江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高二下学期期中数学试题

江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高二（下）期中数学试卷【参考答案】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）＝x2+sin x在区间[0，π]上的平均变化率为（）A．1 B．2 C．πD．π2【答案】C【解析】根据题意，f（x）＝x2+sin x，在区间[0，π]上，有△y＝f（π）﹣f（0）＝π2，△x＝π﹣0＝π，则其平均变化率＝π，故选：C．2．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化学、生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目．小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有（）A．4种B．6种C．8种D．12种【答案】B【解析】根据题意，分2步进行分析：①小明必选化学，需要在思想政治、地理、生物中再选出一门，有C31＝3种选法，②小明在物理、历史两门选出一门，有C21＝2种选法，则有3×2＝6种选择方法，故选：B．3．若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y＝x﹣1，则f（2）+f′（2）＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y＝x﹣1，可得f（2）＝2﹣1＝1，f′（2）＝1，则f（2）+f′（2）＝2．故选：B．4．若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）其有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y＝lnx B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝【答案】B【解析】由y＝lnx的导数为y′＝，由x＞0，可得切线的斜率大于0，不存在两点，使得函数f（x）＝lnx的图象在这两点处的切线互相垂直；由y＝cos x的导数y′＝﹣sin x，由sin x∈[﹣1，1]，可得存在两点，使得函数y＝cos x的图象在这两点处的切线互相垂直；由y＝e x的导数为y′＝e x，由e x＞0，可得不存在两点，使得函数f（x）＝e x的图象在这两点处的切线互相垂直；由y＝的导数为y′＝，由＞0，可得不存在两点，使得函数f（x）＝的图象在这两点处的切线互相垂直．故选：B．5．若函数f（x）＝x+t sin x在（0，）上单调递增，则实数t的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．[﹣1，+∞）【答案】D【解析】f′（x）＝1+t cos x≥0在（0，）恒成立，故t≥﹣在（0，）恒成立，y＝﹣在（0，）递减，故y的最大值是﹣1，故t≥﹣1，故选：D．6．5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（）A．60种B．90种C．150种D．240种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，若分为1、2、2的三组，有＝15种分组方法，若分为1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法，则有10+15＝25种分组方法，②将分好的三组安排到3个小区，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种不同的安排方法，故选：C．7．若曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝e x相切于点Q（x2，y2），则+x2＝（）A．﹣1 B．1 C．0 D．e【答案】C【解析】y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线方程为y﹣lnx1＝（x﹣x1），y＝e x的导数为y′＝e x，可得在点Q（x2，y2）处的切线的方程为y﹣e x2＝e x2（x﹣x2），由两条切线重合的条件，可得＝e x2，且lnx1﹣1＝e x2（1﹣x2），则x2＝﹣lnx1，即有lnx1﹣1＝（1+lnx1），可得lnx1＝，则+x2＝lnx1﹣lnx1＝0．故选：C．8．若a＜4且4a＝a4，b＜5且5b＝b5，c＜6且6c＝c6，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b【答案】B【解析】令f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝．由f′（x）＞0得：0＜x＜e．∴函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．∵4a＝a4，5b＝b5，6c＝c6，∴aln4＝4lna，bln5＝5lnb，cln6＝6lnc，∴f（4）＝＝＝f（a），f（5）＝＝＝f（b），f（6）＝＝＝f（c）．∵6＞5＞4＞e，∴f（6）＜f（5）＜f（4），∴f（c）＜f（b）＜f（a），又∵c＜6，b＜5，a＜4，∴c，a，b都小于e，∴c＜b＜a．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法【答案】BC【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有C62＝15种选法，女生的选法有C42＝6种选法，则4人中男生女生各有2人选法有15×6＝90种选法，A错误；对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C82＝28种选法，B正确；对于C，在10人中任选4人，有C104＝210种选法，甲乙都不在其中的选法有C84＝70，故种男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内选法有210﹣70＝140种，C正确；对于D，在10人中任选4人，有C104＝210种选法，只有男生的选法有C64＝15种，只有女生的选法有C44＝1种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有210﹣15﹣1＝194种，D错误；故选：BC．10．若2≤m≤n，m，n∈N*，则下列等式中正确的有（）A．C＝C+CB．mC＝nCC．A＝mAD．A+mA＝A【答案】AB【解析】2≤m≤n，m，n∈N*，由做合数的性质可得C＝C+，故A正确；∴mC＝m•＝，而n＝n•＝，故mC＝n，故B正确；∵A＝n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），mA＝m（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故C错误；∵A+mA＝n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1）+m•n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）＝[n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）][（n﹣m+1）+m]＝（n+1）•n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）；而A＝（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m），故A+mA≠A，故D错误，故选：AB．11．若函数f（x）＝xln（x+2），则（）A．f（x）在（0，+∞）上单调递增B．f（x）有两个零点C．f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处切线的斜率为﹣1D．f（x）是奇函数【答案】ABC【解析】∵f（x）＝xln（x+2），∴x+2＞0，∴函数f（x）的定义域是（﹣2，+∞），对于A：f′（x）＝ln（x+2）+，x＞0时，ln（x+2）＞0，＞0，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故A正确；对于B：令f（x）＝0，即xln（x+2）＝0，解得：x＝0或x＝﹣1，故函数f（x）有2个零点，故B正确；对于C：斜率k＝f′（﹣1）＝ln（﹣1+2）+＝﹣1，故C正确；对于D：函数的定义域是（﹣2，+∞），不关于原点对称，故D错误；故选：ABC．12．若函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cos x，g（x）＝f（x）﹣a，则（）A．当a＝5时，g（x）有两个零点B．当a＝4时，g（x）有三个零点C．当a＝2时，g（x）有一个零点D．当a＝3时，g（x）有四个零点【答案】AB【解析】f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cos x＝，当x＜﹣1时，f'（x）＝﹣2﹣2sin x≤0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，∴f（x）＞f（﹣1）＝2+2cos（﹣1）＝2+2cos1∈（3，4），当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2+2cos x为偶函数，在[﹣1，0）上单调递增，在（0，1]上单调，∴f（x）∈[f（1），f（0）]，即f（x）∈[2+2cos1，4]⊆（3，4]，当x＞1时，f'（x）＝2﹣2sin x≥0恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝2+2cos1∈（3，4），由此作出函数f（x）的草图如下所示，由图可知，当a＝5时，函数y＝f（x）与y＝a有两个交点，即g（x）有两个零点，即选项A正确；当a＝4时，函数y＝f（x）与y＝a有三个交点，即g（x）有三个零点，即选项B正确；当a＝2或a＝3时，函数y＝f（x）与y＝a没有交点，即g（x）没有零点，即选项C和D均错误，故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个满足条件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0的函数f（x）＝x3．【答案】x3【解析】由条件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0，可知满足条件的是一个单调递增的偶函数．根据此分析可知函数f（x）＝x3满足条件，故答案为：x3．14．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有20种．（用数字作答）【答案】20【解析】根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，假设有6个位置，在其中任选3个，安排三个“阳爻”，有C63＝20种情况，即该重卦可以有20种情况，故答案为：20．15．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为α＝，传输带以0.9m3/min的速度送煤，则r关于时间t的函数是r＝，当半径为3m时，r对时间t的变化率为．【答案】r＝；．【解析】由题意值，tanα＝，所以h＝r tanα＝r tan＝r，设tmin时煤堆的体积为V，则V＝πr2h＝πr3＝0.9t，①所以r＝，②对t求导可得r′（t）＝，③当r＝3时，对应的时刻为t0，由①得t0＝10π，代入③式可得r′（t）＝＝＝×＝．故答案为：r＝；．16．已知函数f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，若存在x0，使得f（x0）≤，则实数a的值是．【答案】【解析】∵f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，∴函数f（x）可看作动点M（x，lnx）与动点N（﹣a，﹣ea）之间距离的平方，动点M在y＝lnx的图像上，N在y＝ex的图像上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝lnx，得y′＝＝e，则x＝，故曲线上的点M（，﹣1）到直线y＝ex距离的最小值是d＝，则f（x）≥，根据题意若存在x0，使得f（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰为垂足，由K MN＝﹣，故＝﹣，解得：a＝，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）若3A﹣6A＝4C，求n；（2）已知x＞0，求（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）10的展开式中x3的系数．（用数字表示结果）【答案】见解析【解析】（1）∵3A﹣6A＝4C，∴3n（n﹣1）（n﹣2）﹣6n（n﹣）＝4×＝2n（n+1）⇒3n2﹣17n+10＝0⇒n＝5（舍），即n为5，（2）由题意可得：展开式中x3的系数为：+……+＝+……+＝＝330．（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10展开式中x3的系数：330．18．（12分）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．【答案】见解析【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位，有A42＝12种情况，则有2×12＝24个三位偶数，（2）根据题意，分2步进行分析：①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2、3、4、5，有4种情况，②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位、个位，有A43＝24种情况，则有4×24＝96个符合题意的四位数；（3）根据题意，分2步进行分析：①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有A32C21＝12种情况，②将这个整体与其他2个数字全排列，有A33＝6种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，则有6﹣2＝4种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，故有12×4＝48个符合题意的五位数．19．（12分）已知函数f（n，x）＝（+）n（m＞0，x＞0）．（1）当m＝2时，求f（7，x）的展开式中二项式系数最大的项；（2）若f（10，x）＝a0+++…+，且a2＝180，①求a i；②求a i（0≤i≤10，i∈N）的最大值．【答案】见解析【解析】（1）当m＝2时，f（7，x）＝（1+）7的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T或T；（2）①f（10，x）＝（）10的通项公式为T r+1＝C（）10﹣r（r＝2x﹣r，且f（10，x）＝a，所以的系数为a＝180，解得m＝2，所以f（10，x）的通项公式为T，所以a r＝2，当r＝0时，a0＝1，令x＝1，，②设a为a i（0≤i≤10）中的最大值，则，解得，即，r∈N，所以r＝7，所以（a i）max＝a．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+．（1）当m＝1时，求曲线f（x）上过点（1，f（1））的切线方程；（2）若f（x）___，求实数m的取值范围．①在区间（m，m+1）上是单调减函数；②在（，2）上存在减区间；③在区间（m，+∞）上存在极小值．【答案】见解析【解析】（1）当m＝1时，f（x）＝，所以f（1）＝0，则有①当点（1，f（1））为切点时，f'（x）＝x2+x﹣1⇒f'（1）＝1，根据函数导数的几何意义可得，函数在点（1，0）处的切线方程即为：y＝x﹣1；②当（1，0）不是切点时，设切点为（x0，y0），则可得切线方程为：y﹣y0＝f'（x0）（x﹣x0），因为，，所以切线方程即为：，代入点（1，0）化简可得，，解之可得，，⇒切线方程为：，综上可得，过点（1，0）的切线方程为x﹣y﹣1＝0，或11x+16y﹣11＝0．（2）∵f'（x）＝x2+mx﹣1，∴若选①函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调减函数，则有：f'（x）≤0在区间（m，m+1）上恒成立，即x2+mx﹣1≤0在（m，m+1）上恒成立，∴，解之可得；若选②函数f（x）在（，2）上存在减区间，则有：f'（x）＜0在区间（，2）上有解，即得在区间（，2）上有解，此时令g（x）＝，因为g（x）在区间（，2）上单调递减，所以g（x）＜g（）＝，故有m＜；若选③函数在区间（m，+∞）上存在极小值，则有：函数f（x）的极小值点应落在（m，+∞）；令f'（x）＝x2+mx﹣1＝0，求得，，此时可得，f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减；所以x＝x2是函数f（x）的极小值点，即得⇒，所以当m≤0时，不等式恒成立，当m＞0时，m2+4＞9m2，解之可得0＜m＜，综上可得，．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x，x∈[0，π]．（1）当a＝1时，求f（x）的最值；（2）若f（x）+x2≥0，求实数a的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝﹣sin x，f′（x）＝﹣cos x，x∈[0，π]，令f′（x）＝0，得cos x＝，x∈[0，π]，解得：x＝，x，f′（x），f（x）的变化如下：x0 （0，）（，π）πf′（x）﹣0 +f（x）递减极小值递增而f（0）＝0，f（）＝﹣，f（π）＝，故f（x）max＝，f（x）min＝﹣．（2）f（x）+x2≥0即x﹣sin x+x2≥0对x∈[0，π]恒成立，令g（x）＝x﹣sin x+x2，g′（x）＝﹣cos x+2x，令h（x）＝g′（x）＝﹣cos x+2x，则h′（x）＝sin x+2＞0，h（x）在[0，π]上单调递增，故h（x）min＝h（0）＝﹣1，h（x）max＝h（π）＝+1+2π；①当h（π）＝+1+2π≤0即a≤﹣4π﹣2时，h（x）≤0即g′（x）≤0，g（x）在[0，π]上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，不合题意，舍；②当h（π）＝+1+2π＞0，h（0）＝﹣1＜0即﹣4π﹣2＜a＜2时，存在x0∈（0，π），使得h（x0）＝0，又h（x）在[0，π]上单调递增，故x∈（0，x0）时，h（x）＜0即g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，π）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合题意，舍，③当h（0）＝﹣1≥0即a≥2时，h（x）≥h（0）≥0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，π]上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，符合题意，综上，实数a的取值范围是[2，+∞）．22．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx+﹣ax，g′（x）是g（x）的导函数．（1）讨论函数g（x）在（0，+∞）的单调性；（2）若函数h（x）＝f（x）g′（x）﹣1在区间（0，2）内有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）g′（x）＝，当a≤0时，g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令h（x）＝x2﹣ax+1，h（0）＝1，①△≤0即0＜a≤2时，g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，②△＞0即a＞2时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞，令g′（x）＜0，解得：＜x＜，故g（x）在（0，）递增，在（，）递减，（，+∞）递增；综上：0＜a≤2时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，a＞2时，g（x）在（0，）递增，在（，）递减，（，+∞）递增；（2）h（x）＝﹣1，x∈（0，2），显然h（0）＝0，令φ（x）＝e x﹣x﹣1，h（1）＝﹣1，h′（x）＝，①当a+1≤0即a≤﹣1时，x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）递增，且h（x）＞h（0）＝0，x∈（1，2），h′（x）＜0，h（x）单调递减，故h（x）在（1，2）至多1个零点，与题意不符，②当a+1≥2即a≥1时，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）递减，且h（x）＜h（0）＝0，x∈（1，2），h′（x）＞0，h（x）单调递增，故h（x）在（1，2）至多1个零点，与题意不符，③当a+1＝1即a＝0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）性质（0，2）至多1个零点，与题意不符，④当0＜a+1＜1即﹣1＜a＜0时，x∈（0，a+1），h′（x）＜0，h（x）单调递减，且h（x）＜h（0）＝0，x∈（a+1，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（1，2），h′（x）＜0，h（x）递减，要使h（x）有2个零点，只需满足：，即，故﹣1＜a＜2﹣e，⑤当1＜a+1＜2即0＜a＜1时，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）递减，且h（x）＜h（0）＝0，x∈（1，a+1），h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（a+1，2），h′（x）＜0，h（x）递减，要使h（x）有2个零点，则需满足：即，记函数φ（x）＝e x﹣x﹣1，x＞1，φ′（x）＝e x﹣1＞0，故φ（x）在（1，+∞）递增，故φ（x）＞φ（1）＝e﹣2＞0，又1＜a＝1＜2，故e a﹣1＞2+a，故不等式（*）无解，综上，﹣1＜a＜2﹣e时，h（x）在区间（0，2）内有2个不同的零点．。

2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、张家港市等四市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.1．下列医疗或救援标识中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（）A．抽取乙校初二年级学生进行调查B．在丙校随机抽取600名学生进行调查C．随机抽取150名老师进行调查D．在四个学校各随机抽取150名学生进行调查3．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当∠ABC＝90°时，它是正方形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC⊥BD时，它是菱形5．关于x的分式方程的增根为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣2D．x＝16．若，则a的取值范围是（）A．a B．a＞C．a＜D．a7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D、E分别为AC、AB边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得EF＝2ED，连接BF，则BF长为（）A．2B．2C．4D．48．已知：a2+b2＝3ab（a＞b＞0），则的值为（）A．B．3C．D．59．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB＝2DF，连接DE、EF、EC，则S△DEF：S△CBE＝（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：410．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是射线AB上一动点，以CD为一边向左画正方形CDEF，连接DF，取DF中点Q，则BQ的最小值为（）A．2B．2C．4D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卡相应的位置上）11．计算：＝．12．一只不透明的袋子中有1个白球，200个黄球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球是白球，这一事件是事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）13．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第1﹣4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频数是．14．已知+|2﹣b|＝0，则+＝．15．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC ＝，则∠ECD＝°．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA、OC在坐标轴上，且OA＝4，OC＝2．若直线y＝kx+4把矩形OABC周长分成相等的两部分，则k＝．17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为．18．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD 边沿CF折叠，D点的对应点为D'，再将BC沿CD'折叠，使得B点恰好落在CF边上的B′处折痕与AB边交于E．若正方形边长为，连接EF，则△AEF的面积＝．三、解答题（本大题共76分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）19．解下列分式方程：（1）＝；（2）﹣1＝．20．计算：（1）9a•（﹣）（a≥0，b≥0）；（2）（+2）×﹣．21．先化简，再求值：•（﹣1）÷，其中a＝﹣2．22．为增强学生环保意识，科学实施垃圾分类管理，某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”，首轮每位学生答题39题，随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了不完整的统计图表：组别正确个数x人数A0≤x＜810B8≤x＜1615C16≤x＜2425D24≤x＜32mE32≤x＜40n 根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m＝，n＝；（2）请补全条形统计图；（3）已知该中学共有1500名学生，如果答题正确个数不少于32个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛全校顺利进入第二轮的学生人数有多少个？23．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF，连接AE，CF．求证：AE＝CF．24．江苏南沿江城际铁路，是江苏境内正在建设的一条铁路线路．设计时速350公里，起于南京南站，经南京市、句容市、常州市、江阴市、张家港市、常熟市、太仓市，引入太仓站后利用沪通铁路进入上海枢纽，是沪宁通道的第二条城际铁路（如图）．在修筑某长度为1000米的标地时，中铁四局工程队在修筑了400米后，引进了新设备，效率比原来提高了20%，结果共用5天完成了任务，问引进新设备之前，工程队每天改造多少米？25．如图是7×7的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求作图并标上相应字母．（1）在图1中，画出△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C′．（2）若△EBC与△ABC面积相等，在图2中描出所有满足条件且不同于A点的格点，并记为E1、E2、…．26．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1cm/s．图2是点P运动时，APC的面积y （cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图象．（1）AB＝cm，a＝；（2）P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为；（3）在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x 的值：若不存在，请说明理由．27．如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，所以是“和谐分式”．请运用这个知识完成下面各题：（1）已知，则m＝．（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）当x为整数时，若也为整数，求满足条件的所有x值的和．28．在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．（1）如图，当α＝60°时，连接BD、BE，并延长BE交AD于点F，则BE ＝；（2）当α＝90°时，请画出图形并求出BE的长；（3）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE．当∠DAG ＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请猜想四边形AEBC的形状并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上）1．下列医疗或救援标识中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．2．在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（）A．抽取乙校初二年级学生进行调查B．在丙校随机抽取600名学生进行调查C．随机抽取150名老师进行调查D．在四个学校各随机抽取150名学生进行调查【分析】根据抽样调查的具体性和代表性解答即可．解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随机抽取150名学生进行调查最具有具体性和代表性，故选：D．3．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；C、不能化简，是最简二次根式，符合题意；D、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当∠ABC＝90°时，它是正方形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC⊥BD时，它是菱形【分析】利用矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、当∠ABC＝90°时，可以得到平行四边形ABCD是矩形，不能得到正方形，故错误，C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；故选：B．5．关于x的分式方程的增根为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣2D．x＝1【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到答案．解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1＝0，解得x＝1，故选：D．6．若，则a的取值范围是（）A．a B．a＞C．a＜D．a【分析】直接利用二次根式的性质得出3﹣2a的符号进而得出答案．解：∵，∴3﹣2a≥0，解得：a≤．故选：D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D、E分别为AC、AB边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得EF＝2ED，连接BF，则BF长为（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据直角三角形的性质求出AB，进而求出AE、EB，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到∠AED＝∠AED＝60°，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝60°，∵E为AB边上的中点，∴AE＝EB＝4，∵D、E分别为AC、AB边上的中点，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠AED＝60°，∴∠BEF＝∠ABC＝60°，在Rt△AED中，∠A＝30°，∴AE＝2DE，∵EF＝2DE，∴AE＝EF，∴△BEF为等边三角形，∴BF＝BE＝4，故选：C．8．已知：a2+b2＝3ab（a＞b＞0），则的值为（）A．B．3C．D．5【分析】首先进行配方，得出a+b以及a﹣b的值，进而求出答案．解：∵a＞b＞0，a2+b2＝3ab，∴（a﹣b）2＝ab，（a+b）2＝5ab，∴a+b＞0，a﹣b＞0，∴的值为：．故选：A．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB＝2DF，连接DE、EF、EC，则S△DEF：S△CBE＝（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：4【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，可得S△ADE＝S△BDE＝S△CBE＝S平行四边形ABCD，根据FB＝2DF，可得S△BDE＝3S△DEF，进而可得结果．解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，∴S△ADE＝S△BDE＝S△CBE＝S平行四边形ABCD，∵FB＝2DF，∴S△BDE＝3S△DEF，∴S△DEF＝S△BDE＝S平行四边形ABCD，∴S△DEF：S△CBE＝S平行四边形ABCD：S平行四边形ABCD＝1：3．故选：B．10．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是射线AB上一动点，以CD为一边向左画正方形CDEF，连接DF，取DF中点Q，则BQ的最小值为（）A．2B．2C．4D．【分析】方法一：旋转相似必成对，先证△CQD∽△CMA，两者是旋转相似，再由此可以证明△CQM∽△CDA，所以∠CMQ＝∠CAD＝45°，得到MQ为∠CMB的角平分线，Q在这条角平分线上运动，根据垂线段最短，当BQ垂直于此条角平分线时，BQ最小，即可解决．方法二：先证明△ACD≌△BCF，得到∠CBF＝45°，可以证明△FBD是直角三角形，所以BQ＝DF，又利用勾股定理，得到DF＝CD，所以当CD最小时，BQ最小，利用垂线段最短，当CD⊥AB时，BQ取得最小值，即可解决．【解答】方法一：解：如图1，取AB的中点M，连接CQ，QM，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM⊥AB，∠CAB＝45°，同理，CQ⊥DF，∠CDF＝45°，∴∠CQD＝∠CMA＝90°，∠CDF＝∠CAB＝45°，∴△CQD∽△CMA，∴，∠QCD＝∠MCA，∴∠QCD﹣∠MCD＝∠MCA﹣∠MCD，∴∠QCM＝∠DCA，∵，∴△CQM∽△CDA，∴∠CMQ＝∠BMQ＝45°，∴MQ为∠CMB的角平分线，∴Q在∠CMB的角平分线上运动，根据垂线段最短，当BQ垂直于∠CMB的角平分线时，如图2，此时BQ值最小，即∠QBM＝∠QMB＝45°，∴BQ＝MQ，在Rt△ABC中，AC＝BC＝，∴AB＝＝AC＝8，同理，BM＝BQ，∵，∴，故选：B．方法二：解：如图3，∵四边形CDEF为正方形，∴∠DCF＝∠ACB＝90°，CD＝CF，∴∠ACD＝∠BCF，在△ACD与△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（SAS），∴∠CAD＝∠CBF＝45°，∴∠FBD＝∠CBF+∠CBA＝90°，∴△FBD为直角三角形，∵Q为FD的中点，∴BQ＝，当DF越小时，BQ越小，∵＝，同理，AB＝AC＝8，∴当CD越小时，DF越小，当CD⊥AB时，此时CD＝＝4时，DF取得最小值4，BQ取得最小值，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卡相应的位置上）11．计算：＝a．【分析】根据分式的除法法则计算即可．解：原式＝×＝a，故答案为：a．12．一只不透明的袋子中有1个白球，200个黄球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球是白球，这一事件是随机事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：一只不透明的袋子中有1个白球，200个黄球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球是白球，这一事件是随机事件，故答案为：随机．13．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第1﹣4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频数是4．【分析】用该班学生总数分别减去第1～4组的频数，即可求出第5组的频数．解：∵某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，∴第5组的频数是：40﹣（12+10+6+8）＝4．故答案为：4．14．已知+|2﹣b|＝0，则+＝．【分析】先由非负数性质得出a、b的值，再代入算式，利用二次根式混合运算顺序和运算法则计算可得．解：∵+|2﹣b|＝0，∴a﹣3＝0且2﹣b＝0，即a＝3、b＝2，则原式＝+＝+＝，故答案为：15．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC ＝，则∠ECD＝22.5°．【分析】过点C作CM⊥BE交BE于M，先证明△EMC≌△EDC，求得∠DCE＝∠MCE，再证明△BMC为等腰直角三角形，求出∠MCD，最终求得∠ECD．解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图，∵EC平分∠BED，∴∠CEM＝∠CED，在△EMC和△EDC中，∴△EMC≌△EDC（AAS），∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1，在Rt△BMC中，BM＝＝1＝MC，∴△BMC为等腰直角三角形，∴∠MCB＝45°，∴∠MCD＝45°∴∠ECD＝∠MCE＝22.5°．故答案为：22.5．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA、OC在坐标轴上，且OA＝4，OC＝2．若直线y＝kx+4把矩形OABC周长分成相等的两部分，则k＝﹣．【分析】根据直线y＝kx+4把矩形OABC周长分成相等的两部分，可知直线经过OB和AC的交点，求得交点坐标，代入y＝kx+4即可求得k的值．解：∵OA＝4，OC＝2．∴A（4，0），C（0，2），∴OB和AC的交点为（2，1），∵直线y＝kx+4把矩形OABC周长分成相等的两部分，∴直线经过OB和AC的交点，∴1＝2k+4，解得k＝﹣，故答案为﹣．17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为2．【分析】连接DE，因为AB＝AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3cm，CD＝4cm，根据勾股定理，得DE＝5cm．∵AB＝AD，AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5cm．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5cm，∴BC＝BE+EC＝8（cm），∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD＝（cm），∴OE＝（cm），∴AE＝2OE＝2（cm），故答案为：2．18．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD 边沿CF折叠，D点的对应点为D'，再将BC沿CD'折叠，使得B点恰好落在CF边上的B′处折痕与AB边交于E．若正方形边长为，连接EF，则△AEF的面积＝2﹣．【分析】根据正方形边长为，可得CD′＝CD＝，根据题意可得正方形的直角内角∠BCD经过两次折叠后两边分别重合，所以∠D′CF＝BCD＝30°，然后根据含30度角的直角三角形可得AE和AF的长，进而可得△AEF的面积．解：∵正方形边长为，∴CD′＝CD＝，∵正方形的直角内角∠BCD经过两次折叠后两边分别重合，∴∠D′CF＝BCD＝30°，在Rt△D′CF中，CD′＝，∠D′CF＝30°，∴D′F＝1，∴AF＝AD﹣D′F＝﹣1，AE＝AB﹣B′E＝﹣1，∵∠A＝90°，∴△AEF的面积＝AE•AF＝（﹣1）（﹣1）＝2﹣．故答案为：2﹣．三、解答题（本大题共76分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）19．解下列分式方程：（1）＝；（2）﹣1＝．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）去分母得：2x﹣6＝4+x，移项得：2x﹣x＝4+6，合并得：x＝10，检验：把x＝10代入得：4+x＝14≠0，则x＝10是分式方程的解；（2）去分母得：x（x+2）﹣x2+4＝8，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，则x＝2是增根，分式方程无解．20．计算：（1）9a•（﹣）（a≥0，b≥0）；（2）（+2）×﹣．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．解：（1）原式＝9a•（﹣）＝﹣36ab；（2）原式＝6+4﹣＝6+3．21．先化简，再求值：•（﹣1）÷，其中a＝﹣2．【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．解：原式＝••＝•＝，当a＝时，∴原式＝＝．22．为增强学生环保意识，科学实施垃圾分类管理，某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”，首轮每位学生答题39题，随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了不完整的统计图表：组别正确个数x人数A0≤x＜810B8≤x＜1615C16≤x＜2425D24≤x＜32mE32≤x＜40n 根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m＝30，n＝20；（2）请补全条形统计图；（3）已知该中学共有1500名学生，如果答题正确个数不少于32个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛全校顺利进入第二轮的学生人数有多少个？【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出调查总数，进而求出D组、E组的频数，调查答案；（2）根据频数可补全条形统计图；（3）求出答题正确个数不少于32个的学生所占得百分比即可．解：（1）调查总数为：15÷15%＝100（人），m＝100×30%＝30（人），n＝100﹣10﹣15﹣25﹣30＝20，故答案为：30，20；（2）补全统计图如下：（3）1500×＝300（人），答：全校顺利进入第二轮的学生大约有300人．23．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF，连接AE，CF．求证：AE＝CF．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，再由BE＝DF可得AF与EC平行且相等，进而可以证明四边形AECF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质证得结论即可；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴EC＝AF，又∵EC∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．24．江苏南沿江城际铁路，是江苏境内正在建设的一条铁路线路．设计时速350公里，起于南京南站，经南京市、句容市、常州市、江阴市、张家港市、常熟市、太仓市，引入太仓站后利用沪通铁路进入上海枢纽，是沪宁通道的第二条城际铁路（如图）．在修筑某长度为1000米的标地时，中铁四局工程队在修筑了400米后，引进了新设备，效率比原来提高了20%，结果共用5天完成了任务，问引进新设备之前，工程队每天改造多少米？【分析】设引进新设备之前，工程队每天改造x米，则引进新设备之后，工程队每天改造（1+20%）x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设引进新设备之前，工程队每天改造x米，则引进新设备之后，工程队每天改造（1+20%）x米，依题意得：+＝5，解得：x＝180，经检验，x＝180是原方程的解，且符合题意．答：引进新设备之前，工程队每天改造180米．25．如图是7×7的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求作图并标上相应字母．（1）在图1中，画出△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C′．（2）若△EBC与△ABC面积相等，在图2中描出所有满足条件且不同于A点的格点，并记为E1、E2、…．【分析】（1）分别作出A、B、C关于O点的对称点A′、B′、C′即可；（2）平移BC使B点与A点重合，则过A点且与BC平行的直线上的格点为E1、E2、E3满足条件，点E1关于BC的对称点E4满足条件．解：（1）如图1，△A'B'C′为所作；（2）如图，E1、E2、E3、E4为所作．26．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1cm/s．图2是点P运动时，APC的面积y （cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图象．（1）AB＝2cm，a＝；（2）P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为；（3）在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x 的值：若不存在，请说明理由．【分析】（1）由图2知，当点P在点A时，y＝△ABC的面积＝＝a2，进而求解；（2）由四边形ADCP的面积＝S△ACD+y＝，即﹣x+＝，即可求解；（3）①当点P和点O重合时，∠APB为直角，则x＝BP＝；②当∠BAP′为直角时，则PP′＝，则x＝BP+PP′＝；③当∠BAP″为直角时，则x＝BD+DP″＝2+AD，即可求解．解：（1）∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC、△ACD为全等的两个等边三角形，设△ABC的边长为a，则其面积为a2，由图2知，当点P在点A时，y＝△ABC的面积＝＝a2，解得a＝2（负值已舍去），即菱形的边长为2，则AB＝2（cm），由题意知，点P与点O重合时，对于图2的a所在的位置，则AO＝1，故a＝BO＝＝＝，故答案为2，；（2）由（1）知点P在BO段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点（0，）、（，0），设其对应的函数表达式为y＝kx+t，则，解得，故该段函数的表达式为y＝﹣x+，当点P在BD上运动时，四边形ADCP的面积为，则点P只能在BO上，则四边形ADCP的面积＝S△ACD+y＝，即﹣x+＝，解得x＝；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP＝，AO＝1，过点A作AP″⊥DC于点P″交BD于点P′，∵△ABC、△ACD均为等边三角形，则∠PAP′＝∠DAP″＝30°，①当点P和点O重合时，∠APB为直角，则x＝BP＝；②当∠BAP′为直角时，则同理可得：PP′＝，则x＝BP+PP′＝；③当∠BAP″为直角时，则x＝BD+DP″＝2+AD＝2+1，综上，x的值为或或21．27．如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，所以是“和谐分式”．请运用这个知识完成下面各题：（1）已知，则m＝﹣5．（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）当x为整数时，若也为整数，求满足条件的所有x值的和．【分析】（1）对等式右边进行通分计算，化简后即可得解．（2）根据“和谐分式”的定义，仿照例子，化为一个整式与一个分子为常数的分式和的形式即可．（3）对化简为“和谐分式”后，逐个进行判断符合条件的x即可，最后求和得解．解：（1）∵＝＝＝，∴3+m＝﹣2，∴m＝﹣5．故答案为：﹣5．（2）＝＝．（3）令A＝＝＝＝＝．∵当x为整数时，A也为整数，即也必为整数，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，且x为整数．又分式要有意义，故x﹣1≠0，x≠1．∴满足条件的x值为﹣1、0、2、3，∴满足条件的所有x值的和为﹣1+0+2+3＝4．28．在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．（1）如图，当α＝60°时，连接BD、BE，并延长BE交AD于点F，则BE＝3﹣4；（2）当α＝90°时，请画出图形并求出BE的长；（3）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE．当∠DAG ＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请猜想四边形AEBC的形状并说明理由．【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，得到点B、E在AD的中垂线上．进而求解；（2）依据题意画图如图1，证明△AHC≌△EGA（AAS），得到BG＝2，EG＝3，即可求解；（3）证明CH＝HE，AH＝BH，则四边形AEBC为平行四边形，而AC＝BC，则四边形AEBC为菱形．解：（1）∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝60°．∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD．∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE．又∵AC＝BC，∴EA＝ED．∴点B、E在AD的中垂线上．∴BE是AD的中垂线．∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；∴AF＝DF＝3，∵AE＝AC＝5，∴EF＝＝＝4，在等边三角形ABD中，BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3，∴BE＝BF﹣EF＝3﹣4，故答案为：3﹣4；（2）依据题意画图如图1，过点E作EG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，∵CA＝CB，CH⊥AB，∴AH＝AB＝6＝3，在Rt△ACH中，∵AC＝5，AH＝3，∴CH＝＝＝4，∵∠CAE＝90°，∴∠CAH+∠EAG＝90°，∵CH⊥AB，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠EAG＝∠ACH，∵△ABC围绕点A顺时针方向旋转得到△ADE，∴AC＝AE，∵EG⊥AB，CH⊥AB，∴∠EGA＝∠AHC＝90°，在△AHC和△EGA中，，∴△AHC≌△EGA（AAS），∴GA＝CH＝4，EG＝AH＝3，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵BG＝2，EG＝3，则BE＝＝＝；（3）如图2所示，∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝∠DAG+∠DAE+∠ABC＝180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，∵AC＝BC，∴AH＝BH＝AB，∵CH＝HE，AH＝BH，∴四边形AEBC为平行四边形，∵AC＝BC，∴四边形AEBC为菱形．。

2020-2021学年江苏省苏州市张家港高中高二(下)期中数学复习卷2一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.复数(是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为_．2.对任意正整数n定义双阶乘n!!如下：当n为偶数时，n!!=n(n−2)(n−4)⋅…⋅4⋅2；当n为奇数时，n!!=n(n−2)(n−4)⋅…⋅3⋅1，现有如下四个命题：①(2011!!)(2010!!)=2011!；②2010!!=2×1005!；③设1010!!=a×10k(a,k∈N∗)，若a的个位数不是0，则k=112；④设15!!=a1n1a2n2…a m n m(a i为正质数，n i为正整数(i=1,2，…，m))，则(n i)max=4；则其中正确的命题是______ (填上所有正确命题的序号)．3.4.甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了，甲说：“是乙不小心闯的祸”，乙说：“是丙闯的祸”，丙说：“乙说的不是实话”，丁说：“反正不是我闯的祸”，如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是______．5.复数i(1+i)(i为虚数单位)的实部为______ ．6.设随机变量X的分布列如下：X051020P0.1αβ0.2若数学期望E(X)=10，则方差D(X)=______ ．7.在(1+x)6的展开式中，含x3项的系数为______．8.甲、乙、丙三人在同一办公室工作。

办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。

若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。

则这三个电话中恰好是一人一个电话的概率为。

9.设随机变量X的概率分布列为X 1 2 3 4P13a1416则P(|X −3|=1)=______． 10. 在n 行n 列矩阵( 123…n −2n −1n 234…n −1n 1345…n 12…………………n12…n −3n −2n −1)中，若记位于第i 行第j 列的数为a ij (i,j =1,2，…，n)，则当n =9时，表中所有满足2i <j 的a ij 的和为______．11. 从集合{2,3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m⃗⃗⃗ =(a,b)与向量n⃗ =(1,−1)垂直的概率为________． 12. 已知f(1,1)=1，f(m,n)∈N ∗(m,n ∈N ∗)，且对任意m ，n ∈N ∗都有：①f(m,n +1)=f(m,n)+2；②f(m +1,1)=2f(m,1) 则(1)f(5,6)= ______ ，(2)f(m,n)= ______ ．13. 一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下3只羊，则牧羊人在过第1个关口前有______只羊．14. 函数f(x)=x 3+ax −2在区间(−1,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 对任意一个非零复数z ，定义集合M z ={ω|ω=z 2n−1,n ∈N}．(1)设a 是方程x +1x =√2的一个根，试用列举法表示集合M a ； (2)若复数ω∈M Z ，求证M ω⊆M Z ．16. 设(1+x)n =a 0+a 1(l −x)+a 2(1−x)2…+a n (1−x)n ，n ∈N ∗.已知∑a i n i=1=−1023．(1)求n 的值； (2)求∑k n k=1a k 的值．17.2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A，B，C，现在对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用(x,y，z)表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标w=x+y+z的值评定该同学的得分等级．若w≥4，则得分等级为一级；若2≤w≤3.则得分等级为二级；若0≤w≤1，则得分等级为三级．得到如下结果：(Ⅰ)在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；(Ⅱ)从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a−b，求X的分布列及其数学期望．18.在上海自贸区的利好刺激下，A公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自2014年1月以来的第n个月(2014年1月为第一个月)产品的内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量+出口量)分别为b n、c n和a n(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b n+1=a⋅a n，c n+1=a n+ba n2(其中a，b为常数，n∈N∗)，已知a1=1万件，a2=1.5万件，a3=1.875万件．(1)求a，b的值，并写出a n+1与a n满足的关系式；(2)证明：a n逐月递增且控制在2万件内；(3)试求从2014年1月份以来的第n个月的销售总量a n关于n的表达式．19.在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(Ⅰ)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(Ⅱ)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20.已知函数f(x)=lnx．x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)已知a、b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，求证：b a>a b．【答案与解析】1.答案：1解析：试题分析：因为，复数(是虚数单位)是纯虚数，所以，，解得，，故答案为1．考点：复数的概念2.答案：①④解析：解：由定义，①为真命题；，②为假命题；由条件就是要求从个位数算起到第1个不是0的数字之间的尾数中共有多少个连续的0，也即为中各数的尾数所含0的个数的总和，共有个，而还能产生0(如等)∴③是假命题；，∴④为真命题，故答案为：①④．先利用题中的新定义判断出①真②假，再根据双阶乘的定义，判断出需要解决的问题，判断出③假④真．解决新定义的题目，一定要认真审题，理解透新定义的含义是关键，是近几年常考题型．3.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．4.答案：丙解析：本题考查了推理与证明的应用问题，是基础题目．运用反证法，假设结论成立，再经过推理与证明，即可得出正确的结论．解：假设甲说的是实话，则“是乙不小心闯的祸”正确，丙、丁说的都是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误； 假设乙说的是实话，则“是丙闯的祸”正确，丁说的也是实话， 这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；假设丙说的是实话，则“乙说的不是实话”正确，甲、乙、丁说的都不是实话， 得出丁闯的祸，符合题意；假设丁说的是实话，则“反正不是我闯的祸”正确，甲、乙、丁中至少有一人说的是实话， 这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误． 故答案为丙．5.答案：−1解析：解：i(1+i)=−1+i ， 则复数i(1+i)的实部为：−1． 故答案为：−1．直接由复数代数形式的乘法运算化简复数i(1+i)得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.答案：35解析：解：∵E(X)=0×0.1+5α+10β+20×0.2=10，化为5α+10β=6． 又0.1+α+β+0.2=1，联立{5α+10β=6α+β=0.7，解得{α=15β=12． ∵D(X)=(0−10)2×0.1+(5−10)2×15+(10−10)2×12+(20−10)2×0.2=35． 故答案为35．利用E(X)=0×0.1+5α+10β+20×0.2=10，分布列的性质0.1+α+β+0.2=1，联立即可解得α，β.再利用方差的计算公式即可得出D(X)．本题考查了离散型随机变量的分布列的数学期望及其方差，属于基础题．7.答案：20解析：解：(x +1)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6−r ，令6−r =3可得r =3，故x 3的系数为C 63=20，故答案为：20．先求出展开式的通项公式为T r+1=C6r x6−r，令6−r=3可得r=3，从而得x3的系数．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．8.答案：解析：试题分析：这三个电话是打给同一个人的概率为，这三个电话是打给三个中的两个人的概率为，∴这三个电话中恰好是一人一个电话的概率为考点：本题考查了随机事件的概率点评：要注意恰有k次发生和指定的k次发生的关系，对独立重复试验来说，前者的概率为Cp k(1―p)n―k，后者的概率为p k(1―p)n―k．9.答案：512解析：本题考查了随机变量取各个值的概率之和等于1，互斥事件的概率公式，属于基础题．本题中因为a是未知的，所以先根据随机变量取各个值的概率之和等于1求出a的值，然后根据P(|X−3|=1)=P(X=2，或X=4)进行计算．解：∵随机变量取各个值的概率之和等于1，∴a=1−(13+14+16)=14，∴P(|X−3|=1)=P(X=2，或X=4)=14+16=512．10.答案：88解析：解：由题意可知：当i=1时，由2i<j，∴j取3，4，5，6，7，8，9当i=2时，j取5，6，7，8，9当i=3时，j取7，8，9当i=4时，j取9∴表中所有满足2i<j的a ij和为：a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a25+a26+a27+a28+a29+a37+a38+a39+a49=3+4+5+6+7+8+9+6+7+8+9+1+9+1+2+3=88，故答案为：88根据题意n=9时，求得所有满足2i<j的a ij，相加即可求得答案．本题考查高阶矩阵，考查学生的理解问题，分析解决问题的能力，考查a ij中i和j的字母含义，属于中档题．11.答案：16解析：解：所有的(a,b)共有4×3=12个，由向量m⃗⃗⃗ =(a,b)与向量n⃗=(−1,1)垂直，可得m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=b−a=0，即a=b，故满足向量m⃗⃗⃗ =(a,b)与向量n⃗=(−1,1)垂直的(a,b)共有2个：(3,3)、(5,5)，故向量向量m⃗⃗⃗ =(a,b)与向量n⃗=(−1,1)垂直的概率为212=16；故答案为：16．求得所有的(a,b)共有12个，满足两个向量垂直的(a,b)共有2个，利用古典概型公式解答．本题主要考查两个向量垂直的性质、古典概率及其计算公式运用，属于基础题．12.答案：26；2m−1+2(n−1)解析：解：∵f(m,n+1)=f(m,n)+2∴{f(m,n)}是以1为首项，2为公差的等差数列∴f(1,n)=2n−1又∵f(m+1,1)=2f(m,1)∴{f(m,1)}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f(n,1)=2n−1∴f(m,n)=2m−1+2(n−1)，但m=5，n=6时，f(5,6)=24+2×(6−1)=26，故答案为：26，2m−1+2(n−1)根据条件可知{f(m,n)}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出f(1,n)，以及{f(m,1)}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f(n,1)和f(m,n+1)，从而求出所求．本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f(n,1)=2n−1，f(n,1)=2n−1，f(m,n+1)=2m−1+2n，是解答本题的关键，属中档题．13.答案：18解析：解：设牧羊人在过第1个关口前有x只羊，∵一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下3只羊，∴x2+12+12+12+1=3，解得x=18．故答案为：18．设牧羊人在过第1个关口前有x只羊，列出方程能求出结果．本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：[0,+∞)解析：解：∵函数f(x)=x3+ax−2在区间(−1,+∞)上是增函数，∴f′(x)=3x2+a≥0在(−1,+∞)上恒成立即a≥−3x2，设g(x)=−3x2，∴g(x)≤g(0)=0，∴a≥0.即数a的取值范围是[0,+∞)．故答案为：[0,+∞)．由已知，f′(x)=3x2+a≥0在(−1,+∞)上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解．本题采用了参数分离的方法．15.答案：(1)解：由x+1x=√2，得x2−√2x+1=0，∴a 1=√22(1+i)，a 2=√22(1−i)，当a 1=√22(1+i)时，∵a 12=i ，a 12n−1=(a 12)n a 1=i n a 1，∴M a 1={i a 1,−1a 1,−i a 1,1a 1}={√22(1+i),−√22(1−i),−√22(1+i),√22(1−i)}；当a 2=√22(1−i)时，∵a 22=−i ，a 22n−1=(a 22)n a 2=(−i)n a 2∴M a 2={−i a 2,−1a 2,i a 2,1a 2}={√22(1−i),−√22(1+i),−√22(1−i),√22(1+i)}=M a 1．∴M a ={√22(1+i),−√22(1−i),−√22(1+i),√22(1−i)}；(2)证明：∵ω∈M Z ，∴存在m ∈N ，使得ω=z 2m−1．于是对任意n ∈N ，ω2n−1=z (2m−1)(2n−1)， 由于(2m −1)(2n −1)是正奇数，ω2n−1∈M z ， ∴M ω⊆M Z ．解析：本题考查了复数的周期性、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．(1)求解方程x +1x =√2得a 1=√22(1+i)，a 2=√22(1−i)，再由有理指数幂及i 的运算性质可得M a 1={i a 1,−1a 1,−ia 1,1a 1}={√22(1+i),−√22(1−i),−√22(1+i),√22(1−i)}；同理求得M a 2={√22(1−i),−√22(1+i),−√22(1−i),√22(1+i)}=M a 1，则M a 可求；(2)由ω∈M Z ，可知存在m ∈N ，使得ω=z 2m−1，则对任意n ∈N ，有ω2n−1=z (2m−1)(2n−1)，结合(2m −1)(2n −1)是正奇数，得ω2n−1∈M z ，即M ω⊆M Z ．16.答案：解：(1)∵(1+x)n =a 0+a 1(l −x)+a 2(1−x)2…+a n (1−x)n ，n ∈N ∗．且∑a i n i=1=−1023． 令x =1得：2n =a 0；令x =0得：a 0+a 1+⋯+a n =1； ∴2n −1023=1⇒n =10；(2)对(1+x)n =a n +a 1(l −x)+a 2(1−x)2…+a n (1−x)n 两边求导可得； n(1+x)n−1=−a 1−2a 2(1−x)−⋯−na n (1−x)n−1； 令x =0，n =10可得； 10=−a 1−2a 2−⋯−10a 10；∴∑k n k=1a k =−10．解析：(1)根据解析式的特点令x =0及x =1即可求解结论． (2)对已知条件两边求导，再赋值即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在这10名同学中任取两人，基本事件总数n =C 102=45， ∵A 1，A 3，A 6，A 8等4名学生的英语成绩都是2分， 另外6名学生的英语成绩都是1分，∴任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数m =C 42+C 62=21，∴这两位同学英语得分相同的概率P =m n=2145=715．(Ⅱ)得分等级是一级的同学有A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，A 9，其中A 1，A 2，A 5，A 9的综合指标为4，A 6，A 8的综合指标为5，A 3的综合指标为6， 得分等级为三级的同学有A 4，综合指标为1， 得分等级为二级的同学有A 7，A 10，综合指标都是3， ∴X 的可能取值为1，2，3，4，5， P(X =1)=C 41×C 21C 71×C 31=821，P(X =2)=C 21×C 21C 71×C 31=421，P(X =3)=C 41×C 11+C 11×C 21C 71×C 31=27，P(X =4)=C 21×C 11C 71×C 31=221，P(X =5)=C 11×C 11C 71×C 31=121， ∴X 的分布列为：X 的数学期望EX =1×821+2×421+3×27+4×221+5×121=4721．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，在历年高考中这部分内容都是必考知识点，是中档题．(Ⅰ)在这10名同学中任取两人，基本事件总数n=C102，10名学生中A1，A3，A6，A8等4名学生的英语成绩都是2分，另外6名学生的英语成绩都是1分，再求出任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数，由此能求出这两位同学英语得分相同的概率．(Ⅱ)由已知条件求出X的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，从而能求出X的分布列数学期望．18.答案：解：(1)依题意：a n+1=b n+1+c n+1=aa n+a n+ba n2，∴a2=aa1+a1+ba12，∴a+1+b=32…①又a3=aa2+a2+ba22，∴32a+32+b(32)2=158…②解①②得a=1,b=−12从而a n+1=2a n−12a n2(2)由于a n+1=2a n−12a n2=−12(a n−2)2+2≤2．但a n+1≠2，否则可推得a1=a2=2矛盾．故a n+1<2，于是a n<2．又a n+1−a n=−12a n2+2a n−a n=−12a n(a n−2)>0，所以a n+1>a n从而a n<a n+1<2．(3)由a n+1=2a n−12a n2得2(2−a n+1)=(2−a n)2，又因为2−a n+1>0，2−a n>0，则log2(2−a n+1)=2log2(2−a n)−1，∴log2(2−a n+1)−1=2[log2(2−a n)−1]即{log2(2−a n)−1}为等比数列，公比为2，首项为−1，故log2(2−a n)−1=−2n−1，∴a n=2−2(12)2n−1．解析：(1)依题意：a n+1=b n+1+c n+1=aa n +a n +ba n 2，将n 取1，2，构建方程组，即可求得a ，b 的值，从而可得a n+1与a n 满足的关系式；(2)先证明a n+1=2a n −12a n2=−12(a n −2)2+2≤2，于是a n <2，再用作差法证明a n+1>a n ，从而可得结论；(3)由a n+1=2a n −12a n 2得{log 2(2−a n )−1}为等比数列，公比为2，首项为−1，从而可得结论．本题考查数列的关系式，数学归纳法的应用，数列的函数特征，函数的单调性的应用，数列通项公式的求法，考查转化思想，逻辑推理能力．19.答案：解：(Ⅰ)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B 表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C 表示“媒体丙选中3号歌手”， P(A)=C 41C 52=25，P(B)=C 42C 53=35，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率： P(AB)=P(A)(1−P(B))=25×(1−35)=425．(Ⅱ)P(C)=C 52C 63，由已知得X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=P(ABC)=(1−25)(1−35)(1−12)=325， P(X =1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25(1−35)(1−12)+(1−25)×35×(1−12)+(1−25)(1−35)×12=1950，P(X =2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×35×(1−12)+25(1−35)×12+(1−25)×35×12=1950， P(X =3)=P(ABC)=25×35×12=325，∴X 的分布列为：EX =0×325+1×1950+2×1950+3×325=32．解析：(Ⅰ)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B 表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C 表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P(A)，P(B)，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．(Ⅱ)先由等可能事件概率计算公式求出P(C)，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20.答案：解：(1)f(x)=lnxx ，∴f′(x)=1−lnxx2∴当x>e时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(e,+∞)上是单调递减．当0<x<e时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,e)上是单调递增．∴f(x)的增区间是(0,e)，减区间是(e,+∞)．(2)证明：∵b a>0，a b>0∴要证：b a>a b，只需证：alnb>blna．只需证lnbb >lnaa.(∵a>b>e)由(1)得函数f(x)在(e,+∞)上是单调递减．∴当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即lnbb >lnaa.得证．解析：(1)求出函数的导数，通过导函数的符号，然后判断函数f(x)的单调区间；(2)利用分析法通过指数与对数的互化，转化证明b a>a b．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及分析法的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2020-2021学年度高二第二学期期中数学试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题（共10小题；每题4分，共40分） 1. 设 ， 是两个集合，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 函数 的定义域为A. C.3. 若复数 满足 ，则复数 的虚部是B.C.4. 已知过点(1,0)P 且与曲线3y x 相切的直线的条数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. 若，则A. B. C. D.6. 已知(a −x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，若a 2=80，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 5=( )A. 32B. 1C. −243D. 1或−2437. 记 为等差数列的前 项和．已知 ，，则A.B.C.D.8. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有A.种B.种C.种D.种9. 已知2x >，1a x =-，22x b x =-，ln c x =，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<10. 函数的图象大致为A. B.C. D.二、填空题（共5小题；每题5分，共25分） 11. 若复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为 ．12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．13. 已知函数 ，则 ．14. 位教师和名学生站成一排合影，要求位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为（结果用数字表示）．15. 设函数．当时，；如果对于任意的，都有，那么实数的取值范围是．三、解答题（共6小题；共85分）16. （14分）实数取什么值时，复数是：（1）实数?（2）虚数?（3）纯虚数?（4）表示复数的点在第一象限?17. （14分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围．18.（14分）如图，三棱锥中，，底面为正三角形．（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．19. （14分）已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为．（1）求，的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最大值与最小值．20. （14分）已知(1+2x)n，．(1)若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．21.（15分）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上的最小值为的取值范围．。

2020-2021学年江苏省苏州市张家港二中八年级（下）期中数学试卷一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卷上．）1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 反比例函数的图象在第一、第三象限，则可能取的一个值为（）A. B. C. D.3. 三角形两边长分别为和，第三边是方程＝的解，则这个三角形的周长是（）A. B.或 C. D.和4. 已知，，是反比例函数的图象上的三点，且，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.5. 一元二次方程＝根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根6. 下列说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是正方形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且互相平分7. 如图，在平行四边形中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.8. 若，则的值为（）A. B. C. D.9. 如图，已知点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，轴于点，点在轴的负半轴上，且＝，的面积为，则的长为（）A. B. C. D.10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③是的中点；④；其中正确的有（）个．A. B. C. D.二．填空题：（本大题8小题，每小题3分，共24分．将答案填写在答题卷上．）方程的解是________．已知是关于的一元二次方程的一个根，则实数的值是________．设、是方程的两个实数根，则的值为________．如图，矩形纸片中，＝，＝，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为________．当________时，关于的方程的根为．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为，则________．在中，＝，＝，＝，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________．三．解答题：（本大题共11小题，共76分．请将解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．）用适当的方法解下列一元二次方程（1）；；．解分式方程：．先化简，再求值：，其中．已知关于的方程．①求证：方程必有两个不相等的实数根；②若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．如图，每个网格都是边长为个单位的小正方形，的每个顶点都在网格的格点上，且，，．如图，每个网格都是边长为个单位的小正方形，的每个顶点都在网格的格点上，且，，．试在图中作出以点为旋转中心，按顺时针方向旋转后得到的图形；试在图中建立直角坐标系，使轴，且点的坐标为；在与的基础上，若点、是轴上两点（点在点左侧），长为个单位，则当点的坐标为________时，最小，最小值是________个单位．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）根据图象回答：①当时，写出的取值范围；②当时，写出的取值范围．如图，在梯形中，，，，、两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系，请说明理由；（2）当时，求证：平行四边形是矩形．某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件．（1）填表：每月的销售量（件）每件商品销售利润（元）降价前降价后________ ________（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元？如图，在正方形中，点、分别在边、上，且＝，点是的中点，点是直线与的交点，连接、．（1）求证：垂直平分；（2）试判断的形状，并加以证明；（3）如图，若将绕着点旋转，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．已知，如图是双曲线上一点，若（1）求的值；（2）若点是直线与双曲线在第一象限的交点，求点的坐标；（3）设点的坐标为，点是双曲线上第一象限内的一点，若的面积等于面积的倍，求的坐标．如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）．（1）当为何值时，四边形是平行四边形．（2）当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？（3）是否存在点，使是等腰三角形（不考虑）？若存在，请求出所有满足要求的的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卷上．）1.【答案】D 【考点】中心对称图形轴对称图形【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；、是轴对称图形，不是中心对称图形；、是轴对称图形，不是中心对称图形；、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选．2.【答案】A【考点】反比例函数的性质【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、第三象限，∴，∴，符合条件的答案只有，故选．3.【答案】C【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系【解答】解方程＝得第三边的边长为或．边长为，，不能构成三角形；而，，能构成三角形，∴三角形的周长为＝，4.【答案】C【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解答】∵，函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，又∵，∴．5.【答案】A【考点】根的判别式解一元二次方程-因式分解法【解答】原方程变形为：＝，∵＝＝，∴原方程有两个不相等的实数根．6.【答案】D【考点】正方形的判定平行四边形的性质矩形的判定与性质【解答】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴不正确；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴正确；7.【答案】D【考点】平行四边形的性质【解答】解：、∵四边形是平行四边形，∴（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；、∵四边形是平行四边形，∴，正确，不符合题意；、∵四边形是平行四边形，∴，正确，不符合题意；、根据四边形是平行四边形不能推出，错误，符合题意；故选：．8.【答案】A【考点】比例的性质【解答】解：∵，∴，即．故选．9.【答案】B【考点】求坐标系中两点间的距离反比例函数系数k的几何意义反比例函数与一次函数的综合【解答】∵点在反比例函数的图象上，∴设点的横坐标为，则纵坐标为，∵的面积为，即，∴，∴此反比例函数的解析式为，∵一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，∴，∴＝或＝（舍去），∴点坐标为，∴，∵＝，∴点坐标为，∴．10.【答案】C【考点】四边形综合题【解答】解：∵在矩形中，平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故②正确；∵，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，即是的中点；故③正确；∵，，∴不是等边三角形，∴，∴即，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共个．故选：．二．填空题：（本大题8小题，每小题3分，共24分．将答案填写在答题卷上．）【答案】＝，＝【考点】解一元二次方程-因式分解法【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝或＝，∴＝，＝．故答案为：＝，＝．【答案】【考点】一元二次方程的解【解答】解：把代入方程得：，解方程得．故答案为：.【答案】【考点】根与系数的关系一元二次方程的解【解答】解：∵是方程的实数根，∴，∴，∴，∵、是方程的两个实数根，∴，∴．故答案为．【答案】【考点】翻折变换（折叠问题）勾股定理【解答】在中，＝，＝，∴，由折叠的性质可得，，∴＝＝，＝，∴＝＝＝，设＝，则＝＝，＝，在中，＝解得，即．【答案】【考点】分式方程的解【解答】解：把代入，得，解得，经检验是分式方程的解，故答案为：．【答案】且【考点】根的判别式【解答】解：由题意得：且，解得：且．故答案为：且.【答案】【考点】函数的综合性问题【解答】解：根据题意得，，即，，所以原式．故答案为．【答案】【考点】勾股定理的逆定理矩形的性质【解答】∵四边形是矩形∴，时，最短，同样也最短∴当时，∴＝∴＝∴最短时，＝∴当最短时，＝＝．三．解答题：（本大题共11小题，共76分．请将解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．）【答案】解：（1）方程整理得：，开方得：或，解得：，；（2）方程整理得：，分解因式得：，解得：，；（3）分解因式得：，解得：，．【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-直接开平方法【解答】解：（1）方程整理得：，开方得：或，解得：，；（2）方程整理得：，分解因式得：，解得：，；（3）分解因式得：，解得：，．【答案】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．【考点】解分式方程【解答】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．【答案】解：原式，当时，原式．【考点】二次根式的化简求值分式的化简求值【解答】解：原式，当时，原式．【答案】①证明：∵关于的方程，∴，∵恒成立，∴，∴方程必有两个不相等的实数根；②解：∵关于的方程的一个根是，∴把代入原方程得：，∴解得，∴原方程为：，∴原方程的两个根分别为，，又∵和是直角三角形的边，∴当为直角三角形的斜边长时，构不成直角三角形，∴当为直角三角形的斜边长时，即，∴，所以三角形的周长为：，∴当和都为直角三角形的直角边时，有，∴，所以三角形的周长为：，∴综上可知，以和为边长的直角三角形的周长为：或．【考点】根的判别式根与系数的关系勾股定理【解答】①证明：∵关于的方程，∴，∵恒成立，∴，∴方程必有两个不相等的实数根；②解：∵关于的方程的一个根是，∴把代入原方程得：，∴解得，∴原方程为：，∴原方程的两个根分别为，，又∵和是直角三角形的边，∴当为直角三角形的斜边长时，构不成直角三角形，∴当为直角三角形的斜边长时，即，∴，所以三角形的周长为：，∴当和都为直角三角形的直角边时，有，∴，所以三角形的周长为：，∴综上可知，以和为边长的直角三角形的周长为：或．【答案】,【考点】作图-旋转变换轴对称——最短路线问题【解答】解：该手的综成绩为：．故答案为：．【答案】解：（1）∵在，∴，即，∵在图象上，∴，∴，∴，解得：，，∴；（2）当时，，由图象可以看出当时，；②时，或．【考点】函数的综合性问题【解答】解：（1）∵在，∴，即，∵在图象上，∴，∴，∴，解得：，，∴；（2）当时，，由图象可以看出当时，；②时，或．【答案】（1）解：．理由如下：∵，，，∴四边形和四边形都是平行四边形．∴，，又∵四边形是平行四边形，∴．∴．∴．（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，∴，．∵，∴．又∵四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形．【考点】梯形平行四边形的性质矩形的判定与性质【解答】（1）解：．理由如下：∵，，，∴四边形和四边形都是平行四边形．∴，，又∵四边形是平行四边形，∴．∴．∴．（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，∴，．∵，∴．又∵四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形．【答案】,【考点】一元二次方程的应用【解答】解：（1）每月的销售量（件）每件商品销售利润（元）降价前降价后（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得，解得：，∵有利于减少库存，∴．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元．【答案】证明：∵四边形是正方形，∴＝＝＝，＝＝，＝＝，∵＝，∴＝，∴垂直平分；是等腰直角三角形；理由如下：∵点是的中点，＝，∴＝，∴＝，∵垂直平分，∴＝，∴＝，∴＝，＝，∵＝，＝，∴＝＝＝＝，∴是等腰直角三角形；成立；理由如下：∵点是的中点，＝，∴＝，∵＝，＝，＝＝，＝＝，∴＝，＝，∴，＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∴点、、、四点共圆，∴＝＝，∴是等腰直角三角形．【考点】四边形综合题【解答】证明：∵四边形是正方形，∴＝＝＝，＝＝，＝＝，∵＝，∴＝，∴垂直平分；是等腰直角三角形；理由如下：∵点是的中点，＝，∴＝，∴＝，∵垂直平分，∴＝，∴＝，∴＝，＝，∵＝，＝，∴＝＝＝＝，∴是等腰直角三角形；成立；理由如下：∵点是的中点，＝，∴＝，∵＝，＝，＝＝，＝＝，∴＝，＝，∴，＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∴点、、、四点共圆，∴＝＝，∴是等腰直角三角形．【答案】解：（1）∵，∴，，∴，，∴；（2）由题意得：，解得，∴，∵在第一象限，∴，∴，∴点的坐标为；（3）作轴于点，作轴于点．∵；∵，∴，∴，∴的坐标为．【考点】反比例函数综合题【解答】解：（1）∵，∴，，∴，，∴；（2）由题意得：，解得，∴，∵在第一象限，∴，∴，∴点的坐标为；（3）作轴于点，作轴于点．∵；∵，∴，∴，∴的坐标为．【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，当从运动到时，如图：∵，∴解得当从运动到时，∵，∴，解得，∴当或秒时，四边形是平行四边形；（2）若点、分别沿、运动时，如图：，即，解得；若点返回时，，则，解得．故当或秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；（3）当时，如图：作于，则∵由得，解得秒；当时，，∵∴解得（秒）；当时，∵∴即∵，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．【考点】四边形综合题【解答】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，当从运动到时，如图：∵，∴解得当从运动到时，∵，∴，解得，∴当或秒时，四边形是平行四边形；（2）若点、分别沿、运动时，如图：，即，解得；若点返回时，，则，解得．故当或秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；（3）当时，如图：作于，则∵由得，解得秒；当时，，∵∴解得（秒）；当时，∵∴即∵，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．。

江苏省苏州市昆山、太仓、苏州园三2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷一、单选题1. ( 2分) （2021高二下·太仓期中）2021年江苏省实行“3+1+2”新高考模式，学生选科时语文､数学､英语三科必选，物理､历史两科中选择1科，政治､地理､化学､生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种2. ( 2分) （2021高二下·太仓期中）在的展开式中，若常数项为21，则a=（）A. B. 2 C. 3 D. 43. ( 2分) （2021高二下·太仓期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.4. ( 2分) （2021高二下·太仓期中）已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（）A. 1B. 3C. 1或3D. 2或-25. ( 2分) （2021高二下·太仓期中）一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A､B､C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（）A. 6种B. 8种C. 12种D. 48种6. ( 2分) （2021高二下·太仓期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（）A. B.C. D.7. ( 2分) （2021高二下·太仓期中）展开式中项的系数为（）A. 120B. 240C. 360D. 4808. ( 2分) （2021高二下·太仓期中）已知函数在上有两个零点，则a的取值范是（）A. B. C. D.二、多选题9. ( 3分) （2021高二下·太仓期中）直线y=2x+m能作为下列函数图象的切线的有（）A. B. C. D.10. ( 3分) （2021高二下·太仓期中）对于关于下列排列组合数，结论正确的是（）A. B. C. D.11. ( 3分) （2021高二下·太仓期中）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（）A. 若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布B. 若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布C. 若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为D. 若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为12. ( 3分) （2021高二下·太仓期中）已知函数是其导函数，恒有，则（）A. B. C. D.三、填空题13. ( 1分) （2021高二下·太仓期中）已知曲线的切线为，则一组满足条件的m，n的取值为________.14. ( 1分) （2021高二下·太仓期中）用X，Y，Z三个不同的元件连接成如图系统，毎个元件是否正常工作相互独立，已知X，Y，Z正常工作的概率均为，则系统正常工作的概率为________.15. ( 1分) （2021高二下·太仓期中）若，则________.16. ( 1分) （2021高二下·太仓期中）正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有________种.(用数字作答)四、解答题17. ( 5分) （2021高二下·太仓期中）一个实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取2只，记取到的2只白鼠中标号较大的为X，求随机变量X的分布列.18. ( 15分) （2021高二下·太仓期中）将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;（2）若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；（3）求恰有一个空盒子的放法种数．19. ( 10分) （2021高二下·太仓期中）已知（1）若，求；（2）若，求除以5的余数20. ( 10分) （2021高二下·太仓期中）已知函数（1）当，求的最大值与最小值；（2）对于，若，证明：.21. ( 10分) （2021高二下·太仓期中）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测.（1）方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为X，求X的概率分布列；（2）方案二：4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为Y，求Y的概率分布列.22. ( 10分) （2021高二下·太仓期中）函数（1）求函数的单调区间；（2）若在恒成立，求实数m的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】分步乘法计数原理，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】由题意得：物理､历史两科中选择1科，有种选法，政治､地理､化学､生物四科中选择2科，有种选法，所以学生不同的选科方案共有种。

江苏省张家港市四校2012-2013学年高二数学下学期期中联考试题理填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1、复数()212i +的共轭复数是 ▲2、若复数z 满足3,iz i i ++=则||z = ▲ __．3、用反证法证明命题：“如果x y <，那么1155x y >”时，假设的内容应该是 ▲4、复数z 满足34i 1(i z -+=是虚数单位)，则z的取值范围是 ▲5、氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，其肽链由７种不同的氨基酸构成，若只改变其中的三种氨基酸的位置，其余四种不变，则不同的改变方法有 ▲6、一个箱内有10张扑克牌，其数字分别为1至10，从中任取2张，其数字至少有一个为偶数的概率是__▲______7、在310(1)(1)x x -+的展开中，5x 的系数是 ▲________8、观察下列等式：332333233332123,1236,123410+=++=+++=，。

根据上述规律，第5个等式为 ▲9、安排7位老师在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排 在5月1日和2日，不同的安排方法共有 ▲ 种（用数字作答）10、一射击运动员对同一目标独立进行四次射击,已知至少命中一次的概率为8180,则此运动员的命中率为 ▲11、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 ▲12、从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ▲ 13、已知结论：“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AGGD =”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则AOOM=▲14. 如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n()2n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为▲二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15. （本题满分14分）有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？16. （本题满分14分）已知n展开式中偶数项二项式系数和比()2na b+展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）n展开式中第三项;（2）()2na b+展开式的中间项。

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题甲：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命题乙：f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A．B．C．34D．433．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．8B．6C．5D．45．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72种B．96种C．108种D．120种6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．127．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的连续奇函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（1）≠0，且当x＞0时，有xlnx•f′（x）＜﹣f（x）成立，则使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、多选题（每小题5分）.9．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sin x D．f（x）＝e x 10．下列等式正确的是（）A．C＝CB．A﹣A＝n2AC．A＝nAD．nC＝C+kC11．已知（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为25B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项12．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则D．若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1三、填空题（每小题5分）.13．（﹣3）7的展开式中x3的系数为．14．已知a为实数，若函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的极小值为0，则a的值为．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为．16．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有种不同的坐法．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值．18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？19．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？20．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．21．已知函数f（x）＝lnx++a．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）当a∈（0，ln2），证明：函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，且g（x0）＞0．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ae x+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．参考答案一、单项选择题（每小题5分）.1．命题甲：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命题乙：f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0，则f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的充分条件，f（x）在（a，b）内是单调递增的，则对任意x∈（a，b），有f′（x）≥0，则甲是乙的不必要条件，故甲是乙的充分不必要条件，故选：A．2．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A．B．C．34D．43解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34．故选：C．3．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝，x∈，f′（x）＝1﹣2sin x，令f′（x）＝0，解得x＝．∴函数f（x）在内单调递增，在内单调递减．∴x＝时函数f（x）取得极大值即最大值．＝﹣＝．故选：B．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．8B．6C．5D．4解：∵（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝8 ①，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2+…﹣a7＝0 ②，则①+②，并除以2，可得a0+a2+a4+a6＝4，故选：D．5．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72种B．96种C．108种D．120种解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）＝96种．故选：B．6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．12解：∵a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a＝（52﹣1）2021+a＝×522021﹣×522020+522016+…+×52﹣+a能被13整除，∴﹣+a＝﹣1+a能被13整除，则a＝1，故选：B．7．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣x sin x＝f（x），且定义域为R，∴f（x）为偶函数，故排除选项D；f（x）＝x（x﹣sin x），设g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴g（x）单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，∴当x＞0时，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）单调递增，故排除选项A、B；故选：C．8．已知定义在R上的连续奇函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（1）≠0，且当x＞0时，有xlnx•f′（x）＜﹣f（x）成立，则使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）解：令g（x）＝f（x）•lnx（x＞0），所以g′（x）＝f′（x）lnx+，当x＞0时，有xlnx•f′（x）+f（x）＜0，得f′（x）lnx+＜0，则g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0m当x＞1时，f（x）lnx＜0，得f（x）＜0，当0＜x＜1时，f（x）lnx＞0，得f（x）＜0，因为f（x）为连续函数，且f（1）≠0，所以f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，又f（x）为定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，f（x）＞0，不等式（x2﹣4）f（x）＞0，即或，解得x＜﹣2或0＜x＜2，则x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sin x D．f（x）＝e x解：直线的斜率为k＝，由f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，即有切线的斜率小于0，故A不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以选；由f（x）＝sin x的导数为f′（x）＝cos x，而cos x＝有解，故C可以选；由f（x）＝e x的导数为f′（x）＝e x，而e x＝，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．10．下列等式正确的是（）A．C＝CB．A﹣A＝n2AC．A＝nAD．nC＝C+kC解：∵＝，而＝•＝，故A错误；∵﹣＝（n+1）n（n﹣1）•••（n﹣m+1）﹣n（n﹣1）•••（n﹣m+1）＝n（n﹣1）•••（n﹣m+1）[n+1﹣1]＝n2（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），n2＝n2（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故B正确；∵＝n（n﹣1）•••（n﹣m+1），n＝n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故C正确；n＝n，+k＝+k＝+＝，故D错误，故选：BC．11．已知（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为25B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项解：∵（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，∴4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5，故展开式中偶数项的二项式系数之和为＝24，故A错误．二项展开式的通项公式为T r+1＝•3r•，展开式中，故当r＝2或3时，即第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误．故当r＝4时，展开式中第r+1项的系数•3r最大，即第五项得系数最大．由于（+3x2）n展开式的通项公式为T r+1＝•3r•，故C正确．故当r＝2 或5时，展开式中为理项，即第三项、第六项为有理项，故D正确．故选：CD．12．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则D．若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1解：因为f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，当x∈[0，π]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以函数f（x）在x＝处，不是极值点，故A错误．所以对于∀x∈[0，π]，f（x）≤f（0）＝0，故B正确，令g（x）＝，g′（x）＝，由上可知，当x∈（0，π）时，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，π）上是减函数，若0＜x1＜x2＜π所以，即，故C正确，当x＞0时，“”等价于“sin x﹣ax＞0”，令g（x）＝sin x﹣cx，g′（x）＝cos x﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）恒成立，当c≥1时，因为对∀∈（0，），g′（x）＝cos x﹣c＜0，所以g（x）在区间（0，）上单调递减，从而，g（x）＜g（0）＝0，对∀x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g（x0）＝cos x0﹣c＝0成立，若x∈（0，x0），g′（x0）＞0，g（x）在（0，x0）上单调递增，且g（x）＞g（0）＝0，若x∈（x0，），g′（x0）＜0，g（x）在（x0，）上单调递减，且g（x）＝sin x﹣cx＞0，在（x0，）上恒成立，必须使g（）＝sin﹣c＝1﹣≥0恒成立，即0＜c≤，综上所述，当c≤时，g（x）＞0，对任意x∈（0，）恒成立，当c≥1时，g（x）＜0，对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b，对x∈（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．（﹣3）7的展开式中x3的系数为﹣21．解：（﹣3）7的展开式的通项．由，得r＝1．∴（﹣3）7的展开式中x3的系数为．故答案为：﹣21．14．已知a为实数，若函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的极小值为0，则a的值为．解：由已知f′（x）＝3x2﹣6ax＝3x（x﹣2a），又a＞0，所以由f′（x）＞0得x＜0或x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，所以f（x）在x＝2a处取得极小值0，即f（x）极小值＝f（2a）＝（2a）3﹣3a（2a）2+2a2＝﹣4a3+2a2＝0，又a＞0，解得a＝，故答案为：．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为（0，）．解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2ax﹣2+＝，∵f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴f′（x）＝0有两个不相等的正实数根，即2ax2﹣2x+1＝0两个不相等的正实数根x1，x2，∴，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有480种不同的坐法．解：根据题意，分3步进行分析：①将甲乙两人安排在丙的同侧，有2A22＝4种安排方法，②将丁安排在三人的空位中，有4种安排方法，③将两个空位看成一个整体，和剩下的2个空位安排到4人形成的5个空位中，有5C42＝30种安排方法，则有4×4×30＝480种安排方法，故答案为：480．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣x2+3，定义域为（0，+∞），∴f'（x）＝﹣x＝，令f'（x）＞0，则0＜x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；令f'（x）＜0，则x＞1，∴函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）f（x），f'（x）在区间[，e]上随x的变化情况如下表：x（，1）1（1，e）ef'（x）+0﹣f（x）2﹣↑极大值↓4﹣e2∴f（x）max＝，f（x）min＝4﹣e2．18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？解：（1）依题意，所有奇数的个数为＝36个；（2）数字1和3相邻的个数有＝36个；（3）比30124小的数的个数为：＝48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个．19．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？解：（Ⅰ）每个盒至少一个球即每个盒子均有一球，也就是4个元素的排列，故有A44＝24种不同的放法；（Ⅱ）恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43＝144种不同的放法；（Ⅲ）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C41＝4种情况，其它小球的放法只有2种，例如：4号球放在4号盒子里，其余3个球的放法为，（2，3，1），（3，1，2），共2种，故每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有2C41＝8种；（Ⅳ）分2步进行分析，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，C41＝4种选法，再将其余3个盒子装球，由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，有C31＝3种选法，所以，总方法数为3×4＝12种．20．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是：＝56：3，解得n＝10．因为通项：T r+1＝•（﹣2）r•，当5﹣为整数，r可取0，6，于是有理项为T1＝x5和T7＝13440．（2）设第r+1项系数绝对值最大，则．解得，于是r只能为7．所以系数绝对值最大的项为T8＝﹣15360．（3）n+++…+9n﹣1＝10+9+92•+…+910﹣1•＝＝＝．21．已知函数f（x）＝lnx++a．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）当a∈（0，ln2），证明：函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，且g（x0）＞0．解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝lnx+﹣．f′（x）＝﹣＝，∴f′（2）＝，f（2）＝ln2，∴函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程为：y﹣ln2＝（x﹣2），整理为：x﹣4y+4ln2﹣2＝0．（2）证明：函数g（x）＝e x f（x）＝e x（lnx++a），x∈（0，+∞）．g′（x）＝e x（lnx+﹣+a），设h（x）＝lnx+﹣+a，∵∀x∈R，e x＞0，因此g′（x）与h（x）的符号相同．h′（x）＝﹣+＝，显然，当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．又h（1）＝0+2﹣1+a＝1+a＞0，h（）＝ln+4﹣4+a＝a﹣ln2＜0．（a∈（0，ln2）），∴存在唯一x0∈（，1），使得h（x0）＝0．对于g（x），则有x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0．∴函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，x0∈（，1）．由h（x0）＝0，可得：lnx0+﹣+a＝0，解得a＝﹣lnx0﹣+，∴g（x0）＝（lnx0++﹣lnx0﹣）＝（﹣）＝，∵x0∈（，1），∴g（x0）＞0．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ae x+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．解：（1）因为f（x）＝xlnx﹣ae x+a，所以f'（x）＝lnx+1﹣ae x，因为f（x）在定义域内是单调递减函数，则f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，若f'（x）≤0，则a≥，令G（x）＝（x＞0），得G′（x）＝，易知G'（1）＝0，且函数y＝−lnx−1在（0，+∞）上单调递减，当x＞0时，e x＞1，所以在区间（0，1）上，G'（x）＞0；在（1，+∞）上G'（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，此时G（x）的最大值为G（1）＝，所以当a≥时，f（x）在定义域上单调递减；即a的取值范围是[，+∞）．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣e x+1，要证f（x）＜cos x，即证xlnx＜e x+cos x﹣1，当0＜x≤1时，xlnx≤0，而e x+cos x﹣1＞1+cos1﹣1＝cos1＞0，故xlnx＜e x+cos x﹣1成立，即f（x）＜cos x成立，当x＞1时，令h（x）＝e x+cos x﹣xlnx﹣1（x＞1），则h′（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1，设g（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1（x＞1），则g′（x）＝e x﹣cos x﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝e x﹣cos x﹣＞e﹣1﹣1＞0，故x＞1时，g（x）单调递增，故g（x）＞e﹣sin x﹣1＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，故h（x）＞e+cos1﹣1＞0，即f（x）＜cos x成立，综上：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．。

2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、张家港市等四市八年级（下）期中数学试卷1.下列医疗或救援标识中是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是()A. 抽取乙校初二年级学生进行调查B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查C. 随机抽取150名老师进行调查D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调査3.下列二次根式是最简二次根式的是()A. √12B. √0.1C. √13D. √124.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是()A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当∠ABC=90°时，它是正方形C. 当AC=BD时，它是矩形D. 当AC⊥BD时，它是菱形5.关于x的分式方程xx−1−2=k1−x的增根为()A. x=−1B. x=0C. x=−2D. x=16.若√(2a−3)2=3−2a，则a的取值范围是()A. a≥32B. a>32C. a<32D. a≤327.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，D、E分别为AC、AB边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得EF=2ED，连接BF，则BF长为()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38.已知：a2+b2=3ab(a>b>0)，则a+ba−b的值为()A. √5B. 3C. √3D. 59.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE、EF、EC，则S△DEF：S△CBE=()A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：410.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4√2，点D是射线AB上一动点，以CD为一边向左画正方形CDEF，连接DF，取DF中点Q，则BQ的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. √211.计算：a+1a ÷a+1a2=______．12.一只不透明的袋子中有1个白球，200个黄球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球是白球，这一事件是______事件．(填“必然”、“随机”、“不可能”)13.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第1−4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频数是______ ．14.已知√a−3+|2−b|=0，则1√a +√b√6=______．15.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB=1，BC=√2，则∠ECD=______ °.16.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA、OC在坐标轴上，且OA=4，OC=2.若直线y=kx+4把矩形OABC周长分成相等的两部分，则k=______．17.如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E.若EC=3，CD=4，那么AE长为______．18.折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD边沿CF折叠，D点的对应点为D′，再将BC沿CD′折叠，使得B点恰好落在CF边上的B′处折痕与AB边交于E.若正方形边长为√3，连接EF，则△AEF的面积=______．19.解下列分式方程：(1)x−34+x =12；(2)xx−2−1=8x2−4．20.计算：(1)9a√12ab⋅(−23√6b)(a≥0,b≥0)；(2)(√6+2√2)×√6−13√27．21.先化简，再求值：2a2−4⋅(a2+44a−1)÷a−22a，其中a=√2−2．22.为增强学生环保意识，科学实施垃圾分类管理，某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”，首轮每位学生答题39题，随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了不完整的统计图表：组别正确个数x人数A0≤x<810B8≤x<1615C16≤x<2425D24≤x<32mE32≤x<40n根据以上信息完成下列问题：(1)统计表中的m=______，n=______；(2)请补全条形统计图；(3)已知该中学共有1500名学生，如果答题正确个数不少于32个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛全校顺利进入第二轮的学生人数有多少个？23.已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF，连接AE，CF．求证：AE=CF．24.江苏南沿江城际铁路，是江苏境内正在建设的一条铁路线路．设计时速350公里，起于南京南站，经南京市、句容市、常州市、江阴市、张家港市、常熟市、太仓市，引入太仓站后利用沪通铁路进入上海枢纽，是沪宁通道的第二条城际铁路(如图).在修筑某长度为1000米的标地时，中铁四局工程队在修筑了400米后，引进了新设备，效率比原来提高了20%，结果共用5天完成了任务，问引进新设备之前，工程队每天改造多少米？25.如图是7×7的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求作图并标上相应字母．(1)在图1中，画出△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′．(2)若△EBC与△ABC面积相等，在图2中描出所有满足条件且不同于A点的格点，并记为E1、E2、…．26.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1cm/s.图2是点P运动时，APC的面积y(cm2)随P点运动时间x(s)变化的函数图象．(1)AB=______cm，a=______；(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为4√3；3(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值：若不存在，请说明理由．27.如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1，所以x+1x−1是“和谐分式”.请运用这个知识完成下面各题：(1)已知3x−2x+1=3+mx+1，则m=______．(2)将“和谐分式”4a+12a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．(3)当x为整数时，若2x2+3x−3x−1也为整数，求满足条件的所有x值的和．28.在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．(1)如图，当α=60°时，连接BD、BE，并延长BE交AD于点F，则BE=______；(2)当α=90°时，请画出图形并求出BE的长；(3)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE.当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请猜想四边形AEBC的形状并说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随机抽取150名学生进行调査最具有具体性和代表性，故选：D．根据抽样调查的具体性和代表性解答即可．此题考查抽样调查，关键是理解抽样调查的具体性和代表性．3.【答案】C【解析】解：A、√12=2√3，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；B、√0.1=√1010，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；C、√13不能化简，是最简二次根式，符合题意；D、√12=√22，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．4.【答案】B【解析】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、当∠ABC=90°时，可以得到平行四边形ABCD是矩形，不能得到正方形，故错误，C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；故选：B．利用矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．5.【答案】D【解析】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x−1=0，解得x=1，故选：D．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−1=0，得到答案．此题考查的是分式方程的增根问题，掌握让最简公分母为0确定增根是解决此题关键．6.【答案】D【解析】解：∵√(2a−3)2=3−2a，∴3−2a≥0，解得：a≤3．2故选：D．直接利用二次根式的性质得出3−2a的符号进而得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．7.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8，∠ABC=60°，∵E为AB边上的中点，∴AE=EB=4，∵D、E分别为AC、AB边上的中点，∴DE//BC，∴∠AED=∠AED=60°，∴∠BEF=∠ABC=60°，在Rt△AED中，∠A=30°，∴AE=2DE，∵EF=2DE，∴AE=EF，∴△BEF为等边三角形，∴BF=BE=4，故选：C．根据直角三角形的性质求出AB，进而求出AE、EB，根据三角形中位线定理得到DE//BC，得到∠AED=∠AED=60°，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵a>b>0，a2+b2=3ab，∴(a−b)2=ab，(a+b)2=5ab，∴a+b>0，a−b>0，∴ a+ba−b 的值为：√ 5ab√ab=√5．故选：A．首先进行配方，得出a+b以及a−b的值，进而求出答案．本题主要考查了配方的使用求分式的值，正确配方是解题关键．9.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，∴S△ADE=S△BDE=S△CBE=14S平行四边形ABCD，∵FB=2DF，∴S△BDE=3S△DEF，∴S△DEF=13S△BDE=112S平行四边形ABCD，∴S△DEF：S△CBE=112S平行四边形ABCD：14S平行四边形ABCD=1：3．故选：B．根据四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，可得S△ADE=S△BDE=S△CBE=1 4S平行四边形ABCD，根据FB=2DF，可得S△BDE=3S△DEF，进而可得结果．本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．10.【答案】B【解析】方法一：解：如图1，取AB的中点M，连接CQ，QM，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM⊥AB，∠CAB=45°，同理，CQ⊥DF，∠CDF=45°，∴∠CQD=∠CMA=90°，∠CDF=∠CAB=45°，∴△CQD∽△CMA，∴CQCM =CDCA，∠QCD=∠MCA，∴∠QCD−∠MCD=∠MCA−∠MCD，∴∠QCM=∠DCA，∵CQCM =CDCA，∴△CQM∽△CDA，∴∠CMQ=∠BMQ=45°，∴MQ为∠CMB的角平分线，∴Q在∠CMB的角平分线上运动，根据垂线段最短，当BQ垂直于∠CMB的角平分线时，如图2，此时BQ值最小，即∠QBM=∠QMB=45°，∴BQ=MQ，在Rt△ABC中，AC=BC=4√2，∴AB=√AC2+BC2=√2AC=8，同理，BM=√2BQ，∵BM=12BC=4，∴BQ=2√2，故选：B．方法二：解：如图3，∵四边形CDEF为正方形，∴∠DCF=∠ACB=90°，CD=CF，∴∠ACD=∠BCF，在△ACD与△BCF中，{AC=BC∠ACD=∠BCF CD=CF，∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴∠CAD=∠CBF=45°，∴∠FBD=∠CBF+∠CBA=90°，∴△FBD为直角三角形，∵Q为FD的中点，∴BQ=12DF，当DF越小时，BQ越小，∵DF=√CD2+CF2=√2CD，同理，AB=√2AC=8，∴当CD越小时，DF越小，当CD⊥AB时，此时CD=12AB=4时，DF取得最小值4√2，BQ取得最小值2√2，故选：B．方法一：旋转相似必成对，先证△CQD∽△CMA，两者是旋转相似，再由此可以证明△CQM∽△CDA，所以∠CMQ=∠CAD=45°，得到MQ为∠CMB的角平分线，Q在这条角平分线上运动，根据垂线段最短，当BQ垂直于此条角平分线时，BQ最小，即可解决．方法二：先证明△ACD≌△BCF，得到∠CBF=45°，可以证明△FBD是直角三角形，所以BQ=12DF，又利用勾股定理，得到DF=√2CD，所以当CD最小时，BQ最小，利用垂线段最短，当CD⊥AB时，BQ取得最小值，即可解决．此题考查了线段最值问题，涉及到的知识点有手拉手模型的全等三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线等于斜边一半等，题目中△ACD≌△BCF，是解决本题的关键．11.【答案】a【解析】解：原式=a+1a ×a2a+1=a，故答案为：a．根据分式的除法法则计算即可．本题考查的是分式的乘除法，分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．12.【答案】随机【解析】解：一只不透明的袋子中有1个白球，200个黄球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球是白球，这一事件是随机事件，故答案为：随机．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．13.【答案】4【解析】解：∵某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，∴第5组的频数是：40−(12+10+6+8)=4．故答案为：4．用该班学生总数分别减去第1～4组的频数，即可求出第5组的频数．本题考查了频数，频数是指每个对象出现的次数．用到的知识点：各小组频数之和等于数据总和．一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．14.【答案】2√33【解析】解：∵√a−3+|2−b|=0，∴a−3=0且2−b=0，即a=3、b=2，则原式=1√3+√2√6=√33+√33=2√33，故答案为：2√33先由非负数性质得出a、b的值，再代入算式，利用二次根式混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质与二次根式混合运算顺序和运算法则．15.【答案】22.5【解析】解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图，∵EC平分∠BED，∴∠CEM=∠CED，在△EMC和△EDC中{∠CEM=∠CED∠EMC=∠EDC=90°EC=EC，∴△EMC≌△EDC(AAS)，∴∠DCE=∠MCE，MC=DC=1，在Rt△BMC中，BM=√BC2−BM2=1=MC，∴△BMC为等腰直角三角形，∴∠MCD=45°，∴∠MCD=45°∴∠ECD=∠MCE=22.5°．故答案为：22.5．过点C作CM⊥BE交BE于M，先证明△EMC≌△EDC，求得∠DCE=∠MCE，再证明△BMC为等腰直角三角形，求出∠MCD，最终求得∠ECD．本题考查了角平分线与矩形的性质，利用角平分线的性质作垂直是解决本题的关键．16.【答案】−32【解析】解：∵OA=4，OC=2．∴A(4,0)，C(0,2)，∴OB和AC的交点为(2,1)，∵直线y=kx+4把矩形OABC周长分成相等的两部分，∴直线经过OB和AC的交点，∴1=2k+4，解得k=−32，故答案为−32．根据直线y=kx+4把矩形OABC周长分成相等的两部分，可知直线经过OB和AC的交点，求得交点坐标，代入y=kx+4即可求得k的值．本题考查了矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，明确直线矩形对角线的交点本题的关键．17.【答案】2√15【解析】解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC=3，CD=4，根据勾股定理，得DE=5．∵AB=AD，AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．∴DE=BE=5．∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5cm，∴BC=BE+EC=8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD=√CD2+BC2=√42+82=2√10，∴OE=√BE2−BO2=√52−(√10)2=√15，∴AE=2OE=2√15，故答案为：2√15．连接DE，因为AB=AD，AE⊥BD，AD//BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE是关键．18.【答案】2−√3【解析】解：∵正方形边长为√3，∴CD′=CD=√3，∵正方形的直角内角∠BCD经过两次折叠后两边分别重合，∴∠D′CF=1∠BCD=30°，3在Rt△D′CF中，CD′=√3，∠D′CF=30°，∴D′F=1，∴AF=AD−D′F=√3−1，AE=AB−B′E=√3−1，∵∠A=90°，∴△AEF的面积=12×AE⋅AF=12×(√3−1)(√3−1)=2−√3．故答案为：2−√3．根据正方形边长为√3，可得CD′=CD=√3，根据题意可得正方形的直角内角∠BCD经过两次折叠后两边分别重合，所以∠D′CF=13∠BCD=30°，然后根据含30度角的直角三角形可得AE和AF的长，进而可得△AEF的面积．本题考查了翻折变换，三角形的面积，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．19.【答案】解：(1)去分母得：2x−6=4+x，移项得：2x−x=4+6，合并得：x=10，检验：把x=10代入得：4+x=14≠0，则x=10是分式方程的解；(2)去分母得：x(x+2)−x2+4=8，解得：x=2，检验：把x=2代入得：(x+2)(x−2)=0，则x=2是增根，分式方程无解．【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20.【答案】解：(1)原式=9a⋅(−23)√12ab⋅6b=−36ab√2a；(2)原式=6+4√3−√3=6+3√3．【解析】(1)利用二次根式的乘法法则运算；(2)先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21.【答案】解：原式=2(a+2)(a−2)⋅(a−2)24a⋅2aa−2=a−22a(a+2)⋅2a a−2=1a+2，当a=√2−2时，∴原式=√2=√22．【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．22.【答案】30 20【解析】解：(1)调查总数为：15÷15%=100(人)，m=100×30%=30(人)，n=100−10−15−25−30=20，故答案为：30，20；(2)补全统计图如下：(3)1500×20=300(人)，100答：全校顺利进入第二轮的学生大约有300人．(1)根据频数、频率、总数之间的关系可求出调查总数，进而求出D组、E组的频数，调查答案；(2)根据频数可补全条形统计图；(3)求出答题正确个数不少于32个的学生所占得百分比即可．本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∵BE=DF，∴EC=AF，又∵EC//AF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF．【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，再由BE=DF可得AF与EC平行且相等，进而可以证明四边形AECF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质证得结论即可；本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了平行四边形的判定．24.【答案】解：设引进新设备之前，工程队每天改造x 米，则引进新设备之后，工程队每天改造(1+20%)x 米， 依题意得：400x +1000−400(1+20%)x =5，解得：x =180，经检验，x =180是原方程的解，且符合题意．答：引进新设备之前，工程队每天改造180米．【解析】设引进新设备之前，工程队每天改造x 米，则引进新设备之后，工程队每天改造(1+20%)x 米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25.【答案】解：(1)如图1，△A′B′C′为所作；(2)如图，E 1、E 2、E 3、E 4为所作．【解析】(1)分别作出A 、B 、C 关于O 点的对称点A′、B′、C′即可；(2)平移BC 使B 点与A 点重合，则过A 点且与BC 平行的直线上的格点为E 1、E 2、E 3满足条件，点E 1关于BC 的对称点E 4满足条件．本他考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．26.【答案】2 √3【解析】解：(1)∵在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，则△ABC 、△ACD 为全等的两个等边三角形，设△ABC 的边长为a ，则其面积为√34a 2， 由图2知，当点P 在点A 时，y =△ABC 的面积=√3=√34a 2， 解得a =2(负值已舍去)，即菱形的边长为2，则AB =2(cm)，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则AO =1，故a =BO =√AB 2−AO 2=√22−12=√3，故答案为2，√3；(2)由(1)知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点(0,√3)、(√3,0)，设其对应的函数表达式为y =kx +t ，则{t =√3√3k +t =0，解得{k =−1t =√3， 故该段函数的表达式为y =−x +√3，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP 的面积为43√3，则点P 只能在BO 上， 则四边形ADCP 的面积=S △ACD +y =43√3，即√3−x +√3=43√3，解得x =2√33；(3)存在，理由：由(1)知，菱形的边长为2，则BP =√3，AO =1，过点A 作AP″⊥DC 于点P″交BD 于点P′，∵△ABC 、△ACD 均为等边三角形，则∠PAP′=∠DAP″=30°，①当点P 和点O 重合时，∠APB 为直角，则x =BP =√3；②当∠BAP′为直角时，则同理可得：PP′=√33， 则x =BP +PP′=4√33；③当∠BAP″为直角时，则x =BD +DP″=2√3+12AD =2√3+1，综上，x 的值为√3或4√33或2√3+1. (1)由图2知，当点P 在点A 时，y =△ABC 的面积=√3=√34a 2，进而求解； (2)由四边形ADCP 的面积=S △ACD +y =43√3，即√3−x +√3=43√3，即可求解；(3)①当点P 和点O 重合时，∠APB 为直角，则x =BP =√3；②当∠BAP′为直角时，则PP′=√33，则x =BP +PP′=4√33；③当∠BAP″为直角时，则x =BD +DP″=2√3+12AD ，即可求解．本题是四边形综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形和菱形的性质、三角形全等和相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．27.【答案】−5【解析】解：(1)∵3+ m x+1=3( x+1)x+1+m x+1=3x+3+m x+1=3x−2x+1， ∴3+m =−2，∴m =−5．故答案为：−5．(2)4a+12a−1=2(2a−1)+32a−1=2+32a−1． (3)令A =2x 2+3x−3x−1=2 x 2+3x−5+2x−1 =(x−1)(2x+5)+2x−1 =(x−1)(2x+5)x−1+2x−1=2x +5+2x−1．∵当x 为整数时，A 也为整数，即2 x−1也必为整数，∴−2≤x −1≤2，解得−1≤x ≤3，且x 为整数．又分式要有意义，故x −1≠0，x ≠1．∴满足条件的x 值为−1、0、2、3，∴满足条件的所有x 值的和为−1+0+2+3=4．(1)对等式右边进行通分计算，化简后即可得解．(2)根据“和谐分式”的定义，仿照例子，化为一个整式与一个分子为常数的分式和的形式即可．(3)对2x2+3x−3化简为“和谐分式”后，逐个进行判断符合条件的x即可，最后求和得解．x−1本题考查了分式的化简，分式有意义的条件，分式的混合运算，类比的思想，解决的关键在于弄清楚“和谐分式”的定义．28.【答案】3√3−4【解析】解：(1)∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=60°．∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD．∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC=AE，BC=DE．又∵AC=BC，∴EA=ED．∴点B、E在AD的中垂线上．∴BE是AD的中垂线．∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF=DF；∴AF=DF=3，∵AE=AC=5，∴EF=√AE2−AF2=√52−32=4，=3√3，在等边三角形ABD中，BF=AB⋅sin∠BAF=6×√32∴BE=BF−EF=3√3−4，故答案为：3√3−4；(2)依据题意画图如图1，过点E作EG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，∵CA=CB，CH⊥AB，∴AH=12AB=12×6=3，在Rt△ACH中，∵AC=5，AH=3，∴CH=√AC2−AH2=√52−32=4，∵∠CAE=90°，∴∠CAH+∠EAG=90°，∵CH⊥AB，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠EAG=∠ACH，∵△ABC围绕点A顺时针方向旋转得到△ADE，∴AC=AE，∵EG⊥AB，CH⊥AB，∴∠EGA=∠AHC=90°，在△AHC和△EGA中，{∠EAG=∠ACH ∠EGA=∠AHC AC=AE，∴△AHC≌△EGA(AAS)，∴GA=CH=4，EG=AH=3，∴BG=AB−AG=6−4=2，∵BG=2，EG=3，则BE=√EG2+BG2=√22+32=√13；(3)如图2所示，∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，∴∠BAE=∠ABC，∵AC=BC=AE，∴∠BAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC，CE，∴AB⊥CE，且CH=HE=12∵AC=BC，AB，∴AH=BH=12∵CH=HE，AH=BH，∴四边形AEBC为平行四边形，∵AC=BC，∴四边形AEBC为菱形．(1)证明△ABD是等边三角形，得到点B、E在AD的中垂线上．进而求解；(2)依据题意画图如图1，证明△AHC≌△EGA(AAS)，得到BG=2，EG=3，即可求解；(3)证明CH=HE，AH=BH，则四边形AEBC为平行四边形，而AC=BC，则四边形AEBC为菱形．本题是二次函数综合题，主要考查了平行四边形和菱形的性质、图形的旋转、三角形全等等，综合性强，难度较大．。