高等数学上 2020年西交大 考试题库及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x =（C ）()f x x = 和 ()()2g x x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()()sin 420ln 10x x f x x a x ⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰ ②()220dxa x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A4．C 5．D 6．C 7．D 8．A9．A10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________.7. 20_______________________.x td e dt dx-=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x < 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e 5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+=三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰ =221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos2)( ，则 =)(x f （ ）.A 、2sinx B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、⎰=+dx x x ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰104dx x π B 、⎰1ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-14)1(dx x π 9、⎰=+101dx e e xx（ ）.A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e+ D 、221ln e +10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数x xe y =，则 =''y ；2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 xx x x --+→11lim； 2、求x x y s i n ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、x e x )2(+； 2、94； 3、0 ； 4、x e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212；5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x c o slim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→ 3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C x xdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰104dx xπ B 、⎰10ydy πC 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π 9、设a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 x xe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x ；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、x e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x x e C e C 221+. 三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 6、x e xy 122-= ；四、1、 29； 2、图略。

硕士研究生入学考试数学分析i 癒刃鬲名立遏尢于顕土碉克隹2005年入学君弑《礙学分柝》弑趣1.叙述下列概念或命题（20分）：i >函数f （x, y ）在（勺,儿）处可微; ii>以b 为瑕点的瑕积分收敛的Cauchy 准则； iii>极限lim /（x ）不存在的Cauchy 准则；•V—>8iv>函数项级数工冷（兀）在X 上收敛但非一致收敛的Cauchy 准则.n=\解：i >定义:设函数/（无，刃在（仏儿）的某邻域有定义•若Az = /（x 0 + Ax, y° + Sy ） 一 /（兀°, %）=人心 + W +。

9），其中A,B 是与 心,Ay 无关的常数，p = 7（ZL V ）2 + （Ay ）2 .则称函数/（x,y ）在（兀（）,儿）处可微分, AAx + BAy 称为/（x, y ）在（x 0,y 0）处的微分，记为dz|（比）二人心+ BAy. rb小ii>定理（Cauchy 准则）：Ub 为瑕点的瑕积分［f^dx 收敛O Vr>0 ,为>0,使得当Ja%,仃 e （b_ &b ）时，有「f\x ）dx < E.J©iii>定理（Cauchy 准则）:极限lim /（x ）不存在<=> 3r 0>0, VX>0,玉］<-X 与勺V —X ,使得 |/（^）-/（%2）|>£0 -OOiv>定理（Cauchy 准则）：函数项级数工冷（兀）在X 上收敛但非一致收敛<=> 3r 0 > 0 , n=\ VN, Bn> N t Bxe X, 3p,使得仆（x ） > £（）.k=\以下四题（第2〜5题）每题10分2.证明 lim 「sin"iz/r = O.〃T8 Jo证明:因为V5（不妨设。

文案大全第一章 函数与极限作业参考答案第一节 函数（作业一）一、1． C ．2．A ．3．B ．4． B ．5．A ．6． B ．7．A ． B ．9．B ．10． D ．二、填空:11．322333a a b ab b +++;12．(12)xxa +;13．sin cos cos sin x y x y +;;14．1;15．2sec x ; 16．22()()a b a ab b -++;17．(1)(21)6n n n ++.三、18．(1) (,0)-∞；(2) [4,][0,]ππ-； (3) ]0,1[-和1=x ；(4)]11,2[]2,11[ --.第一节 函数（作业二）一、1．D ．2．C ．3．D ．4．A ．5．A ．6．D ．7．D ．8．B ．9．A ．10．D ． 二、11．1[sin()sin()]2x y x y ++-; 12．1[cos()cos()]2x y x y ++-;13．2sin cos x x ; 14．22cos sin x x -;15．．．222x x ++; 18．[,]66ππ-; 19．2cos y x =;20．内点.三、计算题：21．πk x x f 2)(-=，当ππ)12()12(+<≤-k x k 时，Z k ∈．22．⎩⎨⎧><+-=.0,0,,)(22x x x x x x x f 23．(1) 3u y =，υu sin =，x v 1=；(2) u y 2=，υarcsin =u ，2x υ=；(3)u y lg =，υu lg =，ωυlg =，21xω=；(4)u y arctan =，υe u =，x cos =υ．第二节 数列的极限（作业一 ）一、1． D ．2．C ．3．C ．4．A ．5．B ．二、6．0；7．1；8．12； 9．0；10．1；11．0；12．0；13．1n；14．1；15．1. 三、计算题：17． (1) 0 ； (2)1；(3) 2 ；(4)13.第二节 数列的极限（作业二 ）一、1．A ．2．A ．3．D ．4．B ．5．C ．6．D ．7． B ．二、计算下列各题：8；9．1 ；10．12 ；11．32；12． e . 三、计算题：13．(1) 1； (2) ,1;31,1;1,1;1,1-=-=-<>x x x x 发散.14. （1）正确；（2）不正确，如nn a )1(-=；（3）正确；（4）正确；（5）不正确，如!1n a n =，0lim =∞→n n a ，但10lim1≠=+∞→nn n a a ；（6）正确.设A A a a n n n n =⋅=⋅=>∞→∞→ααααα1)1(lim lim ,0.119第三节 函数的极限（作业一）一、1．A ．2．A ．3． D ．4．B ．D ．6． A ．π- 二、计算下列各题：7．27;8; 9．1;10．32;11．3;12．13;13．0;14．1.三、计算题:15．3)(lim 3=-→x f x ，8)(lim 3=+→x f x ;16．不存在;17. 7. 第三节 函数的极限（作业二）一、单项选择题 ：1．B ．2．B ．3．C ．4．C ．5．C ．二、计算下列各题：6．32;7．1;8．94; 9．ln 2;10．1;11．(1)2n n +12．12;13．2;14．3;15．1;16．2e ;17．2;18．1;19．3e -.三、计算题：.第四节 无穷小量与无穷大量一、单项选择题 :1． B ．2．A ．3．C ．4．C ．5．B ．6．D ．7．A ．8．B ．9．B ．二、10．0;11．1;12．29;13．1;14．ae ;15．12;16．12 ;17．1;18．cos a ;19．1;20．0. 三、22．∞→x 时是无穷小，3→x 时是无穷大.23．x ，sin x ，2tan x ，1)-是等价无穷小量.24．1x e -，ln(1)x +1-是与x 同阶的无穷小量．cos 1x -, 2sin x ，2(sin )x 是比x 更高阶的无穷小量.第五节 函数的连续性与间断点（作业一）一、单项选择题 :1．B ．2．A ．3．A ．4．B. 二、填空:5．0;6．0;7．1;8．0;9．12e-.三、10. )(x f 在0=x 不连续;11．1=K ;12．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=150,6.015050,7.0500,8.0x x x x x x yy 不是x 的连续函数;13．s=332.01.第五节 函数的连续性与间断点（作业二）一、单项选择题:1． B ．2．D ．3．B ．4．D ．二、计算下列各题：5．0；6．3；7．1-；8．12e -；9．2π.三、10．(1) 2=x ，无穷型 (2) 1=x ，可去型，2=x ，无穷型 (3) 0=x ，可去型 (4)1-=x ，2-=x ，无穷型 .12．1=a ，1-=b . 13． 可去型.14．无界，非无穷大.第一章 综合练习题1．01=)(f ，02=-)(f ，224=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，224=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πf ；2．(1) 偶，π=T ； (2) 1=T ；文案大全(3) 偶；3．(1) ↓-∞)0,(，↓+∞),0(，无界； (2) ↑+∞-∞),(，有界； (2) ↑+∞-),1(，无界；(4) ↑-]0,[a ，↓],0(a ，有界；.4．(1))1,0(,1log 2∈-=x xx y ;(2) 0),(21≥-=-x e e y x x；5．)1arcsin()(2x x -=ϕ； 6．21)(2-=x x f ；7．.4,0,0,4,,1,ln ))((2>=≠≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x x x f ϕ；8．2. 10. 求下列各极限．(1) 1；(2) 3 ；(3) 61；(4) 1；(5) 201032； (6) 0；(7) 1；(8) 0；(9) 4e ；(10)23 ；(11) 43；(12) 1；(13) 25；(14) 4； (15) 2；(16) x ；(17)16-；(18) 1-； (19) 2e -；(20) 2e ；(21) e ；(22) 3e -；(23) 2e -；(24) 16e - ；(25) 4e -(26) 2-. 11．(1) 1=x ，可去型 (2) 1=x ，跳跃型.第二章 导数与微分作业参考答案第一节 导数概念一、单项选择题 ：1． B ．2．B ．3．D ．4．C ．5．B ．C ．6．D ．7．C ． 8．C ．9．B ．二、填空10．11ln 2xx +；11．2ln 2x xe +；12．cos sin x x -； 1321x-；14． ln x y y ；15．1x xy -；16．1-；17． 2cos a -；18．2ln 2x -；19．()()f a a ϕ'=.三、20. 连续、可导 0)0(='f ； 21. 连续、可导 1)0(='f ；22. 连续、不可导；3. 连续、不可导.第二节 导数的计算 （四则运算）一、 1．D ．2．C ．3．A ．4．B ．二、5． 23464y x x '=++；6．323(3y x '=++ 7． 566cos sin y x x x x '=- ；8． (sin cos )sin x x y e x x x xe x '=-+； 9． 2tan sec 3sec tan y x x x x x '=+-；10．1421123333341cos sin cot cos csc cos cos 33y x x x x x x x x x x x x -'=--++; 11． 52323322y x x x --'=--;12．y '=．222121x x y x +-'=+（）; 14．22(sin cos )(1tan )sin sec 1tan x x x x x x xy x ++-'=+（）; 15． 32322(1)sec tan 6sec 1x x x x xy x +-'=+（）;12116．2222(1)(2(ln )(2ln 22)2x x x x x x x x x y x x ++-++'=+）（）. 17．6x y π='＝213+，4x y π='＝2 ;18．(0)f '＝253，(2)f '＝1517;19．4x y π='＝8)2(2+π三、 20．切线方程02=-y x ，法线方程02=+y x . 21．ea 21=,切线方程为:022=--e y e x ，法线方程为：01222=+-+）（e y x e .第二节 导数的计算 （复合函数求导法）一、单项选择题 1． C ． 2．D ．3．B ．4．C ． 二、5．'tan y x =-；6．2'y =；7．'2sec2tan 2y x x =；8．22222sin 2cos 2sin sin 'cos x x x x x y x +=；9．2211'secy x x =- ；10．'cot y x =； 11．2'2csc 2y x =-；12．'3csc3cot 3y x x =-；13．1'ln (ln 1)x n x y a a nx x x -=+++；14．2'y =；15．'y =；16．y '=412x x+；17．y '=212arcsin xx x x -+； 18．y '=xx x 2ln 1ln arcsin 2-；19．y '=xx e x)1(2arctan+；20．y '=x arccos ；21．y '=x x x 22sec tan 3sin 1+；22．y '=211x +-； 23． y '=xx --1854； 24． y '=x x x x x xxln ln ln 1ln 1ln 22ln 2ln --⋅⋅；25．y '=211x+； 26．y '=x e xe x xx⋅⋅---2ln 2)ln 1(21；27． y '=211x +-；28．y '=22111xx -+-； 29．y '=x e x x1sin 222sin 1-；30．y '=222cos sin 2sin 2sin x x x x x +.第三节 高阶导数一、单项选择题:1．D ．2．D ．48．3．A ．二 填空:4．sin(),1,2,2n x n π+= ； 5．1(1),1,2,n n n x --= ；6．0 ； 7．cos(),1,2,2n x n π+= ；8．,1,2,x e n = ；9．1 ． 10． 2cos 2cos sin ln x y x x x x '=-⋅+ ，y ''=22cos 2sin 2ln 2cos 2x xx x x x ---；文案大全11．2y '=+，y ''=252)1(3--x x ；12．y '=，y ''=23222)(x a a --；13．221x y x -'=-，y ''=222)1()1(2x x -+-； 14．2arctan 1y x x '=+，y ''=212arctan 2xxx ++ ； 15．y '=，y ''=232)1(x x +-； 16．2323(1)x y x -'=+，y ''=333)1()12(6+-x x x ； 17． )sin (sin )sin ()cos 1(2x x f x x x f x +'⋅-+''+；18． )()]([)()(22x f x f x f x f '-''；19．322222)](1[)]()([)(1)]()()]([[)(1)()(2x f x f x f x x f x f x f x f x x f x f x f +'-+''+'++'； 20．)()(3)(32xx x x x x e f e e f e e f e ''+'+.三、 21． )(n x e x+； 22．)2(!)2()1(1≥---n x n n n ； 23．n m x n m m m m -++---1)1)(11()21)(11(1 ， 24．)212sin(21π-+-n x n .第四节 其他形式下函数求导问题一、1．B ．2． B ．3． D ．4． B ．5． C ．6．C ． 7．A ． 二、8．切线方程0222=-+y x ，法线方程0142=--y x ；9.线方程01234=-+y x ，法线方程0643=+-y x三、10．t tan - ； 11. 23-； 12．；2- ；13. π3232e -.四、 14． xy x y xy --； 15．12-y xy ；16． yx y x -+ ； 17．)sin()sin(1xy x xy y +-.第五节 函数的微分一、1．C ．2．C ．3． C ． 4． C ．5． C ．6． C ． 7． C ．8． B ．9．C ． 10．A ．二、11．2111sec tan dy dx x x x=-；12．22tan sec dy x xdx =；13．111(sin cos )dy dx x x x =- 14．211dy dx x =-+；15．dy = ；16．22sec ()1sec ()x y dy dx x y +=-+；17．33(2)12t t dy dx t -=-； 18．dy =；19．0t dy dx ==；20．(2sin cos )cos sin t t t t dy dx t t t+=-.三、 21．dx x x x dy )2cos 22(sin += ；22．dx x x e dy x)]3sin()3[cos(----=-；12323． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=10101122x xdx x x dx dy ；24．dx x x x dy )21(sec )31tan(123222+⋅+=；25．dx x dy 232)1(-+=； 26．dx x x x dy 232)1(1)11(32++--=-.第六节 导数在经济分析中的应用1.边际成本5， 边际收入x 02.010-，边际利润x 02.05-；2. 300（单位）；3.bp -；4. ⑴ 边际成本x +3,边际收入x50,边际利润x50x --3 ⑵ 1-.5.⑴ 当6190<<p 时，低弹性，当4619<<p 时，高弹性；⑵ 当30ap <<时，低弹性，当a p a<<3时，高弹性； 6. ⑴边际利润 xx 120310--；⑵ 收益的价格弹性p p --10310； 7. ⑴利润函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤--=646402213)(2x x x x x x L ；⑵边际利润⎩⎨⎧<<-≤≤-='641403)(x x x x L . 第二章 综合练习题一、1. D ．2. D ． 二、3. ⑴ )(0x f '- ⑵)0(f ' ⑶)(20x f '；4. ⑴ t g gt ∆--21100； ⑵ 010gt -； 5. )(x f 在α=x 处可导，且)()(αϕα='f 6. )0(-'f 存在，且='-)0(f )0(+'f ；7.)(0x N '，当劳动力为0x 时，增加一个劳动力时该商品增加)(0x N '（劳动生产率）； 8.96%,1.6%；9. 切线方程032=-+y x ，法线方程012=--y x ；10. (1) )111(ln )1(x x x x x x ++++； (2) ])2(3251[25512532+--+-x xx x x ； (3)]1534)2(21[)1()3(254+---++-+x x x x x x ；(4)])1(2sin cos 1[1sin 21x x x e e x x x e x x --+-.11.⑴ 32)2()3(y y e y -- ；⑵ )(cot )(csc 232y x y x ++-； 14．⑴3-t ； ⑵αθθ3csc sec 4；15. )/(1442s m π；文案大全16．当11181==∆=∆dy y x 时， 当0.1 1.161, 1.1x y dy ∆=∆==时，当0.010.110601,0.11x y dy ∆=∆==时.17. 21x y +；18. ⑴ 87476.0；⑵74300' ； ⑶ 9867.9； ⑷ 0052.2 ； ⑸ 96509.0-； ⑹2600'.21. )()(a f a f e '.22. 不一定成立，例⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f ，⎩⎨⎧>≤≠'1212)(2x xx xx f ，⎪⎩⎪⎨⎧>=<='12112)(2x xx x x x f 不存在. 23. R a b A ∈==00；24. 12=±=b a ，.25. x x f xx f ln 1=='）（，）（. 26. 0=-y x .27. 111=-=-=c b a .28. 08215=+-y x .29.122-x .30.+---)!3()1(21n n +---)!2()1(21n n )!1()1(1---n n .31. ⑴5.0 当价格4=p 时，如果价格上涨%1，收益增加%5.0⑵64.0- 当价格6=p 时，如果价格上涨%1，收益减少%636.0；如果价格下降%1，收益增加%636.0,应下调价格至16.5.第三章 微分中值定理与导数的应用作业参考答案第一节 微分中值定理一、1． D ．2． B ． 3． A ．4． A ．5． B ．6．C ．7． A ．8．C ．9．A ．10． B ．第二节 洛必达（L ’Hospital ）法则一、 1． B ． 2． B ．3． C ．4．A ．5． B ．6． C ．二、7．2- ；8．13； 9．a ； 10．0；11．2(3)f '-；12．24a π-；13．12；14．16；15.216．32；17．1 ；18．1；19．31；20．0；21 ∞ ；22．61-e ；23．0；24 π2-e ；19．21；25．a ；26． 21-e；27． 1-e ；28．31e ；29． 41-；30． 21； 31． 2e- .第三节 泰勒（Taylor ）公式一、⑴31，⑵ 21-. 二、⑴ ])1[()1()1()1(11332+++-+-+--=x o x x x x；⑵])4[()4(5121)4(641)4(412332-+-+---+=x o x x x x ；125⑶ )(31tan 33x o x x x ++=；⑷ )(21132sin x o x x e x +++= 三、4523)(cos 3]2)()[sin sin(31tan x x x x x x x θθθ+++=, 10<<θ.四、)()!1(!232n n x x o n x x x x xe +-++++= . 五、⑴ 10724.3303≈; 51088.1-⨯≤E ; ⑵ 1827.02.1ln ≈; 4104-⨯≤E第四节 函数性态的研究一、1． B ．2． D ．3．A ．4． B ．5． B ．6．B ．7．C ．． B ． 9．A ．10． B ．二、11． 4；12．2-；13．单调增加；14．'(0)0f =，"(0)0f <；15．'0y ≥；16．1p =； 四、19．1)2(=极大y ；20．4)2(-=-极大y ，0)0(=极小y ；21．205101)512(=极大y ；22．无极值. 第五节 函数作图一、1． D ．2．C ．3． C ．4．A ．5． C ．6．A ．7． B ．8． C ．9．C ．10．A ． 二、11．0,1y x ==;12． (,0)π; 13．(22-;14．有一个拐点；15．2π+=x y ,2π-=x y ； 16．22049x y -=；17．y x =. 第六节 最大最小值问题及在经济管理中的应用一、⑴ 0)0(=最大y , 16)4(-=最小y ⑵ 45)43(=最大y , 56)5(-=-最小y 二、设半径为32πVr =, 高为34πV h =时, 表面积最小三、产量140=x , 平均成本104=c , 边际成本104='c 四、出售3000=x 件时,收益最高.五、101=p (元), 3920=Q , 167080=最大L (元)第三章 综合练习3．（1）↓)2,0(↑∞+),2(；（2）11(,),(,)22-∞↓+∞↑； （3）↓-∞)0,(↓)21,0(↑)1,21(↓∞+),1(；（4）↑-∞)32,(a ↓),32(a a ↑∞+),(a .4．(提示: 设那条直线为b kx y +=).5． (提示: 设()()nF x x f x =) ；6．2-<a , 无根; 2-=a ,唯一根2-=x ; 2->a ,在),(a -∞和),(∞+a 内各有一根.文案大全7． ⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠+-+'='--0,21)0(0,)()()(2x g x x e x g xe x g x x f xx , )(x f '在),(∞+-∞处处连续.9. 驻点1=x , 1)1(=极小y .10. 设)1,0(∈x ,证明:22(1)ln (1)x x x ++<. 11．2)0(=极大f , 21()e f e e--=极小.12．当n 为奇数时, 在0x 无极值,当n 为偶数时, f 在0x 有极值 13．一段为ππ+4a , 另一段为π+44a. 14．当)(0bc a cbp -<<时, 随单价p 的增加,相应的销售额也增加; 当)(bc a c bp ->时, 随单价p 的增加,相应的销售额减少; 当)(bc a c bp -=时, 销售额最大, 2max )(bc a R -=15．定价a b p 2185+=(元)时, 的最大利润: 2)45(16a b bcL -=(元).第四章 不定积分作业参考答案第一节 不定积分的概念及性质一、1． B ． 2． D ．3． B ．4． C ．5．C ．6．A ．7． B ．8． C ． 9． C ．二、10．3tan x c +;11．2arctan x c +;12．ln(x c++;13．tan x x c -+;14．ln x c ++;15．31ln 3x x e c ++;16．cot tan x x c --+;17．1arctan x c x-++; 18．2sincot x x c ++;19．3arcsin x c +;20．ln(x c ++;21．cot x x c --+;22．2ln 2x xe c ++;23．sin cos x x c -+;24．sin 2x xc -+;25．sin x c +; 26．1(sin cos )2x x x c --+;27．1(tan )2x x c ++;28．tan cot x x c -+.第二节 基本积分法 （换元积分法）一、1． C ．2．B ．3． B ．4． B ． 5． C ． 6．A ． 7．A ． 8． D ．二、9．c x ++)1ln(2;10．212x e c --+;11．c u +-232)5(31; 12．c e x +-1;13．c x x +-arcsin )(arcsin 515;14．c x x +-ln 1;15．1arccos ||c x +;16．c x x +-sec sec 313;12717．c x x ++3tan 31tan ;183arcsin 2x c ++;19．c x x +-⋅9912; 20．c x a a x ++222;21．c x x ++-+2325)1(32)1(52;22．2c +; 23．11cos cos5210x x c -+;24．ln |c -+;25．arcsin x c -; 26．2ln |tan c +.第二节 基本积分法（分部积分法）一、 1．A ．2．A ． 3．A ． 4．A ． 二、5．2(22)x e x x c -++;6．c x ex+-)1(2;7．2sin 2cos 2sin x x x x x c +-+.8．ln x x x c -+;9．21arccot(2)ln(14)4x x x c -++;10．2(arccos )2x x x x c +++. 118ln(3x c -++;12．1(sin 22cos 2)5x e x x c --++; 13． 1211cos sin n n n n I x x I n n---=+.第三节 有理函数的积分一、单项选择题: 1． B ．2． C ．3． D ．4． B ． 5． A ．二、6．c x x +--2)1(; 7．c x x x ++-++33)23ln(2;8．c xx x x ++++2)1(ln 1;9．c x x ++1ln2; 10．21arctan 22(1)x x c x +++;11c +. 122xc +;13．ln |1tan |2x c ++;14．cos 1ln |tan |2sin 22x x c x -++; 15．1ln |sin cos |2x x x c -++..16．1)c +;17．ln ||c +;18．1)x c -+.第四节 不定积分在经济领域的应用1．12212-+=x x y ;2．23252s t t =-+;3．()100()50100,()50C x C x x C x x x =+==+; 4．2()50100P t t t =+; 5．10000.5pQ =⋅文案大全第四章 综合练习一、单项选择题 :1． D ． 2． C ． 二、3．323c +;4．1ln |cos |c x+;5．c x +;6．137ln |5|ln |2|33x x c ---+; 7．13ln |1|2ln |2|ln |3}22x x x c -+++-++;8．11ln |sec tan |c x x -++;9．1x x e c ++;10．1x x xe c -+;11．12(ln |23|)923x c x++++.三、12．c x x e x +++--)22(2； 13．c x x x ++-2sin 412cos 21；14．3311()ln 39x x x x x c +--+； 15．ln(1)1x xx e c e ---+++; 16．21tan ln |cos |2x x x x c -+++； 17．11cos 2sin 248x x x c -++;18．(cosln sin ln )2x x x c ++； 19．321(ln 3ln 6ln 6)x x x c x-++++.五、23|c -++;24．2(1)arcsin 22x x c -++; 25．11ln ||x c x x ---+;26．c x x ++)ln (2122;27．c e e x x ++-ln ;28．c x++-tan 11;29．ln(1)x x e c -++;30．c x x x ++-cos 2sin ln 2; 31．1(arcsin 2x c -+;32．c x x ++-+4549)32(53)32(91;33．1c +;34．c x x++-)1(ln 1;35．c x f x xf +-)()(';36．c x x x x +-sin 2cos ;37．26ln 11x c x x ++++;38．c x x x x +-++-+312arctan 33)1()1(ln 6122;39．x x c +;40．1x x c ++.41、22(21)x x e c --++.42、()2ln(1)x dx x x c ϕ=-++⎰.43、2211,122max(1,||)0111122x c x x dx x cx x cx ⎧--+<⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪++>⎩⎰. 第五章 定积分及其应用作业参考答案129第一节 定积分的概念与性质一、1． B ． 2． C ． 3． D ． 4．C ． 5．A ． 6．A ．7．C ． 二、8．3;9． 3;10．12;11．1;12． 2π;13．76;14． 4. 三、15．⎰⎰>202sin ππxdx xdx ; 16．⎰⎰<-55dx e dx e x x ;17．⎰⎰>20422sin sin ππxdx xdx ; 18．⎰⎰<-202sin sin ππxdx xdx .四、19．a dx eaeaax a 2222≤≤⎰---; 20．ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x ;21．2ln sin 2124≤≤⎰ππdx x x; 22．2arctan 8333ππ≤≤⎰xdx x .第三节 微积分学基本定理一、1． C ． 2． B ． 3．A ．4． B ． 5． D ． 6． B ． 7．A ． 8． B ． 二、9． (())()f x x ϕϕ';10．2221x x x -++;11．()sin 2x d p x e x dx =; 12．sin cos xx e x e ---;13．1()sin 2sin(2)x x e x d p x e x e e dx--+=-.14．2e ;15．12;16．1;17．1;18．0;19．13-.20．3;21．32;22．3ln 22-;23．2021ln 21;24．23e -.第四节 定积分的换元积分法与分部积分法一、1． B ． 2．A ． 3．A ．34．4． C ． 5． C ． 6． C ． 二、7．0;8．0;9．1;10．8-;11．4ln 3;12．43;13．2;14．21(1)4e --;15．4π;16．51(1)5e -;17．43;18．1596π;19．32π;20．24π.第五节 反常积分初步与Γ函数一、1． D ．2．A ．3． B ．4． D ． 5． C ． 6． C ． 7．A ． 8． C ．9．A ． 10．A ．二、11．2;12．4π;13．2π;14．ln 2;15．2;16．0. 17． 18 ;18． π52;19．)1(1n n Γ, (0>n ) ;20．)21(21+Γn 21->n .三、21．0α≥ 发散；0α< 收敛于 1α-; 22．1α≥- 发散；1α<- 收敛于11α-+;文案大全23．1α≥- 发散；1α<- 收敛于11α-+; 24．1α≥- 发散；1α<- 收敛于2)1(1+α;25．2π; 26．发散;27．83;28．1-. 第六节 定积分的几何应用一、单项选择题 1． D ．二、2．1132； 3．1132；4．1172； 5．1； 6．1； 7．1132；8．2a π；9．232a π三、10．=x V 2pa π； 11．=x V 312a π；12．=x V π； 13．=x V 24π；14．=x V e e π)52(-；15．=x V 2(1)4e π- =y V 310π； 16．=x V 1287π, =y V π8.12.第七节 定积分的经济应用1．585585058505≈⨯+-e；2．10100QR Qe-=；3．1999331666=；4．（1）9950；（2）19600；5．（1）400台（2）5000元.第五章 综合习题一、1．21;2．22π-;3．2arctan 2-;4．1;5．2ln 27+;6．105584;7．8π;8．13;9．14;10．2;11．1(1ln 2)2-;12．14π-; 14．π-4;15．122;16．154;17．2(1ln 2)-;18．ln 2;19．απsin 2;20．1718-;21．2ln 264π-;22．23;23．8π;24．23ln 211+;25．21(1)2e +;26．21ln 28-;27．21)π;28．9655;29．62ln 2-;30．2;31．2ln 32ln 3-;32．12ln 2-;33．ln 222π+-;34．214e -;35．8(2)e -;36．214e -;37．)1(10-e e .三、不一定;四、16;五、最大值为:3ln 32-；最小值为:0 .六、 1x =为极大值点，2x =为极小值点.七、 ()cos sin f x x x =-.十、在)1,(-∞单减，在),1(∞+单增，在)251,(--∞),251(∞++ 上凸，在)251,251(+-上凹。

西交《高等数学（上）》（一）第一章函数极限与连续性一、函数定义的两个要素是什么？“如果自变量 x 在允许范围 X 内任取一个数值时，变量 y 是按一定的规则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，常记为. ”我们称之为函数的“依赖关系”定义。

这个定义的关键特征为：—— x 的允许范围，即函数的定义域；——对应规则，即函数的依赖关系 .可以说函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则。

只有当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，才能认为它们是同一函数。

读者仔细分析教材就可以发现，“对应规则”是本章的一条知识线，它串起了许多概念。

由于函数的定义中并没有限制“对应规则”与 y的取值特点，因此可能出现：（1）当自变量 x 的值变动时，变量 y 的取值并不一定随 x 的变化而变化， y 可能总取一值。

如 y = 3 表示不论 x 取什么值，所对应的 y 的值总是 3 ，因此它符合函数的定义，可以说 y = 3 是函数。

通常称 y = c 为常量函数。

（2）函数对应规则的形式没有限制。

① 如果函数对应规则是解析表达式，可称函数为显式形式。

② 如果函数对应规则是方程，可称 y为 x的隐函数。

③ 如果函数对应规则在自变量的不同范围是由几个不同的解析表达式而表示的，例如则称为分段函数。

注意这里不可以说是三个函数，应该说是定义域为的一个函数，在不同的范围它是由三个不同解析表达式来表达而已。

④ 如果对应规则是由表格或图形表示出来，那么常称这种表示为函数的表格法或图形表示法。

⑤ 如果 x 与 y 通过第三个变量 t 而联系起来，如则称这种函数关系为参数方程表示的函数 .二、研究函数的单调性、有界性能否离开自变量的范围？不能。

如当时为单调减少函数；当时为单调增加函数；在（-1，1）内为非单调函数。

同样，在（0，1）内有界函数，在内为无界函数。

如果说函数为单调函数或有界函数，而没有指明其范围，通常要理解为是在其定义域内而言。

习题1—71．指出下列各函数的间断点以及所属的类型。

如果是可去间断点，则重新定义函数值使函数在该点连续（1）23x -x 1-x y 22+=解：1x 023x -x 2=→=+，2x =22-x 1x lim 23x -x 1-x lim y lim 1x 221x 1x -=+=+=→→→，y lim 2x →不存在 所以1x =，是函数的第一类间断点，且是可去间断点 定义当1x =，-2y =可使函数在1x = 点连续。

2x =是函数的第二类间断点（2）2x x xy 2-+=解：→⎩⎨⎧≥=-+0x 02x x 21x =，y lim 1x →不存在，所以1x =是函数的第二类间断点 （3）x x 1x -1limy 2n2nn +=∞→ 解：1x >时，x x 1x11x 1lim x x 1x -1limy 2n 2nn 2n2nn -=+-=+=∞→∞→1x =时，0x x 1x -1limy 2n 2nn =+=∞→ 1x <时，x x x 1x -1limy 2n2nn =+=∞→ -1y lim 01x =+→，1y lim 01x =-→，0y 1x ==，所以1x =是函数的第一类间断点-1y lim 01x =+-→，1y lim 01x =--→，0y 1x =-=，所以1x -=是函数的第一类间断点（4）x 1x)1(y +=解：e x )1(lim y lim x10x 0x =+=→→，0x =时，x1无意义，x 1x)1(y +=无意义，所以0x =是函数的第一类间断点。

定义0x =时，e y =可使函数在0x =处连续 2．写出函数在点x 0连续的ε—δ定义。

解：设函数x)(f 在点x 0的某邻域内有定义，0>∀ε，0>∃δ，x ∀：δ<0x -x ，使ε<)x (-(x)0f f 成立，则x)(f 在点x 0处连续3．（1）函数x)(f 在点x 0连续，而函数x)(g 在点x 0不连续，问此两函数之和在点x 0是否连续？那么此两函数的积呢？（2）在点x 0，x)(f 与x)(g 都不连续，则两函数的积是否必不连续？ 解：（1）①(x)x)(g f +在x 0处不连续证明：设(x)x)(g f +在x 0处连续，则0>∀ε，01>∃δ，x ∀：10x -x δ<，2/)x ()x (-(x)x)(00ε<-+g f g f2/)x ()x (-(x )x )(2/00εε<-+<-g f g f)]x (-x )([2/)x ((x ))]x (-x )([2/000f f g g f f -<-<--εε由于x)(f 在x 0处连续，所以0>∀ε，02>∃δ，x ∀：20x -x δ<，2/)x (-x)(0ε<f f ，2/)x (-x )(2/0εε<<-f fεεεε=--<-<-]2/[2/)]x (-x )([2/)x ((x )00f f g g εεεε-=-->-->-2/2/)]x (-x )([2/)x ((x )00f f g g故： ε<-)x ((x)0g g所以0>∀ε，},m in{21δδδ=∃，x ∀：δ<0x -x ，使ε<-)x ((x)0g g 成立。

2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r ++=,则div(gradr))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ] (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则[ ](A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B [ ] (A) 合同且相似.(B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似.(D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于[ ](A)-1.(B) 0.(C)12. (D) 1.三、(本题满分6分)求dx ee xx⎰2arctan .四、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2020年全国大学高等数学考试试题与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r.grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=. 于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=0222111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xO211 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由 1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想. (4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】 原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++. 四 、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开 +++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和.【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n nn 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n 五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ②因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑ , [1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a kx k kxdx W x ===⎰，).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =- 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰ 由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+-，从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W nn n n ====-+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f xθ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 020222002200022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tt trdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>-='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九、【解】 由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb aA ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二 、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ(1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx(2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{m in(121x X X X P n >- =},,,{121x X x X x X P n >>>- =nx F )](1[1--=.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n(3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ=θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。

西南交通大学2019－2020学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。

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我郑重承诺：我愿意服从学校本次考试的安排，承认考试成绩的有效性，并已经认真阅读、了解了《西南交通大学考试考场管理办法》和《西南交通大学本科生考试违规处理办法》，我愿意在本次考试过程中严格服从监考教师的相关指令安排，诚信考试。

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您是否同意：A. 同意B. 不同意选择B 选项，本次考试无效。

一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。

解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。

二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂z x。

陕西省西安市交大附中2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是( )A.0B. 1C.D. 9参考答案：B作出不等式组表示的可行域（如下图），令，可知当直线经过点时，取得最小值0，故此时取得最小值1.2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．参考答案：A3. 设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为．参考答案：9略4. 已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数则A．B．C．D．参考答案：B5. 已知函数，，的图象如图所示，则（）A. B.C. D.参考答案：C试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.考点：基本初等函数的图象.6. 设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．2B．8 C．9 D．10参考答案：C【考点】基本不等式；等比数列的性质．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为5+，利用基本不等式就可得出其最小值．【解答】解：因为4a?2b=2，所以2a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选C．【点评】此题是基础题．本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力和计算能力．7. 复数的值是（A）（B）（C）（D）参考答案：.答案：D8. 已知函数f (x)的图象如图所示，是函数f (x)的导函数，且是奇函数，给出以下结论:①；②；③；④.其中一定正确的是 ( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④参考答案：B9. 设实数的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4参考答案：A10. 函数(A)是奇函数，但不是偶函数 (B)既是奇函数，又是偶函数 (C)是偶函数，但不是奇函数 (D)既不是奇函数，又不是偶函数 参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若不等式的解集是空集，则正整数的取值集合为____________。