最新人教版高中数学必修2第二章《平面的基本性质与推论》典型例题

数学人教B必修2第一章1.2.1 平面的基本性质与推论1．理解平面的三个基本性质与三个推论，并会用三种语言表示性质和推论．2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．3．能进行文字语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用．1．空间点和直线的基本性质(1)连接两点的线中，________最短．(2)过________有一条直线，并且只有一条直线．2【做一做1－1】若点B在直线b上，b在平面β内，则B，b，β之间的关系可以记作()．A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【做一做1－2】若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是()．A．1个B．2个C．1个或无数个D．无数个且在同一条直线上【做一做1－3】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b且M∈l，N∈l，那么()．A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，__________个平面．推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面．空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们________．【做一做2－1】下列命题正确的是()．①一条直线和一个点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面；④四个点确定一个平面．A．①③B．②③C．③④D．②③④【做一做2－2】由4条平行直线最多可以确定()．A．2个平面B．4个平面C．5个平面D．6个平面A．四边形是平面图形B．有三个公共点的两个平面必重合C．两两相交的三条直线必在同一个平面内D．三角形是平面图形5．异面直线(1)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不________又不______的特点，即________的特点，通常采用平面衬托法，以加强直观性，常见的画法如下图．(2)判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．【做一做4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AA1成异面直线的棱有__________条．1．对异面直线的理解剖析：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．2．平面的基本性质的作用剖析：(1)基本性质1的作用．利用基本性质1可以判断一条直线是否在一个平面内．基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义，从而说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形，在每个平面内都可以用初中的平面几何知识．另外，该基本性质也是判断点在平面内的方法，还可借此用直线来检验平面．(2)基本性质2的作用．作用之一是确定平面，作用之二是可用它来证明点、线共面问题．(3)基本性质3的作用．平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定两个平面的交线有着重要的作用．其一，它是判定两个平面是否相交的依据，也就是说，只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交；其二，它可以证多点共线的问题．若点是某两个平面的公共点，则该点必定在这两个平面的交线上．3．教材中的“思考与讨论”已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？剖析：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a，c可确定一个平面α.因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以AB⊂α，即b⊂α.所以a，b，c 共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a，b共面，所以这些平行线都共面．题型一文字语言、图形语言和符号语言的转换【例1】将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.分析：本题实质是数学的三种语言：符号语言、文字语言、图形语言之间的互译．反思：符号语言简洁，层次感强．文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来．教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便．题型二共线问题【例2】如图所示，已知△ABC的三边所在的直线分别与平面α交于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点共线．分析：证明P，Q，R三点均在平面ABC与平面α的交线上．反思：证明点共线，可先由两点确定一条直线，再证其他的点也在这一直线上，也可证明所有点都在一条特定直线(两平面交线)上．题型三共面问题【例3】如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．分析：有两种方法．(1)先用两平行直线b，c确定一个平面，再证a也在这个平面内；(2)先由两条相交直线a，b确定一个平面，再证c也在这个平面内．反思：本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式，但整体套路是先用部分对象确定一个平面，后证明剩余对象亦在其中．题型四共点问题【例4】三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．分析：直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)．反思：证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题．题型五交线问题【例5】如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.分析：找两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线．反思：画截面截得正方体的截面图形，关键是利用好公理，找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口．题型六易错辨析【例6】在空间中，可以确定一个平面的条件的序号有__________．①两两相交的三条直线②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交③三个点④三条直线，它们两两相交，但不交于同一点错解：①②③④错因分析：不能正确理解确定一个平面所需的条件，往往是疏忽了其中的特殊要求，只记得性质和推论的大概致误．1与“直线l上两点A，B在平面α内”含义不同的是()．A．l⊂αB．平面α过直线lC．直线l上只有这两个点在α内D．直线l上所有点都在α内2平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，但C∈β，又AB∩l＝R，如图，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么在正方体中过P，Q，R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4如图所示，请把下面的叙述用符号语言表示出来．(1)点A，B在直线a上：__________；(2)直线a在平面α内：__________，点C在平面α内：__________；(3)点D不在平面α内：__________，直线b不在平面α内：__________.5木匠师傅只需要用三只脚就能将一张圆桌面平稳地固定，为什么？答案：基础知识·梳理1．(1)线段(2)两点2．两点所有点在平面内经过直线l⊂α有且只有确定有一个公共点有且只有交线【做一做1－1】B关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系．【做一做1－2】D利用基本性质3可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线，而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点．【做一做1－3】A因为M∈a，N∈b，a，b⊂α，所以M，N∈α，根据基本性质1可知l⊂α.故选A.3．有且只有一相交平行共面【做一做2－1】B【做一做2－2】D本题从确定平面的条件来考虑即可，要使四条平行直线确定的平面最多，只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果．由确定平面的条件知，由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.4．有且只有一个在同一平面内异面直线【做一做3】D空间四边形不是平面图形，故选项A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，选项B也是错误的；选项C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内．故选D.5．(1)平行相交不共面【做一做4】4典型例题·领悟【例1】解：文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，AB，AC分别在α，β内．图形语言如下图所示．【例2】证明：∵A，B，C是不在同一直线上的三点，∴过A，B，C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB⊂β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l.同理可证：Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点共线．【例3】证法一：∵b∥c，则b，c确定一个平面，设为α，如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴AB⊂α，即直线a⊂α.∴a，b，c三线共面．证法二：∵a与b是相交直线，则a，b确定一个平面，设为α，如图，设a∩c＝A，过A点在α内作直线c′∥b，∵c∥b，c′∥b，∴c∥c′.又∵c与c′相交于点A，∴c与c′重合．∴a，b，c三线共面．【例4】证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a，b必相交，设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a，b，c三条直线相交于同一点．【例5】解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．【例6】④正解：①中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除①；②中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除②；对于③来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，故排除③；条件④中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由基本性质2知其确定一个平面．随堂练习·巩固1．C根据平面的基本性质1，可知只有选项C不正确．2．C由已知条件可知，C∈γ，A，B∈γ，所以AB⊂γ.而R∈AB，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故CR＝γ∩β.3．D如图所示，延长PQ分别交CB，CD的延长线于M，N，连接MR，交BB1于E，交CC1的延长线于H，连接NH，分别交D1D，D1C1于F，G，则六边形QPERGF为截面图形．4．(1)A∈a，B∈a(2)a⊂αC∈α(3)D∉αb⊄α5．解：根据平面的基本性质2，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．。

1．下列图形中，满足αβ＝AB，aα，bβ，a∥AB，b∥AB的图形是( )．2．平面αβ＝l，点A∈α，点B∈α，且C l，但C∈β，又AB l＝R，如图，过A、B、C三点确定的平面为γ，则βγ是( )．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR3．下列四种叙述：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确说法的序号是( )．A．②③④B．②③C．①②③D．①③4．如果平面α和平面β有三个公共点A、B、C，则平面α和β的位置关系为( )．A．平面α和平面β只能重合B．平面α和平面β只能交于过A、B、C三点的一条直线C．如果点A、B、C不共线，则平面α和平面β重合，若A、B、C三点共线，则平面α与平面β重合或相交于直线ABD．以上说法均不正确5．两条异面直线在同一个平面内的俯视图有可能是__________________________．6．下列命题：①空间三点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④等腰三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交．也必和另一条相交．其中正确的命题是________．7．求证：三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．8．如图所示，△ABC与△A′B′C′不在同一平面内，如果三条直线AA′、BB′、CC′两两相交．证明：三条直线AA′、BB′、CC′共点．9.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体AC1中，E、F、G、H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：(1)直线EF、GH、DC能交于一点吗？(2)若E、F、G、H四点共面，怎样才能画出过四点E、F、G、H的平面与正方体的截面？(3)若正方体的棱长为a，那么(2)中的截面面积是多少？参考答案1.答案：C2.答案：C解析：由已知条件可知，Cγ，A、Bγ，所以，ABγ.而R AB，所以Rγ.又因为C、Rβ，故CR＝γβ .3.答案：B解析：四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；对于④，三点不共线但四点可以共面．4.答案：C解析：应分A、B、C三点共线与不共线两种情况讨论．5.答案：两条相交直线，如图(1)；两条平行直线，如图(2)；一个点和一条直线，如图(3)解析：要判断两异面直线在同一平面内的俯视图的情况，即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形，上图只是列举其中的一些可能情况，比如说图(1)俯视图是两条相交直线的情形．6.答案：④解析：由平面的基本性质2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)．③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三条直线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由平面的基本性质2的推论及平面的基本性质1可知必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形；在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，直线BB ′⊥AB ，BB ′⊥BC ，但AB 与BC 不平行，所以⑥错；AB ∥CD ，BB ′AB ＝B ，但BB ′与CD 不相交，所以⑦错．7.解：已知：如图所示，平面α、β、γ满足αβ＝a ，βγ＝b ，γα＝c ，a b ＝A .求证：A ∈c .证明：∵a b ＝A ，∴A a ，A b ，又αβ＝a ，βγ＝b ，∴aα，b γ.∴A α，A γ.又αγ＝c ，∴A c .8.证明：∵AA ′、BB ′、CC ′两两相交，∴过AA ′、BB ′确定平面α，过BB ′、CC ′确定平面β，过AA ′、CC ′确定平面γ.设AA ′BB ′＝P ，则P AA ′，P BB ′，∴P γ，P β.又βγ＝CC ′，∴P CC ′，故三条直线AA ′、BB ′、CC ′共点．9.解：(1)如图，能交于一点．理由如下：因为E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，易得E 、F ∈平面ABCD 且EF 与CD 相交，设交点为P .由△EBF ≌△PCF ，可得PC ＝BE ＝12AB . 同理，GH 与CD 相交，设交点为P 1，同样可得P 1C ＝C 1G ＝12C 1D 1＝12AB . 所以P 1与P 重合，因此直线EF 、GH 、DC 能交于一点．(2)如图，延长HG 、DD 1，相交于点R ，延长FE 交DA 的延长线于Q ，则点R 、Q 是截面与侧面AD 1的公共点，连接RQ 与A 1D 1、A 1A 分别交于点M 、T ，连接GM 、TE ，可得截面与正方体各面的交线分别为EF 、FH 、HG 、GM 、MT 、TE .截面如下图的阴影部分所示．(3)截面为正六边形，其面积为226).=。

典题精讲例1求证:若一条直线分别和两个相交平面平行,则这条直线必与它们的交线平行.思路分析:首先将文字叙述的条件及结论转化成数学符号,利用两个辅助平面得到与a平行的直线,通过传递得到结论.证明:如图2-2-15,已知l∥α,l∥β,α∩β=a.图2-2-15求证:l∥a.证明:过l作平面γ交α于b,过l作平面δ交β于c.∵l∥α,l⊂γ,α∩γ=b,∴l∥b.同理,l∥c,∴b∥c.∵c⊂β,b⊄β,∴b∥β.又b⊂α,α∩β=a.∴b∥a.∴l∥a.绿色通道:明确线面平行的判定定理成立的条件,通过构造辅助平面,可把线面的平行关系转化成线的平行关系.变式训练1如图2-2-16所示,四面体ABCD被一平面所截,截面与四条棱AB、AC、CD、BD分别相交于E、F、G、H四点,且截面EFGH是一个平行四边形.图2-2-16求证:棱BC∥平面EFGH,AD∥平面EFGH.证明:∵截面EFGH是平行四边形,∴EF∥HG,EH∥FG.∴EF∥平面DBC.又∵平面ABC∩平面DBC=BC,EF⊂平面ABC,∴EF∥BC.∴棱BC∥平面EFGH.同理,∵EH∥FG,∴EH∥平面ACD.又∵平面ABD∩平面ACD=AD,EH⊂平面ABD,∴EH∥AD.∴棱AD∥平面EFGH.例2如图2-2-17,ABCD—A′B′C′D′为长方体,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD 和AD的中点.图2-2-17(1)判断四边形MNA′C′的形状.(2)求四边形MNA′C′的面积.思路分析:可由MN ∥AC,AC ∥A′C′,得出MN ∥A′C′,这是求解问题的关键所在.要注意挖掘长方体的隐含条件.解:(1)连结AC.因为M,N 分别是CD 和AD 的中点,所以MN 21AC. 因为ABCD —A′B′C′D′为长方体,所以ACC′A′为矩形.所以A′C′AC.所以MN A′C′.所以四边形MNA′C′是梯形.在△A′AN 和△C′CM 中,因为∠A′AN=∠C′CM=90°, A′A=C′C=2a,AN=CN=21a. 所以△A′AN ≌△C′CM.所以A′N=C′M.所以四边形MNA′C′是等腰梯形.(2)由A′C′=2a,MN=22a,A′N=C′M=217a 得,梯形高h=466a, 所以S=3383a 2. 绿色通道:抓住图形特征,将问题转化为具体的线面关系,把线面平行变为线线平行是处理空间几何问题常用的思想方法.变式训练2图2-2-18是一块长方体形状的工件,现在要过BC 和上表面内的一点P 将工件切开,应怎样画线?所画的线与工件的下底面是什么位置关系?图2-2-18思路分析:经过工件上表面内的点P 和BC 将工件切开,实际上是过BC 和点P 作截面,所画的线就是切面与长方体工件表面的交线.解:在面A 1B 1C 1D 1内过点P 作直线EF ∥B 1C 1交A 1B 1和C 1D 1分别于点E 、F.连结BE 、CF,则沿折线BCEF 切开即可.所画的直线EF 与下底面平行,BE 和CF 都和下底面相交.例3用平行于四面体ABCD 的一组对棱AC 和BD 的平面截此四面体,得一四边形MNPQ,如图2-2-19所示.图2-2-19(1)求证:MNPQ 是平行四边形.(2)若AC=BD,能截得菱形吗,如何截？(3)在什么情况下,可以截得一个矩形？(4)在什么情况下,能截得一个正方形呢,如何截？(5)若AC=BD=a,求证:平行四边形MNPQ 的周长一定.思路分析:本题以线面、面面的平行为载体,来解决相关的问题.对于(1)可用两组对边分别平行来证明MNPQ 是平行四边形;再由比例的性质证得结论(2);当对棱垂直时,由空间等角的关系,可见四边形MNPQ 的一个角是直角,从而得到结(3);对于结论(4),只要满足既是菱形又是矩形的要求即可;对于第(5)问,只要注意△AMQ ∽△ABD,就可把平行四边形MNPQ 的周长表示出来,从而确定它是否是与a 有关的定值.(1)证明:∵AC ∥平面MNPQ,且平面ADC∩平面MNPQ=PQ,且AC平面ADC,∴AC ∥PQ.同理可证AC ∥MN,BD ∥MQ,BD ∥NP.∴PQ ∥MN,MQ ∥NP.∴四边形MNPQ 为一平行四边形. (2)解:由(1)得DADQ AC PQ =① 由MQ ∥BD,得AD AQ BD MQ =.② 又AC=BD,①÷②得AQDQ MQ PQ =,当DQ=AQ 时, PQ=MQ.又四边形MNPQ 为平行四边形,∴MNPQ 为菱形,即当Q 取AD 中点时可截得菱形.(3)解:显然,当AC ⊥BD 时,MN ⊥NP,即四边形MNPQ 为矩形.(4)解:由(2)和(3)可知,当AC=BD,且AC ⊥BD,且Q 为AD 的中点时,四边形MNPQ 为一正方形.(5)证明:设MQ=x,PQ=y,Q 为AD 上一点,且AQ ∶QD=m ∶n,∵△AMQ ∽△ABD, ∴nm m AD AQ BD MQ +==,且BD=a. ∴x=MQ=nm m + a. 同理可得y=PQ=nm n + a. ∴x+y=n m m +a+n m n +a=a.∴周长为2(x+y)=2a,即当AC=BD=a 时,平行四边形MNPQ 的周长为定值2a.绿色通道:本小题是一道典型的发散性思维题,其中综合了几何中的多个知识点,特别是线面平行和线线平行.正确理解相关平面图形的定义是解答本题的关键.通过引入了参数m 、n 、x 、y,可建立相关量间的关系式,消去参数后即得所求结果.变式训练3平面EFGH 平行于空间四边形ABCD 中的边CD 与AB 且分别交BD 、AD 、AC 、BC 于E 、F 、G 、H.CD=a,AB=b,CD ⊥AB.(1)求证:EFGH 为矩形;(2)点E 在什么位置时,S EFGH 最大？(1)证明:如图2-2-20,图2-2-20⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⇒⎭⎬⎫⇒EF HG EF AB HG AB EFGH AB EH GF EH CD CF CD EFGH CD ////////////////面面EFGH 是平行四边形. 由AB ⊥CD ⇒EF ⊥FG ⇒EFGH 为矩形.(2)解:设BE=x,BD=m,ma EH m x a EH =⇒=x, mb EF m x m b EF =⇒-=(m-x), S EFGH =EH·EF=]4)2([)()(22222m m x mab x mx m ab x m m b x m a +--=-=-∙. 当x=2m 时,S EFGH 最大=4422ab m mab =∙. 问题探究问题直线与平面平行的性质定理可简记为“线面平行,则线线平行”.应用这个定理证明问题的关键是什么?其中反映了什么思想?导思:应用线面平行的性质定理,必须“找”或“作”辅助平面与已知平面相交,这是空间问题向平面问题转化的桥梁.应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,有时为了得到交线还需作出辅助平面.探究:应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线不仅起到本身与已知直线平行的结论的作用,而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关系的判定作用,即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行,所有与交线相交的直线都与已知直线异面.直线与平面平行的性质定理与判定定理经常混合使用,这反映了线面平行、线线平行间的相互转化、相互联系,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.。

自主广场我夯基我达标1.下列图形中,满足α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB的图形(图1-2-1-14)是( )图1-2-1-14思路解析:可以根据图形的特点及直线与平面平行的性质进行判断,也可以使用反证法进行证明.答案：C2.若点B在直线b上,b在平面β内,则B、b、β之间的关系可以记作( )A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β思路解析:关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系,直线与平面是集合与集合之间的关系.答案：B3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈α,N∈b且M∈l,N∈l,那么( )A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N思路解析:因为M∈α,N∈b,a,b⊂β,所以M,N∈α,而MN确定平面l,根据公理1可知l⊂α.故选A.答案：A4.已知一条直线和这条直线外不在同一直线上的三点，讨论可以确定平面的个数.思路分析:解决问题要围绕条件，关键是分清点与直线的各种位置关系，进行分类讨论.公理3及其推论是高考考查的重点知识，一般是与排列组合知识综合在一起考查.要注意分类讨论思想的应用.解：设直线l及l外不共线的三点A、B、C.由公理3知A、B、C可以确定一个平面α，若l在α内，这时只能确定一个平面.若l不在α内,(1)若A、B、C中有两点与l共面，这时可以确定三个平面.(2)若A、B、C中无任何两点与l共面，这时可以确定四个平面.综上所述，一直线与这条直线外不共线的三点，确定平面的个数可以是1个、3个或4个.5.如图1-2-1-15，直线a∥b∥c，直线l分别交a、b、c于点A、B、C,求证：四条直线a、b、c、l共面.图1-2-1-15思路分析:证明共面问题的主要依据是公理3及其推论，由此入手进行思维，发掘解题方法.证明共面的方法有：(1)先根据公理3及其推论确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内；(2)过有关的点、线分别确定一个平面，然后再证明这些平面重合；(3)反证法.证法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面a.∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵C∈l，∴C∈α.∴a与C同在d内.又∵a∥c，∴直线a、c确定一个平面β.∵点C∈c，c⊂β，则点C∈β，即平面β也是直线a和点C确定的平面.∴平面α和平面β重合，因此c⊂α.∴a、b、c、l共面.证法二：由证法一得a、b、l共面α，即b在a、l确定的平面内.同理,可证c在a、l确定的平面内.∵过a与l只能确定一个平面，∴a、b、c、l共面于a、l确定的平面.我综合我发展6.如图1-2-1-16，已知E、F与G分别为正方体ABCD—A1B1C1D1棱AB、B1C1与DA的中点，试过E、F、G三点作正方体ABCD—A1B1C1D1的截面.图1-2-1-16思路解析:公理2是确定截面的理论依据，同时本题中也蕴含了点共线的证明方法，通常证明两个点都在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内,即也在交线上.解决过点的截面问题关键在于能依据公理2及公理3确定截面与几何体的交线.图1-2-1-17作法:(1)连结GE并延长交CB延长线于M，交CD延长线于N，连结MF，交棱B1B于点H，连结HE.(2)延长EH交A1B1的延长线于点R.连结FR，FR交D1C1于Q.(3)连结QN交D1D于点K，连结KG.六边形KGEHFQ就是所要作的截面.7.有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，图1-2-1-18是从3种不同的角度看同一粒骰子的情形.请问H反面的字母是什么？图1-2-1-18思路分析:此题中解决问题的关键点在于能够把空间正方体的表面展开成一个平面图形，这种化空间为平面的解题思想是立体几何解题的一种基本思想.同时在学习立体几何时，可以借助实物模型培养自己的空间想象能力.解：H的反面是S，原正方体表面字母的排列如图.图1-2-1-19代数解法:由①设S的对面X，H的对面Y，E的对面Z.见题图.若X、Y、Z中没有S，则由①②知S的相邻4个面分别为H、E、O、P，但由②③知S相邻的面中有两个不同的P,与已知矛盾.∴X、Y、Z中还有一个S,即六个面是E、H、S、O、P、S的某种排列,与P相邻的面有S、O、H、S.∴P与E相对，即Z=P.又由②③中P的倒置知,②到③的变化中有一个翻转过程，故H的反面为S.8.已知三个平面两两相交，有三条交线,求证:若这三条交线不平行，则它们交于一点.思路分析:证明三线共点的基本思路是先证其中两条直线有交点，再证该交点在第三条直线上.对于证空间中多线共点，平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用，只是在思考中应考虑空间图形的特点.答案：已知：如图,设三个平面为α、β、γ，且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a.且a、b、c不平行.图1-2-1-20求证：a、b、c三线交于一点.证明:α∩β=c，α∩γ=b，∴b⊂α，c⊂α.∵b、c不相互平行，∴b、c交于一点.设b∩c=P，∵P∈c，c⊂β，∴P∈β.同理,P∈γ.∵β∩γ=a，∴P∈a.故a、b、c交于一点P.9.如图1-2-1-21,点A∉平面BCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，若EH 与FG交于P(这样的四边形ABCD就叫做空间四边形).求证：P在直线BD上.图1-2-1-21思路分析:证明点在直线上及三点共线都可以使用公理2进行,即说明点P在某两个平面的交线上即可.证明：∵EH∩FG=P，∴P∈EH，P∈FG，∵E、H分别属于直线AB、AD，∴EH 平面ABD.∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.又∵平面ABD∩平面CBD=BD，∴P在直线BD上.。

2.2.4平面与平面平行的性质A组1.a∥α,b∥β,α∥β,则a与b的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析:如图①②③,a与b的关系分别是平行、异面或相交.答案:D2.已知α∥β,a?α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线解析:由直线a与点B确定一个平面,记为γ,设γ∩β=b,∵α∥β,a?α,∴a∥β.∴a∥b.只有此一条.答案:D3.设平面α∥平面β,点A∈α,点B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C()A.不共面B.不论点A,B如何移动,都共面C.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面D.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面解析:动点C移动的轨迹一定是在平面α与β之间且与它们等距离的一个平面.答案:B4.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是()A.α∩β=a,b?α?a∥bB.α∩β=a,a∥b?b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b解析:选项A中,α∩β=a,b?α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a?α,b?α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a与b相交,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言,故选D.答案:D5.下列说法正确的是()A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行D.若三直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行解析:平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以A错;B正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,不正确;D不正确,因为过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行.答案:B6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析:因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.答案:l∥A1C17.如图所示,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是.解析:平面ADC∩α=EF,且CD∥α,得EF∥CD;同理可证GH∥CD,EG∥AB,FH∥AB.∴GH∥EF,EG∥FH.∴四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别是AC,A1C1上的点,若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.解:连接A1B,交AB1于点O,连接D1O.由题意知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O, 因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.∴.又∵=1,∴=1,即=1.9.如图所示的一块四棱柱木料ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是梯形,且CD∥AB.(1)要经过面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线之间有什么位置关系?解:(1)如图所示,连接D1P并延长交A1B1于E,过E作EF∥AA1交AB于F,连接DF,则D1E,EF,FD就是应画的线.(2)∵DD1∥AA1,EF∥AA1,∴D1D∥EF.∴D1D与EF确定一个平面α．又∵平面AC∥平面A1C1,α∩平面AC=DF,α∩平面A1C1=D1E,∴D1E∥DF.显然DF,D1E都与EF相交.B组1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是()A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,则BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.答案:C2.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1∥BB1,A1D∩A1B=A1,AD1与A1B是异面直线.故选D.答案:D3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是()A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆解析:∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1, ∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1,则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).答案:C4.已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题:①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β;②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β;③若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β;④若a?α,a∥β,α∩β=b,则a∥b.其中正确命题的序号是.解析:①③中,α与β都可能相交,正确的是②④.答案:②④5.如图,ABCD与A1B1C1D1是四棱台的上、下底面,那么AC和A1C1的位置关系是.解析:A1A和CC1延长后相交,AC和A1C1分别是平面AA1C1C与下、上底面交线,因为棱台上、下底面平行,所以AC∥A1C1.答案:平行6.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=.解析:由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',.答案:7.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E、F、G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.证明:在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF?平面PAB,AB?平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.∵AP?平面PAB,∴AP∥平面EFG.8.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条异面直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C 和点D,E,F,已知AB=2 cm,BC=3 cm,DE=4 cm,求EF的长.解:如图所示,连接AF交平面β于点G,连接CF,BG,EG,AD.∵AC∩AF=A,∴直线AC和AF确定一个平面AFC,则平面AFC∩β=BG,平面AFC∩γ=CF.又β∥γ,∴BG∥CF.∴.同理可证,∴.∴.∴EF=6 cm.。

最新人教版高中数学必修二第二章《平面》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列叙述正确的是()A.若P∈α，Q∈α，则PQ∈αB.若P∈α，Q∈β，则α∩β=PQC.若AB∈α，C∈AB，D∈AB，则CD∈αD.若AB∈α，AB∈β，则A∈α∩β且B∈α∩β2.下面说法中(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：∈因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；∈因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；∈因为A∈a，a∈α，所以A∈α；∈因为A∈α，a∈α，所以A∈a.其中正确的说法的序号是()A.∈∈B.∈∈C.∈D.∈3.下列说法中正确的个数为()∈三角形一定是平面图形；∈若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；∈圆心和圆上两点可确定一个平面；∈三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.44.已知A，B是点，a，b，l是直线，α是平面，如果a∈α，b∈α，l∩a=A，l∩b=B，那么下列关系中成立的是()A.l∈αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B5.用符号语言表示下列语句，正确的个数是()(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A∈α，A∈β.(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∈α，a∈α.(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l，l∩α=M.A.1B.2C.3D.46.一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是() A.4 B.6 C.7 D.107个，将条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点.7.如图所示，平面α∩平面β=l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∈l.又AB∩l=R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ是()A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均错8.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M既不在直线AC上，也不在直线BD上二、填空题(每小题5分，共10分)9.AB，AD∈α，CB，CD∈β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.10.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∈BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.三、解答题11.(10分)如图，∈ABC与∈A1B1C1不全等，且A1B1∈AB，B1C1∈BC，C1A1∈CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.参考答案与解析1【解析】选D.点在直线或平面上，记作A∈l，A∈α，直线在平面内记作AB∈α或l∈α，故D 正确.2【解析】选C.点在平面上，用“∈”表示，不能用“∈”表示，故∈不正确；AB在α内，用“∈”表示，不能用“∈”表示，故∈不正确；由A∈a，a∈α，不能得出A∈α，故∈不正确；由A∈α，a∈α，知A∈a，故∈正确.3【解析】选C.由公理2可知∈正确；因为两对角线相交，故可确定一平面，故∈正确；当圆上两点与圆心共线时，不能确定平面，故∈错误；每两条平行线可确定一个平面，故最多可确定3个平面，∈正确.4【解析】选A.因为l∩a=A，a∈α，所以A∈α，又l∩b=B，b∈α，所以B∈α，故l∈α.5【解析】选B.(1)错误，点A和平面的关系应是A∈α，A∈β，(4)错误，缺少P∈α，(2)(3)正确. 6【解析】选A.当直线外这三点不共线且任意两点的连线不平行于该直线时，确定的平面个数最多为4个.7【解析】选C.由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ=CR.8【解析】选A.如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF∈平面ABC，HG∈平面ADC，故M∈平面ABC，M∈平面ADC，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.9【解析】P∈EH，EH∈α，故P∈α，同理P∈β，而α∩β=BD，所以P∈BD.答案：BD10【解析】如图，因为AC∈BD，所以AC与BD确定一个平面，记为β，则α∩β=CD，因为l∩α=O，所以O∈α，又O∈AB∈β，所以O∈β，所以O∈CD.故O，C，D共线.答案：共线11【证明】如图所示，因为A1B1∈AB，所以A1B1与AB确定一平面，记为平面α.同理，将B1C1与BC所确定的平面记为平面β，C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ=C1C.又∈ABC与∈A1B1C1不全等，所以AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1∈γ，BB1∈β，所以P∈γ，P∈β，所以P在平面β与平面γ的交线上.又β∩γ=C1C，所以P∈C1C，所以AA1，BB1，CC1交于一点.。

2．1.1 平面1．知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用图形与字母表示平面． 2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个数．________α，β，γ等来表示，如上图a 中的平面记为平面________(表示平面的平行四边形的对角线的顶点中的平面记为平面AC 或平面BD用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点中的平面记为平面ABC 或平面____等用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的____)来表示，的平面可记作平面ABCD习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．【做一做1】 如图所示的平行四边形MNPQ 表示的平面不．能记为( )A ．平面MNB ．平面NQPC ．平面αD ．平面MNPQ2．点、线、面的位置关系的表示从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“⊄”表示．【做一做2－1】若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为() A．M∈a，a∈αB．M∈a，aαC．M a，aα D．M a，a∈α【做一做2－2】平面α与平面β相交于直线m，用符号语言表示为__________．∈l，且A∈α，B∈α判断点在平面内公理1的内容反映了直线与平面的位置关系．“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”．从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内．【做一做3】已知直线m平面α，P m，Q∈m，则()A．Pα，Q∈α B．P∈α，QαC．Pα，Qα D．Q∈α______有且只有一个平面α，使确定平面(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．【做一做4】三点可确定平面的个数是()A．0 B．1 C．2 D．1或无数个α∩βα∩β＝l且____判定平面相交证明点共线证明线共点公理3反映了两个平面的位置关系．条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”．公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．【做一做5】如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点答案：1．延展平行四边形2虚线(1)希腊字母(2)英文字母(3)BCD(4)顶点【做一做1】A2．A∈l A l A∈αAαlαlαl∩m＝A l∩α＝Aα∩β＝l【做一做2－1】 B【做一做2－2】 α∩β＝m 3．两点 l α 【做一做3】 D 4．不在 不共线 【做一做4】 D5．公共点 直线 P ∈l 【做一做5】D1．对平面的理解 剖析：几何中的平面是一个只描述而不定义的最基本的原始概念．生活中的平面是比较平整、有限的；而几何中所说的平面是从生活中常见的平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延伸的．几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的，可以向四周无限延伸．总结起来，平面应具有如下特点：(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合； (5)平面图形是空间图形的重要组成部分．生活中的一些物体通常呈平面形状，如课桌面、黑板面等都给我们以平面的形象．这种借助于实例引入平面的概念是必要的，对几何中平面的无限延展性可以联系直线的无限延伸性来理解，即任何一个平面都把空间分成两部分．2．公理2的推论A a 有且只有一个平α，使A ∈α，a αb ＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α∥b 有且只有一个平α，使a α，b α下面仅证明推论2，另两个推论自己证明．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 已知：直线a ∩b ＝P.求证：经过直线a ，b 有且只有一个平面．证明：①如图所示，在直线a ，b 上分别取与P 不同的点A 和B ，则A ，B ，P 是不共线的三点，则过这三点有且只有一个平面α.∵A ∈a ，P ∈a ，A ∈α，P ∈α，∴aα.同理，bα，∴平面α是经过直线a，b的一个平面．②假设经过直线a，b还有一个平面β，那么A，B，P三点也一定在平面β内．这样过不共线的三点A，B，P就有两个平面α和β，这与公理2矛盾．∴经过相交直线a，b只有一个平面α.由①和②，知经过直线a，b有且只有一个平面．这三个推论与公理2的作用相同，都是确定平面的依据．对于两两平行的三条直线，当它们共面时，确定1个平面；当它们不共面时，它们中任意两条直线确定一个平面，则此时可确定3个平面．综上可得，两两平行的三条直线确定1个或3个平面．3．辨析三种数学语言剖析：文字语言比较自然生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明确地叙述出来，教材上的概念、定理等多以文字叙述；图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用；符号语言简洁、精练，能够明确地表达空间中点、线、面之间的关系．符号语言是数学中常用的一种语言，要熟练地掌握符号语言、文字语言、图形语言之间的转化．题型一：判断确定平面的个数【例1】一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是()A．4 B．6 C．7 D．10反思：确定平面的问题要利用公理2及三个推论，要想确定的平面最多，那么条件中每一组能确定平面的元素都要利用起来．本题容易产生的错误是先在已知直线上任取两点，这样共5个点构成了一个四棱锥，四棱锥的4个侧面，2个对角面，再加上底面共有7个平面，误选C；或者是认为这5个点中任取3个点可确定一个平面，一共有10种取法，误选D.错因都是把题中的条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点，那么错解中确定的某些平面只包含这两个点中的一个，这是不符合题意的．题型二：数学语言的转换【例2】用文字语言和符号语言表示下图．反思：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形，有几个平面且位置关系如何，有几条直线且位置关系如何，图中的直线和平面的位置关系如何，有几点且在哪条直线或哪个平面上等，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．本题易误解：符号语言为m∩n＝A，A∈α.此时还表示图a，b，c三种情形．答案：【例1】A【例2】解：文字语言：平面α内两直线m和n相交于点A.符号语言：mα，nα，且m∩n＝A.1．圆上任意三点可确定的平面有()A．0个B．1个C．2个D．1个或无数个2．两两相交且共点的三条直线可确定________个平面．3．用符号语言和文字语言分别表示下面的图形．4．用文字语言表示下列符号语言，并画图表示：α∩β＝m，aα，bβ，a∩m＝P，b∩m＝P.5．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)点A在直线l上，点B不在直线l上；(2)平面α与平面β相交于过点A的直线l.答案：1．B 2.1或33．解：符号语言：lα，m∩α＝M.文字语言：直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点M.4．解：用文字语言表示为：分别在两相交平面α，β内的两条直线a和b相交，且交点P在平面α，β的交线m上．如图所示．5．解：(1)符号语言：A∈l，B l，如图所示．(2)符号语言：α∩β＝l，A∈l，如图所示．。

课堂练习(八) 平面的基本性质与推论(建议用时：40分钟)[合格基础练]一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是( )A．①B．①④C．②③D．③④A[因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．]2．若a，b为异面直线，则( )①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝l；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．A．①②④B．①③④C．②③D．①④D[②③中α可能与β相交也可能平行，①④符合异面直线的定义．]3．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点D[由公理3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．]4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线B[如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图①中A、B、D不共线．]①②5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，试根据图形填空：(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．[答案](1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B18．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．1或2或3 [如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．]三、解答题9．求证：三棱台A1B1C1­ABC三条侧棱延长后相交于一点．[证明]延长AA1，BB1，设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂平面BC1，∴P∈平面BC1，AA1⊂平面AC1，∴P∈平面AC1，∴P为平面BC1和平面AC1的公共点，又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.10．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[证明] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．[等级过关练]1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合C[选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．] 2．下列说法正确的是________．①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．②[①错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．②正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．③错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．④错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．]。