2019-2020年高二数学函数极限的运算法则教案 上教版

高二数学函数的极限与连续性的优秀教案范本一、引言在高中数学教学中，函数的极限与连续性是非常重要的内容。

函数的极限是许多数学概念的基础，而函数的连续性则是应用数学的基石。

本教案将重点介绍高二数学中的函数的极限与连续性，并提供一个优秀教案的范本，以供教师参考。

二、教学目标1. 理解函数的极限的定义及其性质；2. 掌握计算函数的极限的基本方法；3. 掌握函数的连续性的概念及其判定方法；4. 能够应用极限与连续性的概念解决实际问题。

三、教学过程1. 知识讲解函数的极限是指自变量无限接近某一数值时，函数的取值趋近于某一数值。

通过用数列逼近的方法，可以得到函数的极限的定义及性质。

函数的连续性是指函数在某一区间内没有突变或间断点，即函数的图像是一条连续的曲线。

可以通过幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质判定函数的连续性。

2. 例题演示通过一些典型的例题，让学生掌握函数极限的计算方法和函数连续性的判定方法。

3. 练习与讨论给学生一些练习题，让他们在课堂上独立思考并与同学讨论解题思路。

同时，教师可以在课堂上进行正确性的讲解和解答学生的疑问。

4. 拓展应用提供一些拓展的应用题，让学生将所学的函数的极限与连续性的知识应用到实际问题中。

例如，通过分析一个物体的运动过程，计算出某一瞬间的速度极限，以及在某一时间段内速度的连续性。

5. 归纳总结对于函数的极限与连续性的知识进行归纳总结，并引导学生总结出函数极限计算和函数连续性判定的一般性方法和规律。

6. 课后作业布置一些课后作业，让学生巩固所学的内容并提高解题能力。

四、教学评价与反思通过课堂讲解、例题演示、学生讨论和课堂练习的方式，教师能够及时发现学生对于函数的极限与连续性的理解程度和掌握情况。

教师可以根据学生的表现评价他们的学习效果，进而调整教学方法和策略。

五、教学拓展教师可以引导学生进一步探究函数的极限与连续性的深层次问题，如函数的间断点、函数的一致连续性等。

同时，可以引导学生应用函数的极限与连续性的知识解决更复杂的实际问题。

2019-2020年高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案教学目标： 了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质（一） 主要知识及主要方法：函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时， ；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记作或者当当时，如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .常数函数: ()，有.存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==. 其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限.对于函数极限有如下的运算法则：如果，,那么,, .当是常数，是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续.函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(和型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.（二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：；；；2cos lim cos sin 22x x x x π→-； ；();（广东） （陕西）问题2．若，求、的值.设，若，求常数、的值.（重庆）设正数满足，则问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.，点；，点；试讨论函数20()13,02x f x x x >=⎨⎪+⎪⎩≤，点问题4．已知()()()0()101x a x f x x x b x +⎧=-<<⎨⎪=-⎪⎩≥ ，在区间上连续，求（届高三四川眉山市一诊）已知函数()()1()3log 1a b a x f x x x b x ⎧-<⎪=-⎨⎪+⎩≥在上连续且单调递增，则实数问题5．已知函数，当时，求的最大值和最小值；解方程；求出该函数的值域.问题6．证明：方程至少有一个小于的正根.（三）课后作业：已知，求的值.若（、为常数），则 ；已知（），那么给一个定义，使在处连续，则应是（济南一模）设是一个一元三次函数且，，则设函数在处连续，且，则（四）走向高考：（江西）若，则（湖北）若，则常数的值为（天津）设，，，则（四川）（江西）等于等于等于不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则（湖南）下列四个命题中，不正确．．．的是若函数在处连续，则函数的不连续点是和若函数，满足，则（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，…，，从而得到个直角三角形212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当时，这些三角形 的面积之和的极限为（江西）已知函数21(0)()2(1)xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间内连续， 且．求实数和的值；解不等式．y xO（广东）设函数，其中常数为整数.当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.2019-2020年高三数学第80课时导数的应用教案教学目标：理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.（一）主要知识及主要方法：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>.（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义区间，求导数求方程的根用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值． 说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.（二）典例分析：问题1．（届云南平远一中五模）函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23 已知，的反函数为，则（大连一模）设均是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是问题2．如果函数在区间上单调递增，并且方程的根都在区间内，则的取值范围为（届高三浙江上虞市调研）已知，那么在区间上单调递增在上单调递增在上单调递增在上单调递增函数，（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围.（Ⅲ）已知当时，≥恒成立，求实数的取值范围.问题3．（天津）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．问题4．（湖北）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求证：≥（）．问题5．利用导数求和：21123n n S x x nx -=+++⋅⋅⋅+（, ）.12323n n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+（）.（三）课后作业：已知函数，则方程在区间上的根有个 个 个 个（郑州一中等四校联考）若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是求满足条件的的范围：使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是证明方程在上至多有一实根.（届高三陕师大附中八模）如果是二次函数, 且的图象开口向上, 顶点坐标为, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（届厦门双十中学高三月考）如图，是函数的大致图像，则等于（天津）函数的定义域是开区间, 导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点个个个个（届高三哈尔滨第三中学第一次月考）Array函数的图象如图所示，且，则有已知：，证明不等式：设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间（届高三福建质检）已知函数在处取得极值．求实数的值；若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；证明：对任意的正整数，不等式都成立．（四）走向高考：（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足≤．对任意正数，若，则必有≤≤≤≤(江苏)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有≥，则的最小值为（全国）函数在下面哪个区间内是增函数（重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则（全国）已知是正整数且，求证：（重庆）已知函数44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在处取得极值，其中为常数．（Ⅰ）试确定的值；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．（海南）设函数（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．（全国Ⅰ）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．（全国Ⅱ文）若函数()3211()1132f x x ax a x =-+-+在区间内为减函数，在区间内为增函数，试求实数的取值范围.。

2019-2020学年高中数学 第63讲 极限竞赛教案相关知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”2.几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(l i mB A b a n n n .).(lim =∞→ 0(l i m ≠=∞→B B Ab a nn n 5 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ,B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=,nx x n x x x f x f oo )](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用6 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，lim x x →f (x )存在，且lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.7.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. 8 函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 9 最大值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1). 10 最小值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2). 11.最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 .A 类例题例1 （1）nn aa )1(lim -∞→等于( ) A.－1B.0C.1D.不能确定分析 因为当|a a -1|＜1即a ＜21时，n n aa )1(lim -∞→=0， 当|a a -1|＞1时，nn aa )1(lim -∞→不存在. 当aa -1=1即a =21时，n n a a )1(lim -∞→=1 当a a -1=－1时，nn aa )1(lim -∞→也不存在. 答案 D.例2 已知|a |＞|b |，且n n n n n n n n ab a a b a +<++∞→-∞→11lim lim (n ∈N *)，那么a 的取值范围是( )A.a ＜－1B.－1＜a ＜0C.a ＞1D.a ＞1或－1＜a ＜0分析 左边=aa b a a b a n n n n n n 1])(1[lim lim 1=+=+∞→-∞→ 右边=a ab a a b a nn n n n n =+=+∞→+∞→])([lim lim 1 ∵|a |＞|b |，∴|ab |＜1. ∴∞→n lim (a b )n=0∴不等式变为a1＜a ，解不等式得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：D.说明 在数列极限中，极限∞→n lim q n=0要注意这里|q |＜1.这个极限很重要.例3 (1)24lim 22--→x x x . (2)201213lim 2+--∞→x x x x(1)分析 先因式分解法，然后约分代入即得结果。

（完整版）⾼中数学《函数的极限》教案课题：2.3函数的极限(⼆)教学⽬的：1.理解函数在⼀点处的极限，并会求函数在⼀点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在⼀点处的左右极限．3.理解函数在⼀点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就⽆限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的⼀个特殊的点.那么如果对于数轴上的⼀般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：⼀、复习引⼊： 1.数列极限的定义：⼀般地，如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列}{n a 的项n a ⽆限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -⽆限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于⽆穷⼤时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表⽰“n 趋向于⽆穷⼤”，即n ⽆限增⼤的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.⼏个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）⽆穷等⽐数列}{nq （1""→q q nn3.函数极限的定义:(1)当⾃变量x 取正值并且⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于正⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当⾃变量x 取负值并且绝对值⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于负⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表⽰+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，⼜有－∞的意义，⽽数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义⼆、讲解新课： 1.研究实例(1)探讨函数2x y =，当x ⽆限趋近于2时的变化趋势．当x 从左侧趋近于2时，记为：-→2x ．当x 从右侧趋近于2时, 记为：+→2x .发现（左极限）22lim 2x x -→=,（右极限）22lim 2x x +→=,因此有22lim 2x x →=． (2)我们再继续看112--=x x y ,当x ⽆限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:211,(1)1x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．当x 从右侧趋近于1时, 即1x +→时，2y →．即（左极限）2111(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-，（右极限）2111(1)21lim lim x x x x x ++→→-∴=+=- 2111(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>??==??-当x →0的变化趋势.①x 从0的左边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于－1.即0lim ()1x f x -→=- ②x 从0的右边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于1. 即0lim ()1x f x +→= 可以看出00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，就称当0x →时，()f x 的极限不存在．2. 趋向于定值的函数极限概念：当⾃变量x ⽆限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→3. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==其中0lim ()x x f x a -→=表⽰当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表⽰当x 从右侧趋近于0x 时的右极限三、讲解范例：例1求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim →（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+解：（1）220011lim lim 12121x x x x x x x →→-+==--+ （2）000lim 1,lim 1lim x x x x x xx x x-+→→→=-=?不存在．（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+20lim ()lim(1)1,lim ()lim 21xx x x x f x x f x --++→→→→?=+=== 0lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+→→→?==?=．四、课堂练习：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3.求如下极限：⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 22x x x x --→π⑷2321lim4--+→x x x ;⑸xa x a x -+→20lim（0>a ）; ⑹x x 1lim 0→答案：⑴2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323 00(1)(13)3lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-⑷443x x →→==⑸012x x a x a→→== ⑹x x 1lim 0→不存在．五、⼩结：六、课后作业：七、板书设计（略）⼋、课后记：。

高中数学极限教案
教学内容：极限的概念及运算法则
教学目标：
1. 了解极限的概念，掌握极限的定义；
2. 掌握求极限的常用方法，如代入法、夹逼定理等；
3. 能够熟练运用极限的运算法则，解决相关题目。

教学重点：
1. 极限的定义及性质；
2. 极限的计算方法。

教学难点：
1. 运用夹逼定理求极限；
2. 掌握极限的运算法则。

教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

教学步骤：
一、复习导入（5分钟）
通过回顾前几节课的内容，引导学生了解极限的基本概念及性质。

二、新知讲解（15分钟）
1. 讲解极限的定义及性质；
2. 介绍极限的运算法则：四则运算法则、三角函数的极限、指数函数的极限等。

三、示例演练（20分钟）
1. 通过几道例题，让学生熟悉求极限的常用方法；
2. 演示如何运用极限的运算法则解题。

四、练习巩固（15分钟）
布置一定数量的练习题，让学生独立完成，并及时纠正错误。

五、课堂总结（5分钟）
对本节课的内容进行总结，强调学生应掌握的重点和难点。

教学反思：
1. 学生是否能够理解极限的定义及性质；
2. 学生是否能够熟练运用极限的运算法则解题；
3. 教学过程中是否能够引导学生主动思考及互动讨论。

教学扩展：
可以通过拓展练习或应用题，加深学生对极限概念的理解及掌握。

2019-2020年高中数学 数列极限的运算法则教时教案 大纲人教版教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。

教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入：函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿（B ） 二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果那么推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。

例如，若，，有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞→∞→∞→lim .lim ).(lim二.例题： 例1.已知，求例2.求下列极限： （1）； （2）例3.求下列有限：（1） （2） 分析：（1）（2）当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n （2）说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。

当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。

3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。

练习与作业：1.已知，求下列极限 （1）； （2）2.求下列极限：（1）； （2）nn 352lim+-∞→。

高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。

2. 学会求函数在某一点的极限。

3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大的大小。

4. 了解极限在数学分析中的应用。

二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，无穷小，无穷大。

2. 极限的表示方法：极限符号“\(\lim\)”，极限表达式。

3. 求函数在某一点的极限：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。

4. 无穷小和无穷大的比较：无穷小比较，无穷大比较。

5. 极限在数学分析中的应用：导数，积分。

三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限。

2. 难点：无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解极限的概念，掌握极限的表示方法。

2. 采用案例分析法，让学生通过具体的例子学会求函数在某一点的极限。

3. 采用比较法，让学生理解无穷小和无穷大的概念，并能比较它们的大小。

4. 采用联系实际法，让学生了解极限在数学分析中的应用。

五、教学准备1. 教学课件：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限，无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。

2. 例题：求函数在某一点的极限的例题。

3. 练习题：巩固极限的概念和求函数在某一点的极限的方法。

教案一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，引导学生思考函数在某一点的极限是什么。

2. 介绍极限的表示方法，让学生熟悉极限符号“\(\lim\)”和极限表达式。

二、新课内容（15分钟）1. 讲解极限的概念，解释无穷小和无穷大的概念。

2. 讲解求函数在某一点的极限的方法：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。

三、案例分析（15分钟）1. 通过具体的例子，让学生学会求函数在某一点的极限。

2.让学生尝试解决一些求极限的问题，并及时给予指导和解答。

四、无穷小和无穷大的比较（10分钟）1. 讲解无穷小比较和无穷大比较的方法。

高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。

2. 学会求函数在某一点的极限值。

3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大数据。

4. 了解极限在数学分析中的应用。

二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，极限的表示方法。

2. 极限的性质：极限的保号性、极限的传递性、极限的唯一性。

3. 无穷小和无穷大：无穷小的概念，无穷大的概念，比较无穷小和无穷大数据。

4. 极限的运算法则：极限的四则运算法则，极限的复合函数运算法则。

5. 极限在数学分析中的应用：极限在求解函数极值、导数、积分等方面的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，无穷小和无穷大的概念。

2. 难点：极限的运算法则，极限在数学分析中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考问题来理解极限的概念和性质。

2. 通过实例讲解，让学生掌握求函数在某一点的极限值的方法。

3. 利用数学软件或图形计算器，动态展示极限过程，帮助学生直观理解极限概念。

4. 开展小组讨论，让学生在合作中探讨极限的运算法则和应用。

五、教学安排1课时：介绍极限的概念和表示方法；1课时：讲解无穷小和无穷大的概念；1课时：讲解极限的性质；1课时：讲解极限的运算法则；1课时：讲解极限在数学分析中的应用。

六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的极限题目，检测学生对极限概念和性质的理解。

2. 课后作业：布置求函数在某一点的极限值和应用极限解决实际问题的题目。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。

七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和教学内容。

2. 针对学生的疑难问题，进行解答和讲解。

3. 探索更多有效的教学资源，如数学软件、图形计算器等，以提高教学效果。

八、拓展与提高1. 极限在数学分析中的其他应用：如微分、积分等。

2. 极限在实际问题中的应用：如物理学、工程学等领域的应用。

高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。

2. 学会运用极限的性质和运算法则进行简单的极限计算。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。

二、教学内容1. 极限的定义：函数在某一点的极限。

2. 极限的表示方法：语言表示、图形表示、代数表示。

3. 极限的性质：保号性、保序性、保面积性。

4. 极限的运算法则：加减法则、乘除法则、复合函数极限法则。

5. 极限的计算举例。

三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念、表示方法、性质和运算法则。

2. 难点：极限的性质和运算法则的理解与应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解极限的概念、表示方法、性质和运算法则。

2. 利用图形和实例直观展示极限的性质和运算法则。

3. 引导学生进行课堂练习和思考，巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：引入极限的概念，引导学生思考函数在某一点的意义。

2. 讲解极限的定义，解释极限的表示方法。

3. 讲解极限的性质，通过实例演示性质的应用。

4. 讲解极限的运算法则，引导学生理解法则的内涵。

5. 进行极限计算举例，让学生运用所学知识解决问题。

6. 课堂练习：布置相关极限计算题目，巩固所学知识。

8. 作业布置：布置课后习题，巩固极限计算能力。

9. 课后反思：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学质量。

10. 教学评价：通过课后习题和课堂表现，评价学生对极限知识的掌握程度。

六、教学案例分析1. 案例一：函数f(x)在x=0处的极限分析：通过分析函数f(x)在x=0附近的行为，理解极限的概念。

2. 案例二：函数f(x)在x趋向于正无穷时的极限分析：探讨函数在x趋向于正无穷时，极限的存在与不存在情况。

七、极限在实际问题中的应用1. 物理中的极限问题：速度、加速度的极限概念。

2. 实际生活中的极限问题：如物体从高处下落的位移计算。

八、极限的进一步研究1. 无穷小与无穷大：理解无穷小的概念，探讨无穷小与极限的关系。

2. 极限的推广：研究极限在其他数学领域中的应用。

高二数学人教版函数的极限教案【高二数学人教版函数的极限教案】一、教学目标：1. 理解函数的极限的定义及其性质；2. 掌握求函数的极限的基本方法；3. 能够运用函数的极限解决实际问题。

二、教学重点与难点：1. 理解函数极限的概念；2. 运用极限的基本性质求解函数的极限；3. 运用函数的极限解决实际问题。

三、教学准备：1. 教师准备：教案、教材、多媒体设备；2. 学生准备：课本、笔记、计算器。

四、教学过程：Step 1 引入（15分钟）教师通过提问和实例引导学生理解极限的概念，例如：1. 当变量 x 在无限接近某一值时，函数 f(x) 的值是否也趋于某一确定的值？为什么？2. 如何判断一个函数在某一点是否具有极限？Step 2 概念解释与例题演示（30分钟）教师对函数的极限的定义进行详细解释，并通过几个例题演示求解函数的极限，包括：1. 极限的定义：函数 f(x) 的极限为 L，表示当 x 趋近于某一值时，f(x) 的值越来越接近 L；2. 求函数极限的基本方法：代入法、夹逼准则、无穷小量比较法等。

Step 3 练习与拓展（30分钟）学生进行小组讨论和个人练习，解决一些典型的函数极限问题，并尝试运用极限解决一些相关的实际问题。

Step 4 归纳总结（15分钟）教师引导学生归纳总结函数的极限的性质和基本方法，并帮助学生关联相关知识，如导数的概念和应用等。

Step 5 探究拓展（30分钟）学生通过探究性学习的方式，进一步拓展函数极限的应用场景，并尝试解决一些较为复杂的函数极限问题。

五、教学拓展：1. 学生可以通过阅读相关优秀数学论文和文献，了解函数的极限的深入理论和应用；2. 学生可以应用函数的极限理论进行数学建模和实际问题的解决。

六、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数的极限有了初步的了解，掌握了求解函数极限的基本方法，并能够应用函数的极限解决实际问题。

对于拓展性的学习需要进一步引导学生主动思考和探索，培养他们的数学建模能力和创新思维。

高中数学教案函数的极限高中数学教案：函数的极限一、引言在高中数学中，函数的极限是一个重要的概念。

本教案将介绍函数的极限的概念和性质，以及如何计算函数的极限。

二、函数的极限的定义函数的极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值会趋于某个确定的值或者无穷大。

我们用符号来表示函数的极限，如下所示：lim(x→a) f(x) = L其中，lim表示极限的运算符，x→a表示自变量x趋于a，f(x)表示函数f关于自变量x的取值，L表示极限的结果。

三、函数的极限的性质1. 唯一性：函数的极限在给定条件下是唯一的。

即同一个函数在同一个点的极限结果是唯一确定的。

2. 局部性：函数的极限是局部的，即只关注自变量在某个特定点附近的取值。

3. 有界性：如果函数在某个点的极限存在，则函数在该点附近是有界的。

4. 保号性：如果函数在某个点的极限存在且大于（或小于）0，则函数在该点附近保持正（或负）号不变。

四、计算函数的极限的方法1. 代入法：当函数在某个点的极限存在且可以直接代入计算时，可以通过代入法求出极限的结果。

例如，对于函数f(x) = 2x + 1，要求lim(x→2) f(x)的值，我们只需要将x的值代入函数中即可得到结果。

2. 分解因式法：当函数在某个点的极限存在但无法直接代入计算时，可以通过分解因式的方法进行计算。

例如，对于函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)，要求lim(x→1) f(x)的值，我们可以将函数分解为f(x) = (x + 1)(x - 1) / (x - 1) = x + 1，然后将x的值代入函数中即可得到结果。

3. 常用极限公式法：当函数满足一定条件时，可以通过常用的极限公式来进行计算。

例如，对于函数f(x) = sin(x) / x，要求lim(x→0) f(x)的值，我们可以使用常用极限公式lim(x→0) sin(x) / x = 1，直接得出结果。

五、实例分析1. 求lim(x→2) (2x + 1)的值，根据代入法，将x的值代入函数中，可得lim(x→2) (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5。

课题名称极限的运算法则授课时间授课地点授课课型讲授学时安排2学时教学目标知识目标：掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限能力目标：能够熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的素质目标：培养学生的数学的思维和数学兴趣教学重点会利用函数极限的运算法则求函数的极限教学难点函数的极限的运算法则。

教学方法教法：以讲授为主，师生互动、习题训练为辅学法：讲练结合教学资源PPT、教学过程教学环节教学内容师生活动教学资源复习旧课5’导入新课5’一、复习基础知识——函数的极限（课件展示）1、函数在不同情况下的极限的概念；（熟记）2、函数的左右极限。

（理解）二、导入新课在学习了函数极限的概念后，我们返现有些函数的极限可以利用观察法直接得到，如（1）函数xxf1)( 的图形。

提问、复习讲授新课启发式教学提问式教学PPT讲授新课20’（2）观察函数当时的极限。

（3）观察函数当时的极限。

但是对于比较复杂的一些极限问题，就没办法直接通过观察法得出，所以还要研究极限的运算法则。

三、讲授新课极限的运算法则（熟记）设则有（1）极限的可加（减）性；（2）极限的可乘性；（3）极限的可除性。

根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对极限运算法则的讲解给出如下折推论。

推论1 常数可以提到极限号前，即CAxfCxCf==)(lim)(lim。

推论2若m为正整数，则[]mmm Axfxf==)]([lim)(lim。

注意：在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。

常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因对比教学法小组讨论法例题讲述20学生练习教师点评25’子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化。

四、例题讲述例1：求极限解：例2：222234lim3xx xx→-+-解：因为时，分母的极限不为0，所以222234lim3xx xx→-+-=2222lim234lim3xxx xx→→-+-（）（）=2222222lim2lim3lim4lim lim3x x xx xx xx→→→→→-+-=2222222lim2lim lim lim3lim4lim lim3x x x x xx xx x xx x→→→→→→→-+-=例3：求极限.解：.例4：求极限.解：当时，分子、分母的极限均不存在(为无穷大)，不能直接使用极限运算法则.注意到时,所以可用除分子与分母，然后再求极限，即五、课堂演练练习1：求下列函数的极限（1）444lim222-+-→xxxx；（2）hxhxh22)(lim-+→；（3）213lim2xxx→+-；（4）3232231lim532xx xx x→∞-++-；讲练结合。

2019-2020年高二数学函数的极限教案 上教版教学目标：1、使学生掌握当时函数的极限；2、了解：的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0教学重点：掌握当时函数的极限教学难点：对“时，当时函数的极限的概念”的理解。

教学过程： 一、复习：（1）＿＿＿＿＿;（2）).(_______1lim*∞→∈=N k x kx（3） 二、新课就问题（3）展开讨论：函数当无限趋近于2时的变化趋势 当从左侧趋近于2时 （） 当从右侧趋近于2时 （） 三、例题求下列函数在X ＝0处的极限（1） （2） （3） 0,10,00,22<+=>x x x x x四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。

五、练习及作业：1、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于1时的变化趋势，说出当时函数的极限2、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于3时的变化趋势，说出当时函数的极限3（）2019-2020年高二数学分层抽样教案新课标苏教版必修3教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解分层抽样的概念；（2）掌握分层抽样的一般步骤；（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。

2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。

3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。

4、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。

教学设想：【创设情景】假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？【探究新知】一、分层抽样的定义。

2019-2020年高二数学极限的概念教案上教版教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点：数列和函数极限的理解教学过程：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。

（1）求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；（2）求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0）。

无限趋近于常数A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。

”即“动点到A的距离可以任意小。

二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于．．．．．某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，记作注：①上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。

“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。

有时也记作当∞时，A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，，，…，，…；（2），，，…，，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；（5）－1,1，－1，…，，…；注：几个重要极限：（1） （2）（C 是常数）（3）无穷等比数列（）的极限是0，即 ：2、当时函数的极限（1） 画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数的极限是0，记作： 一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A ，就说当趋向于正无穷大时，也可以记作，当时，（2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，是0，记作：一般地就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A ，记作：也可以记作，当时，（3）从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数的极限是0，记作一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A ，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A ，记作：也可以记作，当时，特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即例2：判断下列函数的极限：（1） （2）（3） （4）三、课堂小结PM NAB C D1、数列的极限2、当时函数的极限四、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，，，…，，…；（2）7，7，7，…，7，…；（3）；（4）2，4，6，8，…，2n，…；（5）0.1，0.01，0.001，…，，…；（6）0，…，，…；（7）…，，…；（8）…，，…；（9）－2, 0，－2，…，,…，2、判断下列函数的极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。

2019-2020年高二数学函数的单调性与极值教案上教版教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)<f(x2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.二新课讲授1 函数单调性我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

例2 确定函数的单调区间。

2 极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f()是函数y=f(x)的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f()是函数y=f(x)的一个极小值。

极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。