生产函数

O
L0
B
L
多种变动投入的最优组合—生产者均 衡
产量既定成本最小
K A3 A2 M A1 K0
E
P dK 斜 = 率 =− L dL P K
MRTSLK =
P L P K
MP P 或 L= L MP P K K MP MP 或 L= K P P L K
N
Q0
O
L0
B1
B2 B3
L
π (L，K ) = P • f (L，K ) − (wL + rK )
2． 总产量曲线 、 平均产量曲线和边际产量 ． 总产量曲线、 曲线 1）总产量曲线 ） 2）平均产量曲线 ） 是总产量曲线上每点的射线的斜率。 是总产量曲线上每点的射线的斜率。 3） 边际产量曲线 ） 是总产量曲线上每点的切线的斜率。 是总产量曲线上每点的切线的斜率。
Q
g q
•
•
•
•
m•
AP L• 1 MP
MPL
——— = ——
MPK
w
r
最优投入组合条件： 最优投入组合条件：
ＭＰL/ ＭＰK＝ＰL/ＰK Ｐ
均衡条件: 等产量线与等成本线相切,斜率相 等 MRTSLK=MPL/MPK =W/R 单位劳动的边际产量=单位资本的边际产量 数学方法:
第七节 生产的扩展线 （Expansion path） ） 扩展线： 一.扩展线：生产者均衡点的轨迹。 扩展线 生产者均衡点的轨迹。
0 L
等产量曲线
MRTS
在维持产量不变的条件下，增加一单位一种要素必 须放弃的另外一种要素的数量。 公式
MRTS的性质
MRTS是等产量线的切线斜率 反映的是两种要素的替代能力 MRTS的大小等于两种要素的边际产量之比

第四节 长期生产函数 四、规模报酬
第四节 长期生产函数
四 规模报酬
K
❖ 产量增加的比例大 K3
于各种生产要素增
K2 K1
加的比例，称之为
规模报酬递增。
o
K
❖ 产量增加的比例等
于各种生产要素增
加的比例，称之为
规模报酬不变。
o
R
·A ·B·C
Q3=300 Q2=200
Q1=100
L1 L2 L3
L
R
Q3=300 Q2=200 Q1=100
[资料] 瓦西里·W·里昂惕夫
❖ 1921年，在列宁格勒大学学习； ❖ 1925年，在德国柏林大学学习； ❖ 1928～1929年，任国民党政府
铁道部经济顾问； ❖ 1931年，移居美国纽约； ❖ 1931～1975年，哈佛大学任教； ❖ 1941年， 出版成名作 《 美国
的经济结构1919-1929 》； ❖ 1973年，获诺贝尔经济学奖。
L
[案例] 烧饼哥新开分店
[案例] 烧饼哥新开分店
K
R
Q3=1500 Q2=1000
o
Q1=500 L
❖ 通过与必胜客的交流， 他之前遇到的人力、管 理和成本压缩等问题得 到了指导和传授。
第四节 长期生产函数 四、规模报酬
第四节 长期生产函数
四 规模报酬
K
❖ 产量增加比例小于
要素增加比例，称
R Q3=300
[资料] C-D函数的特性
[资料] C-D函数的特性
❖ 产出对规模的❖弹P性au等l H于. 产Do出ug对la要s与素的弹性之和： ChEarλl=esEWL+. CEKobb共
❖ α是劳动的边际产同出探与讨平了均投产入出和的产比值： ❖ β是资本M的P边L/A际P产出1制L8=出关造9(9A与系～业α平，1的L9α均研生2K2β产究产年)/(出了。美A的L国α比Kβ值) =。α ❖ 生产扩张是一条直线(边际技术替代率是常数)： ❖❖劳假前时动设 提 劳与条 ； 动资(件 边2本)： 际要M的产(素R1替T)出的劳S代递L边动K弹减际=与性，M产资：P出本固σL/=大同定M1于P时劳K零作动=α；为时/β(获资3)得本固产边定出际资的产本 ❖ 要出素也的递边减际；产(4出)非递负减性。；(5)要素间彼此可替代。

Q AL K

1
A为规模参数，A>0， α表示劳动贡献在总产量中所占份额 （0<α<1）， 1－α表示资本贡献在总产量中所占份额 资本不变，劳动单独增加1%，产
量将增加1%的3/4，即0.75%； 劳动不变，资本增加1%，产量将 增加1%的1/4，即0.25%。 劳动和资本对总量的贡献比例为 3:1。
Q f L, K Q
Q
0
合不同，但产量却相同。
与无差异曲线的比较？
O
L
等产量曲线举例
Q K L
1
2
3
4
5
1
2 3
20
40 55
40
60 75
55
75 90
65
85 100
75
90 105
4
5
65
75
85
90
100
105
110
115
115
120
等产量曲线举例
K
5 4 H
A D I F Q1 = 55 0 Q3 = 90
二、短期生产函数
1、总产量TP、平均产量AP和边际产量MP

总产量（Total Product）

投入一定量的生产要素后，所得到的产出量总和。 平均每单位生产要素投入的产出量。 AP = TP / L

平均产量（Average Product）


边际产量（Marginal Product）
3、交易成本：围绕着交易所产生的成本。 一类交易成本产生于签约时交易双方面临的偶然因素所带来
的损失。 这些偶然因素太多而无法写进契约。 另一类交易成本是签订契约，以及监督和执行契约所花费的 成本。

生产函数模型
生产函数模型是一种描述生产过程的数学模型，它用数学方程式的形式将生产过程中的输入与输出联系起来。

生产函数模型通常表示为：
Y = f(K, L, M, ...)
其中，Y表示产出量，K、L、M表示生产要素，如资本、劳动、原材料等。

f表示生产函数，它描述了不同生产要素对产出量的影响关系。

生产函数模型可以用来评估效率、成本等关键生产要素的影响，为决策提供依据。

例如，生产函数模型可以帮助企业确定最优生产要素的组合，以获得最大的产出量和利润。

它也可以用来分析不同产业和国家之间的生产效率差异，评估经济政策的影响，优化资源配置等。

已知某厂商的短期生产函数为Q=72L+15L2-L3，其中Q和Ｌ分别代表一定时期内的生产产量和可变 要 素投入量。求： （1）求APL和MPL （2）当L投入量为多大时，MPL递减 （3）该厂商的最大产量是多少? 为达到这个最大产量，L的投入量应为多少? 解：（1）APL=72+15L-L2 MPL=72+30L-3L2 （2）对MPL求导 30-6L=0 L=5 投入量超过5开始递减 （3）另MPL=0 L=12或者-2（舍去） 最大产量为12，Q=1296
在E点，两线斜率相等：
w MRTSLK r
或者MPL / w = MPK / r
规模扩大中投入与产出的关系
• （1）产出增加的比例大于投入增加的比例（规模经济）
• 当厂商从最初的极小规模开始扩张时，往往会出现这种情况。其主要 原因如下:
• 第一，具有较髙技术水平的机器设备的使用对生产规模有一最低限度 的要求。
（2）等产量线的特征。
A. 向右 下 方倾 斜 ， 斜 率为负。 表明：实现同样产量， 增加一种要素，必须减少 另一种要素。
B. 凸向原点。 C.同一平面上有无数条
等产量线，不能相交。
极端形态的等产量曲线
直线型等产量线。
技术不变，两种要素之 直角型等产量线。
间可以完全替代，且替 技术不变，两种要素只能
第四课、生产函数
生产函数 在一定的技术条件下，如果投入的生产要素数量给定，那么，产出 量就被确定了。如果投入的生产要素数量变化了，那么，产出量就 会随之变化。如果技术水平提高了，那么，要素投入量不变，产出 量会提高。生产函数的一般形式就是：
生产函数描述了在一定的技术水平条件下，各种生产要素投入量与 最大产量之间的实物量关系。

总产量、平均产量、 总产量、平均产量、边际产量
Q 最高点
TP
0 4 6 9 MP L
AP
三条产量曲线关系的特点： 三条产量曲线关系的特点：
1.三条产量曲线都是先升后降. 1.三条产量曲线都是先升后降. 三条产量曲线都是先升后降 2.边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均 2.边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均 产量曲线的最高点. 产量曲线的最高点. 3.边际产量=0,总产量最大 边际产量<0, 边际产量=0,总产量最大; <0,总产 3.边际产量=0,总产量最大;边际产量<0,总产 量绝对减少 4.TP、AP曲线之所以先升后降都是由MP曲线 曲线之所以先升后降都是由MP 4.TP、AP曲线之所以先升后降都是由MP曲线 决定。 决定。
（三）可变投入量的合理区间
Q 最高点 TP
一
0
二
三
L 4 6 9 AP MP
长期生产函数—两种生产要素 第三节 长期生产函数 两种生产要素 的最适组合
一.等产量线 二.等成本线 三.生产要素最适组合
一.等产量线
1.等产量线: 1.等产量线: 能生产相等产量的两 等产量线 种生产要素的不同数量的组合. 种生产要素的不同数量的组合.
L2
L
2.等产量线的特征:
K
Q3 Q1 o Q2 L
边际技术替代率 MRTS (marginal rate of technical substution)
边际技术替代率是维持相同的产量水平时, 边际技术替代率是维持相同的产量水平时, 增加一单位生产要素与另一生产要素所 减少的数量的比率. 减少的数量的比率. MRTSLK= -ΔK/ΔL = MPL/MPK • ΔTPL = -ΔTPK • ΔL • MPL = -ΔK• MPK • -ΔK/ΔL = MPL/MPK

一、供给函数1. 供给函数是指在某一时期内，各种商品或服务的供给数量与商品或服务的价格之间的关系。

它反映了在不同价格水平下的供给情况，通常用数学函数的形式进行表达，其一般形式可以表示为Qs = f(P)，其中Qs表示商品或服务的供给数量，P表示商品或服务的价格，f(P)表示价格P下的供给函数。

2. 供给函数可以帮助市场参与者了解和预测供给方面的情况，如在价格上涨时供给数量的增加情况，或在价格下跌时供给数量的减少情况。

供给函数也是市场经济中决定市场平衡价格和数量的重要工具，通过对供给函数的分析可以得出供给曲线，帮助市场参与者做出合理的决策。

3. 供给函数在经济学理论中具有重要意义，它不仅可以用来分析商品或服务的供给情况，还可以用来研究税收政策、补贴政策等对供给数量的影响，是经济学领域中的基础理论之一。

二、生产函数1. 生产函数是指在一定时间内，生产者通过投入一定数量的生产要素（如劳动力、资本、土地等）来生产出一定数量的产品或服务的关系。

它通常用数学函数的形式表示，一般形式可以表示为Q = f(K, L)，其中Q表示生产的产量，K表示资本投入，L表示劳动力投入，f(K, L)表示生产函数。

2. 生产函数是生产理论中的一个重要工具，它可以帮助生产者了解和预测生产过程中的产出情况，如在投入增加时产出的增加情况，或在投入减少时产出的减少情况。

生产函数也是确定合理生产要素投入组合、提高生产效率的基础。

3. 生产函数的研究对于生产计划、生产组织、生产管理等方面具有重要意义，通过对生产函数的分析可以帮助生产者优化资源配置，提高生产效率，实现经济增长和社会发展。

三、成本函数1. 成本函数是指在一定时间内，生产者在生产一定数量的产品或服务过程中所用到的各种成本与生产数量之间的关系。

它通常用数学函数的形式表示，一般形式可以表示为C = f(Q)，其中C表示生产成本，Q表示生产数量，f(Q)表示成本函数。

2. 成本函数是生产理论中的一个重要工具，它可以帮助生产者了解和预测生产过程中的成本情况，如在产量增加时成本的增加情况，或在产量减少时成本的减少情况。

一、生产函数基础知识二、经济增长理论三、生产者行为理论四、消费者行为理论五、完全竞争市场和一般均衡六、不完全竞争市场七、博弈论八、要素市场九、市场失效和公共选择生产函数一、生产函数的概述（一）生产函数的概念生产函数是生产过程中投入与其产出之间的一种函数关系。

即，一定时期内，在技术水平不变的情况下，投入生产要素的某种组合与其所能产出的最大产量之间的关系，一般可以写为Y=f(K,L,A,…)其中，Y—产出；K—资本；L—劳动力；A—技术。

（二）生产函数的特性1.生产函数：y=f（x1，x2，…，222211212222212() n n n n n y y y x x x x x y x x y y y x x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦xn ），递增的凹函数/0i y x ∂∂>凹函数：H= 为负定对称阵2.齐次性与规模报酬为了简便，常常假定只有资本和劳动力两种投入要素，那么生产函数变为),(L K f Y =规模报酬：又称规模收益，研究当要素量扩大相同倍数，产出量扩大的情况。

，固定规模收益：对所有t 0f（tx）=tf（x）都成立，生产函数是一阶齐次的。

规模收益递减：如果产出增加的比例小于各投入要素增加的比例，对所有t>1都有f（tx）<tf(x)规模收益递增：如果产出增加的比例大于各投入要素增加的比例，对所有t>1都有f（tx）>tf(x)在长期生产过程中，企业的规模报酬一般都会经过这样三个阶段的变化，即：规模报酬递增→规模报酬不变→规模报酬递减。

3.等产量曲线等产量曲线是指在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合的点的轨迹。

以常数Q表示既定的产出水平，则相应的生产函数为Y=f(K,L)=Q等产量曲线具有三个特点：①平面内有无数条曲线，且离原点越远代表产量水平越高；②各曲线不相交；③各曲线凸向原点，即曲线上各点的斜率为负且斜率的绝对值逐渐减小。

第 4 章 生 产 决 策
70 60 50 40 30 20 10 0 -10
第二节 短期生产函数
四、生产的三个阶段
C B
第Ⅰ阶段
A
A´
TP AP 第Ⅱ阶段 第Ⅲ阶段 MP
第Ⅰ阶段（原点→B点） 阶段（原点→ 结论：增加L是有效的 结论：增加L 第Ⅱ阶段（B点→C点） 阶段（
Q
B´
C´
L1 L2
L3
一、等产量曲线 二、等成本曲线 三、多种生产要素投入的最优组合
)或
第 4 章 生 产 决 策
第三节 长期生产函数
一、等产量曲线
指在技术水平不变条件下生产同一产量的产品所 需两种生产要素投入量的各种不同组合点的轨迹。
生产函数 （Q=2L0.5K0.5）
要素组合 劳动L 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 6 9 12 18 资本K 36 18 12 9 6 4 3 2
含 义
)或
第 4 章 生 产 决 策
第三节 长期生产函数
一、等产量曲线
特征
1. 距离原点越远的等产量曲 线所代表的产量越大； 2. 在同一等产量曲线图上， 两条不同的等产量曲线不 能相交； 3. 等产量曲线向右下方倾斜， 其斜率为负； 5. 等产量曲线凸向原点，其 斜率的绝对值是递减的。
)或
第 4 章 生 产 决 策
=−
P L P K
第 4 章 生 产 决 策
第三节 长期生产函数
等成本曲线的移动
随着投入要素价格的变化 和总生产费用的变化，等 成本线会发生相应的变动。 当要素价格不变，而可投 入资金数量发生变化时， 等成本线同样会发生变动。
价格变化
数量变化

TPL f(L,K )
TPL(L,K ) APL L
TPL(L,K ) MPL L TPL(L,K ) dTPL(L,K ) 或MPL Lim l 0 L dL
若生产函数为：
Q f (L , K )
TPK (L ,K ) APK K
TPK f(L ,K )
max Q P PL L PK K d d (Q P PL L PK K ) 0 dL dL dQ PL dQ MPL P PL 0 dL P dL
问题：如何解释这一结果？
第四节 长期生产函数
一、长期生产函数
长期生产函数的公式为：Q=f(X1，X2，„，
D A O
K
M RTS L K
脊线
B
A
Q1 O
M RTS L K 0
Q2
Q3
L
三、等产量曲线的具体形状
1、固定替代比例生产函数：表示在每一产量水平上任 何两种生产要素之间的替代比例都是固定的。其公式 为：Q=aL+bK，图4-6（a） 2、固定投入比例生产函数，又称里昂惕夫生产函数。
L
L
三、边际报酬递减规律
（1）含义。在技术水平不变的条件下，在连 续等量地把某一种可变要素增加到其他一 种或几种数量不变的生产要素上去的过程 中，当这种可变生产要素的投入量小于某 一特定值时，增加该要素投入所带来的边 际产量是递增的；当这种可变要素的投入 量连续增加并超过这个特定值时，增加该 要素投入所带来的边际产量是递减的。
四、三种产量的相互关系：
（1）图形分析。如图 Q D C
第Ⅰ阶段
TPL
第Ⅱ阶段 第Ⅲ阶段

B A O

微观经济学第四章生产函数第一节厂商生产者（厂商/企业）含义：指能够作出统一的生产决策的单个经济单位一、厂商的组织形式组织形式：个人企业（单个人独资经营的厂商组织）合伙制企业（两个人以上合资经营的厂商组织）公司制企业（按公司法建立和经营的具有法人资格的厂商组织）二、企业的本质三、厂商的目标——追求最大化利润第二节生产生产技术决定成本生产技术是指生产过程中投入量与产出量之间的关系一、生产函数厂商进行生产的过程就是从投入生产要素到生产出产品的过程生产要素：土地、劳动、资本、企业家才能生产函数（表示生产要素的投入量与最大产量之间的关系）含义：表示在一定时期内，在一定技术条件下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系表达式：Q=f（X1,X2,X3............,X N）Q最大产量X生产要素的投入量有N种生产要素Q=f（L,K）L劳动投入数量K资本投入数量（假定只使用资本和劳动）二、短期生产与长期生产1.短期1)含义：指生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的时间周期2)不变投入：生产者在短期内无法进行数量调整的那部分要素投入是不变要素投入3)固定投入：生产者在短期内可以进行数量调整的那部分要素投入是可变要素投入2.长期含义：指生产者可以调整全部生产要素的数量的时间周期。

第三节短期生产函数一、短期生产函数1.假定资本投入量是固定的，劳动投入量是可变的2.短期生产函数：）K L,（f =Q 二、总产量、平均产量和边际产量1.总产量、平均产量和边际产量的概念短期生产函数：表示在资本投入量固定时，由劳动投入量变化所带来的最大产量的变化（劳动投入量与最大产量之间的关系）1)总产量（TP ）劳动的总产量（TP L ）含义：指与一定的可变要素劳动的投入量相对应的最大产量定义公式：）K L,（f =TP L 2)平均产量（AP ）总产量÷投入量劳动的平均产量（AP L ）含义：指平均每一单位可变要素的投入量所生产的产量定义公式：）K L,（P T =AP L L 3)边际产量（ＭＰ）产量增加量÷投入量增加量劳动的边际产量：指每增加一单位可变要素劳动的投入量说增加的产量定义公式：dL）K L,（P T L ）K L,（P T =MP L L L d =??2.总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线先呈上升趋势，而后达到各自的最高点以后，再呈下降的趋势三、边际报酬递减率1.内容：在技术水平不变的条件下，在连续等量地把某种可变生产要素增加到其他一种或集中不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素所带来的边际产量是递减的。

O
K、L
图4-8 规模报酬的三种情况
规模报酬
Q 规模报酬递增 规模报酬不变
规模报酬递减
假设生产函数Q=f (L, K)为n 阶齐次生产函数，当全部要 素投入量变动λ时，产量变动 为λn，生产函数的公式为 Q·λn =f (λL,λK) ● n＞1为规模报酬递增 ● n＜1为规模报酬递减
O
K、L
● n = 1为规模报酬不变
4 3 2 1 O 4 ·C
·D
假定既定的成本为C， 假定既定的成本为 ，劳动 和资本的价格分别为P 和资本的价格分别为 L和PK， 只要生产要素的价格不会因为其 购买量的变动而有所变动， 购买量的变动而有所变动，等成 本线就是一条直线， 本线就是一条直线，它的方程式 为：C=PLL+PKK
B= C P L
二、柯布—道格拉斯生产函数 柯布 道格拉斯生产函数
1928年，美国经济学家柯布和道格拉斯根据历史 统计资料，研究了1899年到1922年之间美国的劳动和 资本这两种生产要素对产量的影响，提出了这一时期 美国的生产函数。 该生产函数的一般形式为： Q=ALα Kβ 柯布和道格拉斯对这一时期有关统计资料估算得 出A值为1.01，α值为0.75，β值为0.25，代入上述公式： Q=1.01L3/4·K1/4
生产要素的最优组合
● MRTSLK =
K M M Ke E N O C1 Le C2 Q C3 L Ke E Q3 Q2 Q1 L
MP P L =L K = P P L K
K
O
N Le
图4-6 产量既定条件下成本最小的要素组合
图4-7 成本既定条件下产量最大的组合
六、生产的三个阶段
Q Ⅰ B TP A D E O L1 L2 L3 MP AP L Ⅱ C 负收益阶段 Ⅲ

经济总量生产函数公式（TPL，APL，MPL表达式及相互关系；固定替代比例的生产函数、固定投入比例的生产函数和柯布道格拉斯生产函数）一、相关考点（一）短期生产函数（在短期内，假设只有生产要素劳动L可变）1、总产量TPL：指短期内，在生产规模不变的情况下，利用一定数量的生产要素所生产产品的全部数量。

2、平均产量APL：指平均每一单位可变要素的产量，即总产量除以可变要素投入量的商。

3、边际产量MPL：指增加一单位可变要素的投入所增加的产量。

（二）常见生产函数1、固定替代比例的生产函数替代率生产函数是指每个产出水平上任意两个生产要素之间的替代率是固定的。

Q：产量；L：劳动要素投入量；K：资本要素投入量；常数a、b>02、固定投入比例的生产函数固定投入比生产函数(fixed input ratio production function)也称为列昂惕夫生产函数(Leontief production function)，是指每个产出水平上任意一对要素投入之间的比率是固定的生产函数。

Q：产量；L：劳动要素投入量；K：资本要素投入量；U：固定的劳动生产技术系数；V：固定的资本生产技术系数。

生产函数的含义：产量取决于L/U、K/V这两个比值中较小者，即使其中一个比例数值很大，也不会因此提高产量。

3、柯布道格拉斯生产函数Q：产量；L：劳动要素投入量；K：资本要素投入量；α：劳动所得在总产量中所占的份额；β：资本所得在总产量中所占的份额；0<α、β<1，若α+β<1，表示生产规模报酬递减；若α+β=1，表示生产规模报酬不变；若α+β>1，表示生产规模报酬递增。

二、常见考点1.对于短期生产函数的考点，其中的联系是考察的重点，在计算题和简答题中都会涉及到。

2.在常见的生产函数类型中，柯布道格拉斯生产函数是被研究最多的，计算问题是被研究最多的。

另外两个生产函数也可以在计算问题中看到。

三、答题技巧1.在回答短期生产函数中三个概念的联系时，结合图形是关键。

二、效率概念
在一定的投入要素组合上，如果生产达到了 可能的最大产量，就称生产实现了技术效率。 当一个企业以可能的最低成本生产出特定数 量的产品时，就称生产实现了经济效率。
Managerial Economics
三、时间框架
– 固定投入：一定时期内无法改变其投入量的 投入要素。
– 可变投入：可以调整其投入量的投入要素。 – 短期内固定投入不可能变化，可变投入却可
例3：某生产过程，已知其劳动力的边际产量 为MPL=10(K0.5/L0.5)，资本量是固定的，为 64单位，工资为每人10元，产品售价为每件5 元，请找出它最优的人工投入量。
Managerial Economics
例4：工人人数与产量之间的关系如下： Q=98L-3L2
假定产品的单价20元，工人每天的工资均为40 元，而且工人是唯一可变的投入要素，问为谋 求利润最大，每天应雇佣多少工人？
Managerial Economics
三、最优投入量的确定 1.边际产量收入：增加一个可变投入要素所增加的收入
TR MRPL L
TR TP
TP L
MR
MPL
2.边际支出：增加一个可变投入要素所增加的总成本
MFC L
TCL L
3.最优投入量
MRPL MFCL
Managerial Economics
– 当产量的变化大于投入量的变化时，称为规 模收益递增。
– 当产量的变化小于投入量的变化时，称为规 模收益递减。
Managerial Economics
如果两种投入要素K和L的投入量都增加λ倍，会使 产量增加h倍，即
ｈQ=f（λ K，λ Ｌ）
系数关系
ｈ＞λ
ｈ=λ ｈ＜λ

生产函数模型第一节生产函数及其性质一、 生产函数生产函数是经济学研究的一个重要函数， 它表示在一定技术条件下，生产要 素的某种组合同它可能生产的最大产出量之间的数量关系。

生产函数可以代表一 个企业的生产过程，也可以代表一个部门的生产过程， 在宏观经济模型中，它可 以代表将整个经济系统看作是一个总合企业时的生产过程。

假定有n 种生产要素，其投入量 分别为X i ,X 2，…,X n ，生产处于最佳状态 时，最大产出（生产）量为 Q ，生产函数可表示为Q = f X i ,X 2, ,X n（ 3.1.1）生产函数表示了生产要素的投入与产出之间的技术关系， 这里的“技术关系” 是指在一定的时间内，技术水平不变的情况下，生产中的要素投入与最大产出量 之间的关系。

二、 关于生产函数的几个基本概念 （一）平均产量和边际产量总产量被某一投入要素量除就是该要素的平均产量。

如投入要素 X i 的平均产量记AP一种投入要素量增加一个单位，其它投入要素量不变时，产出的增加量称作 边际产量。

边际产量可用导数表示，如投入要素 X i的边际产量记作MP j(3.1.2)（二）边际替代率在技术水平不变的情况下，保持总产量不变，投入要素之间存在着替代性， 研究第i 种投入要素增加一个单位，可以减少第j 种投入要素的投入量，称作第i 种投入要素对第j 种投入要素的边际替代率，也称技术替代率。

用MRS j 表示要ARQ X i素i对要素j的边际替代率用增量形式表示：MRS j=—凶（这里X, X异号）①△X idX-用微分形式表示：MRS j=—j（323）j dX i对（3.1.1）式全微分，只考虑第i种投入要素和第j种投入要素的变动，其它投入要素不变，则有cf adQ dX i dX-「X i 「X j保持总产量不变，即dQ=O,得出dX- ；：f/；：Xj MP i即MRS-二空（3.1.4）j MP j第i种投入要素对第j种投入要素的边际替代率是它们边际产量的比率。

生产要素与生产函数生产要素是指在生产过程中所使用的资源和要素，包括劳动力、资本、土地和创新力等。

这些要素相互配合，通过生产函数来转化为产出。

生产函数可以用来描述生产要素与产出之间的关系，是经济学中重要的概念之一。

一、劳动力劳动力是指人们参与生产活动的能力和行动，是生产过程中不可或缺的生产要素。

从劳动力的角度来看，生产函数可以表示为：Y = F(L, K, T, X)其中，Y代表产出，L代表劳动力的数量，K代表资本的数量，T代表土地的数量，X代表创新力或技术水平。

这个生产函数的含义是，产出取决于劳动力、资本、土地和创新力的投入程度。

二、资本资本是指生产过程中用于生产其他商品或服务的工具、设备和机器等物质财富，也是生产过程中重要的生产要素。

从资本的角度来看，生产函数可以表示为：Y = F(L, K, T, X)在这个生产函数中，资本的数量K是影响产出的重要因素之一。

当投入更多的资本时，产出也会相应增加。

因此，资本的增加可以提高生产效率和产出水平。

三、土地土地是指自然界提供的地球表面自然资源，包括农田、森林、矿产、水资源等。

在生产过程中，土地作为一种生产要素，也对产出起着重要影响。

从土地的角度来看，生产函数可以表示为：Y = F(L, K, T, X)在这个生产函数中，土地的数量T是影响产出的重要因素之一。

不同类型的土地对不同的产出具有不同的影响，因此在生产中要根据土地的特性进行合理配置和利用。

四、创新力创新力是指通过技术进步、科学研究和创新活动等方式，提高生产效率和推动经济发展的能力。

在生产过程中，创新力对生产要素的利用和产出的提高起着重要作用。

从创新力的角度来看，生产函数可以表示为：Y = F(L, K, T, X)在这个生产函数中，创新力或技术水平X是影响产出的重要因素之一。

通过提高创新能力和技术水平，可以改进生产方法和工艺，提高生产效率和产出水平。

总结：生产要素与生产函数之间的关系是相互依存的，各个生产要素通过生产函数的配合和转化，共同推动产出的增长和经济的发展。

二、 生产函数 The product function
（一）生产函数 The product function showing the highest output that a firm can produce for every specified combination of inputs. Q=f(x1，x2,…, xn) 生产要素 Factors of production: Inputs into the production process (e.g., labor, capital, and materials) Q=f( L, K )
α
1−α
A为规模参数，A>0， 当α+β=1时 为规模参数， 为规模参数 ， 时 ， α表示劳动贡献在总产出中所 表示劳动贡献在总产出中所 占份额（ ），β 占份额（0<α<1）， （0< β <1 ）， ），表ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ资本贡献在总产出中所 ），表示资本贡献在总产出中所 占份额。 占份额。
A
A
K/L=2/3
2.柯布－道格拉斯生产函数 柯布－ 柯布
生产函数）， （Cobb- Dauglas生产函数），由美国数学家柯 生产函数），由美国数学家柯 布和经济学家道格拉斯于1932年根据历史统计资 布和经济学家道格拉斯于 年根据历史统计资 料提出的。 料提出的。
Q = AL K
α
β
Q = AL K
（二）两种类型的生产函数
1.固定投入比例生产函数 (the Leontief 1.固定投入比例生产函数 production function),表示在每一产量水平上 function),表示在每一产量水平上 任何一对要素投入量之间的比例都是固定 的。 Q=minimum ( L/u, K/v) u, v分别表示生产一单位产品所需要的固定 v分别表示生产一单位产品所需要的固定 劳动投入量，固定资本投入量，又称生产 技术系数。