五年级奥数第12讲-长方体和正方体(学)

五年级奥数之长方体和正方体的表面积例1：一个长方体的棱长之和是48厘米，长是5厘米，宽是4厘米，求它的表面积。

这个长方体的高可以用48减去长和宽的和（5+4=9）得到，即39厘米。

根据长方体表面积的公式，它的表面积为2×(5×4+5×39+4×39)=518平方厘米。

例2：一个零件形状大小如下图，求它的表面积。

由于这个零件由一个长方体和两个正方体组成，可以分别计算它们的表面积再相加。

长方体的表面积为2×(5×4+5×3+4×3)=94平方厘米，正方体的表面积为6×(3×3)=54平方厘米，因此这个零件的表面积为94+54=148平方厘米。

例3：有一个长方体形状的零件。

中间挖去一个正方体的孔（如下图）。

求它的表面积。

（单位：厘米）由于这个零件由一个长方体和一个正方体孔组成，可以先计算长方体的表面积，再减去正方体孔的表面积。

长方体的表面积为2×(8×6+8×2+6×2)=208平方厘米，正方体孔的表面积为6×2×2=24平方厘米，因此这个零件的表面积为208-24=184平方厘米。

例4：下图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积。

首先可以将这个立体图形分解为一个长方体和两个正方体。

长方体的长、宽、高分别为5、5、10，表面积为2×(5×5+5×10+5×10)=300平方厘米。

正方体的边长为5，表面积为6×(5×5)=150平方厘米。

因此这个立体图形的表面积为300+150+150=600平方厘米。

例5：一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？一个正方体的表面积为6a^2，其中a为边长。

长方体和正方体的表面积例1、一个长方体的棱长之和是48厘米，长是5厘米，宽是4厘米，它的表面积是多少平方厘米？例2、一个零件形状大小如下图：算一算，它的表面积时多少平方厘米。

例3、有一个长方体形状的零件。

中间挖去一个正方体的孔（如下图）。

你能算出它的表面积吗？（单位：厘米）例4、下图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积。

例5、一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？例6、一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方米。

原来正方体的表面积是多少平方厘米？例7、一个长方体，高截去2厘米，表面积就减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的表面积是多少平方厘米？例8、一个正方体的棱长是3厘米，表面涂满了红漆，把它切成棱长为1厘米的小正方体若干块，问：在这些小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？一面涂有红色的有多少块？六个面都没有涂上红色的有多少块？例9、用6块棱长分别为1、2、3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，共有多少种拼法？表面积最大可以是多少平方厘米？例10、一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？应用与拓展1、一个长方体和一个正方体的棱长和相等，已知长方体的长、宽、高分别是6分米、4分米、2分米，正方体的表面积是多少平方分米？2、一个长5厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，被切去一块后（如下图），剩下部分的表面积是多少？3、有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下的物体的体积和表面积各是多少？4、19个棱长为1厘米的小正方体堆成如下图的形状，求它的表面积是多少平方厘米？5、把一根长方体木料锯成5个相等的正方体，表面积比原来增加了96平方厘米，这根木料原来的表面积是多少平方厘米？6、下图正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个正方体木块，这时表面积增加了多少平方分米？7、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？8、把若干个棱长为1厘米的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24个，那么，堆成的大正方体的表面积是多少平方厘米？9、若将三个棱长分别为1、2和3厘米的正方体粘在一起成为物体甲，则物体甲的表面积最小是多少平方厘米？10、有三块完全一样的长方体，每块长8厘米，宽5厘米，高3厘米。

五年级奥数长方体与正方体涂色与三视图知识框架表面涂色与三视图一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内。

重难点重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型．难点：复杂三视图问题．例题精讲【例1】右图是333正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【巩固】右图是456正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例2】右图是333正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？【牢固】右图是456正方体，假如将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例3】将一个表面积涂有红色的长方体支解成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只要3个，求原先长方体的表面积是多少平方厘米？【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【例4】右图是115的长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【牢固】右图是225长方体，假如将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种分歧的涂色情况？【例5】右图是125长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有________块。

【例6】XXX用不异的若干个小正方体摆成一个平面（如图2）。

从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的。

（填序号）①②③【牢固】XXX用不异的若干个小正方体摆成一个平面（如图2）。

课程五立体图形问题1.长方体、正方体表面积的计算 2。

长方体、正方体的切割问题 3。

长方体、正方体的体积4。

不规则物体的体积计算长方体和正方体的表面积应注意的问题(1）找出必备条件(长、宽、高或棱长）,如题中没有直接给出，则 先求出必备条件,再求表面积（有盖还是无盖)。

（2）统一计量单位，单位不统一的,一般要通过化、聚，使单位统一 后再计算。

（3）求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值. (4)用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同,表面积 就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀,就增加两个面。

1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式 (1)长方体体积＝长×宽×高 V 长方体＝abc（2） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长 V 正方体＝a 3 2.求不规则物体的体积水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。

水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度例1有一个长15厘米，宽10厘米,高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？学习目标重 点总 结（1） （2) （3）分析与解法根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况，可能是在面上,如图(1），可能在顶点上，如图（2)，可能在棱上，如图（3）.在面上时,可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积；在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时,要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。

解：原长方体表面积为:（15×10+15×8+10×8) ×2=700（平方厘米） 在角上时，剩下部分的表面积是700（平方厘米); 在面上时，剩下部分的表面积是: 700+5×5×4=800（平方厘米）在棱上时，剩下部分的表面积是:700＋5×5×2＝750（平方厘米)所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。

第十二讲几何计数漫画，共一格一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。

旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。

分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。

人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。

后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了．三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧．例题1．下列图形中各有多少个三角形？「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？下图中有多少个三角形？例题2．右图中共有多少个三角形？「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？练习2:．请数出这个图形中有多少个三角形．下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.例题3．下列图形中，分别有多少个正方形？「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？例题4．在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）（1）一共有多少个长方形？（2）包含“★”的长方形共多少个？（3）包含“☆”的长方形共多少个？（4）两个五角星都包含的长方形共多少个？（5）至少包含一个五角星的长方形共多少个？（6）两个五角星都不包含的长方形共多少个？★☆「分析」如果还用枚举法处理这道题目，就会越数越复杂．那有没有好一点的方法？我们换一个角度来思考这个问题．同学们可以想想看，怎样才能在图中画出一个长方形来？当然很简单，只需要画出它的两条长和两条宽就可以了，也就是只需要画出两条横线和两条竖线．如右图所示．因此，长方形的个数就是选择两条横线和两条竖线的所有方法数．下图中是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．那么：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？通过上面的学习我们可以知道，几何计数与我们之前学过的有序思考、分类枚举、乘法原理以及排列组合都有着密切的关系．同学们在学习过程中要勤于观察，勤于思考，这样才能发现和总结出更好的方法．例题5．右图中共有多少个长方形？（注意：长方形包括正方形）「分析」我们可以考虑下方3×5的长方形和右边6×2的长方形，分别计算出两部分中长方形的个数，这样所有的长方形都考虑到了，但是其中有重复计算的．哪些重复计算了？容易看出来重复计算的是右下角重叠的3×2的部分，那么把这部分中的长方形减去就能得到最后答案．例题6．右图中有多少个平行四边形？「分析」题目中要求数出平行四边形的个数，那么你能发现图中有几类平行四边形吗？如何数出每一种的数量呢？数学家的墓志铭一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志．古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：“不要弄坏我的圆”．）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二．德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献．甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑．16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上．瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”．这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语．阿基米德（公元前287年—公元前212年）作业1. 右图中共有多少个三角形？作业2. 右图中共有多少个三角形？作业3. 右图是由12个11⨯的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个正方形．作业4. 右图是由15个11⨯的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个长方形．（长方形包括正方形．）作业5. 在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）（1）包含“★”的长方形共多少个？ （2）包含“☆”的长方形共多少个？ （3）两个五角星都包含的长方形共多少个？第十二讲几何计数例题1.答案：16；15详解：注意有序枚举：（1）左图中由一部分组成的三角形有6个，由两部分组成的三角形有3个，由三部分组成的三角形有6个，由六部分组成的三角形有1个，共计16个．（2）右图中由一部分组成的三角形有4个，由两部分组成的三角形有6个，由三部分组成的三角形有2个，由四部分组成的三角形有2个，由六部分组成的三角形有1个，共计15个．例题2.答案：78详解：恰当分类，有序枚举．图中的三角形可以分为两类，一类是尖朝上的，一类是尖朝下的．设最小的三角形边长为1．（1）尖朝上的：边长为1的三角形有123410+++=个；边长为2的三角形有1236++=个；边长为3的三角形有123410+++=个；边长为4的三角形有1236++=个；边长为5的三角形有123+=个；边长为6的三角形有1个．共计56个．（2）尖朝下的：边长为1的三角形有1234515++++=个；边长为2的三角形有1236++=个；边长为3的三角形有1个．共计22个．图中一共有78个三角形．例题3.答案：91，112详解：分别考虑边长为1、2、3、4、5、6的正方形各有多少个即可．左图有66554433221191⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=个，右图有766554433221112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=个．例题4.答案：（1）756；（2）216；（3）240；（4）108；（5）348；（6）408详解：（1）7条横线选2条作为长，9条竖线选2条作为宽，有22792136756C C⨯=⨯=个．（2）含★的长方形上下左右边分别有3、4、3、6种选法，这样长方形有3436216⨯⨯⨯=个．（3）含☆的长方形上下左右边分别有4、3、5、4种选法，这样长方形有4354240⨯⨯⨯=个．（4）两个五角星都含的长方形上下左右边分别有3、3、3、4种选法，长方形有3334108⨯⨯⨯=个．（5）根据容斥原理，至少包含一个五角星的长方形有216240108348+-=个．（6）用排除法，两个五角星都不包含的长方形有756348408-=个．例题5.答案：135个详解：如图，下方阴影部分中一共有长方形224690C C⨯=个；右方阴影部分中一共有长方形227363C C⨯=个．其中右下方3×2长方形中的长方形被重复计算了，共有224318C C⨯=个．所以图中一共包含长方形906318135+-=个．例题6.答案：45个．详解：所有平行四边形一共有三种不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如图：这就提示我们可以按这个特点来分类，因为根据图形的对称性，这三种平行四边形的个数是一样多的．只需数出其中的一种，就能算出最后的答案了．下面我们来数尖朝上的平行四边形．所有这种平行四边形的边都是斜的，没有横线，所以要数它们的个数，可以把图中的所有横线都去掉，变成如下图形：这样一来图形就简单了，这个图里的平行四边形很容易数出来：最小的平行四边形有10个，两个小平行四边形拼成的有12个，三个小平行四边形拼成的有6个，四个小平行四边形拼成的有5个，六个小平行四边形拼成的有2个，共35个．而对于另外两种平行四边形，也可根据同样的方法数出，都是35个．因此原来图形中一共有353105⨯=个平行四边形．练习1.答案：8个；12个简答：（1）左图中由一部分组成的三角形有3个，由两部分组成的三角形有4个，由四部分组成的三角形有1个，共计8个．（2）右图中由一部分组成的三角形有5个，由两部分组成的三角形有4个，由三部分组成的三角形有2个，由五部分组成的三角形有1个，共计12个．练习2.答案：48个简答：由1个小三角形组成的三角形有151025+=个；由4个小三角形组成的三角形有10313+=个；由9个小三角形组成的三角形有6个；由16个小三角形组成的三角形有3个；由25个小三角形组成的三角形有1个；共有48个．练习3.答案：2470个简答：按正方形的大小分类，共有2222191817119203962470++++=⨯⨯÷=个．练习4.答案：（1）450；（2）144简答：（1）5条横线选2条作为长，10条竖线选2条作为宽，有225101045450C C⨯=⨯=个．（2）含黑点的长方形上下左右边分别有2、3、6、4种选法，这样长方形有2364144⨯⨯⨯=个．作业1.答案：10个简答：由一个部分组成的三角形有5个，由两个部分组成的三角形有4个，由三个部分组成的三角形有1个，共计10个．作业2.答案：14个简答：边长为1的有10个，边长为2的有4个，共计14个．作业3.答案：20个简答：正方形数目：边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个，共计20个．作业4. 答案：90个简答：长方形有2246C C 90⨯=个．作业5. 答案：（1）180个；（2）192个；（2）108个简答：（1）3354180⨯⨯⨯=个；（2）4443192⨯⨯⨯=个；（3）3343108⨯⨯⨯=个．。

图1 图2 图3图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．【例 7】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是平方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：（）（）(平方厘米)．⨯-⨯⨯+⨯+++++++=87662616661787292也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．8786762292【答案】292【例 8】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【答案】600【例 9】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2006年，第四届，走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】 三视图法：表面积为：()454226++⨯=【答案】26【例 10】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。

涂上红色的部分，面积是（ ）平方厘米【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛，第12题【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。

从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。

因此被染色的面有()1067236++⨯=个面【答案】36【例 11】 用6块右图所示(单位：cm )的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2(343334)266(cm )⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm )⨯+⨯+⨯⨯=【答案】112【例 12】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？⑵当 b <2h 时，如何打包？⑶当 b >2h 时，如何打包？【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包.【答案】当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包. (1)图3图2图1hba【例 13】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： 。

五年级下册数学正方体与长方体讲解正方体与长方体是五年级下册数学的重点内容。

在本篇讲解中，我们将分别介绍正方体和长方体的定义、性质、表面积和体积的计算方法，并提供一些相关的例题和解答，帮助学生更好地理解和掌握这两个几何图形。

一、正方体的定义和性质正方体是一种六个面都是正方形的立体图形。

它有八个顶点、十二条棱和六个面。

正方体的特点是所有的面都是相等的正方形。

二、长方体的定义和性质长方体是一种六个面都是矩形的立体图形。

它有八个顶点、十二条棱和六个面。

长方体的特点是每两个相对的面是相等的矩形。

三、正方体与长方体的区别正方体和长方体最明显的区别就是面的形状，正方体的面都是正方形，长方体的面都是矩形；其次是顶点的形状，正方体的顶点是尖的，长方体的顶点是圆润的。

四、正方体与长方体的表面积计算1. 正方体的表面积计算：正方体的表面积等于六个面的面积之和。

由于正方体的六个面都是相等的正方形，所以可以将正方体的表面积公式简化为S=6a^2，其中a为正方体的边长。

2. 长方体的表面积计算：长方体的表面积等于六个面的面积之和。

由于长方体的六个面都是矩形，所以可以将长方体的表面积公式简化为S=2(ab+bc+ac)，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。

五、正方体与长方体的体积计算1. 正方体的体积计算：正方体的体积等于底面积乘以高。

由于正方体的底面是正方形，所以可以将正方体的体积公式简化为V=a^3，其中a为正方体的边长。

2. 长方体的体积计算：长方体的体积等于底面积乘以高。

由于长方体的底面是矩形，所以长方体的体积公式为V=abc，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。

下面是一些例题，用于帮助学生巩固对正方体和长方体的理解和运用：例题1：某正方体的边长为3cm，求它的表面积和体积。

解：这个正方体的边长为3cm，所以它的表面积等于6×3×3=54cm^2，体积等于3×3×3=27cm^3。

五年级数学长方体与正方体大家好，今天咱们来聊聊数学中的两个小伙伴——长方体和正方体。

别看它们名字长得很正式，其实它们在我们的生活中可真是随处可见哦！有点像“街坊邻里”，随时都会碰到。

那咱们就一块儿来看看这两个几何小伙子到底是啥样的吧！1. 什么是长方体？长方体，听起来是不是有点拗口？别担心，其实它就是“长、宽、高”三个方向上都有不同长度的那种立方体。

比方说，你家里的冰箱，就是个典型的长方体。

我们来具体看看它的特点。

1.1 长方体的基本特征长方体有六个面，像个“盒子”，这些面都是长方形。

换句话说，长方体的每一个面都是长方形，但它们的长和宽可以是不一样的。

长方体还得有12条边，这些边分布在它的六个面上。

听起来是不是有点复杂？其实不难理解，只要想象一下你手里的一个普通的纸盒子就行了。

1.2 如何计算长方体的体积？体积这个词，乍一听有点高大上，其实很简单。

长方体的体积，就是它的“长”ד宽”ד高”。

比如，你的冰箱长2米，宽1米，高1.5米，那它的体积就是2×1×1.5 = 3立方米。

是不是觉得挺简单的？2. 什么是正方体？正方体就像个小方块，它的六个面都是正方形，长、宽、高都是一样长的。

所以，正方体就像是小小的积木块。

是不是觉得很可爱呢？咱们再细说说它的特点。

2.1 正方体的基本特征正方体的每一个面都是一个正方形，这就意味着它的每一边都是一样长的。

记住，它有12条边，6个面和8个顶点。

想想你小时候玩过的那种积木块，不就是这样的吗？拿一个正方体的玩具积木，看看它的每一面都是正方形，就能理解了。

2.2 如何计算正方体的体积？正方体的体积也不复杂，它的体积等于它的边长的立方。

也就是说，如果一个正方体的边长是4厘米，那它的体积就是4×4×4= 64立方厘米。

真是简简单单的数学题目，轻轻松松就能算出来。

3. 长方体与正方体的区别虽然长方体和正方体在外形上有点相似，都是“盒子”型的，但它们还是有不少区别的。

第12讲几何例1：如图所示阴影部分的面积是66平方厘米，则图中正方形的面积是平方厘米。

例2：如图所示，本行方形的长和宽分别是12厘米和9厘米，把三角形的三条边分别平均分成三段，得到A，B，C，D，E，F这了六个点，连接AF，BC，DE，DE得到一个六边形，这个六边形的面积。

例3：如图，三角形ABC的面积为30平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米。

例4：如图所示正八边形ABCDEFGH的面积为32平方厘米，M，N分别为AB，CD的重点。

则四边形MBNF的面积为平方厘米例5：如图所示，正方形ABCD的面积为54平方厘米，则阴影部分的面积为平方厘米。

例6：比较图中两个阴影部分I和II的面积，它们的大小关系是。

例7：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=100度，那么∠A=_________度。

例8：如图所示，长方形ABCD 的长为25，宽为15。

四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC 平行。

求阴影部分的面积。

2．平面几何中的计数问题例9：在等边三角形的三条边上分别取中点，并把分得的每一段再等分，如果继续下去，当每条边被八等分时，连接相对应的点，如图所示，可以组成_________个等边三角形。

例10：如图，有____________个正方形例11：图12-17是一个等边三角形花园，其中每一行都均匀地栽满了花。

已知图中一个小的等边三角形每条边上有15株花，这个花园共栽花_________株。

例12：如图所示，从豆豆家到学校，有4条纵路，3条横路。

如果豆豆上学时只能由上向下，从左到右，那么有_________种不同的走法。

3．平面几何知识的应用例13：如图所示，在一幅长为80厘米，宽为50厘米的矩形图画的四周镶一条宽为整数厘米的金色纸边（宽度保持不变），制成一幅面积为5400平方厘米的挂图，求金色纸边的宽度。

例14：小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，生产一批形状如图所示的风筝，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点（即有EF=FG =21AC ，EH=FG=21BD ）。