同济大学高等数学上册期中考试练习题三套(附答案)

2020-2021上海同济大学实验学校高中必修一数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)24．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥5．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,46．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -=B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-7．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞- B ．[1)-+∞， C ．[1,1)- D ．(3,1]-- 8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a10．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．211．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．函数y=232x x --的定义域是 . 14．函数()12x f x =-的定义域是__________． 15．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________16．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___17．设，则________18．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.三、解答题21．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．23．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.24．已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域25．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 26．已知定义域为R 的函数()22xx b f x a-=+是奇函数．()1求a ，b 的值；()2用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；()3若对于任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算3．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.4．B【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 令2x t+=,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．6．B【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.7．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.9．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.10．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.15．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．16．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.17．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．18．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误.【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0 【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．y ＝a （1+b ）x （x ∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件， 第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2， 第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3， …∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）． 故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *） 【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.三、解答题21．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x－6(0≤x ≤3)．令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数．∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26.(2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立，∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10.故a 的取值范围为(－∞，－10]．22．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.【详解】 ()1根据题意，函数()221x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数， 则()0020021a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，()()12121212x xx x f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x ->，()1210x +>，()2210x +>，则()()120f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.23．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =；（2）分段求解函数的最大值，比较可得结果.【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠）， 由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x t f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939t f -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减， 可知6x =时，()()67max 1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象24．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可；（3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域.【详解】 解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-， 即22113212(1)132(1)2a b a b⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=， 则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数；证明如下：设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >，即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <，故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数， 所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-， 故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.25．（1）(1)3f =，(2)5f =；（2）()()f a f b >；详见解析（3）1-.【解析】【分析】（1）根据函数解析式,代入即可求值.（2）根据函数解析式,利用作差法即可比较()f a 、()f b 的大小.（3）将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数m 的最大值.【详解】（1）因为函数()22f x x x=+ 所以()221131f =+= ()222252f =+= （2）()()f a f b >,理由如下:因为1a b >>则()()f a f b -2222a b a b=+-- ()()()2b a a b a b ab -=-++()2a b a b ab ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 因为1a b >>,则2a b +>，1ab >, 所以22ab<,即20a b ab +->,()0a b -> 所以()20a b a b ab ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭即()()f a f b > （3）因为函数()22f x x x=+ 则代入不等式可化为()()22212111x x m x x -+≥-++-- 化简可得243x x m -+≥,即()221x m --≥因为对于一切[]1,6x ∈恒成立所以()2min 21x m ⎡⎤--≥⎣⎦当2x =时,二次函数取得最小值,即1m -≥所以实数m 的最大值为1-【点睛】本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题. 26．(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<-【解析】试题分析：（1）()f x 为R 上的奇函数⇒(0)01f b =⇒=,再由，得1a =即可；（2） 任取12x x R ∈，，且12x x <，计算2112122(22)()()0(21)(2+1)x x x x f x f x --=>+即可；（3） 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立等价于22(2)(2)f t t f t k -<--⇔22(2)(2)f t t f k t -<-⇔2222t t k t ->-⇔232k t t<-恒成立，求函数2()32h t t t =-的最小值即可.试题解析： （1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，1b =.又，得1a =.经检验11a b ==，符合题意.（2）任取12x x R ∈，，且12x x <，则1212211212121212(12)(21)(12)(21)()()2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x --------=-=---- 21122(22)(21)(2+1)x x x x -=+. ∵12x x <，∴12220x x ->，又∴12(21)(21)0x x ++>，∴12()()0f x f x ->，∴()f x 为R 上的减函数（3）∵t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，∴22(2)(2)f t t f t k -<--，∴()f x 为奇函数，∴22(2)(2)f t t f k t -<-， ∴()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-.即232k t t <-恒成立，而22111323()333t t t -=--≥-， ∴13k <-考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式，属中档题；高考对函数性质的考查主要有以下几个命题角度：1.单调性与奇偶性相结合；2.周期性与奇偶性相结合；3.单调性、奇偶性与周期性相结合.。

第一学期高等数学期中考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．已知()()212x x f x f =-+，则()=x f ______________________________．2．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．3．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dxdy _______________． 4．设()x f 为可导的奇函数，且()50='x f ，则()=-'0x f ________________．5．函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 答案：⒈ 3132312-+x x ； ⒉ x x xa r c s i n122--； ⒊ 2212yy x +； ⒋ 5；⒌ 1-．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．数列极限()[]n n n n ln 1ln lim --∞→是________ ． ()A ．1 ； ()B ．1-； ()C ．∞； ()D ．不存在但非∞．2．函数()()x x x x x f ---=322不可导点的个数是______________．()A . 3 ； ()B . 2 ； ()C . 1 ； ()D . 0 ．3．设()x f 可导且()210='x f ，则0→∆x 时，()x f 在0x 点处的微分dy 是____． ()A .比x ∆低阶的无穷小； ()B .比x ∆高阶的无穷小；()C .与x ∆同阶的无穷小； ()D .与x ∆等价的无穷小．4．已知函数()x f 具有任意阶导数，且()()[]2x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，()x f 的n 阶导数()()x f n 为___________．()A .()[]nx f n 2!； ()B . ()[]1+n x f n ； ()C . ()[]n x f 2； ()D .()[]1!+n x f n ． 5．设()()[]2x x f ψ='，其中()x ψ在()∞+∞-，上恒为正值，其导数()x ψ'为单调减少函数，且()00='x ψ，则___________ ．()A ．曲线()x f y =在点()()00x f x ，处有拐点；()B ．0x x =是函数()x f 的极大值点；()C ．曲线()x f y =在()∞+∞-，上是凹的；()D ．()0x f 是()x f 在()∞+∞-，上的最小值．答案：⒈ ()B ；⒉ ()A ；⒊ ()C ；⒋ ()D ；⒌ ()A ．三．（本题满分6分）设0>>a b ，()2a a f ='，求极限()()ab a f b f a b ln ln lim --→． 解：()()()()ab a b a b a f b f a b a f b f a b a b ln ln lim ln ln lim--⋅--=--→→ ()()()()a b a b a b a f b f a b a f b f a b a b a b ln ln lim lim ln ln lim --⋅--=--=→→→ ()3a a a f =⋅'=，四．（本题满分7分）设()A x f x x =→0lim ，极限()x g x x 0lim →不存在，试问极限 ()()[]x g x f x x +→0lim是否存在？并证明之．解：极限()()[]x g x f x x +→0lim 不存在． 反证法：如果极限()()[]x g x f x x +→0lim 存在，由极限()A x f x x =→0lim 存在，可知极限 ()()()()[]()()[]()x f x g x f x f x g x f x x x x x x 000lim lim lim →→→-+=-+ 存在，即极限()x g x x 0lim →存在，这与题设中()x g x x 0lim →不存在矛盾，因此极限()()[]x g x f x x +→0lim 不存在．五．（本题满分7分）设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-=-<-=1arccos 1112x x a x bx x x f ，试确定a 、b 之值，使得函数()x f 在点1-=x 处连续．解：()b f =-1，()()01lim lim 0120101=-==----→--→x x f f x x ，()()()π+=+==+-+-→+-→a x a x f f x x a r c c o s lim lim 010101， 所以，由()()101-=--f f ，得0=b ；由()()101-=+-f f ，得π-=a ．因此，当π-=a ，0=b 时，函数()x f 在点1-=x 处连续．六．（本题满分8分）设函数()x y y =由参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12所确定，求22dx y d ． 解：tt t t dtdx dt dydx dy 2sin 2sin -=-== ， dtdxdx dy dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx y d 122⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()3224c o s s i n 21s i n c o s 21112s i n t t t t t t t t t t t t dt d t -=⋅--='+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ．七．（本题满分8分）求对数螺线θρe =（由极坐标方程给出）在点()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22πθρπ，e 处的切线的直角坐标方程．解：我们将其转换为参数方程()()⎩⎨⎧==θθρθθρsin cos y x ．在本题中，转换后的参变量方程为⎩⎨⎧==θθθθsin cos e y e x ．这时，我们将θ看作参变量，利用参变量方程的求导方法，我们有()()θθθθθθθθθθθs i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s -+=-+==e e d d dydx dy ． 当2πθ=时，1s i n c o s s i nc o s 22-=-+===πθπθθθθθdx dy ，0cos 22==⎪⎭⎫⎝⎛=πθθθπe x ，22sin 2ππθθθπe e y ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=． 因此，所求切线方程为()()012--=-x e y π，即2πe y x =+ ．八．（本题满分8分）求曲线5412--=x x y 的铅直渐近线与水平渐近线．解：由于0541limlim 2=--=∞→∞→x x y x x ； 所以，0=y 是曲线5412--=x x y 的水平渐近线；由于 ∞=--=-→-→541lim lim 211x x y x x ，∞=--=→→541lim lim 255x x y x x 所以，1-=x 与5=x 都是曲线5412--=x x y 的两条铅直渐近线． 九．（本题满分8分）求数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 322的最大项() ，，，321=n ．（已知41.05.1ln ≈） 解：设()xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=322 ()+∞<≤x 1， 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='23ln 232x x x f x，令()0='x f ，得()x f 在()∞+，0内的唯一驻点为 9.423ln 20≈=x 当23ln 21<≤x 时，()0>'x f ；当x <23ln 2时，()0<'x f ． 所以2ln 20=x 是函数()x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=322在区间()+∞<≤x 1上的极大值点，也是最大值点． 由于59.423ln 240<≈=<x ，且()44232163244⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=f ，()()4323503255452f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=， 所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 322的最大项为()2438005=f ． 十．（本题满分9分）论证πe 与e π的大小．解：由于ππln e e e =，因此只需讨论π与πln e 的大小．设()x e x x f ln -=，则()xe xf -='1 令()0='x f ，得函数()x e x x f ln -=的驻点e x =0．由于()02>=''xe xf ，所以函数()x e x x f ln -=在点e x =0处取极小值 ()0=-=e e e f由于点e x =0是函数()x e x x f ln -=的唯一极值点，因而也是函数()x e x x f ln -=的最小值点．因此当e x >时，()()0=>e f x f ．因此由e >π，知()0>πf ，即0ln >-ππe ，或ππln e >所以，ππln e e e >，即ee ππ>． 十一．（本题满分9分）设函数()x f 在闭区间[]10，上可微，对闭区间[]10，上的每一点x ，函数()x f 的值都在开区间()10，内，且()1≠'x f ．证明：在开区间()10，内仅有唯一的一点x ，使得()x x f =．解：（存在性）：令()()x x f x F -=，则函数()x F 在闭区间[]10，上连续，且当[]10，∈x 时，由()10<<x f ，所以，()()0000>-=f F ，()()111-=f F ．因此由连续函数的零点定理，知至少存在一点()10，∈x ，使得()()0=-=x x f x F ．即至少存在一点()10，∈x ，使得()x x f =．（唯一性）：若存在两点()1021，，∈x x ，21x x <，使得()11x x f =， ()22x x f =由Lagrange 中值定理，知至少存在一点1021<<<<x x ξ，使得()()()112121212=--=--='x x x x x x x f x f f ξ 这与题设中任意()10，∈x ，()1≠'x f 相矛盾．因此，在开区间()10，内仅有唯一的一点x ，使得()x x f =．。

同济二附中2007-2008学年度高三数学第一学期期中考试试题满分：150分，完成时间：120分钟．一、填空题（每小题4分，共44分）1、已知函数=+=-)(,12)(1x f x f x 则其反函数____ ．2、设集合=⋂<--=<≤-=N M x x x N x x M 集合则,}032|{}22|{2 ．3、函数()1log 1)(22--=x x x f 的定义域是_______________．4、双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 . 5、4326lim 32+++∞→n n n = ．6、已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为 ．7、抛物线x ay =2的准线方程是x =2，则a 的值为 _.8、设二次函数5)(2++=ax x x f 对于任意t 都有)4()(t f t f --=，且在闭区间［m ，0］上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是 ． 9、下列四个命题：①满足zz 1=的复数只有i ±±,1；密封线内不要题答②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数； ③复数R z ∈的充要条件是z z =； ④复数范围内总有22z z =．其中正确的命题序号是 ．10、三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若a cb c a +=+222且2:)13(:+=c a ，则角C 的大小为 ． 11、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块． 二、选择题（每小题4分，共16分）12、31sin =x 是31arcsin =x 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 13、函数11y x=-的图象是（ ）14、从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ．101 B ．103 C ．201 D ．20315、若α是锐角，316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα,则αcos 的值等于（ ）A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132- 三、解答题 （共90分）16、（本题共12分）已知函数||)(x a x f =的图象经过点（1，3），解不等式3)2(>xf ．17、（本题共14分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥02，π，求()f x 的最大值和最小值． 18、（本题共 14 分）已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．19、（本题共 14 分）已知数列{}n x 中，51,x x 是方程012log 8log 222=+-x x 的两根，等差数列{}n y 满足n n x y 2log =，且其公差为负数， （1）求数列{}n y 的通项公式； （2）证明：数列{}n x 为等比数列；（3）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若对一切正整数n ，a S n <恒成立，求实数a 的取值范围.20、（本题共 18 分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （I ）问第几年开始获利？（II ）若干年后，有两种处理方案：第一种是当年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；第二种是当总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算？21、（本题共18分）设()x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，当x ∈(]1,0时，()342x tx x f -= (t 为常数) (1)求()x f 的表达式；(2)当60≤<t 时, 用定义证明)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66,66t t 上单调递增.； (3)当6>t 时，是否存在t 使()x f 的图象的最高点落在直线12=y 上.若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由.同济二附中2007学年第一学期期中考试高三年级数学学科试题满分：150分，完成时间：120分钟． 命题人：卜荣利 审核人：王桂杰一、填空题（每小题4分，共44分）1、已知函数=+=-)(,12)(1x f x f x 则其反函数__)1(log 2-x ___ ．2、设集合=⋂<--=<≤-=N M x x x N x x M 集合则,}032|{}22|{2{}21|<<-x x．3、函数()1log 1)(22--=x x x f 的定义域是___()()+∞⋃,22,1____________．4、双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 x y 23±= .5、4326lim 32+++∞→n n n = 0 ．6、已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为 . 25．7、抛物线2x ay =的准线方程是2x =，则a 的值为 8_.密封线内不要题答8、设二次函数5)(2++=ax x x f 对于任意t 都有)4()(t f t f --=，且在闭区间［m ，0］上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是 24-≤≤-m ． 9、下列四个命题：①满足zz 1=的复数只有i ±±,1；②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；③复数R z ∈的充要条件是z z =；④复数范围内总有22z z =．其中正确的命题序号是 ③ ．10、三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若ac b c a +=+222且2:)13(:+=c a ，则角C 的大小为 ．11、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖___42n + _________块．二、选择题（每小题4分，共16分）12、31sin =x 是31arcsin =x 的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件13、函数11y x=-的图象是（ A ）14、从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ D ）A ． 101B ． 103C ． 201D ． 20315、若α是锐角，316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα,则αcos 的值等于（ A ）A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-三、解答题 （共90分） 16、（本题共12分）已知函数||)(x a x f =的图象经过点（1，3），解不等式3)2(>xf ． 解：由题意有a=3 ∴f(x)=3|x|由333)2(|2|>>x xf 即即1|2|>x1|2|>xx<0 ∴ 或 x>0 1|2|->x即0 < x < 2或－2 < x < 0∴不等式3)2(>xf 的解集为)20()02(，，⋃-17、（本题共14分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- （I ）求f x ()的最小正周期． （II ）若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥02，π，求f x ()的最大值，最小值解：44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--()()2222cos sin cos sin sin 2cos 2sin 2x x x x x x x=+--=-（I ）的最小正周期为π （II ） 02≤≤x ππππ()f x ∴的最大值为1，最小值为-218、（本题共 14 分）已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：22,3==c a189222=-=-=∴c a b于是椭圆C 的方程为1922=+y x 将2+=x y 代入椭圆方程中，得02736102=++x x 设()()2211,,,y x B y x A ，则512,592,518212121=+-=+-=+y y x x x x 所以线段AB 的中点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,5919、（本题共 14 分）已知数列{}n x 中，51,x x 是方程012log 8log 222=+-x x 的两根，等差数列{}n y 满足n n x y 2log =，且其公差为负数，（1）求数列{}n y 的通项公式； （2）证明：数列{}n x 为等比数列；（3）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若对一切正整数n ，a S n <恒成立，求实数a 的取值范围.略解(1) n y x y x y n -=====7,2log ,6log 525121设{}n x 的公比为)0(>q q .易证（2）2122761==--+n n n n x x ，(3)12821112821121126<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 128lim =∞→n n S ，故所求a 的取值范围为128≥a .20、（本题共 18 分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （I ）问第几年开始获利？（II ）若干年后，有两种处理方案：第一种是当年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；第二种是当总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算？解：（I ）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为f n () ()()5012168498f n n n ∴=-++++-⎡⎤⎣⎦…获利即为()0f n > ，即解之得： 即2.217.1n << 又n N ∈， ∴当3n =时即第3年开始获利（II ）（1）年平均收入当且仅当n =7时取“＝”（万元）即年平均收益，总收益为万元，此时n =7 （2）∴当总收益为1028110+=万元，此时10n =比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种．21、（本题共18分）设()x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，当x ∈(]1,0时，()342x tx x f -= (t 为常数)． (1)求()x f 的表达式；(2)当60≤<t 时, 用定义证明)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66,66t t 上单调递增.； (3)当6>t 时，是否存在t 使()x f 的图象的最高点落在直线12=y 上.若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由. 略解(1) ()342x tx x f -=；(2) 证明略；66tx =时，)(x f 有最大值t t 692； )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡66,0t 上单调递增.(用定义或导数均可)(3) 当6>t 时，166>t，由（2）得)(x f 在[]1,1-上单调递增， 令12)1(=f ，存在8=t ，满足条件.。

一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100C ．100-D ．102002．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+4．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1825．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．6．若ABC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=,2ABCS =,则b =（ ）A ．5B ．25CD．7．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1408．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．403611．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．33C ．55D ．7714．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．1492415．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 19．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______20．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______．21．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 22．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．23．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．24．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 25．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题26．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+（*n N ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 27．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积. 28．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 29．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC 面积的最大值．30．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．A4．B5．A6．A7．B8．D9．D10．D11．D12．A13．D14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要17．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为18．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(119．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两20．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析21．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用22．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a的取值范围【详解】因为正实数xy满足而4x23．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z最小所以故填-624．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误25．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

浙江农林大学 2012 - 2013 学年第 一 学期期中考试卷课程名称： 微积分Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。

2、考试时间 120分钟。

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。

每小题3分，共30分）1．函数f (x )=2+x +ln(3-x )的定义域是 ( ) A ．[-3, 2] B ．[-3, 2) C ．[-2, 3) D ．[-2, 3]2.下列函数中为奇函数的是 （ ）A. ()2x x e e f x -+=B. ()2x xe ef x --=C. 3()cos f x x x =-D. 5()sin f x x x =3.11lim(sin sin )n n n n n→∞-=（ ）A. -1B. 0C. 1D. ∞ 4. 当x→0时，下列函数哪个是x 的高阶无穷小? ( ) A.sinxxB. ln(x+1)C. 1－cosxD. ()1x 1x +5.设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim1x f f x x→--=-，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 ( ) A. 1B. 0C. -1D. -26．已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1sin x x xx k在x =0处连续，则常数k 的取值范围为 ( ) A ．k ≤0 B ．k >0 C ．k >1 D ．k >27.设()e 1x f x x-=，则x =0是函数f (x )的 ( )题号 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 得分 评阅人学院： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线 内 不 要 答 题得分A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 无穷间断点8. 若 y=f(sinx)，则dy= ( ) A. f ′(sinx)sinxdx B. f ′(sinx)cosxdx C. f ′(sinx)dx D. f ′(sinx)dcosx 9．曲线y =2ln33-+xx 的水平渐近线为 ( ) A ．y = -3 B ．y = -1 C ．y = 0 D ．y = 210.函数f (x )= x 2+1在区间[1, 2]上满足拉格朗日中值公式的中值ξ= （ ） A. 1 B.65 C. 54 D. 32二、填空题（每小题3分，共18分）1. 曲线y=x 2－x 在x=1点处的切线方程是 .2.已知33lim 1nkn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k=______.3.设函数f (x )在x =x 0处可导，且0()4f x '=，则()()0002limh f x h f x h→+-=______.4.设函数f (x )=2(1), 0cos , 0x x x a x x ⎧⎪+>⎨⎪≤⎩在点x =0处连续，则a =_________.5.函数f (x )=x -2cos x 在区间[0,2π]上的最小值是_________.6.曲线35)2(-=x y的拐点是 _________.三、计算下列各题（每小题6分, 共24分）1. 求极限12sin lim 20--→x e xx x x得分得分2. 求极限2110lim (1)xx x ex -→+３. 设函数21ln(1)arctan 2x x x y e e e -=++, 求y '．4.设y =y (x )是由方程xy =e x+y 确定的隐函数，求d d y x.四. 试确定常数a,b的值，使函数3sin0 ()ln(1)0x xf xa xb x<⎧=⎨++≥⎩在点x=0处连续且可导. （本题８分）得分五．导数应用题（每小题5分, 共10分）1. 已知函数f(x)=asinx+13sin3x在x=3处取得极值，试确定a的值．并问它是极大值还是极小值？且求出此极值．２．求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点．得分六、证明题（每小题5分, 共10分）１.证明：方程x -2sin x =0在区间(,)2ππ内有且仅有一个实根.２.设0a b >>，证明：ln a b a a ba b b--<<．浙江农林大学 2012 - 2013 学年第 一 学期期中考试卷答案课程名称： 微积分Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）ＣＢＡＣＣ ＢＢＢＡＤ二、填空题（每小题3分，共18分）21.1; 2.1; 3.8; 4.; 5.2; 6.(2,0)y x e =---三、计算下列各题（每小题6分, 共24分）1.220000sin sin cos sin cos limlim lim2122221sin 1lim(cos )42x x x x x x x x x x x x x xe x e x x x x →→→→++==---⋅=+= 2.222200111111ln(1)ln(1)011ln(1)11lim lim 22lim (1)lim lim x x x x x x x x x xx x x x xx x xe x e eeeee→→++---→→→-+-+-+=====３. 设函数21ln(1)arctan 2x x x y e e e -=++, 求y '． 2222arctan 1arctan 2(1)1x xx x x x x x xe e y e e e e e e e---⋅'=-+⋅=-++4.设y =y (x )是由方程xy =e x+y 确定的隐函数，求d d yx. (1),x y x yx ye yy xy ey y x e+++-'''+=+=-学院： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线 内 不 要 答 题四. 试确定常数a,b 的值，使函数3sin 0()ln(1)0xx f x a x b x <⎧=⎨++≥⎩在点x=0处连续且可导. （本题８分） 解：lim ()lim 3sin 0,lim ()lim[ln(1)],(0),x x x x f x x f x a x b b f b --++→→→→===++== 函数()f x 在点x=0处连续, 得 b=0,00000()(0)3sin (0)lim lim 3,()(0)ln(1)(0)lim lim lim ,x x x x x f x f xf x xf x f a x b b a xf a x x x --+++-∆→∆→+∆→∆→∆→∆-∆'===∆∆∆-+∆+-⋅∆'====∆∆∆ 函数()f x 在点x=0处可导, 得 a=3.五．导数应用题（每小题5分, 共10分）1. 已知函数f(x)=asinx+13sin3x 在x=3π处取得极值，试确定a 的值．并问它是极大值还是极小值？且求出此极值．解：()cos cos3f x a x x'=+1()cos cos 10,2,332()sin 3sin32sin 3sin3,()2sin 3sin 30,33f a a a f x a x x x x f ππππππ'=+=-==''=--=--''=--=-<可知()3f π为极大值，且()33f π=２．求曲线y =ln(1+x 2)的凹凸区间与拐点．解：222222(1),,1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=，得1x =±．(,1)1(1,1)1(1,)00(1,ln 2)(1,ln 2)x y y-∞---+∞''-+--　拐点拐点可知曲线y =ln(1+x 2)的凹区间为(1,1)-，凸区间为(,1)-∞-和(1,)+∞, 拐点为(1,ln 2)-和(1,ln2).六、证明题（每小题5分, 共10分）１.证明：方程x -2sin x =0在区间(,)2ππ内有且仅有一个实根.证明: 作函数()2sin f x x x =-，()[,]()20,()2sin 0,222()(,)2()12cos 0,(,)2()[,]()0(,)222sin 0(,)2f x f f f x f x x x f x f x x x ππππππππππππππππππ=-<=-=>'=->∈=-=显然在区间上连续，且 根据根的存在定理知，在区间上存在根．又因为，可知在区间　上严格单调递增，　因此在上有且仅有一个实根，即方程在区间内有且仅有一个实根．２.设0a b >>，证明：ln a b a a ba b b--<<． 证明：()ln ()[,]()()()(),(,)1ln ln ()(,),111ln f x x f x b a f a f b f a b b a a b a b b a b a a ba b a a b a b bξξξξξξ='-=-∈-=-∈<<<<--<<令，则在区间上满足拉格郎日中值定理的条件，得　，即　，因为　即　，得，因此　．。

2024学年同济大学二附中高二数学第一学期期中考试卷满分：150分，完成时间：120分钟一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.2.半径为2的球的表面积为________.3.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱11AD AA ==，2AB =，则异面直线BD 与11B C 所成角的余弦值为______．4.在四面体P ABC -中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0n = ，且()2,2,1CP =- ，则顶点P 到底面ABC 的距离为_____________．5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA B C '''，且//OA B C '''，24OA B C '''==，2A B ''=，则该平面图形的面积为_________.7.三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC ==，则顶点P 在平面ABC 内的射影O 是ABC V 的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）8.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若四边形对角线2==AC BD ，对角线AC 与BD 所成的角为π3，则FH =______．9.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____10.已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是_________．11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足14A P ≤≤的点P 组成，则四面体1P A BC -的体积的取值范围_________.二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）13.已知直线l 和平面α，则“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A.16 B.18 C.20 D.2215.m n 、为空间中两条直线，αβ、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是[)0,π；②经过3个点有且只有一个平面；③若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α．④若m n 、为两条异面直线，且//,//,//,//m n m n ααββ，则//αβ．A.0B.1C.2D.316.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF三、解答题（本题满分78分，共5小题）17.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别是1111C D CC AA 、、的中点．（1）证明：//MN 平面11ABB A ．（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小．（结果用反三角表示）18.如图，已知PA ＝AC ＝PC ＝AB ＝a ，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点．（1）求证：PM ⊥平面ABC ；（2）求直线PB 与平面ABC 所成角的大小．19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若m 6AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？20.如图，AB 是圆柱的底面直径，2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的表面积；（2）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（3）若1AC =，D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值．21.已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.（1）求证：AC PD ⊥；（2）求点D 到平面PBC 的距离；（3）若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点E 此时所在的位置.同济大学第二附属中学2024学年第一学期期中考试高二年级数学学科试卷满分：150分，完成时间：120分钟一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.【答案】平行或异面【解析】【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.故答案为：平行或异面2.半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【解析】【分析】代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.【详解】2R = ，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表,故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.3.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱11AD AA ==，2AB =，则异面直线BD 与11B C 所成角的余弦值为______．【答案】5【解析】【分析】由定义说明DBC ∠是异面直线BD 与11B C 所成角或其补角，然后计算．【详解】因为11//B C BC ，所以DBC ∠是异面直线BD 与11B C 所成角或其补角，在直角BDC中，BD ==，5cos 5BC CBD BD ∠===，故答案为：5．4.在四面体P ABC -中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0n = ，且()2,2,1CP =- ，则顶点P 到底面ABC 的距离为_____________．【答案】【解析】【分析】根据点面距公式代入计算即可得.【详解】由点面距公式得d n CP n ==⋅==故答案为：5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.【答案】2π【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.【详解】设圆锥底面圆半径为r ，则该圆锥底面圆周长为2r π，因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为2π，依题意，22ππ=r ，解得1r =，显然圆锥的母线长2l =，则圆锥侧面积2S rl ππ==，所以圆锥的侧面积为2π.故答案为：2π6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA B C '''，且//OA B C '''，24OA B C '''==，2A B ''=，则该平面图形的面积为_________.【答案】122【解析】【分析】首先求出OC '，再画出平面图形，从而求出其面积.【详解】因为24OA B C '''==，2A B ''=，所以()2242222OC '=-+=由直观图可得如下平面图形，则24OA BC ==，242OC OC '==，所以()124222OABC S =⨯+⨯=.故答案为：1227.三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC ==，则顶点P 在平面ABC 内的射影O 是ABC V 的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）【答案】外心【解析】【分析】由已知可得顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形三个顶点的距离相等，即O 为ABC V 的外心.【详解】如图，设顶点P 在底面ABC 内的射影为O ，则⊥PO 平面ABC ，连接OA ，OB ，OC ，OA ，OB ，OC 在平面ABC 内，∴PO OA ⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，∴POA ，POB V ，POC △都是直角三角形，PA PB PC ==，∴POA ，POB V 和POC △三个三角形全等，从而有OA OB OC ==，所以O 为ABC V 的外心.故答案为：外心.8.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若四边形对角线2==AC BD ，对角线AC 与BD 所成的角为π3，则FH =______．【答案】1【解析】【分析】由题意可知四边形EFGH 为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为π2π,33，再由所给边长即可求得FH 的长.【详解】如图，由,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，得1////,12EF AC HG EF HG AC ===，1////,12EH BD FG EH FG BD ===，则四边形EFGH 为菱形，又AC 与BD 所成的角为π3，于是直线EF 与EH 所成角为π3，即菱形EFGH 的边长为1，相邻两个内角分别为π2π,33，即π3FEH ∠=或2π3FEH ∠=，当π3FEH ∠=时，1FH EF ==,当2π3FEH ∠=时，2sin60FH EF ==所以1FH =或FH =故答案为：19.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____【答案】32【解析】【详解】设球半径为r ，则12=B 2×243B 3=32．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．10.已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是_________．【解析】【分析】设点P 在平面β内的投影为点Q ，作PO AB ⊥于点O ，连接OQ ，证明POQ ∠即为二面角AB αβ--的平面角，再解Rt POQ △即可.【详解】如图，设点P 在平面β内的投影为点Q ，则PQ β⊥，1PQ =，作PO AB ⊥于点O ，连接OQ ，因为PQ β⊥，,OQ AB β⊂，所以,PQ AB PQ OQ ⊥⊥，又,,,PO AB PO PQ P PQ PO ⊥⋂=⊂平面POQ ，所以AB ⊥平面POQ ，又OQ ⊂平面POQ ，所以AB OQ ⊥，所以POQ ∠即为二面角AB αβ--的平面角，所以30POQ ∠=︒，在Rt POQ △中，30,1POQ PQ ∠=︒=，所以OQ =即点P 在平面β内的投影到AB11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____【答案】12【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,求出以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程即可求得答案.【详解】设圆锥的母线长为l,则以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，又圆锥的侧面积为π33πl l ⨯⨯=，因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，所以2π43πl l =⨯，解得12l =，故答案为：1212.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足14A P ≤≤的点P 组成，则四面体1P A BC -的体积的取值范围_________.【答案】1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】连接AP ，由线面垂直的性质得到1A A AP ⊥，再由勾股定理求出0||2AP ≤≤，即可得到P 以A 为圆心2为半径的14圆面上，再根据1111,3P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅ 得到当P 在边AD 上时四面体的体积最大，当P 在边AB 的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围.【详解】连接AP ，如图所示，因为1A A ⊥平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以1A A AP ⊥，∵14A A =，由145A P ≤≤2211||A P AP AA =+，则0||2AP ≤≤；所以P 在以A 为圆心2为半径的14圆面上，由题意可知，11113P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅ ，所以当P 在边AD 上时，四面体1P A BC -的体积的最大值是1132444323⨯⨯⨯⨯=.所以当P 在边AB 的中点时，PBC S 的面积取得最小值，此时14242PBC S =⨯⨯=△，所以四面体1P A BC -的体积的最小值是1164433⨯⨯=，所以11632,33P A BC V -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式13V Sh =，通常会有以下两种：①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）13.已知直线l 和平面α，则“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.而“l 垂直于α内的两条直线”，没有满足相交，所以不一定能推出直线与平面垂直，但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，即可得：“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的必要不充分条件.故选：B .14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A.16B.18C.20D.22【答案】A【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为14CD AB =，且//,12CD AB BD =，设圆锥的母线长为l ，根据相似比可得1214CD ED l AB EB l -===，解得16=l ，即原圆锥的母线长为16.故选：A.15.m n 、为空间中两条直线，αβ、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是[)0,π；②经过3个点有且只有一个平面；③若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α．④若m n 、为两条异面直线，且//,//,//,//m n m n ααββ，则//αβ．A.0 B.1C.2D.3【答案】B【分析】利用二面角的取值范围可判断①，当三点共线时可判断②，利用线面平行的判定方法可判断③，利用线面平行的性质以及面面平行的判定定理可判断④【详解】对于①，二面角的范围是[]0,π，①错；对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错对于③，若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则n 与α可能平行也可能相交，故③错误；对于④，因为//,//m m αβ，过直线m 作平面γ，使得,b a γαβγ== ，由线面平行的性质定理可得//,//m a m b ，则//a b ，因为,a b αα⊄⊂，则//a α，因为//,//αβn n ，过直线n 作平面ϕ，使得,d c ϕαβϕ== ，由线面平行的性质定理可得//,//n c n d ，则//c d ，因为,c d αα⊄⊂，则//c α，若//a c ，则//m n ，这与m n 、为两条异面直线矛盾，故,a c 相交，又因为,a c β⊂，所以//αβ，故④对，故选：B16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF 【答案】C 【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则⊥BC 平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确；B 选项，由AC BC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由⊥BC 平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形，∴四面体11AC CB 为“鳖膈”，故B 正确；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，最大值为43，故C 错误；D 选项，因为1AE A B ⊥，1EF A B ⊥，AE EF E ⋂=，所以1A B ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：C三、解答题（本题满分78分，共5小题）17.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别是1111C D CC AA 、、的中点．（1）证明：//MN 平面11ABB A ．（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小．（结果用反三角表示）【答案】（1）证明见解析（2）arccos 10【解析】【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.（2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.【小问1详解】如图：连接1A B ，1D C .因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11//A B CD .又，M 、N 分别是11C D 、1CC 的中点，所以1//MN CD ，所以1//MN A B ，1A B ⊂平面11ABB A ，MN ⊄平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A .【小问2详解】如图：连接PC 、1PD 因为1//MN CD ，所以1PDC ∠即为异面直线MN 与1PD 所成的角，设为θ.在1PCD V 中，221111145PD PA A D =+=+=，122CD =，2221443PC PA AB BC =++=++=.所以2221111cos θ2D P D C PC D P D C +-=⨯⋅10102522==⨯⨯.所以异面直线1PD 与MN 所成的角为：10arccos10.18.如图，已知PA ＝AC ＝PC ＝AB ＝a ，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点．（1）求证：PM ⊥平面ABC ；（2）求直线PB 与平面ABC 所成角的大小．【答案】（1）见解析（2）6arcsin4【解析】【分析】（1）推导出PM AC ⊥，PM AB ⊥，由此能证明PM ⊥平面ABC ；（2）连结BM ，则PBM ∠是直线PB 和平面ABC 所成的角，由此能求出直线PB 和平面ABC 所成的角．【小问1详解】证明：因为PAC 为等边三角形，且M 为AC 的中点，所以PM AC ⊥．又PA AB ⊥，AC AB ⊥，且PA AC A = ，所以BA ⊥平面PAC ．又PM 在平面PAC 内，所以BA PM ⊥．因为AB AC A ⋂=，且BA PM ⊥，PM AC ⊥，所以PM ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：连结BM ，由（1）知PM ⊥平面ABC ，所以PBM ∠是直线PB 和平面ABC 所成的角．因为PAC 为等边三角形，所以32PM a =.又PAB 为等腰直角三角形，且π2∠=PAB ，所以PB =．因为PM BM ⊥，所以sin 4PBM PM PB ∠==，则arcsin4PBM =∠所以直线PB 和平面ABC 所成的角的大小等于6arcsin4．19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若m 6AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）3312m（2），2【解析】【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据面积关系建立函数解析式，()S x =，然后利用二次函数性质求其最值.【小问1详解】由12PO =知1148OO PO ==.因为116A B AB ==，所以正四棱锥1111P A B C D -的体积()22311111=6224m ;33V A B PO ⋅⋅=⨯⨯=锥正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积()2231=68288m .V AB OO ⋅=⨯=柱所以仓库的容积()324288312m V V V =+=+=锥柱.【小问2详解】设1m PO x =，下部分的侧面积为()S x ，则14m OO x =，1111A O A B ==111()46)S x A B OO x =⋅==<<，设()()()222422363618324f x xx xx x =-=-+=--+，当218x =，即x =max ()324f x =，max ()S x =即当1PO 为2.20.如图，AB 是圆柱的底面直径，2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的表面积；（2）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（3）若1AC =，D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值．【答案】（1）6π（2）证明见解析（3【解析】【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解.（2）先证⊥BC 平面PAC ，再利用面面垂直的判定定理判定即可.（3）先分析得将PAC 绕着PA 旋转到PC '，使其与PAB 共面，且C '在AB 的反向延长线上，当D ，E ，C '三点共线时，CE ED +的最小值为C D '，通过解三角形求C D '即可.【小问1详解】根据题意，圆柱的底面半径12ABr ==，圆柱的高2h PA ==，圆柱的上下底面积和为222π2πS r ==底，圆柱的侧面积为2πr =4πS h =⋅侧，所以圆柱的表面积为26πS S S =+=底侧【小问2详解】由题意可知，PA ⊥底面ABC ，⊂BC 底面ABC ，则PA BC ⊥，由直径所对的圆周角为直角，可得BC AC ⊥，又PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ，又因为⊂BC 平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC 【小问3详解】将PAC 绕着PA 旋转到PC '，使其与PAB 共面，且C '在AB 的反向延长线上，当D ，E ，C '三点共线时，CE ED +的最小值为C D '，因为2PA =，2AB =，PA AB ⊥，PB ==2tan 12PA PBA AB ∠===，所以π4PBA ∠=，12BD BP ==，213BC BA AC '=+=+=，所以在三角形C BD '中，由余弦定理可得C D ='，所以CE ED +.21.已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.（1）求证：AC PD ⊥；（2）求点D 到平面PBC 的距离；（3）若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点E 此时所在的位置.【答案】（1）证明见解析（2）5（3）E 在线段AD 上靠近D 点的14处，4sin 5θ=【解析】【分析】（1）由题可得⊥PO 平面ABCD ，故⊥PO AC .根据菱形的性质可得BD ⊥AC ，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；（2）根据题干数据结合D PBC P BDC V V --=即可求解；（3）由线面平行的判定定理可得AD ∥平面PBC ，可得E 到平面PBC 的距离即为D 到平面PBC 的距离h ，过E 作垂线⊥EF 平面PBC 交于点F ，要使θ最大，则需使PE 最小，此时PE AD ⊥，从而可求解.【小问1详解】因为点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，所以⊥PO 平面ABCD .因为AC ⊂平面ABCD ，所以⊥PO AC .因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .因为,,PO BD O PO BD ⋂=⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD .因为BD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥.【小问2详解】由题意可得ABD △、BCD △与PBD △都是边长为2的等边三角形，所以PO AO CO ===，122BDC S =⨯=△.所以PC =因为2BP BC ==，所以122PBC S ==△.设点D 到平面PBC 的距离为h ，由D PBC P BDC V V --=得1133PBC BDC S h S OP ⋅=⋅△△，=5h =.故点D 到平面PBC 的距离为5.【小问3详解】设直线PE 与平面PBC 所成的角为θ，AD BC AD ⇒∥∥ 平面PBC ，∴E 到平面PBC 的距离即为D 到平面PBC 的距离h .过E 作垂线⊥EF 平面PBC 交于点F ，则EPF θ=∠，此时sin EF PE θ=θ最大，则需使PE 最小，此时PE AD ⊥.由题意可知：1,OD OA ==，因为⊥PO 平面ABCD ，且PO =，所以PA ==，2PD ==，在PAD △中，由余弦定理可得：222cos24AP AD PD PAD AP AD +-∠==⋅，所以sin 4PAD ∠=，由面积相等11sin 22PAD S AP AD PAD AD PE =⋅∠=⋅ ，即1122242PE ⨯=⨯⨯，经计算得，2PE =12DE ==，则4sin 5θ=，此时E 在线段AD 上靠近D 点的14处.。