(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲)(含解析)

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第四章三角函数与解三角形第01讲任意角和弧度制及任意角的三角函数 ---讲1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3.高考预测：（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．4.备考重点：(1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.知识点1．象限角及终边相同的角1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．2．弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由题意得，与终边相同的角可以表示为．故选B ． 【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 【变式1】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴，（1），∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．（2），当时，∴，∴2α的终边在第一象限．当时，∴，∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．知识点2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2.三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P (cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.【典例2】（2011·江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且，则y=_______.【答案】-8 【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式2】（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三角函数的定义可得．故选B ．知识点3．扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.【典例3】（2019·河南高考模拟（理））已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为，,因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积,即，所以12S S =，【总结提升】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【变式3】（浙江省诸暨中学）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则∴解得28r l ==， 或44r l ==，故选C ．考点1 象限角及终边相同的角【典例4】 (2019·宁夏质检)终边在直线y =上，且在[22)－，ππ内的角α的集合为 .【答案】【解析】如图，在坐标系中画出直线y =，可以发现它与x 轴的夹角是3π，在)0,2π⎡⎣内，终边在直线y =上的角有两个：3π，43π；在[20)－，π内满足条件的角有两个：23π-，53π-，故满足条件的角α构成的集合为.【易错提醒】(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．【变式4】（浙江省杭州第二中学）若α是第三象限的角, 则2απ-是 （ ）A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D. 第二或第四象限的角 【答案】B【解析】α是第三象限角，，，，故当k 为偶数时， 12πα-是第一象限角；故当k 为奇数时， 12πα-是第三象限角，故选B. 考点2 利用三角函数定义求值【典例5】（浙江省台州中学期中）已知角的终边过点,且，则的值为( )A.B. C.D.【答案】B 【解析】 由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【规律方法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式5】已知角的终边在射线上，则等于（ ）A.B.C.D.【答案】A由题得在第四象限,且，所以故答案为：A.考点3 三角函数值的符号判定【典例6】（浙江省东阳中学月考）已知且，则角的终边所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．【变式6】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是() A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【答案】A【解析】∵，∴角 的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴.故选A.考点4 扇形的弧长及面积公式【典例7】（2019·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A．5 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l，则lR=2R+l，所以即是lR=4R+2l，∴l=∵l＞0，∴R＞2【总结提升】(1) 弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【变式7】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）A ．15B ．16C ．17D ．18 【答案】B 【解析】 因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.考点5 单位圆、三角函数线的应用【典例8】（2018年文北京卷）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O 为始边，OP 为终边，若，则P 所在的圆弧是（ ）A. ABB. CDC. EFD. GH【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A 选项：当点在AB上时，，，故A选项错误；B选项：当点在CD上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在EF上时，，，，故C选项正确；D选项：点在GH上且GH在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.【规律方法】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置．(2)根据不等式(组)定出角的范围．(3)求交集，找单位圆中公共的部分．(4)写出角的表达式．【变式8】（2018年5月3日三角函数线）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；（2）–．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（1）∵∈（，π），∴作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP=sin，有向线段OM=cos，设过A（1，0）垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT=tan，综上所述，图（1）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线；（2）∵–∈（–π，–），∴在第三象限内作出–角的终边如图所示，交单位圆于点P'，用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段M'P'、OM'、A'T'分别为–角的正弦线、余弦线、正切线．。

2019年高考数学讲练测【浙江版】【练】第四章 三角函数第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数A 基础巩固训练1. 【2019·哈尔滨四模】已知角α终边与单位圆122=+y x 的交点为),21(y P ，则=+)22sin(απ（ ）A ．21-B ．21C ．23- D ．1 2. 【2019.吉林四平五模】已知锐角α的终边上一点(1cos 40,sin 40)P +，则锐角α=（ ）A ．80B ．70C ．20D ．103. 【2019·河北宁州中学模拟】在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（ ）A.1B.2C.3D.44. 【2019四川树德中学模拟】在平面直角坐标系xoy 中，以x 的非负半轴为始边作两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆交于点A,B ，已知A 的横坐标为55，B 的纵坐标为102，则=+βα2（ ） （A ）π （B ）π32 （C ）π65 （D ）π435. 【2019.江西上饶】已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第二象限，则α的一个变化区间是（ ） A.(,)22ππ- B. (,)44ππ- C. 3(,-)42ππ- D. (,)2ππ B 水平提升训练 1. 【2019河北衡水中学】若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．．12- C ．12D 2．【2019.海南中学】已知在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边在直线x y 2=位于第一象限的部分，则=+)6sin(πα（ ）A ．6323-B ．6233-C ．6323+D ．6233+- 3．【2019·太原调研】已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.124．【2019届东北师大附中】若θ是第三象限角，cossin 22θθ=+，则2θ是（ ）（A ）第二、四象限角 （B ）第二象限角（C ）第三象限角 （D ）第四象限角 5. 【2019湖南四大名校模拟】在直角坐标系中,P 点的坐标为34,,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭是第三象限内一点,1OQ =, 且34POQ π∠=,则Q 点的横坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．C 思维扩展训练1. 【2019届北京】已知点1)2P -在角θ的终边上，且[0,2)θπ∈，则θ的值为 （ ）A ．56π B.23π C.116π D ．53π 2.【2019届安徽省江淮】 已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．一35 B ．－45 C ．23 D ．343. (2019·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．4. 【2019届湖北浠水】若角α满足2()36k k Z ππα=+∈，则α的终边一定在（ ） A 、第一象限或第二象限或第三象限B 、第一象限或第二象限或第四象限C 、第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D 、第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上5.【2019届安徽省三模】 角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P ，且43tan -=α；角β的顶点在坐标原点O ，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q ，且2tan -=β．对于下列结论：①P （－35，－45）； ②2PQ ＝； ③53cos -=∠POQ ；④POQ ∆的面积其中准确结论的编号是 .。

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则tan α＝________. 答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”) 答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角， α＝3是第________象限角，72°＝________rad. 答案：一 二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( )A ．第一象限角是锐角B ．直角不是任何象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________．夹角是π3，解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角． 解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角． 答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．考点二 扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cmC. 4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm. 3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________． 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积． 解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝⎛⎭⎫50π3－253cm 2. [谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 考点三 三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________. 解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513， ∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55； 当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( ) A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________. 解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12. 答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3 C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2. 4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2 018°角的终边在第三象限， 所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0， 即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z )，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝ar ＝a2|a |＝⎩⎨⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝3 6x.(1)求x的值；(2)求sin α＋1tan α的值．解：(1)因为角α的终边经过点P(x，－2)，且cos α＝36x，所以有xx2＋2＝36x.因为x≠0，所以x2＋2＝12，解得x＝±10.(2)若x＝10，则P(10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5.若x＝－10，则P(－10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55，所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5.。

第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【浙江普通高校招生学业水平考试】若点(3,4)P -在角α的终边上，则cos α=（ ） A.35-B.35C.45-D.45【答案】A. 【解析】由任意角的三角函数的定义可知，3cos 5x r α==-，故选A. 2.若，且，则角是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第四象限D. 第三象限 【答案】D3.【浙江省诸暨中学段考】设角θ的终边经过点()3,4P -，那么sin 2cos θθ+=（ ） A.15 B. 15- C. 25- D. 25【答案】C【解析】试题分析：根据三角函数定义知：43sin ,cos 55θθ====-，所以原式4322555⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭，答案为：C. 4.【浙江省台州中学统练】已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆的半径为,依题意有,故所对弧长,故选.5．【浙江省嘉兴市2018年期末复习】已知角的终边与单位圆的交点，则（ ）A.B.C.D.【答案】C6.若是第三象限角，且，则是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 【答案】D【解析】分析：根据是第三象限角，写出角的集合，进一步得到的集合，再根据得到答案详解：是第三象限角，则即是第二象限或者第四象限角，，是第四象限角故选7．【浙江省台州市期末】已知角α的终边经过点()3,4P -，则角α的余弦值为（ ）A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 【答案】B【解析】∵角α的终边经过点()3,4P -∴x 3y 4r 5=-===，，, ∴3cos 5α=- 故选：B8．设角是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x 的值，再由sin α的定义求得结果．详解：由题意可得x ＜0，r=|OP|=，故 cos α=．再由 可得x=﹣3，∴sin α=.9．【浙江省温州市期末】点A(sin 2018°，cos2018°)位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C10．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】试题分析：由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于y 的正半轴上的角，故②是错误的；④中α与β的终边不一定相同，比如5,66ππαβ==；⑤中没有考虑x 轴的负半轴上的角.只有③是正确的. 考点：角的推广与象限角.二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【浙江省宁波市统考】弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________． 【答案】1【解析】设扇形的弧长和半径长为l ，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是1llα==. 12. 【2018届河南省洛阳市高三第三次统考】已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则__________．【答案】10.【解析】分析：首先利用三角函数的定义式，结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得，之后借助于同角三角函数关系式，将关于正余弦分式形式的式子上下同除，得到关于切的式子，代入求值即可得结果.详解：根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得，所以有，故答案是10.13.已知角α的终边经过点55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α为第__________象限角，与角α终边相同的最小正角是__________. 【答案】四53π【解析】试题分析:因)23,21(-P ,故α为第四象限角；因3tan -=α,故3ππα-=k ,则由于α是第四象限角,故当2=k 时, 3532min πππα=-=.故应填答案四；53π. 14.【2018届北京市十一学校三模】已知，则__________(填“>”或 “<”)；__________(用表示)【答案】【解析】分析：（1）根据正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值判断即可； （2）根据同角的三角函数关系与两角和的正弦公式求出的值.解析：（1），且，；（2）又..故答案为：（1）；（2）.15.【浙江省温州市十五校联合体2017-2018学年高一期中联考】已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值是_______，此时弦长_______.【答案】 4【解析】由题意，可设扇形半径为，则弧长，圆心角，扇形面积，所以当时，有，此时弦长，从而问题得解.16.【浙江省台州中学期中】已知扇形(为圆心)的周长为,半径为,则__________，扇形的面积是__________．【答案】 2 1【解析】分析：扇形 (为圆心)的周长为,半径为,可求得扇形的弧长，根据弧度制的定义以及扇形面积公式可得结果.17．已知点在角的终边上，则__________．【答案】.【解析】分析：根据三角函数的定义计算．详解：∵，∴，∴，，∴．点睛：本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础．设是角终边上一点，，则．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知角θ的终边上有一点P（，m），且1sin2θ=，求m的值.【答案】1m=【解析】试题分析：根据三角函数的定义得到1sin2θ==，进而求出参数值，根据角的象限得到最终参数值. 解析：1sin2θ==∴2243m m=+∴21m=又∵0m>∴1m=19.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知角α 终边经过点()4sin 3sin θθ-，， 32πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ，求sin α ， cos α ， tan α .【答案】见解析【解析】试题分析：由32θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ，可得sin 0θ< ，则4sin x θ= ， 3sin y θ=- ，∴5sin r θ==- ，根据三角函数的定义可得sin α ， cos α ， tan α的值.试题解析： 32θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ，∴sin 0θ< ， ∵4sin x θ= ， 3sin y θ=- ，∴5sin r θ==- ，∴3sin 5y r α== ， 4cos 5x r α== ， 3tan 4y x α==- 20.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】已知角α的终边上有一点的坐标是()3,4P a a ，其中0a ≠，求sin α， cos α， tan α.【答案】434434 553553sin cos tan sin cos tan αθαααα＝，＝，＝或＝－，＝－，＝【解析】试题分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得α的三角函数的值，从而得出结论 试题解析： 5r a ＝＝. 当0a ＞时， 5r a ＝， ∴44335555y a x a sin cos ra r a αα＝＝＝，＝＝＝， 4433y a tan x a α＝＝＝；当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43. 综上可知， 434434.553553sin cos tan sin cos tan αααααα＝，＝，＝或＝－，＝－，＝21.(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于r π，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？ (2)角θ的终边经过点P(b -，4)且cos θ=35-,则sin tan θθ+的值【答案】(1) -2π, ()21-22S r π=扇形 (2) 815- 【解析】试题分析：(1)设扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数，利用扇形面积公式求扇形的面积.(2)先求出OP ，利用cos θ的值求出b ，再求出sin ,cos θθ的值，相加即可.22.已知角的终边上有一点，．（1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由即可得的值；（2）由条件知角为第三象限角，从而得纵坐标小于0，得解. 试题解析：（1）依题意得,，所以．（2）由且得，为第三象限角，故，所以．。

浙江专用高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数教案含解析第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sinθ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos5π6，则tan α＝________.答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( ) A ．第一象限角是锐角 B ．直角不是任何象限角 C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z)，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当k ＝2m ＋1(m ∈Z)时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m∈Z)时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置． 考点二 扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cm C. 4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833πcm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253cm 2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 考点三 三角函数的定义题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55； 当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cosθ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcosα＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sinαcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知， 2 018°角的终边在第三象限，所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0， 即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13. 综上可得sin β＝13. 答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝a r ＝a 2|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22.答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， ∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝aa 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa ＝－2，sin β＝a2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .(1)求x 的值；(2)求sin α＋1tan α的值．解：(1)因为角α的终边经过点P (x ，－2)，且cos α＝36x ，所以有xx 2＋2＝36x .因为x ≠0，所以x 2＋2＝12，解得x ＝±10.(2)若x ＝10，则P (10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5. 若x ＝－10，则P (－10，－2)， 所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55， 所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5.。

【课前小测摸底细】1. 【课本典型习题，P68复习题B 组第1题改编】已知α终边在第四象限，则2α所在的象限为A ．第一、四象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第一、三象限 【答案】C2.【2019宁夏模拟】已知点(4,3)-是角α终边上的一点，则sin()πα-=（ ） A ．35 B ．35- C ．45- D ．45【答案】A【解析】4,3,5=-=∴==x y r ，∴3sin()sin 5παα-===y r .故选A ． 3. 【2019高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233B. 235 C.211 D. 213 【答案】D【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，4.【基础经典试题】点P (tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第 象限. 【答案】二【解析】∵点P (tanα,cosα)在第三象限, ∴ta nα＜0, cosα＜0∴α是第二象限角． 5.【改编自2019年江西卷理科】已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,cos 22P y α⎛⎫⎪⎝⎭，则等于A ．12-B ．12C ．D ．1【答案】A【解析】根据题意可知，1cos 2α=，∴211cos 22cos 12142αα=-=⨯-=-，故选A ． 【考点深度剖析】高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【经典例题精析】考点1 象限角及终边相同的角【1-1】 已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，判断两集合的关系．【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N ⊆.【1-2】 若sin 0θ>且sin 20θ>，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限答案：A解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ>0sin2θ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ>0，故θ终边在第一象限．解析：答案：【1-3】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-3】 若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【1-4】 【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【课本回眸】1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．【方法规律技巧】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置【新题变式探究】(2019·江西)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y 与时间t(0≤x≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )【答案】B考点2 三角函数的定义【2-1】(2019·广东佛山质检)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________.【答案】－64[2-2]已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33 D ．±33【答案】B【解析】由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝± 3.【2-3】已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( )A ．1B ．2 C.12D. 2【答案】B【解析】根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.【2-4】 已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6 【答案】D【解析】由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 【课本回眸】1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.【方法规律技巧】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【新题变式探究】【变式一】(2019·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P (－12，y )，则sin α·tan α＝ ( )A. －33B. ±33C. －32D. ±32【答案】C【解析】(1)由已知得y ＝±32，当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，sin αtan α＝－32，故选C. 【变式二】已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．【答案】0当k <0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】(2019·青岛模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 ( )A. 2B. sin2C. 2sin1D. 2sin1【答案】C【解析】 ∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R ＝2sin1，故选C. 【3-2】(1)已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，试求这两个角的大小(用弧度表示).(2)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(3)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 【解析】(1)设所求两角分别为α，β(α＞β). 因为1°＝π180 rad ，所以由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大.【课本回眸】弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.【方法规律技巧】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【新题变式探究】1.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3D. 2【答案】C【解析】设圆的半径为R ，则其内接正三角形的边长为3R ，即该圆弧的弧长为3R ，于是其圆心角的弧度数为 3.故选C.2.一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 【答案】(7＋43)∶9三、易错试题常警惕易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况．正确解析：当0m <时，,sin r αα===当0m >时，,sin r αα===温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考察的一个重点.四、数学素养提升之思想方法篇-数形结合思想的应用【典例】求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )＋1＋2cos x 的定义域．【解析】要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－4sin 2x >0，1＋2cos x ≥0，由3－4sin 2x >0得，sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴x ∈[2k π－2π3，2k π＋2π3]，k ∈Z . 综上知，x ∈(2k π－π3，2k π＋π3)，k ∈Z . [方法提炼] 遇到三角不等式的问题可考虑使用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象数形结合求解．。

第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数A 基础巩固训练1.已知角α终边与单位圆122=+y x 的交点为),21(y P ，则=+)22sin(απ（ ）A ．21-B ．21C ．23-D ．1【答案】A【解析】∵P 点在圆上，∴221()12y +=，∴y =，∴1r ==，∴112cos 12x r α===，∴211sin(2)cos 22cos 121242πααα+==-=⨯-=-．2.下列三角函数值的符号判断错误的是( )A ．sin165°＞0B ．cos280°＞0C ．tan170°＞0D ．tan310°＜0 【答案】C【解析】165°是第二象限角，因此sin165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan170°＜0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan310°＜0正确．3.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B＜2k π＋3π4，(k ∈Z )，即θ2是第二象限角．4.已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．3【答案】A【解析】设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，则面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2，从而α＝l r ＝21＝2.5.已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第二象限，则α的一个变化区间是（ ）A.(,)22ππ-B. (,)44ππ-C. 3(,-)42ππ-D. (,)2ππ 【答案】CB 能力提升训练1. 将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π6【答案】 C【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知锐角α的终边上一点P （sin40°，1＋cos40°），则α等于（ ）. A ．10° B ．20° C ．70° D ．80° 【答案】C【解析】由已知分析可知40cos 140sin tan +=α，由二倍角的正余弦公式整理可得,70tan 20cot 20cos 20sin 2120cos 2140sin 40cos 1tan 00002==-+=+=α故α等于70°. 3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32 C ．－12D.12【答案】 D4．若θcossin22θθ=+，则2θ是（ ） （A ）第二、四象限角 （B ）第二象限角 （C ）第三象限角 （D ）第四象限角 【答案】B【解析】因为θ是第三象限角,即()322,2k k k Z πππθπ+<<+∈,()3,224k k k Z πθπππ∴+<<+∈.cos sin cos sin 2222θθθθ=+=+,cossin0sincos 2222θθθθ∴+≥⇒≥-,()322,224k k k Z πθπππ∴+<<+∈.所以2θ是第二象限角.故B 正确.5.三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4【答案】B【解析】因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin (90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.C 思维扩展训练1.已知点1)2P -在角θ的终边上，且[0,2)θπ∈，则θ的值为 （ ） A ．56π B.23π C.116π D ．53π 【答案】C2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．一35 B ．－45 C ．23 D ．34【答案】A【解析】设点(),2a a 是直线2y x =上除原点外的任一点，则223cos cos 22cos 11555θθθ===±=-=-=-3.函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)【解析】∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z) 4.若角α满足2()36k k Z ππα=+∈，则α的终边一定在（ ） A 、第一象限或第二象限或第三象限 B 、第一象限或第二象限或第四象限 C 、第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D 、第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上 【答案】D综上可知，则α的终边一定在第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上.故选D.5.角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P ，且43tan -=α；角β的顶点在坐标原点O ，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q ，且2tan -=β．对于下列结论：①P （－35，－45）； ②2PQ ＝ ③53cos -=∠POQ ； ④POQ ∆的面积其中正确结论的编号是 . 【答案】①②④（只给全分，多写少写均不得分） 【解析】∵3tan 4α=-，α为钝角，∴3sin 5α=，4cos 5α=-，又∵(cos(),sin())22P ππαα++，∴34(,)55P --，∴①正确，同理，(Q ，∴2||PQ =，∴②正确，由余弦定理，得cos POQ ∠=，∴③错，∴1112POQ S ∆=⨯⨯=，∴④正确.。

知识点最新考纲任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性.同角三角函数的基本关系式与诱导公式理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦及正切公式掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.简单的三角恒等变换掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用.1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合按终边位置象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝lr角度与弧度的换算1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57°18′弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数 三角函数正弦余弦正切定 义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ 正 正 正 Ⅱ正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角 函数线有向线段MP 为正弦线，有向线段OM 为余弦线，有向线段AT 为正切线[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )(5)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ [教材衍化]1．(必修4P10A 组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限． 答案：－5π4二2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－35，cos θ＝45，所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝⎛⎭⎫－35＝115. 答案：1153．(必修4P10A 组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：π3[易错纠偏](1)终边相同的角理解出错； (2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π－45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：选C.与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确．故选C.2．若sin α<0，且tan α>0，则α是第____象限角．解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．答案：三3．已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α<0，则tan α＝________．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.答案：－1象限角及终边相同的角(1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z(3)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．【解析】 (1)因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．(2)根据题意，角α的终边在直线y ＝－3x 上， α为第二象限角时，α＝2π3＋2k π＝(2k ＋1)π－π3，k ∈Z ；α为第四象限角时，α＝5π3＋2k π＝(2k ＋2)π－π3，k ∈Z ；综上，角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z .故选D.(3)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【答案】 (1)C (2)D (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π(1)表示区间角集合的三个步骤(2)求θn或nθ(n ∈N *)所在象限(位置)的方法①将θ的范围用不等式(含有k )表示． ②两边同除以n 或乘以n .③对k 进行讨论，得到θn或n θ(n ∈N *)所在的象限(位置)．1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则α是第________象限角．解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：三扇形的弧长、面积公式已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式是l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：选A.设扇形的弧长为l ，则12l ·2＝8，即l ＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：518三角函数的定义(高频考点)三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小．主要命题角度有：(1)利用三角函数定义求值； (2)判断三角函数值的符号； (3)利用三角函数线解三角不等式； (4)三角函数定义中的创新． 角度一 利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角，其终边的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝( )A.155B.153C ．－155D ．－153【解析】 因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，所以x ＜0，cos α＝x x 2＋5＝24x ，解得x ＝－3，所以tan α＝5－3＝－153.【答案】 D角度二 判断三角函数值的符号若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0【解析】 因为tan α＞0，所以α∈⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )是第一、三象限角．所以sin α，cos α都可正、可负，排除A ，B. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )， 结合正弦函数图象可知，C 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．【答案】 C角度三 利用三角函数线解不等式函数y ＝sin x －32的定义域为________． 【解析】 由题意，得sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.【答案】 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z角度四 三角函数定义中的创新(2020·台州质检)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【解析】 因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝ 2.当t ＝π4时，d ＝0，故选C.【答案】 C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )，则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎨⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，则角α为第________象限角．解析：依题意，点P 到原点O 的距离为 r ＝（－3）2＋m 2＝3＋m 2，所以sin α＝m3＋m 2， 又因为sin α＝34m ，m ≠0， 所以m 3＋m 2＝34m ，所以m 2＝73，所以m ＝±213.所以点P 在第二或第三象限． 答案：二或三[基础题组练]1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2×4，求得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( ) A ．在x 轴的正半轴上 B ．在x 轴的负半轴上 C ．在y 轴的负半轴上 D ．在y 轴的正半轴上 解析：选A.由于角α与β的终边相同，所以α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，从而α－β＝k ·360°(k ∈Z )，此时角α－β的终边在x 轴正半轴上．3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B.因为r ＝64m 2＋9， 所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m ＞0，所以4m 264m 2＋9＝125，因此m ＝12.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.5．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1.故选B.6.已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从点A 出发，P 沿直线l 匀速向右，Q 沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q 运动到如图所示的位置时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP ，则阴影部分的面积S 1，S 2的大小关系是( )A ．S 1≥S 2B ．S 1≤S 2C ．S 1＝S 2D ．先S 1<S 2，再S 1＝S 2，最后S 1>S 2解析：选C.因为圆O 与直线l 相切，所以OA ⊥AP ，所以S 扇形AOQ ＝12·AQ ︵·r ＝12·AQ ︵·OA ，S △AOP ＝12OA ·AP ，因为AQ ︵＝AP ，所以S 扇形AOQ ＝S △AOP ，即S 扇形AOQ －S 扇形AOB ＝S △AOP －S 扇形AOB ，则S 1＝S 2.故选C. 7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________．解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． 答案：二9．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析：因为2cos x －1≥0， 所以cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示)． 所以x ∈[2k π－π3，2k π＋π3](k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )10．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．解析：因为角α的终边上有一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π311．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：因为θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22. 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2. 12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)因为2r ＋l ＝8， 所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.[综合题组练]1．若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.2．已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1，0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则实数θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，5π12 B.⎝⎛⎭⎫π6，π4 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π6，5π6解析：选A.由题意知，令f (x )＝(cos θ＋sin θ＋1)·x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ>0，因为cos θ＋sin θ＋1≠0，所以f (x )>0在[－1，0]上恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0f （0）>0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin θ＋12（1＋cos θ＋sin θ）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0sin θ>0sin 2θ>12⇒θ∈⎝⎛⎭⎫π12，5π12，故选A.3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶24．已知x ∈R ，则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x ∈(π4，5π4)时，sin x >cos x ，所以在(－∞，＋∞)上使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z .答案：(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z5．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15.当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cosθ)的符号为正．6．设α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.证明：如图，在平面直角坐标系中作出单位圆，设角α的终边为OP ，过P 作PQ 垂直x 轴于Q ，PR 垂直y 轴于R ，则sin α＝QP ，cos α＝OQ . 因为α为锐角，在△OPQ 中，QP ＋OQ >OP ， 所以sin α＋cos α>1.① 而S △OPB ＝12OB ·RP ＝12cos α，S △OAP ＝12OA ·QP ＝12sin α，S 扇形OAB ＝12×1×π2＝π4.又因为四边形OAPB 被扇形OAB 覆盖， 所以S △OPB ＋S △OAP <S 扇形OAB ， 即sin α＋cos α<π2.②由①，②得1<sin α＋cos α<π2.。

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲下载】1. 了解任意角的概念；了解弧度制的概念.2. 能进行弧度与角度的互化.3. 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z . 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.(3)角度与弧度的换算①1°＝π180 rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．(3)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同． 2．锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是锐角，如0°，－30°都不是锐角．3．有人说：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，三角函数线的方向表示三角函数值的符号．你认为此说法正确吗？提示：正确．1．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义可知，点P 的坐标是(cos θ，sin θ)． 2．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( )A.55B.255 C ．－55 D ．－255 解析：选 B |OP |＝－＋22＝5，所以sin α＝25＝255.3．若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D 由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________(填序号)．①2k π＋45°(k ∈Z )；②k ·360°＋9π4(k ∈Z )；③k ·360°－315°(k ∈Z )；④k π＋5π4(k ∈Z )．解析：∵9π4＝94×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴与9π4终边相同的角可表示为k ·360°－315°(k ∈Z )．答案：③5．(教材习题改编)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析：l ＝3π，θ＝135°＝3π4，所以r ＝l θ＝3π3π4，＝4，S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.答案：4 6π前沿热点(四)以三角函数的定义为载体的创新问题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，但常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，且难度不大．[典例] (2014·南宁模拟)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[解题指导] 用t 表示出OP 与x 轴正方向所成的角，然后利用三角函数的定义得到d 的函数表达式即可．[解析] ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后，得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2，当t ＝π4时，d ＝0，故选C. [答案] C[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：(1)结合圆周运动，准确理解题意，根据三角函数定义，表示出d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4是关键．(2)涉及函数图象判定问题，结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧A P 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )解析：选C如图取AP 的中点为D ，连接OD . 设∠DOA ＝θ，则d ＝2sin θ，l ＝2θ， 故d ＝2sin l2.。