4第四章 试验数据的回归分析
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试验设计和数据处理办法回归分析
1(x0X )2 n lX X
(4) 个体Y 值的预测区间
( Y ˆ t /2 ( n 2 ) S Y ,Y ˆ t /2 ( n 2 ) S Y )
缩写为 Yˆt/2(n2)SY
S Y S Y .X1 1 n (x (0 X X X )2 )2 S Y .X1 1 n (x 0l X X X )2
由于 X 与Y 的直线关系而使Y 变异减小的部分,即总变异中，
可以用 X 解释的部分。SS 回越大，回归效果越好。 1
F
SS回 SS剩
回 剩
MS回 MS剩
；回
1，剩
n2
统计量 F 服从自由度为回、剩 的 F 分布。
1. 建立假设并确定检验水准：Ho:b＝0；H1:b≠0；
2. 建方差分析表，求检验统计量F值：
Slope总体斜率
直线回归模型的四个假定
线性 LINEARITY 反应变量均数 与X间呈直线关系
Y|X= α + X
LINE 假定
独立 INDEPENDENCE 每一观察值之间彼此独立
y x
正态 NORMALITY 对于任何给定的 X, Y 服从正态分 布，均数为 Y|X，标准差为 Y|X
标准差相等 EQUAL STANDARD DEVIATION 对于任何X值，随机变量Y的标准差 Y|X相等
简记为 a t /2 (n-2)Sa
Sa
SY|X lXX
X2 n Sb
X2 n
(3) Y | X 的可信区间
( Y ˆ t /2 ( n 2 ) S Y ˆ,Y ˆ t /2 ( n 2 ) S Y ˆ)
缩写为
Yˆt/2(n2)SYˆ
SY ˆSY|X
1 n (x (0 X X X )2 )2SY|X
南通大学《试验设计与数据处理》复习要点
南通⼤学《试验设计与数据处理》复习要点《试验设计与数据处理》复习要点第⼀章误差分析⼀、真值与平均值1、真值：指在某⼀时刻和某⼀状态下，某量的客观值或实际值。
2、平均值（1）算术平均值：x =x1+x2+?+x nn =x in同样试验条件下，多次试验值服从正态分布，算术平均值是这组等精度试验值中的最佳值或最可信赖值。
（2）加权平均值：x w=w1x1+w2x2+?+w n x nw1+w2+?+w n =w i x iw i（3）对数平均值：x L=x1?x2ln x12=x2?x1ln x21，试验数据的分布曲线具有对称性（4）⼏何平均值：lg x G=lg x in（5）调和平均值：H=n1i⼆、误差的基本概念1、绝对误差=测得值-真值，结果可正可负。
2、相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值，结果可正可负。
3、算术平均误差?=x i?xn4、标准误差（1）样本标准差s=(x i?x )2n?1=x i2?x i2/nn?1（2）总体标准差σ=(x i?x )2n =x i2?x i2/nn三、误差来源及分类根据误差的性质或产⽣原因，可分为随机误差、系统误差、粗⼤（过失）误差。
1、随机误差：在⼀定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差；2、系统误差：在⼀定试验条件下，由某个或某些因素按照某⼀确定的规律起作⽤⽽形成的误差；3、粗⼤（过失）误差：⼀种显然与事实不符的误差。
四、试验数据的精准度1、精密度：反映随机误差⼤⼩的程度，是指在⼀定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度或⼀致程度；2、正确度：指⼤量测试结果的（算术）平均值与真值或接受参照值之间的⼀致程度，反映了系统误差的⼤⼩，是指在⼀定的试验条件下，所有系统误差的综合；3、准确度：反映系统误差和随机误差的综合，表⽰了试验结果与真值或标准值的⼀致程度。
五、试验数据误差的统计检验1、随机误差的检验随机误差的⼤⼩可⽤试验数据的精密程度来反映，⽽精密度的好坏⼜可⽤⽅差来度量，所以对测试结果进⾏⽅差检验，即可判断随机误差之间的关系。
4第四章 试验数据的回归分析
试验设计与数据处理 3
相关关系
2013-9-13
确定性系和相关关系
变量之间的确定性关系和相关关系，在一定的条 件下是可以相互转换的。
本来具有函数关系的变量，当存在试验误差时，其函 数关系住住以相关的形式表现出来。 相关关系虽然是不确定的，却是一种统计关系，在大 量的观察下，住住会呈现出一定的规律性，这种规律 性可以通过大量试验值的散点图反映出来，也可以借 助相应的函数式表达出来，这种函数称为回归函数或 回归方程。
其中xi，yi是已知试验值，故残差平方和SSe为a，b的函数。 将上式分别对a，b求偏导数，并令其等于0，即可求得a，b之值。
n n n Q a 2 ( yi a bxi ) 0 na b xi yi i 1 i 1 i 1 即 n n n n Q 2 a x b x x y 2 ( yi a bxi ) xi 0 i i i b i i 1 i 1 i 1 i 1
在一些情况下，n（n＞2）对试验值xi，yi。 （i=1，2，…，n）作出的散点图，即使一看就 知道这些点不可能近似在一条直线附近，即x与y 不存在线性相关关系，但是仍可以利用最小二乘 法求得x与y的线性拟和方程，这样求得的方程显 然没有意义。 因此，我们不仅要建立从经验上认为有意义的方 程，还要对其可信性或拟和效果进行检验或衡量。 下面介绍几种检验方法。
n
上述方程组称为正规方程组。对方程组求解，可得回归系数a，b的 计算式：
a y bx b
x
i 1 n i 1
n
i
yi n x y n( x ) 2
x
相关关系
2013-9-13
确定性系和相关关系
变量之间的确定性关系和相关关系，在一定的条 件下是可以相互转换的。
本来具有函数关系的变量，当存在试验误差时，其函 数关系住住以相关的形式表现出来。 相关关系虽然是不确定的，却是一种统计关系，在大 量的观察下，住住会呈现出一定的规律性，这种规律 性可以通过大量试验值的散点图反映出来，也可以借 助相应的函数式表达出来，这种函数称为回归函数或 回归方程。
其中xi，yi是已知试验值，故残差平方和SSe为a，b的函数。 将上式分别对a，b求偏导数，并令其等于0，即可求得a，b之值。
n n n Q a 2 ( yi a bxi ) 0 na b xi yi i 1 i 1 i 1 即 n n n n Q 2 a x b x x y 2 ( yi a bxi ) xi 0 i i i b i i 1 i 1 i 1 i 1
在一些情况下，n（n＞2）对试验值xi，yi。 （i=1，2，…，n）作出的散点图，即使一看就 知道这些点不可能近似在一条直线附近，即x与y 不存在线性相关关系，但是仍可以利用最小二乘 法求得x与y的线性拟和方程，这样求得的方程显 然没有意义。 因此，我们不仅要建立从经验上认为有意义的方 程，还要对其可信性或拟和效果进行检验或衡量。 下面介绍几种检验方法。
n
上述方程组称为正规方程组。对方程组求解，可得回归系数a，b的 计算式：
a y bx b
x
i 1 n i 1
n
i
yi n x y n( x ) 2
x
实验四回归分析
实验四回归分析预测实验（3个学时）2010302330013 张秋子 10信一【实验目的】1.了解Microsoft Excel 提供的数据分析工具。
2.掌握EXCEL提供的3种回归分析方法。
3.掌握通过回归分析进行预测的方法。
【实验内容】1.熟悉Microsoft Excel 提供的分析工具库。
2.使用“数据分析”方法进行回归分析。
3.使用“函数”方法进行回归分析，包括直线回归函数、预测函数、指数曲线趋势函数。
4.使用“趋势线”方法进行回归分析。
【实验步骤】第一部分：利用分析工具1、在EXCEL2007中，通过设置EXCEL选项，选择加载项中的分析工具进行加载。
2、选择数据分析工具中的回归分析，设置Y区域为C2-C12，X区域为D2-D12，并且勾选标志。
勾选残差和拟合图。
得到如下结果：第二部分：利用函数一、利用线性回归函数1、利用直线回归函数LINEST(known_y's,known_x's,const,stats)。
在EXCEL2007输入如下数据：2、在A7单元格输入公式“=LINEST(A2:A5,B2:B5,,FALSE)”，得到如下结果：其中2是直线的斜率。
3、选择以公式单元格开始的区域A7：B7。
按F2，再按Ctrl+Shift+Enter。
结果如下：如果公式不是以数组公式输入，则返回单个结果值2，无法获得y轴截距。
当以数组输入时，将返回斜率2和y轴截距1。
4、通常，SUM({m,b}*{x,1}) 等于mx + b，所以可以用SUM和LINEST共同来估计某一个月的预测值。
5、多重线性回归可以看出，y = 27.64*x1 + 12,530*x2 + 2,553*x3 - 234.24*x4 + 52,318二、利用预测函数1、语法：FORECAST(x,known_y's,known_x's)参数说明：X 为需要进行预测的数据点。
Known_y's 为因变量数组或数据区域。
试验设计与优化教学大纲
试验设计与优化教学大纲Experimental Design and OptimizationSyllabus 课程代码：01学分：2学时：其中：讲课学时：26 实践或实验学时：上机学时：8先修课程：要求先修完无机化学、分析化学、高等数学适用专业：化学、化学教育、化学工艺、制药工程建议教材：自编教材开课系部：化学与生物工程系一、课程的性质与任务课程性质：试验设计与优化是研究试验设计方法与实验数据分析方法的一门应用数学课程,主要内容包括试验设计的正交设计方法与其它的一些常用优化方法;本课程是化学专业本科班专业基础课,选修课程;课程任务：学完本课程后,可使学生掌握基本的数据处理方法,并用它来设计实验、优化实验;学生要会处理实验数据并能独立设计试验,并为学生在以后的学习、科研或工作中灵活运用打下坚实的基础;二、课程的基本内容及要求第一章统计学基础课程教学内容：1. 正态分布绪论基本概念真值基本单位和标准参考物质加和号的运算随机误差的正态分布正态分布表的使用正态分布的数字特征;2．分析结果的合理表达有限次测定的统计处理区间估计和分析结果的表达预测分析数据和置信度总体平均值的区间估计测定结果不确定度和分析结果的表达有效数字的取舍课程的重点、难点：重点：1.正态分布的数字特征2.总体平均值的区间估计难点：1.数字的正态分布2.分析数据的表达方法课程教学要求：1．了解正态分布相关的基本概念以及正态分布的数字特征;2．理解真值基本单位和标准参考物质,随机误差的正态分布,分析数据的表达方法;3．掌握正态分布表的使用,学会预测分析数据的置信度及总体平均值的区间估计;第二章数据的统计检验课程教学内容：1．偶然误差的检验概况小概率事件原则方差的检验;2．系统误差的检验t检验方差检验离群值的检验课程的重点、难点：重点：1．各种检验基础思想2．各种检验基础思想难点：1．方差的检验2．t检验课程教学要求：1．了解偶然误差检验和系统误差检验的方法;2．理解误差检验和系统误差检验的基础思想;3．掌握t检验和方差检验及离群值检验的方法;第三章方差分析课程教学内容：1．单因素方差分析变差平方和的加和性单因素试验的方差分析;2．二因素方差分析双因素试验的方差分析课程的重点、难点：重点：双因素实验的方差分析难点：1．两因素交叉分组全面试验的方差分析2．变差平方和的加和性课程教学要求：1．了解两两多重比较问题;2．理解单因素与双因素有重复问题与无重复问题进行方差分析的基本原理;3．掌握方差分析的基本原理及分析方法;第四章试验数据的回归分析课程教学内容：1．一元线性回归基本概念一元线性回归;2．多元线性及多项式回归多元线性回归非线性回归课程的重点、难点：重点：1．一元线性回归2．多元线性回归和多项式回归难点：1．非线性回归的线性转化2．多项式回归课程教学要求：1．了解一元及多元线性回归的基本概念;2．理解多元线性回归和非线性回归的问题;3．掌握一元及多元线性回归方程的建立和检验的方法;第五章正交试验设计课程教学内容：1．正交试验设计和正交表基本概念;2．正交试验设计结果的直观分析正交试验设计结果的直观分析;3．正交试验设计结果的均衡评定正交试验设计结果的均衡评定4．正交试验设计结果的方差分析正交试验设计结果的方差分析课程的重点、难点：重点：1．进行正交试验设计的方法2．条件求和及极差的计算3．进行正交试验结果的均衡评定4．正交试验设计结果的方差分析难点：1．正交性和正交表2．直观分析结果的表述3．评分法和均衡评定4．变差平方和的计算课程教学要求：1．了解多指标问题的各种解决方法;2．理解正交试验设计的方法;3．掌握正交表的使用,会用直观分析与方差分析方法分析试验结果;第六章均匀设计课程教学内容：1．均匀设计和均匀表均匀设计表;均匀设计的基本步骤;2．均匀设计的结果处理均匀设计的应用;课程的重点、难点：重点：1．进行均匀设计2．进行均匀设计并对实验结果进行分析难点：1．均匀设计表的选择2．均匀设计结果分析时,回归方程的建立和规划求解课程教学要求：1．了解多元回归分析方法;2．理解均匀设计的步骤与结果分析;3．掌握均匀表的使用,会构造一张均匀表;第七章回归正交试验设计课程教学内容：1．回归正交试验设计的方法一次回归正交试验设计;2．回归正交试验设计的结果处理一次回归正交试验设计的结果分析;课程的重点、难点：重点：1．进行一次回归正交试验设计2．进行一次回归正交试验设计并分析其结果难点：1．一次回归正交试验设计正交表的填写2．回归方程的计算方法课程教学要求：1．了解多指标问题的各种解决方法;2．理解正交试验设计的方法;3．掌握正交表的使用及正交试验设计的方法,会用直观分析与方差分析方法分析试验结果;三、实践教学要求通过上机实践,本课程要求学生在真正意义上掌握正交试验设计的直观分析、方差分析方法与解决正交设计表头问题的方法,熟悉正交设计与均匀设计的应用条件及区别;四、课程学时分配五、大纲说明1、在本门课程的教学过程中主要采用多媒体教学方法,结合上机实践,利用理论与实际相结合的方法,才能使学生掌握正交试验设计的直观分析、方差分析方法与解决正交设计表头问题的方法;2、考核方式：考查,最终考核70%、平时考核包括上机、作业、小测验、提问、出勤等占30%；3、本教学大纲课程内容的第1-2章是基础性内容,教师可多参考一些数理统计方面的书籍和文献,使其丰富并易于接受；第3-7章讲解时尽量与实验结果结合,要求学生掌握基本理论,并且能够灵活应用;课程进行时可以根据所选教材适当增减内容,安排习题内容;六、参考书目1．试验设计与数据处理,李云雁、胡传荣编,化学工业出版社,出版时间2008年;2.数理统计在分析化学中的应用, 高俊杰等编,校外讲义;3.试验设计与数据处理, 编,中国科学技术大学出版社,出版时间2008年;4.试验设计与数据处理,, 编,东南大学出版社, 出版时间2008年;5．均匀设计,方开泰主编,高等教育出版社,出版时间1988年;6．实验设计与分析,袁志发主编,高等教育出版社,出版时间2000年;七、制定人：审定人：批准人：。
制药工程专业《试验设计与数据处理》教学大纲
《试验设计与数据处理》教学大纲课程编码：0413105002课程名称：试验设计与数据处理学时/学分：24/1.5先修课程：《高等数学》适用专业：化学工程与工艺、制药工程、化学开课教研室：化工教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是面向化学工程与工艺、制药工程及化学专业学生的专业选修课程。
2．课程任务：本课程的基本任务是在学生学习《高等数学》等专业基础课程的前提下，向学生介绍工程技术和科研试验中常用的试验设计与数据处理方法，为其后续专业实验、毕业论文环节的顺利进行打下良好基础。
二、课程教学基本要求通过本课程的教学，使学生了解并掌握科学试验中试验前的试验方案设计以及对试验所获得数据进行分析和处理的基本理论和知识，学会使用科学的试验设计方法设计试验并对试验得到的大量数据进行正确的分析和处理，同时能够合理地设计试验，使试验次数尽可能少并在较短的时间内以较少的成本来达到预期的试验目标，进而摸索出较优的工艺条件或配方。
通过培养学生合理设计化学工程试验，并对试验数据进行科学分析和处理的技能，最终达到提高学生分析问题和解决问题的能力（如确定最优工艺条件或配方）的目的。
成绩考核形式：期末成绩（70%）＋平时成绩（作业、课堂提问等）（30%)。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章绪论1.教学基本要求了解试验设计与数据处理的概念和发展，学习此门课程的目的与意义；掌握试验设计的三个基本要素。
2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章教学，使学生能准确理解指标、因素、水平等基本概念，掌握试验设计与数据处理的基本要素。
3.教学重点和难点教学重点是试验设计的基本要素。
教学难点是试验设计中因素与水平的选取原则。
4.教学内容（1）试验与试验设计的基本概念（2）试验设计与数据处理的发展概况（3）试验设计的基本要素主要知识点：指标；因素；水平。
（4）试验设计与数据处理的目的第二章试验数据的误差分析1.教学基本要求理解误差分析的重要性，各种试验误差的来源，误差理论的基本问题，掌握误差的检验与控制方法；掌握有效数字的修约标准与运算规则；能够运用误差的传递公式判断间接测量或函数误差的主要来源，选择合适的测量仪器或方法；能够根据具体情况运用合适的方法对数据进行显著性检验，并对数据中可能存在的异常值进行检验和处理。
最新2019-《试验设计与数据处理》讲稿第4章试验数据的回归分析-PPT课件
r Lxy Lxx Lxy
n
n
Lyy (yiy)2 yi2n(y)2
i1
i1
• 回归系数b 与相关系数r 的关系为：
r Lxy Lxy Lxx b Lxx
LxxLxy Lxx Lyy
Lyy
• b 与r 有相同的符号
• 决定系数——相关系数的平方r2
6
相关系数的特点： 0≤| r |≤1
为使SSe值到达极小，根据极值原理，只要对上式分 别对a，b求偏导数，并令其等于零，求解方程组即可 求得a，b之值————最小二乘法原理。
3
一元线性回归方程的建立（续）
根据最小二乘法，可以得到：
Q a
n
2 (yi
i1
a bxi ) 0
Q b
n
2
(3) 计算均方—— 离差平方和/自由度
回归平方和的均方
残差平方和的均方
MSR
SSR dfR
(4) F检验
F MSR M Se
M Se
SSe dfe
服从自由度为(dfR, dfe)的F 分布10
表4-3 一元线性回归方差分析表
差异源 SS 回归 SSR 误差 SSe 总和 SST
df
MS
F
显著性
1
MSR=SSR
MSR / MSe
n-2 MSe=SSe / (n-2)
n-1
1. 若F >F0.01(dfR, dfe)，称 x与y有非常显著的线性关系， 用两个 “* *”号表示
2. 若F0.05 (dfR, dfe)<F <F0.01 (dfR, dfe)，称 x与y有显著 的线性关系，用一个“*”号表示；
实验设计与数据处理课程教学大纲
《实验设计与数据处理》课程教学大纲课程代码：010332012课程英文名称：Experiment Design and Data Processing课程总学时：24 讲课：20 实验：4 上机：0适用专业：工业工程大纲编写（修订）时间：2017.7一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标该课程是为机械学院工业工程专业本科生开设的专业基础课，是工业工程专业本科生的选修课程，设置本课程旨在使学生了解并掌握科学实验中实验前的实验方案设计以及对实验所获得数据进行分析和处理的基本理论和知识，培养学生合理设计工业工程与人因工程的实验，并掌握实验数据进行科学分析和处理的技能，最终达到提高学生分析问题和解决问题的能力（如确定最优综合环境数据）的目标。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求该课程要求学生掌握一定的数学知识，尤其是统计学与高数知识。
另外，该课程与工业工程专业中实验课程结合最佳，安排时间最佳为大三下学期或者大四上学期。
学生需要有一定实验经历。
（三）实施说明1. 本大纲编写适用于本科工业工程专业学生，课程以授课为主，以实验为辅，着重强调实际应用。
2．考虑到该课程教材可能发生变化，教师在授课过程中可对学时分配在小范围内进行适当调整。
3．教师在授课过程中发现部分与其他课程内容部分重叠或缺失的可以自行删减、或增加。
（四）对先修课的要求该课程需要高等数学、线性代数、应用统计学、概率论与数理统计等方面的数学基础。
（五）对习题课、实践环节的要求习题课以课后题为主，着重考察学生的解决问题能力，实验环节要求学生掌握具体的实验合理安排与数据处理。
（六）课程考核方式1.考核方式：考查。
2.考核目标：使学生掌握合理设计工业工程与人因工程的实验，并对实验数据进行科学分析和处理的技能。
3.成绩构成：期末成绩60%、平时成绩（包括作业、出勤率等）30%，实验成绩10%。
（七）参考书目《试验设计与数据处理》（第二版），李云雁，化学工业出版社，2012年《化工试验设计与数据处理》，曹贵平，华东理工大学出版社，2009年《试验设计与数据处理》，吴贵生，冶金工业出版社，1997年二、中文摘要实验设汁与数据处理是以数理统计及线性代数为理论基础，经济地、科学地安排实验和分析处理实验结果的一项科学技术。
第四章 回归分析
第四章 回归分析
•反映客观现象之间的联系的数量关系有两种,确定性关系和不 确定性关系. •确定性关系常用函数描述,不确定性关系也称为相关关系,常 用回归分析处理. •确定性关系和不确定性关系在一定条件下互相转换.
4.1 概述 •不确定性关系中作为影响因素的称自变量,用X 表示,是可以控 制的,受X 影响的响应变量称为因变量,用Y 表示,是可以观测的.
n
lxx
14
结束
于是有: 2 (x) ˆ u1 / 2 ,
Y0的1置信区间为yˆ0 ˆ u1 / 2 , yˆ0 ˆ u1 / 2
取 0.05时 : u1 / 2 1.96, Y0的1 置信区间为:
yˆ0 1.96ˆ , yˆ0 1.96ˆ yˆ0 2ˆ , yˆ0 2ˆ
yˆ0 y0
ˆ s1 ( x0 )
~
t (n 2),
其中: s1 ( x0 )
1 ( x0 x )2 ,
n
lxx
ˆ 2
S
2 E
/(n
2),
S
2 E
lyy
S
2 R
,
S
2 R
ˆ12lxx.
12
结束
P T1 t1 / 2 (n 2), 1 ,
P yˆ0 1( x0 ) y0 yˆ0 1( x0 ) 1 ,
r 2
S R2 ST2
n
ˆ12 l xx
( yi y)2
l xy l xx
2
l xx l yy
l
2 xy
,取R
l xx l yy
i 1
Lxy . Lxx Lyy
据性质4.2.5,
0
r
1,
r
•反映客观现象之间的联系的数量关系有两种,确定性关系和不 确定性关系. •确定性关系常用函数描述,不确定性关系也称为相关关系,常 用回归分析处理. •确定性关系和不确定性关系在一定条件下互相转换.
4.1 概述 •不确定性关系中作为影响因素的称自变量,用X 表示,是可以控 制的,受X 影响的响应变量称为因变量,用Y 表示,是可以观测的.
n
lxx
14
结束
于是有: 2 (x) ˆ u1 / 2 ,
Y0的1置信区间为yˆ0 ˆ u1 / 2 , yˆ0 ˆ u1 / 2
取 0.05时 : u1 / 2 1.96, Y0的1 置信区间为:
yˆ0 1.96ˆ , yˆ0 1.96ˆ yˆ0 2ˆ , yˆ0 2ˆ
yˆ0 y0
ˆ s1 ( x0 )
~
t (n 2),
其中: s1 ( x0 )
1 ( x0 x )2 ,
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ˆ 2
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12
结束
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据性质4.2.5,
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测试数据 回归方程
测试数据回归方程
回归方程是统计学中常用的一种模型，用于描述自变量和因变
量之间的关系。
在回归分析中，我们通常使用最小二乘法来拟合数据，并得到回归方程。
回归方程的一般形式可以表示为，Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y表示因变量，X1,
X2, ..., Xn表示自变量，β0, β1, β2, ..., βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归方程的意义在于通过对已知数据进行拟合，得到一个可以
用来预测因变量的数学模型。
通过回归分析，我们可以了解自变量
对因变量的影响程度，以及它们之间的关系是正向还是负向。
此外，回归方程还可以用来检验自变量对因变量的影响是否显著，以及预
测未来的数据。
在实际应用中，回归方程可以用于市场营销预测、经济预测、
风险管理等领域。
通过对历史数据的分析，我们可以建立回归方程
来预测未来的趋势和变化，从而指导决策和规划。
总之，回归方程是统计学中非常重要的工具，它可以帮助我们
理解变量之间的关系，进行预测和决策。
希望这个回答能够满足你的要求。
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第四章 试验数据的回归分析
4.1 基本概念
在生产过程和科学实验中，总会遇到多个变量， 同一过程中的这些变量住住是相互依赖相互制约 的，也就是说它们之间存在相互关系，这种相互 关系可以分为两种类型：确定性系和相关关系。
2013-9-13
试验设计与数据处理
2
确定性关系和相关关系
确定性关系
当一个或几个变量取一定值时，另一个变量有确定值与之相对 应，也就是说变量之间在着严格的函数关系，这种关系就称为 确定性关系。 例如，当溶液的体积V一定时，溶液的摩尔浓度c与溶质的质量 W之间就有确定的函数关系。c=W/（MV）（M为溶质的分子 量），当W确定后，c也就完全确定了。
2013-9-13
试验设计与数据处理
36
相关系数检验法
在实际计算复相关系数时，一般不直接根据其定 义式，而是先计算出决定系数R2，然后求其决定 系数的平方根。
这里0≤R≤1，当R=1时，表明y与变量x1,x2,…,xm 之间存在严格的线性关系；当R＝0时，则表明y 与变量x1，x2，…，xm之间不存在任何线性相关 关系，但可能存在其他非线性关系；当0<R<1时， 表明变量之间存在一定程度的线性相关关系。可 以证明，当m=1，即一元线性回归时，复相关系 数R与一元线性相关系数r是相等的。
2013-9-13
试验设计与数据处理
4
回归分析（regression analysis）
回归分析是一种处理变量之间相关关系最常用的 统计方法，用它可以寻找隐藏在随机性后面的统 计规律。 确定回归方程，检验回归方程的可信性等是回归 分析的主要内容。 回归分析的类型
研究一个因素与试验指标间相关关系的回归分析称为 一元回归分析； 研究几个因素与试验指标问相关关系的称为多元回归 分析。 可以分为线性回归和非线性回归两种形式。
在一些情况下，n（n＞2）对试验值xi，yi。 （i=1，2，…，n）作出的散点图，即使一看就 知道这些点不可能近似在一条直线附近，即x与y 不存在线性相关关系，但是仍可以利用最小二乘 法求得x与y的线性拟和方程，这样求得的方程显 然没有意义。 因此，我们不仅要建立从经验上认为有意义的方 程，还要对其可信性或拟和效果进行检验或衡量。 下面介绍几种检验方法。
2013-9-13
试验设计与数据处理
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4.3.3 因素主次的判断方法
两种判断因素主次的方法
偏回归系数的标准化 偏回归系数的显著性检验
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试验设计与数据处理
39
偏回归系数的标准化
在多元线性回归方程中，偏回归系数b1,b2,…,bm表示了xi 对y的具体效应，但在一般情况下，bj本身的大小并不能 直接反映自变量的相对重要性，这是因素的取值会受到 对应因素的单位和取值的影响。如果对偏回归系数bi进 行标准化，则可解决这一问题。设偏回归系数hi的标准 化回归系数为Pj，Pj的计算式为：
试验设计与数据处理 5
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4.2 一元线性回归分析
4.2.1 一元线性回归方程的建立 4.2.2 一元线性回归效果的检验
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试验设计与数据处理
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4.2.1 一元线性回归方程的建立
一元线性回归分析（linear regression）又称直线 拟和，是处理两个变量之间关系的最简单模型。 一元线性回归分析虽然简单，但从中可以了解回 归分析方法的基本思想、方法和应用。
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试验设计与数据处理
20
对于给定的显著性水平，显著性检验要求 |r|>rmin时，才说明x与y之间存在密切的线性关系， 或者说用线性回归方程来描述变量x与y之间的关 系才有意义，否则线性相关不显著，应改用其他 形式的回归方程。 其中rmin称为相关系数临界值，它与给定的显著 性水平和试验数据组数n(n>2)有关，可从附录5 查得。
n
上述方程组称为正规方程组。对方程组求解，可得回归系数a，b的 计算式：
a y bx b
x
i 1 n i 1
n
i
yi n x y n( x ) 2
x
2 i
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试验设计与数据处理
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例
为研究某合成物的转化率T与试验中的压强 p(atm)的关系，得到下表数据。用最小二乘法确 定转化率与压强的经验公式。
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修正自由度的决定系数
由于回归平方和SSR会受到试验次数n影响，所以在多元 线性回归分析中，还有一个常用的评价指标，成为修正 自由度的决定系数，计算式：
n 1 2 R 1 (1 R ) n m 1
2
可以看出，R2≤R2 给定的R2和n值，自变量个数m越多R2 越小。
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试验设计与数据处理
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解பைடு நூலகம்
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试验设计与数据处理
14
采用最小二乘法的基本步骤
根据试验数据画出散点图； 确定经验公式的函数类型； 通过最小二乘法得到正规方程组； 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。
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试验设计与数据处理
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4.2.2 一元线性回归效果的检验
首先计算每个偏回归系数的偏回归平方和SSj SSj=bjLjy SSj的大小表示了xj对y影响程度的大小，其对应的 自由度dfj=1，所以MSj=SSj，于是有 Fj=MSj/MSe=SSj/MSe 对于给定的显著性水平，如果F<Fa(1,n-m-1),则说明xj对y的影响 是不显著的，这是可将它从回归方程中去掉，变成（m-1）元回 归方程。
2013-9-13
试验设计与数据处理
11
分析
根据表中数据，在普通直角坐标系中画出T~p散点图， 由图中可以看出，这些点近似于直线分布，故可设T~p 经验公式为 T=a+bp
若将上表的数值代入经验公式 可得到不同的解
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解
根据题意，试验次数n=5，T~p为一元线性关系 根据最小二乘法原理有
其中xi，yi是已知试验值，故残差平方和SSe为a，b的函数。 将上式分别对a，b求偏导数，并令其等于0，即可求得a，b之值。
n n n Q a 2 ( yi a bxi ) 0 na b xi yi i 1 i 1 i 1 即 n n n n Q 2 a x b x x y 2 ( yi a bxi ) xi 0 i i i b i i 1 i 1 i 1 i 1
当一个或几个相互关系的变量取一定数值时，与之对应的另一 变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化， 变量之间的这种关系称为相关关系。 例如，在食品加工过程中，处理温度与食品中维生素C含量之间 的关系，虽然我们知道温度越高，维生素C含量会降低，但这一 规律很难用一个确定的函数式来准确表达，两看问存在相关关 系。
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F检验法
F检验实际上就是方差分析
非常显著和显著的结果说明y的变化主要是由x的变化 造成的。 不显著的结果说明y的变化与x的变化关系不大
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试验设计与数据处理
24
残差分析
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试验设计与数据处理
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4.3 多元线性回归分析
4.3.1 多元线性回归方程 4.3.2 多元线性回归方程显著性检验 4.3.3 因素主次的判断方法
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试验设计与数据处理
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4.3.1 多元线性回归方程
在解决实际问题时，往往是多个因素都对试验结果有影 响，这时可以通过多元回归方差分析（multiple regression analysis）求出试验指标（因变量）y与多个试 验因素（自变量）xj之间的近似函数关系 y=f(x1,x2,…,xm)
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F检验法
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相关系数检验法
在多元线性回归分析中，复相关系数R反映了一个变量y 与多个变量xj之间的线性相关程度。定义式如下：
复相关系数的平方成为多元线性回归方程的决定系数用 R2表示。决定系数的大小反映了回归平方和SSR再总离差 平方和SST中占的比重，即：
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相关系数检验法
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相关系数检验法
分析可知，相关系数r 越接近1，x与y的线 性相关程度越高，然 而r的大小未能回答其 值达到多大时，x与y 之间才存在线性相关， 采用线性关系才属合 理，所以须对相关系 数r进行显著性检验。
根据标准化回归系数Pj的大小就可以直接判断各因素xi 对试验结果y的重要程度，P越大，则对应的因素越重要。
试验设计与数据处理 40
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偏回归系数的显著性检验
在多元回归方程的F检验中，回归平方和SSR反映了所有 自变量对实验指标y的总的影响，如果对每个偏回归系数 进行方差分析，就可以知道每个偏回归系数的显著性 ， 从而判断他们对应因素的重要程度 步骤
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一元线性回归方程
设有一组试验数据，试验值xi，yi（i=1，2，…，n），其 中x是自变量，y是因变量。若x，y符合线性关系，或己 知经验公式为直线形式，都可拟和为直线方程，即：
4.1 基本概念
在生产过程和科学实验中，总会遇到多个变量， 同一过程中的这些变量住住是相互依赖相互制约 的，也就是说它们之间存在相互关系，这种相互 关系可以分为两种类型：确定性系和相关关系。
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确定性关系和相关关系
确定性关系
当一个或几个变量取一定值时，另一个变量有确定值与之相对 应，也就是说变量之间在着严格的函数关系，这种关系就称为 确定性关系。 例如，当溶液的体积V一定时，溶液的摩尔浓度c与溶质的质量 W之间就有确定的函数关系。c=W/（MV）（M为溶质的分子 量），当W确定后，c也就完全确定了。
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相关系数检验法
在实际计算复相关系数时，一般不直接根据其定 义式，而是先计算出决定系数R2，然后求其决定 系数的平方根。
这里0≤R≤1，当R=1时，表明y与变量x1,x2,…,xm 之间存在严格的线性关系；当R＝0时，则表明y 与变量x1，x2，…，xm之间不存在任何线性相关 关系，但可能存在其他非线性关系；当0<R<1时， 表明变量之间存在一定程度的线性相关关系。可 以证明，当m=1，即一元线性回归时，复相关系 数R与一元线性相关系数r是相等的。
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回归分析（regression analysis）
回归分析是一种处理变量之间相关关系最常用的 统计方法，用它可以寻找隐藏在随机性后面的统 计规律。 确定回归方程，检验回归方程的可信性等是回归 分析的主要内容。 回归分析的类型
研究一个因素与试验指标间相关关系的回归分析称为 一元回归分析； 研究几个因素与试验指标问相关关系的称为多元回归 分析。 可以分为线性回归和非线性回归两种形式。
在一些情况下，n（n＞2）对试验值xi，yi。 （i=1，2，…，n）作出的散点图，即使一看就 知道这些点不可能近似在一条直线附近，即x与y 不存在线性相关关系，但是仍可以利用最小二乘 法求得x与y的线性拟和方程，这样求得的方程显 然没有意义。 因此，我们不仅要建立从经验上认为有意义的方 程，还要对其可信性或拟和效果进行检验或衡量。 下面介绍几种检验方法。
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两种判断因素主次的方法
偏回归系数的标准化 偏回归系数的显著性检验
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偏回归系数的标准化
在多元线性回归方程中，偏回归系数b1,b2,…,bm表示了xi 对y的具体效应，但在一般情况下，bj本身的大小并不能 直接反映自变量的相对重要性，这是因素的取值会受到 对应因素的单位和取值的影响。如果对偏回归系数bi进 行标准化，则可解决这一问题。设偏回归系数hi的标准 化回归系数为Pj，Pj的计算式为：
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4.2.1 一元线性回归方程的建立 4.2.2 一元线性回归效果的检验
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4.2.1 一元线性回归方程的建立
一元线性回归分析（linear regression）又称直线 拟和，是处理两个变量之间关系的最简单模型。 一元线性回归分析虽然简单，但从中可以了解回 归分析方法的基本思想、方法和应用。
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20
对于给定的显著性水平，显著性检验要求 |r|>rmin时，才说明x与y之间存在密切的线性关系， 或者说用线性回归方程来描述变量x与y之间的关 系才有意义，否则线性相关不显著，应改用其他 形式的回归方程。 其中rmin称为相关系数临界值，它与给定的显著 性水平和试验数据组数n(n>2)有关，可从附录5 查得。
n
上述方程组称为正规方程组。对方程组求解，可得回归系数a，b的 计算式：
a y bx b
x
i 1 n i 1
n
i
yi n x y n( x ) 2
x
2 i
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例
为研究某合成物的转化率T与试验中的压强 p(atm)的关系，得到下表数据。用最小二乘法确 定转化率与压强的经验公式。
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修正自由度的决定系数
由于回归平方和SSR会受到试验次数n影响，所以在多元 线性回归分析中，还有一个常用的评价指标，成为修正 自由度的决定系数，计算式：
n 1 2 R 1 (1 R ) n m 1
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可以看出，R2≤R2 给定的R2和n值，自变量个数m越多R2 越小。
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解பைடு நூலகம்
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试验设计与数据处理
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采用最小二乘法的基本步骤
根据试验数据画出散点图； 确定经验公式的函数类型； 通过最小二乘法得到正规方程组； 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。
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4.2.2 一元线性回归效果的检验
首先计算每个偏回归系数的偏回归平方和SSj SSj=bjLjy SSj的大小表示了xj对y影响程度的大小，其对应的 自由度dfj=1，所以MSj=SSj，于是有 Fj=MSj/MSe=SSj/MSe 对于给定的显著性水平，如果F<Fa(1,n-m-1),则说明xj对y的影响 是不显著的，这是可将它从回归方程中去掉，变成（m-1）元回 归方程。
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分析
根据表中数据，在普通直角坐标系中画出T~p散点图， 由图中可以看出，这些点近似于直线分布，故可设T~p 经验公式为 T=a+bp
若将上表的数值代入经验公式 可得到不同的解
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试验设计与数据处理
12
解
根据题意，试验次数n=5，T~p为一元线性关系 根据最小二乘法原理有
其中xi，yi是已知试验值，故残差平方和SSe为a，b的函数。 将上式分别对a，b求偏导数，并令其等于0，即可求得a，b之值。
n n n Q a 2 ( yi a bxi ) 0 na b xi yi i 1 i 1 i 1 即 n n n n Q 2 a x b x x y 2 ( yi a bxi ) xi 0 i i i b i i 1 i 1 i 1 i 1
当一个或几个相互关系的变量取一定数值时，与之对应的另一 变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化， 变量之间的这种关系称为相关关系。 例如，在食品加工过程中，处理温度与食品中维生素C含量之间 的关系，虽然我们知道温度越高，维生素C含量会降低，但这一 规律很难用一个确定的函数式来准确表达，两看问存在相关关 系。
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F检验法
F检验实际上就是方差分析
非常显著和显著的结果说明y的变化主要是由x的变化 造成的。 不显著的结果说明y的变化与x的变化关系不大
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残差分析
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4.3 多元线性回归分析
4.3.1 多元线性回归方程 4.3.2 多元线性回归方程显著性检验 4.3.3 因素主次的判断方法
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4.3.1 多元线性回归方程
在解决实际问题时，往往是多个因素都对试验结果有影 响，这时可以通过多元回归方差分析（multiple regression analysis）求出试验指标（因变量）y与多个试 验因素（自变量）xj之间的近似函数关系 y=f(x1,x2,…,xm)
34
F检验法
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35
相关系数检验法
在多元线性回归分析中，复相关系数R反映了一个变量y 与多个变量xj之间的线性相关程度。定义式如下：
复相关系数的平方成为多元线性回归方程的决定系数用 R2表示。决定系数的大小反映了回归平方和SSR再总离差 平方和SST中占的比重，即：
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试验设计与数据处理
18
相关系数检验法
2013-9-13
试验设计与数据处理
19
相关系数检验法
分析可知，相关系数r 越接近1，x与y的线 性相关程度越高，然 而r的大小未能回答其 值达到多大时，x与y 之间才存在线性相关， 采用线性关系才属合 理，所以须对相关系 数r进行显著性检验。
根据标准化回归系数Pj的大小就可以直接判断各因素xi 对试验结果y的重要程度，P越大，则对应的因素越重要。
试验设计与数据处理 40
2013-9-13
偏回归系数的显著性检验
在多元回归方程的F检验中，回归平方和SSR反映了所有 自变量对实验指标y的总的影响，如果对每个偏回归系数 进行方差分析，就可以知道每个偏回归系数的显著性 ， 从而判断他们对应因素的重要程度 步骤
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一元线性回归方程
设有一组试验数据，试验值xi，yi（i=1，2，…，n），其 中x是自变量，y是因变量。若x，y符合线性关系，或己 知经验公式为直线形式，都可拟和为直线方程，即：