来决定．定理1 n 阶行列式的一般项可以写成n n n n j i j i j i j j j N i i i N a a a 22112121)()()1(+- (3)其中i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 都是n 级排列．证明：若根据n 阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这n 个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成''2'121n nj j j a a a (4)于是它的符号是)'''(21)1(n j jj N -现在来证明(1)与(3)是一致的．我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的对换来实现．每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 就同时作一次对换，也就是N (i 1i 2…i n )与N (j 1j 2…j n )同时改变奇偶性，因而它的和N (i 1i 2…i n )+N (j 1j 2…j n )的奇偶性不改变．这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一系列对换之后有)'''()'''()12()()(21212121)1()1()1(n n n n j j j N j j j N n N j j j N i i i N -=--++＝这就证明了(1)与(3)是一致的．例如，a 21a 32a 14a 43是4阶行列式中一项，它和符号应为(–1)N (2314)+N (1243)= (–1)2+1= –1．如按行标排成自然顺序，就是a 14a 21a 32a 43，因而它的符号是(–1)N (4123)=(–1)3= –1同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项n nj j j a a a 2121中元素的列标排成自然顺序123…n ，而此时相应的行标的n 级排列为i 1i 2…i n ，则行列式定义又可叙述为∑-n n n i i i n i i i i i i N nnn n nna a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(＝．思考题：1．如果n 阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？ 2．由行列式的定义计算f (x )=xx x x x111123111212-中x 4与x 3的系数，并说明理由．§1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．将行列式D 的行列互换后得到的行列式称为行列式D 的转置行列式，记作D T ，即若nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=， 则nnnn n n Ta a a a a a a a a D 212221212111=．反之，行列式D 也是行列式D T 的转置行列式，即行列式D 与行列式D T 互为转置行列式．性质１ 行列式D 与它的转置行列式D T 的值相等．证：行列式D 中的元素a ij (i ， j =1， 2， …，n )在D T 中位于第j 行第i 列上，也就是说它的行标是j ， 列标是i ，因此，将行列式D T 按列自然序排列展开，得∑-=nn n j j j nj j j j j j N T a a a D 21212121)()1(这正是行列式D 按行自然序排列的展开式．所以D =D T ．这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然．性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号． 证：设行列式)()(21212111211行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n sn s s in i i n= 将第i 行与第s 行(1≤i ＜s ≤n )互换后，得到行列式)()(212121112111行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n in i i sn s s n=显然，乘积n s i nj sj ij j a a a a 11在行列式D 和D 1中，都是取自不同行、不同列的n 个元素的乘积，根据§3 定理１，对于行列式D ，这一项的符号由)()1(1)1(n s i j j j j N n s i N +-决定；而对行列式D 1，这一项的符号由)()1(1)1(n s i j j j j N n i s N +-决定．而排列1…i …s …n 与排列1…s …i …n 的奇偶性相反，所以)()1(1)1(n s i j j j j N n s i N +-= –)()1(1)1(n s i j j j j N n i s N +-即D 1中的每一项都是D 中的对应项的相反数，所以D = –D 1．例１ 计算行列式53704008000051753603924--=D 解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得504008053070392417536)1(2---=D 将第一、五列互换，得120!5543215084000753004392067531)1(3-=-=⋅⋅⋅⋅-=---=D 推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D ，但由性质２有D = –D ， 所以D =0．性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即nnn n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a211111211211111211= 证：由行列式的定义有 左端＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j N a ka a 21121)()1(1)( ＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j N a a a k211211)()1(＝右端．此性质也可表述为：用数k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式． 推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零． 证：由性质３和性质２的推论即可得到．性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即nnn n in i i n nn n n in i i n nnn n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++证：左端＝∑+-nn i i n j j j nj ij ij j j j j j N a c b a a 212121)()1(21)(＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j j N a b a a 21212121)()1(∑-+nn i n j j j nj ij j j j j j N a c a a 21212121)()1( ＝nnn n in i i n nn n n in i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a212111211212111211+＝右端．性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即nn n n sn s s ini i na a a a a a a a a a a a D21212111211=nnn n sn in s i s i in i i na a a a ka a ka a a a a a a a2122112111211+++ 证：由性质４右端=nn n n in i i in i i n a a a ka ka ka a a a a a a21212111211+nnn n sn s s ini i n a a a a a a a a a a a a21212111211=k ⋅０ +nnn n sn s s ini i n a a a a a a a a a a a a21212111211=左端 作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．例2 计算行列式3111131111311113=D解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：4826200002000020111163111131111311111631161316113611163=⨯====D例3 计算行列式011212120112110-----=D解：13211021102011)112121110011112121011110------=-----------=D 4)2()2()1(12420021102011)1(22042002110211=-⨯-⨯-⨯-=------=-⨯------=例4 试证明：011=++++=cb adb a dcd a c b d c b aD １１证：把２、３列同时加到第４列上去，则得0111111)(11=+++=++++++++++++=a dd cc b b ad c b a dc b a adb c b a d c d c b a c b d c b a b a D １１１１例5 计算n +1阶行列式xa a a a x a a a a x a a a a x D n n n 321212121= 解：将D 的第２列、第３列、…、第n+1列全加到第１列上，然后从第１列提取公因子∑=+ni iax 1得xa a a x a a a x a a a a x D n n n ni i 32222111111)(∑=+==nni i a x a a a a a x a a a x a x ------+∑= 2312212111010010001)( =)())()((211n ni ia x ax a x a x ---+∑=例6 解方程0)1(11111)2(111112111111111111=------xn xn x x解法一：×(–a 1) ×(–a 2) …… ×(–a n )=-⨯------)1( )1(11111)2(111112111111111111xn xn x x])2][()3[()1)(()2(00)3(000001000000011111x n x n x x xn xn x x------=------所以方程的解为x 1=0， x 2=1， …， x n –2=n –3， x n –1=n –2．解法二：根据性质２的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于零．而所给行列式的第１行的元素全是１，第２行，第３行，…第n 行的元素只有对角线上的元素不是１，其余均为１．因此令对角线上的某个元素为１，则行列式必等于零．于是得到1–x =1 2–x =1 … (n –2)–x =1 (n –1)–x =1有一成立时原行列式的值为零．所以方程的解为x 1=0， x 2，=1，…， x n –2=n –3， x n –1=n –2．例7 计算n 阶行列式),2,1( 321213132n i a x xa a a a x a a a a x a a a a xD i n nn =≠= 解：将第1行乘以(–1)分别加到第２、３、…、n 行上得nn a x xa a x xa a x x a a a a x D ------= 0000001312132 从第一列提出x –a 1，从第二提出x –a 2，…，从第n 列提出x –a n ，便得到10101010011)())((3322121----------=nn n a x a a x a a x a a x x a x a x a x D 由,1111a x a a x x-+=-并把第２、第３、…、第n 列都加于第1列，有 100010000101)())((3322121nn n i i in a x a a x a a x a a x a a x a x a x D ----+---=∑= )1)(())((121∑=-+---=ni iin a x a a x a x a x 例8 试证明奇数阶反对称行列式000021212112=---=n nnn a a a a a a D证：D 的转置行列式为00021212112nnnn T a a a a a a D ---=从D T 中每一行提出一个公因子(–1)，于是有D a a a a a a D n n nnnnT )1(000)1(21212112-=----=，但由性质1知道D T =D∴ D =(–1)n D又由n 为奇数，所以有D = –D ， 即 2D =0， 因此 D =0．思考题：1．证明下列各题：222333111)(111c c b b a a c b a c c b b a a ++=． 2．计算下列n 阶行列式：111110000000002211n n a a a a a a ---；§1.5 行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．定义 在n 阶行列式中，划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个n –1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记作Ｍij ．元素a ij 的余子式Ｍij 前面添上符号(–1)i+j 称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ．即A ij ＝(–1)i +j M ij ．例如：在四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a aa a a a D = 中a 23的余子式是M 23=444241343231141211a a a a a a a a a 而 A 23=(–1)2+3M 23= –444241343231141211a a a a a a a a a 是a 23的代数余子式． 定理１ n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a in A in (i =1，2，…，n )或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (j=1，2，…，n )．证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证． 1°先证按第一行展开的情形．根据性质４有nnn n n nnnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a D2122221112112122221112110000000++++++++++==nnn n nnnn n n n nnn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a21222211212222112212222111+++= 按行列式的定义∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n na a a a a a a a a a21212121)(212222111)1(0111111112)(1121221)1(A a M a a a a nn n j j j nj j j j j N ==-=∑同理12121212122212212212222112)1(00)1(00A a M a a a a a a a a a a a a a a a nnn n nnnn n n =-=-=… … …n n n n n nn n nnn nnn nnn n n n A a M a a a a a a a a a a a a a a a 1111111122121121222211)1(00)1(00=-=-=----所以 D =a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n ．2°再证按第i 行展开的情形将第i 行分别与第i –1行、第i –2行、…、第１行进行交换，把第i 行换到第１行，然后再按１°的情形，即有22121111112111211211)1()1()1()1()1(i i i i i i nnn n nini i i M a M a a a a a a a a a a D +-+----+--=-=inin i i i i in n in i A a A a A a M a +++=--+++- 221111)1()1(定理２ n 阶行列式D 中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )或 a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a nj A nt =0 (j ≠t )．证：只证行的情形，列的情形同理可证．考虑辅助行列式)()(212121112111行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n in i i in i i n= 这个行列式的第i 行与第s 列的对应元素相同，它的值应等于零，由定理1将D 1按第s 行展开，有D 1= a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )．定理１和定理２可以合并写成a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =⎩⎨⎧≠=)(0)(s i s i D或 a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a jn A nt =⎩⎨⎧≠=)(0)(t j t j D定理1表明，n 阶行列式可以用n –1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理．利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算．计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．例１ 计算行列式 511242170131312-----=D解：D 的第四行已有一个元素是零，利用性质５，有( 1 3323111)1(013321831311112113214-⨯⨯----=----=-=+D8525534)1(25503401111 11-=--=---=+例２ 计算n 阶行列式abb a a bab a D 000000000000=解：按第一列展开得nn n n n n n b a bb aa bab b a b b ab a a b a a D 1111111)1()1( 000000000)1(00000000)1(+-+-++-+=-+=-+-=例３ 计算yy x xD -+-+=1111111111111111，其中 xy ≠０．解：根据定理1，把行列式适当地加一行一列，然后利用性质５，有yy x x y y xx D ------=-⨯-+-+=00100010001000111111)1(111111110111101111011111第2列提出因子x ，第3列提出–x ，第4列提出y ，第5列提出–y ，得加到各 行11 1 1 1100000100000101111110101001001010001111111)()(2222⨯⨯⨯⨯=--=--------=y x y y x x y x y y x x y y x x D例４ 试证∏≤<≤-----=ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111(1) 式中左端叫范德蒙行列式．结论说明，n 阶范德蒙行列式之值等于a 1， a 2， …， a n ，这n 个数的所有可能的差a i –a j (1≤j<i ≤n )的乘积．证明：用数学归纳法1°当n=2时，计算２阶范德蒙行列式的值：122111a a a a -=可见n=2时，结论成立．2°假设对于n –1阶范德蒙行列式结论成立，来看n 阶范德蒙行列式：把第n –1行的(–a 1)倍加到第n 行，再把第n –2行的(–a 1)倍加到第n –1行，如此继续作，最后把第1行的(–a 1)倍加到第2行，得到211231132211212312321221131211312112232221223222132100011111111-----------------------=n nn n n n n n nn n n nn n n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ---------=---223223211312111)())((------=n nn n nn a a a a a a a a a a a a后面这个行列式是n –1阶范德蒙行列式，由归纳假设得∏≤<≤----=ni j j i n nn n na a a a a a a a 22232232)(111于是上述n 阶范德蒙行列式等于∏≤<≤----ni j j in a aa a a a a a 211312)()())(( ∏≤<≤-ni j j ia a１＝)(。

线性代数电子教案电子教案：线性代数一、教学目标：1.理解线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。

2.掌握线性代数的基本运算和常用计算方法。

3.能够应用线性代数解决实际问题。

二、教学重点：1.线性方程组的解法。

2.矩阵及其运算。

3.向量及其运算。

三、教学难点：1.线性方程组的解法。

2.矩阵的逆与转置。

3.向量的线性相关性。

四、教学过程：1.引入（10分钟）通过实例引入线性代数的概念和应用。

如何利用线性代数解决实际问题？2.线性方程组（30分钟）2.1概念介绍：什么是线性方程组？何为解集？有唯一解、无解和无穷多解三种情况。

2.2解法：高斯消元法和矩阵法。

2.3实例演练：通过实例演示线性方程组的解法。

3.矩阵与矩阵运算（40分钟）3.1概念介绍：什么是矩阵？矩阵的行、列、元素、转置和逆。

3.2矩阵的加法和数乘。

3.3矩阵的乘法及其性质。

3.4实例演练：通过实例演示矩阵的运算。

4.向量与向量运算（40分钟）4.1概念介绍：什么是向量？向量的线性组合、线性相关和线性无关。

4.2向量的加法和数乘。

4.3内积与外积。

4.4实例演练：通过实例演示向量的运算。

5.应用与拓展（20分钟）5.1线性代数在计算机科学中的应用：图像处理、机器学习等。

5.2线性代数进一步拓展：矩阵的特征值与特征向量、二次型等。

6.总结与小结（10分钟）对本节课的内容进行总结和小结，检查学生的学习效果。

五、教学资源与评估：1.教学资源：投影仪、电子教案、线性代数教材。

2.教学评估：通过课堂练习和作业检查。

六、教学建议：1.利用多媒体技术，结合具体实例进行教学，增强学生的学习兴趣。

2.注重理论与实践的结合，引导学生进行实际问题的求解。

七、教学后记：本节课主要介绍了线性方程组、矩阵和向量的基本概念、基本运算和基本方法。

通过实例演练，学生对线性代数有了初步的了解和应用能力。

在教学过程中，学生积极参与讨论和互动，课堂气氛活跃。

但有部分学生对深入的理论和拓展知识还存在一定的困惑，需要增加相应的练习和辅导。