数据结构与算法分析图文 (5)
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第13章 数据结构与算法
3 目录
第13章 数据结构与算法
13.1.2 算法复杂度 算法复杂度的评价有两个指标：时间复杂度、空间复 杂度 1．算法的时间复杂度 算法所执行的基本运算次数是问题规模的函数，即 算法工作量＝f(n) 2．算法的空间复杂度
4
目录
xDn
p( x)t ( x)
第13章 数据结构与算法
13.2 数 据 结 构
26 目录
第13章 数据结构与算法
2．二叉树的基本性质 性质1：在二叉树的第k层上，最多有2k-1（k≥1） 个结点。 性质2：深度为m的二叉树最多有2m-1 个结点。 性质3：任意一棵二叉树中，度数为0的结点（即叶 子结点）总比度为2的结点多一个。 性质4：具有n个结点的二叉树，其深度至少为 「log2n」+ l，其中「log2n」表示取的整数部 分。
25
目录
第13章 数据结构与算法
13.6.2 二叉树及其性质 二叉树（binary tree）是另一种重要的树形结构。 二叉树是度为2的有序树，它的特点是每个结点至 多有两棵子树。PABCHIJKDEFG 1．二叉树的概念 二叉树（binary tree）具有以下两个特点： ① 非空二叉树只有一个根结点。图13-19 二叉树的 示意图（b）深度为4的二叉树（a）只有根结点的 二叉树 ② 每一个结点最多有两棵子树，称为该结点的左子树 和右子树。
16
目录
第13章 数据结构与算法
队列的常用运算有两种：入队运算、退队运算。 （1）入队运算 入队运算是指在队列的队尾加入一个新元素。它包 含两个基本操作：首先将队尾指针rear加1，然后 将新元素插入到rear所指向的位置。当队尾指针指 向队列的存储空间的最大位置时，说明队列已满， 不能进行入队操作，这种情况称为“上溢”错误。 （2）退队运算 退队运算是指从队列的队头退出一个元素。它包含 两个基本操作：首先将队头指针front加1，然后将 front所指向的元素赋值给一个变量。当队头指针 等于队尾指针时，说明队列已空，不能进行退队操 作，这种情况称为“下溢”错误。
第13章 数据结构与算法
13.1.2 算法复杂度 算法复杂度的评价有两个指标：时间复杂度、空间复 杂度 1．算法的时间复杂度 算法所执行的基本运算次数是问题规模的函数，即 算法工作量＝f(n) 2．算法的空间复杂度
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xDn
p( x)t ( x)
第13章 数据结构与算法
13.2 数 据 结 构
26 目录
第13章 数据结构与算法
2．二叉树的基本性质 性质1：在二叉树的第k层上，最多有2k-1（k≥1） 个结点。 性质2：深度为m的二叉树最多有2m-1 个结点。 性质3：任意一棵二叉树中，度数为0的结点（即叶 子结点）总比度为2的结点多一个。 性质4：具有n个结点的二叉树，其深度至少为 「log2n」+ l，其中「log2n」表示取的整数部 分。
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第13章 数据结构与算法
13.6.2 二叉树及其性质 二叉树（binary tree）是另一种重要的树形结构。 二叉树是度为2的有序树，它的特点是每个结点至 多有两棵子树。PABCHIJKDEFG 1．二叉树的概念 二叉树（binary tree）具有以下两个特点： ① 非空二叉树只有一个根结点。图13-19 二叉树的 示意图（b）深度为4的二叉树（a）只有根结点的 二叉树 ② 每一个结点最多有两棵子树，称为该结点的左子树 和右子树。
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第13章 数据结构与算法
队列的常用运算有两种：入队运算、退队运算。 （1）入队运算 入队运算是指在队列的队尾加入一个新元素。它包 含两个基本操作：首先将队尾指针rear加1，然后 将新元素插入到rear所指向的位置。当队尾指针指 向队列的存储空间的最大位置时，说明队列已满， 不能进行入队操作，这种情况称为“上溢”错误。 （2）退队运算 退队运算是指从队列的队头退出一个元素。它包含 两个基本操作：首先将队头指针front加1，然后将 front所指向的元素赋值给一个变量。当队头指针 等于队尾指针时，说明队列已空，不能进行退队操 作，这种情况称为“下溢”错误。
数据结构与算法(C语言版)第2版上PPT课件
1.1.1 学习数据结构的意义 1.1.2 学习算法的意义
5
1.1.1 学习数据结构的意义
数据结构为研究非数值计算问题提供了数据的表示与操 作途径。数据结构是计算机科学与技术专业的专业基础课， 是十分重要的核心课程。所有的计算机系统软件和应用软件 都要用到各种类型的数据结构。因此，要想更好地运用计算 机来解决实际问题，仅掌握几种计算机程序设计语言是难以 应付众多复杂课题的。要想有效地使用计算机，充分发挥计 算机的功能，还必须学习和掌握好数据结构的有关知识。扎 实地打好“数据结构”这门课程的基础，对于学习计算机专 业的其他课程，如操作系统、编译原理、数据库管理系统、 软件工程及人工智能等都是十分有益的。
数据结构与算法 （C语言版）第2
版上
1
整体概况
概况一
点击此处输入 相关文本内容
01
概况二
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02
概况三
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03
2
第1章
绪论
3
本章主要内容
1.1 学习数据结构与算法的意义 1.2 数据结构 1.3 抽象数据类型 1.4 算法 1.5 算法分析
4
1.1 学习数据结构与算法的意义
图1.2 4类基本数据结构示意图
11
数据结构的形式定义为
Data_Structure = (D, R) 其中，D是数据元素的有限集；R是D上关系的有限集。
数据结构可以分为逻辑上的数据结构和物理上的数据结构。 数据结构的形式化定义为逻辑结构。物理结构为数据在计算 机中的表示，它包括数据元素的表示和关系表示。
数据对象(data object)是性质相同的数据元素的集合，是数据的 一个子集。
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1.1.1 学习数据结构的意义
数据结构为研究非数值计算问题提供了数据的表示与操 作途径。数据结构是计算机科学与技术专业的专业基础课， 是十分重要的核心课程。所有的计算机系统软件和应用软件 都要用到各种类型的数据结构。因此，要想更好地运用计算 机来解决实际问题，仅掌握几种计算机程序设计语言是难以 应付众多复杂课题的。要想有效地使用计算机，充分发挥计 算机的功能，还必须学习和掌握好数据结构的有关知识。扎 实地打好“数据结构”这门课程的基础，对于学习计算机专 业的其他课程，如操作系统、编译原理、数据库管理系统、 软件工程及人工智能等都是十分有益的。
数据结构与算法 （C语言版）第2
版上
1
整体概况
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概况二
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概况三
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第1章
绪论
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本章主要内容
1.1 学习数据结构与算法的意义 1.2 数据结构 1.3 抽象数据类型 1.4 算法 1.5 算法分析
4
1.1 学习数据结构与算法的意义
图1.2 4类基本数据结构示意图
11
数据结构的形式定义为
Data_Structure = (D, R) 其中，D是数据元素的有限集；R是D上关系的有限集。
数据结构可以分为逻辑上的数据结构和物理上的数据结构。 数据结构的形式化定义为逻辑结构。物理结构为数据在计算 机中的表示，它包括数据元素的表示和关系表示。
数据对象(data object)是性质相同的数据元素的集合，是数据的 一个子集。
10
《数据结构与算法 》课件
自然语言处理
自然语言处理中，数据结构用于表示句子、单词之间的关系，如依 存句法树。
计算机视觉
计算机视觉中的图像处理和识别使用数据结构来存储和操作图像信 息，如链表和二叉树。
算法在计算机科学中的应用
加密算法
加密算法用于保护数据的机密性和完整性，如 RSA算法用于公钥加密。
排序算法
排序算法用于对数据进行排序，如快速排序和归 并排序广泛应用于数据库和搜索引擎中。
归并排序
将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。
查找算法
线性查找：从数据结构的一端开始逐 个检查每个元素，直到找到所查找的 元素或检查完所有元素为止。
二分查找：在有序数据结构中查找某 一特定元素，从中间开始比较，如果 中间元素正好是要查找的元素，则搜 索过程结束；如果某一特定元素大于 或者小于中间元素，则在数组大于或 小于中间元素的那一半中查找，而且 跟开始一样从中间元素开始比较。如 果在某一步骤数组为空，则代表找不 到。这种搜索算法每一次比较都使搜 索范围缩小一半。
04
常见算法实现
排序算法
冒泡排序
通过重复地遍历待排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复 地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
快速排序
通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另一部分的所有数据要小，然后再按 此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
数据结构在计算机科学中的应用
1 2
数据库系统
数据结构是数据库系统的基础，用于存储、检索 和管理大量数据。例如，B树和哈希表在数据库 索引中广泛应用。
自然语言处理中，数据结构用于表示句子、单词之间的关系，如依 存句法树。
计算机视觉
计算机视觉中的图像处理和识别使用数据结构来存储和操作图像信 息，如链表和二叉树。
算法在计算机科学中的应用
加密算法
加密算法用于保护数据的机密性和完整性，如 RSA算法用于公钥加密。
排序算法
排序算法用于对数据进行排序，如快速排序和归 并排序广泛应用于数据库和搜索引擎中。
归并排序
将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。
查找算法
线性查找：从数据结构的一端开始逐 个检查每个元素，直到找到所查找的 元素或检查完所有元素为止。
二分查找：在有序数据结构中查找某 一特定元素，从中间开始比较，如果 中间元素正好是要查找的元素，则搜 索过程结束；如果某一特定元素大于 或者小于中间元素，则在数组大于或 小于中间元素的那一半中查找，而且 跟开始一样从中间元素开始比较。如 果在某一步骤数组为空，则代表找不 到。这种搜索算法每一次比较都使搜 索范围缩小一半。
04
常见算法实现
排序算法
冒泡排序
通过重复地遍历待排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复 地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
快速排序
通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另一部分的所有数据要小，然后再按 此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
数据结构在计算机科学中的应用
1 2
数据库系统
数据结构是数据库系统的基础，用于存储、检索 和管理大量数据。例如，B树和哈希表在数据库 索引中广泛应用。
数据结构.ppt
Head a
r
b
c^
sr d ^
•不带头结点的尾插法：插入时，第一个结点的处理与其 它结点的处理有区别。
结束时，空表和非空表的处理有区别。
2020/5/24
数据结构
29
Linklist *CREATLISTR( )
{ char ch;
linklist *head,*s,*r;
head=NULL; r=NULL; ch=getchar( );
顺序表是一种随机存取结构
2020/5/24
数据结构
20
4、顺序表的描述：
typedef int datetype; #define maxsize 1024 typedef struct { datatype data[maxsize];
int last;
0
a1
1
a2
. =(linklist *)malloc(sizeof(linklist)); 释放一个结点 free(p);
2020/5/24
数据结构
26
2.3.2 单链表上的基本运算（实现）
1.建立单链表
方法:从一个空表开始,重复读入数据,生成新结点,将读入数 据存放在新结点的数据域,然后将新结点插入当前链表 中,直到结束。
=（语句频度×语句执行一次所需时间） =语句频度 •算法的时间复杂度：就是算法的时间耗费T(n)
2020/5/24
数据结构
13
第一章 概 论
三、（渐进）时间复杂度(O(f(n))
当问题的规模n趋向无穷大时，时间复杂度T(n)的数量 级（阶）称为算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度
四、最坏时间复杂度
2、结点结构：
数据结构与算法分析
路径
1.
2.
3. 4. 5.
6.
在无向图G 中，若存在一个顶点序列vp ,vi1 , vi2 , …vim ,vq，使得 （vp ,vi1）,（vi1 ,vi2）, …,（vim ,vq ）∈E(G)，则称顶点序列 （vp ,vi1）,（vi1 ,vi2）, …,（vim ,vq ）∈E(G) 为从vp到vq的一条 （Path）。 在有向图G 中，若存在一个顶点序列vp ,vi1 , vi2 , …vim ,vq，使得有 向边<vp ,vi1>, <vi1 ,vi2>, …,<vim ,vq >∈E(G)，则称顶点vp路到vq有 一条有向路径（Path）。 无权图的路径长度是指此路径上边的条数。 有权图的路径长度是指路径上各边的权之和。 简单路径：若路径上各顶点vp ,vi1 , vi2 , …vim ,vq均不互相同, 则称这 样的路径为简单路径。 环：若简单路径长度大于2，且第一个顶点v1 与最后一个顶点vm 重 合, 则称这样的简单路径为回路或环。
3 0 1 0 1 6 4 2
3
0 1
4
2
3
2
6
5
4
5
G的连通分量
6
5
是连通分量吗？
无向图G
强连通
在有向图中, 若一对顶点vi和vj存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则 称vi和vj是强连通的。 若有向图中任意两个顶点都是强连通的，则称该图为强连通图。 有向图的极大强连通子图称为图的强连通分量 例：
0 1 3
2 4
无向图G1
有向图
若图G的每条边都有方向，则称G为有向图（Digraph)。 有向边（即弧）由两个顶点组成的有序对来表示，记为< 起始点,终止点y> （也可称<弧尾，弧头>）。 举例： V(G2)={0,1,2,3,4} E(G2)={<0,3>,<1,0>,<1,2>,<3,1>,<3,4>,<4,2>}
数据结构与算法(共11张PPT)
(b)入队3个元素(c)出队3个元素
(b) d, e, b, g入队
利用一组连续的存储单元(一维数组)依次存放从队 在循环队列中进行出队、入队操作时，队首、队尾指
队列示意图
在非空队列里，队首指针始终指向队头元素，而队
(b) d, e, b, g入队
8
Q.rear
a5
a4
Q.front
(d)入队2个元素
a1, a2, … , an
的指修针改 和是队依列先中进元先素出的Q的变.re原化a则情r 进况行。的，如图所示。
a3
Q.front
a2
a1
首到队尾的各个元素，称为顺序队列。
(c)
d, e出队Q.front
Q.front
◆出队：首先删去front所指的元素，然后将队首指针front+1，并
◆rear所指的单元始终为空(a。)空队列
i
i, j, k入队
(e)
1
2
3
k
r
01
j5
2
front
43
i
b, g出队
(f )
r, p,
p rear
s, t入队
循环队列操作及指针变化情况
入队时尾指针向前追赶头指针，出队时头指针向前追赶尾指针 ，故队空和队满时头尾指针均相等。因此，无法通过front=rear来 判断队列“空”还是“满”。解决此问题的方法是：约定入队前，
数据结构与算法
1算法基础 2数据结构
3栈
4队列
5链表 6树和二叉树
7查找
4队列
✓队列的基本概念 ✓队列运算
✓循环队列及其运算
4队列
1.队列的基本概念
《图解Python数据结构与算法课件》
图：定义、图的表示方法、遍 历算法
详解图的定义和不同的表示方法，如邻接矩阵和邻接表，并探讨图的遍历算 法和常见的应用场景。
排序算法：冒泡排序、选择排 序、插入排序、快速排序、归 并排序
介绍常见的排序算法，包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序和归 并排序。比较它们的优缺点和适用场景。
搜索算法：深度优先搜索、广度优先搜索、 A*算法
栈与队列：定义、应用场景、 实现
介绍栈和队列的概念及其在计算中的应用。探索它们的实现方式和特定场景 中的应用。
链表：定义、单链表、双向链 表、循环链表
深入了解链表的不同类型：单链表、双向链表和循环链表，以及它们在数据 结构中的用途和实现方法。
树：定义、二叉树、遍历算法、 应用场景
探索树的定义和不同类型，特别是二叉树，并研究树的遍历算法和在实际应 用中的应用场景。
Python数据类型回顾
回顾Python中的基本数据类型，包括数字与算法中的应用。
列表：基本操作、排序、查找
探索列表的基本操作，如添加、删除和修改元素，以及各种排序和查找算法的实现与应用。
字符串：基本操作、匹配算法
了解字符串的基本操作，例如拼接和切片，以及常见的字符串匹配算法，如 暴力匹配和KMP算法。
《图解Python数据结构与 算法课件》
本课件旨在图解Python数据结构与算法，帮助读者深入理解并掌握重要概念。 包括数据结构、算法的基本概念，Python数据类型，以及列表、字符串等的 操作和排序查找算法。
什么是数据结构和算法？
探索数据结构与算法的定义，它们在计算中的重要作用，以及为什么它们对 于Python编程至关重要。
总结与展望
总结所学内容并展望未来，鼓励读者持续探索和应用数据结构与算法的知识。
第10章-数据结构与算法ppt课件(全)
考点3 数据结构的定义
数据对象：是性质相同的数据元素的集合，是数据的一 个子集。
1. 数据的逻辑结构
数据的逻辑结构：是对数据元素之间的逻辑关系的描述， 它可以用一个数据元素的集合和定义在此集合中的若干关系 来表示。
数据的逻辑结构与它们在计算机中的存储位置无关。 数据的逻辑结构有两个要素： 一是数据元素的集合，通常记为D； 二是D上的关系，它反映了数据元素之间的前后件关系， 通常记为R。
进行软件开发的能力。 6. 掌握数据库的基本知识，了解关系数据库的设计。
公共基础知识考试大纲
数据结构与算法考试内容： 1. 算法的基本概念；算法复杂度的概念和意义。 2. 数据结构的定义；数据的逻辑结构与存储结构；
数据结构的图形表示；线性结构与非线性结构的 概念。 3. 线性表的定义；线性表的顺序存储结构及其插入 与删除运算。 4. 栈和队列的定义；栈和队列的个数据结构可以表示成 B=（D，R）
其中 B 表示数据结构。为了反映 D 中各数据元素之间的前后 件关系，一般用二元组来表示。
例 一年四季的数据结构可以表示成 B =（D，R） D = {春，夏，秋，冬} R = {（春，夏），（夏，秋），（秋，冬）}
例 家庭成员数据结构可以表示成 B =（D， R） D = {父亲，儿子，女儿} R = {（父亲，儿子），（父亲，女儿）}
则称为非线性结构。 如 家庭成员之间辈分关系的数据结构是非线性
结构。
考点5 线性表的基本概念
10.3 线性表及其顺序存储结构
线性表（Linear List），由一组数据元素构成， 数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的 相对位置是线性的。
线性表是由 n(n≥0) 个数据元素组成的一个有限 序列，表中的每一个数据元素，除了第一个外，有 且只有一个前件，除了最后一个外，有且只有一个 后件。
《数据结构与算法》PPT课堂课件-第5章-递归
(2) if(n==1)
(3) move(x,z);
(4) else{
(5)
hanoi(n-1,x,z,y);
(6)
move(x,z);
(7)
hanoi(n-1,y,x,z);
(8) }
(9) }
A
B
C
2BAC 8 3ABC 0
1BCA6 2BAC 8 3ABC 0
A
B
C
2BAC 8 3 A B C 0 15
O(n)。对比循环结构的Fib2(n)和递归结构的Fib(n)可发现，循环结构
的Fib2(n)算法在计算第n项的斐波那契数列时保存了当前已经计算得到
的第n-1项和第n-2项的斐波那契数列，因此其时间复杂度为O(n)；而递
归结构的Fib(n)算法在计算第n项的斐波那契数列时，必须首先计算第n -1项和第n-2项的斐波那契数列，而某次递归计算得出的斐波那契数列， 如Fib(n-1)、Fib(n-2)等无法保存，下一次要用到时还需要重新递归计
{ printf(“参数错！”);
return -1;
}
if(n == 0) return 1;
else {y = Fact(n - 1); /*递归调用*/
return n * y; }
}
5
为说明该递归算法的执行过程，设计主函数如下
void main(void) {
long int fn;
fn = Fact(3); }
(1) {
(2) if(n= =1)
(3) move(x,z);
(4) else{
(5)
hanoi(n-1,x,z,y);
(6)
move(x,z);
数据结构与算法分析
数据结构与算法分析数据结构与算法分析是计算机科学领域中最为重要的基础知识之一。
它们是计算机程序设计和软件开发的基石，对于解决实际问题具有重要的指导作用。
本文将围绕数据结构与算法分析的概念、作用以及常见的数据结构和算法进行深入探讨，以便读者对其有更全面的理解。
一、数据结构的概念数据结构是计算机科学中研究组织和存储数据的方法，它关注如何将数据按照逻辑关系组织在一起并以一定的方式存储在计算机内存中。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树等。
不同的数据结构适用于不同类型的问题，选择合适的数据结构对于算法的效率和性能至关重要。
二、算法分析的意义算法分析是对算法的效率和性能进行评估和估算的过程。
它主要关注算法的时间复杂度和空间复杂度，这两者是衡量算法性能的重要指标。
通过对算法进行分析，我们可以选择最适合解决问题的算法，提高程序的运行效率和资源利用率。
在实际开发中，合理选择和使用算法可以减少计算机的负荷，提高系统的响应速度。
三、常见的数据结构1. 数组：数组是一种线性数据结构，它以连续的内存空间存储一组相同类型的数据。
数组的优点是可以随机访问，但缺点是插入和删除操作的效率较低。
2. 链表：链表是一种常见的动态数据结构，它由一系列节点组成，每个节点包含数据和指向下一节点的指针。
链表的优点是插入和删除操作的效率较高，但访问数据的效率较低。
3. 栈：栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，常用操作包括入栈和出栈。
栈通常用于实现函数调用、表达式求值以及回溯算法等。
4. 队列：队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，它常用操作包括入队和出队。
队列通常用于实现广度优先搜索和任务调度等。
5. 树：树是一种非线性的数据结构，它以层次结构存储数据。
常见的树包括二叉树、平衡二叉树、二叉搜索树等。
树的应用非常广泛，例如数据库索引、文件系统等。
四、常见的算法1. 排序算法：排序算法用于将一组元素按照某种规则进行排序。
常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等。
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7
第5章 树
性质2 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k≥1)。
k
2i1 2 k 1
i1
(5-1)
证明：性质1给出了二叉树每一层中含有的最大结点数， 深度为k的二叉树的结点总数至多为2k-1个。故命题成立。
8
第5章 树
性质3 对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度 为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
20
第5章 树
5.4 二叉树的遍历
5.4.1 二叉树的深度优先遍历 1. 先序遍历算法 先序遍历算法的遍历过程是，若二叉树非空，执行以下
操作： (1) 访问根结点； (2) 先序遍历左子树； (3) 先序遍历右子树。
21
第5章 树
图5-8 二叉树的遍历过程
22
第5章 树
图5-9 算法执行过程示意图
证明：设度为1的结点数为n1，则一棵二叉树的结点总 数为
n=n0+n1+n2
(5-2)
除根结点外，其余结点都有一个进入的分支(边)，设B
为分支总数，则n=B+1。又考虑到分支是由度为1和2的结点
发出的，故有B=2n2+n1，即
n=2n2+n1+1
比较式(5-1)与式(5-2)可得n0=n2+1。命题成立。
25
第5章 树
5.4.2 二叉树的广度优先遍历 二叉树的广度优先遍历又称为按层次遍历。这种遍历方
式是先遍历二叉树的第一层结点，然后遍历第二层结 点，……最后遍历最下层的结点。而对每一层的遍历是按从 左至右的方式进行的。
(5-3)
第5章 树
性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 lbn + 1或
lb(n + 1)。
注：x表示不大于x的最大整数；x表示不小于x的最小
整数。
证明：由完全二叉树的定义可知，一个k层的完全二叉树
的前k-1层共有2k-1-1个结点，第k层上还有若干结点，所以结
点总数n满足关系：
2k-1-1＜n≤2k-1
17
第5章 树
图5-6 二叉树链式存储的结点结构
18
第5章 树
图5-7 链表存储结构
19
第5章 树
5.3.3 二叉树的建立 二叉树的建立是指如何在内存中建立二叉树存储结构。
二叉树顺序存储结构的建立比较简单，只须将二叉树各个结 点的(信息)值按原有的逻辑关系送入相应的向量单元中即可。
建立二叉树链式存储结构的算法有多种，它们依赖于按 照何种形式来输入二叉树的逻辑结构信息。一种常见的算法 是按照完全二叉树的层次顺序，依次输入结点信息来建立二 叉链表。对于一般二叉树，首先必须通过添加若干个虚结点 使其成为完全二叉树，然后建立二叉链表。
化方式，存储到一片连续的存储单元中。结点的顺序将反映 出结点之间逻辑关系。
11
第5章 树
图5-4 完全二叉树的结点编号
12
第5章 树
表 5-1 完全二叉树的顺序存储
编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
结点值
ABCDE FGH I J
H8
图5
13
第5章 树
图5-5和表5-2给出了一般二叉树构成完全二叉树并用顺 序存储结构存储的示例。其中方形结点为虚结点，并用符号 @表示结点值。
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第5章 树
图5-3 满二叉树、完全二叉树和一般二叉树
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第5章 树
性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 证明：可用数学归纳法予以证明。 当i=1时，有2i-1=20=1，同时第一层上只有一个根结点， 故命题成立。 设当i=k时成立，即第k层上至多有2k-1个结点。 当i=k+1时，由于二叉树的每个结点至多有两个孩子， 因此第k+1层上至多有22k-1=2k个结点。故命题成立。
(2) 其余的结点可分成m个互不相交的有限集合T1，T2， …，Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为根的子树。 将n=0时的空集合定义为空树(有的书上将n=1的集合定义为 空树)。
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第5章 树
图5-1 学校的教学组织机构图
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第5章 树
5.2 二 叉 树
定义2 二叉树是n(n≥0)个结点的有限集，它或为空树 (n=0)，或由一个根结点及两棵互不相交的、分别称做这个根 的左子树和右子树的二叉树构成。
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第5章 树
2. 中序遍历算法 中序遍历算法的遍历过程是，若二叉树非空，执行以下 操作： (1) 中序遍历左子树； (2) 访问根结点； (3) 中序遍历右子树。
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第5章 树
3. 后序遍历算法 后序遍历算法的遍历过程是，若二叉树非空，执行以下 操作： (1) 后序遍历左子树； (2) 后序遍历右子树； (3) 访问根结点。
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第5章 树
图5-5 一般二叉树的结点编号
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第5章 树
表 5-2 一般二叉树的顺序存储
编号 0 1 2 3 4 5 6 7
结点值
A B C @@@D
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第5章 树
5.3.2 链式存储结构 链式存储是二叉树的一种自然链接方法。在一定的条件
下，链式存储可节省存储单元。因为二叉树的每个结点至多 有两个孩子，所以采用链式存储结构来存储二叉树时，每个 结点应至少包括三个域：结点数据域(data)、左孩子指针域 (lchild)和右孩子指针域(rchild)。二叉树链式存储结构的结点 逻辑结构如图5-6所示。
由二叉树的定义可以给出二叉树的五种基本形态，如图 5-2所示。当n=0时得到空二叉树；n=1时得到仅有一个根结 点的二叉树；当根结点的右子树为空时，得到一个仅有左子 树的二叉树；当根结点的左子树为空时，得到一个仅有右子 树的二叉树；当左、右子树均非空时，得到一般的二叉树。
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第5章 树
图5-2 二叉树的基本形态
(5-4)
可推出2k-1≤n＜2k，取对数后可得k - 1≤lbn＜k。因为k为整数，
所以有k-1 = lbn，即k= lbn + 1。同样利用(5-3)式有2k-1＜
n+1≤2k，取对数得k-1＜lb(n+1)≤k，因而k= lb(n+1)。命题成
立。
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第5章 树
5.3 二叉树的存储结构
5.3.1 顺序存储结构 顺序存储结构是将二叉树的所有结点，按照一定的顺序
第5章 树
第5章 树
5.1 树的基本概念 5.2 二叉树 5.3 二叉树的存储结构 5.4 二叉树的遍历 5.5 树和森林 5.6 线索二叉树 5.7 二叉树的应用
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第5章 树
5.1 树的基本概念
定义1 树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集合T，它满足如 下两个条件：
(1) 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点，它没有前 趋；
第5章 树
性质2 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k≥1)。
k
2i1 2 k 1
i1
(5-1)
证明：性质1给出了二叉树每一层中含有的最大结点数， 深度为k的二叉树的结点总数至多为2k-1个。故命题成立。
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第5章 树
性质3 对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度 为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
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第5章 树
5.4 二叉树的遍历
5.4.1 二叉树的深度优先遍历 1. 先序遍历算法 先序遍历算法的遍历过程是，若二叉树非空，执行以下
操作： (1) 访问根结点； (2) 先序遍历左子树； (3) 先序遍历右子树。
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第5章 树
图5-8 二叉树的遍历过程
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第5章 树
图5-9 算法执行过程示意图
证明：设度为1的结点数为n1，则一棵二叉树的结点总 数为
n=n0+n1+n2
(5-2)
除根结点外，其余结点都有一个进入的分支(边)，设B
为分支总数，则n=B+1。又考虑到分支是由度为1和2的结点
发出的，故有B=2n2+n1，即
n=2n2+n1+1
比较式(5-1)与式(5-2)可得n0=n2+1。命题成立。
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第5章 树
5.4.2 二叉树的广度优先遍历 二叉树的广度优先遍历又称为按层次遍历。这种遍历方
式是先遍历二叉树的第一层结点，然后遍历第二层结 点，……最后遍历最下层的结点。而对每一层的遍历是按从 左至右的方式进行的。
(5-3)
第5章 树
性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 lbn + 1或
lb(n + 1)。
注：x表示不大于x的最大整数；x表示不小于x的最小
整数。
证明：由完全二叉树的定义可知，一个k层的完全二叉树
的前k-1层共有2k-1-1个结点，第k层上还有若干结点，所以结
点总数n满足关系：
2k-1-1＜n≤2k-1
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第5章 树
图5-6 二叉树链式存储的结点结构
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第5章 树
图5-7 链表存储结构
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第5章 树
5.3.3 二叉树的建立 二叉树的建立是指如何在内存中建立二叉树存储结构。
二叉树顺序存储结构的建立比较简单，只须将二叉树各个结 点的(信息)值按原有的逻辑关系送入相应的向量单元中即可。
建立二叉树链式存储结构的算法有多种，它们依赖于按 照何种形式来输入二叉树的逻辑结构信息。一种常见的算法 是按照完全二叉树的层次顺序，依次输入结点信息来建立二 叉链表。对于一般二叉树，首先必须通过添加若干个虚结点 使其成为完全二叉树，然后建立二叉链表。
化方式，存储到一片连续的存储单元中。结点的顺序将反映 出结点之间逻辑关系。
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第5章 树
图5-4 完全二叉树的结点编号
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第5章 树
表 5-1 完全二叉树的顺序存储
编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
结点值
ABCDE FGH I J
H8
图5
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第5章 树
图5-5和表5-2给出了一般二叉树构成完全二叉树并用顺 序存储结构存储的示例。其中方形结点为虚结点，并用符号 @表示结点值。
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图5-3 满二叉树、完全二叉树和一般二叉树
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第5章 树
性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 证明：可用数学归纳法予以证明。 当i=1时，有2i-1=20=1，同时第一层上只有一个根结点， 故命题成立。 设当i=k时成立，即第k层上至多有2k-1个结点。 当i=k+1时，由于二叉树的每个结点至多有两个孩子， 因此第k+1层上至多有22k-1=2k个结点。故命题成立。
(2) 其余的结点可分成m个互不相交的有限集合T1，T2， …，Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为根的子树。 将n=0时的空集合定义为空树(有的书上将n=1的集合定义为 空树)。
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第5章 树
图5-1 学校的教学组织机构图
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第5章 树
5.2 二 叉 树
定义2 二叉树是n(n≥0)个结点的有限集，它或为空树 (n=0)，或由一个根结点及两棵互不相交的、分别称做这个根 的左子树和右子树的二叉树构成。
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2. 中序遍历算法 中序遍历算法的遍历过程是，若二叉树非空，执行以下 操作： (1) 中序遍历左子树； (2) 访问根结点； (3) 中序遍历右子树。
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第5章 树
3. 后序遍历算法 后序遍历算法的遍历过程是，若二叉树非空，执行以下 操作： (1) 后序遍历左子树； (2) 后序遍历右子树； (3) 访问根结点。
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图5-5 一般二叉树的结点编号
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表 5-2 一般二叉树的顺序存储
编号 0 1 2 3 4 5 6 7
结点值
A B C @@@D
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5.3.2 链式存储结构 链式存储是二叉树的一种自然链接方法。在一定的条件
下，链式存储可节省存储单元。因为二叉树的每个结点至多 有两个孩子，所以采用链式存储结构来存储二叉树时，每个 结点应至少包括三个域：结点数据域(data)、左孩子指针域 (lchild)和右孩子指针域(rchild)。二叉树链式存储结构的结点 逻辑结构如图5-6所示。
由二叉树的定义可以给出二叉树的五种基本形态，如图 5-2所示。当n=0时得到空二叉树；n=1时得到仅有一个根结 点的二叉树；当根结点的右子树为空时，得到一个仅有左子 树的二叉树；当根结点的左子树为空时，得到一个仅有右子 树的二叉树；当左、右子树均非空时，得到一般的二叉树。
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第5章 树
图5-2 二叉树的基本形态
(5-4)
可推出2k-1≤n＜2k，取对数后可得k - 1≤lbn＜k。因为k为整数，
所以有k-1 = lbn，即k= lbn + 1。同样利用(5-3)式有2k-1＜
n+1≤2k，取对数得k-1＜lb(n+1)≤k，因而k= lb(n+1)。命题成
立。
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第5章 树
5.3 二叉树的存储结构
5.3.1 顺序存储结构 顺序存储结构是将二叉树的所有结点，按照一定的顺序
第5章 树
第5章 树
5.1 树的基本概念 5.2 二叉树 5.3 二叉树的存储结构 5.4 二叉树的遍历 5.5 树和森林 5.6 线索二叉树 5.7 二叉树的应用
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第5章 树
5.1 树的基本概念
定义1 树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集合T，它满足如 下两个条件：
(1) 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点，它没有前 趋；