机械波的多解成因及解题策略.

机械波的多解成因及解题策略
付 红 周
重庆市丰都中学校（408200）
机械振动在介质中传播形成机械波。

在波源附近，机械波以波源为中心向介质中各个方向传播，介质中各质点在各自的平衡位置附近上下振动；在传播过程中，波形图象每隔一定的时间和空间都会重复出现；在传播方向上，介质中两质点间距离与波长的关系不确定。

由于机械波在时间和空间上的周期性。

传播方向的双向性，质点振动方向的不确定性，以及波长、周期的不确定性，是导致波动习题多解的主要原因。

在解题中，如果不能透彻全面的分析题意，容易出现漏解或者用特解代替通解等现象，下面通过几个例子来说明解横波题中应注意的策略：
1、介质中质点振动方向的不确定性是
造成多解的原因。

介质中质点既可能向纵轴的正方向运
动，也可能向纵轴负方向运动。

所以题中可能出现多解。

例1：一列沿X 轴传播的波，在t 1和t 2
两时刻的波形图中的实线和虚线所示，设波速s m v /2=，则图中质点P 在12t t t -=∆这段时间内通过的路程可能是（） A.10cm B.20cm C.30cm D.40cm
解题策略：P 质点12t t t -=∆可能向上振动，也可能向下振动，在这段时间内，P 点可能完成（1/4+n ）个全振动，也可能完成（3/4+n ）个全振动，所以通过的路程S 1=40（n+1/4）cm ，S 2=40（n+3/4）cm ，（n=0，1，2…),当n=0时，S 1=10cm ，S 2=30cm 。

A 、C 选项正确。

2、传播方向的双向性造成波的多解的又
一原因。

在一维空间传播的机械波，如果没有指明传播方向，则波有向两个方向传播的可能。

例2、一列横波在X 轴上传播，t 1=0和t 2=0.005S 的波形如下图所示的实线和虚线,求（1）设周期大于t 2-t 1，求波速。

（2）设
周期小于t 2-t 1，且s m v /6
000=，求波的传播方向。

解题策略：因△t= t 2-t 1<T ，所以波传播的距离可以直接，由图读出，若波向右传播，则在0.005s 内传播了2米， 则v 右=
s m s m t s /400/005
.02==∆，若波向左传播，则左0.005内传播了6m,则，v
左=
s m s m t s /1200/005
.06/==∆,(2)△t= t 2-t 1>T ，所以波传播的距离大于一个波长，在0.005S 内传播的距离
m
tm v x 30=∆⨯=∆，
4
3
3
=∆λ
x
即
λλ4
3
3+
=∆x ，故波向x 轴负向传播。

3、波动图象的周期性是波多解的重要原因。

波动图象的周期性表现在时间的周期性和空间的周期性上。

机械波在一个周期内不同时刻波形图象是不同的，但相隔时间为周期整数倍的间间的图象的形状是安全相同的。

这种周期性“必然导致波传播距离，时间和速度等有多个值与之对应，即
y/m
x/m
s
n s ∆+=λ，
t nT t ∆+=t
nT s n t s v ∆+∆+==
λ （n=0,1,2…）抓住这几个关系就能正确求解，常表现为以下几个方面。

（1）周期确定，传播距离不确定形成多解；（2）距离确定，周期不确定形成多解；（3）时间、距离都不确定形成多解。

例3、一列横波在某时刻的波形如图中实线1，经2×10-2s 后的波形如图 中虚线2，则波速和频率可能是（）
A 、V =5m/s
B 、V =45m/s
C 、f =50HZ
D 、f =37.5HZ
解题策略：由图可知，λ=0.4m ，若波向左传播，传播的最小距离为0.3m ，若波向右传，传播的最小距离为0.1m ，考虑到波传播的时空周期性，则这列波传播的距离可能是S 1=n λ+
43λ=(0.4+0.3)m ，S 2=n λ+41
λ=（0.4+0.1）m ，（n=0,1,3…）周期可能
3441+=
n t T 1
442+=n t
T (n=0,1,2…）
由t s
v =
得s m n t
s v /)1520(11+=∆=， s m n t
s v /)5020(2
2+=∆= T
f 1
=
，Hz f )5.3750(1+= Hz f )5.1250(2+=(n =0,1,2…）
今n 取不同值得出A 、B 、D 三选项都正确。

4、x 轴上两质点间距隐含的波长不确定，两质点的振动方向不确定使波有多解的原因。

许多波动题，只给出x 轴的两个质点的及两质点间的波形的一部分，而其余部分处
于隐含状态这样，两质点间可能有多个图形相对应，形成多解。

例4、一列横波沿x 轴传播，在某一时刻x 轴上相距S 的A 、B 两点均处于平衡位置，且A 、B 间只有一个波峰，经过t 时间，质点B 第一次达到波峰，试求该波的传播速度。

解题策略：虽然A 、B 间只有一个波峰，实际上有四种波形与之相对应，且波的传播方向未定，故每种情况均有两种可能解，画出A 、B 间只有一个波峰的所有波形如下
①a 图中λ=2S ，波向右传传播时4
T t =
t s t s T v 242==
=
λ
，波向左传时T t 43=波
速t
s
t s T v 233/42==
=λ ②b 图中λ=S ，波向右传播时T t 4
3
1=
t s T v 431==λ，波向左传播时42T t =
t s
v 42=；③c 图中λ=S ，波向右传播时
41T t = t s v 21=波向左传播时432T t =，
t
s v 432=
④d 图中λ=3
2s
，波向右传播时
t s v T t 2,4311==波向左传播时42T t =，
t s
v 62=，其中8种可能的波速中有几个相
同，故有
5
种可能的波速为
t
s
t s t s t s t s 6,4,43,23,2。

例5：如图A 、B 是一列简潜波中的两点，某时刻A 点正处在正向最大位移处，另一点B 恰好通过平衡位置向y 方向振动，已知A 、B 的横坐标是0=a x m x b 70=，
m m 8020 λ，求λ。

解题策略：依题意作出A 、B 之间的最 简波形如图，由波形1
m n x x A B 70)4
1
(=+=-λ得
m n 1
4280+=λ （n=0，1，2.……）
将n=0,1,2 ……代λ通式，得λ=280m ，56m ，31
91m ,m 3
1
23，由20m λ80m 知，波长应 为m 3
123和31
9
1
m ，且波沿-x 方向传播； 由波形 2 m n x x A B 70)4
3
(=+=-λ
得m n 3
4280
+=
λ(n=0,1,2……) 将n=0,1,2……代λ通式得波长为m 3
1
93
40m ,m 115
25 由m m 8020 λ,知波长
应为m 11
5
25和40m ，且波向+x 方向传播。

纵观以上例子，可以看出，求解波的多解题，首先判断波的传播方向，看是否以向传播，其次，根据波形及传播方向，列出波沿不同方向传播时可能传播距离和周期的通式，再次，看质点间隐含m 80m 的不同波长的关系，列出波点的通式，再分别将n=0,1,2……代入通式既可求得所有可能的答案，从而真正做到正确求解，防止漏解或用特解代通解。

此文章发表在《数理化学习》高中版2007年5月九期。