七年级阶梯奥数第11讲 线段与角

第十一讲线段与角线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用．小明做作业需要买一些文具．在他家的左边200米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？钟表是大家熟悉的计时工具，你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与分针成90°角？我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会．例1 已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米(cm)，求AD的长(如图1－6)．分析线段EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD的长了．解因为AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD 9等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位，则AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，例2 在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N 分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图1－7)．分析因为是在直线上取C点，因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左侧．解若C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为AC=2厘米， N为 AC中点，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5厘米．则MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图1－7(a))．若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上)，此时MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 1－7(b))．线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短．例3 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？分析将河流看作直线l(如图1－9所示)．设羊群在河边的饮水点为C＇，则羊群行走路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇，由对称性知C＇A＇=C＇A．因此，羊群行走的路程为A＇C＇+C＇B．线段A＇C＇与 C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点A＇与点B之间的线中，线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点．解作A关于直线l的对称点A＇．连结B，A＇，并设线段BA＇与l交于C．设C＇是l 上不同于C的另外一点，只要证明AC＇+C＇B＞AC+CB ①即可．利用线段基本性质及点关于直线的对称性知AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇，所以AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B，AC+CB=CA＇+CB=A＇B．而C＇A＇与C＇B是连结A＇，B的折线，而A＇B则是连结这两点之间的线段，所以C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB，从而①成立，即选择C点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短．例4将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．分析设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图 1－10)，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，因此，AB＜BC+CD+DE+EA．如果AB是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围．解设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为(10-x)厘米．由线段基本性质知x＜10-x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．例5若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．分析这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念，概念清楚了，问题不难解决．解设这个角为α，则这个角的余角为90°-α，这个角的补角为180°-α．依照题意，这两个角的比为(90°-α)∶(180°-α)=2∶7．所以360°-2α=630°-7α，5α=270°，所以α=54°．从而，这个角的邻补角为180°-54°=126°．例6若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？分析解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动解在2点30分时，时钟的分针指向数字6；在2点50分时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了4×30°=120°．在钟表中，有很多有关分针、时针的转角问题．解决这类问题的关倍)．例7时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图1－11)？分析在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差 5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度(是它的12倍)，因此，总有一刻，分针“追上”时针(即两者重合)．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．解如分析，在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了(150°+α)．因为分钟转速是时针的12倍，所以150°+α=12α，说明钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度．下面再看一例．例8 在4点与5点之间，时针与分针在何时(1)成120°(图1－12)；(2)成90°(图1－12)．分析与解 (1)在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合(夹角为0°)．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大(此时，分针在时针的前面)．直到两针夹角又一次成为120°，这个时间正是我们所要求的．设时针顺时针转过a角后，时针与分针(分针在时钟前)成120°，则12a=120°+a+120°，由于时针每转过30°(如从指向数字4转到指向数字5)相当于1经过了(2)如图1－13(a)，(b)所示．由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况：(i)时针在分针之前(如图1－13(a))．设时针转了a角，分针转了12a角，有120°+α=90°+12α，所以11α=30°，用时(ii)时针在分针之后(如图1－13(b))，此时，有关系12α-α=120°+90°，11α=210°，用时间时，时针与分针成90°．说明由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解．练习十一1．如图1－14所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．2．如图1－15所示．A2，A3是线段A1A4上两点，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求线段A1A4上所有线段之和．3．如图1－16所示．两个相邻墙面上有A，B两点，现要从A点沿墙面拉一线到B点．问应怎样拉线用线最省？4．互补的两角之差是28°，求其中一个角的余角．5．如图1－17所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4．6．在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？7．在4点到6点之间，时针与分针何时成120°角？。

第1讲线段与角知识定位讲解用时：5分钟A适用范围：北师大版初一，基础一般；B知识点概述：本讲义主要用于北师大版初一新课，本节课我们要学习线段与角的定义、表示、性质以及求解，其中，利用线段及角度的性质来求解线段长度及角度大小是本节课的重点。

知识梳理讲解用时：20分钟直线、射线、线段的定义：线段的性质：角的定义及表示课堂精讲精练【例题1】（）【答案】B【解析】有一个端点，可以无限延伸讲解用时：3分钟解题思路：略教学建议：略难度：1 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习1.1】一根拉的很紧的细线是（）【答案】线段【解析】有两个端点且不能无限延伸讲解用时：2分钟解题思路：难度：1 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题2】要在墙上固定一根木条，至少要（）个钉子，其道理是（）【答案】两、两点确定一条直线【解析】请输入内容讲解用时：3分钟解题思路：根据直线的性质即可解题教学建议：略难度：1 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习2.1】射击瞄准时，只需目标物在眼睛和准星确定的直线上即可击中，你能用所学的几何原理解释这一现象吗？【答案】两点确定一条直线【解析】根据直线的性质即可解题讲解用时：3分钟解题思路：请输入内容难度：1 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题3】【答案】B【解析】本题主要考查射线、线段、直线的端点个数，以及它们的延伸方向，表示方法讲解用时：5分钟解题思路：根据射线线段直线的性质即可解题教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习3.1】【答案】D【解析】直线、射线没有长度，所以A、B错；两点确定一条直线，过三点不一定能画出直线，所以C错；线段有长度，D对讲解用时：5分钟解题思路：略难度：2 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题4】【答案】B【解析】射线OP表示的是从点O延伸出来的一条射线，所以B错讲解用时：5分钟解题思路：略教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习4.1】【答案】B【解析】选项D，C、D是直线L上两点才对讲解用时：5分钟解题思路：略难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题5】如图，从甲地到乙地有四条道路，你选择第（）条从甲地到乙地，理由是（）【答案】③、两点之间线段最短【解析】略讲解用时：2分钟解题思路：略教学建议：略难度：1 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习5.1】已知△ABC,如图所示，画出边AB与AC的和，并比较AB+AC与BC的大小【答案】画图略；AB+AC＞BC（两点之间线段最短）【解析】可利用叠合法或两点之间线段最短来比较讲解用时：5分钟解题思路：略难度：1 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题6】已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC使它=3cm，则线段AC=（）【答案】5cm或11cm【解析】C在A、B中间时，AC=5cm，C在A、B外侧时，AC=11cm，讲解用时：5分钟解题思路：略教学建议：提醒孩子注意两个位置难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：菏泽中考年份：【练习6.1】如果线段AB=3cm，BC=2cm，那么A,C两点间的距离是（）【答案】D【解析】没有说A、B、C在同一条直线上，所以不能确定讲解用时：5分钟解题思路：略难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：晴隆期中年份：2016【例题7】【答案】10 【解析】讲解用时：5分钟 解题思路：略 教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题 例题来源： 年份：【练习7.1】如图，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．若想求出MN 的长度，那么只需条件（ ）A ．AB=12B ．BC=4C ．AM=5D ．CN=2【答案】A【解析】解答：根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：()11112222MN MC NC AC BC AC BC AB ---＝＝＝＝，∴只要已知AB 即可．故选A ．讲解用时：5分钟解题思路：根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：()11112222MN MC NC AC BC AC BC AB---＝＝＝＝，继而即可得出答案．难度：3 适用场景：当堂练习题 例题来源： 年份：【例题8】如图，线段AF 中，AB=a ，BC=b ，CD=c ，DE=d ，EF=e ．则以A ，B ，C ，D ，E ，F 为端点的所有线段长度的和为（ ）A ．5a ＋8b ＋9c ＋8d ＋5eB ．5a ＋8b ＋10c ＋8d ＋5eC ．5a ＋9b ＋9c ＋9d ＋5eD ．10a ＋16b ＋18c ＋16d ＋10e【答案】请输入内容 【解析】以A 为端点线段有AB 、AC 、AD 、AE 、AF ，这些线段长度之和为5a ＋4b ＋3c ＋2d ＋e ， 以B 为端点线段有BC 、BD 、BE 、BF ，这些线段长度之和为4b ＋3c ＋2d ＋e ， 以C 为端点线段有CD 、CE 、CF ，这些线段长度之和为3c ＋2d ＋e ， 以D 为端点线段有DE 、DF ，这些线段长度之和为2d ＋e ， 以E 为端点线段有EF ，线段的长度为e ，故这些线段的长度之和为5a ＋8b ＋9c ＋8d ＋5e ， 故选A ．讲解用时：10分钟解题思路：首先求出以A 为端点线段的长度，类比依次求出B 、C 、D 、E 为端点的线段的长度，然后求出这些线段的长度总和．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题 例题来源： 年份：【练习8.1】如图，C 、D 是线段AB 上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB 的长度是（ ）A．8 B．9 C．8或9 D．无法确定【答案】C【解析】解答：根据题意可得：AC＋AD＋AB＋CD＋CB＋DB=29，即（AC＋CB）＋（AD＋DB）＋（AB＋CD）=29，3AB＋CD=29，∵图中所有线段的长度都是正整数，∴当CD=1时，AB不是整数，当CD=2时，AB=9，当CD=3时，AB不是整数，当CD=4时，AB不是整数，当CD=5时，AB=8，…当CD=8时，AB=7，又∵AB＞CD，∴AB只有为9或8．故选：C．讲解用时：10分钟解题思路：将所有线段加起来可得3AB＋CD=29，从而根据题意可判断出AB的取值难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题9】【答案】B【解析】∠B不能明确表示是哪个角讲解用时：5分钟解题思路：略教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习9.1】【答案】【解析】略讲解用时：5分钟解题思路：略难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题10】如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝15°，∠2＝105°，则∠AOC的度数是（）A．75° B．90° C．105° D．125°【答案】B【解析】解答：∵∠2＝105°，∴∠BOC＝180°－∠2＝75°，∴∠AOC＝∠1＋∠BOC＝15°＋75°＝90°．故选：B．讲解用时：5分钟解题思路：由图示可得，∠2与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠AOC＝∠COB＋∠1，即可解答．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习10.1】如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列结论不成立的是（）A．∠AOC＝∠BOD B．∠COD＝12AOBC．∠AOC＝12∠AOD D．∠BOC＝2∠BOD【答案】B【解析】解答：A.∵OC平分∠AOD，∴∠COA＝∠COD，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD故本选项正确；B.∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝12∠BOC，故本选项错误；C.∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝12∠AOD，故本选项正确；D.∵OD平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOD，故本选项正确．故选：B．讲解用时：5分钟解题思路：根据角平分线的定义进行作答．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题11】如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE ＝60°，则∠BOD的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°【答案】D【解析】解答：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝12∠COE＝12×60°＝30°，∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝40°＋30°＝70°．故选：D．讲解用时：5分钟解题思路：先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠BOC＋∠COD即可得出结论．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习11.1】如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数．【答案】55°【解析】解答：∵∠AOE＝70°，∴∠BOF＝∠AOE＝70°，又∵OG平分∠BOF，∴∠GOF＝12∠BOF＝35°，又∵CD⊥EF，∴∠EOD＝90°，∴∠DOG＝180°－∠GOF－∠EOD＝180°－35°－90°＝55°．讲解用时：5分钟解题思路：求出∠BOF，根据角平分线求出∠GOF，求出∠EOD，代入∠DOG＝180°－∠GOF－∠EOD求出即可．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：课后作业【作业1】【答案】两点确定一条直线【解析】略讲解用时：2分钟难度：1 适用场景：课后作业例题来源：福建中考年份：【作业2】经过任意三点中的两点，共可画出的直线的条数是（）A.一条或三条B.三条C.两条D.一条【答案】A【解析】当三点在同一条直线上时，只能画一条；当三点不在同一条直线上时可以画三条讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：小河区调研年份：2016【作业3】【答案】B【解析】可以延伸的延伸一下即可相交讲解用时：5分钟难度：1 适用场景：课后作业例题来源：年份：【作业4】下列语言叙述图形的含义正确的有（）个【答案】4个【解析】略讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：水城期末年份：2016【作业5】如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店B去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（）A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【答案】B【解析】解答：根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．故选：B．讲解用时：5分钟难度：2 适用场景：课后作业例题来源：年份：【作业6】如图，AB=12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB=1：3，则DB的长度为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解析】解答：∵C为AB的中点，∴AC=BC=12AB=12×12=6，∵AD：CB=1：3，∴AD=2，∴DB=AB－AD=12－2=10（cm）．故选D．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：年份：【作业7】某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有30人，C区有10人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）A．A区 B．B区 C．C区 D．A、B两区之间【答案】B【解析】解答：①设在A区、B区之间时，设距离A区x米，则所有员工步行路程之和=30x＋30（100－x）＋10（100＋200－x），=30x＋3000－30x＋3000－10x，=－10x＋6000，∴当x最大为100时，即在B区时，路程之和最小，为5000米；②设在B区、C区之间时，设距离B区x米，则所有员工步行路程之和=30（100＋x）＋30x＋10（200－x），=3000＋30x＋30x＋2000－10x，=50x＋5000，∴当x最大为0时，即在B区时，路程之和最小，为5000米；综上所述，停靠点的位置应设在B区．故选B．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：年份：【作业8】如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，如果MC比NC 长2Cm，AC比BC长（）A．2Cm B．4Cm C．1Cm D．6Cm【答案】B【解析】解答：∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，∴AC=2MC，BC=2NC，∴AC－BC=（MC－NC）×2=2×2=4（Cm），即AC比BC长4Cm．故选：B．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：年份：【作业9】如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD=3Cm，AB=10Cm，那么BC的长度是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】C【解析】解答：∵点D是AC的中点，∴AC=2CD=2×3=6Cm，∴BC=AB－AC=10－6=4Cm．故选C．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：年份：【作业10】【答案】【解析】略讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：年份：【作业11】如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC＋∠DOB＝（）A．90° B．120° C．160° D．180°【答案】请输入内容【解析】解答：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°＋a，∠BOD＝90°－a，所以∠AOC＋∠BOD＝90°＋a＋90°－a＝180°．故选D．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：年份：【作业12】如图：如果∠1＝∠3，那么（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠AOC＝∠BODD．∠1＝12∠BOD【答案】C【解析】解答：根据题意，∠1＝∠3，有∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠AOC＝∠BOD；故选C．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：年份：。

定 义示例剖析直线：能够向两端无限延伸的线.① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如图⑴直线AB ，也可以写作直线BA ．② 用一个小写字母来表示，如直线l ，如图⑵．(1) (2)l A B 射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点.① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA ，如图⑶，但不能写作射线AO ．② 用一个小写字母来表示，如射线l ，如图⑷．(3) (4)lAO线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB ，如图⑸，也可以写作线段BA ．② 也可以用一个小写字母来表示：如线段l ，如图⑹．(5) (6)l A B公理：① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”． 中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．如图⑺．点O 是线段AB 的中点模块一 线11线和角(7)O BA记为：12AO BO AB ==注意：①点的表示方法：通常用一个大写的英文字母来表示点：A ，B ，C ，D ，……； ②在线段的表示前面必须加上“线段”二字； ③点与直线的关系：点在直线上；点在直线外；④两点间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离．直线、射线、线段的主要区别：类型 端点 延长线及反向延长线用两个大写字母表示直线 0个无 无顺序 射线 1个 有反向延长线 第一个表示端点线段2个两者都有无顺序【例1】 ⑴ 下面说法中错误的是（ ）A ．直线AB 和直线BA 是同一条直线 B ．射线AB 和射线BA 是同一条射线C ．线段AB 和线段BA 是同一条线段D ．把线段AB 向两端无限延伸便得到直线AB ⑵ 下列叙述正确的是（ ）A ．孙悟空在天上画一条十万八千里的直线B ．笔直的公路是一条直线C ．点A 一定在直线AB 上D ．过点A 、B 可以画两条不同的直线，分别为直线AB 和直线BA ⑶ 根据直线、射线、线段各自的性质，如下图，能够相交的是（ ）D.C.DCBADCBAB.DCB AA.D C B A【解析】 ⑴ B ； ⑵C ； ⑶B夯实基础【例2】 ⑴ 下列说法中，正确的是（ ）A ．两点之间的连线中，直线最短B ．若点P 是线段AB 的中点，则AP BP =C ．若AP BP =，则点P 是线段AB 的中点D ．两点之间的线段叫做这两点的距离 ⑵ 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ） A ．两点之间，射线最短 B ．两点确定一条直线 C ．两点之间，线段最短 D ．两点之间，直线最短（海淀区期末）⑶ 手枪上瞄准系统设计的数学道理是 ． ⑷ 如图所示，填写空格：AB AN BN =+，ABPM N_________MP NP MB =+=-，_________NP NB MP =-=-．⑸ 补全下面解题过程.已知：如图，B 、E 是线段AC 上两点，E 是BC 的中点，15BE AC =，2cm BE =， 求线段AB 的长.．∵15BE AC =，2cm BE =，（已知） ∴510cm AC BE ==.∵E 是BC 的中点，（已知）∴BC = BE ，（线段中点的定义）= cm .∴AB AC =- = cm .⑹ 延长线段AB 到C ，使32BC AB =，反向延长线段AB 到D ，使DA AB =，若10cm AB =，求DC ．【解析】 ⑴ B ； ⑵ C ； ⑶ 两点确定一条直线；⑷ MP NP MN MB BP =+=-，NP NB BP MP MN =-=-． ⑸ 2，4，BC ，6⑹ 此题培养学生根据题意画图解题的能力，易得35cm DC =．【例3】 如图，A ，B ，C ，D 为4个居民小区，现要在四边形ABCD 内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由．能力提升ECB AABCDACD【解析】 该建在AC ，BD 的交点P 上，如图所示．首先我们使购物中心到A 和C 的距离之和最小，那么购物中心就应该建在线段AC 的某点处．这是因为如果点P 不在AC 上，根据两点之间，线段最短，可以知道P A P C AC ''+>．同时我们也能看出，购物中心建在线段AC 上的任意一点，都可以保证购物中心到A ，C 距离之和最小．同理，购物中心若到B ，D 之和距离最小，也必须建在线段BD 上，这样购物中心就必须建在AC ，BD 的交点P 上．【例4】 在右图中，按要求画图并填空：如图，已知三角形ABC 及点D ， ⑴ 做直线AD ；⑵ 延长AB 到E ，使得BE AB =，连接CE ； ⑶ 做射线DE .（朝阳区期末）【解析】⑴⑵⑶ 如图.【例5】 ⑴ 如图，已知B C ，是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN a =，BC b =，求线段AD 的长.C⑵ 如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P为NA 的中点，Q 为MA 的中点，求:MN PQ 的值.CB N P A【解析】⑴ AM ND MB NC MN BC a b +=+=-=-，2AD AM MN ND a b =++=-；⑵ 设AB x =，AC y =，则22y x MN AN AM =-=-，44y xPQ AP AQ =-=-，故:2MN PQ =DCBA【附加】如图，已知线段AB 上依次有三个点C ,D ,E 把线段AB 分成2:3:4:5四个部分，M ,P ,Q ,N 分别是AC ,CD ,DE ,EB 的中点，若21MN =，求PQ 的长度.EQDPA【解析】根据题意可设234510.5212 3.57AC x CD x DE x EB x MN x x PQ x =========，，，，，，【例6】 ⑴ 判断：已知A ，B ，C 三点在同一条直线上，12AC AB =，那么C 是AB 的中点． ⑵ 点A 、B 、C 是同一直线上的三个点，若8cm AB =，3cm BC =，则AC 的长度 为 . ⑶ 已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，若2BC AB =，点D 平分线段AC ，21cm BD =，求BC 的长.【解析】⑴ 错误，几何中的题目如果无图，要特别注意读准题意，适时分类求解．如下图⑴，⑵，均满足题意．(1) (2)AABBCC⑵ 11cm 或5cm.⑶ 情况1：如图⑴，23217428CD x DA x AB x BD x x BC x ========，，，，，；情况2：如图⑵，设20.52142284AB y BC y BD y y BC y =======，，，，（1）DBA (2)C【附加】已知：A ，B ，C ，D 四点共线，若3cm AB =，2cm BC =，4cm CD =，画出图形，求AD 长.【解析】根据A ，B ，C ，D 四点共线，3cm AB =，2cm BC =，(先取前两个重要条件画图分析)可得下面两种情况(画图)：BC A CB A情况1 情况2再参看条件4cm CD =，对于第一种情况可以得到下面两种可能：D C B⑴ ⑵ 对于第二种情况可以得到下面两种可能：BCADCA⑶ ⑷ 所以共有四种可能：如图⑴3249AD =++=； 如图⑵3241AD =+-=；如图⑶4(32)3AD =--=； 如图⑷(32)45AD =-+=.角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．注意点：角的两条边是射线，是无限延伸的．角的表示方法①用三个大写字母来表示，顶点一定要写在中间，如图⑴．可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠．② 用一个大写字母来表示，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．如图⑵．③ 用数字来表示角，如图⑶． ④ 用希腊字母来表示角，如图⑷．4()3()2()1()∠α∠1∠A∠AOBα1AAOB角的相关计算1度60=分（160'︒=） 1分60=秒（160'''=） 1周角360=︒ 1平角180=︒ 1直角90=︒ 1周角2=平角 1平角2=直角余角与补角互为补角定义：如果两个角的和是180︒，那么这两个角互为补角．简称互补.如图⑸：直线AB ，12180∠+∠=°， 所以1∠与2∠互补(8)21OBCA⑸反之，因为1∠与2∠互补，所以12180∠+∠=°．互为余角定义：如果两个锐角的和是90︒，那么这两个角互为余角.简称互余．如图⑹：1290∠+∠=°，所以1∠与2∠互余． 反之，因为1∠与2∠互余，所以1290∠+∠=°．模块二 角⑹角平分线：从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线．如图⑺：射线OC 是AOB ∠的角平分线．则1122AOB ∠=∠=∠.C 21BOA⑺【例7】 ⑴ 把20.3︒换算成度、分、秒的结果______'=︒；⑵ 32.43_________'''︒=︒ ； ⑶ 654312_____'''︒=︒；⑷ 51492421________''︒+︒=； ⑸ 39412445__________''︒-︒=； ⑹ 2313423_________'''︒⨯=； ⑺ 12134________'︒÷=．【解析】 ⑴ 首先在第一个空上填上20，然后计算(20.320)0.3︒-︒=︒，0.30.36018''︒=⨯=，20.32018'︒=︒⑵ 32.43322548'''︒=︒⑶ 这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，12600.2'''÷=，430.243.2'''+=，43.2600.72'÷=︒，65431265.72'''︒=︒．⑷ 5149242175707610''''︒+︒=︒=︒；⑸ 394124453810124451456'''''︒-︒=︒-︒=︒.⑹ 231342369416''''''︒⨯=︒；⑺ 121343315''''︒÷=︒.【巩固】计算：4537291123263''''''︒-︒⨯.（海淀区期末）【解析】 4537291123263112711'''''''''︒-︒⨯=︒.【例8】 ⑴ 在左下图中，角的表示方法正确的是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠夯实基础O2 1CBAABCDEO 321ODCBA⑵ 如右上图，将一副三角板的直角顶点重合，可得12∠=∠， 理由是等角（或同角）的 ；若3∠=50︒，则COB ∠= º. ⑶ 如图，O 是直线AB 上的一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分BOD ∠， 则图中彼此互补的角共有__________对；A BCDEO FED CB AO第⑶题 第⑷题⑷ 如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角 有_________个；互补的角有_________对．【解析】 ⑴ B ； ⑵ 余角相等，130；⑶ 根据题意可得：30BOE EOD DOC ∠=∠=∠=︒，60BOD EOC ∠=∠=︒，互补的角只满足和为180︒这个数量关系即可，与位置无关．所以共有6对：AOE ∠与BOE ∠，AOE ∠与EOD ∠，AOE ∠与DOC ∠， AOD ∠与BOD ∠，AOD ∠与EOC ∠，AOC ∠与BOC ∠．⑷ 由题意可知90AOF FOE ∠+∠=︒，所以与AOF ∠互余的角必与FOE ∠相等。

2019-2020 年七年级上册线段和角（含答案）一、知构线段的比较和画法线段的中点线段线段性质两点间的距离直线直线性质平角直角锐角钝角角的分类周角射线角角的比较、度量和画法角平分线定义同角（或等角）相关角余角和补角的补角相等性质同角（或等角）的余角相等二、典型：（一）数段——数角——数三角形1、直上有n 个点，可以得到多少条段？分析：点段213 3 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5⋯⋯n1+2+3+ ⋯ +(n -1)= n n122．如，在∠AOB内部从O点引出两条射OC、OD，中小于平角的角共有（ D ）个(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6拓展： 1、在∠AOB内部从O点引出 n 条射中小于平角的角共有多少个？射角1 3 =1+226=1+2+3310=1+2+3+4⋯⋯n1+2+3+⋯n 1 n 2 +(n+1)=2比：从O点引出n条射中小于平角的角共有多少个？射角213 3 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4⋯⋯n1+2+3+⋯+(n-1)=n n12比想：如，可以得到多少三角形？（二）与段中点有关的段的中点定：文字言：若一个点把段分成相等的两部分，那么个点叫做段的中点AM B形言：几何言：∵ M 是段 AB的中点∴AM BM 1AB AB， 2AM 2BM2典型例：1．由下列条件一定能得到“P是段 AB 的中点”的是（D）（A ） AP= 1 A B（ B ） AB ＝ 2PB（ C ） AP ＝ PB（ D ） AP ＝ PB=1AB222．若点 B 在直线 AC 上，下列表达式：①AB1AC ；② AB=BC ；③ AC=2AB ；④ AB+BC=AC ．2其中能表示 B 是线段 AC 的中点的有（A）A ．1 个B ．2个C ．3 个D ．4个3. 如果点 C 在线段 AB 上 , 下列表达式① AC= 1AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中 ,能表示2C 是 AB 中点的有 ( C )A.1 个B.2 个C.3个D.4个 4．已知线段 MN ，P 是 MN 的中点， Q 是 PN 的中点， R 是 MQ 的中点，那么 MR = ______ MN ．分析：据题意画出图形MR PQ N设 QN=x ，则 PQ=x ，MP=2x ， MQ=3x ，所以， MR=3x ，则MR3 x 3 2 2MN4 x 85 ．如图所示， B 、C 是线段 AD 上任意两点， M 是 AB 的中点， N 是 CD 中点，若 MN=a ，BC=b ，则线段 AD 的长是（）AMBCNDA 2 （ a-b ）B 2a-bC a+bD a-b分析：不妨设 CN=ND=x ， AM=MB=y因为 MN=MB+BC+CN所以 a=x+y+b因为 AD=AM+MN+ND所以 AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）与角有关的问题1． 已知：一条射线 OA ，若从点 O 再引两条射线 OB 、OC ，使∠ AOB=600，∠ BOC =200，则∠ AOC =____80°或 40°________度（ 分类讨论 ）2． A 、O 、B 共线， OM 、 ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠MON 的度数，试证明M你的结论．C猜想： _90°______NA O B证明：因为OM、 ON分别为∠AOC 、∠ BOC的平分线所以∠ MOC=1∠AOC ，∠ CON=1∠COB22因为∠ MON=∠MOC+∠CON1∠AOC +11∠AOB=90°所以∠ MON=2∠COB=223．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF 平分∠AOE ，∠COF 34 ，求∠ BOD 的度数．分析：因为∠ COE 是直角，∠ COF34 ，所以∠ EOF=56°因为 OF 平分∠ AOE所以∠ AOF=56°因为∠ AOF=∠AOC+∠COF所以∠ AOC=22°因为直线 AB 和 CD 相交于 O 点所以∠ BOD =∠AOC=22°4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A = 60 °，求∠O；（2）若∠A =100°，∠O是多少？若∠A =120°，∠O又是多少？（3）由（ 1）、（ 2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）答案：（ 1）120°；（ 2）140°、150°（ 3）∠O=90°+1∠A25．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线, 则图中互补的角共有（B）对(A) 2(B) 3(C) 4(D) 56．互为余角的两个角（B）（A）只和位置有关（B）只和数量有关（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关7．已知∠ 1、∠2 互为补角，且∠ 1＞∠ 2，则∠2的余角是（C）A.1（∠ 1＋∠ 2） B.1∠1 C.1（∠ 1－∠ 2） D.1∠2 2222分析：因为∠1＋∠ 2=180°，所以1 （∠1＋∠2）=90°290° - ∠2=1（∠ 1＋∠ 2）- ∠2=1（∠ 1－∠ 2）22。

线段和角度大小的变化一：比较线段的长短知识点一：线段的性质1．线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短．2．“连线”是指以画出的两个点为端点的任意一条线，包括曲线、折线或线段．例1如下图，从A地到B地有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折道路，这是因为( )．A．两点之间线段最短B．两直线相交只有一个交点C．两点确定一条直线D．垂线段最短分析：这个问题实际上就是研究两点间的不同连线的长短，联系生活实际，领会“两点之间，线段最短”的道理．解：A例2如图(1)，在一条笔直的公路两侧，分别有A、B两个村庄，现在要在公路上建一个汽车站C，使汽车站C到A、B两个村庄的距离之和最小，问汽车站C的位置应该如何确定？分析：根据“两点之间，线段最短”，点C应该在线段AB上．解：连接AB，线段AB与公路所在直线a交于C．则点C即为汽车站的位置．如上图(2)变式训练1．下列可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )．①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．A．①②B．①③C．②④D．③④答案1．D提示：①②错误，③④正确．2．如图，在公园，为了方便人们观光，总把湖上的桥修成曲折形，你能说明其中的道理吗？解：设计成曲线增加了人们的观光路程．知识点二：两点之间的距离1．两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离．2．距离是指线段的长度，是一个数值，不是指线段本身．线段的长度可用刻度尺度量．例3下列说法正确的是( )．A．过A、日两点的直线长是A、B两点间的距离B．线段AB是A、B两点间的距离C．乘火车从无锡到北京要走1280千米，这就是说无锡站与北京站间的距离为1280千米D．连接A、B两点的所有线中，其中最短的线的长度就是A、B两点间的长度分析：直线不可度量没有长度，A错；距离指线段AB的长度，而不是线段AB本身，B错；无锡到北京火车走的不是直线，不是线段的长度．C错．解：D变式训练1．点B在线段AC上，AB =5，BC=3，则A、C两点间的距离是( )．A．8 B．2 C. 4 D．无法确定答案．A知识点三：作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段是几何中一种重要的基本作图，用到的工具是圆规和没有刻度的直尺．步骤如下：(1)作一条射线AB；(2)用圆规量出已知线段的长度（记作a）；(3)以A为圆心，在射线AB上截取AC =a，则线段AC就是所求的线段。

老师：耿宏雷学生：科目： 奥数时间:2013年专题一：线段与角1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。

线段有两个端点。

2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线有一个端点。

3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

4、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。

一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。

5、点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

6、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

7、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

8、线段的中点：点M 把线段AB 分成相等的两条相等的线段AM 与BM ，点M 叫做线段AB 的中点。

线段的比较与计算重叠比较法 将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置．数量比较法 用刻度尺分别量出线段AB 和线段CD 的长度，将长度进行比较．可以用推理的写法，培养学生的推理能力．写法如下：因为 量得AB=××cm ，CD=××cm ，所以 AB=CD(或AB ＜CD 或AB ＞CD)．典型例题：1、下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）A B C D2、由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）A 、AP=21AB B 、AB ＝2PB C 、AP ＝PB D 、AP ＝PB=21AB 3、已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．4、同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是度 ．（2）7点25分时针与分针所夹的角是度 ．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少？5.α为锐角，β为钝角，甲、乙、丙、丁四人在计计算()βα+61时结果依次为10°，23°，46°，51°，其中只有一个是正确的，你知道四人中谁的结果正确吗？6.、我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线．若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是 ；若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ；若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ．7.如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ．（1）求∠MON 的度数；（2）如果（1）中∠AOB=α，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON 的度数；（3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？巩固提高：1、如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）A ．b a a +B ．b a b +C ．h a b +D ．h a h+2、已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200， 则∠A OC =____________度3、若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 21=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（）A 2（a-b ）B 2a-bC a+bD a-b5、已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ）A.12（∠1＋∠2）B.12∠1C.12（∠1－∠2）D.12∠2 6、在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？6、已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE 的度数；（2）在图1中，若∠AOC=a ，直接写出∠DOE 的度数（用含a 的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF ， 试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由．E B ADDC B A F ED C B A 专题二：相交线与平行线1、平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

七年级数学“线段与角”经典题型详解一、《线段、射线、直线》与《角》例1 线段中点与角平分线①若一条线段上有n个点，则这n个点可组成n/2（n+1）条线段；②从一个点出发引出n条射线，则这n条射线可组成n/2（n+1）个角。

例2 线段类与角类多解问题例3 双中点问题与双角平分线问题（1）例4 双中点问题与双角平分线问题（2）例5 数线段条数与角的个数二、行程问题与钟面角问题例6 追击类问题（1）例7 追击类问题（2）二、六道题突破“线段与角”所有难题1、方程思想例1：已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝n°，则∠BOE＝______°，∠BOE与∠COF的数量关系为_______；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE 与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．分析：(1)(2)根据∠EOC和∠COF的度数，可以求出∠FOE的度数，从而可求∠AOE的度数，从而将∠AOB的度数减去∠AOE的度数，就是∠BOE的度数，若将∠EOF 的度数用n来表示，或将位置改变，方法也是不变的．(3)要求∠COF的度数，只需求出∠EOF的度数，用∠COE的度数相减即可．而要求∠EOF的度数，我们可以借助∠DOF＝3∠DOE的条件，最后，利用∠AOD＋∠BOD＝160°，建立方程．解答：(1)设∠COF＝n°，∠FOE＝∠COE－∠COF＝(80－n)°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE ＝2∠FOE＝(160－2n)°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE ＝160°－(160－2n)°＝2n°，∴∠BOE＝2∠COF．(2)结论仍然成立，方法同(1)．(3)∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，设∠DOE＝x°，∴∠DOF＝3x°，∠FOE＝∠DOF－∠DOE＝2x°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠FOE＝4x°，∴∠AOE＋∠DOE＋∠BOD＝∠AOB，4x＋x＋90＝160，x＝14，∴∠EOF＝2x°＝28°，∠COF＝∠COE－∠EOF＝80°－28°＝52°2、分类讨论例2：分析：解答：3、旋转相关例3：已知直线AB和CD交于点O，∠AOC 的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．(1)当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．(2)当x＝60°，射线OE、OF 分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF 重合时至少需要多少时间?(3)当x＝60°，射线OE以10°/s 的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE 转动的时间．分析：(1)问非常简单，不再赘述．(2)这是一个追及问题，射线OE的速度快，显然是OE在后追OF，追及的度数是用360°减去∠EOF的度数．(3)由于方向变化，问题又变成了一个相遇问题，相遇前，两射线的夹角与第(2)问相同，要使夹角为90°，则转过的度数之和分3种．相遇之前，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数减去90°．相遇之后，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上90°．相遇之后，夹角为(360－90)°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上(360－90)°．解答：(1)∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOB－∠BOE ＝180°－90°＝90°，∴∠EOC＝∠AOE－∠AOC ＝90°－19°48′＝70°12′∠AOD＝∠COD－∠AOC ＝180°－19°48′＝160°12′∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝1/2∠AOD＝80°6′(2)∵∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∠AOF＝60°，∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝150°，解设t秒后重合，(10－4)t＝360－150，t＝35．(3)4、定值探究例4：分析：解答：5、双角平分线例5：如图，两个形状、大小完全相同的含有30°，60°角的三角尺如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角尺PAC，三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转．(1)试说明：∠DPC＝90°；(2)如图②，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P 逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；(3)如图③，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时，两三角尺都停止转动)，试说明：∠BPN ＝2∠CPD．分析：(1)问简单，不再赘述．(2)典型的双角平分线问题，先找出现两次的边，即公共边，PD，则组成∠EPF的两条边，PE，PF，必然与PD形成2个角，∠FPD，∠EPD，则∠EPF必为这两个角的差或和，然后利用一半减一半，或一半加一半解决．(3)分别用含t的代数式表示∠BPN，∠CPD，注意∠CPD在表示时，要考虑到PD旋转到MN下方的情况，因此，用平角∠MPN＋∠MPN－∠BPD－∠APC －∠APN最合适．解答：(1)∵PA，PB与直线MN重合，∴∠APB＝180°又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝∠APB－∠CPA－∠DPB ＝180°－30°－60°＝90°；6、动点综合例6：已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P 与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．分析：本题是一道好题，将动点问题中3个重要知识点串联在了一起，(1)如何表示t 秒时，某个点表示的数，(2)如何表示t秒时，两个点之间的距离，(3)如何表示两个点的中点．(1)问，可以用行程问题解决，但我们可以用相遇时，这两个点表示的数相等来建立方程．(2)分别用含t的绝对值代数式来表示后甲到A，B，C三点的距离．然后建立关于t的绝对值方程，注意，要考虑所求时间是否在范围内，调头走的时间是否合题意．(3)依旧可以用含t的代数式表示t秒时，点P，点Q表示的数，利用中点公式，建立方程求解．解答：。

第11讲直线、射线和线段1.了解方直线、射线与线段的概念；2.理解两点确定一条直线与两点之间线段最短的事实；3.掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，以及它们的联系与区别；4.知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算.知识点1：直线、射线与线段的概念注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。

知识点2：基本事实1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短知识点3：线段的性质两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。

知识点4：基本概念1.两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。

2.线段的等分点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点知识点5：双中点模型：C 为AB 上任意一点，M 、N 分别为AC 、BC 中点，则AB MN 21考点1：直线、射线和线段的定义例1.（2023春•广饶县期中）如图，已知三点A 、B 、C ，画射线AB ，画直线BC ，连接AC ．画图正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解答】解：画射线AB ，画直线BC ，连接AC ，如图所示：故选：B ．【变式1-1】（2023•邯山区校级开学）下列各图中所给的线段、射线、直线能相交的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解答】解：A 、直线AB 与射线EF 无交点，故此选项不符合题意；B 、直线AB 与射线EF 有交点，故此选项符合题意；C 、直线AB 与射线EF 无交点，故此选项不符合题意；D、直线AB与射线EF无交点，故此选项不符合题意．故选：B．【变式1-2】（2023春•泰山区期中）如图，下列说法正确的是（）A．点O在射线AB上B．点B是直线AB的一个端点C．点A在线段OB上D．射线OB和射线AB是同一条射线【答案】C【解答】解：A、点O在射线AB的反向延长线上，故此选项不符合题意；B、直线没有端点，故此选项不符合题意；C、点A在线段OB上，原说法正确，故此选项符合题意；D、射线OB和射线AB的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意．故选：C．【变式1-3】（2022秋•运城期末）下列说法不正确的是（）A．直线MN与直线NM是同一条直线B．射线PM与射线MP是同一条射线C．射线PM与射线PN是同一条射线D．线段MN与线段NM是同一条线段【答案】B【解答】解：A、直线MN与直线NM是同一条直线，选项正确，不符合题意；B、射线PM与射线MP不是同一条射线，选项错误，符合题意；C、射线PM与射线PN是同一条射线，选项正确，不符合题意；D、线段MN与线段NM是同一条线段，选项正确，不符合题意．故选：B．考点2：直线的性质和运用例2.（2022秋•黄陂区校级期末）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识．故选：C．【变式2-1】（2022秋•永年区期末）在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线【答案】B【解答】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，故选：B．【变式2-2】（2022秋•渭滨区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．以上都不是【答案】B【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：B．例3.（2023春•高青县期中）如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（）A．10B．11C．18D．20【答案】D【解答】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20，故选：D．【变式3-1】（2023春•东平县期中）如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（）种．A．5B．10C．15D．20【答案】B【解答】解：＝10（种），∴要为这次列车制作的单程火车票10种．故选：B．【变式3-2】（2022秋•海门市期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】C【解答】解：由题意可知，不同的票价有1+2+3＝6（种），故选：C．【变式3-3】（2022秋•宛城区期末）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种B．42种C．10种D．84种【答案】A【解答】解：如图，图中有5个站点．经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有4+3+2+1＝10（种）．∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为2×10＝20（种）．故选：A．考点3：尺规作图-直线、射线和线段例4.（2022秋•忠县期末）已知A、B、C三点如图所示．（1）画直线AB，射线AC，线段BC；（2）在线段BC上任取一点E（不同于B，C），连接AE，并延长AE至D，使DE＝AE；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（3）在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点A为端点的所有线段．【答案】（1）（2）见图，（3）图中共8条线段，以点A为端点的线段：线段AB、线段AC、线段AE、线段AD．【解答】解：（1）画直线AB，线段BC，射线AC，如图；（2）连接AE，并延长AE，在AE的延长线上用圆规截取DE＝AE，如图；（3）图中共8条线段，以点A为端点的线段：线段AB、线段AC、线段AE、线段AD．【变式4-1】（2022秋•惠州期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图：（1）射线BA；（2）直线BD与线段AC相交于点E；【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：【变式4-2】（2022秋•黄陂区期末）如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图．（1）画射线AD、BC交于点F．（2）连接AC，并将其反向延长；（3）取一点P，使点P既在直线AB上又在直线CD上；（4）取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小．【答案】作图见解答过程．【解答】解：（1）如图，射线AD、BC交于点F，点F即为所求；（2）如图，连接AC，并将其反向延长，CA即为所求；（3）如图，直线AB和直线CD相交于点P，点P即为所求；（4）如图，连接AC、BD，交点为点Q，点Q即为所求．【变式4-3】（2022秋•济南期末）如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图．（1）画直线AC；（2）线段AD与线段BC相交于点O；（3）射线AB与射线CD相交于点P．【答案】答案见解析．【解答】解：（1）直线AC如图所示．（2）线段AD与线段BC相交于点O，如图所示．（3）射线AB与射线CD相交于点P，如图所示．考点4：线段的性质例5.（2022秋•越秀区期末）如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．线段是直线的一部分【答案】B【解答】解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间线段最短．故选：B．【变式5-1】（2022秋•泉港区期末）小华从家里去学校有4条不同路线，路线a、b、c、d的路程分别为：5.2km、3.6km、2.9km、6.5km．若有一条路线是线段，则属于线段的路线是（）A．路线a B．路线b C．路线c D．路线d【答案】C【解答】解：∵两点之间线段最短，∴路线a、b、c、d的路程分别为：5.2km、3.6km、2.9km、6.5km，若有一条路线是线段，则属于线段的路线是路线c．故选：C．【变式5-2】（2022秋•叙州区期末）如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．经过一点有无数条直线D．两点之间，线段最短【答案】D【解答】解：由于两点之间线段最短，∴剩下树叶的周长比原树叶的周长小，故选：D．【变式5-3】（2022秋•枣阳市期末）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①B．②C．③D．以上现象都可以【答案】B【解答】解：①属于“两点确定一条直线”，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；②可用“两点之间，线段最短”来解释，两点之间，线段最短，减少了距离，符合题意；③属于“两点确定一条直线”，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意，∴可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象有②，故选：B．考点5：线段的简单运算例6.（2022秋•东港区校级期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．（1）如图1，若AB＝10cm，BC＝6cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；（2）如图2，若，E为线段AB的中点，EC＝16cm，求线段AC的长度．【答案】（1）线段DB的长度为2cm；（2）线段AC的长度为24cm．【解答】解：（1）如图1所示：∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝AB+BC＝10+6＝16（cm），又∵D为线段AC的中点，∴，∴DB＝DC﹣BC＝8﹣6＝2（cm）；（2）如图2所示，设BD＝xcm，∵，∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，∴BC＝DC﹣DB＝3x﹣x＝2x，∴AC＝AB+BC＝4x+2x＝6x，∵E为线段AB的中点，∴，∴EC＝BE+BC＝2x+2x＝4x，又∵EC＝16cm，∴4x＝16，解得：x＝4，∴AC＝6x＝6×4＝24（cm）．【变式6-1】（2022秋•临县期末）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10cm，BD＝7cm，则BC的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：∵AB＝10cm，BD＝7cm，∴AD＝3cm，∵D是线段AC的中点，∴AC＝6cm．∴BC＝4cm．故选：C．【变式6-2】（2022秋•交口县期末）直线上有A，B，C三点，已知AB＝8cm，BC＝2cm，则AC的长是（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能确定【答案】C【解答】解：根据题意可得，如图1，，AC＝AB+BC＝8+2＝10（cm）；如图2，，AC﹣AB﹣BC＝8﹣2＝6（cm）．所以AC的长是10cm或6cm．故答案为：C．【变式6-3】（2022秋•君山区期末）如图，线段AB＝30，AC＝10，点M是线段AC的中点．（1）则线段BC的长度为20；（2）在线段CB上取一点N，满足NB＝3CN．求线段MN的长．【答案】（1）20；（2）10．【解答】解：（1）∵AB＝30，AC＝10，∴BC＝AB﹣AC＝30﹣10＝20，故答案为：20．（2）∵BC＝20，NB＝3CN，∴，又∵点M是AC的中点，AC＝10，∴，∴MN＝MC+NC＝5+5＝10．考点6：线段的中双中点模型例7.（2022秋•秦淮区期末）如图，线段AB＝12cm，C是线段AB上一点，AC＝8cm，D、E分别是AB、BC的中点．（1）求线段CD的长；（2）求线段DE的长．【答案】（1）2cm；（2）4cm．【解答】解：（1）∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝×12＝6（cm），∵CD＝AC﹣AD，∴CD＝8﹣6＝2（cm）；（2）∵BC＝AB﹣AC，∴BC＝12﹣8＝4（cm），∵E是BC的中点，∴CE＝BC＝×4＝2（cm），∵DE＝DC+CE，∴DE＝2+2＝4（cm）．【变式7-1】（2022秋•朝阳区期末）如图，点C在线段AB上，AB＝16，点E、F分别是线段AB、AC的中点，且EF＝5．求线段AC的长．【答案】6．【解答】解：∵点E是AB的中点，∴．∵AB＝16，∴．∵AF＝AE﹣EF，EF＝5，∴AF＝8﹣5＝3．∵点F是AC的中点，∴AC＝2AF＝2×3＝6．∴线段AC的长为6．【变式7-2】（2022秋•贵池区期末）如图，C是线段AB上一点，M，N分别是AC，BC的中点．（1）若CN＝CM，BN＝2，求线段AB的长；（2）若AC+BC＝m，求线段MN的长．【答案】（1）12；（2）．【解答】解：（1）∵M，N分别是AC，BC的中点，∴，．∵，∴CM＝4，∴BC＝4，AC＝8，∴AB＝BC+AC＝4+8＝12；（2）∵AC+BC＝m，M，N分别是AC，BC的中点，∴，．∵，∴．【变式7-3】（2022秋•成都期末）如图所示，点C是线段AB上一点，AC＝2BC＝8，点D是线段AB的中点．（1）求线段DC的长；（2）若E是线段BC的中点，F是线段AD的中点，求线段EF的长．【答案】（1）2；（2）7．【解答】解：（1）∵AC＝2BC＝8，∴BC＝4，∴AB＝AC+BC＝12，∵点D是线段AB的中点，∴DB＝AD＝AB＝6，∴DC＝DB﹣BC＝6﹣4＝2；（2）∵E是线段BC的中点，F是线段AD的中点，∴EB＝BC＝2，AF＝AD＝3，∴EF＝AB﹣EB﹣AF＝12﹣2﹣3＝7．1．（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解答】解：根据题意可得，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．故选：B．2．（2021•包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）A．1B．3C．1或3D．2或3【答案】C【解答】解：根据题意分两种情况，①如图1，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB﹣BC＝2，∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝；②如图2，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB+BC＝6，∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝×6＝3．∴线段AD的长为1或3．故选：C．3．（2023•广东模拟）在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要（）A．1枚钉子B．2枚钉子C．3枚钉子D．随便多少枚钉子【答案】B【解答】解：至少需要2根钉子．故选：B．4．（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝4cm．【答案】4．【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．1．（2022秋•宝塔区期末）下列各图中，表示“线段CD”的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、是直线CD，故此选项不符合题意；B、是射线CD，故此选项不符合题意；C、是射线DC，故此选项符合题意；D、是线段CD，故此选项不符合题意；故选：D．2．（2022秋•淮滨县期末）平面上有A、B、C三点，经过任意两点画一条直线，可以画出直线的数量为（）A．1条B．3条C．1条或3条D．无数条【答案】C【解答】解：①如果三点共线，过其中两点画直线，共可以画1条；②如果任意三点不共线，过其中两点画直线，共可以画3条．故选：C．3．（2022秋•晋中期末）高速公路的建设带动我国经济的快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离C．两点确定一条直线D．平面内经过一点有无数条直线【答案】A【解答】解：在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是两点之间，线段最短．故选：A．4．（2023•铜仁市模拟）已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离是（）A．10cm B．8cmC．10cm或8cm D．以上说法都不对【答案】C【解答】解：分两种情况：①点C在线段AB上，则AC＝AB﹣BC＝9﹣1＝8（cm）；②点C在线段AB的延长线上，AC＝AB+BC＝9+1＝10（cm）．故选：C．5．（2022秋•武侯区期末）已知在同一直线上有A，B，C三个点，且AB＝3，BC＝2，则AC的长为（）A．5B．C．5或1D．或1【答案】C【解答】解：如图1，，AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1；如图2，，AC＝AB+BC＝3+2＝5，所以AC的长为5或1．故选：C．6．（2022秋•大东区期末）如图，BC＝AB，D为AC的中点，DC＝3，则AB的长是（）A．B．5C．D．4【答案】D【解答】解：∵D为AC的中点，DC＝3，∴AC＝2DC＝2×3＝6，∵BC＝AB，∴AB＝AC＝×6＝4．故选：D．7．（2022秋•通道县期末）如图已知线段AB＝14cm，C点在AB上，BC：AC＝3：4，D为BC的中点，则线段AD的长为（）A．10cm B．11cm C．12cm D．13cm【答案】B【解答】解：∵AB＝14cm，BC：AC＝3：4，∴，，∵D为BC的中点，∴，∴AD＝AC+CD＝8+3＝11cm，故选：B．8．（2022秋•婺城区期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种B．15种C．10种D．5种【答案】A【解答】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）＝20（种）．故选：A．9．（2022秋•市中区校级期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）（1）作射线AC；（2）作直线BD与射线AC相交于点O；（3）分别连接AB、AD；（4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是AB+AD＞BD，理由是两点之间，线段最短．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（2）（3）如图所示：（4）AB+AD＞BD，理由是：两点之间，线段最短．故答案为：AB+AD＞BD，两点之间线段最短．10．（2022秋•惠山区校级期末）如图，已知点C是线段AB上一点，点D是线段AB的中点，若AB＝10cm，BC＝3cm．（1）求线段CD的长；（2）若点E是直线AB上一点，且BE＝2cm，点F是BE的中点，求线段DF的长．【答案】（1）2cm；（2）6cm或4cm．【解答】解：（1）∵点D是线段AB的中点，AB＝10cm，∴，∵BC＝3cm，∴CD＝BD﹣BC＝2cm；（2）当点E在AB的延长线上时，如图，∵BE＝2cm，点F是BE的中点，∴，∴DF＝BD+BF＝5+1＝6cm；当点E在线段AB上时，如图，∵BE＝2cm，点F是BE的中点，∴，∴DF＝BD﹣BF＝5﹣1＝4cm；综上所述，线段DF的长为6cm或4cm．11．（2022秋•凤山县期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．（1）如果AB＝12cm，AM＝4cm，求CN的长；（2）如果MN＝8cm，求AB的长．【答案】（1）2；（2）16．【解答】解：（1）∵点M是线段AC的中点，AM＝14cm，∴AC＝2AM，∴AC＝8cm，∵AB＝12cm，∴BC＝AB﹣AC＝4（cm），∵点N是BC的中点，∴CN＝BC＝2（cm），答：CN的长为2cm；（2）∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，∴BC＝2NC，AC＝2MC，∵MN＝NC+MC＝8（cm），∴AB＝BC+AC＝2NC+2MC＝2MN＝16（cm），答：AB的长为16cm．12．（2022秋•忠县期末）如图，长度为42cm的线段AD上有两点B、C，这两点将线段AD分成AB：BC：CD＝2：1：4．（1）求线段AC的长；（2）点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点，求线段MN的长度．【答案】（1）18cm；（2）24cm．【解答】解：（1）AB：BC：CD＝2：1：4．∴AD＝42cm，∴AC＝（cm）；（2）由题意得AB＝（cm），BC＝6（cm），CD＝24（cm），∵M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点，∴MB＝（cm），CN＝（cm），∴MN＝MB+BC+CN＝6+6+12＝24（cm）．13．（2022秋•利川市校级期末）如图，已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，满足BD：AB＝1：4，且点D，E分别是线段AC，AB的中点，若EC＝24，求线段AB和AC的长度．【答案】24，26．【解答】解：设BD＝x，∵BD：AB＝1：4，∴AB＝4BD＝4x，∵点E是线段AB的中点，∴BE＝AE＝AB＝×4x＝2x，∴DE＝x，∴AD＝3x，∵点D是线段AC的中点，∴AC＝2AD＝6x，∴CE＝AC﹣AE＝6x﹣2x＝24，解得：x＝6，∴AB＝4x＝4×6＝24，AC＝6x＝6×6＝36．。

七年级上册数学角线段知识点数学是一门重要的学科，能帮助我们在日常生活中更加快捷高效地处理问题。

在七年级上册的数学学习中，角线段是一个重要的知识点。

本文将为大家介绍关于角线段的几个方面。

一、概述
角线段是指从一个凸多边形的一个角点出发，连接另外一个角点的线段。

角线段的特点是穿过凸多边形内部，即既不在凸多边形内部，也不在凸多边形外部。

二、角线段的性质
1.角线段分割凸多边形
角线段可以分割一个凸多边形成为两个或更多的三角形。

2.角线段长度相等
一个凸多边形中，以一个顶点为端点，连接另外不相邻的两个
顶点所得线段长度相等。

3.角线段相交于中心
一个凸多边形中，所有的角线段都相交于中心。

4.角线段长度相等的条件
一个凸多边形中，若以一个顶点为端点的两条角线段长度相等，则这个凸多边形是正多边形。

三、角线段的应用
1.求解凸多边形的内角和
通过连接凸多边形的所有顶点，可以构造出许多三角形，而凸
多边形的内角和等于所有三角形的内角和，也就是等于角线段数
量减去2。

2.求解凸多边形的面积
当给出凸多边形的所有角线段长度时，可以通过构造各个三角形来求得凸多边形的面积，进而应用于实际问题中。

3.构造多边形
通过连接凸多边形的所有顶点，可以构造出许多三角形，从而拼接成各种多边形，常用于建筑、地图等领域。

总之，角线段是几何学中重要的基础知识，不仅仅应用于数学领域，还广泛应用于其他科学领域。

希望大家在学习数学时，能够认真掌握相关知识，提高自己的数学素养。